Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Transkriptio

1 säilyy 1 / 17

2 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko, ja funktion kuvaaja {(x, y) A B y = f(x)} voidaan piirtää. Tällä kurssilla joukot A ja B ovat välejä. Tavallisimpien funktioiden kuvaaja on tällöin jonkinlainen käyrä tasossa. 2 / 17

3 säilyy Kaava f(x) = 1 1 x 2 määrittelee funktion f : ( 1, 1) R. Alla sen kuvaaja. 5 4 y x 3 / 17

4 säilyy f : A B on kasvava välillä A, jos x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) aina, kun x 1, x 2 A. Jos tässä korvataan merkillä < saadaan aidosti kasvava funktio. Jos taas x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) aina, kun x 1, x 2 A puhutaan välillä A stä tai ilman =-vaihtoehtoa aidosti stä funktiosta. 4 / 17

5 säilyy Tehtävä: Osoita, että funktio f(x) = x 3 on aidosti kasvava koko R:ssä. Todistus: Oletetaan, että x 1 < x 2. Väitetään, että tällöin x 3 1 < x3 2. Jos x 1 < 0 < x 2, niin myös x 3 1 < 0 < x3 2, joten riittää käsitellä tapaus, missä x 1 ja x 2 samanmerkkisiä. Jos molemmat > 0, niin x 3 1 < x 2 1x 2 < x 1 x 2 2 < x 3 2, sillä kukin vaihe saadaan kertomalla x 1 < x 2 puolittain positiivisella luvulla. Tapaus, jossa molemmat luvut ovat < 0 käsitellään samoin. 5 / 17

6 säilyy Tehtävä: Osoita, että funktio f(x) = x 2 ei ole eikä kasvava koko R:ssä. Ratkaisu: Koska 1 < 2 ja f(1) = 1 < 4 = f(2), niin f ei ole (muuttujan arvo suureni, mutta funktion arvo ei pienentynyt tai pysynyt ennallaan). Koska 2 < 1 ja f( 2) = 4 > 1 = f( 1), niin f ei ole kasvava (muuttuja arvo suureni, mutta funktion arvo ei suurentunut tai pysynyt ennallaan). 6 / 17

7 säilyy säilyy Tehtävä: Oletetaan, että f on kaikkialla aidosti kasvava. Selitä, miksi tällöin x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Todistus: Suunta " = "on aidon kasvavuuden määritelmä, joten riittää perustella suunta " ". Oletetaan siis, että f(x 1 ) < f(x 2 ). Tällöin on oltava joko x 1 = x 2, x 1 > x 2 tai x 1 < x 2. Jos x 1 = x 2, niin tällöin f(x 1 ) = f(x 2 ), joten se vaihtoehto on suljettu pois, koska se on ristiriidassa oletuksen kanssa. Jos x 1 > x 2, niin tällöin x 2 < x 1, ja funktion f aidon kasvavuuden nojalla edelleen f(x 2 ) < f(x 1 ). Tämäkin on ristiriidassa oletuksen kanssa, ja sekin vaihtoehto voidaan sulkea pois. Jäljelle jää vain toivottu vaihtoehto x 1 < x 2. 7 / 17

8 säilyy Samoin nähdään, että jos f on kaikkialla aidosti, niin x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Nämä havainnot voidaan kiteyttää muodossa. Soveltamalla epäyhtälön molempiin puoliin aidosti kasvavaa funktiota saadaan sen kanssa ekvivalentti epäyhtälö ( säilyy). Jos taas sovelletaan epäyhtälöön aidosti ä funktiota saadaan sen kanssa ekvivalentti epäyhtälö, kunhan samalla käännetään < tai >-merkin suunta ( ). Tätä voidaan joskus hyödyntää epäyhtälön käsittelyssä. 8 / 17

9 säilyy Ratkaise epäyhtälö x 3 < (x 2 2) 3. Ratkaisu: Tiedämme, että f(x) = x 3 on kaikkialla aidosti kasvava. Koska annettu e.y. voidaan kirjoittaa muodossa f(x) < f(x 2 2) se on siis ekvivalentti epäyhtälön x < x 2 2 kanssa, ja edelleen ekvivalentti epäyhtälön x 2 x 2 > 0 kanssa. Tässä x 2 x 2 = (x 2)(x + 1), joten merkkitarkastelun avulla näemme, että alkuperäinen epäyhtälö on voimassa silloin ja vain silloin, kun x < 1 tai x > 2. 9 / 17

10 säilyy Oletetaan, että f ja g ovat kaikkialla aidosti kasvavia. Todista, että tällöin myös yhdistetty kuvaus f g on kaikkialla aidosti kasvava. Todistus. Olkoot x 1 ja x 2 mielivaltaisia sellaisia lukuja, että x 1 < x 2. Koska g on aidosti kasvava, tästä seuraa, että g(x 1 ) < g(x 2 ). Koska f on aidosti kasvava, sen soveltaminen tähän epäyhtälöön antaa f(g(x 1 )) < f(g(x 2 )). Siis (f g)(x 1 ) < (f g)(x 2 ). Tämä piti paikkansa kaikille x 1, x 2, joten väite on todistettu. 10 / 17

11 säilyy Oletetaan, että f ja g ovat kaikkialla aidosti kasvavia. Todista, että tällöin myös summafunktio f(x) + g(x), on kaikkialla aidosti kasvava. Todistus. Olkoot x 1 ja x 2 mielivaltaisia sellaisia lukuja, että x 1 < x 2. Koska g on aidosti kasvava, niin g(x 1 ) < g(x 2 ). (1) Koska myös f on aidosti kasvava, niin f(x 1 ) < f(x 2 ). (2) Lisäämällä epäyhtälöön (1) puolittain f(x 1 ) ja epäyhtälöön (2) puolittain g(x 2 ) saadaan ketju f(x 1 ) + g(x 1 ) < f(x 1 ) + g(x 2 ) < f(x 2 ) + g(x 2 ). Näin ollen f(x 1 ) + g(x 1 ) < f(x 2 ) + g(x 2 ). Tämä piti paikkansa kaikille x 1, x 2, joten väite on todistettu. 11 / 17

12 Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Esimerkki 4.G Esimerkki 4.H 12 / 17

13 Potenssifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Esimerkki 4.G Esimerkki 4.H f(x) = x n, x R, n N, on kaikkialla aidosti kasvava, jos n on pariton. Jos n on parillinen, se on aidosti kasvava välillä [0, ) ja aidosti välillä (, 0]. Alla kuvaajat, kun n = 3 ja n = 4. y y x x / 17

14 Eksponenttifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Esimerkki 4.G Esimerkki 4.H a > 0, a 1, f(x) = a x, f : R R +. Kaikkialla aidosti kasvava, jos a > 1 ja kaikkialla aidosti, jos 0 < a < 1. Alla kuvaajat, kun a = 2 ja a = 1/2. 8 y y x x 14 / 17

15 Logaritmifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Esimerkki 4.G Esimerkki 4.H a > 0, a 1, f(x) = log a x, f : R + R. Aidosti kasvava välillä (0, ), jos a > 1 ja aidosti, jos 0 < a < 1. Alla kuvaajat, kun a = 2 ja a = 1/2. 3 y x / 17

16 Esimerkki 4.G Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Esimerkki 4.G Esimerkki 4.H Tehtävä: Ratkaise yhtälö 2 2x 1 = 8 x. Ratkaisu: Koska 8 = 2 3, niin 8 x = (2 3 ) x = 2 3x. Edelleen koska tiedämme (uskomme), että funktio f(x) = 2 x on aidosti kasvava, siis injektio. Näin ollen yhtälö f(2x 1) = 2 2x 1 = 2 3x = f(3x) on ekvivalentti yhtälön 2x 1 = 3x kanssa. Tavalliseen tapaan nähdään, että tämän yhtälön ainoa ratkaisu on x = / 17

17 Esimerkki 4.H Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Esimerkki 4.G Esimerkki 4.H Tehtävä: Todista potenssiopin sääntöjen avulla logaritmeja koskeva tulos log a (x α ) = α log a x. Ratkaisu: Merkitään y = log a x, jolloin väiteyhtälön oikea puoli on αy. Logaritmin määritelmän perusteella x = a y. Korotetaan tämä yhtälö puolittain potenssiin α. Saadaan sen seurauksena yhtälö x α = (a y ) α = a yα. Tämä yhtälö ilmaisee, että luvun x α a-kantainen logaritmi on juurikin yα. 17 / 17