Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista
|
|
- Kristiina Uotila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 March 25, 21 versio Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on A 2 + A n cos( nπx L ) A n = 2 L B n = 2 L f(x) cos( nπx L )dx. B n sin( nπx L ) f(x) sin( nπx L )dx. { x, x L/2 L x, L/2 x L 4L (nπ) 2 sin nπ 2 sin(nπx L ). Sini- ja kosinisarjat tulkittavissa erikoistapauksina täydestä (reaalisesta) Fouriersarjasta: f paloittain jatkuva funktio [, L]. jossa ja A 2 + A n cos( nπx L ) + B n sin( nπx L ) A n = 1 L B n = 1 L f(x) cos( nπx L )dx. f(x) sin( nπx L )dx. Jos f parillinen, saadaan kosinisarja ja B n =. Jos pariton, sinisarja ja A n =. Tulkinta ominaisfunktioiden kautta: jos M on operaattori u u avaruudessa {u C 2 () u(x + 2L) = u(x) x } niin M:n ominaisfunktiot ovat 1, cos( nπx) L ja sin( nπx ), n N. Ne muodostavat ortogonaalin kannan ja sarja on f:n esitys tässä L kannassa.
2 March 25, 21 versio Kompleksinen Fourier-sarja f : [, L] C paloittain jatkuva. Sisätulo f,g := f(x)ḡ(x)dx Eo. M-operaattorin C-ominaisfunktiot ϕ n (x) = exp(inπx/l) muodostavat taas ortogonaalin kannan. c n exp(inπx/l) jossa n= c n = f,ϕ n ϕ n,ϕ n = 1 f(x) exp( inπx/l)dx. 2L Huom: kun L = 1/2 ja f jaksollinen, niin c n = ˆf(n) kuten kurssin alkuosassa Fourierkertoimia merkittiin. Kun f reaalinen, c n = c n ja c ±n = 1 2 (A n ib n ) c n exp(inπx/l) + c n exp( inπx/l) = A n cos( nπx L ) + B n sin( nπx L ) eli kompleksinen sarja palautuu reaaliseen. Konvergenssituloksia Olkoon s N (x) jono funktioita [a,b] C. 3 suppenemiskäsitettä tälle: 1. Pisteittäin (funktioon s(x)) 2. Tasaisesti lim s N(x) = s(x) N lim max s N(x) s(x) = N a x b 3. L 2 -mielessä (tai neliöllisesti tai mean square ) b lim N a s N (x) s(x) 2 dx = Esimerkki 2. s N (x) = x N välillä [, 1] suppenee pisteittäin ja L 2 muttei tasaisesti. Esimerkki 3. Välillä x [, 1], x = s N (x) = N, < x < 1/N, 1/N < x 1 suppenee pisteittäin muttei L 2 eikä tasaisesti.
3 March 25, 21 versio Merkitään jatkossa f:n N-osasummaa s N (x) = N n= N c n exp(inπx/l). Määritelmä: f on paloittain jatkuva välillä [a,b], kun f on jatkuva x [a,b] paitsi äärellisen monessa pisteessä. Lisäksi, epäjatkuvuuspisteessä c on olemassa vasemman- ja oikeanpuoliset raja-arvot: f(c ) := lim xրc f(x) f(c + ) := lim xցc f(x) sekä päätepisteissä on olemassa toispuoliset raja-arvot f(a + ) ja f(b ). Lause 1. Olkoon f paloittain jatkuva välillä [, L]. Tällöin sen Fourier-sarja suppenee (kohti f) L 2 -mielessä: ja s N (x) f(x) 2 dx kun N Jälkimmäinen on Parsevalin yhtälö. f(x) 2 dx = 2L n= c n 2 L 2 -katkaisuvirhe määritellään σn 2 := 1 s N (x) f(x) 2 dx 2L ja voidaan ilmaista Fourier-kertoimien avulla σ 2 N = n >N c n 2. Kuinka nopeasti σn 2 c n = O(1/n 2 ) niin kun N? Vertaa epäoleelliseen integraaliin. Jos esim. σ 2 N C (1/n 2 ) 2 C N+1 N 1 x 4dx = O(N 3 ). Jos suureesta a(n) tunnetaan vain muutamia arvoja eli datapisteitä {N i, a(n i )} K i=1 niin näistä voidaan visuaalisesti päätellä suppenemisnopeus: jos a(n) = C N r (C,r vakioita) niin log a = log C + r log N eli y = C + rx joka on suoran yhtälö koordinaateissa y = log a, x = log N. Siis piirrettäessä data {N i, a(n i )} K i=1 loglog-asteikkoon (Matlabissa loglog(n,a)) syntyy suoran kuvaaja jonka kulmakertoimena on r.
4 March 25, 21 versio Lause 2. Olkoon f jatkuva välillä [, L] ja f() = f(l) (eli f tulkittavissa jaksollisena jatkuvana) ja f paloittain jatkuva. Tällöin Fourier-sarja suppenee tasaisesti: max s N(x) f(x) kun N. x L Seuraavaksi pari (kertaus)lausetta tasaisesta suppenemisesta. Lause 3. Weierstrassin testi tasaiselle suppenemiselle: olkoon funktiot f n (x), n N, välillä [a,b] rajoitettuja f n (x) M n x [a,b] ja lisäksi 1 M n suppenee. Tällöin sarja 1 f n(x) suppenee tasaisesti välillä [a,b]. Meille f n = c n ϕ n. Esimerkin 1 sarjassa 4L (nπ) sin nπ 2 2 sin(nπx L ) vakio/n2 ja 1 1 < joten esimerkin 1 sinisarja suppenee tasaisesti. n 2 Lause 4. Olkoon f n (x) jono jatkuvia funktioita joka suppenee tasaisesti välillä [a,b] funktioon f(x). Tällöin f(x) on jatkuva välillä [a,b]. Huom: meille f n = s n. Seuraus: nyt s N ovat Fourier-sarjan osasummia, äärellinen summa sin/cos funktioista, selvästi jatkuvia. Joten Fourier-sarja voi supeta tasaisesti vain jos f jatkuva. Seuraava lause on edellisten välimaastossa: Lause 5. Olkoon f paloittain jatkuva [, L] sekä derivoituva kaikkialla paitsi ehkä äärellisen monessa pisteessä, ja f paloittain jatkuva. Tällöin Fourier-sarja suppenee pisteittäin niissä x ] L,L[ joissa f jatkuva. Jos f epäjatkuva pisteessä x = c niin sarja suppenee kohti vas. ja oik. puoleisten raja-arvojen keskiarvoa: s N (c) 1 (f(c ) + f(c + )) kun N. 2 Päätepisteissä x = ±L sarja suppenee kohti päätepisteiden keskiarvoa eli Esimerkki 4. s N (±L) 1 (f(l ) + f( + )), N. 2 { 1/2, π x < 1/2, < x π f on reaalinen ja pariton, riittää katsoa sinisarjaa: Fourier-sarja f:lle on siis B n sin(nx), B n = {, n parillinen 2, n pariton nπ 2 sin 3x sin 5x (sin x ) π 3 5 pisteissä x = ja x = ±π sarja tosiaan suppenee kohti nollaa. Tässä osasummat s N näyttävät pisteen x = ympärillä Gibbsin ilmiön, josta enemmän harjoitustehtävissä.
5 March 25, 21 versio Fourier-muunnos Edellä Fourier-sarjat funktiolle joka määritelty äärellisen välin yli. Nyt koko reaaliakselin yli: olkoon f : C s.e. f(x) kun x ±. Intuitiivisesti: rajoita f välille [,L], ota sille Fourier-sarja ja asetetaan ξ n := nπ/l, fl := ξ f(x)e iξx dx jolloin Fourier-sarja antaa, kun x L, 1 n= f L (ξ n )e iξnx ξ jossa ξ = ξ n+1 ξ n = π/l. Tämä näyttää iemann-summalta jonka soisi lähestyvän integraalia kun ξ. Mutta samaan aikaan L eli toivon mukaan myös f L ˆf joka määritelty ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx ja yo. iemann-summa antanee 1 ˆf(ξ)e iξx dξ Kysymys siitä, milloin nämä vastaavuudet f ˆf f toimivat, on hienovarainen rajaarvoprosessi jota on kurssin alkuviikoilla pohdittu. Huom: kirjallisuudesta riippuen, joskus määritelmiin asetetaan eri kertoimia mutta on aina jossain. Esimerkiksi kurssin alkuosassa käytettiin määritelmänä ˆf(ω) := exp( itω)f(t)dt jolloin f(t) = exp(iωt) ˆf(ω)dω joka on analyysiin erittäin hyvä valinta mutta numeriikkaan hieman epämukavampi. Toinen, usein kirjallisuudessa näkyvä valinta ˆf(ξ) := 1 1 f(x)e iξx dx ˆf(ξ)e iξx dξ jolloin jossa on mukavaa symmetriaa kertoimien välillä. Näitä versioita emme käytä. Esimerkki 5. exp( x ) jonka muunnos ˆf(ξ) = 2 1+ξ 2. Esimerkki 6. g(x) = exp( x 2 /2) jonka muunnos ĝ(ξ) = exp( ξ 2 /2). Esimerkki 7. muunnos ˆf(ξ) = 2 sin ξ ξ = O(1/ξ) kun ξ. {, x > 1 1, x < 1
