Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista"

Transkriptio

1 March 25, 21 versio Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on A 2 + A n cos( nπx L ) A n = 2 L B n = 2 L f(x) cos( nπx L )dx. B n sin( nπx L ) f(x) sin( nπx L )dx. { x, x L/2 L x, L/2 x L 4L (nπ) 2 sin nπ 2 sin(nπx L ). Sini- ja kosinisarjat tulkittavissa erikoistapauksina täydestä (reaalisesta) Fouriersarjasta: f paloittain jatkuva funktio [, L]. jossa ja A 2 + A n cos( nπx L ) + B n sin( nπx L ) A n = 1 L B n = 1 L f(x) cos( nπx L )dx. f(x) sin( nπx L )dx. Jos f parillinen, saadaan kosinisarja ja B n =. Jos pariton, sinisarja ja A n =. Tulkinta ominaisfunktioiden kautta: jos M on operaattori u u avaruudessa {u C 2 () u(x + 2L) = u(x) x } niin M:n ominaisfunktiot ovat 1, cos( nπx) L ja sin( nπx ), n N. Ne muodostavat ortogonaalin kannan ja sarja on f:n esitys tässä L kannassa.

2 March 25, 21 versio Kompleksinen Fourier-sarja f : [, L] C paloittain jatkuva. Sisätulo f,g := f(x)ḡ(x)dx Eo. M-operaattorin C-ominaisfunktiot ϕ n (x) = exp(inπx/l) muodostavat taas ortogonaalin kannan. c n exp(inπx/l) jossa n= c n = f,ϕ n ϕ n,ϕ n = 1 f(x) exp( inπx/l)dx. 2L Huom: kun L = 1/2 ja f jaksollinen, niin c n = ˆf(n) kuten kurssin alkuosassa Fourierkertoimia merkittiin. Kun f reaalinen, c n = c n ja c ±n = 1 2 (A n ib n ) c n exp(inπx/l) + c n exp( inπx/l) = A n cos( nπx L ) + B n sin( nπx L ) eli kompleksinen sarja palautuu reaaliseen. Konvergenssituloksia Olkoon s N (x) jono funktioita [a,b] C. 3 suppenemiskäsitettä tälle: 1. Pisteittäin (funktioon s(x)) 2. Tasaisesti lim s N(x) = s(x) N lim max s N(x) s(x) = N a x b 3. L 2 -mielessä (tai neliöllisesti tai mean square ) b lim N a s N (x) s(x) 2 dx = Esimerkki 2. s N (x) = x N välillä [, 1] suppenee pisteittäin ja L 2 muttei tasaisesti. Esimerkki 3. Välillä x [, 1], x = s N (x) = N, < x < 1/N, 1/N < x 1 suppenee pisteittäin muttei L 2 eikä tasaisesti.

3 March 25, 21 versio Merkitään jatkossa f:n N-osasummaa s N (x) = N n= N c n exp(inπx/l). Määritelmä: f on paloittain jatkuva välillä [a,b], kun f on jatkuva x [a,b] paitsi äärellisen monessa pisteessä. Lisäksi, epäjatkuvuuspisteessä c on olemassa vasemman- ja oikeanpuoliset raja-arvot: f(c ) := lim xրc f(x) f(c + ) := lim xցc f(x) sekä päätepisteissä on olemassa toispuoliset raja-arvot f(a + ) ja f(b ). Lause 1. Olkoon f paloittain jatkuva välillä [, L]. Tällöin sen Fourier-sarja suppenee (kohti f) L 2 -mielessä: ja s N (x) f(x) 2 dx kun N Jälkimmäinen on Parsevalin yhtälö. f(x) 2 dx = 2L n= c n 2 L 2 -katkaisuvirhe määritellään σn 2 := 1 s N (x) f(x) 2 dx 2L ja voidaan ilmaista Fourier-kertoimien avulla σ 2 N = n >N c n 2. Kuinka nopeasti σn 2 c n = O(1/n 2 ) niin kun N? Vertaa epäoleelliseen integraaliin. Jos esim. σ 2 N C (1/n 2 ) 2 C N+1 N 1 x 4dx = O(N 3 ). Jos suureesta a(n) tunnetaan vain muutamia arvoja eli datapisteitä {N i, a(n i )} K i=1 niin näistä voidaan visuaalisesti päätellä suppenemisnopeus: jos a(n) = C N r (C,r vakioita) niin log a = log C + r log N eli y = C + rx joka on suoran yhtälö koordinaateissa y = log a, x = log N. Siis piirrettäessä data {N i, a(n i )} K i=1 loglog-asteikkoon (Matlabissa loglog(n,a)) syntyy suoran kuvaaja jonka kulmakertoimena on r.

