MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "MS-C1420 Fourier-analyysi osa II"

Transkriptio

1 MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit Poissonin summakaava Whittaker-Shannonin interpolointikaava 2 Vaimennetunen distribuution Fourier-muunnos 3 Aliasoituminen 4 Ikkunoitu Fourier-muunnos 5 Diskreettien signaalien konvoluutiot G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

2 Fourier-kertoimien numeerinen laskeminen ( Jos 1-jaksollisesta signaalista s on saatu havainnot q(j) = s j N j =, 1,..., N 1 ja halutaan laskea Fourie-kertoimien ŝ(k) approksimaatioita niin voidaan menetellä seuraavalla tavalla: Muodostetaan ensin s:n korvikkeena funktio g(t) = ( q(j)p N t j ), N missä p N (t + 1) = p N (t) ja { 1, t =, p N (t) =, t = k N, k = 1, 2,..., N 1, ( ) ( ) jolloin siis g j N = q(j) = s j N kaikilla j. Tämän funktion Fourier-kertoimet ovat ĝ(k) = ˆq(k) p N (k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 ), Miksi? Funktion g Fourier-kertoimiksi saadaan ĝ(k) = 1 = e i2πkt = q(j)p N (t j N e i2πkj N q(j) 1 e i2πkj N ) dt e i2πk(t j N ) p N (t j N q(j) 1 j N = j N ) e i2πkt p N (t) dt e i2πkj N dt = q(j) pn (k) = ˆq(k) p N (k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

3 Jaksollistetut funktiot Jos s L 1 () ja siitä tehdään jaksollien funktio s J kaavalla s J (t) = j Z s(t j) = j Z s(t + j) niin s J L 1 (/Z) ja ŝ J (k) = ŝ(k), k Z. Tämä ei välttämättä onnistu jos ainoastaan oletetaan, että s L 2 (). Miksi Koska e i2πkj = 1, k, j Z niin muuttujan vaihdolla t = τ + j saadaan e i2πkt s(t) dt = j+1 e i2πkt s(t) dt = 1 e i2πk(τ+j) s(t+j) dt j Z j j Z = j Z 1 e i2πkτ s(t + j) dt = 1 e i2πkτ s(t + j) dτ. j Z G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Esimerkki jaksollistamisesta Jos N > 1 ja p L 1 () on sellainen, että p() = 1, p(j) = kaikilla j Z \ {} ja p N (t) = j Z p(n(t j)) niin silloin p N (t + 1) = p N (t), p N (t) = 1 kun t = ja p N (t) = kun t = k N ja k = 1, 2,..., N 1. Lisäksi pätee p N (k) = 1 ( ) k N ˆp, k Z. N G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

4 Poissonin summakaava Jos s L 1 (), s on jatkuva kokonaislukupisteissä ja jono N j= N suppenee tasaisesti kun t ( δ, δ) kun N missä δ > niin lim N N k= N s(k) = lim N N k N k= N N ŝ(k) ja jos esim. k Z s(k) < ja k Z ŝ(k) < niin pätee ŝ(k). k Z s(k) = k Z s(t + j) Huom! Soveltamalla tätä tulosta tyyppiä t s(t x), t e i2πxt s(t) ja t s(at) oleviin funktioihin ja niiden kombinaatioihin saadaan lisää kaavoja. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Miksi Poissonin summakaava on voimassa Kyse on oleellisesti siitä missä mielessä, jos lainkaan, käänteiskaava s J (t) = k Z ei2πk t ŝ J (k) pätee kun t =. Olkoon g(t) = lim N N j= N s(t + j) jolloin g L1 (/Z) ja ĝ(k) = ŝ(k). Oletuksesta, että jono N j= N s(t + j) suppenee tasaisesti kun t (, δ) seuraa, että g on jatkuva pisteessä. Silloin pätee lim (F N g)() = g() N missä F N = 1 N ( ) 2 sin(nπt) sin(πt) ja koska toisaalta (F N g)() = N k= N N k N ei2πk ĝ(k) = N k= N N k N ŝ(k) niin saadaan väite g:n määritelmästä. Jos k Z s(k) < ja k Z ŝ(k) < rajat-arvot voidaan ottaa ja saadaan väite k Z s(k) = k Z ŝ(k). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

5 Whittaker-Shannonin interpolointikaava Jos s L 2 () ja ŝ(ν) = kun ν > 1 2 niin s(t) = k Z s(k)sinc (t k) t, missä sinc (t) = sin(πt) πt jos t ja 1 jos t =. Jos s L 1 () ja ŝ(ν) = kun ν > 2 1 niin s L2 () ja oletuksesta s L 2 () seuraa, että k Z s(k)sinc (t k) < kaikilla t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Vaimennetut distribuutiot S () = { h : h on jatkuva ja lineaarinen funktio: S() C }. Jatkuvuus? Funktio h : S() C on jatkuva jos lim n h(ψ n ) = h(ψ) kun ψ n, ψ S() ja lim n ψ n = ψ eli lim n d(ψ n, ψ) = missä d(ϕ, ψ) = k= m= 2 (k+m) sup t t k (ϕ (m) (t) ψ (m) (t)) 1 + sup t t k (ϕ (m) (t) ψ (m) (t)). Näin ollen funktio h : S() C on jatkuva jos jokaisella ψ S() ja jokaisella ɛ > on olemassa δ > siten että jos ϕ S() ja d(ϕ, ψ) < δ niin h(ϕ) h(ψ) < ɛ. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

6 Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos Jos h S () niin ĥ = F(h) on vaimennettu distribuutio ĥ(ψ) = h( ˆψ). Huom! Jotta voidaan osoittaa, että ĥ S () jos h S () pitää ensin osoittaa että Fourier-muunnos on jatkuva: S() S(). (Lineaarisuus on melkein itsestään selvä asia.) Esimerkki Jos s : C on mitallinen ja on olemassa m siten, että s(t) (1 + t ) m dt < niin voidaan määritellä vaimennettu distribuutio s D (tai pelkästään s) kaavalla s D (ψ) = s(t)ψ(t) dt. Jos s D (ψ) = kun ψ S(), eli s D =, niin s(t) = melkein kaikilla t. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Diracin δ-funktio Voidaan määritellä vaimennettu distribuutio δ T seuraavasti: δ T (ψ) = ψ(t ). Jos p L 1 () on sellainen, että p(t) dt = 1, esim. p(t) = e πt2, ja merkitään p a (t) = ap(at) niin p a (t T )ψ(t) dt = ψ(t ), lim a joten δ T on funktioiden p a (t T ) raja-arvo distribuutiomielessä. Distribuution δ T Fourier-muunnos δ T on määritelmän mukaan distribuutio jonka arvo testifunktiolla ψ on δ T (ψ) = δ T ( ˆψ) = ˆψ(T ) = e i2πt ν ψ(ν) dν, eli funktion t e i2πt ν generoima distribuutio. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

7 Diracin δ-funktio, jatk. Funktion p a (t T ) Fourier-muunnos on e i2πνt ap(a(t T )) dt a(t = T ) = τ e i2π ν a τ e i2πt ν p(τ) dτ i2πt = e νˆp ( ν ), a koska dt = 1 a dτ ja t = τ a + T. Kun a saadaan raja-arvona funktio e i2πt ν koska lim a ˆp ( ) ν a = ˆp() = p(t) dt = 1 oletuksen mukaan, jolloin taas nähdään että δ T :n Fourier-muunnos on funktio e i2πt ν (tai tämän funktion generoima distribuutio). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Vaimennetun distribuution Fourier-muunnos on järkevästi määritelty! Jos s L 1 () tai s L 2 () niin Miksi? ŝ D = (ŝ) D eli F(s D ) = F(s) D. Jos esim. s L 1 () niin määritelmän mukaan F(s D )(ψ) = s D ( ˆψ) = s(t) ˆψ(t) dt. Koska sekä s että ψ L 1 () niin kertolaksukaavan nojalla, joka pätee myös kuin kuin molemmat funktiot ovat neliöintegroituvia, s(t) ˆψ(t) dt = ŝ(t)ψ(t) dt = (ŝ) D (ψ), ja koska ψ S() oli mielivaltainen, niin väite seuraa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

8 Vaimennetun distribuution derivaatta Jos h S () niin sen derivaatta h määritellään kaavalla h (ϕ) = h(ϕ ). Kun todistetaann, että h on vaimennettu on ensin osoitettava, että derivointi on jatkuva funktio: S() S(). Miksi näin? Jos s on derivoituva funktio ja on olemassa m siten, että ( s(t) + s (t) )(1 + t ) m dt niin s D ja (s ) D ovat vaimennettuja distribuutioita ja pätee (s D ) (ψ) = s D (ψ ) = s(t)ψ (t) dt / = s(t)ψ(t) dt + s (t)ψ(t) dt = (s ) D (ψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Operaatioita vaimennetuilla distribuutioilla Kun s on funktio C voimme määritellä seuraavat operaatiot: (T x s)(t) = s(t x), (M x s)(t) = e i2πxt s(t), (C x s)(t) = s(xt) (missä x ) ja ehdosta L x s D = (L x s) D missä L = T, M tai S, niin saadaan seuraavat määritelmät vaimennetuille distribuutioille: (T x h)(ψ) = h(t x ψ), (M x h)(ψ) = h(m x ψ), ( ) (C x h)(ψ) = h 1 x C 1 ψ x Lisäksi jos ϕ C () ja sup t (1 + t ) k(m) ϕ (m) (t) < kaikilla m jollain k(m) niin määritellään funktion ϕ ja vaimennetun distribuution h tulo kaavalla (ϕh)(ψ) = h(ϕψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36.

9 Fourier-muunnos ja derivaatta Jos h S () niin F(h) = F(( i2πt)h), F(h ) = (i2πt)f(h). Miksi? F(h) (ψ) = F(h)(ψ ) = h(f(ψ )) = h((i2πt)f(ψ)) = (( i2πt)h)(f(ψ)) = F(( i2πt)h)(ψ), ja F(h )(ψ) = h (F(ψ)) = h(f(ψ) ) = h(f(( i2πt)ψ) = F(h)((i2πt)ψ) = ((i2πt)f(h))(ψ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Jos s L 1 (/Z) niin s määrittelee myös funktion: C siten, että s(t) (1 + t ) 2 dt < ja silloin ŝ D = k Z ŝ(k)δ k, missä ŝ(k) on s:n Fourier-kerroin ja δ τ (ψ) = ψ(τ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

10 Jaksollisen funktion Fourier-muunnos Määritelmän mukaan ŝ D (ψ) = s(t) ˆψ(t) dt. Koska ˆψ S niin funktio ϕ(t) = j Z ˆψ( t + j) on jaksollinen ja äärettömän monta kertaa derivoituva. Näin ollen se voidaan kirjoittaa Fourier-summana ϕ(t) = k Z e i2πkt ˆϕ(k). Koska s on jaksollinen niin s(t) ˆψ(t) dt = j Z j+1 j s(t)ψ(t) dt = 1 s(t)ϕ( t) dt = k Z ˆϕ(m) 1 e i2πkt s(t) dt = k Z ˆϕ(k)ŝ(k), G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Jaksollisen funktion Fourier-muunnos, jatk. missä ŝ tarkoittaa jaksollisen funktion Fourier-muunnos. Toisaalta 1 ˆϕ(k) = e i2πkt j Z ˆψ( t + j) dt = e i2πkt ˆψ( t) dt = e i2πkt ˆψ(t) dt = ψ(k). Näin ollen ŝ D (ψ) = k Z ŝ(k)ψ(k), eli ŝ D = k Z ŝ(k)δ k. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

11 Aliasoituminen I Olkoon s jatkuva-aikainen signaali jonka Fourier-muunnos ŝ L 1 () jolloin s on ainakin jatkuva funktio siten, että lim t s(t) =. Jos nyt otetaan näytteitä s(k t), k Z, tästä signaalista niin Fourier-muunnoksen käänteiskaavan nojalla ne voidaan esittää Fourier-muunnoksen ŝ avulla seuraavasti: s(k t) = e i2πk tν ŝ(ν) dν. Mutta funktio ν e i2πk tν on jaksollinen jaksolla ν = 1 t määritellään ŝ J, ν (ν) = j Z ŝ(ν j ν) niin joten jos nyt s(k t) = ν e i2πk tν ŝ J, ν (ν)dν = ν 2 ν 2 e i2πk tν ŝ J, ν (ν)dν. Näin funktio ŝ J, ν (ν) määrittää jonon s(k t) ja päinvastoin eikä jälkimmäisen jonon avulla ole mahdollista sanoa luvuista ŝ(ν j ν) muuta kuin niiden summa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Aliasoituminen I, jatk. Toisaalta jos ŝ on nolla tietyn ν-pituisen välin ulkopuolella, niin silloin on mahdollista rekonstruida signaali lukujen s(k t) avulla Whittaker-Shannonin interpolointikaavan (modifikaation) avulla. Aliasoituminen II Tarkastellaan seuraavaksi mahdollisimman yksinkertainen signaali eli s(t) = e i2πνt jonka taajuus on ν ja poikkeuksena edelliseen tapaukseen otetaan nyt vain N näytettä q(k) = s(t + k t), k =,....N 1. Nämä näytteet määräytyvät yksikäsitteisesti tämän jonon diskreetistä Fourier-muunnoksesta ˆq(m) = k= mk i2π e N s(t + k t) = k= mk i2π e N e i2πν(t +k t) = e i2πνt k= e i2πk(ν t m N ). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

12 Aliasoituminen II, jatk. Funktion e i2πt jaksollisuudesta ja geometrisen sarjan summakaavasta seuraa, että Ne i2πνt, jos e i2π(mod (ν t,1) m N ) = 1, ˆq(m) = e i2πνt 1 ei2π(nmod (ν t,1) m) 1 e i2π(mod (ν t,1) m N ), muuten. Näin ollen ainoa tieto taajuudesta joka saadaan diskreetistä Fourier-muunnoksesta ja siten myös jonosta s(t + k t) on mod (ν t, 1) ja se näkyy siten, että diskreetti Fourier-muunnos saa itseisarvoltaan suurimmat arvonsa kun m N mod (ν t, 1). Muista myös, että jokainen vaimennettu distribuutio on trigonometristen polynomien raja-arvo (tosin aika heikossa mielessä), ja yllä oleva lasku on myös sovellettavissa niihin. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Aikataajuudessa rajoitettu signaali on Ainoa funktio s L 1 () jolle on olemassa M < siten, että s(t) = kun t M ja ŝ(ν) = kun ν M on s =. Aikataajuudessa rajoitettu signaali on Olkoon s tällainen funktio. Määritellään sen avulla funktio q(t) = s(4mt + M) jolloin nähdään, että q(t) = kun kun t 1 2 ja kun t. Seuraavaksi muodostetaan tämän funktion jaksollistus q J (t) = j Z q(t j) jolle siis pätee, että q J(t) = kun t [, 1 2 ]. Koska ˆq(ν) = e i2π ν 4 ŝ( ν 4M ) niin ˆq(ν) = kun ν 4M2. Erityisesti tämä tarkoittaa sitä, että q J :llä on ainoastaan äärellisen monta nollasta poikkeavaa Fourier-kerrointa koska q J (k) = ˆq(k). Näin ollen q voidaan esittää Fourier-summana q(t) = m k= m e i2πkt ˆq(k), ja voimme olettaa, että ˆq( m) + ˆq(m) > jos s jolloin q. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

13 Aikataajuudessa rajoitettu signaali on, jatk. Koska Fourier-summa sisältää vain äärellisen monta termiä niin q on äärettömän monta kertaa jatkuvasti derivoituva ja koska q(t) = kun < t < 1 2 niin myös kaikki sen derivaatat ovat tällä välillä ja jatkuvuuden nojalla myös pisteessä t = eli = q(j) () (i2πm) j = m k= m ( ) k j ˆq(k). m Nyt pätee lim j m 1 k= m+1 ( k m) j ˆq(k)e i2πkt = joten saadaan lim j (( 1) j ˆq( m) + ˆq(m)) =, josta seuraa, että ˆq( m) = ˆq(m) = ja s =. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Ikkunoitu Fourier-muunnos Jos s signaali ja w on ikkuna -funktio niin s:n w-ikkunoitu Fourier-muunnos on F (s, w)(τ, ν) = e i2πνt s(t)w(t τ) dt. eli F (s, w)(τ, ν) = F(sT τ w)(ν) ja oletetaan, että w on valittu siten, että signaalin s(t)t τ w(t) Fourier-muunnos on hyvin määritelty. (Useimmiten ikkunafunktio w reaalinen, esim w(t) = e βt2 jolloin kompleksikonjugoinnilla ei ole merkitystä.) Miksi ikkunointia? Ikkunoitu Fourier-muunnos antaa jotakin informaatiota signaalin s sisältämistä taajuuksista lyhyellä aikavälillä mutta ei ole suinkaan ainoa korjausyritys Fourier-muunnoksen heikoimpiin puoliin, jotka liittyvät siihen, että sen arvo tietyssä pisteessä riippuu signaalin arvoista kaikissa pisteissä. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

14 Miksi ikkunointia? Kuten Fourier-sarjojen kohdalla voidaan todeta, saadaan yleensä parempi tulos kun signaali rekonstruoidaan Fourier-kertoimista jos käytetään painotettu summa N N k k= N N ŝ(k)ei2πkt kuin jos lasketaan N k= N ŝ(k)ei2πkt. Tässä tapauksessa käytetään siis diskreettiä ikkunafunktiota w(k) = N k N. Toisin sanoen, kun lasketaan Fourier-muunnoksia ja käänteismuunnoksia voi olla hyvä idea käyttää ikkunointia kiinteällä τ:n arvolla (esim. ) ja valita ikkunafunktioksi esim. e ɛt2 missä ɛ on pieni positiivinen luku. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Esimerkki Alla olevassa kuvassa on esitetty signaalin s ikkunoidun Fourier-muunnoksen itseisarvo ikkunafunktiolla w(t) = e 4t2 missä s(t) = sin(2π5t) kun t 1, s(t) = sin(2π1t) kun 1 t 2 ja s(t) = muuten. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

15 Ikkunoidun Fourier-muunnoksen käänteismuunnos ja energia Jos w S() (mikä on järkevä valinta) ja sup t s(t) (1 + t ) m < jollain m niin Fourier-muunnoksen käänteismuunnoksella saadaan s(t) = (w(t τ)) 1 ei2πνt F (s, w)(τ, ν) dν, jos w(t τ). Mutta jos sen sijaan, että käänteismuunnoskaavassa jaetaan w(t τ):llä kerrotaan w(t τ):lla ja integroidaan τ:n suhteen saadaan 1 s(t) = e i2πνt F (s, w)(τ, ν)w(t τ) dν dτ w(τ) 2 dτ Koska ĥ(ν) 2 dν = h(t) 2 dt ja ν F (s, w)(τ, ν) on Fourier-muunnos niin F (s, w)(τ, ν) 2 dν dτ = s(t) 2 w(t τ) 2 dt dτ = w(τ) 2 dτ s(t) 2 dt = w(τ) 2 dτ ŝ(ν) 2 dν, eli ikkunoitu Fourier-muunnos jakaa signaalin energian toisella tavalla tasoon 2. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Ikkunoitu Fourier-muunnos konvoluutiona Määritelmän mukaan F (s, w)(τ, ν) = e i2πνt s(t)w(t τ) dt. Oletetaan, että ikkuna-funktio w S(). Seuraavaksi esitetään funktio t e i2πνt w(t τ) Fourier-muunnoksena ja käänteismuunnoksen avulla todetaan, että e i2πνt w(t τ) = e i2πνt = e i2π(t τ)µ ŵ(µ) dµ e i2πt(µ+ν) e i2πτµ ŵ(µ) dµ µ + ν = γ = e i2πtγ e i2πτ(ν γ) ŵ(γ ν) dγ. Nyt ŵ(γ ν) = ŵ(ν γ)ja näin ollen funktio t e i2πνt w(t τ) on funktion γ e i2πτ(ν γ) ŵ(ν γ) Fourier-muunnos. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

16 Ikkunoitu Fourier-muunnos konvoluutiona, jatk. Kertolaskukaavan nojalla pätee F (s, w)(τ, ν) = ŝ(γ)e i2πτ(ν γ) ŵ(ν γ) dγ = (ŝ (M τ ŵ))(ν). missä siis M x ψ(t) = e i2πxt ψ(t). Huomaa, että kertolaskukaavan käyttö kuten edellä edellyttää että esim s L 1 () tai s L 2 () mutta vaimennetun distribuution Fourier-muunnoksen määritelmä on sama kaava joten yllä oleva tulos pätee myös jos s on vaimennettu distrubuutio koska jos h S () ja ψ S() niin (h ψ)(x) on distribuution h arvo testifunktiolla t ψ(x t). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Diskreetti konvoluutio Jos a : Z C ja b : Z C ovat esim. sellaisia, että j Z a(j) < ja a(j) < niin niiden konvoluutio a b on j Z (a b)(k) = c(k) = j Z a(k j)b(j), k Z. Kun tällaisen signaalin Fourier-muunnos on â(ν) = j Z e i2πνj a(j), niin pätee â b(ν) = â(ν)ˆb(ν). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

17 Diskreetti jaksollinen konvoluutio Jos signaalit a : Z C ja b : Z C ovat jaksollisia jaksolla N niin niiden (jaksollinen) konvoluutio a J b on (a J b)(k) = a(k j)b(j), ja pätee â J b(m) = â(m)ˆb(m), m Z. Konvoluutio N :ssa Jos a : Z C ja b : Z C ovat sellaisia että a(j) = b(j) = kun j < niin k (a b)(k) = a(k j)b(j), k, ja (a b)(k) = kun k < ja kaikilla k on laskettava ainoastaan äärellinen summa. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Konvoluution laskeminen Fourier-muunnoksen avulla Jos luvut a(j) ja b(j) tunnetaan kun j =,..., N 1 ja halutaan laskea (a b)(k) = k a(k j)b(j), k =,..., N 1, niin voidaan menetellä seuraavalla tavalla: Määritellään { a(j), j =,..., N 1, a 2N (j) = a 2N (j) = a 2N (j + 2N), j Z,, j = N,..., 2N 1, { b(j), j =,..., N 1, b 2N (j) = b 2N (j) = b 2N (j + 2N), j Z,, j = N,..., 2N 1, Sitten lasketaan jolloin c = F 1 2N (F 2N(a 2N ) F 2N (b 2N )) c(k) = (a b)(k), k =,..., N 1. G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

18 Miksi? Koska jaksollisten jononjen konvoluution diskreetti Fourier-muunnos on Fourier-muunnosten tulo niin c = a 2N J b 2N eli c(k) = 2 a 2N (k j)b 2N (j), k Z. Koska b 2N (j) = b(j) kun j =,..., N 1 ja b 2N (j) = kun j = N,..., 2N 1 niin c(k) = a 2N (k j)b(j), k Z. Mutta jos nyt k N 1 ja k + 1 j N 1 niin N + 1 k j 1 jolloin N + 1 k j + 2N 2N 1 josta seuraa, että a 2N (k j) = a 2N (k j + 2N) =. Koska lisäksi a 2N (k j) = a(k j) kun j k N 1 niin G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36 Miksi?, jatk. c(k) = k a 2N (k j)b(j) = k a(k j)b(j), k =,..., N 1. Jos lisäksi pätee a(j) = b(j) = kun j N ja N 1 k 2N 1 niin c(k) = a 2N (k j)b(j) = j=k N+1 a(k j)b(j) = k a(k j)b(j). ja saadaan kaikki konvoluution termit indekseillä k =, 1,..., 2N 1 (ja tässä tapauksessa konvoluutio on kun k 2N 1). G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta / 36

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio

MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen

Lisätiedot

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause

Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää.

Lisätiedot

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5

Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko

Lisätiedot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot

1 Aritmeettiset ja geometriset jonot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008

Mat-2.3114 Investointiteoria Laskuharjoitus 3/2008, Ratkaisut 05.02.2008 Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

Derivaatan sovelluksia

Derivaatan sovelluksia Derivaatan sovelluksia Derivaatta muutosnopeuden mittarina Tehdään monisteen esimerkistä 5 hiukan mutkikkaampi versio Olete- taan, että meillä on mpräpohjaisen kartion muotoinen astia, johon virtaa vettä

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen

Alias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen Prosessiorientoituneet mallit Todellista hybridijärjestelmää ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 12: Näytteenottoteoreema ja jatkuvien säätimien diskreetit approksimaatiot Prosessiorientoituneet mallit katsotaan

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Sarjat ja differentiaaliyhtälöt Johdanto Tämä luentomoniste on tarkoitettu korvaamaan luentomuistiinpanoja Sarjat ja differentiaaliyhtälöt-kurssilla. Tämä ei kuitenkaan ole oppikirja, mikä tarkoittaa sitä,

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,

Lisätiedot

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi.

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi. 3 Ikkunointi Puhe ei ole stationaarinen signaali, vaan puheen ominaisuudet muuttuvat varsin nopeasti ajan myötä. Tämä on täysin luonnollinen ja hyvä asia, mutta tämä tekee sellaisten signaalinkäsittelyn

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA

MIKROTEORIA 1, HARJOITUS 1 BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA MIKROTEORIA, HARJOITUS BUDJETTISUORA, PREFERENSSIT, HYÖTYFUNKTIO JA VALINTA tilasto (600 00) 00 a. Kulmakerroin: = = =, koska 00 sivua lisää ta aiheuttaa (00 400) 00 luopumisen 00 sivusta tilastoa. Toisin

Lisätiedot

Fourier-analyysin alkeet

Fourier-analyysin alkeet 1 Fourier-analyysin alkeet Joni Teräväinen 8. toukokuuta 212 Fourier'n teoria ei ole ainoastaan yksi modernin analyysin kauneimpia tuloksia, vaan sen sanotaan varustavan käyttäjänsä korvaamattomalla työkalulla

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot

Trigonometriset funktiot Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio:

Ei välttämättä, se voi olla esimerkiksi Reuleaux n kolmio: Inversio-ongelmista Craig, Brown: Inverse problems in astronomy, Adam Hilger 1986. Havaitaan oppositiossa olevaa asteroidia. Pyörimisestä huolimatta sen kirkkaus ei muutu. Projisoitu pinta-ala pysyy ilmeisesti

Lisätiedot

Funktion määrittely (1/2)

Funktion määrittely (1/2) Funktion määrittely (1/2) Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon a täsmälleen yhden B:n alkion b. Merkitään b = f (a). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko, B on f :n maalijoukko.

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2

Ratkaisu: a) Aritmeettisen jonon mielivaltainen jäsen a j saadaan kaavalla. n = a 1 n + (n 1)n d = 5 500 + 4 = 501500. 2 500 = 5 + 2001 2 Kotitehtäviä 5. Ratkaisuehdotuksia. a) Jono a,..., a 500 on aritmeettinen, a = 5 ja erotusvakio d = 4. Laske jäsenet a, a 8 ja a 00 sekä koko jonon summa. b) Jono b,..., b 0 on geometrinen, b = ja suhdeluku

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Stokesin lause LUKU 5

Stokesin lause LUKU 5 LUU 5 Stokesin lause 5.1. Integrointi monistolla Olkoot W R k alue, W kompakti Jordan-joukko ja ω jatkuva k-muoto alueessa W, ω f dx 1 dx k. Asetetaan ω : f, t.s. f dx 1 dx k : f(x dx f(x 1,, x k dx 1

Lisätiedot

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy 2006. Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen säätötekniikkaan Takaisinkytkennän

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t),

ẋ(t) = s x (t) + f x y(t) u x x(t) ẏ(t) = s y (t) + f y x(t) u y y(t), Aalto-yliopiston Perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Mat-2.4129 Systeemien Identifiointi 1. harjoituksen ratkaisut 1. Tarkastellaan maita X ja Y. Olkoon näiden varustelutaso

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

T L 9 0 8 Z S I G N A A L I T E O R I A O S A I V: E N E R G I A - J A T E H O T I H E Y S

T L 9 0 8 Z S I G N A A L I T E O R I A O S A I V: E N E R G I A - J A T E H O T I H E Y S L 9 8 Z S I G N L I E O R I O S I V: E N E R G I - J E H O I H E Y S 4 Spektrin eneria- ja tehotiheys 57 4. Spektrin eneriatiheys 57 4.. Parsevalin teoreema 57 4.. Spektrin eneriatiheyden ominaisuuksia

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

Malliratkaisut Demo 1

Malliratkaisut Demo 1 Malliratkaisut Demo 1 1. Merkitään x = kuinka monta viikkoa odotetaan ennen kuin perunat nostetaan. Nyt maksimoitavaksi kohdefunktioksi tulee f(x) = (60 5x)(300 + 50x). Funktio f on alaspäin aukeava paraaeli,

Lisätiedot

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1

J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Poisson-prosessi 1 Poisson-prosessi Yleistä Poisson-prosessi on eräs keskeisimmistä jonoteoriassa käytetyistä malleista. Hyvin usein asiakkaiden saapumisprosessia jonoon

Lisätiedot

8000203: Johdatus signaalinkäsittelyyn 1

8000203: Johdatus signaalinkäsittelyyn 1 TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Tietotekniikan osasto Signaalinkäsittelyn laitos TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Information Technology Institute of Signal Processing Opetusmoniste -23 Heikki

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström

Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille. Joona Lindström Lidskiin lause trace-luokan operaattoreille Joona Lindström HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department

Lisätiedot

Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma

Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma Visibiliteetti ja kohteen kirkkausjakauma Interferoteriassa havaittava suure on visibiliteetti V (u, v) = P n (x, y)i ν (x, y)e i2π(ux+vy) dxdy kohde Taivaannapa m Koordinaatisto: u ja v: B/λ:n projektioita

Lisätiedot

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen

MATEMATIIKKA MATEMATIIKAN PITKÄ OPPIMÄÄRÄ. Oppimäärän vaihtaminen MATEMATIIKKA Oppimäärän vaihtaminen Opiskelijan siirtyessä matematiikan pitkästä oppimäärästä lyhyempään hänen suorittamansa pitkän oppimäärän opinnot luetaan hyväksi lyhyemmässä oppimäärässä siinä määrin

Lisätiedot

i ) dµ = 1 i µ(f i E j ) 0.

i ) dµ = 1 i µ(f i E j ) 0. MARTINAALIT JA HARMONINEN ANALYYSI TUOMAS HYTÖNEN 1. Ehdollinen odotusarvo martingaali 4 s. maasto- ja esteratsastuksessa joskus käytetyt apuohjakset, joiden tarkoitus on estää hevosta viskomasta päätään

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Weierstrassin funktiosta

Weierstrassin funktiosta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Tervaskangas Weierstrassin funktiosta Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Toukokuu 2013 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö TERVASKANGAS,

Lisätiedot

1 Euklidiset avaruudet R n

1 Euklidiset avaruudet R n 1 Euklidiset avaruudet R n Tässä osiossa käymme läpi Euklidisten avaruuksien R n perusominaisuuksia. Olkoon n N + positiivinen kokonaisluku. Euklidinen avaruus R n on joukko R n = {(x 1, x 2,..., x n )

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka C 2015 Mika Hirvensalo Insinöörimatematiikka C 5 Sisältö Johdanto.................................................................... 5. Kerrattavaa..............................................................

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Klassinen todennäköisyys ja kombinatoriikka >> Klassinen

Lisätiedot

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.

rm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d. 9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 1: Joukko-oppi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Joukko-oppi >> Joukko-opin peruskäsitteet Joukko-opin perusoperaatiot Joukko-opin laskusäännöt Funktiot Tulojoukot

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET

KANSANTALOUSTIETEEN PÄÄSYKOE 4.6.2015 MALLIVASTAUKSET KANSANTALOUSTIETEEN ÄÄSYKOE 4.6.05 MALLIVASTAUKSET Sivunumerot mallivastauksissa viittaavat pääsykoekirjan [Matti ohjola, Taloustieteen oppikirja,. painos, 04] sivuihin. () (a) Bretton Woods -järjestelmä:

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT:

Reaaliluvut 1/7 Sisältö ESITIEDOT: Reaaliluvut 1/7 Sisältö Reaalilukujoukko Reaalilukujoukkoa voidaan luonnollisimmin ajatella lukusuorana, molemmissa suunnissa äärettömyyteen ulottuvana suorana, jonka pisteet ja reaaliluvut vastaavat toisiaan:

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

diskonttaus ja summamerkintä, L6

diskonttaus ja summamerkintä, L6 diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson

Lisätiedot

Cauchyn ja Sylowin lauseista

Cauchyn ja Sylowin lauseista Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS

HILBERTIN AVARUUDET 802652S MIKAEL LINDSTRÖM KEVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUENTOJEN PERUSTEELLA TOIMITTANEET TOMI ALASTE JA LAURI BERKOVITS HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................

Lisätiedot

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?

10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen? YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot