Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

Transkriptio

1 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

2 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen algoritmi 2-kantaisen algoritmin tietokonetoteutus Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

3 2 Diskreetti Fourier-muunnos Diskreetti Fourier-muunnos (vaativuus) ˆf k = 1 N 1 f j w kj, k = 0, 1,..., N 1. N j=0 N + 1 kertolaskua, N 1 yhteenlaskua (seka w kj :n laskemiset) Pisteitä N kappaletta N 2 + N kertolaskua, N 2 N yhteenlaskua Diskreetin Fourier-muunnoksen laskennallinen vaativuus määritelmästä laskettuna on O(N 2 ) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

4 Esimerkki Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki 2.1 Reaaliarvoinen signaali f (t) = sin(2π20t) + sin(2π35t) + sin(2π50t) Näytteenottoväli δt = Näytteiden lukumäärä N = 256 Näytteet f j = f (t j ) ajanhetkillä t j = jδt, j = 0, 1,..., N 1 Mutta: mitattu signaali sisältää aina myös kohinaa Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

5 Esimerkki jatkuu 2 Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki AIKA (MS) Kuva: Alkuperäinen signaali Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

6 Esimerkki jatkuu 2 Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki AIKA (MS) Kuva: Häiriöinen signaali Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

7 2 Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki 2.1 Esimerkki jatkuu Koetetaan päästä kohinasta eroon Fourier-muunnoksen avulla: Pisteistön f j diskreetti Fourier-muunnos ˆf k Signaalin diskreetti tehospektri ˆf k 2 /N Esitetään tehospektri taajuuden ϕ k = k/(nδt) funktiona Suuret piikit alkuperäisen signaalin taajuuksia Pienet piikit kohinan aiheuttamia Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

8 Esimerkki jatkuu 2 Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki TAAJUUS (HZ) Kuva: Tehospektri Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

9 2 Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki 2.1 Esimerkki jatkuu Kohinan suodatus: Poistetaan kohinaa vastaavat taajuudet Asetetaan pisteistöstä ˆf k nolliksi ne komponentit, jotka vastaavat yli 100 Hz taajuuksia Suodatetun pisteistön ˆf k diskreetti Fourier-käänteismuunnos f j Verrataan alkuperäiseen signaaliin Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

10 Esimerkki jatkuu 2 Diskreetti Fourier-muunnos Esimerkki AIKA (MS) Kuva: Suodatettu signaali Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

11 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.1 Johdanto Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetin Fourier-muunnoksen laskeminen määritelmästä O(N 2 ) nopeilla Fourier-muunnoksilla O(N log N) N N 2 N log N Fast Fourier Transforms, FFT Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

12 Yleinen algoritmi 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Diskreetti Fourier-muunnos Olkoon N = N 1 N 2 ˆf k = 1 N 1 f j w kj N, w N = e i2π/n N j=0 Määritellään j ja k uudelleen missä j 1, k 1 = 0, 1,..., N 1 1 ja j 2, k 2 = 0, 1,..., N 2 1 j = N 1 j 2 + j 1, k = N 2 k 1 + k 2 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

13 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Yleinen algoritmi ˆf N2 k 1 +k 2 = 1 N 1 1 N j 1 =0 = 1 N 1 1 N j 1 =0 N 2 1 j 2 =0 N 2 1 j 2 =0 f N1 j 2 +j 1 w (N 2k 1 +k 2 )(N 1 j 2 +j 1 ) N f N1 j 2 +j 1 w N 2N 1 k 1 j 2 N }{{} w N 2k 1 j 1 N }{{} w N 1k 2 j 2 N }{{} w k 2j 1 N w N 1N 2 N = 1 w N 2 N = w N 1 w N 1 N = w N 2 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

14 Yleinen algoritmi 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi kiertokerroin ( ˆf N2 k 1 +k 2 = 1 N 1 1 {}}{ N w k 2j N f N1 j 2 +j 1 w k 2j 2 N1 N2 j 1 =0 j 2 =0 N 2 ) }{{} N 2 :n pisteen diskr. Fourier-muunnos w k 1j 1 N 1 } {{ } N 1 :n pisteen diskr. Fourier-muunnos Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

15 Yleinen algoritmi (1) 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Merkitään g j2 = f N1 j 2 +j 1, j 2 = 0, 1,..., N 2 1 Kullakin j 1 saadaan eri pisteistö g j2 = g j1,j 2 Lasketaan N 2 :n pisteen muunnokset Erikseen kullakin j 1 ĝ k2 = 1 N2 N 2 1 j 2 =0 g j2 w k 2j 2 N 2 N 1 kappaletta N 2 :n pisteen muunnoksia ĝ k2 = ĝ j1,k 2 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

