Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Transkriptio

1 Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8

2 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4

3 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen, koska kerroin on neliö. 4 A = Ratkaisujen olemassaoloa ja lukumäärää voidaan tutkia kerroinn determinantin avulla. 4 det(a) = = +4 + ( ) = 4( ) ( ( )) ( ( )) = =

4 Esimerkki kvadraattinen 3 Lause : Kun kvadraattisen n kerroinn determinantti on erisuuri kuin nolla, niin llä on yksi yksikäsitteinen ratkaisu. Esimerkin tapauksessa on siis olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, joka voidaan ratkaista rivioperaatioin, tai käänteisa käyttäen, tai Cramerin kaavoilla.

5 Esimerkki kvadraattinen 4 Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = x + y + z = 4 x 4 + y x y z = + z =

6 Esimerkki kvadraattinen 5 Homogeenisella llä on aina triviaali ratkaisu x =,y =,z =. Koska kerroin on sama kuin edellisessä esimerkissä, tiedämme että det(a) =, joten n ratkaisu on yksikäsitteinen. Ei siis ole olemassa muuta ratkaisua, kuin triviaali x =,y =,z =.

7 Esimerkki 3 kvadraattinen 6 Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 3x y z = 4 3 x y x y z = + z =

8 Esimerkki 3 kvadraattinen 7 Nyt kerroinn determinantti on, joten löytyy ei-triviaali ratkaisu, joka voidaan ratkaista rivioperaatioilla tai asettamalla yhdelle muuttujalle arvo (esim. z = ) ja ratkaisemalla näinsaatu (ei-kvadraattinen) 4x + y = x + y + = 3x y = 4x + y = x + y = 3x y =

9 8 Seuraavan määritelmän alakohdat,,3 ovat keskenään yhtäpitävät: Määr:(a) Matriisi A on lineaarisesti riippuva (sidottu), jos. jokin n sarake voidaan muuttaa sarake-operaatioilla nollasarakkeeksi. (Jokin sarake voidaan lausua muiden sarakkeiden lineaarikombinaationa), tai. jokin transpoosin A T rivi voidaan muuttaa rivi-operaatioilla nollariviksi, tai 3. A x =, jollakin ei-triviaalilla vektorilla x. (b) Matriisi A on lineaarisesti riippumaton (eli vapaa), jos se ei ole lineaarisesti riippuva (eli ei ole sidottu).

10 9 Lause : Neliö A on vapaa, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla (det(a) ). Lause 3: (a) Jos llä A x = b on enemmän kuin yksi ratkaisu (kaksi tai enemmän), niin kerroin on sidottu. (b) Jos n A x = b kerroin on vapaa, niin ryhmällä on korkeintaan yksi ratkaisu. (Yksi ratkaisu tai Rj = /.) Perustelu: Jos löytyy kaksi erilaista ratkaisua u ja v, niin niiden erotus w = u v on ei-triviaali vektori ja A w = A( u v) = A u A v = b b = joten A on määritelmän nojalla sidottu.

11 Lause 4: m n n A vapaus vapaus voidaan tutkia seuraavasti: () Jos m < n (rivejä vähemmän kuin sarakkeita), niin on sidottu. () Jos m = n (A on neliö), niin A on vapaa, jos ja vain jos det(a). (3) Jos m > n (rivejä enemmän kuin sarakeita), niin A on vapaa, jos ja vain jos det(a T A). Perustelu A x = A T A x = x T A T A x = (A x) T A x }{{} = A x = A x = Siis A x = A T A x =, eli A on sidottu, jos ja vain jos A T A on sidottu. Mutta A T A on neliö, jonka vapaus voidaan tutkia kohdan () mukaisesti.

12 Tarkastellaan ä A x = b. Muodostetaan täydennetty (augmented) apu W siten, että n RHS lisätään viimeiseksi sarakkeeksi A:n sarakkeiden jälkeen. Esimerkki 4x + y = 7 x + y = 7 x + y = 4 4 A = 4 ( x y ) = 7 7 4, ja W =

13 Lause 5: Tarkastellaan ä A x = b, jonka täydennetty (augmented) kerroinkaavio on W, niin () Jos A on vapaa, niin ryhmällä on enintään yksi ratkaisu. () Jos A on vapaa ja W on sidottu, niin ryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu, joka saadaan kvadraattiselle ryhmälle kaavalla x = A b ja ei-kvadraattiselle ryhmälle kaavalla x = A b = (A T A) A T b (3) Jos A on vapaa ja W on vapaa, niin ryhmällä ei ole tarkkaa ratkaisua, mutta pienimmän neliösumman approksimaatio (PNS-ratkaisu) saadaan kaavalla x = A b = (A T A) A T b