6 March 25, 21 versio Esimerkki 8. g(x) = {, x > 1 1 x 2, x 1 muunnos ĝ(ξ) = 4( sin ξ ξ cosξ)/ξ 2 = O(1/ξ 2 ) kun ξ. Mitä sileämpi funktio f, sitä nopeammin ˆf(ξ) kun ξ. Esimerkki 9. Olkoon f a (x) := f(ax). Tällöin ˆf a (ξ) = 1 ˆf(ξ/a). Erityisesti Gaussisen a piikin e (ax)2 /2 /2 muunnos on a e (ξ/a)2 tulkinta: kun a > kasvaa, piikki kapenee, sen Fourier-muunnos levenee eli mukaan tulee enemmän korkeita taajuuksia. Lause 6. (Plancherel) ja eli f,g = 1 ˆf,ĝ. Derivaatan Fourier-muunnos: Konvoluutio muunnos Translaatio: muunnos f(x) 2 dx = 1 ˆf(ξ) 2 dξ f(x)g(x)dx = 1 (f g)(x) := Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) f (ξ) = iξ ˆf(ξ) ˆf(ξ)ĝ(ξ)dξ f(x y)g(y)dy f g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ) τ a f(x) := f(x a) τ a f(ξ) = exp( iaξ) ˆf(ξ) Olkoon f : C -jaksollinen funktio. iittää katsoa väliä [, ]. Fourier-sarjan kertoimet välin [, ] yli siis c k = 1 f(x)e ikx dx ja f:lle esitys c k e ikx. k Z Lasketaan approksimatiivisesti c k :t? Toki vain äärellisen monta, N kpl. Kun k iso, c k :n lauseke numeerisella integroinnilla tulee työlääksi koska integroitava oskilloi yhä nopeammin. Idea: sen sijaan etsitään N kpl kertoimia d k s.e. summa N 1 k= d k e ikx
7 March 25, 21 versio yhtyy f:n arvoihin N:ssä pisteessä jotka tasavälein [, ]:llä. Eli interpoloidaan funktiota f. Käsite diskreetti Fourier-muunnos viittaa tämän summan muodostamiseen, tai ekvivalentisti pelkkien d k :tten laskemiseen. Osoittautuu että myös {d k } {c k } tietyssä mielessä. Näytteenottoväli ja -pisteet: Vaaditaan x := /N, x j := j x j =,...,N 1 N 1 k= joka osoittautuu olevan matriisiyhtälö d k e ikj x = f(x j ), j =,...,N 1 Fd = f jossa d := (d,d 1,...,d N 1 ) T, f := (f(x ),f(x 1 ),...,f(x N 1 )) T ja W... W N 1 F = 1 W 2... W 2(N 1)......, W = exp(i/n) = exp(i x) W N 1... W (N 1)(N 1) Lisäksi F 1 = 1 N F joten d = 1 N Ff, d m = 1 N N 1 f(x j ) W mj. Huom: kuten aiemmin Fourier-muunnoksen yhteydessä todettiin kirjallisuudessa esiintyvistä määritelmistä, niin myös DFT:lle voisi käyttää (ja usein käytetäänkin) määritelmää jossa kertoimen 1 tilalla on 1 tai 1 N N. Tällöin käänteismuunnokseen tulee N tai N vastaaviin kohtiin. Pelkistäen, näennäisen erilaisista määritelmistä huolimatta jatkuvassa muunnoksessa on kuitenkin jossain mukana, diskreetissä muunnoksessa N on kuitenkin jossain mukana. Miten kokoelmat {d k } ja {c k } liittyvät toisiinsa? Osoittautuu d k = m Z c k+mn, k =, 1,...,N 1 Erityisesti (olet. N parillinen) d k = c k + m c k+mn, k < N/2 alkupuolisko d N k = c k + m c k+mn, 1 k < N/2 loppupuolisko d N/2 = c N/2 + c N/2 + c N/2+mN, m, m 1 keskimmäinen
8 March 25, 21 versio Tulkinta: d k = c k +korkeampia taajuuksia, paitsi d N/2 joka ei kerro oikein mitään hyödyllistä c N/2 :sta. Sekä: jos N on liian pieni, eli x liian iso, korkeat taajuudet (c k isolla k ) eivät löydy. Jälkimmäinen ilmiö on nimeltään laskostuminen (engl. aliasing). Jos c n < niin d k c k ja d N k c k kun N (eli x ). Suppenemisnopeus on sitä suurempi mitä nopeammin c n suppenee eli mitä sileämpi f on. Esimerkiksi jos c n = O(n 2 ) niin ( ) 1 ( ) 1 c k+mn = O ja c (mn) 2 k+mn = O kun N. N 2 Esimerkki 1. Oletetaan f:lle äärellinen Fourier-sarja m Jos N riittävän suuri s.e. M < N/2 niin M k= M c k e ikx d k = c k ja d N k = c k kun k < M. Eli f saadaan rekonstruoitua näytteenotolla & DFT:llä täydellisesti kun x = /N < P/2 jossa P = /M on f:n korkeimman taajuuden jakso. Jos f:n jaksona 2L eikä niin x := 2L/N ja W, F, F 1, d k lausekkeet kuten ennen. Huom: W = exp(i/n) exp(i x) mutta jälkimmäistä ei tarvita. Fourieresitys muodossa c k e ikπx/l. DFT ja Fourier-muunnos Olet. a > s.e. f(x) kun x [, 2a] jolloin ˆf(ξ) 2a f(x)e ixξ dx. Kun ξ = kπ a =: ξ k niin HS=2ac k. HS:lle N:n pisteen iemann-summa-approksimaatio: x := 2a/N, x j = j x j =,...,N 1 h N (ξ) := N 1 j= f(x j )e ix jξ x ja ˆf(ξ) h N (ξ). h N (ξ) on jaksollinen, jakson pituus / x =: P. Myös P = πn/a joten kun N niin P. Kun ξ fixattu, h N (ξ) lähestyy integraalia kun N. Pyritään kuitenkin approksimoimaan ˆf:n arvoja vain pisteissä ξ = ξ k = kπ a. Osoittautuu h N (ξ k ) = 2ad k, k =, 1,...,N 1.
9 March 25, 21 versio Negatiivisilla ξ? h N jaksollisuudesta h N ( kπ a ) = h N((N k) π a ) = 2ad N k, 1 k N. Valitaan h N :n esitysväliksi Nπ 2a ξ Nπ 2a (välin pituus = h N:n jakso) ja arvot h N (ξ k ), k = N 2,...,,..., N 2 valitaan approksimaatioiksi ˆf(ξ):lle välille Nπ ξ Nπ Nπ. Jos ξ > niin ˆf(ξ):n 2a 2a 2a approksimaatioksi ei sovi jaksollinen h N (ξ). Tämäkin on laskostumista: korkeat taajuudet eivät löydy kun N liian pieni. {h N (ξ k )} N/2 k= N/2 = (2ad N/2, 2ad N/2+1,...,2ad N 1, 2ad, 2ad 1,...,2ad N/2 ) Jos f on kaistarajoitettu eli ξ c s.e. ˆf(ξ) = ξ ξc (analogia edelläolevaan jaksollinen f jolla äärellinen Fourier-sarja) niin riittävän isolla N pätee h N (ξ):n jakson alue ξ Nπ kattaa koko alueen ξ ξ 2a c, jolloin ei synny laskostumista. Tämä tunnetaan myös Nyquist-Shannonin lauseena. Määritellään Nyquistin taajuus ξ := 2ξ c ja näytteenottotaajuus (näytteenottoväli x). Tällöin ehto ξ x Nπ a voidaan ilmaista näytteenottotaajuuden oltava vähintään Nyquistin taajuus. Symmetrinen näytteenottoväli Olet. f keskittynyt välille [ a, a]. Tämä palautuu aikaisempaan (jossa f keskittynyt [, 2a] välille) käyttämällä τ a f siirtoa. Nyt ˆf(ξ) a a f(x)e ixξ dx = e iaξ h N (ξ) jossa h N laskettu τ a f:n arvoista välillä [, 2a] kuten edellä. ˆf(ξ k ) e iaξ k 2ad k, k < N/2 ˆf( ξ k ) e ia( ξ k) 2ad N k, 1 k N/2 jossa ξ k = kπ/a. Yhteenveto symmetriselle näytteenottovälille: 1. Näytteistä f välin [ a,a] yli 2. Laske DFT d := F 1 f 3. swappaa d:n puoliskot: f := (f( a),f( a + x),...,f(a x)) d (loppupuolisko, alkupuolisko) 2a (esim. (d,d 1,...,d 7 ) (d 4,d 5,d 6,d 7, d,d 1,d 2,d 3 ) 2a.) 4. Kerro vaihesiirroilla e iaξ k.
10 March 25, 21 versio Nopea Fourier-muunnos (FFT) DFT:ssä muodostetaan d = F 1 f joka työmäärältään oleellisesti sama kuin operaatio u Fu. F on täysi N N matriisi joten Fu vie O(N 2 ) kertolaskua. FFT:n ideana on käyttää hyväksi F:n erikoista rakennetta ja organisoida laskut uudelleen, jolloin F u viekin vain O(N log N). Sovelluksissa N = 1 6 ei ole harvinaista, tällöin säästö on N 2 = 1 12 tilalle N log N = 1 7 eli 1,-kertainen. Oletetaan N parillinen, N = 2M. Merkitään F N yo. F-matriisia kokoa N N, W N := exp(i/n), (F N ) jk = W jk N ja v := F Nu (u mielivaltainen vektori). Nyt WN 2 = W M, WN M = 1 ja W N N = 1. v j = k parill W jk N u k + W jk N u k k ptn = M 1 l= M 1 = l= M 1 W j2l N u 2l + l= M 1 W jl M u 2l + W j N W j(2l+1) N u 2l+1 l= W jl M u 2l+1 = (F M u even ) j + W j N (F Mu odd ) j kun j =, 1,...,M 1, jossa u even = (u,u 2,...,u N 2 ) ja u odd = (u 1,u 3,...,u N 1 ) ovat M-vektoreita. Kun j = M,...,N 1 niin merkitään j = ν +M jossa ν =, 1,...,M 1 ja palautetaan aiempaan. Ensin: joten W jl M = W νl M ja W j N = W ν N v ν+m = (F M u even ) ν W ν N(F M u odd ) ν kun ν =, 1,...,M 1. Työmäärä? Merkitään F N u:n laskemisen työmäärää r(n). r(n) = r(m) +r(m) + }{{}}{{}}{{} M = 2r(M) + M even odd W j N odd Jos myös M on parillinen, tätä voidaan jatkaa. FFT yleensä tehdäänkin kun N = 2 p, p N. Ylläolevaa proseduuria v:lle jatketaan rekursiivisesti kunnes laskettavana on vain F 2 :lla kertomisia. Voidaan ottaa r(2) = 1 (jossa on itse asiassa vain ( ) ( a b a+b a b) ) jolloin induktiolla saadaan r(n) = 1 N log N. 2 Huom: edellä laskettiin v = Fu vaikka itse asiassa DFT on tässä u = F 1 v = 1 Fv eli N työmäärät ovat toki samat, mukana on kompleksikonjugaatti ja lisäksi N kpl kertolaskuja (1/N). Tämä jälkimmäinen ei vaikuta r(n):n arvioon kun N iso. FFT voidaan tulkita myös matriisihajotelmana. Tapaus N = 4: F 4 = 1 i 1 i i 1 i i = i
11 March 25, 21 versio jossa ensimmäinen operaatio (s.o. oikeanpuoleisin) tekee permutaation u = (u,u 1,u 2,u 3 ) (u,u 2,u 1,u 3 ) = (u even,u odd ) keskimmäinen matriisi on [ F2 ] F 2 ja viimeinen yhdistää F M u even, F M u odd komponentit halutulla tavalla.
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
LisätiedotHarjoitus 1, tehtävä 1
Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotFourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu
Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta Susanna Vähämäki Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205 Tiivistelmä: Susanna Vähämäki, Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta,
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedotu(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;
3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMellin-muunnos ja sen sovelluksia
Mellin-muunnos ja sen sovelluksia LuK-tutkielma Eetu Leinonen 25645 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 28 Sisältö Johdanto 2 Esitiedot 2 2 Mellin-muunnos 3 2. Muunnoksen perusominaisuuksia................
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotNopeat Fourier-muunnokset
opeat Fourier-muunnokset Timo ännikkö 1 Fourier-analyysin alkeita 1.1 Fourier-sarjat Olkoon f koko R:ssä määritelty kuvaus siten, että se on integroituva välillä ] π, π[ ja lisäksi -jaksollinen, ts. fx
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai 3..05. Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi: kurssikerta 12
Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10-13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo -. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x +9, b) log (x) 7, c) x + x 4 =.. Määrää kaikki ne
LisätiedotMat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus
Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte
LisätiedotSarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä
Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
Lisätiedotpuolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt
8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille
Lisätiedot