Numeeriset menetelmät
|
|
- Elsa Kähkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 1/39 p. 1/39
2 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion arvot tietyissä pisteissä Tavoite: Arvioidaan funktion arvoja myös muissa pisteissä Korvataan f funktiolla p : R R, jonka lauseke tunnetaan, ja approksimoidaan f(x) p(x) Taulukoidut pisteet: (x i, y i ), missä y i = f(x i ) Interpolantti: p(x i ) = y i kaikilla i = 0, 1,..., n Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 2/39 p. 2/39
3 Polynomi-interpolaatio Datapisteet: (x i, y i ), i = 0, 1,..., n, siten että x i x j kun i j Kantafunktiot: ϕ 0, ϕ 1,..., ϕ n Interpolantti kantafunktioiden lineaarikombinaationa: n p(x) = a j ϕ j (x) j=0 missä a 0, a 1,..., a n vapaita parametreja Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 3/39 p. 3/39
4 Newtonin muoto Valitaan kantafunktioiksi { 1, j = 0 π j (x) = j 1 k=0 (x x k), 1 j n p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 4/39 p. 4/39
5 Newtonin muoto π j (x) = { 1, j = 0 j 1 k=0 (x x k), 1 j n π j (x i ) = 0 kun i < j X = (π j (x i )) i,j = alakolmiomatriisi Kertoimet a j helppo ratkaista Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 5/39 p. 5/39
6 Polynomin arvojen laskeminen p n (x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Lasketaan p(t) : p := a n do i = n 1, n 2,..., 0 p := a i + (t x i ) p end do Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 6/39 p. 6/39
7 Newtonin muoto Olkoon p n 1 pisteisiin i = 0, 1,..., n 1 liittyvä interpolaatiopolynomi Muodostetaan pisteisiin i = 0, 1,..., n liittyvä interpolaatiopolynomi p n siten että p n (x) = p n 1 (x) + C(x) C(x i ) = p n (x i ) p n 1 (x i ) = 0, i = 0, 1,..., n 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 7/39 p. 7/39
8 Newtonin muoto Korjaustermi C on korkeintaan astetta n oleva polynomi ja sillä on n nollakohtaa x i, i = 0, 1,..., n 1 C(x) = a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) p n (x) = p n 1 (x) + a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 8/39 p. 8/39
9 Newtonin muoto p n (x) = p n 1 (x) + a n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Koska p n (x n ) = y n = f(x n ), niin a n = f(x n ) p n 1 (x n ) (x n x 0 )(x n x 1 ) (x n x n 1 ) Funktion f kertalukua n oleva Newtonin jaettu differenssi: f[x 0 ] = a 0 = y 0 = f(x 0 ) f[x 0, x 1,..., x n ] = a n, n 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 9/39 p. 9/39
10 Newtonin muoto p 0 (x) = f[x 0 ] p 1 (x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] p 2 (x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ]. p n (x) = f[x 0 ] + (x x 0 )f[x 0, x 1 ] + (x x 0 )(x x 1 )f[x 0, x 1, x 2 ] (x x 0 ) (x x n 1 )f[x 0, x 1,..., x n ] Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 10/39 p. 10/39
11 Jaetut differenssit Kaikille j 1 ja 0 i < j on voimassa f[x i, x i+1,..., x j 1, x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i (Todistus: Luentomonisteessa) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 11/39 p. 11/39
12 Jaettujen differenssien taulukko x 0 f(x 0 ) x 1 f(x 1 ) x 2 f(x 2 ) x 3 f(x 3 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 12/39 p. 12/39
13 Jaettujen differenssien taulukko x 0 f[x 0 ] x 1 f[x 1 ] x 2 f[x 2 ] f[x 1 ] f[x 0 ] x 1 x 0 f[x 2 ] f[x 1 ] x 2 x 1 f[x 3 ] f[x 2 ] x 3 x 2 x 3 f[x 3 ] Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 13/39 p. 13/39
14 Jaettujen differenssien taulukko x 0 f[x 0 ] f[x 0, x 1 ] x 1 f[x 1 ] f[x 1, x 2 ] f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1 ] x 2 x 0 f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2 ] x 3 x 1 x 2 f[x 2 ] f[x 2, x 3 ] x 3 f[x 3 ] Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 14/39 p. 14/39
15 Jaettujen differenssien taulukko x 0 f[x 0 ] f[x 0, x 1 ] f[x 0, x 1, x 2 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3 ] x 1 f[x 1 ] f[x 1, x 2 ] f[x 1, x 2, x 3 ] x 2 f[x 2 ] f[x 2, x 3 ] x 3 f[x 3 ] Interpolaatiopolynomin arvojen laskemiseen tarvitaan taulukon ylin rivi Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 15/39 p. 15/39
16 Jaettujen differenssien taulukko Alustetaan d i := f(x i ), i = 0, 1,..., n do i = 1, 2,..., n do j = n, n 1,..., i d j := (d j d j 1 )/(x j x j i ) end do end do Nyt on d i := f[x 0, x 1..., x i ], i = 0, 1,..., n Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 16/39 p. 16/39
17 p. 17/39 Esimerkki n = 2: Datapisteet ( 1, 2), (0, 1), (1, 3) ( 1) = 1 2 ( 1) 1 ( 1) = 3/ = p 2 (x) = 2 + ( 1)(x ( 1)) + 3 (x ( 1))(x 0) 2 = 3 2 x x + 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 17/39
18 Etenevät ja takenevat differenssit Jos f on taulukoitu välillä [a, b] tasavälisessä pisteistössä x j = a + j h, j = 0, 1,..., n, h = b a n voidaan Newtonin muoto muodostaa joko etenevien differenssien tai takenevien differenssien avulla (Ei käsitellä) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 18/39 p. 18/39
19 Interpolaatiovirhe Interpolaatiopisteet: a = x 0 < x 1 < < x n = b Interpolaatiopolynomi: n asteinen polynomi p n siten, että p(x i ) = f(x i ) i = 0, 1,..., n Interpolaatiovirhe: f(x) p n (x) kun x [a, b] Oletetaan, että f on n + 1 kertaa jatkuvasti differentioituva välillä [a, b] Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 19/39 p. 19/39
20 Interpolaatiovirhe Lause: Jokaiselle x ]a, b[ on olemassa ξ x ]a, b[ siten, että f(x) p n (x) = 1 (n + 1)! f(n+1) (ξ x ) n (x x i ) i=0 (Todistus: Luentomonisteessa) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 20/39 p. 20/39
21 Interpolaatiovirhe Lause: Jos interpolaatiopisteistö on tasavälinen (h = x i+1 x i ), niin jokaiselle x ]a, b[ on f(x) p n (x) M n 4(n + 1) hn+1 missä M n = max x [x 0,x n ] f(n+1) (x) (Todistus: Luentomonisteessa) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 21/39 p. 21/39
22 Esimerkki f(x) = sinx, [a, b] = [0, π] f (n+1) (x) 1 max f(x) p n(x) h n+1 x [x 0,x n ] p n f tasaisesti, kun n Tässä esimerkissä datapisteiden lisääminen parantaa tarkkuutta Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 22/39 p. 22/39
23 Esimerkki f(x) = (1 + x 2 ) 1, [a, b] = [ 5, 5] Tasavälinen interpolaatiopisteistö... lim n max f(x) p n(x) = x [ 5,5] Tässä esimerkissä datapisteiden lisääminen heikentää tarkkuutta Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 23/39 p. 23/39
24 Esimerkki jatkuu f(x) = (1 + x 2 ) 1, [a, b] = [ 5, 5] Tšebyševin interpolaatiopisteistö... p n f tasaisesti, kun n Tasavälinen pisteistö ei yleensä ole paras mahdollinen valinta Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 24/39 p. 24/39
25 Tšebyševin pisteistö Olkoon [a, b] = [ 1, 1] Tšebyševin polynomit: T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T n+1 (x) = 2x T n (x) T n 1 (x), n 1 T n (x) = cos(n arccosx), n 0 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 25/39 p. 25/39
26 Tšebyševin pisteistö T n (x) 1 T n (x) = cos(n arccosx), n 0 ja T n (cos ( )) 2i + 1 2n π = cos ( 2i ) π = 0, i = 0, 1,..., n 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 26/39 p. 26/39
27 Tšebyševin pisteistö Valitaan interpolaatiopisteiksi T n+1 :n juuret ( ) 2i + 1 x i = cos 2n + 2 π, i = 0, 1,..., n... f(x) p n (x) 1 2 n (n + 1)! max t 1 f(n+1) (t) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 27/39 p. 27/39
28 Tšebyševin pisteistö Välin [ 1, 1] interpolaatiopisteet x i Välin [a, b] interpolaatiopisteet x i x i = 1 2 (a + b) (b a)x i Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 28/39 p. 28/39
29 Paloittainen interpolointi Koko välille muodostettu interpol.polynomi: Interpolaatiopisteiden lisäys kasvattaa polynomin astetta Korkea-asteinen polynomi usein oskilloiva Interpolaatiopolynomi ei välttämättä lähesty interpoloitavaa funktiota Osaväleille muodostettu interpol.polynomi: Osaväleillä matala-asteinen polynomi Yhdistetään siten, että saadaan koko välillä riittävän sileä funktio Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 29/39 p. 29/39
30 Splinit Interpolointiväli: I = [a, b] Solmut: a = t 0 < t 1 < < t n 1 < t n = b Osavälit: I i = [t i 1, t i ], i = 1, 2,..., n Funktio s : I R on k-asteinen splini, jos s on korkeintaan k-asteinen polynomi jokaisella osavälillä I i s on k 1 kertaa jatkuvasti derivoituva koko välillä I (Huom: 0 kertaa jatkuvasti derivoituva = jatkuva) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 30/39 p. 30/39
31 Splinit 1. asteen splini: Paloittain lineaarinen, jatkuva 2. asteen splini: Paloittain neliöllinen (kvadraattinen), jatkuvasti derivoituva 3. asteen splini eli kuutiosplini: Paloittain kuutiollinen, kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva Yleisimmin käytetty splini Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 31/39 p. 31/39
32 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1, t i ], i = 1, 2,..., n Osavälien pituudet: h i = t i t i 1, i = 1, 2,..., n Datapisteistö: (t i, y i ), i = 0, 1,..., n Interpolointiehdot: s(t i ) = y i, i = 0, 1,..., n Kuutiosplini: s paloittain kuutiollinen s paloittain neliöllinen s paloittain lineaarinen s, s ja s jatkuvia koko välillä Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 32/39 p. 32/39
33 Interpolointi kuutiosplinillä Toistaiseksi tuntemattomat vakiot M i, i = 0, 1,..., n, siten että s (t i ) = M i, i = 0, 1,..., n s lineaarinen osavälillä I i, ts. s :n kuvaaja on pisteiden (t i 1, M i 1 ) ja (t i, M i ) välinen suora s (x) = M i 1 t i x h i + M i x t i 1 h i, x I i Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 33/39 p. 33/39
34 Interpolointi kuutiosplinillä s (x) = M i 1 t i x h i + M i x t i 1 h i, x I i Integroidaan kerran s (t i x) 2 (x t i 1 ) 2 (x) = M i 1 + M i 2h i 2h i + (integroimisvakio), x I i Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 34/39 p. 34/39
35 Interpolointi kuutiosplinillä s (t i x) 2 (x t i 1 ) 2 (x) = M i 1 + M i 2h i 2h i + (integroimisvakio), x I i Integroidaan toisen kerran (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h i + (vakio)x + (vakio), x I i Viimeiset termit voidaan kirjoittaa muodossa c i (t i x) + d i (x t i 1 ), missä c i ja d i vakioita Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 35/39 p. 35/39
36 Interpolointi kuutiosplinillä (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h i + c i (t i x) + d i (x t i 1 ), x I i Interpolointiehdot s(t i 1 ) = y i 1 ja s(t i ) = y i Määrätään vakiot c i ja d i Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 36/39 p. 36/39
37 Interpolointi kuutiosplinillä s(t i 1 ) = y i 1 (t i t i 1 ) 3 s(t i 1 ) = M i 1 + c i (t i t i 1 ) 6h i = M i 1 h 2 i 6 + c ih i = y i 1 c i = 1 h i ( y i 1 M i 1 h 2 i 6 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 37/39 p. 37/39
38 Interpolointi kuutiosplinillä s(t i ) = y i (t i t i 1 ) 3 s(t i ) = M i + d i (t i t i 1 ) 6h i = M i h 2 i 6 + d ih i = y i d i = 1 h i ( y i M i h 2 i 6 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 38/39 p. 38/39
39 Interpolointi kuutiosplinillä (t i x) 3 (x t i 1 ) 3 s(x) = M i 1 + M i 6h i 6h i ( h 2 ) i ti x + y i 1 M i 1 6 h i ( h 2 ) i x ti 1 + y i M i, x I i 6 h i Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti p. 39/39 p. 39/39
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
LisätiedotFunktioiden approksimointi ja interpolointi
Funktioiden approksimointi ja interpolointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics interpolaatio-ongelma 8 Eksponenttifunktion exp(x) interpolointi 3.5 Funktion e^{0.25x} \sin(x) interpolointi 7 3
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
LisätiedotBM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO
6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337
LisätiedotPienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
LisätiedotNumeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017
Numeerinen analyysi Harjoitus 3 / Kevät 2017 Palautus viimeistään perjantaina 17.3. Tehtävä 1: Tarkastellaan funktion f(x) = x evaluoimista välillä x [2.0, 2.3]. Muodosta interpoloiva polynomi p 3 (x),
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 12 To 13.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To 13.10.2011 p. 1/38 p. 1/38 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset
LisätiedotYhden muuttujan funktion minimointi
Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
LisätiedotNumeerinen integrointi
Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen
Lisätiedotx 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1:
[?, Luku 10], interpolaatio.tex 6.7.04 1 Interpolaatio Olkoon annettu taulukko x 0 x 1 x 2... x n y 0 y 1 y 2... y n Taulukko 1: Voidaan ajatella, että kyse on annetun funktion taulukoiduista arvoista
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotAnalyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
. Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedot, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotPolynomit, interpolaatio ja funktion approksimointi
Solmu 3/24 Polynomit, interpolaatio ja funktion approksimointi Heikki Apiola Lehtori Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakoulu Johdanto, taustaa Kirjoitus liittyy aihepiiriin numeerinen analyysi, tieteellinen
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotMuotoinosa tulkitaan vasta suoritushtkellä.
Syöttö ja tulostus write (*,*) x write (6,*) x write (*,00) x 00 format( x=,f8.3) write(*, ("x=",f8.3) ) x write(*,"( x=,f8.3)") x write(*, ( x=,f8.3) ) x character (len=80) :: form character (len=2) ::
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
LisätiedotNopea kertolasku, Karatsuban algoritmi
Nopea kertolasku, Karatsuban algoritmi Mikko Männikkö 16.8.2004 Lähde: ((Gathen and Gerhard 1999) luku II.8) Esityksen kulku Algoritmien analysointia (1), (2), (3), (4) Klassinen kertolasku Parempi tapa
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotAlgoritmit 1. Luento 2 Ke Timo Männikkö
Algoritmit 1 Luento 2 Ke 11.1.2017 Timo Männikkö Luento 2 Algoritmin esitys Algoritmien analysointi Suoritusaika Asymptoottinen kertaluokka Peruskertaluokkia NP-täydelliset ongelmat Algoritmit 1 Kevät
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotMAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotHarjoituskokeiden ratkaisut Painoon mennyt versio.
Harjoituskokeiden ratkaisut 8.6.7 Painoon mennyt versio. PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ RATKAISUT, HARJOITUSKOE SIVU.7.7 Koe a) i) =,, = kpl ii) 9,876 =,9876,99 = 9,9 iii),66,66 =,7 =,7
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotLuento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät
Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät ja sisäpistemenetelmät Lagrangen välttämättömien ehtojen ratkaiseminen Newtonin menetelmällä Jos tehtävässä on vain yhtälörajoituksia, voidaan minimipistekandidaatteja
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotNumeeriset menetelmät Pekka Vienonen
Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
Lisätiedot