4 March 25, 21 versio Lause 2. Olkoon f jatkuva välillä [, L] ja f() = f(l) (eli f tulkittavissa jaksollisena jatkuvana) ja f paloittain jatkuva. Tällöin Fourier-sarja suppenee tasaisesti: max s N(x) f(x) kun N. x L Seuraavaksi pari (kertaus)lausetta tasaisesta suppenemisesta. Lause 3. Weierstrassin testi tasaiselle suppenemiselle: olkoon funktiot f n (x), n N, välillä [a,b] rajoitettuja f n (x) M n x [a,b] ja lisäksi 1 M n suppenee. Tällöin sarja 1 f n(x) suppenee tasaisesti välillä [a,b]. Meille f n = c n ϕ n. Esimerkin 1 sarjassa 4L (nπ) sin nπ 2 2 sin(nπx L ) vakio/n2 ja 1 1 < joten esimerkin 1 sinisarja suppenee tasaisesti. n 2 Lause 4. Olkoon f n (x) jono jatkuvia funktioita joka suppenee tasaisesti välillä [a,b] funktioon f(x). Tällöin f(x) on jatkuva välillä [a,b]. Huom: meille f n = s n. Seuraus: nyt s N ovat Fourier-sarjan osasummia, äärellinen summa sin/cos funktioista, selvästi jatkuvia. Joten Fourier-sarja voi supeta tasaisesti vain jos f jatkuva. Seuraava lause on edellisten välimaastossa: Lause 5. Olkoon f paloittain jatkuva [, L] sekä derivoituva kaikkialla paitsi ehkä äärellisen monessa pisteessä, ja f paloittain jatkuva. Tällöin Fourier-sarja suppenee pisteittäin niissä x ] L,L[ joissa f jatkuva. Jos f epäjatkuva pisteessä x = c niin sarja suppenee kohti vas. ja oik. puoleisten raja-arvojen keskiarvoa: s N (c) 1 (f(c ) + f(c + )) kun N. 2 Päätepisteissä x = ±L sarja suppenee kohti päätepisteiden keskiarvoa eli Esimerkki 4. s N (±L) 1 (f(l ) + f( + )), N. 2 { 1/2, π x < 1/2, < x π f on reaalinen ja pariton, riittää katsoa sinisarjaa: Fourier-sarja f:lle on siis B n sin(nx), B n = {, n parillinen 2, n pariton nπ 2 sin 3x sin 5x (sin x ) π 3 5 pisteissä x = ja x = ±π sarja tosiaan suppenee kohti nollaa. Tässä osasummat s N näyttävät pisteen x = ympärillä Gibbsin ilmiön, josta enemmän harjoitustehtävissä.

5 March 25, 21 versio Fourier-muunnos Edellä Fourier-sarjat funktiolle joka määritelty äärellisen välin yli. Nyt koko reaaliakselin yli: olkoon f : C s.e. f(x) kun x ±. Intuitiivisesti: rajoita f välille [,L], ota sille Fourier-sarja ja asetetaan ξ n := nπ/l, fl := ξ f(x)e iξx dx jolloin Fourier-sarja antaa, kun x L, 1 n= f L (ξ n )e iξnx ξ jossa ξ = ξ n+1 ξ n = π/l. Tämä näyttää iemann-summalta jonka soisi lähestyvän integraalia kun ξ. Mutta samaan aikaan L eli toivon mukaan myös f L ˆf joka määritelty ˆf(ξ) = f(x)e iξx dx ja yo. iemann-summa antanee 1 ˆf(ξ)e iξx dξ Kysymys siitä, milloin nämä vastaavuudet f ˆf f toimivat, on hienovarainen rajaarvoprosessi jota on kurssin alkuviikoilla pohdittu. Huom: kirjallisuudesta riippuen, joskus määritelmiin asetetaan eri kertoimia mutta on aina jossain. Esimerkiksi kurssin alkuosassa käytettiin määritelmänä ˆf(ω) := exp( itω)f(t)dt jolloin f(t) = exp(iωt) ˆf(ω)dω joka on analyysiin erittäin hyvä valinta mutta numeriikkaan hieman epämukavampi. Toinen, usein kirjallisuudessa näkyvä valinta ˆf(ξ) := 1 1 f(x)e iξx dx ˆf(ξ)e iξx dξ jolloin jossa on mukavaa symmetriaa kertoimien välillä. Näitä versioita emme käytä. Esimerkki 5. exp( x ) jonka muunnos ˆf(ξ) = 2 1+ξ 2. Esimerkki 6. g(x) = exp( x 2 /2) jonka muunnos ĝ(ξ) = exp( ξ 2 /2). Esimerkki 7. muunnos ˆf(ξ) = 2 sin ξ ξ = O(1/ξ) kun ξ. {, x > 1 1, x < 1

