puhutaan usein paikka- eli radiusvektorista. Esimerkiksi massapisteen paikkaa avaruudessa voisi kuvata paikkavektori r = (x,y,z).

Transkriptio

1 N O O N. Vektorit. Vektorin käsite Fysiklisten suureiden spesifioimiseksi ei useinkn pelkkä suureen koko ole riittävä. Esimerkiksi liikettä kuvttess on yleensä trpeen kerto myös liikkeen suunt kolmiulotteisess vruudessmme. Liikkeen puolestn iheutt johonkin suuntn vikuttv jonkin suuruinen voim. Tällisi suureit kuvmn on luotu vektorit. Vektori on suure, joll on suunt j suuruus. Sklri puolestn on suure, joll on vin suuruus. Grfisesti vektori esitetään nuolen, jonk kärki osoitt vektorin suunnn j pituus vektorin suuruuden. N O + N + O + O * O N + + N + O + * * N * O * * * N Kuv. Vektorin esitys Määritelmän mukn vektorin pikll vruudess ei ole merkitystä. Esimerkiksi kuvn. kikki kolme vektori ovt smoj, ts. A B C. Merkintöjä Tekstissä vektoreit merkitään tvllisesti (mm. tässä esityksessä lihvoitetuill symboleill (A, r,β,... Käsin kirjoitettess vektoreiden päälle piirretään useimmiten yläviiv, Ā, joskus nuoli, A. Vlituss koordintistoss vektori voidn spesifioid esim. ntmll kksi suuntkulm, vikkp vektorin j z-kselin välinen kulm sekä vektorin xy-tsoll olevn projektion j x-kselin välinen kulm, j vektorin pituus. ntmll vektorin koordinttikseleill olevien projektioiden pituudet (merkki huomioiden. Käytämme luksi lähes yksinomn jälkimmäistä esitystä. Vektorin A spesifioivt siis sen projektiot koordinttikseleille: kolmiulotteisess vruudess relilukukolmikko (A x,a y,a z, A (A x,a y,a z. Projektioit A x,... snotn vektorin koordinteiksi ti komponenenteiksi. Puhutn myös vektorin komponenttiesityksestä. Kosk vektorin pikll ei ole merkitystä, voisimme siirtää kikki vektorit vlitsemmme koordintiston origoon, jolloin vektori kuvisivt sen kärjen koordintit. Kääntäen, mitä thns vruuden pistettä voidn pitää origost lähtevän vektorin kärkenä. Tällöin puhutn usein pikk- eli rdiusvektorist. Kuv.2 Pikkvektori H 2 N O N O Esimerkiksi msspisteen pikk vruudess voisi kuvt pikkvektori r (x,y,z. Jos piste on liikkeessä, niin sen koordintit x, y j z ovt jn funktioit, joten pikkvektorin r kärkikin liikkuu jn myötä: H J Kuv.3 Liikkuv piste r r(t (x(t,y(t,z(t. H J Liikkuvn pisteen nopeus v määräytyy ilmeisestikin sen koordinttien muutosnopeuksist ẋ(t, ẏ (t j ż(t, ts. v(t (ẋ(t,ẏ(t,ż(t. Jos vielä sovimme, että vektori derivoidn derivoimll sen komponentit, voimme kirjoitt ytimekkäästi v(t ṙ(t. Vektorin määritelmän perusteell vektorit ( x, y, z j b (b x,b y,b z ovt yhtäsuuri jos j vin jos niiden vstinkomponentit ovt yhtäsuuri, ts. jos j vin jos x b x, y b y j z b z. Tällöin merkitään b.

2 * * * Vektorin jtelln olevn jotkin bsoluuttist; vektori on olemss j pysyy smn käytettiinpä millist koordintisto thns ti toimittiinp ilmn koordintisto. Vektorin esitys komponenttimuodoss sen sijn riippuu vlitust koordintistost. Mittkv j koordinttikseleiden suunnt vikuttvt vektorin komponentteihin. Esimerkiksi vektoreiden yhtäsuuruudest päätettäessä on pidettävä huoli siitä, että ne esitetään smss koordintistoss. Määritellään nollvektori siten, että N O N O N O Kuv.4 Vektorin pituus (,,. (. Vektorin suuruus on sm kuin vektorin pituus. Kuten kuvst.4 nähdään, on vektorin A (A x,a y,a z pituus A Pythgorn luseen mukn A A 2 x +A 2 y +A 2 z. (.2 Hyvin usein vektorist käytetty symboli ilmn vektorimerkintää trkoitt ko. vektorin pituutt, esim. A A. Ilmeisestikin A jos j vin jos A. Tämän vuoksi hyvin usein jätetään vektorimerkintä pois nollvektorist..2 Vektorilgebr Sklrill kertominen Olkoon A (A x,a y,a z jokin vektori j λ jokin relinen vkio. Silloin λa on vektori λa (λa x,λa y,λa z. (.3 Sklrill λ kerrottess vektori siis säilyttää suuntns jos λ > ti kääntyy vstkkiseen suuntn jos λ <. Vektorin pituus muuttuu vkioll λ kerrottess kuten λa λ A. Yhteen- j vähennyslsku Vektorien A (A x,a y,a z j B (B x,b y,b z summn määrittelee yhtälö A+B (A x +B x,a y +B y,a z +B z. (.4 j erotuksen yhtälö A B A+( B (A x B x,a y B y,a z B z. (.5 * * Kuv.5 Vektorien yhteen- j vähennyslsku Grfisesti khden vektorin A j B summ siis muodostetn siirtämällä esim. vektori B siten, että sen knt yhtyy vektorin A kärkeen. Summ- eli resultnttivektori A + B on silloin vektorin A knnst vektorin B kärkeen ulottuv vektori. Erotusvektori voidn puolestn muodost siten, että siirretään molempien vektorien knnt smn kohtn. Erotus A B on nyt vektorin B kärjestä vektorin A kärkeen ulottuv vektori. Lskutoimitusten ominisuuksi Suorn määritelmistä on helppo todet, että Vektoreiden yhteenlsku on kommuttiivinen, ts. A+B B+A. Vektoreiden yhteenlsku on ssositiivinen, ts. A+(B+C (A+B+C. Sulut voidn siis tämän kltisiss lusekkeiss jättää merkitsemättä. Sklrill kertominen on distributiivinen, ts. λ(a+b λa+λb. Yksikkövektorit Yksikkövektori on sellinen vektori, jonk pituus on yksi. Esim. Vektorin A (5,3, 2 suuntinen yksikkövektori Vektorin A pituus A on A A Tällöin vektori A A 6 (5,3, 2 ( 5 6, 2, 3 2 on vektorin A suuntinen. Se on ilmeisestikin myös yksikön mittinen, sillä A A A A A A. 2

3 Yksikkövektorit erotetn usein kirjoittmll ˆ-merkki vektorin yläpuolelle, kuten esim. ˆb. Jos smss yhteydessä puhutn myös vektorist b, niin silloin ˆb trkoitt yleensä vektorin b suuntist yksikkövektori. Koordinttikseleiden suuntisi yksikkövektoreit snotán yksikkökoordinttivektoreiksi ti lyhyesti kntvektoreiksi. Niitä merkitään usein kuten e x (,, e y (,, e z (,,.. Toinen hyvin pljon käytetty merkitsemistp on (.6 i e x, j e y j k e z. (.7 Kosk vektori voidn kirjoitt kuten A (A x,a y,a z (A x,,+(,a y,+(,,a z A x (,,+A y (,,+A z (,,, sdn sille komponenttiesitykset A A x e x +A y e y +A z e z A x i+a y j+a z k..3 Vektoreiden tulot.3. Pistetulo Vektoreiden A (A x,a y,a z j B (B x,b y,b z Pistetulon eli sklritulon A B määrittelee kv A B A x B x +A y B y +A z B z. (.8 Merkintä A 2 trkoitt vektorin A sklritulo itsensä knss eli A 2 A A A 2 x +A 2 y +A 2 z A 2. Vektorin pituus on siis ilmistviss sklritulon vull kuten A A A A 2. Suorn määritelmästä nähdään, että pistetulo on kommuttiivinen, ts. A B B A. on distributiivinen: A (B+C A B+A C. sklrill kerrottess toteutt reltiot λ(a B (λa B A (λb. Esim. Cuchy-Schwrtzin epäyhtälö Olkoot A j B nollst poikkevi vektoreit j λ mielivltinen sklri. Trkstelln vektoreiden λa j B resultntti λa + B j erikoisesti sen pituuden neliötä q(λ λa+b 2. Kuten näimme, vektorin pituuden neliö on vektorin sklritulo itsensä knss, ts. q(λ (λa+b (λa+b λ 2 A A+λA B+λB A+B B λ 2 A 2 +2λA B+ B 2 ( A 2 λ 2 +2λ A B A 2 + B 2, missä olemme käyttäneet hyväksi sklritulon ominisuksi (distributiivisuus, kommuttiivisuus jne.. Täydennetään sulkujen sisällä olev luseke neliöksi j sdn ( q(λ A 2 λ 2 +2λ A B A 2 + (A B2 A 4 (A B2 A 2 + B 2. Hiemn sieventäen j ryhmittäen voimme kirjoitt edellisen lusekkeen muotoon ( q(λ A 2 λ+ A B 2 A 2 + A 2 ( A 2 B 2 (A B 2 Tämän muodon ensimmäinen termi on neliönä in ei-negtiivinen, joten funktioll q(λ on minimi kun neliötermi on minimissään. Vlitsemll λ A B/ A 2 sdn neliötermi häviämään joten funktion q(λ minimi q min on sm kuin jälkimmäinen termi. Pituuden neliönä q(λ ei voi oll negtiivinen olip λ mitä hyvänsä, joten myös sen minimille täytyy oll voimss q min. Siis on A 2 B 2 (A B 2. Tämä on kirjoitettviss Cuchy-Schwrtzin epäyhtälönä tunnettuun muotoon A B A B. (.9 Oletimme, että A j B. Jos nyt jompi kumpi ti molemmt ovt nolli, niin epäyhtälö on edelleenkin voimss (yhtäsuuruuten. Esim. Kolmioepäyhtälö Vektorit A, B j A+B muodostvt kolmion, jonk sivujen pituudet ovt A, B j A+B. Kääntäen, 3

4 D * * jokinen kolmio voidn esittää khten vektorin j niiden resultnttin. * Kuv.6 Kolmioepäyhtälö Nyt on A+B 2 (A+B (A+B A 2 +2A B+ B 2 A 2 +2 A B + B 2 A 2 +2 A B + B 2 ( A + B 2, missä viimeistä edellisessä muodoss olemme soveltneet Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä. Päädymme siten kolmioepäyhtälönä tunnettuun reltioon A+B A + B, (. jok kertoo sen tutun tosisin, että kolmioss khden sivun summ on in suurempi ti yhtäsuuri kuin kolms sivu. Pistetulon geometrinen merkitys Trkstelln nyt vektoreiden A, B j A B muodostm kolmiot. G *? I G *? I G Kuv.7 Pistetulon geometrinen merkitys Sivun A B pituuden neliö on A B 2 (A B (A B A 2 + B 2 2A B A 2 +B 2 2A B, missä A j B trkoittvt vektoreiden A j B pituuksi. Kuviost.7 nähdään, että vektoreiden A, B j A B muodostmn kolmion korkeuden h neliö on h 2 A 2 A 2 cos 2 θ, missä θ on vektoreiden A j B välinen kulm. Edelleen Pythgorn lusett sovelten smme A B 2 h 2 +(B Acosθ 2 A 2 A 2 cos 2 θ +B 2 +A 2 cos 2 θ 2ABcosθ A 2 +B 2 2ABcosθ. Vertmll tätä ikisempn suureen A B 2 lusekkeeseen näemme, että A B ABcosθ. (. Kuviost.7 on luettviss myös tulkinnt: A B on vektorin A projektion pituus vektorill B kert vektorin B pituus ti vektorin B projektion pituus vektorill A kert vektorin A pituus. Vektoreiden välisen kulmn θ kosini on lusuttviss pistetulon vull kuten cosθ A B A B. (.2 Ilmeisestikin vektorit A j B ovt kohtisuorss toisin vstn jos A B j yhdensuuntisi jos A B A B. Erikoisesti kntvektoreille i, j j k on voimss i j i k j k eli ne ovt toisin vstn kohtisuorss, ts. ortogonlisi. Kosk vielä on i i j j k k, snotn näiden kntvektoreiden olevn ortonormlisi. Kirjoitetn vektori A komponenttimuodoss A A x i+a y j+a z k. Kntvektoreiden ortonormlisuuden perusteell on mm. A i A x i i+a y j i+a z k i A x Vektorin komponentit voidn siten lusu sklrituloin A x A i, A y A j j A z A k. Kntvektoreiden ortonormlisuudest seur smoin se, että muodoss A A x i+a y j+a z k j B B x i+b y j+b z k esitettyjen vektoreiden sklritulo on A B A x B x +A y B y +A z B z 4

5 E. H * H eli yhtäpitävä määritelmän (.8 knss. C > Kuv.8 Suuntkulmt Vektorin j yksikkövektorin i välisen kulmn eli vektorin j x-kselin välisen kulmn α kosini on cosα A i A i A x A, missä A A. Vstvt lusekkeet sdn vektorin j y-kselin välisen kulmn β sekä vektorin j z-kselin välisen kulmn γ kosineille. Näemme siis, että vektori on kirjoitettviss suuntkulmiens α, β j γ vull mm. muodoss A A(cosα,cosβ,cosγ. Olkoon nyt vektori Ensinnäkin on A A. A 2 A2 j toiseksi vektorien j A väliselle kulmlle θ A on voimss cosθ A A A A A A A, joten on vektorin A suuntinen yksikkövektori. Vektorin B projektio p vektorin A suuntn voidn nyt lusu yksikkövektorin vull kuten p A B B. A Esim. Vektorin A i 2j+k projektio vektorille B 4i 4j+7k Vektorin B suuntinen yksikkövektori on b B B 4i 4j+7k 42 +( i 4 9 j+ 7 9 k. Vektorin A projektio tähän suuntn on p A b (i 2j+k ( 4 9 i 4 9 j+ 7 9 k (( 4 9 +( 2( 4 9 +(( Esim. Voimn F 2i j k tekemä työ sen siirtäessä kpplett vektorin r 3i+2j 5k knnst kärkeen Määritelmän mukn voimn tekemä työ on siirroksen suuntinen voim kerrottun siirron pituudell. G.? I G Kuv.9 Voimn tekemä työ Kuvn mukisesti voimn F tekemä työ on W (F cosθr. Pistetulon vull tämä sdn kirjoitettu muotoon W F r. Tässä tpuksess työ on siis W (2i j k (3i+2j 5k (2(3+( (2+( ( Esim. Vektori A 2i+3j+6k vstn kohtisuorss olevn j vektorin B i+5j+3k kärjen kutt kulkevn tson yhtälö Kuv. Tson yhtälö * H Olkoon r jokin tson piste. Tällöin vektori B r on jonkin vektoreitten r j B kärkien kutt kulkevn tson suuntinen. Kosk tson piti oll kohtisuorss vektori A vstn, täytyy vektorin B r oll kohtisuorss vektori A vstn osoittip r mihin thns tson pisteeseen. Smme siis ehdon (B r A 5

6 tson pisteille r. Sijoittmll tähän r xi+yj+zk sekä vektoreiden A j B eksplisiittiset lusekkeet sdn (( xi+(5 yj+(3 zk (2i+3j+6k 2x 3y 6z +((2+(5(3+(3(6 2x 3y 6z +35. Kysytyn tson yhtälö on siis 2x+3y +6z Ristitulo Vektoreiden A (A x,a y,a z j B (B x,b y,b Z ristitulon eli vektoritulon A B määrittelee kv A B (A y B z A z B y,a z B x A x B z,a x B y A y B x. (.3 Vektoritulon muodostmist uttnee muistisääntö: Tulo A B lsketn siten, että kolmirivisen determinntin ylimmäksi riviksi kirjoitetn kntvektorit i, j j k (tässä järjestyksessä, keskimmäisen rivin muodostvt vektorin A komponentit A x, A y j A z (tässä järjestyksessä sekä limmn rivin vektorin B komponentit B x, B y j B z (tässä järjestyksessä, ts. A B i j k A x A y A z B x B y B z Determinnteist Determinntit ovt muoto 2 n n n n2 nn. (.4 olevi tulukoit. Niissä siis srkkeiden j rivien lukumäärä on sm. Puhutn n n-determinnteist ti n-rivisisistä determinnteist. Determinnteill on lukurvo. Meidän trkoituksiimme riittävät kksi- j kolmiriviset determinntit. Kksirivisen determinntin rvon määrittelee kv , 22 ts. kksirivisen determinntin rvo sdn vähentämällä lävistäjälkioden tulost sivulävistäjälkioiden tulo. Kolmirivinen determinntti lsketn helpoimmin kehittämällä se lideterminnttien vull:. kuhunkin determinntin lkioon liittyy merkki tulukon mukisesti. 2. vlitn jokin vk- ti pystyrivi. 3. kuhunkin vlitun rivin ti srkkeen lkioon liittyy 2 2-lideterminntti, jok muodostetn lkuperäisestä determinntist pyyhkimällä siitä pois ko. lkion kutt kulkev vk- j pystyrivi. 4. käydään läpi kikki vlitun rivin ti srkkeen lkiot kertoen keskenään lkio vrustettun siihen liittyvällä merkillä j sen lideterminntti. Muodostettujen termien summ on determinntin rvo. Esim. Determinntti D Kehitetään vikkp oikenpuoleisimmn srkkeen mukn. Tämän ylimpään lkioon 2 liittyy merkki +. Vstv lideterminntti sdn pyyhkimällä pois ylin rivi j oikenpuoleisin srke. Päädymme termiin +( ( 2[(( 3 (4( 2]. Vstvsti kehityssrkkeen toinen lkio nt termin ( [(2( 3 ((4] 3 j lin lkio termin +( [(2( 2 ((] 2. Determinntin rvo D on näiden termien summ eli D ( +(3+( 2. Determinntteihin liittyy useit lskusääntöjä. Tässä viheess meille riittänee tieto siitä, että determinntin merkki vihtuu vihdettess kksi vkriviä (ti kksi pystyriviä keskenään. determinntti on noll, jos sen kksi vkriviä (ti kksi pystyriviä ovt smoj. Kehitetään determinntti (.4 ylimmän rivin mukn, jolloin i j k A x A y A z i A y A z B x B y B z B y B z j A x A z B x B z +k A x A y B x B y (A y B z A z B y i (A x B z A z B x j +(A x B y A y B x k. Nähdään, että tämä todellkin yhtyy määritelmään (.3. Determinnttiesityksestä nähdään mm. ominisuus A B i j k A x A y A z B x B y B z B A. i j k B x B y B z A x A y A z 6

7 N O * Siten ristitulon merkki vihtuu vihdettess tekijöiden järjestystä: A B B A. (.5 Ristitulo ei siis ole kommuttiivinen. Ominisuudest (.5 seur mm. A A A A, joten vektorin ristitulo itsensä knss on noll, A A. (.6 Suorn määritelmästä nähdään vektoritulon distributiivisuus A (B+C A B+A C. (.7 Sklrill kerrottess ristitulo noudtt yhtälöä λ(a B (λa B A (λb. (.8 Ktsotn, millisi ovt yksikkövektoreiden ristitulot toistens knss. Lsketn esimerkkinä i j (,, (,, (,, (,, k. Smll tvoin voimme todet, että muutkin kvoist i j k j k i k i j (.9 pitävät pikkns. Koordintisto, jonk kntvektorit toteuttvt reltiot (.9 snotn oikekätiseksi. Kuv. Oikekätinen koordintisto Oikekätisessä xyz-koordintistoss z-kselin suuntinen oikekätinen ruuvi postiiviseen kiertosuuntn kierrettäessä (kierretään lyhintä kutt positiiviselt x-kselilt positiiviselle y-kselille etenee positiivisen z-kselin suuntn. Sm si voidn ilmist myös ns. oiken käden kolmisormisääntönä: oiken käden peuklon osoittess x-kselin suuntn j etusormen y-kselin suuntn osoitt keskisormi z-kselin suunnn. Ristitulon geometrinen merkitys Vektorin A B pituuden neliö on A B 2 (A y B z A z B y 2 +(A z B x A x B z 2 +(A x B y A y B x 2. Suorviivinen lsku osoitt, että tämä voidn kirjoitt muotoon A B 2 (A 2 x +A 2 y +A 2 z(b 2 x +B 2 y +B 2 z Tämä ts on sm kuin (A x B x +A y B y +A z B z 2. A B 2 A 2 B 2 (A B 2, missä jälleen A j B trkoittvt vektoreiden A j B pituuksi. Kirjoitetn pistetulo vektoreiden välisen kulmn θ vull, jolloin A B 2 A 2 B 2 ( cos 2 θ A 2 B 2 sin 2 θ. Näemme siis, että ristitulovektorin A B pituus on A B AB sinθ. Vektoreiden A B j A sklritulo on A (A B A x (A y B z A z B y. +A y (A z B x A x B z +A z (A x B y A y B x Smoin nähdään, että B (A B. Vektori A B on siis kohtisuorss molempi tekijöitään vstn eli kohtisuorss tekijöiden muodostm tso vstn. Tulovektorin suunt on pääteltävissä yksikkövektoreitten ristituloist (.9: Vektoreiden A j B ristitulo on A B ( A B sinθn, (.2 missä θ on vektoreiden välinen kulm j n vektoreiden muodostm tso vstn kohtisuorss olev sellinen yksikkövektori että vektoreiden A, B j n kolmikko (tässä järjestyksessä muodost oikekätisen systeemin. Oiken käden kolmisormisääntö lienee hvinnollisempi: Jos A osoitt oiken käden peuklon suuntn j B etusormen suuntn niin A B osoitt keskisormen suuntn (j on kohtisuorss vektoreit A j B vstn. * G * Kuv.2 Ristitulon geometrinen merkitys 7

8 2 H. D 2 H + L * Kuvss.2 vektoreiden A j B muodostmn kolmion korkeus on B sin θ jos kolmion kntn pidetään vektori A. Tämän kolmion pint-l on siten 2ABsinθ, joten ristitulo on suuruudeltn tekijävektoreiden muodostmn suunnikkn pint-l. Esim. A 2i 3j k j B i+4j 2k, A B, b B A j c (A+B (A B i j k A B i j 2 2 +k i+3j+k. b i j k B A i j 2 2 +k c H I E G i 3j k A B. (A+B (A B A (A B G +B (A B A A A B +B A B B A B A B 2A B 2i 6j 22k. Kuv.3 Vääntömomentti Esim. Vääntömomentti: Määritelmän mukn voimn F vääntömomentti pisteen P suhteen on suuruudeltn F kert pisteen P kohtisuor etäisyys voimn vikutussuorst. Olkoon nyt r pisteestä P voimn vikutuspisteeseen suunnttu vektori j θ tämän vektorin j voimn välinen kulm. Kuvst nähdään, että pisteen P kohtisuor etäisyys vikutussuorst on r sin θ, joten vääntömomentti on suuruudeltn M Fr sinθ r F. Vääntömomentin suunnst on sovittu, että voimn kiertämä vikutuspisteeseen setettu vikutustso (vektoreiden r j F muodostm tso vstn kohtisuorss olev oikekätinen ruuvi etenee vääntömomentin suuntn. Voimme siis kirjoitt G M M H I E G M r F. Kuv.4 Kulmnopeus j linerinen nopeus Esim. Linerinen nopeus pyörivässä kppleess: Oletetn, että kiinteä kpple pyörii origon O kutt kulkevn kselin ω ympäri kulmnopeudell ω. Vektori ω orientoidn siten, että vektorin suuntn ktsottun kpple pyörii myötäpäivään. Trkstelln kppleen pistettä P. Kppleen pyöriessä piste P seur sellisen ympyrän kehää, jok on kohtisuorss keskipisteensä kutt kulkev vektori ω vstn. Jos nyt r on pisteen P pikk sekä θ vektorien r j ω välinen kulm, niin tämän ympyrän säde on rsinθ. Ympyräliikkeen linerinen nopeus on suuruudeltn ympyrän säde kert kulmnopeus, ts. rω sin θ. Linerisen nopeuden suunt ts on ympyrän tngentin suuntinen eli nyt kohtisuorss vektoreit ω j r vstn. Oiken käden kolmisormisäännön perusteell voimme siten kirjoitt.3.3 Kolmitulot v ω r. Sklrikolmitulo Trkstelln muoto A (B C olevi kolmen vektórin tuloj. Vektoreiden A j B C pistetulon tämä on sklri. Siksi sitä nimitetäänkin sklrikolmituloksi. Sklrikolmitulon geometrinen merkitys selvinnee ll olevst kuvst. * + Kuv.5 Sklrikolmitulo 8

9 Vektoreiden A, B j C muodostmn suuntissärmiön tilvuus on pohjsuunnikkn pint-l B C kert särmiön korkeus h. Korkeus ts on vektorin A projektio pohjtso vstn kohtisuorlle suunnlle, esim. vektorille B C. Särmiön tilvuus V on siis V A (B C. (.2 Komponenttimuodoss sklrikolmitulo on eli A (B C (A x i+a y j+a z k i j k B x B y B z C x C y C z (A x i+a y j+a z k ( i B y B z C y C z j B x C x +k B x B y C x C y B A y B z x C y C z A y B x C x B +A x B y z C x C y A x A y A z B x B y B z C x C y C z A (B C A x A y A z B x B y B z C x C y C z B z C z B z C z. (.22 Kosk vihdettess kksi riviä keskenään determinntti viht merkkinsä, smme A x A y A z A (B C B x B y B z C x C y C z C x C y C z B x B y B z A x A y A z C x C y C z A x A y A z B x B y B z C (A B. Vektorikolmitulo Vektorikolmituloll trkoitetn kolmen vektorin ristituloj A (B C j (A B C. Nämä ovt yleensä erisuuri, joten sulkumerkit ovt oleellisi. Käsitellään edellistä muoto olevi kolmituloj (jälkimmäisen käsittely menee smll tvoin. Kosk kyseessä on vektoreiden A j B C vektoritulo, on tuloskin vektori. Lsketn näytteeksi sen x-komponentti: (A (B C x i (A (B C A x A y A z B y B z B x B z B x C y C z C x C z C x A y (B x C y B y C x +A z (B x C z B z C x B x (A x C x +A y C y +A z C z C x (A x B x +A y B y +A z B z (A C(B i (A B(C i i [(A CB (A BC]. B y C y Smll tvoin voisimme lske niin tämän kolmitulon muut komponentit kuin myös jälkimmäisen muodon komponentit jolloin päätyisimme yhtälöihin A (B C (A CB (A BC (A B C (A CB (B CA. (.24 Muistmist helpottnee molempiin tpuksiin soveltuv sääntö: vektorikolmitulo (kuempi ulkolähempi -(lähempi ulkokuempi, missä ulko trkoit sulkujen ulkopuolist tekijää, lähempi lähempänä j kuempi kuempn ulko -tekijästä olev sulkujen sisäpuolist vektori. Kosk sklritulo on kommuttiivinen, voimme kirjoitt tämän myös muotoon A (B C (A B C (.23 eli sklrikolmituloss pisteen j ristin pikn voi viht (sulkumerkkien pikt toki vihtuvt tässä opertioss. 9

10 Linerinen riippumttomuus Vektorit v, v 2,...v n ovt linerisesti riippumttomi, jos n k v k vin jos... n (.25 k Muuss tpuksess vektorit ovt linerisesti riippuvi. Kolmiulotteisess vruudess on enintään 3 vektorin joukko keskenään linerisesti riippumton. Esim. kntvektorit i, j, k ovt linerisesti riippumttomi: i+ 2 j+ 3 k vin jos 2 3. Esim. v i, v 2 j, v 3 i+j ovt linerisesti riippuvi: v 3 v +v 2 v +v 2 v 3 Jos vektorit ovt linerisesti riippuvi, inkin yksi vektoreist voidn kirjoitt linerikombintion muist. Sklrikolmitulon j linerisen riippumttomuuden välillä on seurv yhteys: Vektorit, b j c ovt linerisesti riippumttomi jos j vin jos (b c. Esim. i (j k, joten i, j, k ovt linerisesti riippumttomi. Esim. (,,, b (,2,3, c (3,2,5: (b c Vektorit eivät ole linerisesti riippumttomi. Helposti nähdään että (c b/2. Huom: jos meillä on kolme linerisesti riippumtont vektori v, v 2, v 3, niin mielivltinen vektori voidn esittää näiden linerikombintion: v + 2 v v 3. Snotn että vektorit v i virittävät 3-ulotteisen vruuden. Tutuin esimerkki näistä on tietysti i, j, k. 2. Rj-rvo j derivtt 2. Rj-rvon määritelmä Funktioll f(x on rj-rvo f pisteessä x jos f(x lähestyy rvo f kun x lähestyy rvo x. Merkitään f(x f kun x x (2. ti Rj-rvo mtemttisemmin: lim f(x f. (2.2 x x Intuitiivisesti rj-rvon käsite on vrsin selvä. Mtemttisesti se määritellään seurvsti: funktioll f(x on rj-rvo f pisteessä x, jos ǫ δ > siten että f(x f < ǫ jos < x x < δ Tässä merkintä : kikille, : on olemss. Eli: f on mielivltisen lähellä f :, jos x on riittävän lähellä x :. Rj-rvo on selkeä esim. tpuksiss lim x x2 +x 2, lim x x, lim sinx sinπ/4 / 2, x π/4 lim x x e x, R (Huom: eksponenttifunktio pesee minkä thns potenssin! Kvli ovt esim. tpukset jotk lähenevät muoto Esim:,,,,,... 2x 4 +x 2 + 2x 4 lim x x 4 +x 3 lim 2 (2.3 x x4 Suurin potenssi voitt kun x. (vstvsti pienin jos x. Usein rj-rvojen lskemisess uttvt seurvt pproksimtiot, kun x on pieni: sinx x 6 x3 +O(x 5 (2.4 cosx 2 x2 +O(x 4 (2.5 (+x +x+o(x 2 (2.6 ln(+x x+o(x 2 (2.7 e x +x+o(x 2 (2.8 Tässä merkintä O(x n trkoitt että kikiss lopuiss termeissä x:n potenssi on vähintään n. Esim. +x +x/2+o(x 2

11 Esim. sinx lim x x lim x x x 3 /6+O(x 5 x lim x ( x 2 /6+O(x 4. Määritellään vielä oikenpuoleinen rj-rvo: f lim f(x (2.9 x x + ti f(x f, kun x x +. Merkintä trkoitt että x lähestyy rvo x oikelt (positiiviselt puolelt. Vstvsti vsemmnpuoleinen: f lim f(x (2. x x Eli x lähestyy rvo x vsemmlt (negtiiviselt puolelt. Epäjtkuvll funktioll oikenpuoleinen j vsemmnpuoleinen rj-rvo voivt oll eriliset: Esim. skelfunktio eli Hevisiden funktio: θ(x, x > /2, x x < (2. Ilmeisesti lim x + θ(x, mutt lim x θ(x. Huom: skelfunktioll ei ole tvllist rj-rvo pisteessä x! Huom: merkitään myös ilmeiset rj-rvot lim, lim, lim x + x x x x x 2.2 Jtkuv funktio Funktio f(x jtkuv pisteessä x, jos f on määritelty jossin pisteen x ympäristössä j lim f(x f(x (2.2 x x Fysiikss funktiot ovt jtkuvi (melkein kikkill. Esim. Hevisiden skelfunktio (2. ei ole jtkuv pisteessä x, mutt on jtkuv kikiss pisteissä x. Esim. Funktio f(x /x 2 ei ole jtkuv pisteessä x (ei edes määritelty Rj-rvoille pätevät myös seurvt ominisuudet: jos funktioill f(x j g(x on rj-rvot kun x x, niin lim [f(x+g(x] lim f(x+ lim g(x x x x x x x lim [f(xg(x] lim f(x lim g(x x x x x x x lim [f(x/g(x] lim f(x/ lim g(x x x x x x x missä viimeisin edellyttää että lim x x g(x. 2.3 Derivtn määritelmä Funktion f(x derivtll f (x pisteessä x trkoitetn rj-rvo f (x lim x x f(x f(x x x (2.3 lim h f(x +h f(x h (2.4 Geometrisesti derivtt on funktion kuvjn tngentin kulmkerroin derivointipisteessä. N N N N! O B N B N J Kuv 2. Derivtn geometrinen tulkint Määritelmässä (2.4 ei ole spesifioitu lähestymissuunt, ts. voi oll joko x > x ti x < x. Molempien lähestymistpojen täytyy joht smn lopputulokseen. Rj-rvo (2.4 ei välttämättä in ole yksikäsitteinen ti sitä ei ole olemss. Tällisess tpuksess derivtt ei ole määritelty. Jos rj-rvo (2.4on (yksikäsitteisenä olemss, snotn, että funktio on derivoituv pisteessä x. Esim. funktio f(x x on jtkuv kikill x R. Jos x >, on f f(y f(x (x lim, y x y x j vstvsti jos x < on f (x. Pisteessä x ei rj-rvo ole olemss (on vin vsemmn- j oikenpuoleiset rj-rvot, eikä x ole derivoituv pisteessä x. Merkintöjä Olkoon y f(x jokin derivoituv funktio. Derivtt f (x merkitään usein myös f (x y d df(x f(x Dy Df(x. dx dx Monesti jätetään funtion f rgumenttikin merkitsemättä. Kun hlutn pinott, että derivttfunktio f (x hlutn lske nimenomn pisteessä x, merkitään joskus f (x df(x. dx xx Kun kyseessä on derivointi jn suhteen, käytetään fysiikss usein merkintää d f(t ḟ(t. dt Leibnitzin merkintätp df dx funktion muutos muuttujn muutos on intuitiivisin: kun muutos

12 Huom: f (x : funktio vksuor pisteessä x f (x : funktion kulmkerroin (45 pisteessä x f (x : funktio lähestyy pystysuor 2.4 Derivttojen lsku Derivtt suorn määritelmästä Lsketn esimerkiksi potenssifunktion f(x x n derivtt. Määritelmän mukn derivtt f (x on rj-rvo f f(y f(x (x lim y x y x lim x f(x+ x f(x. x Tässä tpuksess on siis lskettv rj-rvo f (x lim x (x+ x n x n. x Käyttäen (+δ +δ +O(δ 2 (2.6 smme (x+ x n x n (+ x x n x n [+n x x +O(( x x 2 ] joten (x+ x n x n lim x x lim x [nxn +x n O( x x ] nx n. Siis simme dxn dx nxn. Käsitellään toisen esimerkkinä funktion f(x sin x derivtn lsku. Nyt sin(x+ x sinxcos x+cosxsin x, joten derivtn määritelmän mukn on f sin(x+ x sinx (x lim x x sinxcos x+cosxsin x sinx lim x lim x [ x sinx cos x +cosx sin x x x missä olemme käyttäneet sinin j kosinin yhteenlskukvoj. Pienillä rgumentin rvoill trigonometriset funktiot käyttäytyvät kuten (2.4,2.5: sinδ δ 6 δ3 +O ( δ 5 ], joten j cos x lim x x sin x lim x x Derivtksi smme siis 2 lim ( x2 +O ( ( x 4 x x lim O( x x x O ( ( x 3 lim x x [ ( lim O ( x 2 ] x. d sinx cosx. dx Trigonometristen funktioiden yhteenlskukvoj Sini- kosinifunktiot toteuttvt yhteenlskukvt sin(x+y sinxcosy +cosxsiny cos(x+y cosxcosy sinxsiny. Kosk tnx sinx cosx, voidn tngentin yhteenlskukv kirjoitt mm. muotoon tn(x+y sinxcosy +cosxsiny cosxcosy sinxsiny tnx+tny tnxtny. Erikoistpuksen sdn kksinkertisille kulmille kvt sin2x 2sinxcosx cos2x cos 2 x sin 2 x tn 2x Pythgorn luseen perusteell on 2tnx tn 2 x. sin 2 x+cos 2 y. Kksinkertisen kulmn kosini voidn siten kirjoitt myös muotoihin cos2x 2cos 2 x 2sin 2 x. Muutmien tvllisimpien funktioiden derivttoj on esitetty tulukoss f(x Df(x c (vkio x n e x nx n e x ln x /x. (2.5 sinx cosx cosx sinx tnx /cos 2 x +tn 2 x cosδ 2 δ2 +O ( δ 4, 2

13 Derivtn lskusääntöjä Olkoot f j g derivoituvi funktioit j j b vkioit. Tällöin on voimss d dx [f(x+bg(y] f (x+bg (x. (2.6 Derivointi on linerinen opertio. Funktioiden tulo f(xg(x derivoidn kuten d dx [f(xg(x] f (xg(x+f(xg (x (2.7 j osmäärä f(x/g(x kuten d f(x dx g(x f (xg(x f(xg (x g 2. (2.8 (x Tulon derivointi Osoitetn tulon derivoimissääntö. Suorn derivtn määritelmästä nähdään Nyt d dx (f(xg(x lim h f(x+h f(x hf (x+o(h 2 f(x+hg(x+h f(xg(x h (f(x+hf (x(g(x+hg (x f(xg(x+o(h 2 lim h h h(f (xg(x+f(xg (x+o(h 2 lim h h f (xg(x+f(xg (x Yhdistetyn funktion f(g(x derivointiin soveltuu ketjusääntö d dx f(g(x f (g(xg (x. (2.9 Tämä tulee erityisen selväksi käyttäen Leibnitzin nottiot: jos merkitään y f(z j z g(x, sdn d dy f(g(x dx dx dy dz dz dx f (g(xg (x Tämän vull nähdään muun muss että Esimerkkejä: d dx [f(x]µ µ[f(x] µ f (x d dx ef(x e f(x f (x d dx lnf(x f (x f(x d 2 dx ex e d x2 dx x2 e x 2 2x d dx sinex cos(e x d dx ex cos(e x e x d dx xx d dx exlnx e xlnx d dx xlnx x x (lnx+x x xx (+lnx Käänteisfunktion derivtt Olkoon meillä funktion y f(x, käänteisfunktio x f (y. Nyt käänteisfunktion derivtt sdn funktion derivtn vull seurvsti: Df (y f (f (y f (x. (2.2 Leibnitzin nottioll tämä on yksinkertisesti dx dy dy dx (2.2 (miten todistetnkin käänteisfunktion derivoimissääntö, kun jtelln rj-rvoj x, y. Esim. Johdetn logritmin derivoimissääntö. Nyt y e x, x lny: dlny dy dx dy dy dx de x dx ti Dlny /(De x /e x /y. Syklometriset funktiot Trigonometrisillä funktioill ei ole yksikäsitteistä käänteisfunktiot. Esimerkiksi yhtälön sinx 2 e x y rtkisee mikä thns äärettömän joukon { π x 6 +2nπ 5π 6 +2nπ, n kokonisluku luvuist. Kun rjoitetn sinin rgumentti välille π 2 x π 2, on yhtälöllä sin x yksikäsitteinen rtkisu, jot nimitetään rkussiniksi j merkitään x rcsin, π 2 x π 2. Arkussini on siis se sinin käänteisfunktio, jonk rvolue on rjoitettu välille π 2 x +π. Kosinill puolestn on 2 yksikäsitteinen rkuskosiniksi snottu käänteisfunktio, kun rjoitetn kosinin rgumentti välille x π. Tästä käytetään merkintää x rccosz, x π. Tngentin käänteisfunktio on nimeltään rkustngentti. Sen rvolue on y rctnx, π 2 y π 2. Kosk sinin j kosinin rvolueet kttvt välin [, ], voivt rkussinin j rkuskosinin rgumenttit oll väillä [, ]. Arkustngentin rgumentti ts voi oll mikä thns reliluku, sillä tngentin rvolueen on koko relikseli. 3

14 Joskus hlutn määritellä trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot monikäsitteisiksi, esim. hlutn että z rcsinx nt kikki ne rvot z, joill sinz x. Tällöin rvolueelle π 2 rcsinx π rjttu rkussiniä snotn ko. 2 funktion päährksi. Päährst käytetään merkintää rcsin x. Vstvt nimitykset j merkinnät ovt käytössä muillekin trigonometrisille käänteisfunktioille. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioit snotn syklometrisiksi funktioiksi ti useimmiten niiden nimen mukisesti tuttvllisesti rkus-funktioiksi. Lsketn esimerkkinä funktion rcsin x derivtt. Nyt rcsin on sinifunktion käänteisfunktio, ts. jos x sin y niin y rcsinx. Säännön (2.2 perusteell on Drcsinx Dsiny cosy. Trigonometristen funktioiden ominisuuksien perusteell voidn kirjoitt cosy sin 2 y x 2, joten smme Smoin voidn osoitt d dx rcsinx x 2. (2.22 d dx rctnx +x2. (2.23 Kvt (2.22,2.23 ovt hyödyllisiä integrlien lskuiss. 2.5 Korkemmn kertluvun derivtt Jos funktion f(x derivtt f (x on myöskin derivoituv, voimme lske senkin derivtn: Df (x lim x f (x+ x f (x. (2.24 x Snomme, että funktio f(x on khdesti derivoituv j suure Df (x funktion f(x toinen derivtt. Jos vielä tämä toinen derivttkin on derivoituv, voisimme edelleen määrätä sen derivtn DDf (x jne. Vstvsti funktion snotn tällöin olevn kolmesti,..., n kert, derivoituv j puhutn kolmnsist,..., n:stä derivtoist. Merkintöjä Olkoon funktio f(x n-kertisesti derivoituv. Sen n:ttä derivtt merkitään mm. kuten f (n (x D n f(x dn f(x dx n. Alhisen kertluvun derivtoist voidn myös käyttää sellisi merkintöjä kuin f (2 (x f (x DDf(x. Jos kyseessä on derivointi jn suhteen, merkitään usein d 2 f(t.. dt 2 f(t. 2.6 Sovelluksi Differentililskennn lukemttomist käyttökohteist käsitellään muutmi fysiikn knnlt ehkä tärkeähköjä sovelluksi. Suureiden muodostus Intuitiivisesti nopeudell ymmärretään ikyksikössä kuljettu mtk. Mtemttisen täsmälliseksi nopeuden käsite sdn määrittelemällä se rjrvon v(t lim t x(t+ t x(t, (2.25 t kun oletetn trksteltvn objektin liikkuvn pitkin x-kseli j sen olevn pikss x(t hetkellä t. Derivtn määritelmästä (2.4 nähdään, että nopeus v(t hetkellä t on v(t dx(t dt ẋ(t. (2.26 Kiihtyvyys puolestn on nopeuden muutos ikyksikössä. Derivttojen vull ilmistun on siis pitkin x-kseli liikkuvn kppleen kiihtyvyys kirjoitettviss kuten (t dv(t dt d2 x(t dt 2 v(t..ẋ(t. (2.27 Muist lukemttomist derivttojen vull määritellyistä fysiikn käsitteistä minittkoon vikkp sähkövirt I dq dt sähkövruksen Q muuttuess jn t funktion ti teho P dw dt, missä W on hetkeen t mennessä tehty työ ti, kolmnten esimerkkinä kppleen tilvuuden V muutoksest iheutuvst pineen P muutoksest kertov puristusmoduuli (kompressibiliteetti B V Approksimtio Derivtn määritelmästä (2.4 dp dv. f f(x+ x f(x (x lim x x voidn rtkist f(x + x likimääräisesti: f(x+ x f(x+f (x x. (2.28 Tämä reltio on sitä trkempi mitä pienempi x on. 4

15 N N N Välirvoluse Trksti otten on voimss ns. välirvoluse: Olkoon f derivoituv funktio. Tällöin pisteiden x j x+ x välissä on olemss sellinen piste x että f (x f(x+ x f(x. x Luseen mukn on siis trksti voimss f(x+ x f(x+f (x x, missä x < x < x+ x (oletten, että x >. Esim. sinx kun x on pieni Kvn (2.28 mukn on sinx xsin xcos x. Esim. Newton-Rphsonin menetelmä Tehtävänä on etsiä funktion f(x nollkoht, ts. rtkist yhtälö f(x. Oletetn, että f(x on derivoituv. Olkoon x jokin likirvo rtkisulle (stu esim. rvmll ti piirtämällä funktion kuvj. Approksimoidn funktiot pisteen x läheisyydessä (ks. kuv 2.2 linerisell kuvjll f(x f(x +f (x (x x. Tämän suorn j x-kselin leikkuspiste x x f(x f (x on (yleensä prempi nollkohdn likirvo kuin lkuperäinen x. B N Äärirvot Funktion mksimikoht on sellinen piste, että poistuttess siitä mihin thns suuntn funktion rvo pienee. Vstvsti minimikohdst poistuttess funktion rvo ksv. Mksimi (minimi on pikllinen eli lokli, jos funktioll on muit rvoltn tätäkin suurempi (pienempiä mksimej (minimejä. Jos kyseessä on funktion suurin (pienin rvo, puhutn globlist ti bsoluuttisest mksimist (minimistä. Esim. kuvss 2.3 minimi kohdss x j mksimi kohdss x ovt pikllisi. Kohdn x 2 minimi sttisi oll globli. B N N N N N! Kuv 2.3 Funktion äärirvot Derivoituvn funktion f(x äärirvokohdiss, ts. mksimeiss j minimeissä funktion tngentti on x-kselin suuntinen (ks. kuv 2.3 eli Derivoituvn funktion derivtt äärirvopisteissä on noll. Trksti otten derivtt häviää sellisiss äärirvopisteissä, jotk sijitsevt funktion määrittelylueen sisällä. Jos esim. funktio f(x on määritelty siten, että f(x x 2, kun x, mksimit (rvoltn sijitsevt reunpisteissä x ±. N N Pisteitä, joiss derivtt häviää snotn kriittisiksi pisteiksi. Derivtn häviäminen on siis äärirvon välttämätön ehto. Se ei kuitenkn ole riittävä. Esim. kuvss 2.3 kohdn x 3 vsemmll puolen funktio on pienempi j oikell puolen suurempi kuin pisteessä x 3. Jos funktio on khdesti derivoituv, voimme toisest derivtst päätellä kriittisen pisteen luonteen: Kuv 2.2 Newton-Rphsonin itertio Toistetn sm menettely käyttäen pistettä x lähtörvon, jolloin sdn ts (toivottvsti prempi likirvo x 2. Jtketn smll tvoin iteroiden, ts. lsketn likirvost x n likirvo x n+ x n f(x n f (x n, niin kun kunnes f(x n on hlutull trkkuudell noll ti kunnes x n+ poikke riittävän vähän edellisestä rvost x n. Jos toinen derivtt on negtiivinen, siirryttäessä pisteen yli vsemmlt oikelle ensimmäinen derivtt pienenee positiivisest negtiiviseksi, ts. kyseessä on mksimi. Jos toinen derivtt on positiivinen, siirryttäessä pisteen yli vsemmlt oikelle ensimmäinen derivtt ksv negtiivisest positiiviseksi, ts. minimi. jos toinen derivtt on noll kriittisessä pisteessä, täytyy trkstell korkempi derivttoj: jos pienin nollst poikkev derivtt on: 5

16 A prillist kertluku (2,4,..., kyseessä on mksimi/minimi jos derivtn etumerkki on -/+. B priton (,3,..., kyseessä ei ole äärirvo. Esim. Funktion f(x 3x 4 4x 3 kriittiset pisteet Derivtt on nyt f (x 2x 3 2x 2 2x 2 (x. Kriittiset pisteet sdn settmll f (x, ts. rtkistn yhtälö 2x 2 (x. Kriittiset pisteet ovt siten j. Funktion toinen derivtt on f (x 36x 2 24x, joten f ( j f ( 2. Piste on siis minimi. mutt piste ei ole mksimi eikä minimi. l Hospitlin sääntö Hyvin monesti rj-rvoj lskettess päädytään muoto /, / ti oleviin lusekkeisiin. Jos kyseessä ovt derivoituvt funktiot, voidn useimmiten sovelt l Hospitlin sääntöä Jos f (x lim x g (x A j jos joko ti niin Perusteluj f(x j g(x kun x g(x ± kun x, f(x lim x g(x A. Trkstelln esimerkkinä tpust, missä on äärellinen j missä sekä f( että g(. Voimme siis kirjoitt f(x lim x g(x f(x f( lim x g(x g(. [f(x f(]/(x lim x [g(x g(]/(x. limx [f(x f(]/(x lim x [g(x g(]/(x. f (x g (x jos derivtt ovt olemss. Esim. lim x sinx/x Sekä osoittj että nimittäjä lähestyvät noll rgumentin lähestyessä noll j funktiot ovt derivoituvi. Voimme siis sovelt l Hospitlin sääntöä: sinx lim x x lim cosx x. Esim. lim x sin 2 2x/x 2 l Hospitlin sääntö on ilmeisestikin sovellettviss j smme sin 2 2x lim x x 2 4sin2xcos2x lim x 2x sin2x lim 2cos2x lim x x 2sin2x x x. Päädymme siten edelleen muoto / olevn lusekkeeseen. Sovelletn tähän uudelleen l Hospitlin sääntöä, jolloin sdn lim 2sin2x lim 4 cos2x 4. x x x Esim. lim x + xlnx Tässä merkintä x + trkoitt, että x lähestyy noll positiiviselt puolelt. Tämä rjoitus on setettu, jott logritmifunktio olisi määritelty. Nyt x j ln x, joten l Hospitlin säännön soveltmiseksi kirjoitetn rj-rvo muotoon lim xlnx lim x + x + lnx. x Nyt sekä osoittj että nimittäjä lähestyvät ääretöntä j l Hospitlin sääntö on jälleen käyttökelpoinen: x lim xlnx lim x + x + lim ( x. x 2 x + Implisiittinen derivointi Joskus funktiot y(x määritellään esim. ehdoll F(x,y F(x,y(x c, (2.29 missä c on vkio. Peritteess tästä yhtälöstä voitisiin (ehkä rtkist muuttuj y. Tämä rtkisu riippuisi tietenkin muuttujst x. Voimme siis jtell, että yhtälö (2.29 määrää implisiittisesti funktion y(x. Funktion y(x derivtt voidn usein rtkist suorn derivoimll ehto F: d F(x,y(x (2.3 dx j rtkisemll y (x. Esim. Tson origokeskeinen ympyrä x 2 +y 2 2 määrittelee implisiittisesti funktion y(x.nyt d dx (x2 +y(x 2 2x+2y(xy (x y (x x/y mikä on ympyrän tngentin kulmkerroin. 6

17 Esim. Muodost implisiittisesti derivtt dy dx yhtälöstä sin(xy+y x Tässä tpuksess siis F(x,y(x sin(xy+y x, j d dx F(x,y(x d dx cos(xy (sin(xy+y x ( y +x dy dx Hiemn ryhmittäen voidn kirjoitt (+xcos(xy dy dx ycos(xy, jost smme derivtksi dy dx ycos(xy +xcos(xy. + dy dx Prmetrisesti nnetun funktion derivtt Esim. x cost j y sint määrittelee prmetrisesti funktion (yksikköympyrän kri y(x (kun t π. Yleisemmin: olkoon nnettu x g(t j y f(t f(g (x. Nyt ketjusäännön mukn dy dx f (t d dx g x f (t g (t y (t x (t Ti yksinkertisesti Ympyrälle siis dy dy dx dt dx dt dy dx cost x sint 2 x (2.3 ( Potenssisrjoj 3. Äärettömät srjt Olkoon { n } jokin lukujono. Summ S n n + (3. n snotn äärettömäksi srjksi. Lukuj S n n k kutsutn ossummiksi. Äärettömän srjn, ti lyhyesti vin srjn, snotn suppenevn (konvergoituvn jos rj-rvo lim n S n on olemss. Jos rj-rvo ei ole, srj hjntuu (divergoi. Alkko srj nollnnest, ensimmäisestä, toisest ti jostkin muust termistä on vin numerointikysymys. Summt k k, k2 k,... ti lyhyemmin k, 2 k,... ovt myöskin (äärettömiä srjoj. Ktsotn esimerkkinä geometrist srj xn. Ossummt ovt n S n x k +x+ +x n xn+ k x x xn+ x. Tiedämme, että x n+ kun x <. Tällöin siis lims n x. Toislt srj selvästikin hjntuu kun x. Olemme siis sneet tuloksen x n, kun x <. (3.2 x Se, että srjn termit lähestyvät noll, ei tk srjn suppenemist. Esimerksi hrmoninen srj n n + n hjntuu. On olemss useit testejä, joill srjojen suppenemist voi tutki. Näistä ehkä käytetyin on suhdetesti: Olkoon n sellinen positiivisten termien srj, että rj-rvo lim n n+/ n q on olemss. Silloin 7

18 jos q <, niin srj suppenee, jos q >, niin srj hjntuu j jos q, niin srj voi supet ti hjntu. Vikk suhdetesti käsitteleekin vin positiivitermisiä srjoj, sitä voidn sovelt yleisempiinkin tpuksiin. Snotn että srj n suppenee itseisesti jos srj n suppenee. Voidn osoitt, että srjn supetess itseisesti myös itse srj suppenee. Jos siis suhdetestillä todetn srjn suppenevn itseisesti niin voidn päätellä srjn suppenevn sellisennkin. Esim. Osoit, että srj ( n n 2 suppenee n Kyseessä on ns. vuorottelev srj: jok toinen termi on positiivinen j jok toinen negtiivinen. Osoitetn, että srj suppenee itseisesti, ts. että ( n n 2 suppenee. n Nyt n n 2 j n n+ n (n+2n n2 n+ ( + 2 n 2 <. Suhdetestin mukn srj suppenee itseisesti j niin ollen suppenee sellisennkin. 3.2 Potenssisrjt Geometrinen srj (3.2 xn esittää funktiot /( x. Itsesiss hyvin monet funktiot voidn esittää tyyppiä n (x x n olevin potenssisrjoin. Jtkoss käsittelemme enimmäkseen tpuksi, joiss x, sillä vihtmll muuttujn x x x mikä thns potenssisrj sdn muotoon n x n. n Potenssisrjn suppeneminen riippuu yleensä muuttujn x rvost. Voidn osoitt, että On olemss sellinen luku R (mhdollisesti +, että potenssisrj n nx n suppenee itseisesti, kun R < x < R j hjntuu kun x > R. Luku R snotn suppenemissäteeksi. Tärkein suppenemissäteen määräämismenetelmä on jälleen suhdetesti: Olkoon srj n nx n sellinen, että rj-rvo lim n+ / n q on olemss. Suppenemissäde on silloin R /q. Suhdetestin mukn srj n nxn suppenee itseisesti, jos termien suhteelle on voimss lim n+x n+ nx n lim n+ x <. n Srj siis suppenee, jos muuttuj x toteutt ehdon x < lim lim n+ n, n+ n joten suppenemissäde R on R lim n. n+ Esim. Srjn n xn /n! suppenemissäde Nyt n+ n n! (n+! n+, joten suhdetestin q on. Suppenemissäde on niin ollen ääretön eli srj suppenee kikill muuttujn x rvoill. Esim. Srjn n n xn suppenemissäde Suhdetesti nt n n+ n n n+ n+ n+ n q R. Kuten todettu potenssisrjoj voidn pitää rgumenttins funktioin. Potenssisrjfunktioill on mm. ominisuudet: Suppenemissäteen sisällä srjn n x n esittämä funktio on jtkuv, voidn integroid integroimll srj termeittäin, voidn derivoid (mielivltisen monesti derivoimll srj termeittäin. 3.3 Tylorin srjt Olkoon funktio f(x äärettömän mont kert derivoituv pisteen x ympäristössä. Tällöin se voidn esittää Tylorin srjn pisteen x suhteen kehitettynä suppenemissäteen sisällä: f(x n f (n (x (x x n (3.3 n! Tässä siis f (n (x on funktion n:s derivtt pisteessä x, j f ( (x f(x. Luku n! n(n (n 2...,! on n:n kertom. Jos x, Tylorin srj sdn usein esiintyvään muotoon f (n ( f(x x n (3.4 n! n 8

19 Todistus: Olkoon meillä potenssisrj f(x n (x x n. n Asettmll x x vin ensimmäinen termi on nollst poikkev, j nähdään heti f(x f ( (x. Potenssisrjojen ominisuuksien mukn srj voidn derivoid termeittäin. Silloin ensimmäinen derivtt suppenemissäteen sisällä on f (x n d dx (x x n n n(x x n. Asettmll tässä x x nähdään f (x f ( (x. Derivoimll k kert smme f (k d k (x n dx k(x x n n n n(n...(n k +(x x n k nk mistä jälleen seur f (k (x k! k, mikä jo osoittkin tuloksen (3.3. Esim. Kosinifunktion Tylorin srj Nyt d cosx sinx dx d 2 2 cosx cosx dx d 3 3 cosx sinx dx d 4 4 cosx cosx dx. d 2n dx 2n cosx ( n cosx d 2n+ dx 2n+ cosx ( n+ sinx. Nähdään, että tässä tpuksess prittomt derivtt f (2n+ ( häviävät j jäljelle jäävät inostn prilliset f (2n ( ( n. Funktion cos x Tylorin srj on niin ollen cosx f(+f ( (x+ f(2 ( x 2 2! + f(3 ( 3! x 3 + f(4 ( x 4 + 4! 2 x2 + 4! x4 + n ( n x2n (2n!. Suhdetestin vull todetn helposti, että tämän srjn suppenemissäde on ääretön. Trksti otten suhdetestillä määrätään srjn n nxn suppenemissäde. Srj n nxβn sdn muuttujn vihdoll y x β suhdetestille sopivn muotoon n nyn. Tämä srj suppenee kun muuttuj y on itseisrvoltn pienempi kuin testin ntm suppenemissäde R. Muuttujlle x y /β suppenemissäde on niin ollen R /β. Kääntäen, jos tunnetn funktion f(x Tylorin srj f(x nx n j sen suppenemissäde R, niin funktion f(x β Tylorin srj on yksinkertisesti f(x β nx βn j sen suppenemissäde R /β. Ktsotn nyt, miten muodostisimme logritmifunktion Tylorin srjn. Kosk sen jokinen derivtt, d n dx n lnx ( n (n! x n ; (n >, divergoi kun x, emme voi origon (x ympäristössä Tylorin srj muodost. Kehittämällä sen sijn Tylorin srj (3.3 pisteen x ympäristössä, sme srjn lnx ln+(x (x 2 2 n n + (x 3 (x ( n (x n. n n mikä on tpn esittää muodoss (y x ln(+y ( n yn n n Näiden srjojen suppenemissäde on (suppenee jos y x < Tylorin srjt funktioiden pproksimtioin Kirjoitetn funktion f Tylorin srj muotoon f(x f(+f ( (x+ + f(n ( x n +R(x. n! Intuitiivisesti on ilmeistä (j voidn osoitt, että mitä pienempi on rgumetti x j mitä suurempi on n sitä pienempi on jäännöstermi R(x. Tämän perusteell 9

20 voimme pproksimoid funktioit ktkistuill Tylorin srjoill: f(x f(+f ( (x+ + f(n ( x n. (3.5 n! Approksimtio on siis sitä trkempi mitä pienempi on x ti mitä suurempi on n. Yleensä pproksimoitess tyydytään linerisiin ti neliöllisiin termeihin. Ktkistess yleistetty Tylorin srj (3.3 trkkuus on vstvsti sitä prempi mitä lähempänä rgumentti on kehityspistettä. Jott trkkuus olisi sitä prempi mitä pienempi rgumentti on, useimmiten muutetn trksteltv funktiot sen sijn että kehitettäisiin origost poikkevss pisteessä. Esimerkiksi logritmifunktion tpuksess sdn pproksimtio Jos µ on positiivinen kokonisluku, srjss on äärellinen määrä termejä (n...µ. Muuss tpuksess srjn suppenemissäde on x <. ti sinille ln(+x x x2 2 + x3 3 +O(x4 sinx x x3 6 +O(x5. All olevn tulukkoon on kerätty muutmi usein trvittvi Tylorin srjoj. f(x n x n e x sinx cosx sinhx coshx ln(+x tnx xn n! x2n+ ( n (2n+! x2n ( n (2n! x2n+ (2n+! x2n (2n! ( n xn n, x < x+ x x5 +, x < π 2 (3.6 Näistä smme suorn iemmin esitetyt pproksimtiot ( Eksponenttifunktion srjst e x x n n! seur d dx ex e x, jos sitä ei muuten tunnettisi: d dx n x n n! nx n n! n x n (n! n k missä k n. Toistuvsti derivoimll sdn myös srj x k k! (+x µ +µx+ µ(µ x ! µ(µ...(µ n+ x n n! n 2

21 4. Integrlilskent 4. Integrlifunktio Funktio F on funktion f integrlifunktio (integrli, jos F (x f(x. (4. Integrlifunktion lskeminen (integrointi on siis derivoinnin käänteisopertio. Integrlifunktiost on tpn käyttää merkintää F(x f(x dx (4.2 Funktiot f snotn integroitvksi. Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen: Olkoon f integroituv funktio, jonk eräs integrlifunktio on F. Tällöin jokinen funktion f integrlifunktio on muoto F(x+C. Todistus:. (F(x+C F (x f(x, joten F(x+C on integrlifunktio. 2. Olkoon G(x toinen f(x:n integrlifunktio. Nyt (F(x G(x F (x G (x f(x f(x, joten F(x G(x on vkio. Yleisesti integrointi on huomttvsti vikemp kuin derivointi: lkeisfunktioiden derivtt ovt lkeisfunktioit, mutt lkeisfunktioiden integrlit eivät yleisesti otten ole! Kosk derivointi on linerinen opertio, myös integrointi on linerinen, ts. [αf(x+βg(x]dx α f(xdx+β g(x dx, (4.3 missä α j β ovt vkioit. Etenkin fysiikss käytetään usein merkintää missä dx tulee välittömästi integrlimerkin jälkeen, siis dxf(x f(xdx 4.. Tvllisi integrlej Johto seurville: derivoimll! x µ dx xµ+ µ+ +C, µ dx x+c, vkio dx ln x +C ln Ax, missä C ln A. x e x dx e x +C x dx x ln +C sinxdx cosx+c cosxdx sinx+c tnxdx ln cosx +C coshxdx sinhx+c sinhxdx coshx+c Usein esiintyvät myös dx ln +x +C +x dx rctnx+c +x2 x 2 dx 2 ln +x x +C dx rcsinx+c x 2 x2 ± dx ln x+ x 2 ± +C 4.2 Integrlien lsku Toisin kuin derivointi integrointi ei yleensä ole suorviivinen mekninen toimenpide. Läheskään kikki lkeisfunktioist muodostetut funktiot eivät ole integroituvi lkeisfunktioiden vull! Integrlifunktion etsinnässä on käytössä lukuisi menetelmiä, joist tärkeimmät ovt muuttujn vihto j osittisintegrointi. Polynomit j srjt Kosk integrointi on linerinen opertio, voimme lske esim. minkä thns polynomin integrlin. Jos polynomi on muoto, P(x + x+ 2 x 2 + n x n, on sen integrli P(xdx C+ x+ 2 x n+ nx n+. (4.4 Smoin jos tunnemme funktion Tylorin srjn, f(x n nx n, smme välittömästi integrlifunktion srjn f(xdx C + n n+ xn+ (4.5 n Tämä srj ei välttämättä vst mitään lkeisfunktiot Ketjusäännön käyttö Derivoinnin ketjusäännön (2.9 d dx g(f(x g (f(xf (x 2

22 mukn on g (f(xf (xdx g(f(x. (4.6 Jos g(x x 2, sdn usein esiintyvä f (xf(xdx 2 f(x2 +C (4.7 Ti jos g(x lnx, f (x dx ln f(x +C (4.8 f(x Yleisemmin f (x(f(x n dx n+ (f(xn+ +C, n (4.9 Esimerkkejä: sinxcosxdx sinx(sinx dx 2 sin2 x+c sinx (cosx cosx dx dx ln cosx +C cosx Muuttujn vihto Ketjusääntöön perustuu myös muuttujnvihto- eli sijoitustekniikk. Olkoon F funktion f integrlifunktio, jok siis toteutt reltion d F(x f(x. dx Oletetn nyt että x on prmetrin t funktio, x(t. Ketjusäännön mukn on d dt F(x(t F (x(tx (t f(x(tx (t. Integroimll yhtälö puolittin sdn siten F(x(t f(x(tx (tdt, jonk voimme myös kirjoitt muotoon f(xdx f(x(tx (tdt. (4. Lyhyesti, tämä vst sijoitust dx dx dt dt eli siis muuttuj x ylennetään muuttujn t funktioksi. Muuttujn vihdon jälkeen integrli voi oll helpompi lske. Tulos on t n funktio, mutt sdn x:n funktioksi kääntämällä x x(t. Vlistn muuttujn vihto esimerkillä: integroidn lnx x dx. Sijoitetn t lnx, jolloin dt /xdx eli Integrli on siten lnx x dx dx xdt. t x xdt 2 t2. tdt Sijoitetn tkisin t ln x, jolloin sdn lopult lnx x dx 2 ln2 x. Integroinnin tulos knntt yleensä trkist derivoimll. Äskeisessä esimerkissä derivointi nt [ ] d dx 2 ln2 x 2 2lnx x lnx x kuten pitääkin. Ongelm: kuink löytää sopiv sijoitus t(x? Löytyy lukuisi sääntöjä, mutt yleispätevää ei. Knntt yrittää tunnist sopiv kokonisuus integroitvst funktiost. Esimerkkejä tyypillisistä sijoituksist: (x+b µ dx: kokeilln t x+b, dt dx, joten (x+b µ dx t µdt tµ+ (x+bµ+ +C +C (µ+ (µ+ Esim. (5x 6 6 dx. Sijoitetn t 5x 6, dt 5dx dx dt/5, j (5x 6 6 dx t 6 5 dt 57 t7 +C 35 (5x 67 +C Viimeisessä viheess sijoitetn x tkisin. 2 x 2 dx: kokeilln x sint, dx costdt. (Miksi tämä sijoitus? Syy: 2 x sin 2 t cost. 2 x 2 dx costcostdt 2 2 cos 2 tdt 2 2 (+cos2tdt 2 (t 2 sin2t+c (rcsin 2 x 2 2 sin(2rcsin x +C ( 2 rcsin x 2 + x x2 2 +C 22

23 missä viimeisessä käytettiin cos2t 2cos 2 t j sin2t 2sintcost 2sint sin 2 t. 2 +x 2 dx: Tässä toimii x sinht, sillä +sinh 2 x coshx (vert edelliseen. e x +e dx: x Kokeilln y e x, dy e x dx j e x +e xdx y +/y y dy +y 2dy rctny +C rctnex +C 3x 2x2 dx: Kokeilln u 2x 2, du 4xdx xdx 4 du 3x 2x 2 dx 3 udu u3/2 +C 2 ( 2x2 3/2 +C Huom: sijoitukset eivät useinkn ole yksikäsitteisiä. Esim. yllä voidn kokeill myös t 2x 2, dt 2x( 2x 2 /2 dx 2x t dx xdx 2 tdt: 3x 2x 2 dx 3t( 2 tdt 2 t3 +C 2 ( 2x2 3/2 +C Vinkki: juurilusekkeen sisältävässä integrliss knntt kokeill uudeksi muuttujksi joko juuren sisäpuolt ti juurilusekett kokonisuudessn dx +x : Kokeilln s +x, ds 2 (+x /2 dx j dx 2ds 2s+C 2 +x+c +x Usein juurilusekkeit sisältävät funktiot eivät ole kuitenkn integroitviss lkeisfunktioiden vull. x+2 x++ dx: sijoitus t x+ x t 2, dx 2tdt: x+2 t 2 +2 dx 2tdt x++ t+ t 3 +t 2 t+ dt Kosk rtionlilusekkeen osoittj on korkemp kertluku kuin nimittäjä, voimme jk lusekkeen muotoon polynomi + jkojäännös. Tästä trkemmin rtionlifunktioiden integroinnin yhteydessä. Trkistmll nähdään että integrli on 2 ( t 2 t+2 2 t+ dt 2( 3 t3 2 t2 +2t 2ln(t++C 2 3 (x+3/2 (x++4(x+ /2 4ln( x+++c Osittisintegrointi Integroimll tulon derivointisäännön d dx [f(xg(x] f (xg(x+f(xg (x smme osittisintegrointisäännön f (xg(xdx f(xg(x f(xg (xdx. (4. Sovelletn osittisintegrointi integrliin xlnxdx. Olkoon säännön (4. f (x x j g(x lnx. Silloin on f(x /2x 2 j g (x /x j smme xlnxdx 2 x2 lnx x 2 2 x dx 2 x2 lnx xdx 2 2 x2 lnx 4 x2. Kuten nähtiin, funktiot f j g täytyy vlit huolellisesti että osittisintegrointi johtisi helpommin rtkevn integrliin! Väärä vlint joht vin huonompn lopputulokseen. Esim. rctnxdx. Vlitn nyt g(x rctnx j f (x! Tästä seur g (x /(+x 2 j f(x x, j x rctnxdx xrctnx +x 2dx xrctnx 2 ln(+x2 +C missä x/(+x 2 on muoto 2 u (x/u(x. Tpus f on yleisesti käytetty osittisintegroinniss. Esim. lnxdx: vlitn jälleen f, g lnx, jolloin f x, g /x, j lnxdx xlnx x dx xlnx x+c. x Esim. xcosxdx: vlitn f cosx, g x, jolloin f sinx, g j pääsemme eroon x:n potenssist. Siis xcosxdx xsinx sinxdx xsinx+cosx+c. Esimerkin vuoksi ktsotn mitä tphtuisi jos vlitn f x, g cosx: nyt f x 2 /2, g sinx j xcosxdx 2 x2 cosx+ 2 x2 sinxdx Stu integrli on phempi kuin lkuperäinen! Funktiot siis knntt vlit huolell. Osittisintegrointi voi joutu toistmn: Esim. x 2 sinxdx:kuten edellä, otetn f sinx, g x 2, joten f cosx, g 2x j 23