ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

Transkriptio

1 ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä helmikuuta 2014

2 Sisältö 1. Esitietoja Riemann-integraali Derivaatta Analyysin peruslause Taylor-polynomit Taylorin lause Jäännöstermin lauseke ja arvioita Funktiojonot Lukusarjat Sarjan suppeneminen ja itseinen suppeneminen Suppenemistestejä Sarjan ehdollinen suppeneminen Potenssisarjat Funktiosarjat ja niiden suppeneminen Potenssisarjat

3 Analyysi 3 1 Teksti sisältää muistiinpanoja syksyllä Tämän paketin tarkoitus on tukea omien muistiinpanojen tekoa, ei korvata niitä. Matematiikkaa oppii parhaiten itse kirjoittaen ja ongelmia ratkoen.

4 Analyysi Esitietoja Muistellaan Analyysi 1 ja 2 -kurssien tärkeitä määritelmiä ja tuloksia: Funktio f : I R, I R, on jatkuva pisteessä x 0 I, jos jokaisella ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f(x) f(x 0 ) < ε, kun x x 0 < δ (x,x 0 I). Edelleen f : I R on jatkuva välillä I, jos f on jatkuva jokaisessa pisteessä x 0 I. Jatkuvuus voidaaan karakterisoida myös raja-arvojen avulla: muista, että luku a R on funktion f raja-arvo pisteessä x 0, merkitään lim f(x) = a, x x 0 jos jokaisella ε > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f(x) a < ε aina, kun 0 < x x 0 < δ. Nyt pätee lause: Tällöin f on jatkuva pisteessä x 0, jos ja vain, jos f:llä on raja-arvo f(x 0 ) pisteessä x 0, ts. lim x x 0 f(x) = f(x 0 ) Riemann-integraali Integrointi ja differentiointi (derivointi) ovat kaksi analyysin keskeisintä rajaprosessia. Analyysin peruslause ilmaisee, että derivointi ja integrointi ovat toistensa käänteisprosesseja. Olkoon I rajoitettu väli, jonka päätepisteet ovat a,b R, a < b. Välin I jaon muodostavat luvut (äärellisen monta) a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b. Funktio g : I R on porrasfunktio, jos on olemassa välin I jako P = (x 0,x 1,x 2,...,x n )

5 Analyysi 3 3 ja luvut a j R, j = 1,2,...,n, joille g(x) = a j kaikilla x ]x j 1,x j [. Porrasfunktion g : [a,b] R integraali (yli välin [a,b]) on b a g := n a j (x j x j 1 ), missä P = (x 0,x 1,x 2,...,x n ) on välin [a,b] jako siten, että g(x) = a j kaikilla x I j =]x j 1,x j [. Rajoitettu funktio f : [a, b] R on (Riemann-)integroituva, jos b ala b f = ylä f. a a Tällöin f:n (Riemann-)integraali yli välin [a, b] on b f := b b f(x)dx := ala b f = ylä f. a a a a Tässä b ala b f := sup{ g : g porrasfunktio ja g f välillä [a,b]} a a ja f:n yläintegraali yli välin [a,b] b ylä b f := inf{ h : g porrasfunktio ja h f välillä [a,b]}. a a Jatkuvat funktiot ovat integroituvia. Riemannin ehto antaa erään keinon tarkastella integroituvuutta: (Analyysi 2, Lause 1.1)

6 Analyysi Lause. (Riemannin ehto) Rajoitettu funktio f : [a,b] R on Riemannintegroituva, välillä [a, b], jos ja vain jos jokaisella ε > 0 on olemassa porrasfunktiot g ja h siten, että g f h välillä [a,b] ja b hdx b gdx < ε. a a Jatkuva funktio saa keskiarvonsa välillä [a, b] (Analyysi 2, Lause 1.14): 1.2. Lause. (Integraalilaskennan väliarvolause (IVAL)) Olkoon f jatkuva välillä [a,b]. Tällöin on olemassa ξ [a,b], jolle b a f(x)dx = f(ξ)(b a). Tarvitsemme tästä myös yleistetyn version (Analyysi 2, Lause 1.16): 1.3. Lause. (Yleistetty integraalilaskennan väliarvolause) Olkoon f jatkuva ja p ei-negatiivinen, Riemann-integroituva välillä [a, b]. Tällöin on olemassa ξ [a, b], jolle b b fpdx = f(ξ) pdx. a a 1.2. Derivaatta Olkoon f ]a,b[ R ja x ]a,b[. Sanotaan, että f on derivoituva ja f (x) f:n derivaatta pisteeessä x, jos raja-arvo on olemassa (ja reaaliluku!). f(x+h) f(x) lim h 0 h = f (x) Edelleen, jos f on derivoituva välillä ]a,b[, niin sen derivaatta f määrittelee myös funktion f ]a,b[ R: mikäli derivaattafunktio f on derivoituva, niin f on kahdesti derivoituva ja f:n toinen derivaatta on f (x) = (f ) (x).

7 Analyysi 3 5 Jatkamalla näin, f:n kolmas derivaatta f = f (3) on f:n toisen derivaatan f derivaatta, mikäli sellainen on olemassa jne. Seuraava väliarvolause (Analyysi 2, lause 2.7) on alkeisdifferentiaalilaskennan ehkä tärkein ja hyödyllisin lause Lause. (Väliarvolause, VAL) Olkoon f [a, b] R jatkuva suljetulla välillä [a,b] ja derivoituva avoimella välillä ]a,b[. Tällöin on olemassa ξ ]a,b[ siten, että f (ξ) = f(b) f(a) b a Tarvitsemme jatkossa myös sen yleistettyä muotoa (Analyysi 2, lause 2.13): Lause. (Yleistetty väliarvolause) Olkoon f ja g jatkuvia suljetulla välillä [a, b] ja derivoituvia avoimella välillä ]a, b[. Jos niin on olemassa ξ ]a,b[ siten, että g (x) 0 kaikilla x ]a,b[, f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ) Analyysin peruslause Analyysin peruslause sitoo integroinnin ja derivoinnin toisiinsa (ks Analyysi 2, luku 3): 1.6. Lause. (Analyysin peruslause) Olkoon f :]a, b[ R jatkuvasti derivoituva ja x 0 ]a,b[. Tällöin f(x) = f(x 0 )+ x x 0 f (t)dt kaikilla x ]a,b[. Kääntäen, jos g on jatkuva funktio välillä [a,b] ja x 0 [a,b], niin integraalifunktio G(x) = x x 0 g(t)dt, on jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja G (x) = g(x) kaikilla x ]a,b[.

8 Analyysi Taylor-polynomit 2.1. Taylorin lause Analyysi 1 -kurssilla opittiin, että jos funktio f on jatkuva pisteesä x 0, niin sen käyttäytymistä voidaan (lähellä pistettä x 0 ) approksimoida vakiofunktiolla (y = f(x 0 )), sillä f(x) f(x 0 ) = o(1) = o( x x 0 0 ) kun x x 0, toisin sanoen 1 f(x) = f(x 0 )+ǫ(x), missä lim x x 0 ǫ(x) x x 0 0 = lim x x 0 ǫ(x) = 0. Vakiopolynomi p 0 (x) = f(x 0 ) on siis jatkuvan funktion f paras approksimointi 0. asteen polynomilla pisteen x 0 lähistöllä. Jos f on hieman sileämpi, approksimointikin sujuu paremmin: olkoon f derivoituva pisteessä x 0. Tällöin (yhtäpitävästi) f(x) (f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )) = o( x x 0 ) kun x x 0, toisin sanoen derivoituvaa funktiota voidaan approksimoida pisteen x 0 ympäristössä affiinilla funktiolla eli ensimmäisen asteen polynomilla niin, että virhetermi on pienempi kuin lineaarinen. Siten tämä polynomi p 1 (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ) 1 Muista: pikku-o ja iso-o merkinnät (Analyysi 2): mikä tarkoittaa, että ja f(x) = o(g(x)), kun x x 0, f(x) lim x x 0 g(x) = 0, f(x) = O(g(x)), kun x x 0, mikä tarkoittaa, että on olemassa vakio C > 0 siten, että kunhan x on tarpeeksi lähellä pistettä x 0. f(x) C g(x),

9 Analyysi 3 7 antaa ensimmäiseen asteen polynomeista parhaan approksimoinnin f:lle pisteen x 0 lähellä. Nyt voisi arvata, että kahdesti derivoituvaa funktioita voisi approksimoida toisen asteen polynomilla niin, että virhetermi olisi muotoa o((x x 0 ) 2 ). Lasketaan tämä ensin 2. asteen polynomille: p 2 (x) = a 2 x 2 +a 1 x+a 0, jolloin p 2 (x) p 2 (x 0 ) = a 2 (x 2 x 2 0 )+a 1(x x 0 ) = a 2 (x x 0 ) 2 +2a 2 x 0 (x x 0 )+a 1 (x x 0 ) = 1 2 p 2(x 0 )(x x 0 ) 2 +p 2(x 0 )(x x 0 ). Tämän opastamana arvaamme, että kahdesti derivoituvaa funktiota f voidaan parhaiten approksimoida polynomilla Näin onkin asian laita: q 2 (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) Lause. Olkoon funktiolla f jatkuva toinen derivaatta f välillä ]a,b[. Jos x 0 ]a,b[ ja q 2 (x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) 2, niin f(x) q 2 (x) = o( x x 0 2 ), kun x x 0, ts. kaikilla ε > 0 on δ > 0, jolle f(x) q 2 (x) ε x x 0 2, kun x x 0 < δ. Todistus: Olkoon F = f q 2. Tällöin F:llä on jatkuva toinen derivaatta ja F(x 0 ) = F (x 0 ) = F (x 0 ) = 0. Väite todistetaan soveltamalla väliarvolausetta 1.4 kahdesti: Ensiksi, löydetään sellainen piste x 1 pisteiden x 0 ja x välistä, jolle F(x) = F(x) F(x 0 ) = F (x 1 )(x x 0 )

10 Analyysi 3 8 ja edelleen piste x 2 pisteiden x 0 ja x 1 välistä, jolle F (x 1 ) = F (x 1 ) F (x 0 ) = F (x 2 )(x 1 x 0 ). Siten yhdistämällä nämä F(x) = F (x 2 )(x 1 x 0 )(x x 0 ) F (x 2 ) (x x 0 ) 2. Koska F on jatkuva ja F (x 0 ) = 0, on jokaista ε > 0 kohden sellainen δ > 0, jolle F (x) < ε kaikilla x, joille x x 0 < δ. Koska piste x 2 pisteiden x 0 ja x välissä, saadaan tästä f(x) g 2 (x) = F(x) F (x 2 ) (x x 0 ) 2 ε(x x 0 ) 2 kaikilla x, joille x x 0 < δ. Seuraavaksi havaitsemme, että n. asteen polynomille pätee p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0, (2.1) p(x) = p(x 0 )+p (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 p (x 0 )(x x 0 ) p(n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Tämän toteamiseksi kirjoitetaan (x = x 0 +h ja) p(x 0 +h) = n a j (x 0 +h) j = j=0 n b j h j, j=0 jolloin b 0 = p(x 0 ). Muut kertoimet b j saadaan laskemalla eo. lausekkeen derivaatat h:n suhteen pisteessä h = 0: ensiksi p (x 0 +h) = n jb j h j 1, mistä p (x 0 ) = b 1. Laskemalla samoin kaikki n derivaattaa samoin päädytään kaavaan (2.1). Jos f on n kertaa derivoituva, niin kaavan (2.1) oikean puolen polynomi voidaan muodostaa (kun p korvataan f:llä). Sitä kutsutaan f:n Taylorin polynomiksi:

11 Analyysi Määritelmä. Olkoon f n kertaa derivoituva välillä ]a, b[. Funktion f n. Taylorin polynomi pisteessä x 0 ]a,b[ on T n,x0 f(x) = f(x 0 )+f (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f (x 0 )(x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! Kaavan (2.1) mukaan korkeintaan n. asteen polynomille p pätee: T n,x0 p(x) = p(x) kaikilla x R. Yleiselle funktiolle f sen Taylorin polynomi on tietysti eri kuin funktio itse. Funktiota R n,x0 f, joka ilmaisee kuinka paljon n. Taylorin polynomi eroaa f:stä sanotaan f:n n. jäännöstermiksi. Siis R n,x0 f(x) = f(x) T n,x0 f(x). Seuraava Taylorin lause kertoo, että jäännöstermi on varsin pieni sileälle funktiolle: 2.3. Lause. (Taylorin lause/kaava) Olkoon funktio f n kertaa jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja x 0 ]a,b[. Tällöin f(x) = T n,x0 f(x)+r n,x0 f(x) kaikilla x ]a,b[, missä R n,x0 f(x) = o( x x 0 n ), kun x x 0. Todistus: (vrt Lauseen 2.1 todistus.) Osoitetaan väliarvolauseen avulla, että Ensiksi havaitaan, että R n,x0 (x) = R n,x0 f(x) = o( x x 0 n ), kun x x 0. R n,x0 (x 0 ) = R n,x 0 (x 0 ) = R n,x 0 (x 0 ) = = R (n) n,x 0 (x 0 ) = 0, jolloin soveltamalla väliarvolausetta jäännöstermiin ja sen derivaattoihin löydetään pisteet x 1,x 2,...,x n pisteiden x ja x 0 välistä, joille R n,x0 (x) = R n,x 0 (x 1 )(x x 0 ) R n,x 0 (x 1 ) = R n,x 0 (x 2 )(x 1 x 0 )... R (n 1) n,x 0 (x n 1 ) = R (n) n,x 0 (x n )(x n 1 x 0 ).

12 Analyysi 3 10 Yhdistämällä nämä saadaan josta R n,x0 (x) = R (n) n,x 0 (x n )(x x 0 )(x 1 x 0 )(x 2 x 0 ) (x n 1 x 0 ), R n,x0 (x) R (n) n,x 0 (x n ) x x 0 n, joten väite seuraa, koska jatkuvuuden nojalla lim R n,x (n) x x 0 (x n ) = lim R n,x (n) 0 (y) = R n,x (n) 0 (x 0 ) = 0. 0 y x0 Esimerkki. Eksponenttifunktion Taylor-approksimointi origossa on e x = 1+x+ x2 2! + x3 xn + + 3! n! +xn ǫ(x), missä ǫ(x) 0. Samalla tavalla saadaan suoraan derivoimalla, että missä ǫ 2k+1 (x) 0 ja sinx = x x3 3! + x5 5! + +( 1)k x 2k+1 (2k +1)! +x2k+1 ǫ 2k+1 (x), missä ǫ 2k (x) 0. cosx = 1 x2 2! + x4 x2k + +( 1)k 4! (2k)! +x2k ǫ 2k (x), Näiden avulla voidaan laskea esimerkiksi lim x 0 sinx x x(cosx 1) = lim x 0 = lim x x3 3! +x 3 ǫ 3 (x) x x(1 x2 2! +x 2 ǫ 2 (x) 1) x3 x 0 x3 3! +x 3 ǫ 3 (x) 2! +x 3 ǫ 2 (x) = lim x 0 1 3! +ǫ 3(x) 1 2! +ǫ 2(x) = 1 3.

13 Analyysi 3 11 Huomaa, että Taylorin lause kertoo, että n. Taylorin polynomi approksimoi funktiota hyvin pisteen x 0 lähellä, muttei mitään siitä, mitä tapahtuu kauempana. Huomaa myös, että Taylorin polynomit voivat muuttua paljonkin, kun pistettä x 0 muutetaan. Myöhemmin tutkimme lähemmin, miten funktiota voidaan approksimoida pisteittäin tai globaalimmin. Taylorin polynomi voidaan aina laskea derivoimalla f riittävän monta kertaa. Tämä on kuitenkin usein kohtuuttoman työlästä. Siksi on hyvä havaita seuraava yksikäsitteisyystulos: 2.4. Lause. Olkoon f n kertaa jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja x 0 ]a,b[. Jos p on n. asteen polynomi, jolle f(x) p(x) = o( x x 0 n ), kun x x 0, niin p(x) = T n,x0 f(x) kaikilla x. Todistus: Koska Taylorin lauseen 2.3 mukaan f(x) p(x) = o( x x 0 n ) ja f(x) T n,x0 f(x) = o( x x 0 n ) niin p(x) T n,x0 f(x) x x 0 n 0, kun x x 0. Siten kirjoittamalla p(x) T n,x0 f(x) = n a j (x x 0 ) j j=0 ja antamalla x x 0 nähdään, että a 0 = 0 ja edelleeen a 1 = 0, a 2 = 0... ja a n = 0. Edelläolevan yksikäsitteisyyslauseen (eräs) hyöty on se, että riittää löytää millä tahansa keinolla tai konstilla n. asteen polynomi p, jolle f(x) p(x) = o( x x 0 n ), sillä tämän polynomin täytyy olla f:n n. Taylorin polynomi. Esimerkiksi kahden funktion f ja g Taylorin polynomien tulosta saadaan tulofunktiolle f g Taylorin polynomi, kun tulopolynomista otetaan mukaan vain termit joiden aste on korkeintaan n(silläkorkeammille potensseillek > npätee x x 0 k = o( x x 0 n )).Hetkenpäästä muitakin esimerkkejä.

14 Analyysi 3 12 Esimerkki. (Geometrinen sarja) Olkoon n 1 S n = 1+q +q 2 + +q n 1 = n termin geometrinen summa. Induktiolla todetaan, että kunhan q 1 (jos q = 1 on S n = n). S n = 1 qn 1 q, Tarkastellaan nyt funktiota g :],1[ R, g(t) = 1 1 t. Nyt ylläolevasta geometrisestä sarjasta saamme (kaikilla n N) josta integroimalla (x < 1) log(1 x) = k=0 q k g(t) = 1+t+t 2 + +t n 1 + tn 1 t, = x 0 x 0 dt 1 t = x+ x2 2 n = (1+t+t 2 + +t n 1 )dt+ + + xn n R n(x) x j j R n(x), x 0 t n 1 t dt missä Nyt x R n (x) = 0 t n 1 t dt. x t n dt x n+1 =, kun x 0, 0 n+1 R n (x) 1 x t n dt x n+1 =, kun x [0,1[, 1 x (1 x)(n+1) 0

15 Analyysi 3 13 Siten kaikilla x [ 1,1[ f(x) = log(1 x) = missä R n (x) 0, kun n. Koska lisäksi n x j j +R n(x), R n (x) = o( x x 0 n ), kun x 0, on Taylorin polynomin yksikäsitteisyystuloksen 2.4 nojalla funktion n. Taylorin polynomi nollassa f(x) = log(1 x) T n,x0 f(x) = Huomaa, että yo. laskun avulla saamme n x j j. log2 = , minkä tarkka merkitys selviää myöhemmin sarjoja käsittelevässä luvussa Jäännöstermin lauseke ja arvioita Taylorin kaavan sovellutuksissa on usein tarpeen tietää enemmän jäännöstermistä kuin, mitä lauseesta 2.3 käy ilmi. Ensin todistamme sille tarkan integraalimuodon: 2.5. Lause. (Taylorin kaava, integroitu muoto) Olkoon funktio f n + 1 kertaa jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja x 0 ]a,b[. Tällöin missä jäännöstermi on f(x) = T n,x0 f(x)+r n,x0 f(x) kaikilla x ]a,b[, x R n,x0 f(x) = 1 (x t) n f (n+1) (t)dt. n! x 0

16 Analyysi 3 14 Todistus: Tämä voidaan todistaa myös suoraan osittaisintegroimalla ja induktiolla, mikä tehtäneen harjoituksissa. Seuraavassa todistuksessa käytetään Lauseen 2.3 kaavaa: kaikilla x,y ]a,b[ R n,y f(x) = f(x) T n,y f(x) = f(x) f(y) f (y)(x y) 1 2 f (y)(x y) 2 f(n) (y) (x y) n, n! mistä laskemalla derivaatta y:n suhteen saadaan tulon derivoimissäännön avulla d dy R n,yf(x) =0 f (y) (f (y)(x y) f (y)) ( 1 2 f (y)(x y) 2 f (y)(x y))... ( f(n+1) (y) (x y) n f(n) (y) n! (n 1)! (x y)n 1 ) = f(n+1) (y) (x y) n, n! koska summassa joka toinen termi kumoaa toisensa. Koska R n,x f(x) = 0, saadaan analyysin peruslauseen nojalla ja väite on todistettu. R n,x0 f(x) = R n,x0 f(x) R n,x f(x) = = x 0 x x x 0 d dy R n,yf(x)dy = x x 0 f (n+1) (y) (x y) n dy, n! d dy R n,yf(x)dy Integraalilaskennan väliarvolauseesta 1.2 saadaan seuraava arvio jäännöstermille: 2.6. Lause. (Cauchyn muoto jäännöstermille) Olkoon funktio f n + 1 kertaa jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja x 0 ]a,b[. Taylorin polynomin n. jäännöstermille pätee: kaikilla x ]a,b[ on olemassa ξ pisteiden x ja x 0 välissä, jolle R n,x0 f(x) = f(n+1) (ξ) (x ξ) n (x x 0 ). n!

17 Analyysi 3 15 Todistus: Seuraa suoraan jäännöstermin integraalimuodosta ja integraalilaskennan väliarvolauseesta 1.2 sillä x R n,x0 f(x) = 1 (x t) n f (n+1) (t)dt n! x 0 missä ξ on eräs piste pisteiden x ja x 0 välissä. = 1 n! f(n+1) (ξ)(x ξ) n (x x 0 ), Yleistetystä integraalilaskennan väliarvolauseesta 1.3 saadaan seuraava arvio jäännöstermille: 2.7. Lause. (Lagrangen muoto jäännöstermille) Olkoon funktio f n + 1 kertaa jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja x 0 ]a,b[. Taylorin polynomin n. jäännöstermille pätee: kaikilla x ]a,b[ on olemassa ξ pisteiden x ja x 0 välissä, jolle R n,x0 f(x) = f(n+1) (ξ) (n+1)! (x x 0) n+1. Todistus: Seuraa suoraan jäännöstermin integraalimuodosta ja yleistetystä integraalilaskennan väliarvolauseesta 1.3 sillä x R n,x0 f(x) = 1 (x t) n f (n+1) (t)dt n! x 0 missä ξ on eräs piste pisteiden x ja x 0 välissä. x = 1 n! f(n+1) (ξ) (x t) n dt x 0 = 1 1 n! f(n+1) (ξ) n+1 (x x 0) n+1, Seuraavassa eräs esimerkki Taylorin kaavan sovellutuksesta: 2.8. Lause. Olkoon funktio f n kertaa jatkuvasti derivoituva välillä ]a,b[ ja x 0 ]a,b[. Jos f (x 0 ) = f (x 0 ) = f (3) (x 0 ) = = f (n 1) (x 0 ) = 0 ja f (n) (x 0 ) > 0, niin f:llä on lokaali minimi pisteessä x 0, jos n 2 on parillinen. Piste x 0 ei ole f:n ääriarvokohta jos n on pariton.

18 Analyysi 3 16 Todistus: Seuraa Taylorin kaavasta. Yksityiskohdat: HT.

19 Analyysi Funktiojonot Muistetaan Analyysi 1 -kurssilta suppenevan pistejonon määritelmä: 3.1. Määritelmä. Olkoon x 1,x 2,... jono reaalilukuja. Sanotaan, että jono (x n ) suppenee kohti reaalilukua a, jos jokaisella ε > 0 on olemassa luku N = N(ε,jono) N siten, että x n a < ε kaikilla n N. Tällöin a on jonon (x n ) raja-arvo ja sitä merkitään lim x n = a tai x n a kun n. n Esimerkki. Olkoon x [0,1]. Tällöin jono (x n ) suppenee ja lim n xn = { 0, jos 0 x < 1, 1, jos x = 1, Jos x = 0 tai x = 1, on asia selvä. Jos 0 < x < 1, tämä nähdään esimerkiksi Bernoullin epäyhtälön 2 avulla ( ) n x n 1 = 1+( 1 1) x Koska Bernoullin epäyhtälöstä seuraa, että 1 1+n( 1 x 1) x n = (1 (1 x)) n 1 n(1 x) 1 2 x n(1 x) 0., kun 1 1 2n x 1, huomataan, että jonon suppenemisvauhti riippuu pisteestä x, ts. se kohta (indeksi n), mistä jonon loppuosa on annettua lukua ε lähempänä raja-arvoa, riippuu x:n arvosta. Jono voidaan myös kirjoittaa funktioiden avulla: f n : [0,1] R, f n (x) = x n, n N. Tällöin jonoa (f n ) kutsutaan funktiojonoksi. 2 Bernoullin epäyhtälö: jos y > 1, niin (1+y) n 1+ny kaikilla n N.

20 Analyysi 3 18 Jos A R ja f n : A R, n N, ovat funktioita, niin (f n ) n = (f n ) n N = (f n ) = f 1,f 2,f 3,..., on funktiojono. Funktiojono (f n ) tuottaa jokaisella x A lukujonon (f n (x)). Sanotaan, että funktiojono (f n ) suppenee (pisteittäin) joukossa A, jos lukujonot (f n (x)) suppenevat jokaisella x A, ts. jokaisella x A on olemassa reaaliluku f(x), jolle lim f n(x) = f(x). n Nämä raja-arvot f(x) määrittelevät uuden funktion f : A R ja sanotaan, että funktiojono (f n ) suppenee (pisteittäin) kohti funktiota f, tätä merkitään f n f tai lim f n = f. n Huomaa, että suppenemisvauhti f n (x) f(x) riippuu yleensä pisteestä x, vrt. esimerkki edellä. Edelläolevan määritelmän mukaan siis funktiojono f n suppenee pisteittäin (joukossa A) kohti funktiota f, jos jokaisella x ja jokaisella ε > 0 on olemassa luku N = N(x,ε,jono) N siten, että f n (x) f(x) < ε kaikilla n N. Lukujono suppenee, jos se täyttää Cauchyn kriteerion; funktiojonolle tämä kertoo seuraavaa: funktiojono (f n ) suppenee pisteittäin joukossa A (kohti jotain funktiota f : A R), jos jokaisella x ja jokaisella ε > 0 on olemassa luku N = N(x,ε,jono) N siten, että f n (x) f m (x) < ε kaikilla n,m N. Pisteittäisessä suppenemisessa jokaista lukua ε > 0 kohti on luku N, jota suuremmille indekseillä jonon funktioiden arvot pisteessä x poikkeavat rajafunktion arvosta pisteessä x vähemmän kuin ε. Se kuinka suuri luvun N tulee olla, riipuu yleensä pisteestä x. Esimerkki. Olkoon f n : R R, n N, f n (x) = { sin(πx), jos x [n,2n] 0, muutoin.

21 Analyysi 3 19 Tällöin f n on jono jatkuvia funktioita f n : R R ja f n 0, koska kiinteällä x f n (x) = 0 kunhan n > x. Siten valitsemalla N > x (N N) saamme (kaikilla ε > 0) f n (x) 0 < ε, kunhan n N. Kuitenkaan lukua N ei voida valita pisteestä x riippumattomaksi (mikäli ε < 1) koska kaikilla n pätee f n (x) 0 = f n (n+ 1 ) = 1 > ε. 2 Seuraavassa määritellään pisteittäistä konvergenssia vahvempi konvergenssin käsite funktiojonoille: 3.2. Määritelmä. Sanotaan, että jono funktioita f n : A R suppenee tasaisesti joukossa A kohti funktiota f : A R, jos kaikilla ε > 0 on olemassa luku N = N(ε,jono) N siten, että f n (x) f(x) < ε kaikilla x A, kunhan n N. Tätä merkitään joskus f n f tasaisesti A:ssa. Tasaisesti suppeneva funktiojono suppenee tietysti pisteittäin, mutta käänteinen väite ei ole tosi, kuten yllä olevissa esimerkeissä näimme. Huomaa, että tasaisessa suppenemisessa lukua ε vastaava luku N pitää voida valita pisteestä x riippumattomalla tavalla. Tämä tarkoittaa sitä, että funktiot f n ovat jostain indeksistä alkaen lähellä funktiota f, ns. ε-putkessa.

22 Analyysi 3 20 f +ε 6 f f ε ε-putki Tasaista suppenemista voi hahmottaa niin, että siinä mitataan funktioiden välisiä etäisyyksiä; tässä tietysti pitää käyttää soveltuvaa mittaa ( metriikkaa ): jos f ja g ovat joukossa A määriteltyjä funktioita, niin d(f,g) = sup f(x) g(x) x A on niiden välinen etäisyys. Tämän etäisyyden avulla funktiojonon tasainen suppeneminen vastaa reaalilukujonon suppenemista, kun vain objektien välisiä etäisyyksiä mitataan oikealla tavalla: 3.3. Lause. Olkoot f n,f : A R funktioita. Tällöin f n f tasaisesti A:ssa, jos ja vain, jos lim d(f n,f) = 0, n ts. kaikilla ε > 0 on olemassa luku N N siten, että sup f n (x) f(x) < ε, kaikilla n N. x A

23 Analyysi 3 21 Todistus: Olkoon ε > 0. Jos f n f tasaisesti A:ssa, niin on N N, jolle (kun n N) joten Kääntäen, jos kun n N, niin joten f n f tasaisesti A:ssa. f n (x) f(x) < ε 2 kaikilla x A, sup f n (x) f(x) ε x A 2 < ε. sup f n (x) f(x) < ε, x A f n (x) f(x) < ε kaikilla x A, Seuraava Cauchyn ehto kertoo, milloin funktiojono suppenee tasaisesti kohti jotain funktiota, mistä ei tarvitse olla mitään tietoa Lause. (Tasainen Cauchyn kriteerio) Olkoot f n : A R funktioita. Tällöin funktiojono (f n ) suppenee tasaisesti joukossa A (kohti jotain funktiota f : A R), jos ja vain, jos jokaisella ε > 0 on olemassa luku N N siten, että f n (x) f m (x) < ε kaikilla n,m N ja kaikilla x A. Todistus: Se, että tasaisesta suppenemisesta seuraa tasainen Cauchyn ehto menee aivan samoin kuin lukujonon Cauchyn ehdon todistuksessa (ks Analyysi 1, Lause 4.9) yksityiskohdat harjoituksissa. Jos taas jono toteuttaa tasaisen Cauchyn ehdon, niin jokaisella x lukujono f n (x) on Cauchy-jono ja siten suppenee kohti reaalilukua f(x). Näin saadaan rajafunktioehdokas f : A R. Se on jonon f n tasainen raja: Olkoon ε > 0 ja valitaan tasaisen Cauchyn ehdon antama N, jolle f n (x) f m (x) < ε 2 kaikilla n,m N ja kaikilla x A. Kun x A, f n (x) f(x), joten voimme valita luvun m x N, jolle m x > N ja f(x) f mx (x) < ε 2. Näin ollen f n (x) f(x) f n (x) f mx (x) + f mx (x) f(x) < ε 2 + ε 2 = ε; erityisesti, f n (x) f(x) < ε kaikilla x, kunhan n N, ts. jono f n suppenee tasaisesti A:ssa (kohti funktiota f).

24 Analyysi 3 22 Pisteittäinen konvergenssi on lokaali ominaisuus: se ottaa huomioon jonon funktioiden arvot vain tarkasteltavassa pisteessä. Tasaisen konvergenssi on luonteeltaan globaalimpi: tasaisesti suppenevan jonon funktiot tulevat kauttaaltaan lähelle rajafunktiota. Täten jonon funktioiden ominaisuudet heijastuvat myös rajafunktioon paremmin, mm. jatkuvuus säilyy tasaisessa konvergenssissa: 3.5. Lause. Olkoot f n : A R funktioita, jotka ovat jatkuvia pisteessä x 0 A. Jos f n f tasaisesti A:ssa, on rajafunktio f myös jatkuva pisteessä x 0. Todistus: Olkoon ε > 0. Valitaan n N, jolle sup f n (x) f(x) < ε x A 3. Koska f n on jatkuva pisteessä x 0, on δ > 0, jolle f n (x) f n (x 0 ) < ε 3 kaikilla x A, joilla x x 0 < δ. Siten sellaisella x f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 ) < ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Löysästi puhuen edellinen lause on osa periaatetta jos suppeneminen on tasaista, kahden peräkkäisen rajankäynnin järjestys voidaan vaihtaa. Seuraava lause antaa tästä integraaliversion: 3.6. Lause. Olkoot f n : [a,b] R Riemann-integroituvia funktioita. Jos f n f tasaisesti välillä [a, b], on rajafunktio f myös Riemann-integroituva ja b b lim f n dx = f dx. n a a Todistus: Käytetään Riemannin ehtoa 1.1. Olkoon ε > 0. Valitaan sellainen n N, jolle ε sup f n (x) f(x) < x A 3(b a).

25 Analyysi 3 23 Sitten valitaan Riemannin ehdon mukaiset porrasfunktiot g n ja h n, joille g n f n h n ja jolloin myös Asettamalla g = g n saadaan porrasfunktiot, joille ε g = g n 3(b a) f n ja b a hdx b a b a b a h n dx h n dx ε 3(b a) b a b a g n dx < ε 3 f n dx < ε 3. ja h = h n + ε 3(b a) f f n + gdx = joten f on Riemann-integroituva ja b a fdx b a b a h n dx f n dx b a b a hdx ε 3(b a) ε 3(b a) h n + g n dx+2 ε 3 < ε, b a gdx < ε 3. ε 3(b a) = h Derivoituvuus ei yleensä säily tasaisessa konvergenssissa, mikä näkyy allaolevasta kuvasta. Derivoituvuus ei säily tasaisessa konvergenssissa.

26 Analyysi 3 24 Kuitenkin, jos funktioiden jatkuvat derivaatat myös suppenevat tasaisesti, niin rajafunktiokin on derivoituva: 3.7. Lause. Olkoot f n :]a,b[ R jatkuvasti derivoituvia funktioita. Jos f n f tasaisesti välillä ]a,b[ ja jos derivaattojen f n jono suppenee myös tasaisesti välillä ]a,b[ kohti funktiota g, niin f on (jatkuvasti) derivoituva ja f = g. Todistus: Riittää osoittaa, että f on derivoituva ja f = g; derivaatan jatkuvuus seuraaa Lauseesta 3.5. Tapa 1.Käytetäänanalyysinperuslausetta1.6:Kiinnitetäänx 0 ]a,b[.analyysin peruslauseen nojalla f n (x) = f n (x 0 )+ x x 0 f n (t)dt. Antamalla n yhtälön vasen puoli suppenee kohti lukua f(x), oikean puolen integraalin hoitaa edeltävä integraalien konvergenssilause 3.6: f(x) = lim f n (x) = lim f n (x 0 )+ lim f n (t)dt n n n x 0 = f(x 0 )+ x x 0 g(t)dt, joten väite seuraa analyysin peruslauseen nojalla. Tapa 2. Käytetään väliarvolausetta 1.4: Kiinnitetään x 0 ]a,b[. Olkoon h R sellainen, että x 0 ± h ]a,b[. Väliarvolauseen nojalla jokaisella n N on piste ξ n, jolle x 0 h ξ n x 0 + h ja x f n (x 0 +h) f n (x 0 ) h = f n(ξ n ). Bolzano-Weierstrassin lauseen (Analyysi 1) nojalla on piste z h [x 0 h,x 0 + h ], jota kohti eräs ξ n :n osajono (jota merkitään edelleen ξ n :llä) suppenee. Nyt derivaattojen tasaisesta konvergenssista ja jatkuvuudesta seuraa (HT), että lim n f n (ξ n) = g(z h ),

27 Analyysi 3 25 joten f(x 0 +h) f(x 0 ) h = lim n f n (x 0 +h) f n (x 0 ) h = lim n f n(ξ n ) = g(z h ). Koska z h [x 0 h,x 0 + h ] ja koska g on jatkuva (Lause 3.5), erotusosamäärällä on raja-arvo: f(x 0 +h) f(x 0 ) lim = limg(z h ) = g(x 0 ). h 0 h h 0 Taylorin polynomeja käsiteltäessä opimme, että sileätä funktiota voidaan lokaalisti approksimoida hyvin polynomilla. Seuraava lause (jota emme todista tällä kurssilla) kertoo, että jatkuvaa funktiota voidaan aina approksimoida polynomeilla tasaisesti suljetulla välillä Lause. (Weierstrassin approksimointilause) Olkoon f jatkuva välillä [a, b]. Tällöin on olemassa jono polynomeja p j, joka suppenee kohti f:ää tasaisesti välillä [a,b]. Seuraava Dinin konvergenssilause on hyödyllistä tietää; huomaa, että oletus suljetusta ja rajoitetusta välistä on siinä oleellinen (HT) Lause. (Dini) Olkoon f n vähenevä jono jatkuvia funktioita suljetulla välillä [a,b]. Jos f n f pisteittäin ja jos f on myös jatkuva, niin f n f tasaisesti välillä [a,b]. Todistus: Tarkastelemalla funktioita f n = f n f voidaan olettaa, että f 0. Ellei konvergenssi ole tasaista, löydämme luvut ε > 0 ja x n [a,b], joille f n (x n ) ε. Osajonoon siirtymällä voimme Bolzano-Weierstrassin lauseen (Analyysi 1) nojalla olettaa, että on olemassa x 0 [a,b], jolle lim x n = x 0. n Koska jono f n on vähenevä pätee kaikilla j n: f j (x n ) f n (x n )) ε,

28 Analyysi 3 26 joten jatkuvuudesta seuraa, että f j (x 0 ) = lim n f j (x n ) ε kaikilla j, joten f j (x 0 ) 0, kun j, mikä on vastoin pisteittäisen konvergenssin oletusta.

29 Analyysi Lukusarjat Olkoot a j reaalilukuja, j N. Äärellisen monen reaaliluvun a 1,a 2,...,a n yhteenlasku on tuttua puuhaa ja niiden summa on n a j = a 1 +a 2 + +a n. Tässä luvussa tarkastellaan, mitä äärettömällä summalla eli sarjalla a j tarkoitetaan (vai tarkoitetaanko mitään). Karkeana ideana on laskea jonon (a j ) alusta yhä useampia ja useampia termejä yhteen ja toivoa, että näin saadut summat tulevat lähestymään jotain lukua. Toisin sanoen muodostetaan summat a 1, a 1 +a 2, a 1 +a 2 +a 3, a 1 +a 2 +a 3 +a 4,..., n a j,... ; nämä summat muodostavat uuden reaalilukujonon, joka joko suppenee (jolloin niiden raja-arvoa sanotaan sarjaksi a j tai sarjan summaksi) tai hajaantuu (jolloin sanotaan, että sarja a j hajaantuu) Sarjan suppeneminen ja itseinen suppeneminen 4.1. Määritelmä. Olkoot a j reaalilukuja, j N. Muodollista summaa a j = a 1 +a sanotaan (luku)sarjaksi. Sen j. termi on luku x j ja (äärellinen) summa S n = n a j = a 1 +a 2 + +a n, n N,

30 Analyysi 3 28 on sarjan a j n. osasumma. Jos näiden osasummien (S n ) n N muodostama jono suppenee kohti reaalilukua S, sanotaan että sarja a j suppenee (eli konvergoi) ja raja-arvo on sen summa; merkitään S = lim n S n a j = S = lim n n a j. Ellei sarja suppene, niin sanotaan että se hajaantuu (eli divergoi) Huomautus. (a) Sarja siis hajaantuu, jos sen osasummien jonolla ei ole raja-arvoa (tai jos mahdollinen raja-arvo on ± ). (b) Usein sarjassa summataan indeksejä 0:stä tai jostain muusta luvusta äärettömään. Ilmeinen pieni muokkaus määritelmään kertoo, mitä silloin tarkoitetaan. (c) Jos sarjat a j ja b j, suppenevat, niin termien summien ja vakiolla kerrottujen termien muodostamat sarjat suppenevat myös ja (a j +b j ) = a j + b j sekä (ca j ) = c a j, kun c R. (d) Huomaa, että termien summausjärjestys vaikuttaa sarjan suppenemiseen; tästä esimerkkejä myöhemmin (ks 4.18 ja 4.19).

31 Analyysi 3 29 Esimerkki. Sarja j=0 x j j! suppenee kaikilla x R kohti lukua e x, koska osasummien jono on eksponenttifunktion n. Taylorin polynomi, jonka jäännöstermille pätee e ξ R n,0 exp(x) = (n+1)! xn+1 (n+1)! xn+1 0, kun n. e x 4.3. Lause. Jos sarja a j suppenee, niin lim a j = 0. j Todistus: Termit saadaan helposti osasummista, joten a n = S n S n 1 = n n 1 a j a j a j a j = 0. Termien suppeneminen nollaan on välttämätön, vaan ei riittävä ehto sarjan suppenemiselle, kuten esimerkiksi harmonisesta sarjasta (Esim. 4.5) opimme Huomautus. Lukujono suppenee, jos se täyttää Cauchyn kriteerion; sarjoihin sovellettuna se kertoo, että sarja suppenee, jos ja vain, jos sen osasummien jono on Cauchy-jono, minkä kanssa on edelleen yhtäpitävää, että kaikilla ε > 0 on N N, jolle n m n S n S m = a j a j = a j < ε kunhan n > m N. j=m+1

32 Analyysi Esimerkki. (harmoninen sarja) Sarjaa sanotaan harmoniseksi sarjaksi. Se hajaantuu (tosin hyvin hitaasti), vaikka termit suppenevat nollaan, 1 0. Hajaantuminen nähdään helposti: jos n N, niin n S n S 2n = 2n j=n+1 1 j 1 j = 1 n n n 1 n+n + 1 n+n n+n = n 1 2n = 1 2, joten osasummien jono ei ole Cauchy eikä näin ollen suppene. Suoremmin hajaantuminen nähdään seuraavasti: n S 2 n = 1+ (S 2 j S 2 j 1) 1+n 1 2, kun n, joten harmoninen sarja ei suppene.. Induktiolla on (melko) helppo nähdä (ks 4.15), että log(n+1) joten hajaantuminen on hidasta (HT). n 1 j 1+logn, Esimerkki. Vuorotteleva harmoninen sarja ( 1) j+11 j suppenee, koska osasummien jono on Cauchy-jono: havaitaan, että kaikilla k S 2k 1 S 2k 1 1 2k + 1 2k +1 = S 2k+1 S 2k+1 1 2k +2 = S 2k+2 = S 2k + 1 2k k +2 S 2k,

33 Analyysi 3 31 joten kaikilla n,m 2k S n S m S 2k 1 S 2k = 1 2k. Siis (S n ) on Cauchy-jono ja siten suppenee. Huom. Logaritmin Taylor polynomi on log(1 x) = n x j j +R n(x), kun x < 1, missä R n (x) 0, kun n. Tämän avulla saamme toisen tavan todeta vuorottelevan harmonisen sarjan suppeneminen. Lisäksi ( 1) j+11 j = log(2). Esimerkki. (aritmeettinen sarja) Sarja a j on aritmeettinen, jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio, ts. kaikilla j ts. aritmeettinen sarja on muotoa a j+1 a j = d, (a 1 +(j 1)d). Aritmeettinen sarja hajaantuu (ellei sen kaikki termit ole = 0), koska n a j = n ellei a 1 = 0 = d. a 1 +(j 1)d = na 1 + n(n 1)d 2 = n a 1 +(a 1 +(n 1)d), 2 Esimerkki. (geometrinen sarja) Sarja a j on geometrinen, jos jokaisen kahden peräkkäisen termin suhde on vakio, ts. on sellainen luku q, jolle kaikilla j a j+1 = qa j.

34 Analyysi 3 32 Ts. geometrinen sarja on muotoa aq j 1. Vaihdetaan summausindeksiä, jolloin summa on helpompi muistaa: aq j 1 = aq k. k=0 Induktiolla toteamme, että n. osasumma on n aq k = a k=0 n q k a 1 qn+1, jos q 1 = 1 q a(n+1), jos q = 1. k=0 Tästä näemme, että geometrinen sarja suppenee, jos ja vain, jos sen suhdeluvulle q pätee q < 1. Tällöin sarjan summa on aq k = a k=0 k=0 q k = a, jos q 1. 1 q 4.6. Määritelmä. Olkoota j R,j = 1,2,...Sanotaan,ettäsarja a j suppenee itseisesti (tai absoluuttisesti), jos termien itseisarvojen muodostama sarja suppenee. a j Suppeneva sarja ei välttämättä suppene itseisesti, sillä esimerkiksi vuorotteleva harmoninen sarja ( 1) j1 j suppenee, mutta ei itseisesti. Käänteinen kuitenkin pätee:

35 Analyysi Lause. Itseisesti suppeneva sarja suppenee ja a j a j. Todistus: Kolmioepäyhtälön nojalla kaikille b j R ja n N (4.1) n n b j b j, joten osasummien jonolle pätee (kun n > m) S n = n a j S n S m = n j=m+1 a j n j=m+1 a j = n a j m a j < ε, kun n ja m tarpeeksi suuria, koska itseisarvojen osasummien jono on suppenevana jonona Cauchy-jono. Siis (S n ) on myös Cauchy-jono, siis suppeneva. Väitteen epäyhtälö seuraa kolmioepäyhtälöstä (4.1), koska kaikilla n N n n a j a j a j. Seuraavasta lauseesta saadaan riiittävä ja välttämätön ehto itseiselle suppenemiselle Lause. Jos b j 0 kaikilla j, niin sarja b j suppenee, jos ja vain, jos sen osasummien jono muodostaa rajoitetun jonon, ts. on olemassa M R, jolle n b j M kaikilla n. Todistus: Osasummien jono on nouseva; nouseva jono suppenee täsmälleen silloin kun se on rajoitettu.

36 Analyysi Suppenemistestejä Seuraavassa esitetään kokoelma testejä sarjojen (itseisen) supenemisen toteamiseksi Lause. (Vertailutesti) Olkoot a j R, j N. (a) Jos on olemassa luvut b j 0, joille a j b j kaikilla j N ja sarja b j suppenee, niin sarja a j suppenee (itseisesti). (b) Jos on olemassa luvut c j 0, joille a j c j 0 kaikilla j N ja sarja c j hajaantuu, niin sarja a j hajaantuu. Todistus: Tämä seuraa lähes välittömästi lauseesta 4.8 (HT). Vertailutestiä on joskus kätevä käyttää seuraavassa rajamuodossa: Lause. (Vertailutesti 2) Olkoot a j 0 ja b j 0, j N. (a) Jos (b) Jos a j lim = a ]0, [, j b j niin sarja a j suppenee, jos ja vain, jos sarja b j suppenee. a j lim = 0 j b j ja jos sarja b j suppenee, niin myös sarja a j suppenee.

37 Analyysi 3 35 (c) Jos a j lim = j b j ja jos sarja b j hajaantuu, niin myös sarja a j hajaantuu. Todistus: Seuraa Lauseesta 4.9, koska äärellisen monen termin muuttaminen ei vaikuta sarjan suppenemiseen (HT). Esimerkki. Sarja hajaantuu, koska ja harmoninen sarja hajaantuu. lim j j j 2 +j +1 j j 2 +j+1 1 j 1 j = Lause. (Suhdetesti) Olkoot a j R, a j 0 kaikilla j N. (a) Jos on olemassa luvut ρ < 1 ja N N, joille a j+1 a j ρ kaikilla j N,, niin sarja a j suppenee (itseisesti). (b) Jos on olemassa luvut η > 1 ja N N, joille a j+1 a j η kaikilla j N, niin sarja a j hajaantuu.

38 Analyysi 3 36 Todistus: a) Koska a j ρ a j 1 ρ 2 a j 2 ρ j N a N, sarjaa majoroi suppeneva geometrinen sarja a j j=n a N ρ j N, j=n joten väite a) seuraa vertailutestistä 4.9. b) Nyt a j η a j 1 η 2 a j 2 η j N a N, kun j, joten sarja a j hajaantuu (Lause 4.3) Huomautus. Lauseesta 4.11 saadaan helposti raja-arvoversio (a j 0): (a) Jos niin sarja a j suppenee (itseisesti). a j+1 lim < 1, j a j (b) Jos niin sarja a j hajaantuu. a j+1 lim > 1, j a j Huomaa, että jos suhdetestissä ρ = 1 tai η = 1 tai jos suhteen raja-arvo on itseisarvoltaan 1, niin suppenemisesta ei voida päätellä mitään, esimerkiksi harmoninen sarja hajaantuu ja vuorotteleva harmoninen sarja suppenee, vaikka molemmille a j+1 a j = j < 1 kaikilla j. j +1

39 Analyysi 3 37 Esimerkki. Sarja suppenee koska 1 (n+1)! 1 n! 1 n! = 1 n < 1. Seuraavaa juuritestiä on usein hieman vaikeampi käyttää kuin edellisiä testejä, mutta se on kuitenkin tärkeä suppenemistesti Lause. (Juuritesti) Olkoot a n R, n N. (a) Jos on olemassa luvut ρ < 1 ja N N, joille n an ρ kaikilla n N, niin sarja a n suppenee (itseisesti). (b) Jos on olemassa luvut η > 1 ja N N, joille n an η kaikilla n N, niin sarja a n hajaantuu. Erityisesti, jos on olemassa raja-arvo lim n n an = L, niin sarja a n suppenee (itseisesti), jos L < 1 ja hajaantuu, jos L > 1. Todistus: (a) Koska a n ρ n, niin sarjalla sarja n=n n=n ρ n, joten väite seuraa vertailutestistä 4.9. a n on majoranttina suppeneva (b) Tällöin a n η n 1 äärettömän monella n, joten termit a n eivät suppene nollaan eikä sarja siten voi supeta (Lause 4.3).

40 Analyysi 3 38 Esimerkki. Sarja 1 n2 n suppenee, koska lim n n 1 n2 = 1 n 2 lim n 1 n n = = 1 2 < 1. Seuraavasta 2 m -testistä on joskus hyötyä: Lause. (2 m -testi) Olkoot a n R laskeva jono ei-negatiivisia lukuja (ts. a 1 a 2 0), joille lim a n = 0. n Tällöin sarja a n suppenee, jos ja vain, jos sarja 2 m a 2 m suppenee. m=0 Todistus: Jos : Olkoon N N ja valitaan se kokonaisluku M, jolle 2 M 1 N < 2 M. Tällöin N a n 2 M 1 a n = a 1 +(a 2 +a 3 )+(a 4 +a 5 +a 6 +a 7 )+ +(a 2 M 1 + +a 2 M 1) 2 0 a a a M 1 a 2 M 1 = M 1 m=0 2 m a 2 m 2 m a 2 m <, m=0 joten osasummien jono on rajoitettu ja sarja a n siten suppenee.

41 Analyysi 3 39 Vain jos : Samaan tapaan, sillä 1 2 M 2 m a 2 m = m=1 Yksityiskohdat HT. M 2 m 1 a 2 m m=1 (a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 5 +a 6 +a 7 +a 8 )+... +(a 2 M a 2 M a 2 M) a n <. Esimerkki. (Yli- ja aliharmoniset sarjat) Tarkastellaan sarjaa Käytetään 2 m -testiä 4.14, missä a n = n p : 2 m a 2 m = m=0 1, missä p > 0. np m=0 2 m (2 m ) = p m=0 ( 1 2 p 1 ) m, mikä on geometrinen sarja, joka suppenee jos ja vain, jos 1/2 p 1 < 1 eli p > 1. Siis yliharmoninen sarja 1, p > 1, suppenee np ja aliharmoninen (ja harmoninen) sarja 1, 0 < p 1, hajaantuu. np Lause. (Integraalitesti) Olkoon f : [1, ) [0, ) jatkuva ja vähenevä funktio ja a n = f(n).

42 Analyysi 3 40 Tällöin sarja a n suppenee jos ja vain, jos epäoleellinen integraali f(x)dx suppenee. 1 a 1 a 2 a 3 a 4 y = f(x) Todistus: 1 5 Väite seuraa, koska kaikilla N (ks. kuva) N a n = n=2 = N f(n) = n=2 N 1 f(x)dx N 1 = a n. N n n=2 n 1 N 1 Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. f(n)dx n+1 n f(n)dx N n n=2 n 1 f(x)dx Esimerkki. Sarja 1 (n+2)log(n+2)

43 Analyysi 3 41 hajaantuu, koska määrittelemällä f(x) = 1 (x+2)log(x+2), x 1, voidaan soveltaa integraalitestiä ja laskemme: a 1 kun a. f(x)dx = = a 1 / a 1, 1 (x+2) log(x+2) dx log(log(x+2)) = log(log(a+2)) log(log(3)) Huomautus. Yksi suppenemistesti ei sovellu joka sarjaan, vaan usein pitää kokeilla useampia testejä ennen kuin onnistuu. Huomaa myös, että esimerkiksi vertailutestin käytössä riittää löytää karkea epäyhtälö (ja vain häntäpään termeille), esimerkiksi ehto a n n 2, kun n > on ihan riittävä takaamaan sarjan a n itseisen suppenemisen. Muista myös erottaa oleelliset osat epäoleellisista, esimerkiksi luvussa 2 n n 7 osa 2 n on määräävä isoilla n Sarjan ehdollinen suppeneminen Kun sarjan termit eivät kaikki ole samanmerkkisiä, niin suppeneva sarja ei välttämättä suppene itseisesti. Tällaisista esimerkkinä on vuorotteleva harmoninen sarja ( 1) n1 n, joka suppenee, mutta ei itseisesti. Joskus halutaan korostaa, ei-itseistä (eiabsoluuttista) konvergenssiä ja sanotaan, että sarja suppenee ehdollisesti. Tässä jaksossa tarkastellaan tähän liittyviä ilmiöitä.

44 Analyysi Lause. (Leibnitzin testi vuorotteleville sarjoille) Olkoon a n vähenevä jono ei-negatiivisia reaalilukuja, ts. a 1 a 2 a n 0. Jos niin vuorotteleva sarja ( 1) n 1 a n jonolle pätee S 2n lim a n = 0, n suppenee. Edelleen, sarjan osasummien S n ( 1) j 1 a j S 2n 1 kaikilla n. Todistus: Kun S n = n ( 1) j 1 a j, niin 2n 1 S 2n 1 = ( 1) j 1 a j = S 2n+1 +(a 2n a 2n+1 ) S 2n+1, koska jono a j on vähenevä. Siten jono (S 2n 1 ) n on vähenevä. Samoin nähdään, että jono (S 2n ) n on kasvava: S 2n = 2n ( 1) j 1 a j = S 2n+2 (a 2n+1 a 2n+2 ) S 2n+2. Koska lisäksi S 1 S 2n 1 = S 2n +a 2n S 2n S 2, ovat molemmat jonot (S 2n 1 ) n ja (S 2n ) n rajoitettuja, joten niillä on reaaliset rajaarvot: lim n S 2n 1 = S ja lim S 2n = S. n Koska 0 S 2n 1 S 2n = a 2n 0, on S = S ja väite seuraa.

45 Analyysi 3 43 Esimerkki. Kuten tiedämme vuorotteleva harmoninen sarja ( 1) n 11 n, suppenee, mutta ei itseisesti. Vaihdetaan seuraavassa sen termien a n = ( 1) n 11 n summausjärjestystä: olkoon b 1 = a n ja valitaan summataan parittomien indeksien termejä kunnes termien summa on 2. Sitten otetaan seuraavaksi b-termiksi ensimmäinen negatiivinen termi a 2 = 1 ja sitten taas summataan parittomia indeksejä, 2 posiitivisia termejä, kunnes kokonaissumma ylittää arvon 3. Nyt lisätään a 4 = 1 ja 4 jatketaan positiivitermien summaamista. Näin jatkamalla saadaan termit helposti järjestetyksi niin, että uudessa järjestyksessä summattu sarja hajaantuu (ks. yksityiskohdat tarkemmin alla 4.19). Ei-itseisesti suppenevan sarjan suppenemista sanotaan joskus ehdolliseksi juuri sen tähden, että summausjärjestystä vaihtamalla suppeneminen voidaaan kadottaa. Itseisesti suppenevalle sarjalle on ihan sama, missä järjestyksessä termit lasketaan yhteen: Sanotaan, että sarja b n on saatu sarjasta a n summausjärjestystä vaihtamalla, jos on olemassa bijektio j : N N, jolle b j(n) = a n kaikilla n Lause. Olkoon sarja b n saatu sarjasta a n summausjärjestystä vaihta- malla. Jos sarja a n suppenee itseisesti, niin sarja b n suppenee myös itseisesti ja a n = b n. Todistus: Olkoon S j sarjan a n osasummien jono ja S sen raja-arvo. Olkoon T j uudelleen järjestetyn sarjan b n osasummien jono. Jos ε > 0, niin voidaan valita sellainen M, jolle a n < ε 2, n=m+1

46 Analyysi 3 44 jolloin myös S j S < ε 2 kaikilla j M. Valitaan N niin suureksi, että kaikki M ensimmäistä a n -termiä ovat N ensimmäisen b n -termin joukossa, ts. Tällöin kaikilla n N joten {a 1,a 2,...,a M } {b 1,b 2,...,b N }. S M T n n=m+1 a n < ε 2, T n S S S M + S M T n < ε 2 + ε 2 = ε. Ei-itseisesti suppenevan sarjan voi uudelleen järjestäminen sekoittaa pahoin: Lause. (Riemannin uudelleenjärjestyslause) Olkoon sarja a n suppeneva, mutta ei itseisesti suppeneva. Jokaisella s R voidaan sarjasta a n summausjär- jestystä vaihtamalla muodostaa sarja b n, joka suppenee kohti lukua s. Todistus: Olkoot p 1,p 2,... sarjan a n ei-negatiiviset termit alkuperäisessä järjestyksessään lueteltuina. Samoin q 1,q 2,... onnegatiivisten termien jono. Nyt sarjat p n ja q n hajaantuvat, koska jos ne molemmat suppenesivat, niin sarja a n suppenesi itseisesti. Jos taas toinen em. sarjoista suppenisi ja toinen hajaantuisi, niin sarjan osasummien jono lähestyisi joko postiivista tai negatiivista äärettömyyttä. Koska alkuperäinen sarja suppenee, sen termit suppenevat nollaan; siten lim n p n = 0 ja lim n q n = 0. a n

47 Analyysi 3 45 Näiden alkuvalmistelujen jälkeen voimme järjestää sarjan termit uudelleen: Valitaan ensin positiivitermit p 1,p 2,...,p k1, missä k 1 on ensimmäinen indeksi, jolle k 1 p n > s. Tällainen k 1 on mahdollista valita koska positiivitermien sarja hajaantuu. Sitten summataan negatiivisia termejä q 1,q 2,...,q l1 missä l 1 on ensimmäinen indeksi, jolle k 1 p n + l 1 q n < s. Jatketaan summaamalla positiivitermejä, kunnes päästään kokonaissummassa taas yli luvun s; sitten negatiivisia, kunnes taas s:n alapuolelle jne. Positiivisia termejä summattaessa ((n + 1). kertaa) osasummien arvo on lukujen s + q ln ja s + p kn+1 välissä. Negatiivisia termejä summattaessa (n. kertaa) osasummien arvo on lukujen s+q ln ja s+p kn välissä. Koska lim p n = 0 ja lim q n = 0, n n osasummat väkisin suppenevat kohti haluttua lukua s. Olkoot seuraavassa a n ja b n kaksi itseisesti suppenevaa sarjaa. Pyritään muodostamaan termeistä tuloja, joiden muodostama sarja suppenisi kohti lukua ( )( ) a n b n. Lasketaan muodollisesti: (a 1 +a 2 +a 3 +a )(b 1 +b 2 +b 3 +b ) = a 1 b 1 +(a 2 b 1 +a 1 b 2 )+(a 3 b 1 +a 2 b 2 +a 1 b 3 )+(a 4 b 1 + +a 1 b 4 )+... = c 1 +c 2 +c , missä n c n = a j b n j+1. Sarjaa c n sanotaan sarjojen a n ja b n Cauchyn tuloksi.

48 Analyysi Lause. Olkoot a n ja b n kaksi itseisesti suppenevaa sarjaa. Tällöin niiden Cauchyn tulo suppenee itseisesti ja ( )( ) a n b n = c n, missä siis c n = n a j b n j+1. Todistus: Tarkastellaan sarjaa (4.2) a 1 b 1 +a 2 b 1 +a 2 b 2 +a 1 b 2 +a 3 b 1 +a 3 b 2 +a 3 b 3 +a 2 b 3 +a 1 b a n b 1 +a n b 2 +a n b 3 + +a n b n +a n 1 b n + +a 1 b n Tämän k 2. osasumma on tulo ( k )( k ) a n b n. Koska alkuperäiset sarjat suppenevat itseisesti, niin sarjan (4.2) termien itseisarvojen osasummilla on ylärajana tulo ( a n )( b n ) <, joten sarja (4.2) suppenee itseisesti. Näin ollen sen termien summausjärjestystä voidaan vaihtaa eikä suppeneminen eikä sarjan summa tästä muutu(lause 4.18). Koska Cauchyn tulo saadaan selvästi sarjasta (4.2) summausjärjestystä vaihtamalla, väite seuraa koska, jos S k on sarjan (4.2) k. osasumma, niin lim S ( k )( k ) ( )( ) k = lim S k 2 = lim a n b n = a n b n. k k k

49 Analyysi 3 47 Esimerkki. Geometrisestä sarjasta tiedämme, että kaikilla x ] 1, 1[ 1 1 x = x n = n=0 k=1 x k 1 ja sarja suppenee itseisesti, kun x ] 1,1[. Siten sen Cauchyn tulo itsensä kanssa antaa 1 (1 x) = 2 k=1 k x j 1 x k j+1 1 = k x k 1 = k=1 kx k 1 = (n+1)x n, k=1 n=0 mikä Lauseen 4.20 nojalla suppenee itseisesti kaikilla x ] 1, 1[.

50 Analyysi Potenssisarjat Tässä luvussa tarkastellaan funktioiden f j : A R muodostamia sarjoja f j ; lähinnä muotoa olevia potenssisarjoja. a j (x x 0 ) j j= Funktiosarjat ja niiden suppeneminen Aluksi yleistetään sarjan käsite funktioiden summille aivan samoin kuin luvussa 3 yleistimme lukujonon suppenemisen funktioiden jonoille: 5.1. Määritelmä. (Funktiosarjat)Olkoonf n : A R,n = 1,2,...Muodollista summaa f n = f 1 +f sanotaan funktiosarjaksi. Sanotaan, että funktiosarja f n suppenee (pisteittäin) joukossa A, jos sarjat f n (x) suppenevat jokaisella x A. Funktiosarja f n suppenee itseisesti, jos itseisarvofunktioiden sarja f n suppenee. Edelleen sanotaan, että funktiosarja f n suppenee tasaisesti joukossa A, jos osasummien S k, S k (x) = k f n (x),

51 Analyysi 3 49 jono suppenee tasaisesti joukossa A. Toisin sanoen on olemassa funktio f : A R, jolle kaikilla ε > 0 on N N, jolle S k (x) f(x) < ε kaikilla x A, kun k N Huomautus. a) Suppeneva funktiosarja f n määrää siis funktion f : A R, jonka arvo pisteessä x on lukusarjan f n (x) summa, Tällöin siis osasummafunktiot S k, f(x) = S k (x) = f n (x). k f n (x), suppenevat kohti funktiota f joko pisteittäin tai tasaisesti rippuen siitä kummalla lailla sarja suppenee. Luvun 3 funktiojonojen suppenemista ja luvun 4 sarjojen suppenemista koskevat tulokset ovat nyt käytettävissä. b) Tasaisen suppenemisen Cauchyn kriteerio 3.4 tulkittuna funktiosarjoille kertoo, että funktiosarja f n suppenee tasaisesti (kohti jotain funktiota f : A R) jos ja vain jos kaikilla ε > 0 on N = N(ε) N, jolle sup x A k n=m+1 f n (x) = sup S k (z) S m (z) < ε, kun k > m N. x A c) Jos sarja f n suppenee tasaisesti joukossa A, niin funktiojono f n suppenee tasaisesti kohti nollafunktiota, koska f n = n n 1 f k f k, k=1 k=1 (vrt. Lause 4.3).

52 Analyysi 3 50 Funktiojonoja koskevista tuloksista saamme heti seuraavan Lause. Olkoot f n : I R funktioita, joille funktiosarja f n suppenee tasaisesti välillä I. (a) Jos funktiot f n ovat jatkuvia, niin summafunktio f n on jatkuva. (b) Jos funktiot f n ovat Riemann-integroituvia välillä [a,b] I, niin summafunktio f n on Riemann-integroituva ja b a f n (x)dx = b a f n (x)dx. (c) Jos funktiot f n ovat jatkuvasti derivoituvia ja jos myös derivaattafunktioiden sarja f n suppenee tasaisesti (avoimella) välillä I, niin summafunktio on jatkuvasti derivoituva ja d dx f n (x) = f n (x) kaikilla x I. Todistus: a) on Lause 3.5, b) Lause 3.6 ja c) Lause 3.7. f n Seuraava Weierstrassin M-testi on erittäin tärkeä apukeino funktiosarjoja käsitellessä: funktiosarja suppenee tasaisesti, jos funktioiden itseisarvojen supremumien muodostama lukusarja suppenee Lause (Weierstrassin M-testi). Olkoon f n : A R jono funktioita, joille kaikilla n N on sellainen M n <, että f n (x) M n kaikilla x A. Jos sarja M n suppenee, niin funktiosarja f n suppenee itseisesti ja tasaisesti joukossa A.

53 Analyysi 3 51 Todistus: Itseinen suppeneminen seuraa vertailutestistä 4.9. Olkoon S m (z) = Nyt kun k > m, niin kaikilla x A S m (x) S k (x) = ( k kun k > m N ε, sillä ) M n k = m f n (x). k n=m+1 k n=m+1 k M n f n (x) f n (x) k n=m+1 m M n < ε, M n on Cauchy-jono, koska se suppenee. Siten f n toteuttaa tasaisen suppenemisen Cauchyn kriteerion ja suppenee siten tasaisesti A:ssa Potenssisarjat Olkoon a j R ja x 0 R Muotoa a j (x x 0 ) j j=0 olevaa funktiosarjaa (muuttujana on luku x) sanotaan potenssisarjaksi tai Taylorsarjaksi. Luvut a j ovat potenssisarjan a j (x x 0 ) j kertoimetjapiste x 0 sen keskus. j=0 Vertaamalla potenssisarjaa geometriseen sarjaan saadaan seuraava tulos: 5.5. Lause. Jospotenssisarja a j (x x 0 ) j suppenee, kunx = x 1,niinsesuppenee j=0 itseisesti kaikilla x, joille x x 0 < x 1 x 0. Jos potenssisarja a j (x x 0 ) j hajaantuu, kun x = x 2, niin se hajaantuu kaikilla j=0 x, joille x x 0 > x 2 x 0.

54 Analyysi 3 52 Todistus: Olkoon x x 0 < x 1 x 0 (voidaan olettaa, että x x 0 ). Koska sarja a j (x 1 x 0 ) j suppenee, sen termit suppenevat nollaan (Lause 4.3) ja siis on luvut j=0 M R ja N N, joille Näin ollen a j (x 1 x 0 ) j M kaikilla j N. a j (x x 0 ) j = a j (x 1 x 0 ) j x x ( ) 0 j j x 1 x 0 M x x0 kaikilla j N, j x 1 x 0 joten koska x x 0 x 1 x 0 < 1, sarjaa a j (x x 0 ) j majoroi suppeneva geometrinen sarja j=0 M j=0 ja siten se suppenee itseisesti (Lause 4.9). ( ) j x x0, x 1 x 0 Sarjan a j (x x 0 ) j hajaantuminen, kun x x 0 > x 2 x 0, nähdään samaan j=0 tapaan vertaamalla sitä geometriseen sarjaan (HT). Esimerkki. Tarkastellaan potenssisarjaa Kun x = 1, kyseessä on harmoninen sarja, joka hajaantuu. Siten lauseen 5.5 mukaan ko. potenssisarja hajaantuu aina, kun x > 1. Kun taas x = 1, kyseesä on vuorotteleva harmoninen sarja, joka suppenee. Lauseen 5.5 nojalla potenssisarja suppenee itseisesti, kun x < 1. Näin ollen esimerkin potenssisarja suppenee täsmälleen välillä [ 1,1[, itseisesti avoimella välillä ] 1,1[. x j j.

55 Analyysi Määritelmä. Potenssisarjan a j (x x 0 ) j suppenemissäde on luku j=0 R = sup{ x x 0 : sarja a j (x x 0 ) j suppenee }. j=0 Tällöin 0 R ja avoin väli ]x 0 R,x 0 +R[ on potenssisarjan a j (x x 0 ) j suppenemisväli. j=0 Huomaa, että jos R = 0, on suppenemisväli tyhjä ja potenssisarja suppenee tällöin vain keskuksessaan x = x 0. Jos taas R =, potenssisarja suppenee koko R:ssä Lause. Olkoon R potenssisarjan a j (x x 0 ) j suppenemissäde ja 0 < r < j=0 R. Tällöin potenssisarja a j (x x 0 ) j suppenenee itseisesti suppenemisvälillään j=0 ]x 0 R,x 0 +R[ ja tasaisesti välillä [x 0 r,x 0 +r]. Edelleen potenssisarja a j (x x 0 ) j hajaantuu jokaisella x / [x 0 R,x 0 +R]. j=0 Todistus: Itseistä suppenemista ja hajaantumista koskevat väitteet seuraavat lauseesta 5.5. Tasainen konvergenssi seuraa Weierstrassin M-testistä 5.4, sillä kun x [x 0 r,x 0 +r], niin a j (x x 0 ) j a j r j ja sarja a j r j suppenee sillä sen termit ovat potenssisarjan a j (x x 0 ) j termien j=0 itseisarvoja pisteessä x = x 0 +r, joka kuuluu suppenemisvälille. j=0 Esimerkki. Millä x:n arvoilla sarja ( 1) n (x 1) n 2 n n 2