6 March 25, 21 versio Esimerkki 8. g(x) = {, x > 1 1 x 2, x 1 muunnos ĝ(ξ) = 4( sin ξ ξ cosξ)/ξ 2 = O(1/ξ 2 ) kun ξ. Mitä sileämpi funktio f, sitä nopeammin ˆf(ξ) kun ξ. Esimerkki 9. Olkoon f a (x) := f(ax). Tällöin ˆf a (ξ) = 1 ˆf(ξ/a). Erityisesti Gaussisen a piikin e (ax)2 /2 /2 muunnos on a e (ξ/a)2 tulkinta: kun a > kasvaa, piikki kapenee, sen Fourier-muunnos levenee eli mukaan tulee enemmän korkeita taajuuksia. Lause 6. (Plancherel) ja eli f,g = 1 ˆf,ĝ. Derivaatan Fourier-muunnos: Konvoluutio muunnos Translaatio: muunnos f(x) 2 dx = 1 ˆf(ξ) 2 dξ f(x)g(x)dx = 1 (f g)(x) := Diskreetti Fourier-muunnos (DFT) f (ξ) = iξ ˆf(ξ) ˆf(ξ)ĝ(ξ)dξ f(x y)g(y)dy f g(ξ) = ˆf(ξ)ĝ(ξ) τ a f(x) := f(x a) τ a f(ξ) = exp( iaξ) ˆf(ξ) Olkoon f : C -jaksollinen funktio. iittää katsoa väliä [, ]. Fourier-sarjan kertoimet välin [, ] yli siis c k = 1 f(x)e ikx dx ja f:lle esitys c k e ikx. k Z Lasketaan approksimatiivisesti c k :t? Toki vain äärellisen monta, N kpl. Kun k iso, c k :n lauseke numeerisella integroinnilla tulee työlääksi koska integroitava oskilloi yhä nopeammin. Idea: sen sijaan etsitään N kpl kertoimia d k s.e. summa N 1 k= d k e ikx

7 March 25, 21 versio yhtyy f:n arvoihin N:ssä pisteessä jotka tasavälein [, ]:llä. Eli interpoloidaan funktiota f. Käsite diskreetti Fourier-muunnos viittaa tämän summan muodostamiseen, tai ekvivalentisti pelkkien d k :tten laskemiseen. Osoittautuu että myös {d k } {c k } tietyssä mielessä. Näytteenottoväli ja -pisteet: Vaaditaan x := /N, x j := j x j =,...,N 1 N 1 k= joka osoittautuu olevan matriisiyhtälö d k e ikj x = f(x j ), j =,...,N 1 Fd = f jossa d := (d,d 1,...,d N 1 ) T, f := (f(x ),f(x 1 ),...,f(x N 1 )) T ja W... W N 1 F = 1 W 2... W 2(N 1)......, W = exp(i/n) = exp(i x) W N 1... W (N 1)(N 1) Lisäksi F 1 = 1 N F joten d = 1 N Ff, d m = 1 N N 1 f(x j ) W mj. Huom: kuten aiemmin Fourier-muunnoksen yhteydessä todettiin kirjallisuudessa esiintyvistä määritelmistä, niin myös DFT:lle voisi käyttää (ja usein käytetäänkin) määritelmää jossa kertoimen 1 tilalla on 1 tai 1 N N. Tällöin käänteismuunnokseen tulee N tai N vastaaviin kohtiin. Pelkistäen, näennäisen erilaisista määritelmistä huolimatta jatkuvassa muunnoksessa on kuitenkin jossain mukana, diskreetissä muunnoksessa N on kuitenkin jossain mukana. Miten kokoelmat {d k } ja {c k } liittyvät toisiinsa? Osoittautuu d k = m Z c k+mn, k =, 1,...,N 1 Erityisesti (olet. N parillinen) d k = c k + m c k+mn, k < N/2 alkupuolisko d N k = c k + m c k+mn, 1 k < N/2 loppupuolisko d N/2 = c N/2 + c N/2 + c N/2+mN, m, m 1 keskimmäinen

8 March 25, 21 versio Tulkinta: d k = c k +korkeampia taajuuksia, paitsi d N/2 joka ei kerro oikein mitään hyödyllistä c N/2 :sta. Sekä: jos N on liian pieni, eli x liian iso, korkeat taajuudet (c k isolla k ) eivät löydy. Jälkimmäinen ilmiö on nimeltään laskostuminen (engl. aliasing). Jos c n < niin d k c k ja d N k c k kun N (eli x ). Suppenemisnopeus on sitä suurempi mitä nopeammin c n suppenee eli mitä sileämpi f on. Esimerkiksi jos c n = O(n 2 ) niin ( ) 1 ( ) 1 c k+mn = O ja c (mn) 2 k+mn = O kun N. N 2 Esimerkki 1. Oletetaan f:lle äärellinen Fourier-sarja m Jos N riittävän suuri s.e. M < N/2 niin M k= M c k e ikx d k = c k ja d N k = c k kun k < M. Eli f saadaan rekonstruoitua näytteenotolla & DFT:llä täydellisesti kun x = /N < P/2 jossa P = /M on f:n korkeimman taajuuden jakso. Jos f:n jaksona 2L eikä niin x := 2L/N ja W, F, F 1, d k lausekkeet kuten ennen. Huom: W = exp(i/n) exp(i x) mutta jälkimmäistä ei tarvita. Fourieresitys muodossa c k e ikπx/l. DFT ja Fourier-muunnos Olet. a > s.e. f(x) kun x [, 2a] jolloin ˆf(ξ) 2a f(x)e ixξ dx. Kun ξ = kπ a =: ξ k niin HS=2ac k. HS:lle N:n pisteen iemann-summa-approksimaatio: x := 2a/N, x j = j x j =,...,N 1 h N (ξ) := N 1 j= f(x j )e ix jξ x ja ˆf(ξ) h N (ξ). h N (ξ) on jaksollinen, jakson pituus / x =: P. Myös P = πn/a joten kun N niin P. Kun ξ fixattu, h N (ξ) lähestyy integraalia kun N. Pyritään kuitenkin approksimoimaan ˆf:n arvoja vain pisteissä ξ = ξ k = kπ a. Osoittautuu h N (ξ k ) = 2ad k, k =, 1,...,N 1.

9 March 25, 21 versio Negatiivisilla ξ? h N jaksollisuudesta h N ( kπ a ) = h N((N k) π a ) = 2ad N k, 1 k N. Valitaan h N :n esitysväliksi Nπ 2a ξ Nπ 2a (välin pituus = h N:n jakso) ja arvot h N (ξ k ), k = N 2,...,,..., N 2 valitaan approksimaatioiksi ˆf(ξ):lle välille Nπ ξ Nπ Nπ. Jos ξ > niin ˆf(ξ):n 2a 2a 2a approksimaatioksi ei sovi jaksollinen h N (ξ). Tämäkin on laskostumista: korkeat taajuudet eivät löydy kun N liian pieni. {h N (ξ k )} N/2 k= N/2 = (2ad N/2, 2ad N/2+1,...,2ad N 1, 2ad, 2ad 1,...,2ad N/2 ) Jos f on kaistarajoitettu eli ξ c s.e. ˆf(ξ) = ξ ξc (analogia edelläolevaan jaksollinen f jolla äärellinen Fourier-sarja) niin riittävän isolla N pätee h N (ξ):n jakson alue ξ Nπ kattaa koko alueen ξ ξ 2a c, jolloin ei synny laskostumista. Tämä tunnetaan myös Nyquist-Shannonin lauseena. Määritellään Nyquistin taajuus ξ := 2ξ c ja näytteenottotaajuus (näytteenottoväli x). Tällöin ehto ξ x Nπ a voidaan ilmaista näytteenottotaajuuden oltava vähintään Nyquistin taajuus. Symmetrinen näytteenottoväli Olet. f keskittynyt välille [ a, a]. Tämä palautuu aikaisempaan (jossa f keskittynyt [, 2a] välille) käyttämällä τ a f siirtoa. Nyt ˆf(ξ) a a f(x)e ixξ dx = e iaξ h N (ξ) jossa h N laskettu τ a f:n arvoista välillä [, 2a] kuten edellä. ˆf(ξ k ) e iaξ k 2ad k, k < N/2 ˆf( ξ k ) e ia( ξ k) 2ad N k, 1 k N/2 jossa ξ k = kπ/a. Yhteenveto symmetriselle näytteenottovälille: 1. Näytteistä f välin [ a,a] yli 2. Laske DFT d := F 1 f 3. swappaa d:n puoliskot: f := (f( a),f( a + x),...,f(a x)) d (loppupuolisko, alkupuolisko) 2a (esim. (d,d 1,...,d 7 ) (d 4,d 5,d 6,d 7, d,d 1,d 2,d 3 ) 2a.) 4. Kerro vaihesiirroilla e iaξ k.