16 Yleinen algoritmi (2) 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Merkitään h j1 = w k 2j 1 N ĝ j1,k 2, j 1 = 0, 1,..., N 1 1 Toisin sanoen kerrotaan pisteistöjen ĝ j1,k 2 alkiot kiertokertoimilla w k 2j 1 N Kullakin k 2 saadaan eri pisteistö h j1 = h k2,j 1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

17 Yleinen algoritmi (3) 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Lasketaan N 1 :n pisteen muunnokset Erikseen kullakin k 2 ĥ k1 = 1 N1 N 1 1 j 1 =0 h j1 w k 1j 1 N 1 N 2 kpl N 1 :n pisteen muunnoksia ĥk 1 = ĥk 2,k 1 ˆf k = ĥ k2,k 1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

18 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Yleinen algoritmi (vaativuus) Muunnos suoraan N:n pisteen muunnoksena: N 2 + N = N 1 N 2 (N 1 N 2 + 1) kertolaskua Edellisellä algoritmilla: N 1 kertaa N 2 :n pisteen muunnos kerrotaan N 1 N 2 kertaa kiertokertoimilla N 2 kertaa N 1 :n pisteen muunnos N 1 (N2 2 + N 2 ) + N 1 N 2 + N 2 (N1 2 + N 1 ) = N 1 N 2 (N 1 + N 2 + 3) < N 1 N 2 (N 1 N 2 + 1) kertolaskua Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

19 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Yleinen algoritmi Laskut voidaan tehdä myös toisessa järjestyksessä: kerrotaan N 2 N 1 kertaa kiertokertoimilla N 2 kertaa N 1 :n pisteen muunnos N 1 kertaa N 2 :n pisteen muunnos (Ei käsitellä) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

20 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.2 Yleinen algoritmi Yleinen algoritmi (rekursio) Olkoot luvut N 1 ja N 2 muotoa N 1 = N 1,1 N 1,2 ja N 2 = N 2,1 N 2,2 Sovelletaan edellistä algoritmia N 1 :n ja N 2 :n pisteen muunnosten laskemiseen FFT rekursiivisesti N = 2 n Cooley Tukey-algoritmit Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

21 Kaksikantainen algoritmi 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi ˆf N2 k 1 +k 2 = 1 N1 N 1 1 j 1 =0 Olkoon N = 2 n jollain n w k 2j 1 N ( N N2 j 2 =0 Asetetaan N 1 = 2 ja N 2 = N/2 = 2 n 1 = M Siis pisteistö f j jaetaan kahteen osaan: Parilliset f 2j ja parittomat f 2j+1 omiin ryhmiinsä ) f N1 j 2 +j 1 w k 2j 2 N 2 w k 1j 1 N 1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

22 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Kaksikantainen algoritmi ˆf Mk1 +k 2 = j 1 =0 w k 2j 1 N ( M 1 1 M j 2 =0 f 2j2 +j 1 w k 2j 2 M ) w k 1j 1 2 missä k 1 = 0, 1 ja k 2 = 0, 1,..., M 1. w k 1 2 = { e 0 = 1, k 1 = 0 e iπ = 1, k 1 = 1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

23 Kaksikantainen algoritmi 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Tapaus k 1 = 0: [( ) ˆf k = 1 M 1 1 f 2j w kj M 2 M j=0 + w k N ( M 1 1 M j=0 f 2j+1 w kj M )] Tapaus k 1 = 1: [( ) ˆf M+k = 1 M 1 1 f 2j w kj M 2 M j=0 w k N ( M 1 1 M j=0 f 2j+1 w kj M molemmissa k = 0, 1,..., M 1 (Merkitty k = k 2 ja j = j 2 ) )] Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

24 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Kaksikantainen algoritmi Aikaharvennus (decimation in time): Kaksi N/2:n pisteen muunnosta Kerrotaan N/2 kertaa kiertokertoimilla Suoritetaan N yhteenlaskua Kerrotaan N kertaa vakiolla 1/ 2 pisteiden f j skaalaus Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

25 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Kaksikantainen algoritmi Sama molemmille N/2:n pisteen muunnoksille: Neljä N/4:n pisteen muunnosta Kerrotaan 2 N/4 = N/2 kertaa kiertokertoimilla Suoritetaan 2 N/2 = N yhteenlaskua Yleisesti rekursiotasolla m: 2 m kpl 2 n m :n pisteen muunnosta N/2 kertolaskua N yhteenlaskua Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

26 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Kaksikantainen algoritmi Viimeisellä tasolla m = n = log 2 N : N kpl yhden pisteen muunnoksia (triviaaleja) N/2 kertolaskua N yhteenlaskua Yhteensä: (N/2) log 2 N kertolaskua N log 2 N yhteenlaskua (Lisäksi skaalaukset: N kertolaskua) O(N log N) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

27 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Kaksikantainen algoritmi Toinen muoto: Asetetaan N 1 = N/2 = 2 n 1 = M ja N 2 = 2 Siis pisteistö f j jaetaan kahteen osaan: Alkuosa f j ja loppuosa f M+j omiin ryhmiinsä... Taajuusharvennus (decimation in frequency):... Suoritetaan N yhteenlaskua Kerrotaan N/2 kertaa kiertokertoimilla Kaksi N/2:n pisteen muunnosta Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

28 Kaksikantainen algoritmi 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.3 Kaksikantainen algoritmi Triviaalit kertolaskut: Kerrotaan vakiolla +1, 1, +i, i Ensimmäisellä tasolla kiertokertoimet ovat w k 2 = e kiπ = ( 1) k Toisella tasolla kiertokertoimet ovat w k 4 = e kiπ/2 = ( i) k Jne. Yhteensä triviaaleja kertolaskuja 3N/2 2 kpl Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

29 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.4 Korkeampikantaiset algoritmit Korkeampikantaiset algoritmit Nelikantainen algoritmi: Oletetaan, että N = 4 n/2 parillisella n Asetetaan N 1 = 4 ja N 2 = N/4 = 4 n/2 1 Vastaavasti 8- ja 16-kantaiset algoritmit Vaihtuvakantaiset algoritmit: Esimerkiksi, jos N = 32 = Kaksi askelta nelikantaisella, yksi askel kaksikantaisella Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

30 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Rekursiotaso m = 0, 1,..., n (n = log 2 N) Taso m = 0: Alustusaskel, jolla suoritetaan triviaalit yhden pisteen muunnokset ˆf 0 = f 0 Taso m = n: Lopetustaso, jolla muodostetaan lopullinen muunnos ˆf k, k = 0, 1,..., N 1 Kullakin tasolla: N 2 m ja M 2 m 1 w k N w k 2 m = e ki2π/2m = w kn/2m (missä w on alkuperäinen w = w N ) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

31 Tietokonetoteutus 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tasolla m laskettavat osamuunnokset missä Skaalaus j = 0, 1,..., 2 n m 1 osamuunnoksen järjestysnumero ˆf [m] j,k, k = 0, 1,..., 2 m 1 pisteen järjestysnumero muunnoksessa Joko: Aluksi f j skaalataan vakiolla 1/ N Tai: Lopuksi ˆf k skaalataan vakiolla 1/ N Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

32 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus (algoritmi) 1 (Alustus) Asetetaan ˆf [0] j,0 = f j, missä j = 0, 1,..., N 1. 2 Arvoilla m = 1, 2,..., n lasketaan ˆf [m] j,k = ˆf [m 1] j,k [m 1] + w kn/2mˆf 2 n m +j,k ˆf [m] [m 1] = ˆf j,2 m 1 +k j,k w kn/2mˆf [m 1] 2 n m +j,k missä j = 0, 1,..., 2 n m 1 ja k = 0, 1,..., 2 m (Lopetus) Asetetaan ˆf k = [n] ˆf 0,k, missä k = 0, 1,..., N 1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

33 Tietokonetoteutus 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tasolla m: Lasketaan N kpl pisteitä ˆf [m] j,k Käytetään vain edellisen tason m 1 pisteitä Riittää yksi työtilavektori: Lasketaan työtilavektoriin ˆf [m] j,k Siirretään ne varsinaiseen tallennusvektoriin vanhojen tilalle ˆf [m 1] j,k Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

34 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Tallennus vektoriin kuvauksen l avulla: ˆf [m] j,k tallennetaan indeksillä l(m, j, k) Kuvaukselta l vaaditaan: l(m, j, k) käy läpi {0, 1,..., N 1}, kun j = 0, 1,..., 2 n m 1 ja k = 0, 1,..., 2 m 1 Lisäksi olisi hyvä, jos Alkupisteistö f j oikeassa järjestyksessä l(0, j, 0) = j, kaikilla j = 0, 1,..., N 1 Loppupisteistö ˆf k oikeassa järjestyksessä l(n, 0, k) = k, kaikilla k = 0, 1,..., N 1. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

35 Tietokonetoteutus 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Yksinkertaisin kuvaus, joka toteuttaa edellä mainitut ehdot: l(m, j, k) = j2 m + k Mutta: Tällöin tasolla m tarvitaan välttämättä N:n pituinen työtilavektori Kuvaus l voidaan määritellä siten, että tasolla m tarvitaan työtilaa vain kahdelle pisteelle: Lasketaan pisteet ˆf [m] j,k ja ˆf [m] j,2 m 1 +k Sijoitetaan arvot heti vanhojen pisteiden ˆf [m 1] j,k ja ˆf [m 1] 2 n m +j,k tilalle Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

36 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Halutaan siis, että l(m, j, k) = l(m 1, j, k), l(m, j, 2 m 1 + k) = l(m 1, 2 n m + j, k) kun j = 0, 1,..., 2 n m 1 ja k = 0, 1,..., 2 m 1 1 Mutta: Tällöin molemmat ehdot l(0, j, 0) = j, kaikilla j = 0, 1,..., N 1 l(n, 0, k) = k, kaikilla k = 0, 1,..., N 1 eivät voi olla voimassa samanaikaisesti Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

37 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Valitaan: Alkupisteistö f j oikeassa järjestyksessä l(0, j, 0) = j, kaikilla j = 0, 1,..., N 1 Merkitään: k = m 1 i=0 k i2 i, missä k i {0, 1} (k i :t ovat indeksin k bitit sen binääriesityksessä) Määritellään: b m (k) = m 1 i=0 k m i 12 i (b m kääntää indeksin k bitit päinvastaiseen järjestykseen) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

38 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Tämä oli siis, mitä halutaan: l(m, j, k) = l(m 1, j, k), l(m, j, 2 m 1 + k) = l(m 1, 2 n m + j, k) kun j = 0, 1,..., 2 n m 1 ja k = 0, 1,..., 2 m 1 1 Yllä oleva saadaan nyt muotoon l(m, j, k) = l(m 1, j + k m 1 2 n m, m 2 i=0 k i2 i ) missä j = 0, 1,..., 2 n m 1 ja k = 0, 1,..., 2 m 1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

39 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Käytetään tätä rekursiivisesti, jolloin saadaan l(m, j, k) = l(m 1, j + k m 1 2 n m, m 2 i=0 k i2 i ) = l(m 2, j + k m 1 2 n m + k m 2 2 n m+1, m 3 i=0 k i2 i ) = = l(0, j + k m 1 2 n m + + k 0 2 n 1, 0) = l(0, j + 2 n m m 1 i=0 k m i 12 i, 0) = l(0, j + 2 n m b m (k), 0) = j + 2 n m b m (k) [koska l(0, j, 0) = j j] Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

40 Tietokonetoteutus 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Edellä saatiin mistä seuraa l(m, j, k) = j + 2 n m b m (k) l(n, 0, k) = b n (k) kaikilla k = 0, 1,..., N 1 Jos alkupisteistö f j on oikeassa järjestyksessä, loppupisteistö ˆf k saadaan bittikäänteisessä järjestyksessä (bit-reversed order) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

41 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus Edellä saatiin mistä saadaan l(m, j, k) = j + 2 n m b m (k) l(m 1, j, k) = j + 2 n m+1 b m 1 (k) l(m 1, 2 n m + j, k) = 2 n m + j + 2 n m+1 b m 1 (k) Lisäksi: algoritmissa k voidaan korvata b m 1 (k):lla (samantekevää, missä järjestyksessä indeksit käydään läpi) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

42 Algoritmi (versio 1) 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta do j = 0, N 1 A(j) := f j / N end do do m = 1, n do k = 0, 2 m 1 1 α := w b m 1(k)N/2 m do j = 0, 2 n m 1 u := A(j + 2 n m+1 k) v := αa(2 n m + j + 2 n m+1 k) A(j + 2 n m+1 k) := u + v A(2 n m + j + 2 n m+1 k) := u v end do end do end do do k = 0, N 1 ˆf k := A ( b n (k) ) end do Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

43 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Tietokonetoteutus (toinen muoto) Valitaan: Loppupisteistö ˆf k oikeassa järjestyksessä l(n, 0, k) = k kaikilla k = 0, 1,..., N 1... Saadaan ja erityisesti l(m 1, j, k) = k + 2 m 1 b n m+1 (j) l(0, j, 0) = b n (j) j = 0, 1,..., N 1 Jos alkupisteistö f j on bittikäänteisessä järjestyksessä, loppupisteistö ˆf k saadaan oikeassa järjestyksessä Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

44 Algoritmi (versio 2) 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta do j = 0, N 1 A ( b n (j) ) := f j end do do m = 1, n do k = 0, 2 m 1 1 α := w kn/2m do j = 0, 2 n m 1 u := A(k + 2 m j) v := αa(2 m 1 + k + 2 m j) A(k + 2 m j) := u + v A(2 m 1 + k + 2 m j) := u v end do end do end do do k = 0, N 1 ˆf k := A(k)/ N end do Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

45 3 Nopeat Fourier-muunnokset 3.5 Tietokonetoteutuksesta Algoritmit Versio 1: Kiertokerrointa laskettaessa tehdään bitinkääntö Versio 2: Rekursiosilmukassa ei bitinkääntöä Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

46 Tenttitärpit Tenttitärpit Tenttikysymysten aiheet tullaan suurella todennäköisyydellä poimimaan seuraavasta listasta. Kysymysten tarkka sanamuoto ei kuitenkaan välttämättä ole juuri listan mukainen ja tehtävissä esiintyvät kertoimet, vakiot, funktiot jne tulevat myös muuttumaan. Kohtuutonta laskentaa tai kaavamonstereiden muistamista tentissä ei vaadita. Tentissä on 5 tehtävää (6 pist/teht), joihin jokaiseen vastataan. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

47 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 1 Selitä lyhyesti - hyvin/huonosti asetettu matemaattinen ongelma - matemaattisen ongelman häiriöalttius - numeerinen stabiilisuus Tulee ymmärtää ja osata käyttää seuraavia: Absoluuttinen ja suhteellinen virhe, oikeat desimaalit ja merkitsevät numerot Demo 1.1 (num. epästab. lausekkeita, muuta stab. muotoon) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

48 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 2 Muotoile kolme eri numeerista menetelmää yhtälön 2x cos(x) = 0 ratkaisemiseksi. Miten lasketaan annetun luvun kuutiojuuri Newtonin menetelmää käyttäen? Polynomit ja Hornerin menetelmä (perusideat) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

49 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 3 Selitä, mitä tarkoittaa matriisin häiriöalttius (ehtoluku). Kerro periaate, miten LU tai Choleskyn hajotelmaa käytetään lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisessa. LU- ja Choleskyn hajotelman johtaminen yhtälöstä A = LU tai L = L T Miten suorat ja iteratiiviset menetelmät eroavat toisistaan? Demo 2.2, 2.3, 2.5 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

50 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 4 Ominaisarvot ja -vektorit (mitä ne on, perusideat) Selitä lyhyesti potenssiinkorotusmenetelmä tehtävälle Ax = λx QR-menetelmän perusidea Demo 4.1 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

51 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 5 Lagrangen ja Newtonin interpolaatiopolynomien muodostaminen. Demo 4.3, 4.4. Selitä kuutiosplinin perusominaisuudet. Demo 5.1. Pienimmän neliön ja pienimmän neliösumman approksimointi (perusideat). Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

52 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 6 Yksinkertaisten integrointikaavojen soveltaminen (esim. puolisuunnikassääntö, Simpsonin sääntö, Gauss-Legendre) Selitä, mitä tarkoitetaan automaattisella tai adaptiivisella integroinnilla. Numeerisen derivoinnin peruskaavojen soveltaminen (etenevä-, takeneva- ja keskeisdifferenssi, Richardsonin ekstrapolaatio) Selitä numeerisen derivoinnin mahdollisia ongelmia Demo 6.1, 6.2, 6.3, 6.6, 7.2 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

53 Tenttitärpit Tenttitärpit Luku 7 Selitä lyhyesti - eksplisiittinen vs. implisiittinen menetelmä - yksiaskel vs. moniaskelmenetelmät - ennustus-korjaus-menetelmän perusidea Eulerin menetelmän soveltaminen alkuarvotehtävän ratkaisemiseen Demo 7.3, 7.5 Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

54 Tenttitärpit Tenttitärpit FFT Diskreetti Fourier-muunnos Lineaarisuus ja normin säilyminen (Lauseiden 2.2 ja 2.3 tod) Nopeat Fourier-muunnokset, yleinen algoritmi (perusidea) Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

55 Tenttitärpit Onnea tenttiin! Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55