MS-C1420 Fourier-analyysi osa I
|
|
- Kaisa Lehtilä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta Diskreetti Fourier-muunnos 4 Fourier-sarjat eliöintegroituvat jaksolliset funktiot G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen jaksottoman signaalin muunnos: ŝ(ν e i2πνt s(t dt, ν Jaksollisen jatkuva-aikaisen signaalin muunnos (kun jakso on 1: ŝ(k 1 e i2πkt s(t dt, k Z Diskreetti Fourier-muunnos (diskreettiaikainen jaksollinen signaali: ŝ(m 1 j mj i2π e s(j, m Z Diskreettiaikaisen ei-jaksollisen signaalin Fourier-muunnos: ŝ(ν j Z e i2πνj s(j Fourier-muunnos on lineaarinen, eli summan muunnos on muunnosten summa ja jos signaali kerrotaan luvulla niin muunnoskin tulee kerrotuksi samalla luvulla G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Eksponenttifunktio ja Eulerin kaava Eksponenttifunktion määritelmäksi voidaan ottaa exp(z e z j z n n!, z C ja merkinnän e z perusteluna on kaava e z 1+z 2 e z 1 e z 2 Vertaamalla sin:n ja cos:n sarjakehitelmiin saadaan Eulerin kaava e it cos(t + i sin(t, missä siis i on imaginaariyksikkö se i i 1 Erityisesti pätee e it 1, ja e i2πk 1, kun k Z Kompleksiluvun z a + ib kompleksikonjugaatti z on z a ib joten esim e it e it Kompleksikonjugointi on lineaarinen ja multiplikatiivinen joten pätee esim e i2πνt s(t dt e i2πνt s(t dt G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
2 Fourier-muunnos Jos s(t dt < ja s on mitallinen eli jatkuvien funktioiden raja-arvo melkein kaikkialla eli s L 1 ( niin ŝ(ν F(s(ν Jos t on aika niin ν on taajuus! Fourier-käänteismuunnos s(t F 1 (ŝ(t e i2πtν s(t dt, ν e i2πνt ŝ(ν dν F ( ŝ ( t ν ω F ( ŝ( ω (t Kuten Fourier-muunnoksen määritelmässä ongelmana tässä (todistamisen lisäksi on että jos ŝ(ν dν (niin kuin usein käy ei ole heti selvää mitä integraalilla oikein tarkoitetaan mutta sopivilla määritelmillä tähänkin ongelmaan löytyy hyviä ratkaisuja G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Translaatiot, modulaatiot ja dilaatiot Jos s L 1 (, p ja a niin g(t s(t p ĝ(ν e i2πνp ŝ(ν, h(t e i2πpt s(t ĥ(ν ŝ(ν p, k(t s(at k(ν 1 ( ν a ŝ a Oletus s(t dt < ei ole tässä yhteydessä oleellinen muulla tavalla kuin että Fourier-muunnos on toistaiseksi määritelty väin tällaisille funktioille! Miksi? ĝ(ν e i2πνt s(t p dt t p τ e i2πντ e i2πνp s(τ dτ e i2πνp ŝ(ν e i2πν(τ+p s(τ dτ G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Translaatiot, modulaatiot ja dilaatiot, jatk ĥ(ν ˆk(ν 1 a e i2πνt e i2πpt s(t dt e i2πνt s(at dt at τ, dt 1 a dτ 1 a e i2π(ν/aτ s(τ dτ 1 ( ν a ŝ a e i2π(ν pt s(t dt ŝ(ν p e i2πντ/a s(τ dτ Jos s L 1 ( niin ŝ on jatkuva ja ν ŝ(ν mutta jokainen jatkuva funktio jonka raja-arvo äärettömyydessä on ei ole integroituvan funktion Fourier-muunnos Fourier-muunnos ja derivaatta Jos D on derivointioperaattori ( d dν tai d dt niin ja D(F(s(ν F(( i2πts(t(ν F(Ds(ν i2πνf(s(ν Miksi? Yllä olevat kaavat pätevät, sopivin tulkinnoin, hyvin yleisesti ja jos esim (1 + t s(t L 1 ( niin voidaan derivoida integraalin sisäpuolella jolloin saadaan D(F(s(ν d dν e i2πνt s(t dt e i2πνt ( i2πts(t dt Samoin jos esim s ja Ds L 1 ( ja s(t s( + t Ds(u du saadaan osittaisintegroinnilla F(Ds(ν / e i2πνt s(t ( i2πνe i2πνt s(t dt i2πνf(s(ν G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