10 March 25, 21 versio Nopea Fourier-muunnos (FFT) DFT:ssä muodostetaan d = F 1 f joka työmäärältään oleellisesti sama kuin operaatio u Fu. F on täysi N N matriisi joten Fu vie O(N 2 ) kertolaskua. FFT:n ideana on käyttää hyväksi F:n erikoista rakennetta ja organisoida laskut uudelleen, jolloin F u viekin vain O(N log N). Sovelluksissa N = 1 6 ei ole harvinaista, tällöin säästö on N 2 = 1 12 tilalle N log N = 1 7 eli 1,-kertainen. Oletetaan N parillinen, N = 2M. Merkitään F N yo. F-matriisia kokoa N N, W N := exp(i/n), (F N ) jk = W jk N ja v := F Nu (u mielivaltainen vektori). Nyt WN 2 = W M, WN M = 1 ja W N N = 1. v j = k parill W jk N u k + W jk N u k k ptn = M 1 l= M 1 = l= M 1 W j2l N u 2l + l= M 1 W jl M u 2l + W j N W j(2l+1) N u 2l+1 l= W jl M u 2l+1 = (F M u even ) j + W j N (F Mu odd ) j kun j =, 1,...,M 1, jossa u even = (u,u 2,...,u N 2 ) ja u odd = (u 1,u 3,...,u N 1 ) ovat M-vektoreita. Kun j = M,...,N 1 niin merkitään j = ν +M jossa ν =, 1,...,M 1 ja palautetaan aiempaan. Ensin: joten W jl M = W νl M ja W j N = W ν N v ν+m = (F M u even ) ν W ν N(F M u odd ) ν kun ν =, 1,...,M 1. Työmäärä? Merkitään F N u:n laskemisen työmäärää r(n). r(n) = r(m) +r(m) + }{{}}{{}}{{} M = 2r(M) + M even odd W j N odd Jos myös M on parillinen, tätä voidaan jatkaa. FFT yleensä tehdäänkin kun N = 2 p, p N. Ylläolevaa proseduuria v:lle jatketaan rekursiivisesti kunnes laskettavana on vain F 2 :lla kertomisia. Voidaan ottaa r(2) = 1 (jossa on itse asiassa vain ( ) ( a b a+b a b) ) jolloin induktiolla saadaan r(n) = 1 N log N. 2 Huom: edellä laskettiin v = Fu vaikka itse asiassa DFT on tässä u = F 1 v = 1 Fv eli N työmäärät ovat toki samat, mukana on kompleksikonjugaatti ja lisäksi N kpl kertolaskuja (1/N). Tämä jälkimmäinen ei vaikuta r(n):n arvioon kun N iso. FFT voidaan tulkita myös matriisihajotelmana. Tapaus N = 4: F 4 = 1 i 1 i i 1 i i = i

11 March 25, 21 versio jossa ensimmäinen operaatio (s.o. oikeanpuoleisin) tekee permutaation u = (u,u 1,u 2,u 3 ) (u,u 2,u 1,u 3 ) = (u even,u odd ) keskimmäinen matriisi on [ F2 ] F 2 ja viimeinen yhdistää F M u even, F M u odd komponentit halutulla tavalla.

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin

= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan

Lisätiedot

Harjoitus 1, tehtävä 1

Harjoitus 1, tehtävä 1 Heikki Kallasjoki, 66H, htkallas@cc.hut.fi /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu

Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta. Matematiikan pro gradu Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta Susanna Vähämäki Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 205 Tiivistelmä: Susanna Vähämäki, Fourier-sarjoista ja -muunnoksesta,

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0, Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.

JATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla 4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Funktioiden approksimointi ja interpolointi

Funktioiden approksimointi ja interpolointi Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

Jaksollisen signaalin spektri

Jaksollisen signaalin spektri Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

Nopeat Fourier-muunnokset

Nopeat Fourier-muunnokset opeat Fourier-muunnokset Timo ännikkö 1 Fourier-analyysin alkeita 1.1 Fourier-sarjat Olkoon f koko R:ssä määritelty kuvaus siten, että se on integroituva välillä ] π, π[ ja lisäksi -jaksollinen, ts. fx

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 3 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 28 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä

Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä Sarjat ja differentiaaliyhtälöt, harjoitustehtäviä. L Hospitalin sääntö on tuttu Analyysi :n kurssilta. Se on näppärä keino laskea tiettyjä raja-arvoja, mutta sen käytössä on oltava kuitenkin varovainen.

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,

Lisätiedot

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1

. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot