1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

Transkriptio

1 Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...) = (1, 2, 4, 8, 16,...), (b) g(n) = (2, 2 2, (2 2 ) 2, ((2 2 ) 2 ) 2,...) = (2, 4, 16, 256,...), (c) h(n) = (2, 2 2, 2 (22), 2 (2(22)),...) = (2, 4, 16, 65536,...). Ratkaisu: a) Jonon seuraava jäsen saadaan edellisestä kertomalla se kahdella. Näin ollen rekursiivinen määritelmä on f(0) = 1, f(n + 1) = 2 f(n). b) Jonon seuraava jäsen saadaan korottamalla edellinen jäsen potenssiin 2. Siis rekursiivinen määritelmä on g(0) = 2, g(n + 1) = g(n) 2. c) Seuraava jäsen saadaan edellisestä kun korotetaan 2 edellisen luvun määrämään potenssiin. Toisin sanoen h(0) = 2, h(n + 1) = 2 h(n). 2. Määritellään lukujono f(n) rekursiivisesti f(0) = 1, f(1) = 2, f(n + 1) = f(n) + 2f(n 1), n 1. (a) Määritä lukujonon 8 ensimmäistä lukua. (b) Esitä f(n) pelkän n:n funktiona eli ratkaise rekursiivinen yhtälö kohdan (a) perusteella päättelemällä. (c) Todista kohdan (b) tulos oikeaksi. Ratkaisu: a) Laskemalla määritelmästä lähtien saadaan f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = = 4, f(3) = = 8, f(4) = = 16, f(5) = = 32, f(6) = = 64, f(7) = = 128.

2 2 b) Näyttää siltä, että f(n) = 2 n, n N. c) Osoitetaan b)-kohdan arvaus todeksi induktiolla n:n suhteen. Kun n = 0 Kun n = 1 saadaan f(0) = 1 = 2 0. f(1) = 2 = 2 1. Oletetaan, että n 2 ja f(k) = 2 k kaikilla k < n. Eritysesti tällöin f(n 1), f(n 2) ovat määriteltyjä ja f(n 1) = 2 n 1, f(n 2) = 2 n 2. Tästä ja määritelmästä seuraa, että f(n) = f(n 1)+2f(n 2) = 2 n n 2 = 2 n 1 +2 n 1 = 2 2 n 1 = 2 n. Väite on osoitettu induktiolla. 3. Osoita, että luonnollisten lukujen kertolaskun tavallinen määritelmä 0 m = 0, n m = m, n, m N, n 1, n kertaa ja rekursiivinen määritelmä 0 m = 0, (n + 1) m = n m + m, n, m N, ovat yhtäpitävät. Ratkaisu: Käytetään tavalliselle määritelmälle merkintä n m ja rekursiiviselle merkintä n m. Kiinnitetään m N ja osoitetaan induktiolla n:n suhteen, että kaikilla n N. Olkoon n = 0. Tällöin n m = n m 0 m = 0 m määritelmän nojalla. Oletetaan, että n m = n m jollakin n N. Tällöin (n+1) m = m = m +m = n m+m = n m+m = (n+1) m. n+1 kertaa n kertaa

3 4. Erään tietokonejärjestelmän jokaisella käyttäjällä on yhtä pitkä käyttäjätunnus, jossa saa esiintyä englantilaisen aakkoston isoja ja pieniä kirjaimia A, B, C,..., Z ja a, b, c,..., z, joita molempia on 26, sekä numeroita 0, 1, 2,..., 9. Kuinka monta merkkiä tunnuksen pituuden on oltava, jotta jokaiselle maapallon asukkaalle riittää oma tunnus? Maailman väkiluku on 7 miljardia, jonka YK arvioi ylittyneen Ratkaisu: Jokainen merkintä voidaan siis valita vapaasti =62:stä symbolista. Kun tunnuksen pituus on n, erillaisia tunnuksia on 62 n. Jotta erilaisia tunnuksia riittäisi varmaasti kaikille n:n pitää olla niin suuri, että 62 n > Käyttämällä 10-kantaista logaritmia log 10 ehto saadaan muotoon n > (log )/ log , 49. Näin olleen 6 merkkiä riittää Olkoot A = {1, 2, 3, 4 ja B = {1, 2, 3, 4, 5, 6. (a) Kuinka monta kuvausta A B on olemassa? (b) Olkoon f : A B injektio. Kuinka monta bijektiota A f(a) on olemassa? (c) Esitä jokin sellainen injektio f : A B, että f(x) x kaikilla x A, ja luettele kaikki bijektiot A f(a). Muista, että voit esittää esim. kuvauksen f : A B, f(x) = x, yksinkertaisesti muodostamalla joukon A kuvien jonon kirjoittamalla (1, 2, 3, 4). Ratkaisu: a) Arvo f(k) voidaan valita vapaasti 6:sta vaihtoehdosta jokaisella k = 1, 2, 3, 4. Näin ollen tapoja konstruoida kuvaus f : {1, 2, 3, 4 {1, 2, 3, 4, 5, 6 on tasan 6 4 = b) Joukoissa A ja f(a) on molemmissa 4 alkiota. Kun konstruoidaan bijektio g : A f(a) arvo g(1) voidaan valita vapaasti joukosta f(a) jolloin on 4 mahdollista valintaa. Seuraava arvo g(2) voidaan valita jo ainoastaan jäljellä olevista alkiosta eli joukosta f(a) \ {g(1), koska g:n täytyy olla injektio. Toisin sanoen tässä vaiheessa mahdollisia vaihtoehtoja on 3. Samalla tavalla nähdään, että g(3) voidaan valita 2:sta luvusta, sen jälkeen jäljellä on tasan yksi vaihtoehto arvolle g(4). Näin saadaan injektio g ja koska f(a):n puoleella ei jää lukuja, sen on myös pakko olla surjektio eli siitä tulee bijektio. Näin ollen erilaisia bijektiota g : A f(a) on = 4! = 24.

4 4 c) Olkoon f : {1, 2, 3, 4 {1, 2, 3, 4, 5, 6 määritelty kaavalla f(x) = x + 1, x {1, 2, 3, 4. Tällöin f on injektio, sillä jos x + 1 = f(x) = f(y) = y + 1, niin vähentämällä 1 molemmista puoleesta saadaan x = y. Pätee f(a) = {2, 3, 4, 5. Kaikki 24 bijektiota {1, 2, 3, 4 {2, 3, 4, 5 on lueteltu alla. Merkintä (a, b, c, d) siis tarkoittaa sellaista kuvausta jolle f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d. (2, 3, 4, 5), (2, 3, 5, 4), (2, 4, 3, 5), (2, 4, 5, 3), (2, 5, 3, 4), (2, 5, 4, 3), (3, 2, 4, 5), (3, 2, 5, 4), (3, 4, 2, 5), (3, 4, 5, 2), (3, 5, 2, 4), (3, 5, 4, 2), (4, 2, 3, 5), (4, 2, 5, 3), (4, 3, 2, 5), (4, 3, 5, 2), (4, 5, 2, 3), (4, 5, 3, 2), (5, 2, 3, 4), (5, 2, 4, 3), (5, 3, 2, 4), (5, 3, 4, 2), (5, 4, 2, 3), (5, 4, 3, 2). 6. Jokerittomassa korttipakassa on 52 korttia. (a) Kuinka monessa eri järjestyksessä kortit voivat olla sekoituksen jälkeen?

5 (b) Asetetaan sekoitetun pakan kortit 13 pinoon, ensimmäiseen pinoon kakkoset, toiseen pinoon kolmoset,... ja viimeiseen pinoon ässät. Kerätään tämän jälkeen korttipakka niin, että ensin tulevat kakkoset, sitten kolmoset,... ja viimeisenä ässät. Kuinka monessa eri järjestyksessä kortit voivat nyt olla? Ratkaisu: a) Eri järjestykseen määrä on 52! b)nyt järjestykset voivat erota vain eri pinojen sisällä. Jokaisessa pinossa on 4 korttia joten sen sisällä erilaisia järjestyksiä on 4! = 24. Näitä toisistaan riippumattomia valintoja tehdään jokaisessa pinossa ja pinoja on 13, joten lopputulos on ,