3 opeasti vähenevät funktiot S( { s : C : s C (, sup t k s (m (t <, k, m } t S( sisältää siis kaikki äärettömän monta kertaa derivoituvat funktiot, joiden kaikki derivaatat suppenevat kohti nopeammin kuin jokainen muotoa t k oleva funktio kun t ja kaikki tyyppiä t k s (m (t olevat funktiot ovat myös integroituvia Esimerkkinä kelpaa hyvin funktio h (t e πt2 Fourier-muunnos ja nopeasti vähenevät funktiot Fourier-muunnos on bijektio: S( S(, eli jos s S( niin ŝ S( ja jos q S( niin on olemassa täsmälleen yksi s S( siten, että q ŝ Lisäksi pätee (i2πν k D m (F(s(ν F ( D k( ( i2πt m s(t (ν kaikilla k ja m G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Konvoluutio Jos g ja h L 1 ( niin g h L 1 ( ja (g h(t dt g(t dt h(t dt missä (g h(t g(t uh(u du ja erityisesti pätee Approksimointi konvoluutioilla f g(ν ˆf (νĝ(ν Jos p L 1 (, p(t dt 1, p a(t ap(at ja s L 1 ( niin a s(t (p a s(t dt, ja jos lisäksi t tp(t ja s on jatkuva pisteessä t niin (p a s(t s(t a G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Kertolaskukaava Jos g ja h L 1 ( niin ĝ(νh(ν dν g(tĥ(t dt Miksi? Integroimisjärjestyksen vaihdolla saadaan ( ĝ(νh(ν dν e i2πνt g(t dt h(ν dν ( ( e i2πνt g(th(ν dt dν e i2πνt g(th(ν dν dt ( g(t e i2πνt h(ν dν dt g(tĥ(t dt Kertolaskukaava, erikoistapaus Jos s ja p L 1 ( niin ei2πνt p( νŝ(ν dν (ˆp s(t G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Fourier-käänteismuunnos I Jos s L 1 ( niin ɛ s(t e i2πνt ŝ(νe ɛν2 dν dt ja s(t e i2πνt ŝ(νe ɛν2 dν ɛ kaikissa pisteissä t missä s on jatkuva Fourier-käänteismuunnos II Jos s L 1 ( ja ŝ L 1 ( niin s(t e i2πνt ŝ(ν dν, t G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
4 eliöintegroituvat funktiot Jos s : C on mitallinen ja s(t 2 dt < niin s L 2 ( Pätee S( L 2 ( mutta L 1 ( L 2 ( ja L 2 ( L 1 ( Monissa sovelluksissa s(t 2 dt < on signaalin energia tai ainakin verrannollinen energiaan Merkitään s L 2 ( ( s(t 2 dt 1 2 Fourier-muunnos ja L 2 ( I Jos g ja h S( niin g(th(t dt ĝ(νĥ(ν dν Fourier-muunnos ja L 2 ( II Jos s L 2 ( niin on olemassa funktio ŝ L 2 ( siten, että jos jono (s n n1, s n S( kun n 1 on sellainen, että n s n s L 2 ( niin n ŝ n ŝ L 2 ( Lisäksi pätee s L 2 ( ŝ L 2 ( eli s(t 2 dt ŝ(ν 2 dν ja jos g ja h L 2 ( niin g(th(t dt ĝ(νĥ(ν dν G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Jos s L 1 ( L 2 ( niin ŝ tulee määritellyksi kahdella eri tavalla, toisaalta suoraan integraalina koska f L 1 ( ja toisaalta raja-arvona n ŝ n, missä s n S(, mutta nämä määritelmät antavat saman tuloksen Jos s L 2 ( niin pätee myös T T ŝ(ν e i2πνt s(t dt T 2 dν G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Diskreetti Fourier-muunnos Jos on positiivinen kokonaisluku niin lukujen s(k, k, 1,, 1 diskreetti Fourier-muunnos on F (s(m ŝ(m 1 j e i2πmj s(j, m Z Diskreetti Fourier-muunnos määritellään usein kaavoilla 1 1 i2πmj 1 j e s(j tai 1 i2πmj j e s(j Valittu määritelmä vaikuttaa vain siihen missä kohdissa muissa kaavoissa luku esiintyy Koska e i2πj 1 kun j on kokonaisluku, niin Fourier-muunnos ŝ on jaksollinen jaksolla, eli ŝ(m + ŝ(m On hyödyllistä olettaa, että myös luvut s(j, j, 1,, 1 ovat osa jaksollista jonoa s(j, j Z missä s(j + s(j kaikilla j Silloin diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea myös kaavalla ŝ(m j 2 jj1 e i2πmj s(j missä j 2 j 1 1 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
5 Diskreetin Fourier-muunnoksen käänteismuunnos F on bijektio -jaksollisten jonojen välillä ja s(m (F 1 (ŝ(m 1 1 e i2πmj ŝ(j eli F j j e i2πmj 1 1 ŝ( m j 1 F 1 F missä (ŝ(m ŝ( m e i2πmj ŝ(mod( j, FFT FFT on algoritmi, jolla diskreetti Fourier-muunnos lasketaan käyttäen c log( laskutoimitusta eikä c 2 niin kuin suoraviivainen lasku edellyttäisi Fourier-integraalin numeerinen laskeminen Olkoon s reaaliakselilla määritelty funktio josta tunnetaan arvot pisteissä t + j t, j, 1,, 1 (missä oletetaan, että t > Jos nyt p on sellainen :llä funktio, että p( 1 ja p(j kun j Z \ {}, niin funktio toteuttaa ehdot g(t 1 j ( t t j t s(t + j tp t, g(j t + t s(t + j t, j,, 1, ja g(t + j t kun j < tai j > 1 Usein on tarkoituksenmukaista vaatia, että myös p(t dt 1 ja joskus voi olla syytä luopua interpolointiehdosta p( 1 ja p(j kun j Perusidea on nyt, että s:n Fourier-muunnoksen sijasta lasketaan g:n Fourier-munnos ja erityisen hyvin se onnistuu pisteissä m ν, m Z missä t ν 1 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Fourier-integraalin numeerinen laskeminen, jatk Jos nyt valitaan niin q(j s(t + j t, j,, 1, ĝ(m ν te i2πm νtˆq(mˆp ( m, m Z Funktion p valinnaksi on monta vaihtoehtoa: Lineaarinen interpolointi: p(t max{, 1 t } jolloin 2 ˆp(ν ( sin(πν πν Kuutiosplini-interpolointi jolloin ˆp(ν ( 4 sin(πν 1 πν sin(πν2 sinc-interpolointi: p(t sin(πt πt jolloin ˆp(ν 1 kun ν < 1 2 ja ˆp(ν kun ν > 1 2 Miksi? Koska ν 1 t niin ĝ(m ν 1 j 1 j q(j e i2πm νt g(t dt q(j t ( t e i2πm νt t j t p t te i2πm νt dt t t + j t + τ t e i2πm νt e i2πm νj t e i2πm ν t τ p(τ dτ 1 j e i2πmj q(j e i2π m τ p(τ dτ te i2πm νtˆq(mˆp ( m G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
6 Jaksolliset funktiot, /Z jne Funktio s : C on jaksollinen jaksolla 1 jos s(t + 1 s(t kaikilla t /Z on ekvivalenssiluokkien { t + n : n Z } muodostama joukko eli joukko missä pisteet t ja t + n on samaistettu kun n Z Jokaista funktiota s : /Z C voidaan käsitellä jaksollisena funktiona s : C ja päinvastoin ja näin tässä tullaan tekemäänkin Välillä [, 1 määritellystä funktiosta s saadaan jaksollinen funktio s(mod (t, 1 Tästä seuraa, että joukko L p (/Z missä joka sisältää kaikki jaksolliset (jaksolla 1 ja mitalliset funktiot s, joilla 1 s(t p dt < missä 1 p < on sama kuin joukko L p ([, 1, mutta huomaa, että jos s C(/Z eli s on jatkuva ja jaksollinen niin s on jatkuva välillä [, 1] ja s( s(1 Jaksollisen funktion Fourier-kertoimet Jos s L 1 (/Z niin ŝ(k 1 e i2πkt s(t dt, k Z Jos s L 1 (/Z niin funktioden s ja e i2πkt jaksollisuudesta seuraa, että Fourier-kertoimet saadaan myös kaavoilla ŝ(k e i2πkt s(t dt 1 a a e i2πkt s(t dt G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Jaksolliset funktiot jaksolla T Jos s:n jakso on T eli s(t + T s(t kaikilla t niin funktio g(t s(tt on jaksollinen jaksolla 1 ja muuttujan vaihdon jälkeen todetaan, että g:n (eli yhtä hyvin s:n Fourier-kertoimiksi tulee 1 T T iemann-lebesguen lemma Jos s L 1 (/Z niin e i2πkt T s(t dt ŝ(k s L 1 (/Z, k Z ja ŝ(k k Fourier-analyysi perustuu tuloksiin, joiden mukaan k Z ŝ(kei2πkt on s(t mutta ongelma on mitä summalla tarkoitetaan Tietyin oletuksin ongelmia ei ole, muissa tapauksissa sen sijaan on valittava sopiva tulkinta tai sitten todistuksista tulee hyvin hankalia Fourier-sarjan suppeneminen, I Jos s L 1 (/Z on derivoituva pisteessä t tai jos pelkästään t s(t + t s(t dt < niin,m k M e i2πktŝ(k s(t G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
7 Konvoluutio Jos h ja h L 1 (/Z niin g 1 h L 1 (/Z missä ja (g 1 h(t 1 g(t ug(u du 1 ĝ 1 h(k ĝ(kĥ(k, k Z f (ug(t u du, Tavallisesti kirjoitetaan g h eikä g 1 h jos on selvää minkälaisesta konvoluutiosta on kyse Itseisesti suppenevat Fourier-sarjat Jos k Z a k < niin A(t k Z a ke i2πkt C(/Z ja Â(k a k Jos lisäksi s L 1 (/Z niin Erikoistapaus: Fejerin ydin ( 1 sin(πt 2, t \ Z, F (t sin(πt, t Z, missä 1, 2, { F (k max, k }, k Z F C (/Z ja F (t, t 1 F (t dt 1 Jos s L 1 1 (/Z, niin (F 1 s(t s(t dt ja jos s C(/Z niin sup t (F 1 s(t s(t (A 1 s(t k Z a k ŝ(ke i2πkt G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 Fourier-sarjan suppeneminen II Jos s C(/Z niin sup t k ja jos s L 1 (/Z niin 1 k k k Fourier-muunnos on injektio ŝ(kei2πkt s(t ŝ(kei2πkt s(t dt Jos s L 1 (/Z ja ŝ(k kaikilla n Z niin s(t melkien kaikilla t Fourier-sarjan suppeneminen III Jos s L 1 (/Z ja k Z ŝ(k < niin s C(/Z ja s(t k Z ŝ(ke i2πkt, t Sisätulo L 2 (/Z:ssä Jos g ja h L 2 (/Z niin f, g L 2 (/Z on Hilbert-avaruus 1 g(th(t dt Jos funktioden sijasta tarkastellaan ekvivalenssiluokkia eli g h jos ja vain jos g(t h(t melkein kaikilla t, niin silloin L 2 (/Z on Hilbert-avaruus eli täydellinen (eli jokainen Cauchy-jono suppenee sisätuloavaruus (ja siten samanlainen joukko kuin taso 2, jossa sisätulo on x, y x y x 1 y 1 + x 2 y 2, kun 2:n paikalle tulee ja :n paikalle C G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
8 Funktiot t e i2πkt muodostavat L 2 (/Z:n ortonormaalin kannan Jos märitellään e k (t e i2πkt niin ja jos s L 2 (/Z niin ja s, e k 1 e m, e k s(te i2πkt dt s k Z 1 { 1, m k,, m k, s(te i2πkt dt ŝ(k, k Z, s, e k e k k Z ŝ(ke k Fourier-sarjan suppeneminen IV Jos s L 2 (/Z niin jokaisella ɛ > on olemassa äärellinen joukko I Z siten, että jos I J Z ja J on äärellinen niin 1 s(t 2 ŝ(ke i2πkt dt < ɛ k J Toisin sanoen, sarja suppenee L 2 -mielessä ja kun lasketaan yhteen sarjan termit, järjestyksellä ei ole merkitystä, eli sarja on summautuva Mutta sen sijaan sarja ei ole välttämättä itseisesti suppeneva Jos g ja h L 2 (/Z niin 1 g(th(t dt k Z ĝ(kĥ(k ja erityisesti 1 s(t 2 dt k Z ŝ(k 2 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3 G Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29 tammikuuta / 3
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit Poissonin summakaava Whittaker-Shannonin interpolointikaava 2 Vaimennetunen distribuution
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi L4, osa I
Fourier-sarjat..................... 3 Mat-.4 Matematiikan peruskurssi L4, osa I In matematics you don t understand tings. You just get used to tem. Jon von eumann G. Gripenberg Aalto-yliopisto 9. elmikuuta
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotPositiivitermisten sarjojen suppeneminen
Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotVille Turunen: MS-C1420 Fourier-analyysi (5 opintopistettä)
Ville Turunen: MS-C142 Fourier-analyysi (5 opintopistettä) Esitiedot: Lineaarialgebra 1, Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. 1 Johdanto Mitä Fourier-analyysi on? Fourier-analyysi on läsnä kaikkialla,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
LisätiedotVille Turunen: ( ) MS-C1420 Fourier-analyysi (5 opintopistettä)
Ville Turunen: (3.9.215) MS-C142 Fourier-analyysi (5 opintopistettä) Esitiedot: Matriisilaskenta, Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. 1 Johdanto Mitä Fourier-analyysi on? Fourier-analyysia on kaikkialla,
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotLaplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
Lisätiedot6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotHarjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.
Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
Lisätiedot2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a i > 0kaikillai 2 I, niin P i2i a i = 1.
Harjoitus 1, 11.9.2015 1. Näytä, että joukossax on äärettömän monta alkiota jos ja vain jos on joukko X, 6= X, jokaonyhtämahtavakuinx. 2. Todista Lause 1.2 : Jos I on ylinumeroituva indeksijoukko ja a
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotLaplace-muunnos. 8. marraskuuta Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusominaisuudet Differentiaaliyhtälöt Integraaliyhtälöt
8. marraskuuta 216 Laplace-muunnoksen määritelmä, olemassaolo ja perusom Integraalimuunnos Integraalimuunnos on yleisesti muotoa F(u) = K(t, u)f (t)dt missä K on integraalin ydin. Tässä K ja f ovat tunnettuja.
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I
MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto. maaliskuuta 05 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A040 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä. ym.,
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotLukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot
Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot