1. Differentiaalilaskentaa

Transkriptio

1 Sisältö 1. Differentililskent Derivtn määritelmä Derivttojen lsku Korkemmn kertluvun derivtt Sovelluksi Usemmn muuttujn funktiot Integrlilskent Määrätty integrli Kertymäfunktio Integrlifunktio Integrlien lsku Vektorit Vektorin käsite Vektorilgebr Vektoreiden tulot Potenssisrjoj Äärettömät srjt Potenssisrjt Tylorin srjt Kompleksiluvut Lukulueen ljennus Kompleksilukujen esitys j lgebr Kompleksifunktiot Differentiliyhtälöistä Ensimmäisen kertluvun yhtälöt Lineriset toisen kertluvun yhtälöt Vektorit j differentililskent Yhden muuttujn vektorifunktiot Sklrikentät Vektorikentät Derivointiopertioiden ominisuuksi Vektori-integrointi Yhden muuttujn vektorit Polkuintegrli Pintintegrlit Tilvuusintegrlit Gussin luse Stokesin luse Greenin luseet Liite 71. Kreikkliset kirjimet B. Joukko-oppi C. Kvnttorit D. Intervllej, jtkuvuuksi, Differentililskent 1.1 Derivtn määritelmä Funktion f(x derivtll f (x pisteessä x trkoitetn rj-rvo f (x lim x x f(x f(x x x. (1.1 Geometrisesti derivtt on funktion kuvjn tngentin kulmkerroin derivointipisteessä. N N N N! O B N B N J Kuv 1.1 Derivtn geometrinen tulkint Määritelmässä (1.1 ei ole spesifioitu lähestymissuunt, ts. voi oll joko x > x ti x < x. Molempien lähestymistpojen täytyy joht smn lopputulokseen. Rj-rvo (1.1 ei välttämättä in ole yksikäsitteinen ti sitä ei ole olemss. Tällisess tpuksess derivtt ei ole määritelty. Jos rj-rvo (1.1on (yksikäsitteisenä olemss, snotn, että funktio on derivoituv pisteessä x. Merkintöjä Olkoon y f(x jokin derivoituv funktio. Derivtt f (x merkitään usein myös f (x y d df(x f(x Dy Df(x. dx dx Monesti jätetään funtion f rgumenttikin merkitsemättä. Kun hlutn pinott, että derivttfunktio f (x hlutn lske nimenomn pisteessä x, merkitään joskus f (x df(x dx xx. Kun kyseessä on derivointi jn suhteen, käytetään fysiikss usein merkintää d f(t ḟ(t. dt 1.2 Derivttojen lsku Derivtt suorn määritelmästä Lsketn esimerkiksi potenssifunktion f(x x n derivtt. Määritelmän mukn derivtt f (x on rj-rvo f f(y f(x (x lim y x y x lim x f(x + x f(x. x Tässä tpuksess on siis lskettv rj-rvo f (x lim x (x + x n x n. x

2 Binomikehitelmän (x + x n perusteell smme (x + x n x n n ( n k k ( x k x n k ( ( n x n n + x n 1 x 1 ( n + x n 2 ( x ( n + ( x n x n. n Binomikertoimien ominisuuksi käyttäen voimme kirjoitt (x + x n x n x n + nx n 1 x n ( n + ( x k x n k x n k joten derivtt on f (x lim x lim x k2 x nx n 1 n ( n + x k k2 (x + x n x n [ nx n 1. Binomikertoimist x nx n 1 + k2 ( x k 1 x n k, n ( ] n ( x k 1 x n k k Luseke ( + b n voidn kirjoitt binomikehitelmäksi ( ( + b n n ( k k b n k n k n k b k. k k ( n Binomikertoimet on määritelty kvll k ( n n! k k!(n k!. Merkintä m! trkoitt kokonisluvun m kertom, ts. m! (m 1 m. Luvun 1 kertom on siten 1 j luvun kertomksi on määritelty 1 eli! 1! 1. Erikoistpuksin sdn mm. ( n n!!n! n! n! 1 j ( n 1 n! n(n !(n 1! (n 1! n(n 1! (n 1! n. Smoin nähdään helposti, että ( n n 1 j että ( n n n 1. Käsitellään toisen esimerkkinä funktion f(x sin x derivtn lsku. Nyt sin(x + x sin x cos x + cos x sin x, joten derivtn Määritelmän mukn on f (x sin(x + x sin x lim x x sin x cos x + cos x sin x sin x lim x lim x [ sin x cos x 1 x x + cos x ] sin x, x missä olemme käyttäneet sinin j kosinin yhteenlskukvoj. Pienillä rgumentin rvoill trigonometriset funktiot käyttäytyvät kuten sin δ δ 1 6 δ3 + O ( δ 5 cos δ δ2 + O ( δ 4, missä merkintä O (x n trkoitt, että kikiss lopuiss termeissä rgumentin x potenssi on vähintään n. Näin ollen on siis voimss j cos x 1 lim x x sin x lim x x Derivtksi smme siis 1 2 lim ( x2 + O ( ( x 4 x x lim O ( x x x O ( ( x 3 lim x x [ ( lim 1 O ( x 2 ] x 1. d sin x cos x. dx Trigonometristen funktioiden yhteenlskukvoj Sini- kosinifunktiot toteuttvt yhteenlskukvt sin(x + y sin x cos y + cos x sin y cos(x + y cos x cos y sin x sin y. Kosk tn x sin x cos x, voidn tngentin yhteenlskukv kirjoitt mm. muotoon sin x cos y + cos x sin y tn(x + y cos x cos y sin x sin y tn x + tn y 1 tn x tn y. Erikoistpuksen sdn kksinkertisille kulmille kvt sin 2x 2 sin x cos x cos 2x cos 2 x sin 2 x tn 2x Pythgorn luseen perusteell on 2 tn x 1 tn 2 x. sin 2 x + cos 2 y 1. Kksinkertisen kulmn kosini voidn siten kirjoitt myös muotoihin cos 2x 2 cos 2 x sin 2 x.

3 Muutmien tvllisimpien funktioiden derivttoj on esitetty tulukoss f(x x n e x Df(x nx n 1 e x ln x 1/x. (1.2 sin x cos x cos x sin x tn x 1/cos 2 x Derivtn lskusääntöjä Olkoot f j g derivoituvi funktioit j j b vkioit. Tällöin on voimss d dx [f(x + bg(y] f (x + bg (x. (1.3 Derivointi on linerinen opertio. Funktioiden tulo f(xg(x derivoidn kuten d dx [f(xg(x] f (xg(x + f(xg (x (1.4 j osmäärä f(x/g(x kuten d f(x dx g(x f (xg(x f(xg (x g 2. (1.5 (x Yhdistetyn funktion f(g(x derivointiin soveltuu ketjusääntö d dx f(g(x f (g(xg (x. (1.6 Oletetn, että muuttuj z on rtkistviss yhtälöstä ts. x f(z, z f 1 (x, missä f 1 on funktion f käänteisfunktio. Kun tunnetn funktion derivtt, voidn käänteisfunktion derivtt lske kvst Df 1 (x Syklometriset funktiot 1 f (f 1 (x 1 f (z. (1.7 Trigonometrisillä funktioill ei ole yksikäsitteistä käänteisfunktiot. Esimerkiksi yhtälön sin x 1 2 rtkisee mikä thns äärettömän joukon { π x 6 + 2nπ 5π 6 + 2nπ, n kokonisluku luvuist. Kun rjoitetn sinin rgumentti välille π 2 x π 2, on yhtälöllä sin x yksikäsitteinen rtkisu, jot nimitetään rkussiniksi j merkitään x rcsin, π 2 x π 2. rkussini on siis se sinin käänteisfunktio, jonk rvolue on rjoitettu välille π 2 x + π. Kosinill puolestn on 2 yksikäsitteinen rkuskosiniksi snottu käänteisfunktio, kun rjoitetn kosinin rgumentti välille x π. Tästä käytetään merkintää x rccos z, x π. Tngentin käänteisfunktio on nimeltään rkustngentti. Sen rvolue on y rctn x, π 2 y π 2. Kosk sinin j kosinin rvolueet kttvt välin [ 1, 1], voivt rkussinin j rkuskosinin rgumenttit oll väillä [ 1, 1]. rkustngentin rgumentti ts voi oll mikä thns reliluku, sillä tngentin rvolueen on koko relikseli. Joskus hlutn määritellä trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot monikäsitteisiksi, esim. hlutn että z rcsin x nt kikki ne rvot z, joill sin z x. Tällöin rvolueelle π 2 rcsin x π rjttu rkussiniä snotn ko. 2 funktion päährksi. Päährst käytetään merkintää rcsin x. Vstvt nimitykset j merkinnät ovt käytössä muillekin trigonometrisille käänteisfunktioille. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioit snotn syklometrisiksi funktioiksi ti useimmiten niiden nimen mukisesti tuttvllisesti rkus-funktioiksi. Lsketn esimerkkinä funktion rcsin x derivtt. Nyt rcsin on sinifunktion käänteisfunktio, ts. jos x sin z niin z rcsin x. Säännön (1.7 perusteell on D rcsin x 1 cos z. Trigonometristen funktioiden ominisuuksien perusteell voidn kirjoitt cos z 1 sin 2 z 1 x 2, joten smme d dx rcsin x 1. 1 x Korkemmn kertluvun derivtt Jos funktion f(x derivtt f (x on myöskin derivoituv, voimme lske senkin derivtn: Df (x lim x f (x + x f (x. (1.8 x Snomme, että funktio f(x on khdesti derivoituv j suure Df (x funktion f(x toinen derivtt. Jos vielä tämä toinen derivttkin on derivoituv, voisimme edelleen määrätä sen derivtn DDf (x jne. Vstvsti funktion snotn tällöin olevn kolmesti,..., n kert, derivoituv j puhutn kolmnsist,..., n:stä derivtoist. Merkintöjä Olkoon funktio f(x n-kertisesti derivoituv. Sen n:ttä derivtt merkitään mm. kuten f (n (x D n f(x dn f(x dx n. lhisen kertluvun derivtoist voidn myös käyttää sellisi merkintöjä kuin f (2 (x f (x DDf(x. Jos kyseessä on derivointi jn suhteen, merkitään usein d 2 f(t.. dt 2 f (t.

4 1.4 Sovelluksi Differentililskennn lukemttomist käyttökohteist käsitellään muutmi fysiikn knnlt ehkä tärkeähköjä sovelluksi. Suureiden muodostus Intuitiivisesti nopeudell ymmärretään ikyksikössä kuljettu mtk. Mtemttisen täsmälliseksi nopeuden käsite sdn määrittelemällä se rjrvon v(t lim t x(t + t x(t, (1.9 t kun oletetn trksteltvn objektin liikkuvn pitkin x-kseli j sen olevn pikss x(t hetkellä t. Derivtn määritelmästä (1.1 nähdään, että nopeus v(t hetkellä t on v(t dx(t ẋ(t. (1.1 dt Kiihtyvyys puolestn on nopeuden muutos ikyksikössä. Derivttojen vull ilmistun on siis pitkin x-kseli liikkuvn kppleen kiihtyvyys kirjoitettviss kuten (t dv(t dt d2 x(t dt 2 v(t..ẋ(t. (1.11 Muist lukemttomist derivttojen vull määritellyistä fysiikn käsitteistä minittkoon vikkp sähkövirt I dq dt sähkövruksen Q muuttuess jn t funktion ti teho P dw dt, missä W on hetkeen t mennessä tehty työ ti, kolmnten esimerkkinä kppleen tilvuuden V muutoksest iheutuvst pineen P muutoksest kertov puristusmouli (kompressibiliteetti B 1 V pproksimtio Derivtn määritelmästä (1.1 dp dv. f f(x + x f(x (x lim x x voidn rtkist f(x + x likimääräisesti: f(x + x f(x + f (x x. (1.12 Tämä reltio on sitä trkempi mitä pienempi x on. Välirvoluse Trksti otten on voimss ns. välirvoluse: Olkoon f derivoituv funktio. Tällöin pisteiden x j x + x välissä on olemss sellinen piste x että f (x f(x + x f(x. x Luseen mukn on siis trksti voimss f(x + x f(x + f (x x, missä x < x < x + x (oletten, että x >. Esim. sin x kun x on pieni Kvn (1.12 mukn on sin x x sin x cos x. Esim. Newton-Rphsonin menetelmä Tehtävänä on etsiä funktion f(x nollkoht, ts. rtkist yhtälö f(x. Oletetn, että f(x on derivoituv. Olkoon x jokin likirvo rtkisulle (stu esim. rvmll ti piirtämällä funktion kuvj. pproksimoidn funktiot pisteen x läheisyydessä (ks. kuv 1.2 linerisell kuvjll f(x f(x + f (x (x x. Tämän suorn j x-kselin leikkuspiste x 1 x f(x f (x on (yleensä prempi nollkohdn likirvo kuin lkuperäinen x. Kuv 1.2 Newton-Rphsonin itertio Toistetn sm menettely käyttäen pistettä x 1 lähtörvon, jolloin sdn ts (toivottvsti prempi likirvo x 2. Jtketn smll tvoin iteroiden, ts. lsketn likirvost x n likirvo x n+1 x n f(x n f (x n, niin kun kunnes f(x n on hlutull trkkuudell noll ti kunnes x n+1 poikke riittävän vähän edellisestä rvost x n. Äärirvot Funktion mksimikoht on sellinen piste, että poistuttess siitä mihin thns suuntn funktion rvo pienee. Vstvsti minimikohdst poistuttess funktion rvo ksv. Mksimi (minimi on pikllinen eli lokli, jos funktioll on muit rvoltn tätäkin suurempi (pienempiä mksimej (minimejä. Jos kyseessä on funktion suurin (pienin rvo, puhutn globlist ti bsoluuttisest mksimist (minimistä. Esim. kuvss 1.3 minimi kohdss x j mksimi kohdss x 1 ovt pikllisi. Kohdn x 2 minimi sttisi

5 N oll globli. B N N N N N! Kuv 1.3 Funktion äärirvot Derivoituvn funktion f(x äärirvokohdiss, ts. mksimeiss j minimeissä funktion tngentti on x-kselin suuntinen (ks. kuv 1.3 eli Derivoituvn funktion derivtt äärirvopisteissä on noll. Trksti otten derivtt häviää sellisiss äärirvopisteissä, jotk sijitsevt funktion määrittelylueen sisällä. Jos esim. funktio f(x on määritelty siten, että f(x x 2, kun 1 x 1, mksimit (rvoltn 1 sijitsevt reunpisteissä x ±1. Pisteitä, joiss derivtt häviää snotn kriittisiksi pisteiksi. Derivtn häviäminen on siis äärirvon välttämätön ehto. Se ei kuitenkn ole riittävä. Esim. kuvss 1.3 kohdn x 3 vsemmll puolen funktio on pienempi j oikell puolen suurempi kuin pisteessä x 3. Jos funktio on khdesti derivoituv, voimme toisest derivtst päätellä kriittisen pisteen luonteen: siirryttäessä mksimikohdn yli vsemmlt oikelle ensimmäinen derivtt pienenee, ts. toinen derivtt on negtiivinen, siirryttäessä minimikohdn yli vsemmlt oikelle ensimmäinen derivtt ksv, ts. toinen derivtt on positiivinen, jos toinen derivtt on noll kriittisessä pisteessä, kyseessä ei ole mksimi eikä minimi. Esim. Funktion f(x 3x 4 4x 3 kriittiset pisteet Derivtt on nyt f (x 12x 3 12x 2 12x 2 (x 1. Kriittiset pisteet sdn settmll f (x, ts. rtkistn yhtälö 12x 2 (x 1. Kriittiset pisteet ovt siten j 1. Funktion toinen derivtt on f (x 36x 2 24x, joten f ( j f (1 12. Piste 1 on siis minimi mutt piste ei ole mksimi eikä minimi. l Hospitlin sääntö Hyvin monesti rj-rvoj lskettess päädytään muoto /, / ti oleviin lusekkeisiin. Jos kyseessä ovt derivoituvt funktiot, voidn useimmiten sovelt l Hospitlin sääntöä Jos f (x lim x g (x j jos joko ti niin Perusteluj f(x j g(x kun x g(x ± kun x, f(x lim x g(x. Trkstelln esimerkkinä tpust, missä on äärellinen j missä sekä f( että g(. Voimme siis kirjoitt Nyt f(x f(x f( g(x g(x g(. F (z g(z[f(x f(] f(z[g(x g(] on derivoituv rgumentin z funktio j F (x F (. Välirvoluseen mukn pisteiden x j välissä on sellinen piste β, että F (x F ( + F (β(x. Pisteessä β on siis F (β eli g (β[f(x f(] f (β[g(x g(]. Smme siis f(x g(x f (β g (β, missä β on pisteiden x j välissä. Kun nyt x, niin myöskin β j voimme kirjoitt f(x lim x g(x lim f (x x g (x. Esim. lim x sin x/x Sekä osoittj että nimittäjä lähestyvät noll rgumentin lähestyessä noll j funktiot ovt derivoituvi. Voimme siis sovelt l Hospitlin sääntöä: sin x lim x x lim cos x 1 x Esim. lim x sin 2 2x/x 2 l Hospitlin sääntö on ilmeisestikin sovellettviss j smme sin 2 2x 4 sin 2x cos 2x lim x x 2 lim x 2x sin 2x 2x lim 2 cos 2x lim 2sin x x x x. Päädymme siten edelleen muoto / olevn lusekkeeseen. Sovelletn tähän uudelleen l Hospitlin sääntöä, jolloin sdn 2x cos 2x lim 2sin lim 4 4. x x x 1 Esim. lim x + x ln x Tässä merkintä x + trkoitt, että x lähestyy noll positiiviselt puolelt. Tämä rjoitus on setettu, jott

6 logritmifunktio olisi määritelty. Nyt x j ln x, joten l Hospitlin säännön soveltmiseksi kirjoitetn rj-rvo muotoon lim x ln x lim x + x + ln x 1. x Nyt sekä osoittj että nimittäjä lähestyvät ääretöntä j l Hospitlin sääntö on jälleen käyttökelpoinen: lim x ln x lim x + x + 1 x 1 x 2 lim ( x. x Usemmn muuttujn funktiot Osittisderivtt Trkstelln esimerkkinä sähkökentässä liikkuv vrttu hiukkst. Jos kentän voimkkuus riippuu pikst, hiukksen potentilienergikin riippuu hiukksen pikst kolmiulotteisess vruudess, koordinteist x, y j z. Hiukksen energi w voisi kuvt usemmn muuttujn funktio w w(x, y, z. Kysymykseen, mikä on energin muutos kun hiukksen x-koordintti muuttuu hiemn, nt vstuksen osittisderivtt w x : w x lim x w(x + x, y, z w(x, y, z. (1.13 x Energin muutos kun on kirjoitettviss muotoon w w x x. Vstvsti määritellään osittisderivtt funktion muidenkin muuttujien suhteen. Funktion osittisderivtt jonkin muuttujn suhteen sdn siis derivoimll funktio tämän muuttujn suhteen pitäen muit muuttuji vkioin. Mikäli osittisderivtt ovt edelleen muuttujiens derivoituvi funktioit, voidn lske korkempi derivttoj. Jos esimerkiksi w x on muuttujien x, y j z derivoituv funktio, voimme konstruoid mm. osittisderivtt 2 w x 2 2 w x x x 2 w x ( w. x ( w x Jos funktio j sen osittisderivtt ovt riittävän pehmeitä (useimmiss fysiklisiss probleemoiss ne ovt sekderivtoiss ei derivointijärjestyksellä ole merkitystä, ts. 2 w x 2 w x. Osittisderivtn kertluku kertoo, kuink mont kert funktiot on derivoitu. Esim. Funktion g(x, y x 3 + 7x 2 y y 3 osittisderivtt toiseen kertlukuun skk Ensimmäisen kertluvun derivtt ovt j toisen kertluvun g x 3x2 + 14xy g 7x 2 3y 2 2 g x 2 x (3x2 + 14xy 6x + 14y 2 g x (3x2 + 14xy 14x 2 g x x (7x2 3y 2 14x 2 g 2 (7x2 3y 2 6y. Nähdään mm. että 2 g x 2 g x, kuten pitääkin. Osittisderivttoj merkitään joskus myös kirjoittmll lindeksiksi muuttujt, joiden suhteen on derivoitu. Esim. g y g, gxx 2 g x 2, gxy 2 g x, jne. Kokonisdifferentili Trkstelln usemmn muuttujn funktiot f(x 1, x 2,..., x n Muuttujien vritiost iheutuv funktion muutos on f f x 1 x 1 + f x 2 x f x n x n. (1.14 Tämä reltio sdn trkksi infinitesimlisell rjll x i. Tällöin kirjoitetn df f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n. (1.15 Suurett df snotn kokonisdifferentiliksi. Miksi summ? Tehtävänä on lske f f(x + x, y + y, z,... f(x, y, z,.... Siirrytään ensin pisteeseen (x + x, y, z,..., missä f(x + x, y, z,... f(x, y, z,... + f(x, y, z,... x x. Jtketn tästä pisteeseen (x + x, y + y, z,..., missä tällä kert Nyt f(x + x, y + y, z,... f(x + x, y, z,... f(x + x, y, z,... y f(x + x, y, z,... + y. ( f(x, y, z,... f(x, y, z,... + x x f(x, y, z,... y + 2 f(x, y, z,... x y x y.

7 Kosk vritiot x, y,... ovt pieniä, ovt niiden tulot sitäkin pienempiä. Infinitesimlisell rjll kvdrttiset termit dx 2, dx dy,... häviävät kokonn verrttun linerisiin termeihin. Siksi voimme kirjoitt jolloin f(x + x, y, z,... y f(x, y, z,... f(x + x, y + y, z,... f(x, y, z,... y, f(x, y, z,... + x x f(x, y, z,... + y. Käsittelemällä smoin loputkin muuttujt päädymme summlusekkeseen (1.14 j siitä edelleen kokonisdifferentiliin (1.15. Esim. Sylinterin tilvuuden mittus Määrätään sylinterin tilvuus mittmll sen korkeus h j pohjn hlkisij d. Tilvuus on silloin V 1 4 πd2 h. Mikään mittus ei ole bsoluuttisen trkk. rvioidn nyt, että hlkisijn mittuksess virhe on suuruusluokk d j vstvsti korkeuden mittuksess suuruusluokk h. Näistä mittusten epätrkkuuksist iheutuu tilvuuteen virhe V V V d + d h h 1 2 πdh d πd2 h. Poikkemt d j h voivt oll positiivisi ti negtiivisi. rvioitess vrmn päälle vlitn merkit siten, että termit ovt positiivisi eli V mx 1 2 πdh d πd2 h. Kosk virheet thtovt oll sitä suurempi mitä suurempi ovt mitttvt suureet, relevntimpi epätrkkuuden mitt on suhteellinen virhe V V 1 1 mx 4 d2 h V mx 2 d d + h h. jtelln nyt, että ikisemmss esimerkissämme sähkökentän voimkkuutt vihdelln jn funktion. Hiukksen energi riippuu nyt siis myös jst t: w w(x, y, z, t. Vstus kysymykseen, mikä on energin muutos ikvälillä t, on hiemn monimutkisempi. Hiukksen pikk näet muuttuu myös jn myötä, ts. x x(t, y y(t j z z(t, sen lisäksi että energi riippuu eksplisiittisesti jst. Ketjusäännön (1.6 mukn x-koordinttiin liittyvä muutos on tällöin w x x t t. Jos x ei riipu jn lisäksi muist muuttujist, voidn osittisderivtt x t korvt tvllisell derivtll dx dt ẋ. Muihin muuttujiin liittyvät vstvt lusekkeet. Kun vielä otetn huomioon eksplisiittinen ikriippuvuus päädytään muutokseen w w. x t + w. y t + w. z t + w x t t. Tämä sdn jälleen eksktiksi siirtymällä infinitesimliselle rjlle: ( w. dw x + w. y + w. z + w dt. x t Jkmll puolittin differentilill dt päädymme kokonisderivtksi kutsuttuun lusekkeeseen dw dt w. x + w. y + w. z + w x t. Itse siss kokonisderivtt on ivn tvllinen derivtt. Jos nimittäin sijoitmme funktioon koordinttifunktiot w w(x, y, z, t x x(t, y y(t, z z(t päädymme vin jst riippuvn funktioon. Merkitään tätä funktiot kuten g(t w(x(t, y(t, z(t, t. Kokonisderivtt dw dt j funktion g tvllinen ikderivtt dg dt yhtyvät, ts. dg dt w. x + w. y + w. z + w x t. Esim. Funktion f(x, y, t sin(xy 2 + 2t kokonisderivtt, kun x(t t j y(t cos t Koordinttien ikderivtt ovt ẋ 1 j ẏ sin t, joten kokonisderivtt on df dt f. x + f. y + f x t y 2 cos(xy 2 + 2t ẋ + 2xy cos(xy2 + 2t ẏ +2 cos(xy 2 + 2t cos(t cos 2 t + 2t ( cos 2 t 2t sin t cos t + 2. Toislt voidn kirjoitt f(x, y, t sin(xy 2 + 2t sin(t cos 2 t + 2t g(t. Funktion g derivtt on dg dt cos(t cos2 t + 2t ( cos 2 t 2t sin t cos t + 2, mikä on sm kuin kokonisderivtt.

8 Implisiittinen derivointi Trkstelln khden muuttujn funktiot f(x, y j yhtälöä f(x, y c, (1.16 missä c on vkio. Peritteess tästä yhtälöstä voitisiin (ehkä rtkist muuttuj y. Tämä rtkisu riippuisi tietenkin muuttujst x. Voimme siis jtell, että yhtälö (1.16 määrää implisiittisesti funktion y(x. Funktion f (kokonisdifferentili on df f f dx + x dy. Jos hlutn yhtälön (1.16 olevn voimss, täytyy myös differentilien noudtt sitä, ts. täytyy oll df dc. Vkion differentili on noll, joten smme yhtälön f f dx + dy. x Jkmll differentilill dx smme f x + f dy dx j funktion y derivtksi niin ollen f dy dx x. (1.17 f Tämä derivtn muodostustp tunnetn implisiittisenä derivointin. Esim. Yksikköympyrän tngentti Olkoon nyt f(x, y x 2 + y 2. Silloin origokeskisen yksikköympyrän yhtälö on j oikell puolen joten f(x, y x dc (c vkio, dx + f(x, y dy dx. Tämä joht ikisempn derivtn lusekkeeseemme (1.17. Esim. Muodost implisiittisesti derivtt dy dx yhtälöstä sin(xy + y x Voitisiin kirjoitt vikkp f(x, y sin(xy + y x, jolloin olisi f(x, y. Toislt muoto p(x, y q(x, y olevien yhtälöiden knss voimme edetä suorviivisemmin j yksinkertisesti derivoid yhtälöt molemmin puolin. Tässä tpuksess siis ( d (sin(xy + y cos(xy y + x dy + dy dx dx dx j d dx x 1. Hiemn ryhmittäen voidn kirjoitt (1 + x cos(xy dy dx 1 y cos(xy, jost smme derivtksi dy dx 1 y cos(xy 1 + x cos(xy. On helppo todet, että kv (1.17 joht smn lusekkeeseen. x 2 + y 2 f(x, y 1. Ympyrän kehällä derivtt on f dy dx x x y. f Tulos on helppo trkist derivoimll ympyrän yhtälöstä rtkistu y muuttujn x suhteen. Käytännössä implisiittinen derivtt muodostetn usein suorviivisemmin. Olkoon f(x, y c muuttuji x j y toisiins sitov ehto. Oletetn, muuttuj y on rtkistviss muuttujn x funktion, ts. y y(x. Sijoittmll tämä sdn f(x, y(x c. Derivointi muuttujn x suhteen yhtälön vsemmll puolell nt df(x, y(x dx f(x, y(x x + f(x, y(x dy(x dx

9 N N D " N " $ N % 2. Integrlilskent 2.1 Määrätty integrli Trkstelln suljetull välillä [, b] määriteltyä ploittin jtkuv rjoitettu funktiot f(x. Jetn väli [, b] n yhtäsuureen h-mittiseen osn, j merkitään ts. h b n (2.1 x k + kh, (2.2 x, x 1 + h, x 2 + 2h,..., x n b. (2.3 N B N Kuv 2.1 Porrssumm B N > N Jkoon (2.3 liittyvä porrssumm on n 1 S n h f(x k. (2.4 k Geometrisesti summn jokinen termi k hf(x k esittää suorkiteen, leveydeltään h j korkeudeltn f(x k, pint-l. Kosk jkovälin pituus h on positiivinen, pint-l k on positiivinen jos f(x k on positiivinen j negtiivinen jos f(x k on negtiivinen. Summ S n (2.4 pproksimoi siten välillä [, b] käyrän y f(x j x-kselin väliin jäävää pint-l siten, että x-kselin yläpuolinen os lsketn positiivisen j lpuolinen os negtiivisen. Tämä pproksimtio on ilmeisestikin sitä trkempi mitä tiheämpi jko on, ts. mitä pienempi on h ti mitä suurempi on n. Voidn osoitt, että jon (2.3 tihentyessä summ (2.4 lähestyy äärellistä rj-rvo, ts. rj-rvo S lim n S n on olemss j äärellinen. Tätä rj-rvo snotn funktion f(x määrätyksi integrliksi välillä [, b]. Sitä merkitään kuten b f(x dx lim n h n 1 f(x k. (2.5 k Geometrisesti määrätty integrli on ilmeisestikin käyrän y f(x j x-kselin väliin jäävä pint-l Määrätyn integrlin ominisuuksi Tyhjä integroimisväli Olkoon integrointiväli [, ], ts. se sisältää vin yhden pisteen. Tällöin on f(x dx, (2.6 sillä integrlin määritelmässä (2.5 jkoväli h ( /n on in noll riippumtt jkopisteiden lukumäärästä. Integrointirjojen vihto Määrittelimme (2.5 integrlin vsemmlt oikelle eli integroimisvälissä [, b] oli b. Tällöin jkoväli h (b /n on positiivinen. Voimme myös jtell integrointi oikelt vsemmlle, jolloin jkovälistä (2.1 tulee negtiivinen. Tämän huomioonotten määrittelemme b f(x dx b f(x dx. (2.7 dditiivisuus Jos c on integroimisvälin [, b] sisäpiste, nähdään määritelmästä (2.5 että voimme koost integrlin ploist, kuten b f(x dx c f(x dx + b c f(x dx. (2.8 Otten huomioon rjojen vihto-ominisuuden (2.7 näemme, että dditiivisuus (2.8 on voimss olivtp, b j c mitä thns funktion määrittelylueen pisteitä. Linerisuus Integrlin määritelmästä (2.5 nähdään, että integrointi on linerinen opertio, ts. b [αf(x + βg(x]dx α b f(x dx + β b g(x dx. (2.9 Integroimismuuttujn vihto Integrlin b f(x dx rvo (käyrän j x-kselin välinen pint-l ei ilmeisestikään riipu muuttujst x. On siis ivn smntekevää, millä symbolill funktion rgumentti merkitään, ts. b b f(x dx f(s ds. ( Kertymäfunktio Funktion f kertymäfunktio K on K(x x f(t dt. (2.11 Ilmeisestikin pisteessä kertymäfunktio on noll, sillä K( f(t dt.

10 Kertymäfunktio (2.11 imoitt käyrän j x-kselin välisen pint-ln kohdst kohtn x. nnetn kertymäfunktion rgumentille (pieni lisäys x. Vstv kertymäfunktion muutos K K(x + x K(x on silloin suuruudeltn likimin kuvn 2.2 vrjostetun lueen pint-l xf(x, ts. K(x + x K(x xf(x. B N N, N N, N Kuv 2.2 Kertymäfunktion derivtt Tämä reltio on ilmeisestikin sitä trkempi mitä pienempi x on, joten smme eli K(x + x K(x lim f(x x x K (x d dx x f(t dt f(x. ( Integrlifunktio Funtio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x f(x. (2.13 Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen. Jos nimittäin F on funktion f integrlifunktio, niin mikä thns muoto F (x + C olev funktio on myös integrlifunktio kun C on vkio: Jokinen kertymäfunktio d dx [F (x + C] F (x f(x. K(x x f(t dt on lrjst riippumtt funktion f integrlifunktio. Yleisesti voidn osoitt, että Olkoon f integroituv funktio, jonk eräs integrlifunktio on F. Tällöin jokinen funktion f integrlifunktio on muoto F (x + C. Vkiot C snotn integroimisvkioksi. Kertymäfunktiokin on siis muoto K(x x f(t dt F (x + C. Integroimisvkio C määräytyy nyt lkuehdost eli K( F ( + C C F (. Kosk määrätty integrli b f(x dx voidn ilmist kertymäfunktion smme b f(x dx K(b F (b + C, b f(x dx F (b F (. (2.14 Tämä ominisuus on ilmeisestikin voimss olip F mikä hyvänsä funktion f integrlifunktio. Määrättyjä integrlej lskettess käytetään usein sijoitusmerkintää: b f(t dt / b F (t F (b F (. (2.15 Integrlifunktiost on tpn käyttää merkintää f(x dx, ts. Funktiot f snotn integroitvksi. f(x dx F (x + C. (2.16 Usein jätetään integroimisvkio merkitsemättä, ts. kirjoitetn f(x dx F (x, missä F on jokin funktion f integrlifunktio. Toisinn käytetään myös kertymäfunktiomerkintää spesifioimtt lrj eli f(x dx x f(t dt. Hiemn huolimttomsti silloin tällöin käytetään integrointimuuttujlle j ylärjlle sm symboli, esim. 2.4 Integrlien lsku f(x dx x f(x dx. Integrlifunktion määritelmästä Ktsotn esimerkkinä potenssifunktioit. Kosk on Dx n+1 (n + 1x n, x n dx xn+1 n + 1 ; n 1. Käsitellään tpus n 1 erikseen. Kosk sdn silloin D ln x 1 x ; x >, 1 dx ln x; x >. x

11 Otetn toisen esimerkkinä sini- j kosinifunktiot. Kosk D sin x cos x D cos x sin x, ovt integrlifunktiot vstvsti sin x dx cos x cos x dx sin x. Muutmien yksinkertisten funktioiden integrlifunktioit on esitetty tulukoss f(x f(x dx x x ( x 1 ln x sin x cos x cos x sin x e x e x (2.17 Integrointimenetelmiä Toisin kuin derivointi integrointi ei yleensä ole suorviivinen mekninen toimenpide. Integrlifunktion etsinnässä on käytössä lukuisi menetelmiä, joist tässä esitämme muutmi tärkeimpiä. Kosk derivointi on linerinen opertio, myös integrointi on linerinen, ts. [αf(x+βg(x] dx α f(x dx+β g(x dx, (2.18 missä α j β ovt vkioit. Linerisuusominisuuden perusteell voimme lske esim. minkä thns polynomin integrlin. Jos polynomi on muoto, P (x + 1 x + 2 x 2 + n x n, on sen integrli P (x dx x x x n + 1 nx n+1. Derivoinnin ketjusäännön (1.6 mukn on d dx g(f(x g (f(xf (x g (f(xf (x dx g(f(x. (2.19 Esim. x cos(3x 2 dx Koitetn kirjoitt integroitv muotoon g (zz. Kokeilln funktiot z 3x 2, jolloin z 6x. Nyt pitäisi siis löytää sellinen g, että g (zz 6xg (3x 2 x cos(3x 2. Tämä toteutuu, jos g(z 1/6 sin z j smme siis x cos(3x 2 dx g(3x sin(3x2. Esim. f (x/f(x dx Ketjusäännön funktiot g vst nyt ln-funktio, joten f (x dx ln f(x. f(x Ketjusääntöön perustuu myös muuttujnvihto- eli sijoitustekniikk. Olkoon F funktion f integrlifunktio, jok siis toteutt reltion Ketjusäännön mukn on d F (x f(x. dx d dt F (h(t F (h(th (t f(h(th (t. Integroimll yhtälö puolittin sdn siten F (h(t f(h(th (t dt, jonk voimme myös kirjoitt muotoon f(x dx f(h(th (t dt. (2.2 Voidn jtell, että vsemmn puoleisen integrlin integrointimuuttuj on itsekin funktio x h(t. Tällöin on dx dt h (t, jost rtkistu differentili dx h (t dt sijoitetn integrliin. Lsketn sijoitusmenettelyn esimerkkinä integrli ln x x dx. Sijoitetn t ln x, jolloin dt 1/x dx eli Integrli on siten ln x x dx dx xdt. 1 2 t2. t x x dt t dt Sijoitetn tkisin t ln x, jolloin sdn lopult ln x x dx 1 2 ln2 x. Integroinnin tulos knntt yleensä trkist derivoimll. Äskeisessä esimerkissä derivointi nt [ ] d 1 dx 2 ln2 x ln x 1 x ln x x kuten pitääkin. Vihdettess muuttuj määrätyssä integrliss on muistettv viht vstvsti myös integrlin rjt. Kun integrliin I b f(x dx

12 sijoitetn x h(t, niin uuden integrointimuuttujn t rjt ovt h 1 ( j h 1 (b (h 1 on h:n käänteisfunktio. Määrätty integrli on siten sijoituksen jälkeen muoto I h 1 (b h 1 ( f(h(th (t dt. Lsketn esimerkkinä määrätty integrli π/3 π/6 sin 3x dx. Sijoitetn t 3x, jolloin dt 3 dx sekä rjt 3π/6 j 3π/3. Smme siis π/3 π/6 sin 3x dx 1 3 π π/2 sin t dt 1 3 Integroimll tulon derivointisäännön π / cos t 1 π/2 3. d dx [f(xg(x] f (xg(x + f(xg (x smme osittisintegrointisäännön f (xg(x dx f(xg(x f(xg (x dx. (2.21 Sovelletn osittisintegrointi integrliin x ln x dx. Olkoon säännön (2.21 f (x x j g(x ln x. Silloin on f(x 1/2 x 2 j g (x 1/x j smme x ln x dx 1 2 x2 ln x 1 x x dx 1 2 x2 ln x 1 x dx x2 ln x 1 4 x2. Viimeisenä menetelmänä trkstelemme muoto R P n Q m olevien murtolusekkeiden integrointi, kun P n j Q m ovt n:nnen j m:nnen steen polynomej. Jos osoittj on steluvultn suurempi kuin nimittäj, tehdään polynomien jkolsku j päädytään lusekkeeseen R T n m + S Q m, missä T n m on stett n m olev osmääräpolynomi j S jkojäännöspolynomi. Polynomi T n m on helppo integroid, joten jäljelle jää jälleen muoto P n /Q m olev murtofunktio, missä nyt on n < m. Mitään yleistä sääntöä murtolusekkeiden Lsketn osmurtohjotelmn esimerkkinä integrli 4 x 2 1 dx. Nyt integroitvn nimittäjä on x 2 1 (x 1(x + 1. Kirjoitmme 4 x 2 1 x 1 + b x + 1 j määräämme vkiot j b siten, että yhtälö on voimss kikill muuttujn x rvoill. Viedään oike puoli smn muotoon kuin vsenkin eli x 1 + b x + 1 (x b(x 1 x 2 1 ( + bx + ( b x 2. 1 Jott tämä olisi yhtäsuuri lkuperäisen lusekkeen knss, täytyy oll + b j b 4, joten 2 j b 2. Integrli on siten 4 x 2 1 dx 2 x 1 dx 2 x + 1 dx 2 ln x 1 2 ln x + 1 ln(x 1 2 ln(x ( 2 x 1 ln. x + 1 Integrointivkio j logritmifunkiot Trksti otten esim. integrliin 1 dx ln x + 1 x + 1 tulisi liittää integrointivkio, ts. 1 dx ln x c. x + 1 Kosk jokinen reliluku on jonkin positiivisen luvun logritmi, on tässä yhteydessä usein tpn kirjoitt c ln C, jolloin 1 dx ln x ln C ln C x + 1. x + 1 Integroinnin puvälineet Kun omt neuvot eivät riitä, voi turvutu puvälineisiin. Integrlej on tulukoitu lukuisiin kirjoihin, joist prs lienee Grdshteyn nd Ryzhik: Tble of Integrls, Series, nd Procts. Toinen mhdollisuus on käyttää symboliseen lskentn tehtyjä tietokoneohjelmi. Näistä tunnetuimpi ovt Mple j Mthemtic. R P n Q m ; (n < m integroimiseksi ei ole. Silloin kun nimittäjä Q m jkutuu ensimmäisen steen tekijöihin voidn funktio hjott osmurtoihin.

13 N + + N + O O * O * N * N O O H N H 3. Vektorit 3.1 Vektorin käsite Fysiklisten suureiden spesifioimiseksi ei useinkn pelkkä suureen koko ole riittävä. Esimerkiksi liikettä kuvttess on yleensä trpeen kerto myös liikkeen suunt kolmiulotteisess vruudessmme. Liikkeen puolestn iheutt johonkin suuntn vikuttv jonkin suuruinen voim. Tällisi suureit kuvmn on luotu vektorit. Vektori on suure, joll on suunt j suuruus. Sklri puolestn on suure, joll on vin suuruus. Grfisesti vektori esitetään nuolen, jonk kärki osoitt vektorin suunnn j pituus vektorin suuruuden. N O origoon, jolloin vektori kuvisivt sen kärjen koordintit. Kääntäen, mitä thns vruuden pistettä voidn pitää origost lähtevän vektorin kärkenä. Tällöin puhutn usein pikk- eli rdiusvektorist. Kuv 3.2 Pikkvektori H 2 N O N O Esimerkiksi msspisteen pikk vruudess voisi kuvt pikkvektori r (x, y, z N + O Jos piste on liikkeessä, niin sen koordintit x, y j z ovt jn funktioit, joten pikkvektorin r kärkikin liikkuu jn myötä: * * * N * O r r(t (x(t, y(t, z(t. Kuv 3.1 Vektorin esitys Määritelmän mukn vektorin pikll vruudess ei ole merkitystä. Esimerkiksi kuvn 3.1 kikki kolme vektori ovt smoj, ts. B C. Merkintöjä Tekstissä vektoreit merkitään tvllisesti (mm. tässä esityksessä lihvoitetuill symboleill (, r,β,.... Käsin kirjoitettess vektoreiden päälle piirretään useimmiten yläviiv, Ā, joskus nuoli,. Vlituss koordintistoss vektori voidn spesifioid esim. ntmll kksi suuntkulm, vikkp vektorin j z-kselin välinen kulm sekä vektorin xy-tsoll olevn projektion j x-kselin välinen kulm, j vektorin pituus. ntmll vektorin koordinttikseleill olevien projektioiden pituudet (merkki huomioiden. Käytämme luksi lähes yksinomn jälkimmäistä esitystä. Vektorin spesifioivt siis sen projektiot koordinttikseleille: kolmiulotteisess vruudess relilukukolmikko ( x, y, z, ( x, y, z. Projektioit x,... snotn vektorin koordinteiksi ti komponenenteiksi. Puhutn myös vektorin komponenttiesityksestä. Kosk vektorin pikll ei ole merkitystä, voisimme siirtää kikki vektorit vlitsemmme koordintiston Kuv 3.3 Liikkuv piste J J Liikkuvn pisteen nopeus v määräytyy ilmeisestikin sen koordinttien muutosnopeuksist ẋ(t, ẏ (t j ż(t, ts. v(t (ẋ(t, ẏ (t, ż(t. Jos vielä sovimme, että vektori derivoidn derivoimll sen komponentit, voimme kirjoitt ytimekkäästi v(t ṙ(t. Vektorin määritelmän perusteell vektorit ( x, y, z j b (b x, b y, b z ovt yhtäsuuri jos j vin jos niiden vstinkomponentit ovt yhtäsuuri, ts. jos j vin jos x b x, y b y j z b z. Tällöin merkitään b. Vektorin jtelln olevn jotkin bsoluuttist; vektori on olemss j pysyy smn käytettiinpä millist koordintisto thns ti toimittiinp ilmn koordintisto. Vektorin esitys komponenttimuodoss sen sijn riippuu vlitust koordintistost. Mittkv j koordinttikseleiden suunnt vikuttvt vektorin komponentteihin. Esimerkiksi vektoreiden yhtäsuuruudest päätettäessä on pidettävä huoli siitä, että ne esitetään smss koordintistoss. Määritellään nollvektori siten, että (,,. (3.1

14 N * * * O N O N O Grfisesti khden vektorin j B summ siis muodostetn siirtämällä esim. vektori B siten, että sen knt yhtyy vektorin kärkeen. Summ- eli resultnttivektori + B on silloin vektorin knnst vektorin B kärkeen ulottuv vektori. Erotusvektori voidn puolestn muodost siten, että siirretään molempien vektorien knnt smn kohtn. Erotus B on nyt vektorin B kärjestä vektorin kärkeen ulottuv vektori. Kuv 3.4 Vektorin pituus Lskutoimitusten ominisuuksi Suorn määritelmistä on helppo todet, että Vektorin suuruus on sm kuin vektorin pituus. Kuten kuvst 3.4 nähdään, on vektorin ( x, y, z pituus Pythgorn luseen mukn 2 x + 2 y + 2 z. (3.2 Hyvin usein vektorist käytetty symboli ilmn vektorimerkintää trkoitt ko. vektorin pituutt, esim.. Ilmeisestikin jos j vin jos. Tämän vuoksi hyvin usein jätetään vektorimerkintä pois nollvektorist. 3.2 Vektorilgebr Sklrill kertominen Olkoon ( x, y, z jokin vektori j λ jokin relinen vkio. Silloin λ on vektori λ (λ x, λ y, λ z. (3.3 Sklrill λ kerrottess vektori siis säilyttää suuntns jos λ > ti kääntyy vstkkiseen suuntn jos λ <. Vektorin pituus muuttuu vkioll λ kerrottess kuten λ λ. Yhteen- j vähennyslsku Vektorien ( x, y, z j B (B x, B y, B z summn määrittelee yhtälö + B ( x + B x, y + B y, z + B z. (3.4 j erotuksen yhtälö B + ( 1B ( x B x, y B y, z B z. * * Kuv 3.5 Vektorien yhteen- j vähennyslsku (3.5 Vektoreiden yhteenlsku on kommuttiivinen, ts. + B B +. Vektoreiden yhteenlsku on ssositiivinen, ts. + (B + C ( + B + C. Sulut voidn siis tämän kltisiss lusekkeiss jättää merkitsemättä. Sklrill kertominen on distributiivinen, ts. λ( + B λ + λb. Yksikkövektorit Yksikkövektori on sellinen vektori, jonk pituus on yksi. Esim. Vektorin (5, 3, 2 suuntinen yksikkövektori Vektorin pituus on Tällöin vektori (5, 3, 2 ( 5 6, 1 2, on vektorin suuntinen. Se on ilmeisestikin myös yksikön mittinen, sillä Yksikkövektorit erotetn usein kirjoittmll ˆ-merkki vektorin yläpuolelle, kuten esim. ˆb. Jos smss yhteydessä puhutn myös vektorist b, niin silloin ˆb trkoitt yleensä vektorin b suuntist yksikkövektori. Koordinttikseleiden suuntisi yksikkövektoreit snotán yksikkökoordinttivektoreiksi ti lyhyesti kntvektoreiksi. Niitä merkitään usein kuten e x (1,, e y (, 1, e z (,, 1.. Toinen hyvin pljon käytetty merkitsemistp on (3.6 i e x, j e y j k e z. (3.7

15 * Kosk vektori voidn kirjoitt kuten ( x, y, z ( x,, + (, y, + (,, z x (1,, + y (, 1, + z (,, 1, sdn sille komponenttiesitykset x e x + y e y + z e z x i + y j + z k. 3.3 Vektoreiden tulot Pistetulo Vektoreiden ( x, y, z j B (B x, B y, B z Pistetulon eli sklritulon B määrittelee kv B x B x + y B y + z B z. (3.8 Merkintä 2 trkoitt vektorin sklritulo itsensä knss eli 2 2 x + 2 y + 2 z 2. Vektorin pituus on siis ilmistviss sklritulon vull kuten 2. Suorn määritelmästä nähdään, että pistetulo on kommuttiivinen, ts. B B. on distributiivinen: (B + C B + C. sklrill kerrottess toteutt reltiot λ( B (λ B (λb. Esim. Cuchy-Schwrtzin epäyhtälö Olkoot j B nollst poikkevi vektoreit j λ mielivltinen sklri. Trkstelln vektoreiden λ j B resultntti λ + B j erikoisesti sen pituuden neliötä q(λ λ + B 2. Kuten näimme, vektorin pituuden neliö on vektorin sklritulo itsensä knss, ts. q(λ (λ + B (λ + B λ 2 + λ B + λb + B B λ λ B + B 2 ( 2 λ 2 + 2λ B 2 + B 2, missä olemme käyttäneet hyväksi sklritulon ominisuksi (distributiivisuus, kommuttiivisuus jne.. Täydennetään sulkujen sisällä olev luseke neliöksi j sdn ( q(λ 2 λ 2 + 2λ B ( B ( B2 2 + B 2. Hiemn sieventäen j ryhmittäen voimme kirjoitt edellisen lusekkeen muotoon ( q(λ 2 λ + B ( 2 B 2 ( B 2 Tämän muodon ensimmäinen termi on neliönä in ei-negtiivinen, joten funktioll q(λ on minimi kun neliötermi on minimissään. Vlitsemll λ B/ 2 sdn neliötermi häviämään joten funktion q(λ minimi q min on sm kuin jälkimmäinen termi. Pituuden neliönä q(λ ei voi oll negtiivinen olip λ mitä hyvänsä, joten myös sen minimille täytyy oll voimss q min. Siis on 2 B 2 ( B 2. Tämä on kirjoitettviss Cuchy-Schwrtzin epäyhtälönä tunnettuun muotoon B B. (3.9 Oletimme, että j B. Jos nyt jompi kumpi ti molemmt ovt nolli, niin epäyhtälö on edelleenkin voimss (yhtäsuuruuten. Esim. Kolmioepäyhtälö Vektorit, B j + B muodostvt kolmion, jonk sivujen pituudet ovt, B j + B. Kääntäen, jokinen kolmio voidn esittää khten vektorin j niiden resultnttin. * Kuv 3.6 Kolmioepäyhtälö Nyt on + B 2 ( + B ( + B B + B B + B B + B 2 ( + B 2, missä viimeistä edellisessä muodoss olemme soveltneet Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä. Päädymme siten kolmioepäyhtälönä tunnettuun reltioon + B + B, (3.1 jok kertoo sen tutun tosisin, että kolmioss khden sivun summ on in suurempi ti yhtäsuuri kuin kolms sivu. Pistetulon geometrinen merkitys Trkstelln nyt vektoreiden, B j B

16 D * E muodostm kolmiot. G *? I G *? I G Kuv 3.7 Pistetulon geometrinen merkitys Sivun B pituuden neliö on B 2 ( B ( B 2 + B 2 2 B 2 + B 2 2 B, missä j B trkoittvt vektoreiden j B pituuksi. Kuviost 3.7 nähdään, että vektoreiden, B j B muodostmn kolmion korkeuden h neliö on snotn näiden kntvektoreiden olevn ortonormlisi. Kirjoitetn vektori komponenttimuodoss x i + y j + z k. Kntvektoreiden ortonormlisuuden perusteell on mm. i x i i + y j i + z k i x Vektorin komponentit voidn siten lusu sklrituloin x i, y j j z k. Kntvektoreiden ortonormlisuudest seur smoin se, että muodoss x i + y j + z k j B B x i + B y j + B z k esitettyjen vektoreiden sklritulo on B x B x + y B y + z B z eli yhtäpitävä määritelmän (3.8 knss. h cos 2 θ, missä θ on vektoreiden j B välinen kulm. Edelleen Pythgorn lusett sovelten smme > C B 2 h 2 + (B cos θ cos 2 θ +B cos 2 θ 2B cos θ 2 + B 2 2B cos θ. Vertmll tätä ikisempn suureen B 2 lusekkeeseen näemme, että B B cos θ. (3.11 Kuviost 3.7 on luettviss myös tulkinnt: B on vektorin projektion pituus vektorill B kert vektorin B pituus ti vektorin B projektion pituus vektorill kert vektorin pituus. Vektoreiden välisen kulmn θ kosini on lusuttviss pistetulon vull kuten cos θ B B. (3.12 Ilmeisestikin vektorit j B ovt kohtisuorss toisin vstn jos B j yhdensuuntisi jos B B. Erikoisesti kntvektoreille i, j j k on voimss i j i k j k eli ne ovt toisin vstn kohtisuorss, ts. ortogonlisi. Kosk vielä on i i j j k k 1, Kuv 3.8 Suuntkulmt Vektorin j yksikkövektorin i välisen kulmn eli vektorin j x-kselin välisen kulmn α kosini on cos α i i x, missä. Vstvt lusekkeet sdn vektorin j y-kselin välisen kulmn β sekä vektorin j z-kselin välisen kulmn γ kosineille. Näemme siis, että vektori on kirjoitettviss suuntkulmiens α, β j γ vull mm. muodoss (cos α, cos β, cos γ. Olkoon nyt vektori Ensinnäkin on j toiseksi vektorien j väliselle kulmlle θ on voimss cos θ 1 1 1, joten on vektorin suuntinen yksikkövektori. Vektorin B projektio p vektorin suuntn voidn nyt lusu yksikkövektorin vull kuten p 1 B B.

17 . H * H Esim. Vektorin i 2j + k projektio vektorille B 4i 4j + 7k Vektorin B suuntinen yksikkövektori on b B B 4i 4j + 7k 42 + ( i 4 9 j k. Vektorin projektio tähän suuntn on p b (i 2j + k ( 4 9 i 4 9 j k (1( ( 2( (1( Esim. Voimn F 2i j k tekemä työ sen siirtäessä kpplett vektorin r 3i + 2j 5k knnst kärkeen Määritelmän mukn voimn tekemä työ on siirroksen suuntinen voim kerrottun siirron pituudell. Olkoon r jokin tson piste. Tällöin vektori B r on jonkin vektoreitten r j B kärkien kutt kulkevn tson suuntinen. Kosk tson piti oll kohtisuorss vektori vstn, täytyy vektorin B r oll kohtisuorss vektori vstn osoittip r mihin thns tson pisteeseen. Smme siis ehdon (B r tson pisteille r. Sijoittmll tähän r xi + yj + zk sekä vektoreiden j B eksplisiittiset lusekkeet sdn ((1 xi + (5 yj + (3 zk (2i + 3j + 6k 2x 3y 6z + (1(2 + (5(3 + (3(6 2x 3y 6z Kysytyn tson yhtälö on siis 2x + 3y + 6z Ristitulo Vektoreiden ( x, y, z j B (B x, B y, B Z ristitulon eli vektoritulon B määrittelee kv.? I G G Kuv 3.9 Voimn tekemä työ Kuvn mukisesti voimn F tekemä työ on W (F cos θr. Pistetulon vull tämä sdn kirjoitettu muotoon W F r. Tässä tpuksess työ on siis W (2i j k (3i + 2j 5k (2(3 + ( 1(2 + ( 1( Esim. Vektori 2i + 3j + 6k vstn kohtisuorss olevn j vektorin B i + 5j + 3k kärjen kutt kulkevn tson yhtälö Kuv 3.1 Tson yhtälö * H B ( y B z z B y, z B x x B z, x B y y B x. (3.13 Vektoritulon muodostmist uttnee muistisääntö: Tulo B lsketn siten, että kolmirivisen determinntin ylimmäksi riviksi kirjoitetn kntvektorit i, j j k (tässä järjestyksessä, keskimmäisen rivin muodostvt vektorin komponentit x, y j z (tässä järjestyksessä sekä limmn rivin vektorin B komponentit B x, B y j B z (tässä järjestyksessä, ts. B i j k x y z B x B y B z Determinnteist Determinntit ovt muoto n n n1 n2 nn. (3.14 olevi tulukoit. Niissä siis srkkeiden j rivien lukumäärä on sm. Puhutn n n-determinnteist ti n-rivisisistä determinnteist. Determinnteill on lukurvo. Meidän trkoituksiimme riittävät kksi- j kolmiriviset determinntit. Kksirivisen determinntin rvon määrittelee kv , 22 ts. kksirivisen determinntin rvo sdn vähentämällä lävistäjälkioden tulost sivulävistäjälkioiden tulo. Kolmirivinen determinntti lsketn helpoimmin kehittämällä se lideterminnttien vull: 1. kuhunkin determinntin lkioon liittyy merkki tulukon mukisesti.

18 N O 2. vlitn jokin vk- ti pystyrivi. 3. kuhunkin vlitun rivin ti srkkeen lkioon liittyy 2 2-lideterminntti, jok muodostetn lkuperäisestä determinntist pyyhkimällä siitä pois ko. lkion kutt kulkev vk- j pystyrivi. 4. käydään läpi kikki vlitun rivin ti srkkeen lkiot kertoen keskenään lkio vrustettun siihen liittyvällä merkillä j sen lideterminntti. Muodostettujen termien summ on determinntin rvo. Esim. Determinntti D Kehitetään vikkp oikenpuoleisimmn srkkeen mukn. Tämän ylimpään lkioon 2 liittyy merkki +. Vstv lideterminntti sdn pyyhkimällä pois ylin rivi j oikenpuoleisin srke. Päädymme termiin +( ( 2[(1( 3 (4( 2] 1. Vstvsti kehityssrkkeen toinen lkio nt termin ( [(2( 3 (1(4] 3 j lin lkio termin +( [(2( 2 (1(1] 2. Determinntin rvo D on näiden termien summ eli D ( 1 + (3 + ( 2. Determinntteihin liittyy useit lskusääntöjä. Tässä viheess meille riittänee tieto siitä, että determinntin merkki vihtuu vihdettess kksi vkriviä (ti kksi pystyriviä keskenään. determinntti on noll, jos sen kksi vkriviä (ti kksi pystyriviä ovt smoj. Kehitetään determinntti (3.14 ylimmän rivin mukn, jolloin i j k x y z i y z B x B y B z B y B z j x z B x B z +k x y B x B y ( y B z z B y i ( x B z z B x j +( x B y y B x k. Nähdään, että tämä todellkin yhtyy määritelmään (3.13. Determinnttiesityksestä nähdään mm. ominisuus B i j k x y z B x B y B z B. i j k B x B y B z x y z Siten ristitulon merkki vihtuu vihdettess tekijöiden järjestystä: B B. (3.15 Ristitulo ei siis ole kommuttiivinen. Ominisuudest (3.15 seur mm., joten vektorin ristitulo itsensä knss on noll,. (3.16 Suorn määritelmästä nähdään vektoritulon distributiivisuus (B + C B + C. (3.17 Sklrill kerrottess ristitulo noudtt yhtälöä λ( B (λ B (λb. (3.18 Ktsotn, millisi ovt yksikkövektoreiden ristitulot toistens knss. Lsketn esimerkkinä i j (1,, (, 1, (,, 1 (,, 1 k. Smll tvoin voimme todet, että muutkin kvoist i j k j k i k i j (3.19 pitävät pikkns. Koordintisto, jonk kntvektorit toteuttvt reltiot (3.19 snotn oikekätiseksi. Kuv 3.11 Oikekätinen koordintisto Oikekätisessä xyz-koordintistoss z-kselin suuntinen oikekätinen ruuvi postiiviseen kiertosuuntn kierrettäessä (kierretään lyhintä kutt positiiviselt x-kselilt positiiviselle y-kselille etenee positiivisen z-kselin suuntn. Sm si voidn ilmist myös ns. oiken käden kolmisormisääntönä: oiken käden peuklon osoittess x-kselin suuntn j etusormen y-kselin suuntn osoitt keskisormi z-kselin suunnn. Ristitulon geometrinen merkitys Vektorin B pituuden neliö on B 2 ( y B z z B y 2 + ( z B x x B z 2 +( x B y y B x 2.

19 * 2 H. Suorviivinen lsku osoitt, että tämä voidn kirjoitt muotoon B 2 ( 2 x + 2 y + 2 z(b 2 x + B 2 y + B 2 z Tämä ts on sm kuin ( x B x + y B y + z B z 2. B 2 2 B 2 ( B 2, missä jälleen j B trkoittvt vektoreiden j B pituuksi. Kirjoitetn pistetulo vektoreiden välisen kulmn θ vull, jolloin B 2 2 B 2 (1 cos 2 θ 2 B 2 sin 2 θ. Näemme siis, että ristitulovektorin B pituus on B B sin θ. Vektoreiden B j sklritulo on ( B x ( y B z z B y. + y ( z B x x B z + z ( x B y y B x Smoin nähdään, että B ( B. Vektori B on siis kohtisuorss molempi tekijöitään vstn eli kohtisuorss tekijöiden muodostm tso vstn. Tulovektorin suunt on pääteltävissä yksikkövektoreitten ristituloist (3.19: Vektoreiden j B ristitulo on B ( B sin θn, (3.2 missä θ on vektoreiden välinen kulm j n vektoreiden muodostm tso vstn kohtisuorss olev sellinen yksikkövektori että vektoreiden, B j n kolmikko (tässä järjestyksessä muodost oikekätisen systeemin. Oiken käden kolmisormisääntö lienee hvinnollisempi: Jos osoitt oiken käden peuklon suuntn j B etusormen suuntn niin B osoitt keskisormen suuntn (j on kohtisuorss vektoreit j B vstn. * G * Kuv 3.12 Ristitulon geometrinen merkitys Kuvss 3.12 vektoreiden j B muodostmn kolmion korkeus on B sin θ jos kolmion kntn pidetään vektori. Tämän kolmion pint-l on siten 1 2B sin θ, joten ristitulo on suuruudeltn tekijävektoreiden muodostmn suunnikkn pint-l. Esim. 2i 3j k j B i + 4j 2k, B, b B j c ( + B ( B i j k B i j k i + 3j + 11k. b i j k B i j k c Esim. H I E G 1i 3j 11k B. ( + B ( B ( B Vääntömomentti G +B ( B B +B B B B B 2 B 2i 6j 22k. Kuv 3.13 Vääntömomentti Määritelmän mukn voimn F vääntömomentti pisteen P suhteen on suuruudeltn F kert pisteen P kohtisuor etäisyys voimn vikutussuorst. Olkoon nyt r pisteestä P voimn vikutuspisteeseen suunnttu vektori j θ tämän vektorin j voimn välinen kulm. Kuvst nähdään, että pisteen P kohtisuor etäisyys vikutussuorst on r sin θ, joten vääntömomentti on suuruudeltn M F r sin θ r F. Vääntömomentin suunnst on sovittu, että voimn kiertämä vikutuspisteeseen setettu vikutustso (vektoreiden r j F muodostm tso vstn kohtisuorss olev oikekätinen ruuvi etenee vääntömomentin suuntn. Voimme siis kirjoitt M r F.

20 D G M M 2 H + L * Esim. Linerinen nopeus pyörivässä kppleess H I E G Kuv 3.14 Kulmnopeus j linerinen nopeus Oletetn, että kiinteä kpple pyörii origon O kutt kulkevn kselin ω ympäri kulmnopeudell ω. Vektori ω orientoidn siten, että vektorin suuntn ktsottun kpple pyörii myötäpäivään. Trkstelln kppleen pistettä P. Kppleen pyöriessä piste P seur sellisen ympyrän kehää, jok on kohtisuorss keskipisteensä kutt kulkev vektori ω vstn. Jos nyt r on pisteen P pikk sekä θ vektorien r j ω välinen kulm, niin tämän ympyrän säde on r sin θ. Ympyräliikkeen linerinen nopeus on suuruudeltn ympyrän säde kert kulmnopeus, ts. rω sin θ. Linerisen nopeuden suunt ts on ympyrän tngentin suuntinen eli nyt kohtisuorss vektoreit ω j r vstn. Oiken käden kolmisormisäännön perusteell voimme siten kirjoitt Kolmitulot v ω r. Sklrikolmitulo Trkstelln muoto (B C olevi kolmen vektórin tuloj. Vektoreiden j B C pistetulon tämä on sklri. Siksi sitä nimitetäänkin sklrikolmituloksi. Sklrikolmitulon geometrinen merkitys selvinnee ll olevst kuvst. * + Kuv 3.15 Sklrikolmitulo Vektoreiden, B j C muodostmn suuntissärmiön tilvuus on pohjsuunnikkn pint-l B C kert särmiön korkeus h. Korkeus ts on vektorin projektio pohjtso vstn kohtisuorlle suunnlle, esim. vektorille B C. Särmiön tilvuus V on siis V (B C. (3.21 Komponenttimuodoss sklrikolmitulo on (B C ( x i + y j + z k eli i j k B x B y B z C x C y C z ( x i + y j + z k ( i B y B z C y C z j B x C x +k B x B y C x C y B y B z x C y C z y B x C x B + x B y z C x C y x y z B x B y B z C x C y C z (B C x y z B x B y B z C x C y C z B z C z B z C z. (3.22 Kosk vihdettess kksi riviä keskenään determinntti viht merkkinsä, smme x y z (B C B x B y B z C x C y C z C x C y C z B x B y B z x y z C x C y C z x y z C ( B. B x B y B z Kosk sklritulo on kommuttiivinen, voimme kirjoitt tämän myös muotoon (B C ( B C (3.23 eli sklrikolmituloss pisteen j ristin pikn voi viht (sulkumerkkien pikt toki vihtuvt tässä opertioss. Vektorikolmitulo Vektorikolmituloll trkoitetn kolmen vektorin ristituloj (B C j ( B C. Nämä ovt yleensä erisuuri, joten sulkumerkit ovt oleellisi. Käsitellään edellistä muoto olevi kolmituloj (jälkimmäisen käsittely menee smll tvoin. Kosk kyseessä on vektoreiden j B C vektoritulo, on tuloskin vektori. Lsketn näytteeksi sen x-komponentti: ( (B C x i ( (B C 1 x y z B y B z B x B z B x C y C z C x C z C x y (B x C y B y C x + z (B x C z B z C x B y C y

21 B x ( x C x + y C y + z C z C x ( x B x + y B y + z B z ( C(B i ( B(C i i [( CB ( BC]. Smll tvoin voisimme lske niin tämän kolmitulon muut komponentit kuin myös jälkimmäisen muodon komponentit jolloin päätyisimme yhtälöihin (B C ( CB ( BC ( B C ( CB (B C. (3.24 Muistmist helpottnee molempiin tpuksiin soveltuv sääntö: vektorikolmitulo (kuempi ulkolähempi -(lähempi ulkokuempi, missä ulko trkoit sulkujen ulkopuolist tekijää, lähempi lähempänä j kuempi kuempn ulko -tekijästä olev sulkujen sisäpuolist vektori. 4. Potenssisrjoj 4.1 Äärettömät srjt Olkoon { n } jokin lukujono. Summ S n n + (4.1 n snotn äärettömäksi srjksi. Lukuj S n n k kutsutn ossummiksi. Äärettömän srjn, ti lyhyesti vin srjn, snotn suppenevn (konvergoituvn jos rj-rvo lim n S n on olemss. Jos rj-rvo ei ole, srj hjntuu (divergoi. lkko srj nollnnest, ensimmäisestä, toisest ti jostkin muust termistä on vin numerointikysymys. Summt k1 k, k2 k,... ti lyhyemmin 1 k, 2 k,... ovt myöskin (äärettömiä srjoj. Ktsotn esimerkkinä geometrist srj xn. Ossummt ovt S n k n x k 1 + x + + x n 1 xn+1 1 x 1 1 x xn+1 1 x. Tiedämme, että x n+1 kun x < 1. Tällöin siis lim S n 1 1 x. Toislt srj selvästikin hjntuu kun x 1. Olemme siis sneet tuloksen x n 1, kun x < 1. (4.2 1 x Se, että srjn termit lähestyvät noll, ei tk srjn suppenemist. Esimerksi hrmoninen srj 1 n n + 1 hjntuu. On olemss useit testejä, joill srjojen suppenemist voi tutki. Näistä ehkä käytetyin on suhdetesti: Olkoon n sellinen positiivisten termien srj, että rj-rvo lim n+1 / n q on olemss. Silloin jos q < 1, niin srj suppenee, jos q > 1, niin srj hjntuu j jos q 1, niin srj voi supet ti hjntu.

22 Vikk suhdetesti käsitteleekin vin positiivitermisiä srjoj, sitä voidn sovelt yleisempiinkin tpuksiin. Snotn että srj n suppenee itseisesti jos srj n suppenee. Voidn osoitt, että srjn supetess itseisesti myös itse srj suppenee. Jos siis suhdetestillä todetn srjn suppenevn itseisesti niin voidn päätellä srjn suppenevn sellisennkin. Esim. Osoit, että srj ( 1 n n 1 2 suppenee n Kyseessä on ns. vuorottelev srj: jok toinen termi on positiivinen j jok toinen negtiivinen. Osoitetn, että srj suppenee itseisesti, ts. että 1 ( 1n n 2 suppenee. n Nyt n n 2 j n n+1 n (n + 12n n2 n+1 1 ( n 1 2 < 1. Suhdetestin mukn srj suppenee itseisesti j niin ollen suppenee sellisennkin. 4.2 Potenssisrjt Geometrinen srj (4.2 xn esittää funktiot 1/(1 x. Itsesiss hyvin monet funktiot voidn esittää tyyppiä n (x x n olevin potenssisrjoin. Jtkoss käsittelemme enimmäkseen tpuksi, joiss x, sillä vihtmll muuttujn x x x mikä thns potenssisrj sdn muotoon n x n. n Potenssisrjn suppeneminen riippuu yleensä muuttujn x rvost. Voidn osoitt, että On olemss sellinen luku R (mhdollisesti +, että potenssisrj n nx n suppenee itseisesti, kun R < x < R j hjntuu kun x > R. Luku R snotn suppenemissäteeksi. Tärkein suppenemissäteen määräämismenetelmä on jälleen suhdetesti: Olkoon srj n nx n sellinen, että rj-rvo lim n+1 / n q on olemss. Suppenemissäde on silloin R 1/q. Suhdetestin mukn srj n nxn suppenee itseisesti, jos termien suhteelle on voimss lim n+1x n+1 nx n lim n+1 x < 1. n Srj siis suppenee, jos muuttuj x toteutt ehdon 1 x < lim lim n, n+1 n+1 n joten suppenemissäde R on R lim n. n+1 Esim. Nyt Srjn n xn /n! suppenemissäde n+1 n n! (n + 1! 1 n + 1, joten suhdetestin q on. Suppenemissäde on niin ollen ääretön eli srj suppenee kikill muuttujn x rvoill. Esim. Srjn 1 1n n xn suppenemissäde Suhdetesti nt n 1 n n n+1 1 n+1 n+1 n n q R. Kuten todettu potenssisrjoj voidn pitää rgumenttins funktioin. Potenssisrjfunktioill on mm. ominisuudet: Suppenemissäteen sisällä srjn n x n esittämä funktio on jtkuv, voidn integroid integroimll srj termeittäin, voidn derivoid (mielivltisen monesti derivoimll srj termeittäin. 4.3 Tylorin srjt Olkoon f(x n x n jokin potenssisrjn esitetty funktio. Potenssisrjojen ominisuuksien mukn sen ensimmäinen derivtt suppenemissäteen sisällä on f (x n d dx xn Toiseksi derivtksi sdn f (x 1 n n d dx xn 1 Yleisesti k:s derivtt on f (k (x n n nx n 1. 1 n n(n 1x n 2. 2 d k n dx k xn n n (n 1 (n k + 1x n k nk nk n n! (n k! xn k. Vihdetn tässä summusindeksiä n k n (ts. vihdetn ensin indeksiksi m n k j nimetään m uudestn n:ksi j sdn kertluvun k derivtksi f (k (x n n+k (n + k! x n. (4.3 n!

23 Toislt, jos tunnemme funktion f j kikki sen origoss lsketut derivtt f (k (, voimme määrittää sitä vstvn potenssisrjn (edellyttäen että suppenemissäde R >. Srjn (4.3 termeistä jää rvoll x jäljelle inostn ensimmäinen eli f (k ( k k!. Potenssisrjn kerroin k on siis k f (k (. (4.4 k! Jos funktion kikki derivtt ovt olemss, se voidn siis esittää Tylorin srjn f(x n srjn suppenemissäteen sisällä. Esim. Kosinifunktion Tylorin srj Nyt d cos x sin x dx d 2 2 cos x cos x dx d 3 3 cos x sin x dx d 4 4 cos x cos x dx f (n ( x n (4.5 n!. d 2n dx 2n cos x ( 1n cos x d 2n+1 dx 2n+1 cos x ( 1n+1 sin x. Nähdään, että tässä tpuksess prittomt derivtt f (2n+1 ( häviävät j jäljelle jäävät inostn prilliset f (2n ( ( 1 n. Funktion cos x Tylorin srj on niin ollen cos x f( + f (1 (x + f (2 ( x 2 2! + f (3 ( 3! x 3 + f (4 ( x 4 + 4! x ! x4 + n ( 1 n x2n (2n!. Suhdetestin vull todetn helposti, että tämän srjn suppenemissäde on ääretön. Trksti otten suhdetestillä määrätään srjn n nxn suppenemissäde. Srj n nxβn sdn muuttujn vihdoll y x β suhdetestille sopivn muotoon n nyn. Tämä srj suppenee kun muuttuj y on itseisrvoltn pienempi kuin testin ntm suppenemissäde R. Muuttujlle x y 1/β suppenemissäde on niin ollen R 1/β. Kääntäen, jos tunnetn funktion f(x Tylorin srj f(x nx n j sen suppenemissäde R, niin funktion f(x β Tylorin srj on yksinkertisesti f(x β nx βn j sen suppenemissäde R 1/β. Ktsotn nyt, miten muodostisimme logritmifunktion Tylorin srjn. Kosk sen jokinen derivtt, d n dx n n 1 (n 1! ln x ( 1 x n ; (n >, divergoi kun x, emme voi origon ympäristössä Tylorin srj muodost. Eräs mhdollisuus on kehittää Tylorin srj jonkin origost poikkevn pisteen ympäristössä. Määrittelemme funktion g siten, että n n g(z f(z + j muodostmme sen Tylorin srjn g(z g (n ( z n n! origon ympäristössä. Kosk funktion g origoss lsketut derivtt ovt g (n ( f (n (z + f (n (, z smme Tylorin srjksi f(z + g(z f (n ( z n. n! Sijoittmll tähän z x päädymme kehitelmään f(x f( + f (1 ((x + f (2 ( 2! (x 2 + f (3 ( 3! (x 3 + f (n ( n n! (x n. Tylorin srjn yleistystä (4.6 sovelten smme nyt logritmifunktion kehitelmäksi esim. pisteen 1 ympäristössä (x 12 ln x ln 1 + (x 1 2 (x 13 (x n 1 (x 1n ( 1. n n1 (4.6

24 Tylorin srjt funktioiden pproksimtioin Kirjoitetn funktion f Tylorin srj muotoon f(x f( + f (1 (x + + f (n ( x n + R(x. n! Intuitiivisesti on ilmeistä (j voidn osoitt, että mitä pienempi on rgumetti x j mitä suurempi on n sitä pienempi on jäännöstermi R(x. Tämän perusteell voimme pproksimoid funktioit ktkistuill Tylorin srjoill: f(x f( + f (1 (x + + f (n ( x n. (4.7 n! pproksimtio on siis sitä trkempi mitä pienempi on x ti mitä suurempi on n. Yleensä pproksimoitess tyydytään linerisiin ti neliöllisiin termeihin. Ktkistess yleistetty Tylorin srj (4.6 trkkuus on vstvsti sitä prempi mitä lähempänä rgumentti on kehityspistettä. Jott trkkuus olisi sitä prempi mitä pienempi rgumentti on, useimmiten muutetn trksteltv funktiot sen sijn että kehitettäisiin origost poikkevss pisteessä. Esimerkiksi logritmifunktion tpuksess on tpn esittää funktion ln(1 + x Tylorin srj ln(1 + x x x2 2 + x3 3. ll olevn tulukkoon on kerätty muutmi usein trvittvi Tylorin srjoj. f(x e x sin x cos x sinh x cosh x ln(1 + x tn x n x n xn n! x2n+1 ( 1n (2n+1! x2n ( 1n (2n! x2n+1 (2n+1! x2n (2n! 1 ( 1n 1 xn n, x < 1 x + x x5 +, x < π 2 ( Kompleksiluvut 5.1 Lukulueen ljennus Luonnolliset luvut N : 1, 2, 3,... Luonnollisille luvuille on määritelty yhteenlsku: + b N, kun, b N. kertolsku: b N, kun, b N. Kysymys: Löydetäänkö in sellinen x N, että + x b kun, b N? Vstus: ei in (esim. 5, b 2. Ljennetn lukuluett lisäämällä j negtiiviset luvut. Kokonisluvut Z :..., 2, 1,, 1, 2,... Kokonisluvuille on määritelty yhteenlsku: + b Z, kun, b Z. vähennyslsku: b + ( b Z, kun, b Z. kertolsku: b Z, kun, b Z. Vähennyslsku b vst kysymykseen: pljonko on x, jos x + b. Kysymys: Onko olemss sellinen x Z, että x b, kun, b Z? Vstus: ei in (esim. 3, b 2. Ljennetn lukuluett lisäämällä murtoluvut. Rtionliluvut Q : ;, b Z, b b Rtionliluvuille on määritelty yhteenlsku: + b Q, kun, b Q. vähennyslsku: b Q, kun, b Q. kertolsku: b Q, kun, b Q. jkolsku: b Q, kun, b Q j b. Jkolsku b vst kysymykseen: pljonko on x, kun x b? Kysymys: Onko olemss sellinen x Q, että x x, kun Q j >? Vstus: ei in (esim. 2. Ljennetn lukuluett lisäämällä irrtionliluvut. Reliluvut R Reliluvuille on määritelty yhteenlsku: + b R, kun, b R. vähennyslsku: b R, kun, b R. kertolsku: b R, kun, b R. jkolsku: b R, kun, b R j b. Relilukujen joukost löytyy myös vstus kysymykseen pljonko on x, kun x x j. Kysymykseen, onko olemss sellinen x R, että x x kun <, vstus on edelleenkin kielteinen. Ljennetn lukuluett kompleksilukuihin C lisäämällä imginääriluvut.

25 5.2 Kompleksilukujen esitys j lgebr Imginääriyksikkö Määritellään imginääriyksikkö i siten, että i 2 1. (5.1 Jos nyt R on jokin reliluku, niin i on imginääriluku, jok toteutt reltion (i 2 i Kompleksiluku z C voidn esittää mm. reliluvun j imginääriluvun summn z + ib, (5.2 missä, b R. Snotn, että on luvun z relios j b sen imginäärios. Kompleksiluvun relios j imginäärisos merkitään kuten Re z Im z b, (5.3 kun z + ib. Kompleksiluku z on (puhtsti relinen, jos Im z j (puhtsti imginäärinen, jos Re z. Kompleksiluvut ovt yhtäsuuri, jos niiden reli- j imginääriost ovt yhtäsuuri, ts. u v trkoitt, että Re u Re v j Im u Im v. Kompleksiluku on noll jos j vin jos sen reli- j imginääriost ovt nolli, ts. z on sm kuin Re z Im z. Kompleksiluvun z + ib liittoluku eli kompleksikonjugtti z on z ib, (5.4 ts. konjugoitess vihdetn imginääriosn merkki. Kompleksiluvun z normi z 2 on z 2 zz (Re z 2 + (Im z 2. (5.5 Normi on siis in ei-negtiivinen j noll vin jos luku itse on noll. z on fyysikoiden käyttämä merkintä. Mtemtikot piirtävät kompleksikonjugoin suureen päälle viivn, z. Normiksi kutsutn silloin tällöin myös suurett z 2, jolloin siitä käytetään merkintää z. Insinöörit puolestn merkitsevät imginääriyksikköä symbolill j lgebr Kompleksilukujen lgebr sdn soveltmll relilukujen lgebr summiin z + ib muisten kuitenkin, että i 2 1. Trkstelln kompleksilukuj u + ib j v c + id. Yhteenlsku Summ u + v voidn muodost kuten u + v + ib + c + id ( + c + i(b + d, eli Re (u + v Re u + Re v Im (u + v Im u + Im v. Vähennyslsku Vstvsti vähennyslsku nt eli u v + ib c id ( c + i(b d Re (u v Re u Re v Im (u v Im u Im v. Kertolsku Khden kompleksiluvun tulo puolestn on ti u v ( + ib(c + id c + (ib(id + (ibc + (id c + i 2 bd + i(bc + d (c bd + i(d + bc Re (uv (Re u(re v (Im u(im v Im (uv (Re u(im v + (Re v(im u. Jkolsku Jkolsku on hiemn monimutkisempi. Lvennetn ensin murtoluseke u/v nimittäjän kompleksikonjugtill, jolloin päädytään reliseen (j positiiviseen nimittäjään: u v + ib ( + ib(c id c + id (c + id(c id. Normin lskusäännön (5.5 mukn nimittäjä on nyt j osoittj v 2 vv (c + id(c id c 2 + d 2 R ( + ib(c id c + bd + i(bc d. Tämän jälkeen jkolsku on helppo, jetn vin osoittjn reli- j imginääriost relisell nimittäjällä, ts. Re u v Im u v (Re u(re v + (Im u(im v v 2 (Im u(re v (Re u(im v v 2. Esim. Olkoot u 3 i2 j v 1 + i. Lske u + v, u v, uv j u/v Yhteen- j vähennyslsku ntvt u + v 3 i2 + ( 1 + i i( i (5.6 (5.7 (5.8 (5.9

26 H N H j u v 3 i2 ( 1 + i i( i, Kertolsku ts nt j jkolsku u v uv (3 i2( 1 + i 3 + 3i + 2i 2ii 1 + 5i 3 2i 1 + i 3 2i 1 + i 1 i 3 3i + 2i 2 1 i 1 + i i i i Kompleksitso Imginääriyksikköesitystä z + ib formlimmin kompleksiluvut z C määritellään järjestettyinä relilukuprein (, b;, b R. Prit noudttvt lgebr yhtäsuuruus: (, b (c, d jos j vin jos c j b d. Merkitään lyhyesti (,, ts. (, b jos j vin jos j b. yhteen- j vähennyslsku: (, b ± (c, d ( ± c, b ± d. kertolsku: (, b (c, d (c bd, d + bc j h(, b (h, hb, kun h R. jkolsku: 1/(, b (/( 2 + b 2, b/( 2 + b 2, kun (, b. Vertmll imginääriyksikköesitykseen näemme, että esitykset ovt ekvivlenttej kunhn setmme + ib (, b. Lukupriesitys z (x, y joht jttelemn kompleksilukuj kksiulotteisen tson pisteinä reliosien olless pisteiden x-koordinttej j imginääriosien y-koordinttej. Tso, joss kompleksilukuj esitetään snotn kompleksitsoksi. Tson kseleit kutsutn yleensä reli- j imginäärikseleiksi. Kääntäen, jokist (kompleksitson pistettä vst kompleksiluku. 1 O N O j Suure r z (Re z 2 + (Im z 2 zz. (5.1 z zz z 2 on kompleksiluvun z itseisrvo, luvun suuruus. Joskus puhutn myös molost j käytetään merkintää z modz. Kun z on puhtsti relinen, on z (Re z 2 Re z eli itseisrvon määritelmä yhtyy tässä tpuksess reliluvun itseisrvon määritelmään. Kompleksitson pisteiden esityksessä voidn käyttää myös npkoordinttej. O H I E B 1 B N H? I B H? I B H I E B 4 Kuv 5.2 Npkoordinttiesitys Npkoordinttiesityksessä (r, φ r on kompleksiluvun itseisrvo z modz, φ on luvun z vihekulm eli rgumentti. Npkoordinttiesityksess kompleksiluvun z x + iy koordintit ovt r z x 2 + y 2 φ rctn y x. (5.11 Jott reli- j imginääriosien merkit stisiin oikein, on tällä kert rkustngentti pidettävä monikäsitteisenä funktion. Kikist mhdollisist kulmn φ rctn y x rvoist on vlittv se, joll sekä cos φ j x keskenään että sin φ j y keskenään ovt smn merkkisiä. Kääntäen npkoordinteist (r, φ päästään luvun z x + iy krteesisiin koordintteihin kvoill ts. x r cos φ y r sin φ, (5.12 z x + iy r cos φ + ir sin φ. (5.13 Kuv 5.1 Kompleksitso 4 Kuvss 5.1 r on pisteen etäisyys origost. Pythgorn teoreemn mukn on r 2 x 2 + y 2 z 2 Esim. Luku i npkoordinteiss Nyt molo on Vihekulm on r i φ rctn rctn 3 π 3.

27 Tällöin on cos φ cos π/3 1/2 j sin φ sin π/3 3/2. voimme siis kirjoitt i 4 cos π sin π 3 i. Esim. Luku i npkoordinteiss Kuten edellä, molo on r 4. Vihekulm on nyt Tngetille on voimss φ rctn rctn( 3. tn(φ + nπ tn φ. Jos siis φ rctn x, niin on myös φ + nπ rctn x. Vihekulm määrättäessä on näistä mhdollisist rvoist vlittv sellinen, että reli- j imginäärisosien merkit tulevt oikein. Nyt vihekulm on φ rctn( 3 + nπ π 3 + nπ. Relios on negtiivinen j imginäärios positiivinen, joten vihekulm on välillä π/2 φ π, ts. on vlittv n 1 eli φ 2π 3. Npkoordinttiesitys on siis i 4 cos 2π sin 2π 3 i. 5.3 Kompleksifunktiot Trkstelln funktiot f(z, jok kuv kompleksiluvun z kompleksiluvuksi w, ts. Snotn, että f(z on w f(z. yksirvoinen funktio, jos j vin jos jokinen z kuvutuu täsmälleen yhdeksi luvuksi w. monirvoinen funktio, jos j vin jos jotkin muuttujn z rvot kuvutuvt usemmksi kuin yhdeksi luvuksi w. Esimerkiksi w f(z z 2 on yksirvoinen. Funktio w f(z z 1/2 on puolestn monirvoinen (kksirvoinen, mm. piste z 1 kuvutuu pisteiksi w ±1. Ellei toisin minit, funktio trkoitt jtkoss yksirvoist funktiot. Tulkint Olkoon w f(z jokin kompleksifunktio. Kirjoitetn j w u + iv, u, v R z x + iy, x, y R. Nyt w u + iv f(z f(x + iy, ts. funktion reli- j imginääriost, u u(x, y j v v(x, y, ovt muuttujien x j y funktioit. Voidn siis jtell, että kompleksifunktio kuv kompleksitson (z-tson pisteen (x, y toisen kompleksitson (w-tson pisteeksi (u, v. Funktion reli- j imginääriost Tehtävänä on nyt jk funktio f(z reli- j imginääriosiins. Polynomien j polynomien murtolusekkeiden tpuksess kompleksilukujen lgebr määrää jon. Esimerkiksi w z 2 jkutuu reli- j imginääriosiins kuten joten w u + iv (x + iy 2 x 2 y 2 + 2ixy, u x 2 y 2 v 2xy. Usein hlutn jtk (nlyyttisesti relimuuttujn relirvoinen funktio kompleksitsoon siten, että lkuperäinen j jtkettu funktio yhtyvät relikselill. Jos relifunktio f(x voidn esittää Tylorin srjn (4.5, korvtn srjss relimuuttuj x kompleksimuuttujll. Kosk kompleksiluvut noudttvt smoj lskusääntöjä kuin reliluvut, säilyttää nlyttinen jtkminen funtionliset ominisuudet. Esimerkiksi jtkettu eksponenttifunktio toteutt edelleenkin reltion e z1+z2 e z1 e z2, z 1, z 2 C. Smoin trigonometristen funktioiden yhteenlskukvt ovt voimss jtketuillekin funktioille. Eulerin kv Trkstelln eksponenttifunktiot w e z. Kosk jtkminen säilyttää funktionliset ominisuudet, on w e x+iy e x e iy. Tässä e x on vnh tuttu relinen eksponenttifunktio. Selvitetään siis, mitä on e ix, kun x R. Eksponenttifunktion Tylorin srj (4.8 on e z 1 + z + z2 2! + z3 3! + z4 4! + z5 5! +. (5.14 Sijoitetn tähän z ix. Imginääriluvun ix potenssit ovt (ix 2 i 2 x 2 x 2 (ix 3 ix(ix 2 ix 3 (ix 4 ix(ix 3 i 2 x 4 x 4 (ix 5 ix(ix 4 ix 5. (ix 2n ( 1 n x 2n (ix 2n+1 i( 1 n x 2n+1.

28 Sijoitetn nämä potenssit Tylorin kehitelmään (5.14, jolloin sdn e ix 1 + ix x2 2! ix3 3! + x4 4! + ix5 5! + 1 x2 2! + x4 4! + +i (x x3 3! + x5 5! +. Vertmll reli- j imginääriosi Tylorin srjoihin (4.8 todetn niiden esittävän kosini- j sinifunktioit. Päädymme Eulerin kvn e ix cos x + i sin x. (5.15 Yleisesti kompleksinen eksponenttifunktio on siten e z e x (cos y + i sin y, (5.16 kun z x + iy. Muistetn, että npkoordinttiesityksess (5.13 kompleksiluku z voitiin kirjoitt muotoon z r cos φ + ir sin φ. Eulerin kv (5.15 sovelten smme erittäin käyttökelpoisen muodon npkoordinttiesitykselle: z re iφ, (5.17 missä siis r z j φ rctn Im z/re z. Npkoordinttiesityksen (5.17 vull mm.kompleksilukujen kerto- j jkolskut voidn kirjoitt kuten j z 1 z 2 r 1 r 2 e i(φ1+φ2 r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 + i sin(φ 1 + φ2 z 1 z 2 r 1 r 2 e i(φ1 φ2 r 1 r 2 (cos(φ 1 φ 2 + i sin(φ 1 φ2. Potenssifunktiot Kertolskun erikoistpuksen sdn potenssiinkorotukselle De Moivren kvn tunnettu luseke z n r n (cos φ + i sin φ n r n e niφ r n (cos nφ + i sin nφ. (5.18 Npkoordinttiesityksen npkulm ei ole yksikäsitteinen. Jos nimittäin φ on luvun z npkulm, niin on myös mikä thns muoto φ + n2π, n, ±1, ±2,..., olev kulm, sillä Eulerin kvn mukn on e i(φ+n2π e iφ e i2nπ e iφ (cos 2nπ + i sin 2nπ e iφ (1 + i e iφ. Kompleksiluku z voidn siis esittää kuten z re iφ+i2nπ, n, ±1, ±2,.... Luvun z n:s juuri z 1/n on z 1/n r 1/n e iφ/n+i2kπ/n, k, ±1, ±2,.... Helposti nähdään, että luvut e, e i2π/n, e i4π/n,..., e i2(n 1π/n (5.19 ovt kikki keskenään erisuuri. Toislt positiivinen kokonisluku k voidn in kirjoitt muodoss k qn + r, missä q on jkolskun k/n osmäärä j r, r < n, sen jkojäännös. On siis voimss e i2kπ/n e i2rπ/n e i2qπ e i2rπ/n, joten jokinen muoto exp(i2kπ/n, k, olev kompleksiluku on joukoss (5.19. Smll tvoin voidn todet, että myös luvut exp(i2kπ/n kokonisluvun k olless negtiivinen ovt nekin joukoss (5.19. Siis, kompleksiluvull z re iφ, r, on täsmälleen n erilist n:ttä juurt: z 1/n r 1/n e iφ/n, r 1/n e i(φ+2π/n, r 1/n e i(φ+4π/n,..., r 1/n e i(φ+2(n 1π/n. Esim. Luvun 2 neljännet juuret Kirjoitetn Eulerin kv käyttäen 2 2e i 2e 2πi 2e 4πi 2e 6πi. Näemme, että neljännet juuret ovt 2 1/4, 2 1/4 e πi/2, 2 1/4 e πi j 2 1/4 e 3πi/2. Eulerin kvn mukn on mm. e πi/2 cos 1 2 π + i sin 1 2 π i Smoin voimme todet, että exp(πi 1 j exp ( 3 2 πi i. Kysytyt juuret ovt niin ollen 2 1/4, 2 1/4 i, 2 1/4 j 2 1/4 i. (5.2 Huomttkoon, että jonoss seurv termi, 2 exp(8πi, ntisi neljänneksi juureksi 2 1/4 exp(2πi 2 1/4. Tämä esiintyy jo juurilistssmme. Trigonometriset funktiot Eulerin kvn (5.15 mukn on e iφ cos φ + i sin φ e iφ cos( φ + i sin( φ cos φ i sin φ.

29 Rtkistn näistä yhtälöistä sini- j kosinifunktiot: cos φ 1 2 (e iφ + e iφ (5.21 sin φ 2i (e 1 iφ e iφ. Voimme itse siss tästä lähtien pitää näitä lusekkeit sini- j kosinifunktioiden määritelminä. Nämä määritelmät ovt voimss siinäkin tpuksess, että rgumenttikulm φ on kompleksinen. Hyperboliset kosini- j sinifunktiot määritellään kvoill cosh x 1 2 (ex + e x sinh x 1 2 (ex e x. (5.22 Myös tngenttifunktio voidn kirjoitt eksponenttien vull: tn φ sin φ cos φ eiφ e iφ i(e iφ + e iφ. (5.23 nlogisesti hyperbolinen tngentti määritellään kuten tnh x sinh x cosh x ex e x e x. ( e x Trigonometristen j hyperbolisten funktioiden välillä vllitsee yhteys cosh iφ cos φ sinh iφ i sin φ tnh iφ i tn φ. ( Differentiliyhtälöistä Newtonin toisen lin mukn kppleeseen vikuttv voim on yhtäsuuri kuin kppleen mss kerrottun sen kiihtyvyydellä. Korkeudell h putomisliikkeessä olevn kppleen kiihtyvyys on d2 h j siihen vikuttv dt 2 grvittiovoim mg, kun kppleen mss on m. Newtonin lin mukn on siis m d2 h dt 2 mg ti d 2 h dt 2 g. Tämä on korkeutt h hllitsev differentiliyhtälö, ts. siinä esiintyy tuntemttomn funktion derivttoj. Differentiliyhtälön rtkisemisell trkoitetn yhtälön toteuttvn funktion etsimistä. Putomisliikkeen tpuksess rtkisu on helppo löytää. Integroidn differentiliyhtälön d 2 h dt 2 g molemmt puolet, jolloin sdn dh dt gt + c 1. Tämä on edelleenkin differentiliyhtälö j edelleenkin voimme integroid sen puolittin. Päädymme rtkisuun h 1 2 gt2 + c 1 t + c 2. Terminologi Putomisliikkeen rtkisuss on kummstkin integroinnist iheutuneet integrointivkiot otettu mukn. Vkioiden rvot määräytyvät lkuehdoist. Tässä tpuksess tieto kppleen korkeudest j nopeudest lkuhetkellä t riittää. Kun yhtälössä on jonkin muuttujn derivttoj jonkin toisen muuttujn suhteen, snotn edellistä muuttuj riippuvksi j jälkimmäistä riippumttomksi (vpksi. Jos differentiliyhtälössä esiintyy derivttoj vin yhden riippumttomn muuttujn suhteen, puhutn tvllisest differentiliyhtälöstä. Jos yhtälössä on osittisderivttoj usemmn kuin yhden vpn muuttujn suhteen, kyseessä on osittisdifferentiliyhtälö. Esimerkiksi differentiliyhtälö d 2 x dt 2 + dx dt + kx on tvllinen. Sen riippuv muuttuj on x j riippumton t. Yhtälö u x + u x 3y on puolestn osittisdifferentiliyhtälö, jonk riippumttomt muuttujt ovt x j y. u on tämän yhtälön riippuv muuttuj.

30 Yhtälön kertluku on korkein siinä esiintyvien derivttojen kertluvuist. Esimerkiksi yhtälön kertluku on 2. Muoto n (x dn y dx n d 2 h dt 2 g + n 1 (x dn 1 y dx n (x dy dx + (xy F (x (6.1 olev tvllinen differentiliyhtälö on linerinen. Linerisess yhtälössä esiintyvät siis riippuv muuttuj j sen derivtt korkeintn ensimmäisessä potenssiss. Jos tvllinen differentiliyhtälö ei ole linerinen, sen snotn olevn epälinerinen. Esimerkiksi yhtälö on linerinen mutt yhtälö d 2 y dx 2 + y x4 d 2 y dx 2 + sin y epälinerinen. Mikä thns kertluvun n tvllinen differentiliyhtälö on kirjoitettviss muotoon ( F x, y, dy dx,..., dn y dx n. Olkoon I jokin lukuväli ((, b, [, b],.... Jos sijoitettess y φ(x yhtälöön F ( x, y, dy dx,..., dn y dx n se toteutuu kikill x I, snotn että φ(x on ko. yhtälön (eksplisiittinen rtkisu välillä I. Esim. Yhtälön y 2 x y rtkisu on φ(x x 2 x 1 2 Nyt derivtt φ (x 2x + x 2 j φ (x 2 2x 3 ovt määriteltyjä in kun x. Sijoitetn φ yhtälöön, jolloin sdn (2 2x 3 2 x 2 (x2 x 1 (2 2x 3 (2 2x 3. Yhtälö siis toteutuu kun x eli φ(x x 2 x 1 on yhtälön rtkisu lueiss (, j (,. Esim. φ(x c 1 e x + c 2 e 2x on yhtälön y y 2y rtkisu Nyt φ (x c 1 e x + 2c 2 e 2x j φ (x c 1 e x + 4c 2 e 2x. Sijoitetn nämä yhtälöön, jolloin (c 1 e x + 4c 2 e 2x ( c 1 e x + 2c 2 e 2x 2(c 1 e x + c 2 e 2x (c 1 + c 1 2c 1 e x + (4c 2 2c 2 2c 2 e 2x. Tämä on ilmeisestikin voimss koko relikselill, joten φ(x c 1 e x + c 2 e 2x on yhtälön rtkisu välillä (, olivtp c 1 j c 2 mitä thns vkioit. Esim. Yhtälön (1 + xe xy dy dx yexy rtkisu määräytyy yhtälöstä x + y + e xy Suorviivinen menettely olisi rtkist y yhtälöstä x + y + e xy j sijoitt tämä differentiliyhtälöön. Vlitettvsti vin emme os tätä rtkisu muodost. Derivoidn sen sijn yhtälö x + y + e xy implisiittisesti, jolloin 1 + dy dx + exy ( y + x dy. dx Uudestn ryhmittäen voidn kirjoitt (1 + xe xy dy dx yexy, joten yhtälö x + y + e xy todellkin määrää implisiittisesti ko. differentiliyhtälön rtkisun. Osoittutuu, että kertluku n olevien differentiliyhtälöiden rtkisuihin liittyy in n mielivltist vkiot. Useimmiss tpuksiss vkiot ovt määrättävissä, jos tunnetn funktio j sen n 1 ensimmäisen derivtn rvot josskin rtkisuvälin I pisteessä. Differentiliyhtälöön ( F x, y, dy dx,..., dn y dx n liittyvä lkurvoprobleem kuuluu: Etsi välillä I se differentiliyhtälön rtkisu, jok pisteessä x I toteutt n ehto y(x y dy dx (x y 1. d n 1 y dx n 1 (x y n 1, missä suureet y, y 1,..., y n 1 ovt vkioit. Nimitys lkurvo on peräisin mekniikst, missä y(x y trkoitt usein kppleen pikk lkuhetkellä x j y (x y 1 sen nopeutt smll hetkellä. Esim. Määrää se yhtälön y y 2y rtkisu, jok toteutt lkuehdot y( 2 j y ( 3 iemmin näimme, että φ(x c 1 e x + c 2 e 2x on ko. yhtälön rtkisu olivtp vkiot c 1 j c 2 mitä thns. Määrätään nämä kertoimet siten, että lkuehdot toteutuvt: eli φ( c 1 e + c 2 e 2 φ ( c 1 e + 2c 2 e 3, c 1 + c 2 2 c 1 + 2c 2 3.

31 Yhtälöryhmän rtkisun sdn c 1 7/3 j c 2 1/3. lkurvot toteuttv rtkisu on siis φ(x 7 3 e x 1 3 e2x. 6.1 Ensimmäisen kertluvun yhtälöt Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöille voidn todist olemssolo- j yksikäsitteisyysluse: Olkoot funktio f(x, y j sen osittisderivtt f x (x, y jtkuvi pisteen (x, y sisältävässä suorkiteess R {(x, y < x < b, c < y < d}. Silloin lkurvoprobleemll dy dx f(x, y, y(x y on yksikäsitteinen rtkisu φ(x jollkin välillä x h < x < x + h, missä h >. Vstvnlisi luseit on olemss myös korkemmn kertluvun differentiliyhtälöille. Luse siis kertoo, milloin rtkisu on löydettävissä j että rtkisun löydyttyä ei trvitse etsiä muit rtkisuj kosk niitä ei ole olemss. Grfisesti olemssolo trkoitt, että luseen suorkiteen jokisen pisteen kutt kulkee jokin rtkisu j yksikäsitteisyys sitä, että kunkin pisteen (x, y kutt kulkee täsmälleen yksi rtkisu. Tästä johtuen rtkisujen kuvjt eivät koskn leikk toisin. Vlitettvsti luse kertoo vin että rtkisu on olemss pisteen x x ympäristössä, mutt ei kerro tämän ympäristön suuruutt. Fysiikn mllintmisess lkurvotehtävän rtkisun olemssolo j yksikäsitteisyys ovt ensirvoisen tärkeitä. Ensinnäkin todellisess milmss jotkin tphtuu joten mllinnettess milm lurvoprobleemoin olisi rtkisujen syytä oll olemss. Toiseksi, jos smn kokeen toisto smoill ehdoill joht in smn tulokseen, täytyy kokeeseen liittyvän mllinkin oll yksikäsitteinen. Mekniikk on hyvä esimerkki deterministisestä mllist: tulevisuus määräytyy trksti jos lkutil tunnetn trksti Seproituvt yhtälöt Jos yhtälön dy f(x, y dx oike puoli on kirjoitettviss khden funktion tulon, joist toinen riippuu vin muuttujst x j toinen vin muuttujst y, snotn että yhtälö on seproituv ti että yhtälön muuttujt ovt erotettviss. Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö on siis seproituv, jos se voidn kirjoitt muotoon dy q(xp(y. (6.2 dx Jkmll puolittin funktioll p(y j merkitsemällä h(y 1/p(y sdn h(y dy dx q(x. Olkoot nyt H(y on funktion h(y integrlifunktio j Q(x funktion q(x integrlifunktio, ts. H (y h(y j Q (x q(x. Tällöin ketjusäännön perusteell on d dx H(y H (y dy dy h(y dx dx, joten differentiliyhtälö on ilmistviss muodoss d dx H(y(x d dx Q(x. Integroidn yhtälön molemmt puolet j sdn H(y(x Q(x + C, missä C on integrointivkio. Tämä reltio määrittää rtkisun y(x implisiittisesti. Olemme johtneet muuttujien erottmismenetelmän: Yhtälö h(y dy dx q(x rtkistn kertomll se puolittin differentilill dx, h(y dy q(x dx, j integroimll näin stu yhtälö, h(y dy q(x dx. Viimeinen yhtälö on ilmeisestikin ekvivlentti iemmn implisiittisen rtkisumme H(y Q(x + C knss. Esim. Rtkise dy dx x 5 y 2 Kerrotn yhtälö puolittin tekijällä y 2 dx, jolloin sdn y 2 dy (x 5 dx. Integrointi molemmin puolin nt y 2 dy (x 5 dx eli Rtkistn y: y 3 3 x2 5x + C. 2 ( 3x 2 y 2 1/3 15x + 3C. Kosk vkio C voi oll mielivltinen reliluku niin sellinen on myös 3C. Voimme siis ivn hyvin korvt sen vikkp symbolill K: ( 3x 2 1/3 y 2 15x + K. Esim. Rtkise lkurvotehtävä dy dx y 1 x+3 kun y( 1 Muuttujien erottminen joht yhtälöön dy y 1 dx x + 3.

32 Tämän integrointi nt ln y 1 ln x C. Eksponentioidn yhtälön molemmt puolet j sdn eli e ln y 1 ln x+3 +C e y 1 e C x + 3 K x + 3, missä olemme merkinneet K e C >. Riippuen muuttujien y j x rvoist on y 1 ±(y 1 j x + 3 ±(x + 3. Voimme siis kirjoitt y 1 ±K(x + 3 ti y 1 + (±K(x + 3. Merkitään vkiot ±K jälleen symbolill C, jok voi nyt siis oll mielivltinen reliluku. Smme silloin differentiliyhtälön rtkisuksi y 1 + C(x + 3. lkuehto oli y( C( eli C 1/2. lkurvotehtävän siis rtkisee funktio y x Eksktit yhtälöt Ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö dy f(x, y dx on kirjoitettviss myös muotoon Esimerkiksi yhtälö M(x, y dx + N(x, y dy. (6.3 dy dx 3x2 y x 1 voidn esittää muodoss (6.3 mm. kuten (3x 2 y dx + (1 x dy ti ( y 3x 2 dx + dy. x 1 Määritellään Differentilimuoto M(x, y dx + N(x, y dy on ekskti suorkulmioss R, jos on olemss sellinen funktio F (x, y, että F F (x, y M(x, y j (x, y N(x, y (6.4 x kikill (x, y R. Tällöin funktion F (x, y kokonisdifferentili on df (x, y M(x, y dx + N(x, y dy. Jos M(x, y dx + N(X, y dy on ekskti differentilimuoto, niin yhtälön M(x, y dx + N(x, y dy snotn olevn ekskti yhtälö. Eksktin yhtälön rtkiseminen on helppo, jos tunnetn määritelmän funktio F (x, y. Yhtälö (6.3 on tällöin ekvivlentti yhtälön d F (x, y(x dx knss, mikä puolestn toteutuu kun F (x, y(x C, C vkio. Lyhyesti ilmistun voidn sno, että yhtälön rtkisu on df (x, y F (x, y C. Tämä määrää implisiittisesti muuttujn y muuttujn x funktion. Eksktisuuden testus Voidn osoitt, että Jos funktioiden M(x, y j N(x, y ensimmäiset osittisderivtt ovt jtkuvi josskin suorkiteess R, niin M(x, y dx + N(x, y dy on ekskti yhtälö silloin j vin silloin kun M N (x, y (x, y (6.5 x kikill (x, y R. Esim. Osoit, että yhtälö (y 3x 2 dx + (x 1 dy on ekskti j etsi sen rtkisut Luseen M j N ovt nyt y 3x 2 j x 1. Tällöin M N 1 j x 1 j luseen ehto toteutuu, joten yhtälö on ekskti. Funktio M y 3x 2 on siten jonkun funktion F osittisderivtt F x eli F x y 3x2. Funktion F täytyy siis oll muoto F (x, y xy x 3 + g(y, missä g(y on mielivltinen muuttujn y funktio. Toislt N x 1 on osittisderivtt F : F x + dg (y x 1. dy Funktio g(y toteutt siis yhtälön dg (y 1 dy

33 eli g(y y + vkio. Differentiliyhtälön implisiittinen rtkisu on siten F (x, y xy x 3 y C. Eksktin yhtälön rtkisumenetelmä Edellä olev esimerkki joht meidät menetelmään 1. Jos M dx + N dy on ekskti, niin F x M. Integroidn tämä muuttujn x suhteen: F (x, y M(x, y dx + g(y. ( Derivoidn luseke (6.6 muuttujn y suhteen j setetn F N. Rtkistn tästä yhtälöstä g (y. 3. Funktio g(y sdn integroimll g (y. Sijoitetn g(y lusekkeeseen (6.6 j sdn F (x, y. 4. Yhtälön M dx + N dy implisiittinen rtkisu on F (x, y C, missä C on mielivltinen vkio. ivn yhtä hyvin voidn tietenkin lähteä liikkeelle integrlist F (x, y N(x, y dy + h(x, jolloin päädytään integroimn h (x. Esim. Rtkise (1 + e x y + xe x y dx + (xe x + 2 dy Tässä M 1 + e x y + xe x y j N xe x + 2. Kosk on M ex + xe x N x, on yhtälö ekskti. Tässä tpuksess on helpompi integroid N muuttujn y suhteen kuin M muuttujn x suhteen. Menetelmän skel 1 nt nyt F (x, y (xe x + 2 dy + h(x xe x y + 2y + h(x. Derivoidn tämä skeleen 2 mukisesti (nyt muuttujn x suhteen, jolloin F x ex y + xe x y + h (x 1 + e x y + xe x y. Nähdään, että h (x 1. skeleen 3 mukinen integrointi nt h(x x, joten F on F (x, y x + xe x y + 2y. skeleen 4 perusteell yhtälön implisiittinen rtkisu on x + xe x y + 2y C Lineriset yhtälöt Määritelmän (6.1 mukn ensimmäisen kertluvun linerinen yhtälö on muoto 1 (x dy dx + (xy b(x, (6.7 missä kertoimet 1 (x, (x j oike puoli b(x voivt riippu vin vpst muuttujst x mutt eivät riippuvst muuttujst y. Esimerkiksi yhtälö x 2 sin x (cos xy (sin x dy dx on selvästikin linerinen. Yhtälö y dy dx + (sin xy3 e x + 1 sen sijn ei ole linerinen, sillä sen lisäksi että derivtn kertoimen on riippuv muuttuj y esiintyy yhtälössä muuttujn y kuutiollinen termi. Oletten, että kerroin 1 (x yhtälössä (6.7 on trksteltvll välillä nollst poikkev, ensimmäisen kertluvun yhtälö on kirjoitettviss stndrdimuotoon Viedään tämä differentilimuotoon dy + P (xy Q(x. (6.8 dx [P (xy Q(x]dx + dy. Eksktisuuskriteerin M on nyt M P (xy Q(x j N 1. Jott yhtälö olisi ekskti täytyisi oll M N P (x x. Linerinen yhtälö ei siis useimmiten ole ekskti. Jos ei-ekskti yhtälö sdn eksktiksi kertomll se puolittin jollkin funktioll µ, snotn että µ on yhtälön integroiv tekijä. Linerisen yhtälön tpuksess tällinen integroiv tekijä on löydettävissä. Ktsotn, voisimmeko löytää inostn muuttujst x riippuvn integroivn tekijän, ts. onko olemss sellinen funktio µ(x, että yhtälö [µ(xp (xy µ(xq(x]dx + µ(xdy on ekskti. Tähän yhtälöön liittyvä eksktisuuskriteeri on M N dµ (x, y µ(xp (x (x, y x dx. Tämä toteutuu, jos ( µ(x exp P (x dx. (6.9 Olemme siis löytäneet lineriselle differentiliyhtälölle vin vpst muuttujst riippuvn integroivn tekijän. Stndrdimuotoinen linerinen yhtälömme (6.8 kerrottun tekijällä µ(x on µ(x dy + P (xµ(xy µ(xq(x. dx Kosk µ(x pkotettiin toteuttmn ehto dµ(x dx µ(xp (x

34 voidn kirjoitt d dy (µ(xy µ(x dx dx + dµ(x dx y µ(x dy + µ(xp (xy. dx Yhtälömme on nyt d (µ(xy µ(xq(x. dx Integrointi nt µ(xy µ(xq(xdx + C, mistä voidn rtkist y: y 1 ( µ(xq(xdx + C. (6.1 µ(x Rtkisu (6.1 snotn linerisen yhtälön (6.8 yleiseksi rtkisuksi. Kerätään ensimmäisen kertluvun linerisen yhtälön rtkisuun (6.1 johtneet toimet reseptiksi: 1. Kirjoit yhtälö stndrdimuotoon dy + P (xy Q(x. dx 2. Lske integroiv tekijä µ(x kvst ( µ(x exp P (xdx. 3. Kerro stndrdimuotoinen yhtälö tekijällä µ(x, jolloin sen vsemmksi puoleksi tulee d dx (µ(xy. 4. Integroi tämä yhtälö j rtkise sitten y: y 1 ( µ(xq(xdx + C. µ(x Esim. Etsi yhtälön 1 dy x dx 2y x x cos x yleinen rtkisu 2 Yhtälö on linerinen, joten sovellmme esitettyä reseptiä. Kirjoitetn yhtälö ensin stndrdimuotoon kertomll se tekijällä x: dy dx 2 x y x2 cos x. Nyt P 2/x j Q x 2 cos x. Integroiv tekijä on siten ( ( 1 µ(x exp P (xdx exp 2 x dx e 2 ln x ln x 2 e x 2. Kerrotn stndrdimuotoinen yhtälö integroivll tekijällä, jolloin sdn 2 dy x dx 2x 3 y cos x. Yhtälön vsen puoli on d dx (x 2 y eli d dx (x 2 y cos x, jok integroimll tulee muotoon Yhtälön rtkisu on siis Muuttujn vihto Kun yhtälö x 2 y sin x + C. y x 2 sin x + Cx 2. M(x, y dx + N(x, y dy ei ole ekskti, seproituv eikä linerinen, stt muuttujn vihto viedä yhtälön rtkistvn muotoon. Trkstelln tästä esimerkkinä homogeenist yhtälöä, jonk määritelmä on: Jos yhtälön dy f(x, y dx oike puoli riippuu inostn suhteest y/x, snotn yhtälön olevn homogeeninen. Esimerkiksi yhtälö (x ydx + x dy sdn jkmll muuttujll x muotoon ( y dy x 1 dx, jost nähdään yhtälön olevn homogeeninen. Yhtälö (x 2y + 1dx + (x ydy ts on kirjoitettviss kuten dy dx x 2y + 1 y x 1 2y/x + 1/x. y/x 1 Tämän oike puoli riippuu sekä suhteest y/x että osoittjss olevst suureest 1/x. Yhtälö ei siten ole homogeeninen. Homogeenisuuden määritelmästä voimme päätellä mm. testin: Yhtälö dy f(x, y dx on homogeeninen jos j vin jos f(tx, ty f(x, y kikill t. Homogeeninen yhtälö rtke sijoituksell v y x.

35 Kosk yhtälön oike puoli riippuu vin suhteest v y/x voimme merkitä G(v f(x, y. Derivtt puolestn on ilmistviss muodoss Smme nyt yhtälöksi jok on seproituv: dy dx d dv (xv v + x dx dx. v + x dv dx G(v, 1 G(v v dv 1 x dx. Esim. Rtkise (xy + y 2 + x 2 dx x 2 dy Kirjoitetn yhtälö muotoon dy dx xy + y2 + x 2 x 2 y ( y 2 x x j nähdään yhtälön olevn homogeeninen. Sijoitetn v y/x, jolloin on v + x dv dx v2 + v + 1, mistä edelleen erottmll muuttujt sdn v 2 dv x dx. Integrointi nt Rtkistn v, rctn v ln x + C. v tn(ln x + C, j sijoitetn tkisin y/x v j päädytään rtkisuun y x tn(ln x + C. 6.2 Lineriset toisen kertluvun yhtälöt Lineriset operttorit Yleinen toisen kertluvun differentiliyhtälö voidn esittää muodoss ( F x, y, dy dx, d2 y dx 2. Linerinen toisen kertluvun yhtälö on puolestn muoto 2 (x d2 y dx 2 + 1(x dy dx + (xy b(x. Jos kertoimet, 1 j 2 ovt vkioit, snotn yhtälön olevn vkiokertoimisen. Linerisen toisen kertluvun yhtälön stndrdimuoto on d 2 y dy 2 + p(x + q(xy g(x, (6.11 dx dx missä p(x 1 (x/ 2 (x, q(x (x/ 2 (x j g(x b(x/ 2 (x (oletten, että 2 (x trksteltvll välillä. Stndrdimuotoon (6.11 liittyvä homogeeninen yhtälö on d 2 y dy 2 + p(x + q(xy. (6.12 dx dx Jos stndrdimuotoisess yhtälössä (6.11 g(x, snotn yhtälön olevn ei-homogeenisen ti täydellisen. Toisen kertluvun yhtälöiden homogeenisuudell ei ole mitään tekemistä ensimmäisen kertluvun yhtälöiden homogeenisuuden knss. Toisen kertluvun tpuksess on kysymys oikestn smst kuin linerisiin yhtälöryhmiin liittyvässä homogeenisuudess. Olkoon y mielivltinen nnetull välillä I khdesti derivoituv funktio. Jokiseen funtioon y liitämme funktion L[y] y + p(xy + q(xy. (6.13 Suurett L[y] voidn todellkin pitää funktion, kun nnetn sen kuvt pisteet x I pisteiksi L[y](x siten, että L[y](x y (x + p(xy (x + q(xy(x. Jos esimerkiksi p(x x j q(x x 1, niin L[y](x y (x + xy (x + (x 1y(x. Jos edelleen y 1 (x x 3, niin L[y 1 ](x 6x + x(3x 2 + (x 1x 3 x 4 + 2x 3 + 6x, ts. differentilioperttori L kuv funktion x 3 funktioksi x 4 + 2x 3 + 6x. Jos nyt y 2 (x sin 2x, niin L[y 2 ](x 4 sin 2x + x(2 cos 2x + (x 1 sin 2x x sin 2x 5 sin 2x + 2x cos 2x. Olkoot y 1 j y 2 mielivltisi khdesti derivoituvi funktioit j α mielivltinen vkio. Silloin on j L[y 1 + y 2 ] (y 1 + y 2 + p(y 1 + y 2 + q(y 1 + y 2 y 1 + y 2 + p(y 1 + y 2 + q(y 1 + y 2 y 1 + py 1 + qy 1 + y 2 + py 2 + qy 2 L[y 1 ] + L[y 2 ] Smme luseen: L[αy 1 ] (αy 1 + p(αy 1 + q(αy 1 α(y 1 + py 1 + qy 1 αl[y 1 ].

36 Olkoot L[y] y + py + qy. Jos y 1 j y 2 ovt välillä I khdesti derivoituvi sekä α j β vkioit, niin on voimss L[αy 1 + βy 2 ] αl[y 1 ] + βl[y 2 ], (6.14 ts. operttori L on linerinen. Olkoot nyt y 1 j y 2 yhtälön y + py + qy rtkisuj, ts. L[y 1 ] j L[y 2 ]. Kosk L on linerinen operttori, on L[c 1 y 1 + c 2 y 2 ] c 1 L[y 1 ] + c 2 L[y 2 ] c 1 + c 2 kun c 1 j c 2 ovt vkioit. Totemme, että rtkisuille on voimss superpositio-ominisuus: Jos y 1 j y 2 ovt homogeenisen toisen kertluvun linerisen differentiliyhtälön rtkisuj, niin myös niiden mielivltinen linerikombintio c 1 y 1 + c 2 y 2 on tämän yhtälön rtkisu. Esim. Funktiot y 1 (x e 2x cos 3x j y 2 (x e 2x sin 3x rtkisevt homogeenisen yhtälön y 4y + 13y. Etsi rtkisu, jok toteutt lkuehdot y( 2 j y ( 5 Superpositio-ominisuuden perusteell kombintio y(x c 1 e 2x cos 3x + c 2 e 2x sin 3x on myös yhtälön rtkisu. Tämän derivtt on y (x c 1 (2e 2x cos 3x 3e 2x sin 3x +c 2 (2e 2x sin 3x + 3e 2x cos 3x. setetn y( 2 j y ( 5, jolloin sdn yhtälöt c 1 2 2c 1 + 3c 2 5. Rtkisut ovt c 1 2 j c 2 3. lkuehdot toteuttv differentiliyhtälön rtkisu on siten y(x 2e 2x cos 3x 3e 2x sin 3x. Toisen kertluvun lineristen yhtälöiden rtkisujen olemssolon j yksikäsitteisyyden tk luse: Olkoot funktiot p(x, q(x j g(x pisteen x sisältävällä välillä (, b jtkuvi. Silloin koko välillä (, b on olemss yksikäsitteinen ehdot y(x y j y (x y 1 toteuttv yhtälön d 2 y dy 2 + p(x + q(xy g(x dx dx rtkisu, olivtp lkurvot y j y 1 mitä thns. Geometrisesti yksikäsitteisyys trkoitt, että kksi käyrää jotk kulkevt smn pisteen kutt j joill tässä pisteessä on vielä smt tngentitkin, yhtyvät koko välillä (, b Homogeenisen yhtälön rtkisut Trkstelln yhtälöä d 2 y 2 y. (6.15 dx Helposti todetn, että funktiot y 1 e x j y 2 e x rtkisevt tämän. Superpositio-ominisuuden perusteell myös c 1 e x + c 2 e x on silloin yhtälön rtkisu. Perustv kysymys kuuluu nyt, ovtko kikki rtkisut tätä muoto. Olkoon φ(x jokin yhtälön (6.15 rtkisu j olkoon x jokin kiinnitetty rtkisuvälin piste. Jos voimme määrätä kertoimet c 1 j c 2 siten, että c 1 e x + c 2 e x φ(x c 1 e x c 2 e x φ (x, niin rtkisu c 1 e x + c 2 e x kulkee pisteen (x, φ(x kutt j sen tngentti yhtyy tässä pisteessä rtkisun φ(x tngenttiin. Olemssololuseen mukisesti rtkisut c 1 e x + c 2 e x j φ(x ovt niin ollen identtiset. Tässä tpuksess kertoimet c 1 j c 2 määräytyvät yhtälöryhmästä, olivtp φ(x j φ (x mitä thns, joten rtkisujen y 1 e x j y 2 e x linerikombintiot kttvt kikki mhdolliset rtkisut. Yleensäkin mielivltisen linerisen toisen kertluvun homogeenisen yhtälön kikki rtkisut ovt esitettävissä khden erikoisrtkisun y 1 j y 2 superpositioin c 1 y 1 + c 2 y 2 edellyttäen että y 1 j y 2 toteuttvt tietyt ehdot. Määritellään: Funktiot y 1, y 2,..., y n ovt välillä I linerisesti riippuvi jos j vin jos on olemss selliset vkiot c 1, c 2,..., c n, jotk eivät kikki ole nolli, että c 1 y 1 (x + c 2 y 2 (x + + c n y n (x kikill x I. Jos funktiot eivät ole ole linerisesti riippuvi snotn niiden olevn linerisesti riippumttomi. Suorn määritelmästä nähdään, että kksi funktiot riippuu linerisesti toisistn jos j vin jos trksteltvll välillä toinen on vkio kert toinen. Jos nimittäin funktiot y 1 j y 2 ovt linerisesti riippuvi, niin on c 1 y 1 (x + c 2 y 2 (x j joko c 1 ti c 2 ti molemmt ovt nollst poikkevi. Oletetn, että c 2 j voimme jk tällä. Smme yhtälön y 2 (x c1 c 2 y 1 (x eli y 2 on sm kuin y 1 vkioll kerrottun. Jos toislt b esim. y 2 (x cy 1 (x, niin cy 1 (x y 2 (x in kun x I eli y 1 j y 2 ovt linerisesti riippuvi. Esim. y 1 (x e 3x j y 2 (x x + 1 välillä ( 2, 2 Funktiot eivät inkn ensiktsomlt näytä toistens monikerroilt. Jos kuitenkin olisi voimss e 3x c(x + 1, niin pisteessä x olisi e c j pisteessä x 1 olisi e 3 2c eli olisi sekä c 1 että c e 3 /2 eikä c olisi vkio. Funktiot ovt siten linerisesti riippumttomi. Esim. y 1 (x sin 2x j y 2 (x sin x cos x Nyt sin 2x 2 sin x cos x eli y 1 (x 2y 2 (x, joten funktiot ovt linerisesti riippuvi. Toisen kertluvun linerisen homogeenisen differentiliyhtälön rtkisujen linerinen riippuvuus voidn selvittää käyttäen lusett Olkoot y 1 j y 2 yhtälön y + py + qy rtkisuj välillä I. Silloin

37 Wronskin determinntti W [y 1, y 2 ](x y 1(x y 2 (x y 1(x y 2(x y 1 (xy 2(x y 2 (xy 1(x (6.16 on joko identtisesti noll ti in nollst poikkev välillä I. Rtkisut y 1 j y 2 ovt lineriststi riippuvi jos j vin jos niiden Wronskin determintti on noll. Esim. Yhtälön x 2 y xy 3y rtkisut y 1 (x x 1 j y 2 (x x 3 välillä (, Ensinnäkin on helppo nähdä, että y 1 j y 2 ovt todellkin rtkisuj. Wronskin determinntti on nyt W [y 1, y 2 ](x y 1 (xy 2(x y 2 (xy 1(x 1 ( x 3x2 x 3 1 x 2 4x. Tämä on välillä (, nollst poikkev, joten rtkisut ovt linerisesti riippumttomi. Käytännössä linerist riippuvuutt ei useinkn testtt Wronskin determinntill, ei inkn silloin kun on kyse tutuist funktioist. On helppo nähdä, että esimerkiksi kikki eri potenssifunktiot (x r, potenssit r erisuuri ovt toisistn linerisesti riippumttomi. Tästä seur se, että kikki eri eksponenttifunktiotkin (e rx, eri kertoimet r ovt toisistn riippumttomi sen lisäksi, että ne ovt riippumttomi myös potenssifunktioist. Smoin sini- j kosinifunktiot ovt toisistn rippumttomi. Sen sijn esim. kosinifunktio riippuu linerisesti (kompleksisist eksponenttifunktioist (Eulerin kv: cos x 1 2 (eix + e ix. Tästä voidn toislt päätellä, että funktiot cos rx (kertoimet r itseisrvoltn erisuuri ovt riippumttomi sekä toisistn että funktioist sin rx. Linerisen riippumttomuuden merkitys käynee selville luseest Toisen kertluvun linerisell homogeenisell yhtälöllä on täsmälleen kksi linerisesti riippumtont rtkisu. Jos siis y 1 j y 2 ovt kksi linerisesti riippumtont rtkisu, niin yhtälön jokinen rtkisu on muoto c 1 y 1 + c 2 y 2. Luseen jälkimmäinen väite Olkoot y 1 j y 2 kksi riippumtont rtkisu j olkoon φ jokin mielivltinen rtkisu. Kosk ensimmäisen väitteen mukn yhtälöllä on täsmälleen kksi riippumtont rtkisu, täytyy oll voimss c 1 y 1 (x + c 2 y 2 (x + cφ(x, missä inkin yksi kertoimist c 1, c 2 ti c on nollst poikkev. Jos c on noll, niin silloin olisi c 1 y 1 + c 2 y 2 j vähintään toinen kertoimist c 1 j c 2 olisi erisuuri kuin noll. Tällöin siis funktiot y 1 j y 2 riippuisivt toisistn vstoin oletustmme. Näin ollen täytyy oll c j voimme rtkist funktion φ riippuvuusehdost, φ(x c 1 c y 1(x c 2 c y 2(x Vkiokertoimiset homogeeniset lineriset yhtälöt Rtkistn yhtälö y + by + cy, (6.17 kun, b j c ovt vkiot j. Yhtälön mukn siis vkioill kerrotun funktion j sen derivttojen summn pitäisi oll identtisesti noll. Rtkisu knnttisi vrmnkin etsiä sellisten funktioiden joukost, joiden derivtt ovt keskenään j itse funktion knss sm muoto, mhdollisesti vkiotekijöillä kerrottun. Rtkisu sttisi siten löytyä funktioiden e rx joukost (r vkio. Sijoitetn tämä yrite yhtälöön (6.17, jolloin sdn r 2 e rx + bre rx + ce rx. Kosk eksponenttifunktio e rx on in nollst poikkev, voimme jk yhtälön sillä j päädytään ns. krkteristiseen yhtälöön r 2 + br + c. (6.18 Toisen steen yhtälönä krkteristinen yhtälö on helppo rtkist: r 1 b + b 2 4c 2 r 2 b b 2 4c. 2 Funktiot e r1x j e r2x rtkisevt siten differentiliyhtälön (6.17. Erisuuret krkteristisen yhtälön juuret Rtkisujen e r1x j e r2x Wronskin determinntti on W (x r 2 e r1x e r2x r 1 e r1x e r2x (r 2 r 1 e (r1+r2x. Jos nyt r 1 r 2, niin W. Rtkisut ovt siten linerisesti riippumttomi. Yleinen rtkisu y on näiden superpositio y(x c 1 e r1x + c 2 e r2x. Esim. Yhtälön y + 5y 6y yleinen rtkisu Krkteristinen yhtälö on nyt j sen rtkisut r 2 + 5r 6 r 1,2 5 ± Yleinen rtkisu on siten { y(x c 1 e x + c 2 e 6x Esim. lkurvotehtävä y + 2y y, kun y( j y ( 1 Krkteristisen yhtälön r 2 + 2r 1 rtkisut ovt r j r Yleinen rtkisu on niin ollen y(x c 1 e ( 1+ 2x + c 2 e ( 1 2x. lkuehdot johtvt yhtälöihin y( c 1 e + c 2 e c 1 + c 2 1 y ( ( 1 + 2c 1 e + ( 1 2c 2 e ( 1 + 2c 1 + ( 1 2c 2,

38 joiden rtkisuin ovt c 1 2/4 j c 2 2/4. lkurvoprobleemn siis toteutt funktio 2 y(x 2x 2 4 e( x 4 e( 1. Kompleksijuurinen krkteristinen yhtälö Krkteristisen yhtälön r 2 + br + c juuret ovt kompleksiset, jos b 2 4c <. Silloin juuret ovt r 1 α + iβ r 2 α iβ, missä α b/2 j β 4c b 2 ovt relisi. Juuret ovt siis toistens liittolukuj, r 1 r 2. Differentiliyhtälön linerisesti riippumttomt rtkisut ovt nyt e (α±iβx e αx e ±iβx e αx (cos βx ± i sin βx. Mikä thns näiden rtkisujen linerikombintio on myös rtkisu. Kombintiot 1 2 e(α+iβx e(α iβx e αx cos βx 1 2i e(α+iβx 1 2i e(α iβx e αx sin βx ovt siten rtkisuj j, kuten ikisemmin olemme todenneet, linerisesti riippumttomi. Siis, jos lineriseen homogeeniseen vkiokertoimiseen differentiliyhtälöön y + by + cy liittyvän krkteristisen yhtälön juuret ovt r α ± iβ, α j β relisi, niin funktiot y 1 (x e αx cos βx y 2 (x e αx sin βx ovt linerisesti riippumttomi relisi differentiliyhtälön rtkisuj. Esim. Yhtälön y + 2y + 4y yleinen rtkisu Krkteristisen yhtälön r 2 + 2r + 4 rtkisut ovt Silloin funktiot r 2 ± ± i 3. y 1 (x e x cos 3x j y 2 (x e x sin 3x ovt yhtälön linerisesti riippumttomi rtkisuj. Yleinen rtkisu on siten y(x c 1 e x cos 3x + c 2 e x sin 3x. Yhtäsuuret krkteristisen yhtälön juuret Krkteristisen yhtälön r 2 + br + c juuret ovt yhtäsuuret, jos b 2 4c. ino juuri on tällöin relinen j suuruudeltn r b 2 j e rx on siten ino muoto e rx olev rtkisu. Tiedämme toislt, että toisen kertluvun yhtälöllä on in kksi linerisesti riippumtont rtkisu. Ktsotn, milliseen muotoon sijoitus vie differentiliyhtälömme y(x v(xe rx y + by + cy. Sijoitmme tähän yritteemme j derivtt y v e rx + r ve rx y v e rx + 2r v e rx + r 2 ve rx. Hiemn ryhmittäen sdn ( v + (2r + bv + (r 2 + br + cv e rx. Funktion v täytyy siis toteutt yhtälö v + (2r + bv + (r 2 + br + cv. Sijoitetn tähän r b/2 j nähdään että j 2r + b 2 b 2 + b r 2 + br + c b2 4 2 b b 2 + c b2 4 + c b2 4c 4, kosk diskriminntti oli b 2 4c. Päädymme siten yhtälöön v jonk eräs rtkisu on v(x x. Funktio y(x xe rx on niin ollen eräs lkuperäisen yhtälömme rtkisu. On helppo nähdä, että tämä on linerisesti riippumton rtkisust e rx. Differentiliyhtälön v toinen riippumton rtkisu on esim. v 1. Tämä rtkisu johtisi kuitenkin jälleen eksponenttirtkisuun e r x, sillä y ve r x. Olemme sneet ikn reseptin: Jos yhtälöön y + by + cy liittyvän krkteristisen yhtälön r 2 + br + c

39 molemmt juuret ovt yhtäsuuret, r, niin yleinen rtkisu on y(x c 1 e rx + c 2 xe rx. Esim. Yhtälön y + 4y + 4y yleinen rtkisu Krkteristinen yhtälö on r 2 + 4r + 4 (r + 2 2, jonk molemmt juuret ovt 2. Yleinen rtkisu on silloin y(x c 1 e 2x + c 2 xe 2x. Yhtyvien juurten tpuksess käytetty tekniikk soveltuu yleisemminkin tilnteisiin, missä tunnetn jokin erikoisrtkisu j pitäisi etsiä toinen tästä linerisesti riippumton rtkisu. Olkoon g jokin yhtälön y + py + qy rtkisu. Sijoittmll tähän y(x g(xv(x päädytään yhtälöön gv + 2g v + g v + pg v + pgv + qgv. Uudelleen ryhmittäen voidn kirjoitt gv + (2g + pgv + (g + pg + qgv. Kosk g toteutti lkuperäisen yhtälön, g + pg + qg, smme gv + (2g + pgv. Tämä on funktiolle v u ensimmäisen kertluvun yhtälö g(x dx + [2g (x + p(xg(x]u. Tämä seproitviss yhtälöksi 2g u (x + p(xg(x dx, g(x jolloin sdn ln u ln Eksponenttiointi nt v (x u(x 1 [g(x] 2 p(x dx. 1 [g(x] 2 e p(x dx, jost vielä kerrn integroimll sdn v Täydelliset lineriset yhtälöt Muistetn, että L[y](x y + p(xy + q(xy (6.19 määritteli linerisen differentilioperttorin L (6.13. Tämän operttorin vull voimme kirjoitt täydellisen yhtälön y + p(xy + q(xy g(x hiemn lyhyemmin muodoss Trkstelln kht yhtälöä, L[y](x g(x. L[y](x g 1 (x j L[y](x g 2 (x. Jos nyt y 1 rtkiseen edellisen j y 2 jälkimmäisen yhtälön, niin operttorin L linerisuuden perusteell on voimss L[c 1 y 1 + c 2 y 2 ](x c 1 g 1 (x + c 2 g 2 (x. Kombintio c 1 y 1 + c 2 y 2 siis rtkiseen yhtälön L[y](x c 1 g 1 (x + c 2 g 2 (x ti uki kirjoitettun yhtälön y + p(xy + q(xy c 1 g 1 (x + c 2 g 2 (x. Esim. y 1 (x x/3 2/9 rtkisee yhtälön y + 2y 3y x j y 2 (x e 2x /5 yhtälön y + 2y 3y e 2x. Etsi jokin yhtälön y + 2y 3y 4x 5e 2x rtkisu Olkoon L[y] y + 2y 3y. Silloin y 1 toteutt yhtälön L[y 1 ](x x g 1 (x j y 2 yhtälön L[y 2 ](x e 2x g 2 (x, joten funktio 4y 1 5y 2 toteutt yhtälön y + 2y 3y 4g 1 (x 5g 2 (x 4x 5e 2x. Tämän eräs rtkisu on siis y(x 4y 1 (x 5y 2 (x 4x e2x. Olkoon nyt y p (x yhtälön y + p(xy + q(xy g(x jokin rtkisu. Jos myös φ(x rtkisee yhtälön, niin, kuten edellä totesimme, φ(x y p (x rtkiseen yhtälön y + p(xy + q(xy g(x g(x. Kombintio φ(x y p (x on siis homogeenisen yhtälön rtkisu, jok voidn kirjoitt sen linerisesti riippumttomien rtkisujen y 1 (x j y 2 (x yhdistelmänä kuten φ(x y p (x c 1 y 1 (x + c 2 y 2 (x. Olemme näin todistneet luseen Olkoot y p (x jokin ei-homogeenisen yhtälön y + p(xy + q(xy g(x yksittäinen rtkisu välillä (, b j olkoot y 1 (x j y 2 (x smll välillä kksi yhtälön y + p(xy + q(xy linerisesti riippumtont rtkisu. Silloin jokinen ei-homogeenisen yhtälön rtkisu välillä (, b on muoto y(x y p (x + c 1 y 1 (x + c 2 y 2 (x. Esim. Yhtälön y y 2 x 2 yleinen rtkisu Todetn, että y p (x x 2 rtkisee yhtälön. Tehtävänä on nyt etsiä homogeenisen yhtälön y y

40 kksi riippumtont rtkisu. Yhtälö on vkiokertoiminen, joten kirjoitmme krkteristisen yhtälön, r 2 1 (r 1(r + 1. Tämän juuret ovt r ±1 joten e x j e x ovt homogeenisen yhtälön linerisesti riippumttomi rtkisuj. Täydellisen yhtälön yleinen rtkisu on siloin y(x x 2 + c 1 e x + c 2 e x. Määräämättömien kertoimien menetelmä Olemme oppineet rtkisemn homogeenisen vkiokertoimisen toisen kertluvun yhtälön lähes koneellisesti. Ei-homogeenisen yhtälön rtkisemiseksi meidän täytyy rtkist siihen liittyvä homogeeninen yhtälö sekä etsiä yksi täydellisen yhtälön rtkisu. Jälkimmäinen tehtävä ei in ole ivn suorviivinen. Osoittutuu kuitenkin, että vkiokertoimisille yhtälöille eräänlinen systemttinen menetelmä on kehiteltävissä. Motivoidksemme tätä proseuri käymme läpi muutmi esimerkkejä. Esim. Yhtälön L[y](x 3x + 1 yksittäisrtkisu, kun L[y](x y + 3y + 2y Tehtävä on siis etsiä sellinen y p, että L[y p ](x 3x + 1. Yhtälön oikell puolen esiintyy vkio j muuttujn x ensimmäinen potenssi j vsemmll funktio y p j sen derivttoj. Tuntuisi siis luontevlt etsiä polynomimuotoist rtkisu. Knntt myös huomt, että operttori L sovellettun polynomiin säilyttää polynomin steluvun (termi y lusekkeess y + 3y + 2y. Rtkisu löytynee siten ensimmäisen steen polynomien joukost. Yritetään muoto y p x + b olev rtkisu: L[y p ](x (x + b 2x b 3x + 1. Yhtälö sdn voimn kikill muuttujn x rvoill, jos setetn 2 3 j 3 + 2b 1 eli 3/2 j b 7/4. Yhtälön eräs yksittäinen rtkisu on siten y p (x 3 2 x 7 4. Yleistäen voimme todet: Jos Q n (x on jokin n-steinen polynomi j L linerinen vkiokertoiminen differentilioperttori, niin muoto L[y](x Q n (x olevien yhtälöiden yksityisrtkisu löytyy yleensä yritteellä y p (x n x n + n 1 x n x +. Esim. Yhtälön 2x + x 3t 2 + 1t yksityisrtkisu Vikk olemmekin käsitelleet toisen kertluvun yhtälöitä, edellä esitetty yksittäisrtkisun etsintä sopii kiken kertlukuisille linerisille vkiokertoimisille yhtälöille. Kokeilln funktiot x p (t t 2 + bt + c. Smme 2(2t + b + (t 2 + bt + c t 2 + (4 + bt + 2b + c 3t 2 + 1t. Smme kertoimille ehdot b 1 2b + c. Täytyy siis oll b 2 j c 4. Eräs differentiliyhtälön toteuttv rtkisu on siten x p (t 3t 2 2t + 4. Esim. Yhtälön L[y](x y + 3y + 2y e 3x jokin rtkisu Yhtälön oikell puolen on eksponenttifunktio. Toislt, kosk eksponenttifunktion jokinen derivtt on vkioll kerrottun sm eksponenttifunktio, on L[e rx ] e rx in, kun L on vkiokertoimenen linerinen differentilioperttori. Erikoisesti tässä tpuksess on L[e rx ] r 2 e rx + 3re rx + 2e rx (r 2 + 3r + 2e rx. Yritämme siis funktiot y p (x e 3x. Yhtälön vsen puoli nt L[e 3x ] L[e 3x ] ( e 3x 2e 3x. Tämän pitäisi oll sm kuin yhtälön oike puoli, joten täytyy oll 2 1 eli 1/2. Funktio y p (x e3x 2 rtkisee siis yhtälön. Esim. Yhtälön L[y](x y y y sin x erikoisrtkisu Kokeilln muoto sin x olev yritettä. Nähdään, että L[ sin x] sin x cos x sin x 2 sin x cos x. Yrite sin x ei siis ivn toteut yhtälöä vn meidän pitäisi päästä eroon ylimääräisestä kosinitermistä. Kokeilln sen vuoksi kombintiot y p (x sin x + b cos x. Nyt on L[y p ](x 2 sin x cos x 2b cos x + b sin x. Tämän pitäisi oll yhtäsuuri kuin sin x eli täytyy oll 2 + b 1 j 2b. Yhtälöprin rtkisevt rvot 2/5 j b 1/5 joten hettu erikoisrtkisu on y p (x 2 5 sin x + 1 cos x. 5 Esim. Yhtälön L[y] y y 12y e 4x yksittäinen rtkisu Vstvn homogeenisen yhtälön L[y](x krkteristisell yhtälöllä r 2 r 12 on juuret r 1 4 j r 2 3, joten mm. e 4x toteutt ko. homogeenisen yhtälön, ts. L[e 4x ]. Tästä onnettomst sttumst

41 johtuen erikoisrtkisu ei löydykään smll tvoin kuin edellisissä esimerkeissä. Kokeilln sen sijn yritettä y p xe 4x. Nyt y p(x e 4x + 4xe 4x j y p (x 8e 4x + 16xe 4x, joten on L[xe 4x ] (8 + 16x 1 4x 12xe 4x 7e 4x. Vlitsemll 1/7 smme erikoisrtkisun y p (x xe4x 7. Osoittutuu, että yo. esimerkki on yleistetettävissä ohjeeksi: Jos yritertkisuss y p jokin termi rtkisee vstvn homogeenisen yhtälön, niin korvtn y p yritteellä x s y p, missä s on pienin sellinen positiivinen kokonisluku, että x s y p ei sisällä yhtään homogeenisen yhtälön rtkisu. Kerätään edellä esitettyjen esimerkkien pohjlt tulukoksi erityyppisiä linerisen vkiokertoimisen differentiliyhtälön epähomogeenisuustermejä g(x j vstvi yritteitä y p. g(x p n (x e αx y p (x P n (x e αx cos βx + b sin βx cos βx + B sin βx p n (xe αx P n (xe αx p n (x cos βx P n (x cos βx +q n (x sin βx +Q n (x sin βx e αx cos βx e αx cos βx +be αx sin βx +Be αx sin βx e αx p n (x cos βx e αx P n (x cos βx +e αx q n (x sin βx +e αx Q n (x sin βx (6.2 j y y 1 cos 2x. Nyt molempien epähomogeenisuustermit ovt tulukoss. Tulukon (6.2 mukn edelliseen yhtälöön liittyvä yrite olisi muoto (x + Be x. Kosk kuitenkin yrite e x rtkisee homogeenisen yhtälön, meidän täytyy kerto tämä tekijällä x s. Nyt jo s 1 nt yritteen, jok ei sisällä homogeenisen yhtälön rtkisuj, nimittäin y 1 (x (x 2 + Bxe x. Sijoitus ylempään yhtälöön nt 4xe x + (2 2Be x 2e x 4xe x, joten täytyy oll 1 j B eli y 1 x 2 e x. Jälkimmäiseen yhtälöön liittyvä yrite on tulukon mukn muoto y 2 (x C cos 2x + D sin 2x, missä kumpikn termi ei ole homogeenisen yhtälön rtkisu. Sijoitus lempn yhtälöön nt 5C cos 2x 5D sin 2x 1 cos 2x, joten on C 2 j D eli y 2 2 cos 2x lkuperäisen yhtälön eräs rtkisu on siis y 1 + y 2 x 2 e x 2 cos 2x j yleinen rtkisu niin ollen y(x c 1 e x + c 2 e x + x 2 e x 2 cos 2x. Tulukoss p n, q n, P n j Q n ovt polynomej p n (x n x n x + q n (x b n x n + + b 1 x + b P n (x n x n x + Q n (x B n x n + + B 1 x + B. Mikäli jokin yritteen y p termi on homogeenisen yhtälön rtkisu, on y p kerrottv pienimmällä mhdollisell sellisell muuttujn x potenssill x s, että lusekkeess x s y p ei enää ole homogeenisen yhtälön rtkisuj. Esim. Yhtälön L[y](x y y 2e x 4xe x + 1 cos 2x yleinen rtkisu Homogeenisen yhtälön y y yleinen rtkisu on y h (x c 1 e x + c 2 e x. Vlitettvsti tulukostmme (6.2 ei näytä suorn löytyvän epähomogeenisuustermiä mutt plutetn mieliin, että jos y 1 rtkisi yhtälön L[y] g 1 j y 2 yhtälön L[y] g 2, niin y 1 + y 2 rtkisi yhtälön L[y] g 1 + g 2. Ktsotn sen vuoksi kht erillistä yhtälöä, y y 2e x 4xe x

42 7. Vektorit j differentililskent 7.1 Yhden muuttujn vektorifunktiot Liikkuvn kppleen pikk vruudess muuttuu jn kuluess. Mtemttisesti voimme ilmist tämän snomll, että kppleen pikk kuvv rdiusvektori r on jn t funktio r(t, ts. vektorin r(t x(ti + y(tj + z(tk komponentit x, y j z riippuvt yhdestä muuttujst t. Smoin yhden muuttujn, jn, vektorifunktioit ovt myös kyseisen kppleen nopeus j kiihtyvyys. Usein puhutn lyhyesti vin vektorifunktioist kun trkoitetn yhden muuttujn vektorirvoisi funktioit Vektorifunktion derivtt Olkoon (u jokin yhden muuttujn u vektorifunktio (u x (ui + y (uj + z (uk. K Kuv 7.1 Vektorin derivtt K, K K K, K Vektorifunktion derivtt määritellään nlogisesti sklrifunktion derivtn knss eli d(u lim u (u + u (u. (7.1 u Kirjoitetn määritelmä (7.1 komponenteittin, [ d(u x (u + u x (u lim i u u + y(u + u y (u j u + ] z(u + u z (u k u d x(u i + d y(u j + d z(u k, jolloin nähdään, että vektorifunktio derivoidn derivoimll sen komponentit. Esim. Nopeus v, v, kiihtyvyys j kun pikk on r sin t i + cos t j + k Nopeus on nyt v dr dt ṙ dx(t dt cos t i sin t j. i + dy(t dt j + dz(t dt k Vuhti puolestn on v v cos 2 t + sin 2 t 1. Kiihtyvyys sdn derivoimll nopeus, j sen itseisrvo on dv dt v..ṙ sin t i cos tj, sin 2 t + cos 2 t 1. Derivtn ominisuuksi Olkoot (u j B(u muuttujn u vektorifunktioit. Lsketn pistetulon B derivtt: d B d ( xb x + y B y + z B z d x B db x x + x + d y B db y y + y + d z B db z z + z ( dx i + d y j + d z k (B x i + B y j + B z k +( x i + y j + z k ( dbx i + db y j + db z k d B + db. Näemme, että pistetulon derivointiin soveltuu sklrifunktioist tuttu derivointisääntö (1.4 kunhn vin korvtn tvllinen tulo pistetuloll. Yleensäkin on helppo todet, että luonnollisell tvll modifioit tutut säännöt ovt voimss myös vektoreille: d (α + βb αd d(φ d( B d( B + β db dφ + φd d B + db d B + db. Tässä α j β ovt mielivltisi sklrivkioit j φ(u mielivltinen derivoituv muuttujn u sklrifunktio. nlogisesti sklrifunktion differentilin knss määrittelemme vektorifunktion differentilin: d i d x + j d y + k d z. (7.2 Kosk vektorin komponentit i ovt nyt vin yhden muuttujn u funktioit, ovt niiden differentilit muoto j vektorin (u differentili niin ollen d i ( dx d i + d y j + d z k d. (7.3

43 @ H 6 I H + on yksikkötngentin suuntinen. Voimme siis kirjoitt vruuskäyrät Tngentti Olkoon r(u x(ui + y(uj + z(uk muuttujst u riippuv pikkvektori. Muuttujn u käydessä läpi rvolueens vektorin r kärki piirtää käyrän kolmiulotteisess vruudessmme. Derivtt dr on konstruktions perusteell (kuv 7.1 ilmeisestikin tämän käyrän pisteeseen r(u piirretyn tngentin suuntinen. Käyrän tngentin suuntinen yksikkövektori T on niin ollen H K T dr dr /. (7.4 dr T ds missä olemme symbolill ds merkinneet differentilin dr pituutt ds dr dx 2 + dy 2 + dz 2. Voimme siis kirjoitt yksikkötngentin myös muodoss T dr ds. (7.5 Kren pituus Differentili ds oli infinitesimlisen muutoksen dr suuruus. Kosk muutos dr oli käyrän tngentin suuntinen, on ds siten käyrän kren pituuden s infinitesimlinen muutos. I Kuv 7.2 Käyrän tngentti Esim. Käyrän x t 2 + 1, y 4t 3, z 2t 2 6t yksikkötngentti kun t 2 Käyrän piirtää vektorin r xi + yj + zk (t 2 + 1i + (4t 3j + (2t 2 6tk kärki kun t käy läpi kikki rvons (kun muut ei ole snottu, rvolueen on yleensä koko relilukulue. Pikkvektorin derivtt dr dt i d dt (t j d dt (4t 3 + k d dt (2t2 6t 2ti + 4j + (4t 6k on käyrän tngentin suuntinen. Tämän vektorin pituus on dr dt (2t (4t 6 2, joten yksikkötngentti on T dr / dr 2ti + 4j + (4t 6k dt dt (2t (4t 6. 2 Erikoisesti pisteessä, missä t 2, yksikkötngentti on T 4i + 4j + 2k i j k. Kosk derivtt dr on yksikkötngentin suuntinen, niin toki silloin myös differentili dr dr Kuv 7.3 Käyrän kren pituus Käyrän C kren pituus s sdn summmll pitkin käyrää lskettuj differentilisi kren pituuksi. Formlisti voimme ilmist tämän, kuten s ds. (7.6 Käyrän ulottuess äärettömyyteen on yleensä on myös spesifioitv integroinnin lkukoht eli kren pituuden nollkoht. Kuvssmme tämä voisi oll vikkp piste s. Lskettess kren pituutt kvll (7.6 integroinnin suunnksi otetn differentilin dr suunt eli tngentin suunt. Pituus s siis ksv kun edetään käyrällä tngentin osoittmn suuntn. Jos nyt käyrän yhtälö on nnettu muodoss C r r(u, niin tngentti osoitt vektorin dr dr r(u + r(u suuntn eli suuntn johon u ksv. Pituus s on siten muuttujn u ksvv funtio j derivtt ds silloin positiivinen. Differentili ds oli määritelty itseisrvon dr, joten on ds dr dr, kun >. Toislt derivtt ds oli positiivinen, joten voimme kirjoitt dr ds. (7.7

44 Jos rtkisemme reltiost s s(u muuttujn u pituuden s funktion, u u(s, niin voimme pitää käyrää piirtävää vektorikin kren pituuden funktion: r r(s. Esim. Käyrän x sin t, y cos t, z kren pituus lähtien pisteestä, missä t Käyrän piirtää vektori r i sin t + j cos t + k i sin t + j cos t. Differentili dr on dr dr dt (i cos t j sin t dt dt j differentili ds siten ds dr cos 2 t + sin 2 t dt 1 dt dt, kun etenemme muuttujn t ksvvn suuntn (dt >. Kren pituus on siis t s(t ds dt t. Krevuussäde vruuskäyrän r r(s, s kren pituus, yksikkötngentti on kvn (7.5 mukisesti C T dr ds. Vektori T on sekin kren pituuden s funktio, joten voimme lske derivtn Olkoon nyt N vektorin dt ds missä on merkitty Voimme siis kirjoitt dt ds d2 r ds 2. N 1 κ suuntinen yksikkövektori dt ds, κ dt ds. (7.8 dt ds κn. (7.9 Suurett κ snotn käyrän krevuudeksi j sen käänteisrvo ρ 1 κ 1 dt ds (7.1 käyrän krevuussäteeksi. Yksikkötngentti T on nimensä mukisesti yksikön mittinen, joten on T 2 T T T 2 1. Derivoidn reltio T T 1 kren pituuden suhteen, jolloin sdn d dt (T T ds ds T + T dt ds 2κT N, 2T dt ds kun on sijoitettu luseke (7.9. Päädymme yhtälöön T N, (7.11 eli vektori N on kohtisuorss tngentti T vstn j siten myös kohtisuorss ko. vruuskäyrää vstn. Tämän vuoksi vektori N snotn käyrän päänormliksi. Esim. Käyrän x 3 cos t, y 3 sin t, z 4t yksikkötngentti, päänormli, krevuus j krevuussäde Käyrän r i3 cos t + j3 sin t + k4t eräs tngentti on dr dt i3 sin t + j3 cos t + k4. Normitetn tämä, ts. muodostetn yksikön mittinen smn suuntinen vektori jkmll vektori pituudelln. Tngentin pituus on dr dt ( 3 sin t 2 + (3 cos t (sin 2 t + cos 2 t Yksikkötngentti on siten T Yksikkötngentiksi stiin siis i3 sin t + j3 cos t + k4 dr dt i 3 5 sin t + j3 5 cos t + k4 5. T i 3 5 sin t + j3 5 cos t + k4 5. Derivoidn tämä muuttujn t suhteen: dt dt i3 5 cos t j3 sin t. 5 Toislt, kosk kren pituus s on jokin muuttujn t funktio, voimme ketjusäännön perusteell kirjoitt joten dt dt dt ds ds dt, dt ds dt / ds dt dt ikisemmin (kv (7.7 totesimme, että kren pituuden derivtt käyrää prmetrisoivn muuttujn suhteen noudtt kv eli ds dt dt ds dt dt dr dt / dr dt

45 K K M M L L K K M M L L Määritelmän (7.9 mukn on siis κn dt ds dt / dr dt dt i 3 5 cos t j 3 5 sin t 5 i 3 25 cos t j 3 sin t. 25 Kosk N on yksikön mittinen, on voimss dt ds κ N κ, κ. Krevuus on silloin ( 2 3 κ (sin 2 t + cos 25 2 t 3 25 j krevuussäde ρ 1 κ Esim. Ympyräliike jn t funktion msspisteen pikkvektori olkoon r r(t. Nopeus on tällöin v dr dt ṙ. Kun piste kulkee pitkin origokeskeisen R säteisen ympyrän kehää, on vektorin r pituus vkio R: r R ti Tämän derivointi nt r r R 2. 2ṙ r 2v r. Nopeus on kohtisuorss rdiusvektori r vstn (eli kohtsuorss ympyrän sädettä vstn, ympyrän tngentin suuntinen. Trkstelln erikoisesti sellist xy-tson liikettä, missä r ir cos ωt + jr sin ωt kun ω on vkio. Nyt r R 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt R, joten kyseessä on ympyräliike. Nopeus on v ṙ irω sin ωt + jrω cos ωt. Kuten todettiin, tämä on kohtisuorss pikkvektori r vstn. Vuhti on nyt v (ωr 2 (cos 2 ωt + sin 2 ωt ωr, joten liikkeen vuhtikin on vkio. Kiihtyvyys ts on. v irω 2 cos ωt jrω 2 sin ωt. Vuhdin vkioisuudest (v v ω 2 R 2 vkio seur että kiihtyvyys on kohtisuorss nopeutt vstn (j siten joko rdiusvektorin suuntinen ti sille vstkkissuuntinen. Itsesiss näemme, että ω 2 r. Kiihtyvyyden suuruus on sekin vkio, sillä ω 2 r ω 2 R Käyräviiviset suorkulmiset koordintistot Fysiklisten ilmiöiden kuvus stt usein oll yksinkertisemp käytettäessä joitkin muit muuttuji kuin krteesisi xyz-koordinttej. Esimerkiksi keskeisliikkeessä, so. liikkeessä joss kppleeseen vikuttv voim on suuntunut kiinteään vruuden pisteeseen (mm. plneettliikeessä plneettoihin vikuttv grvittiovoim on suuntutunut urinko kohti, eräs luonnollinen muuttuj on kppleen etäisyys tästä kiinteästä vruuden pisteestä. Yleisesti otten mitkä thns muuttujt u, v j w kelpvt koordinteiksi, jos niiden j krteesisisten xyz-koordinttien välillä on yksikäsitteinen vstvuus (mhdollisesti muutmi singulrisi pisteitä lukuunottmtt. Jos siis kuvukset u u(x, y, z v v(x, y, z w w(x, y, z ovt yksikäsitteiset sekä niiden käänteiskuvukset x x(u, v, w y y(u, v, w z z(u, v, w ovt olemss j yksikäsitteiset, voidn muuttuji u, v j w käyttää vruuden pikn spesifioimiseen siinä missä tvllisi xyz-koordinttejkin. Voimme myös ilmist tämän siten, että pisteen pikk r on muuttujien u, v j w funktio: r r(u, v, w. (7.12 Koordinttikäyriksi ti -viivoiksi snotn sellisi vruuden käyriä,joill yksi koordinteist muuttuu muiden pysyessä vkioin. K K M M K K L L L L M M K K M M K K L L L L M M Kuv 7.4 Käyräviivinen koordintisto

46 B O H N Jokisen vruuden pisteen (u, v, w kutt kulkee kolme koordinttikäyrää, joiden yhtälöt krteesisess koordintistoss ovt muoto x x(u, v, w, y y(u, v, w, z z(u, v, w ti lyhyesti vektorimerkintää käyttäen r u r u (u r(u, v, w, v, w vkioit, missä r on pikkvektori r xi + yj + zk. Jokiseen vruuden pisteeseen voimme sett pisteen kutt kulkevien koordinttiviivojen tngenttien suuntiset yksikkövektorit. Esimerkiksi pisteen (u, v, w kutt kulkevn u-koordinttikäyrän eräs tngentti tässä pisteessä on T u dr u(u dr(u, v, w dx(u, v, w i + dy(u, v, w j + dz(u, v, w k. Toislt voimme kirjoitt derivtt osittisderivttoin, kuten dx(u, v, w x(u, v, w u uu vv ww x u (u, v, w. Vstvsti muiden koordinttiviivojen tngentit ovt j j k. Lsketut tngentit ovt jo sellisenn yksikön mittisi, joten yksikkötngentitkin ovt i, j j k. Krteesisess koordintistoss koordinttiviivojen tngenttien suuntiset yksikkövektorit yhtyvät tvnomisiin yksikkövektoreihin. Yleisestikin mielivltisess koordintistoss nnetuss vruuden pisteessä yksikkövektorit setetn tässä pisteessä leikkvien koordinttikäyrien tngenttien suuntisiksi. Toisin kuin krteesisen koordintiston yksikkövektorit i, j j k riippuvt uvw-koordintiston yksikkövektorit e u, e v j e w yleensä pikst. Esimerkiksi kuvn 7.4 pisteessä (u, v, w yksikkövektorit poikkevt pisteen (u 1, v 1, w 1 yksikkövektoreist. Jos uvw-koordintiston vektorit e u, e v j e w ovt jokisess vruuden pisteessä kohtisuorss toisin vstn, snomme koordintisto ortogonliseksi ti suorkulmiseksi. Jtkoss pitäydymme pelkästään suorkulmisiss koordinteiss. Trkstelln vektori. Sen sijn, että esittäisimme vektorin krteesisten komponenttien vull muodoss x i + y j + z k, voimme ivn yhtähyvin esittää sen myös muodoss u e u + v e v + w e w. On vin muistettv, että nyt kntvektorit e u, e v j e w riippuvt pikst vruudess. Kosk uvw-koordintistomme on ortogonlinen, smme komponentit u, v j w kvoist Voimme siis kirjoitt tngentin lusekkeen mm. muodoss T u r u (u, v, w j vstvsti muiden koordinttiviivojen tngenteille T v j T w. Pisteeseen (u, v, w setetut koordinttikäyrien tngenttien suuntiset yksikkövektorit ovt niin ollen e u T Tu u e v T Tv v (7.13 e w T Tw w Esim. Krteesinen koordintisto Krteesisess xyz-koordintistoss pisteen (x, y, z kutt kulkevt koordinttiviivt ovt r x xi + y j + z k r y x i + yj + z k r z x i + y j + zk. u e u v e v w e w. Npkoordintisto Kksiulotteisen tson rφ-npkoordintiston määrittelevät yhtälöt B x r cos φ y r sin φ. B L E N O H L E (7.14 (7.15 Viivn r x tngentti on T x r x (x, y, z i. (xi + yj + zk x (x,y,z Kuv 7.5 Npkoordintisto Koordinttikäyrät ovt origon kutt kulkevt suort (r-käyrät j origokeskiset ympyrät (φ-käyrät.

47 N H H B O Koordinttikäyrien yhtälöt ovt nyt r r ir cos φ + jr sin φ, φ vkio r φ ir cos φ + jr sin φ, r vkio. Koordinttikäyrien suuntiset tngentit ovt vstvsti T r dr r dr T φ dr φ dφ i cos φ + j sin φ ir sin φ + jr cos φ. Vstvt yksikkövektorit ovt kvojen (7.13 mukn e r T r T r e φ T φ T φ. Tngenttien pituudet ovt T r cos 2 φ + sin 2 φ 1 T φ r 2 (sin 2 φ + cos 2 φ r. Nopeus sdn derivoimll r jn suhteen kuten v dr dt d dt (re r dr dt e r + r de r dt dr ( dt e r + r i dφ sin φ + jdφ dt dt cos φ ṙe r + r. φ( i sin φ + j cos φ ṙe r + r. φe φ. Vstvsti kiihtyvyys on. v.ṙe r + ṙ. e r + ṙ. φe φ + r.. φe φ + r. φ. e φ.ṙe..... r + ṙ φe φ + ṙ φe φ + r φe φ r φ 2 ( e r.. ṙ r φ 2 (... e r + 2ṙ φ + r φ e φ. Sylinterikoordintisto Sylinterikoordintiston ρφz määrittelevät yhtälöt x ρ cos φ y ρ sin φ z z. (7.18 Npkoordintiston yksikkövektorit ovt niin ollen e r i cos φ + j sin φ e φ i sin φ + j cos φ. (7.16 Kuten nähdään, nämä yksikkövektorit riippuvt pikst (nyt tosin vin npkulmst. Koordintisto on ortogonlinen, sillä jokisess tson pisteessä on voimss e r e φ cos φ sin φ + sin φ cos φ. Voimme kääntää npkoordintiston määrittelevät reltiot (7.15, jolloin smme rφ-koordintit lusuttu krteesisten xy-koordinttien vull: r x 2 + y 2 φ rctn y x. (7.17 Jälkimmäisessä yhtälössä on muistettv vlit rctn-funktion rvoist oiken neljännekseen sijoittuv kulm. Esim. Nopeus j kiihtyvyys npkoordintistoss Tsoss liikkuvn msspisteen pikk esittää jst riippuv rdiusvektori r r(t. Npkoordintistoss hiukksen pikk esitetään rdiusvektorin pituuden r j npkulmn φ vull. Nämä molemmt sttvt nyt riippu jst. Npkoordintistoss rdiusvektori on yksinkertisesti missä yksikkövektori e r on r re r, e r i cos φ + j sin φ. H L E L E B B H H L E B L E Kuv 7.6 Sylinterikoordintisto B L E L E H Kuten kuvst nähdään, on ρ pisteen xy-tsoll olevn projektion etäisyys origost, φ tämän projektion npkulm j z pisteen korkeus xy-tsost mitttun. Koordinttikäyrät ovt ρ-käyrät: z-kseli vstn kohtisuort ( xy-tson suuntiset j sitä leikkvt suort. φ-käyrät: z-kselikeskeiset j sitä vstn kohtisuort ympyrät. z-käyrät: z-kselin suuntiset suort. Kosk projektiopiste esitetään npkoordintistoss, voimme ρ- j φ-koordintteihin liittyviin yksikkövektoreihin sovelt suorn kv (7.16. Koordinttiin z liittyvä yksikkövektori ts on z-käyrän tngentin suuntinen eli z-kselin suuntinen eli k. Sylinterikoordintiston yksikkövektorit ovt siis e ρ i cos φ + j sin φ e φ i sin φ + j cos φ e z k. (7.19

48 N B G H O N B B G H G H O Kuten npkoordintistosskin ovt vektorit e ρ j e φ ortogonlisi. Kosk näillä ei ole linkn komponentti k-suunnss, ovt nämä myös kohtisuorss vektori e z k vstn. Sylinterikoordintisto on siten ortogonlinen. Kuten npkoordintistosskin, voimme lusu muuttujt ρ, φ j z muuttujien x, y j z vull: Kuvst nähdään, että pllokoordinteist rθφ siirrytään krteesisiin koordintteihin kvoill x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ. (7.21 ρ x 2 + y 2 φ rctn y x z z. (7.2 H L E G L E G L E B L E Tskin kulm φ on vlittv oikest neljänneksestä. Esim. Nopeus j kiihtyvyys sylinterikoordintistoss Msspisteen pikkvektori voidn npkoordinttien vull kirjoitt kuten r r(t xi + yj + zk iρ cos φ + jρ sin φ + zk ρ(i cos φ + j sin φ + zk ρe ρ + ze z. Termin ρe ρ lsku on identtinen npkoordinttilskun knss, ts. d(ρe ρ ρe.. ρ + ρ φe φ dt d 2 (ρe ρ (... dt 2 ρ ρ φ 2 ( e ρ + 2 ρ.... φ + ρ φ e φ. Kosk yksikkövektori e z k on vkio, jälkimmäinenkin termi, ze z, on helppo käsitellä: d(ze z dt że z d 2 (ze z dt 2.że z..ṙ Nopeus v ṙ j kiihtyvyys ovt niin ollen v ρe.. ( ρ + ρ φe φ + że z... ρ ρ φ 2 ( e ρ + 2 ρ.... φ + ρ φ e φ +.że z. Pllokoordintisto Pllokoordintistoss pisteen pikk ilmoitetn etäisyytenä r origost, pikkvektorin j z-kselin välisenä korkeuskulmn θ sekä pikkvektorin xy-tsoll olevn projektion j x-kselin välisenä tsimuuttikulmn φ. H I E G H I E G I E B H? I G Kuv 7.7 Pllokoordintit H I E G? I B H L E B L E Kuv 7.8 Pllokoordintiston koordinttikäyrät Pllokoordintiston koordinttikäyrät ovt r-käyrät: origon kutt kulkevt suort. θ-käyrät: origokeskiset ympyrät, joiden hlkisijn on z-kselin suuntiset origokeskiset jnt ( joiden tso on kohtisuorss xy-tso vstn. φ-käyrät: z-kselikeskeiset j sitä vstn kohtisuorss olevt ( xy-tson suuntiset ympyrät. Pllokoordinttien vull lusuttun rdiusvektori on r xi + yj + zk ir sin θ cos φ + jr sin θ sin φ + kr cos θ. Koordinttikäyrien tngenteiksi smme T r r i sin θ cos φ + j sin θ sin φ + k cos θ r T θ r ir cos θ cos φ + jr cos θ sin φ kr sin θ θ T φ r ir sin θ sin φ + jr sin θ cos φ. φ Tngentin T r pituus on T r tngentin T θ pituus sin 2 θ cos 2 φ + sin 2 θ sin 2 φ + cos 2 θ sin 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ + cos 2 θ sin 2 θ + cos 2 θ 1, T θ r cos 2 θ cos 2 φ + cos 2 θ sin 2 φ + sin 2 θ r cos 2 θ(cos 2 φ + sin 2 φ + sin 2 θ r

49 H H j tngentin T φ pituus T φ r sin 2 θ sin 2 φ + sin 2 θ cos 2 φ r sin θ sin 2 φ + cos 2 φ r sin θ. Jkmll tngentit T r, T θ j T φ pituuksilln smme pllokoordintiston kntvektoreiksi e r i sin θ cos φ + j sin θ sin φ + k cos θ e θ i cos θ cos φ + j cos θ sin φ k sin θ e φ i sin φ + j cos φ. G (7.22 Nopeus on nyt Kiihtyvyys ts on. v v d(re r dt ṙe r + rė r ṙe r + r θe.. θ + r φ sin θe φ. d dt (ṙe r + r. θe θ + r. φ sin θe φ.ṙe r + ṙė r +ṙ. θe θ + r.. θe θ + r. θė θ +ṙ. φ sin θe φ + r.. φ sin θe φ +r. θ. φ cos θe φ + r. φ sin θė φ.ṙe r + ṙ. θe θ + ṙ. φ sin θe φ +ṙ. θe θ + r.. θe θ r. θ 2 e r + r. θ. φ cos θe φ B G B +ṙ. φ sin θe φ + r.. φ sin θe φ + r. θ. φ cos θe φ r. φ 2 sin 2 θe r r. φ 2 sin θ cos θe θ (.ṙ r. θ 2 r. φ 2 sin 2 θe r Kuv 7.9 Pllokoordintiston kntvektorit Koordintiston ortogonlisuudest voidn vrmistu lskemll kntvektoreiden väliset pistetulot, esimerkiksi e r e φ (i sin θ cos φ + j sin θ sin φ + k cos θ ( i sin φ + j cos φ sin θ cos φ sin φ + sin θ sin φ cos φ. Pllokoordintistoss pikkvektori voidn kirjoitt muotoon r ir sin θ cos φ + jr sin θ sin φ + kr cos θ r(i sin θ cos φ + j sin θ sin φ + k cos θ. Jälkimmäisen muodon sulkujen sisällä olev luseke on kntvektori e r, joten smme pikkvektorille yksinkertisen esityksen r re r. (7.23 Esim. Nopeus j kiihtyvyys pllokoordintistoss Lsketn nopeus lähtien pikkvektorin esityksestä r re r. Lsketn ensin kntvektoreiden ikderivtt:. e r θ(i. cos θ cos φ + j cos θ sin φ k sin θ +. φ( i sin θ sin φ + j sin θ cos φ θe.. θ + φ sin θe φ. e θ θ( i. sin θ cos φ j sin θ sin φ k cos θ +. φ( i cos θ sin φ + j cos θ cos φ θe.. r + φ cos θe φ.. e φ φ( i cos φ j sin φ. φ sin θe r. φ cos θe θ. +(2ṙ. θ + r.. θ r. φ 2 sin θ cos θe θ +(2ṙ. φ sin θ + 2r. θ. φ cos θ + r.. φ sin θe φ. 7.2 Sklrikentät Jos vruuden (ti jonkin sen os-lueen jokiseen pisteeseen (x, y, z liittyy sklriluku φ(x, y, z, snomme suurett φ sklrikentäksi ti sklrifunktioksi. Grdientti Sklrikentän φ(x, y, z differentili on määritelmän (1.15 mukn dφ φ φ φ dx + dy + x dz. Tämä voidn kirjoitt pistetulomuotoon ( dφ i φ x + j φ + k φ (idx + jdy + kdz. Sklritulon jälkimmäinen vektoritekijä on pikkvektorin r xi + yj + zk differentili dr idx + jdy + kdz. Edellistä vektoritekijää merkitään lyhyesti kuten φ φ x i + φ j + φ k. (7.24 Vektori φ snotn sklrikentän φ grdientiksi. Voimme jtell, että grdientti φ muodostetn operoimll sklrifunktioon φ nblksi kutsutull operttorill i x + j + k. (7.25

50 Näillä merkinnöillä sklrikentän differentili on dφ φ dr. (7.26 Esim. Funktion φ(x, y, z 3x 2 y y 3 z 2 grdientti φ pisteessä (1, 2, 1 Grdientti mielivltisess pisteessä (x, y, z on φ ( i x + j + k (3x 2 y y 3 z 2 i x (3x2 y y 3 z 2 + j (3x2 y y 3 z 2 +k (3x2 y y 3 z 2 6xyi + (3x 2 3y 2 z 2 j 2y 3 zk, joten pisteessä (1, 2, 1 se on φ 6(1( 2i + (3(1 2 3( 2 2 ( 1 2 j 2( 2 3 ( 1k 12i 9j 16k. Lskusääntöjä Lsketn esimerkkinä sklrifunktioiden f j g tulon f g grdientti. Määritelmän mukn on (f g ( i x + j + k (fg i x (fg + j (fg + k (fg ( f i x g + f g ( f + j x g + f g ( f +k g + f g ( g i f x + j f + k f ( +f i g x + j g + k g g f + f g. Näemme, että tulo derivoitess nbl-operttori käyttäytyy tvllisen derivtn tvoin. Kosk vstvn kltinen ominisuus on johdettviss myös summlle, smme säännöt (αφ + βψ α φ + β ψ (φψ ( φψ + φ( ψ, missä α j β ovt vkioit. (7.27 Geometrinen tulkint Sklrikentän φ infinitesimlinen muutos dφ siirryttäessä pisteestä r infinitesimlisen lähellä olevn pisteeseen r + dr oli (7.26 dφ φ dr. Ktsotn nyt, miten tämä muutos riippuu siirtymän suunnst, ts. pidetään differentilisen siirtymän suuruus dr vkion mutt vihdelln sen suunt. Sklritulon ominisuuden (3.11 perusteell voimme kirjoitt dφ φ dr cos θ, missä θ on vektoreiden φ j dr välinen kulm. Differentili dφ on siten suurimmilln silloin kun cos θ on suurimmilln eli +1. Tämä ts tphtuu silloin kun θ eli silloin kun dr j φ ovt yhdensuuntiset. Siis siirryttäessä grdientin suuntn muutos dφ on suurimmilln ti sklrifunktion grdientti osoitt funktion nopeimmin ksvvn suuntn. Esim. Kentän φ (1 x 2 (2 y 2 grdientti pisteessä (,, Grdientti on φ ( i x + j + k ( (1 x 2 (2 y 2 2(1 xi + 2(2 yj + k 2i + 4j. Pisteessä (,, lskettu grdientti osoit siis vektorin 2i + 4j suuntn. Toislt myös jokinen muoto λ φ λ(2i + 4j, λ >, olev vektori osoitt smn suuntn. Negtiivisten neliöllisten termien (1 x 2 j (2 y 2 summn kenttä φ on in ei-positiivinen j suurimmilln. Tämän mksimirvons kenttä s, kun x 1 j y 2. Vlitsemll λ 1/2 lusekkeess λ φ nähdään, että origoss lskettu grdientti osoitt tähän pisteeseen. Trkstelln kolmen (khden muuttujn sklrikenttää φ(x, y, z (φ(x, y. Yhtälö φ(x, y, z C vkio (φ(x, y C määrää vruudess sen pinnn (käyrän, joll kentän rvo φ pysyy vkion C. Näitä pintoj (käyriä snotn kentän ts-rvopinnoiksi (-käyriksi. Differentioidn ts-rvopinnn (-käyrän yhtälö puolittin, jolloin sdn dφ φ dr dc. Tässä on tärkeää huomt, että differentili dr muodostettess on pidettävä pinnn (käyrän yhtälö voimss eli differentilin dr on oltv ko. pinnll (käyrällä. Ts-rvopinnll (-käyrällä on siis voimss φ dr, eli grdientti on kohtisuorss ts-rvopint (-käyrää vstn. iemmin näimme, että grdientti osoitti kentän nopeimmin ksvvn suuntn, joten funktio ksv nopeimmin suuntn, jok on kohtisuorss ts-rvopint (-käyrää vstn. Esim. Pinnn 2xz 2 3xy 4x 7 pisteen (1, 1, 2 kutt kulkev tngenttitso Todetn ensin, että piste (1, 1, 2 on todellkin pinnll: 2(1(2 2 3(1( 1 4(

51 Eräs pinnn 2xz 2 3xy 4x 7 pisteeseen (1, 1, 2 setettu normli on N (2xz 2 3xy 4x (2z 2 3y 4i 3xj + 4xzk (2(2 2 3( 1 4i 3(1j + 4(1(2k 7i 3j + 8k. Tngenttitson pisteestä r (1, 1, 2 i j + 2k tson pisteeseen r suuntutuneen vektorin r r täytyy oll kohtisuorss normli N vstn, ts. (r r N ((x 1i + (y + 1j + (z 2k (7i 3j + 8k 7x 3y + 8z Kysytty tngenttitson yhtälö on siten 7x 3y + 8z 26. Esim. Lämpötiln T (x, y, z muutos Trkstelln lämpötil lähekkäisissä pisteissä P (x, y, z j Q (x + x, y + y, z + z. Siirryttäessä pisteestä P pisteeseen Q lämpötiln muutos on T T (x + x, y + y, z + z T (x, y, z. Olkoon s pisteiden P j Q välinen etäisyys. Lämpötiln keskimääräinen pituusyksikköä kohti lskettu muutos on niin ollen T s T (x + x, y + y, z + z T (x, y, z. s nnetn nyt etäisyyden s mennä infinitesimliseksi, jolloin myös koordinttisiirtymät x, y j z tulevt infinitesimlisen pieniksi. Tällöin lämpötiln muutos on T T T T x + y + x z. Muutos pituusyksikköä kohti on silloin T lim s s dt ds ( T x lim s x s + T T x x s + T s + T s ( T x i + T j + T k ( x s i + s j + s k T dr ds. y s + T Kosk infinitesimlinen etäisyys on ds dr, on ds 2 dr dr j dr ds dr ds 1. z s Vektori dr ds on niin ollen yksikön mittinen siirtymän dr suuntinen vektori. Voimme siis sno, että dt ds T n, n 1 on pituusyksikköä kohti lskettu lämpötiln muutos siirryttäessä suuntn n. Suunnttu derivtt Edellisestä esimerkistä yleistäen voimme todet, että sklrikentän φ muutos pituusyksikköä kohti suunnss n, n 1, on φ n. Snomme, että suure n φ φ n, n 1 (7.28 on funktion φ suunnttu derivtt (suuntn n. Kuten olemme nähneet, suunnttu derivtt on suurimmilln grdientin suunnss. Esim. Funktion φ x 2 yz + 4xz 2 derivtt pisteessä (1, 2, 1 suuntn 2i j 2k Grdientti pisteessä (1, 2, 1 on φ (2xyz + 4z 2 i + x 2 zj + (x 2 y + 8xzk (2(1( 2( 1 + 4( 1 2 i +(1 2 ( 1j + ((1 2 ( 2 + 8(1( 1k 8i j 1k. Vektorin 2i j 2k suuntinen yksikkövektori on 2i j 2k i 1 3 j 2 3 k. Tähän suuntn lskettu derivtt on φ φ (8i j 1k ( 2 3 i 1 3 j 2 3 k käyräviivisiss koordinteiss Kun krteesisen xyz-koordintiston pikk r ilmistiin käyräviivisten uvw-koordinttien vull muodoss r r(u, v, w, stiin (ks. kvt (7.13 uvw-koordintiston yksikkövektoreiksi e u r / r u u, e v r / r v v, e w r / r w w. Merkitään tngenttien pituuksi kuten h u r u, h v r v, h w r w. (7.29 Sklrifunktion φ grdientti uvw-koordintistoss lusuttun on φ f u e u + f v e v + f w e w

52 @ O N j differentili dr ts dr r r r + dv + u v w dw h u e u + h v e v dv + h w e w dw. Kun oletmme koordintistomme olevn suorkulmisen smme Jos nesteen msstiheys on ρ (kg/m 3, mssvirttiheys µ ((kg/m 3 (m/skg/(m 2 s pisteessä r on µ ρv. dφ φ dr h u f u + h v f v dv + h w f w dw. N Toislt pitämällä kenttää φ muuttujien u, v j w funktion voimme smn differentilin kirjoitt myös muodoss dφ φ u φ φ + dv + v w dw. settmll molemmt lusekkeet yhtäsuuriksi smme reltiot f u 1 h u φ u, f v 1 h v φ v, f w 1 h w φ w. Smme grdientille lusekkeen φ e u h u φ u + e v h v φ v + e w h w φ w. Voimme myös sno, että uvw-koordintistoss operttori on e u h u u + e v h v v + e w h w w. (7.3 Esim. pllokoordinteiss Pllokoordintistoss tngenttien r r,... pituudet ovt (ks. kvt (7.22 j niiden johto Operttori on siten h r 1, h θ r, h φ r sin θ. e r h r r + e θ h θ e r r + e θ r θ + e φ h φ θ + φ e φ r sin θ φ. 7.3 Vektorikentät Kun vruuden (ti jonkin os-lueen jokiseen pisteeseen liittyy vektori, snomme, että kyseessä on vektorikenttä. Esimerkiksi sähkö- j mgneettikentät sekä virtvn nesteen j ksun nopeudet ovt vektorikenttiä Divergenssi Ktsotn esimerkkinä nesteen virtust. Jokisess vruuden pisteessä (jttelemme nestettä jtkuvsti jkutuneen ineen unohten sen tomrisen rkenteen r (x, y, z neste virt pikst riippuvll nopeudell v v(r v x (x, y, zi + v y (x, y, zj + v z (x, y, zk. N O N Kuv 7.1 Divergenssin tulkint Ktsotn, mitä mssvirrlle tphtuu pisteen r infinitesimlisess ympäristössä. Kuvitelln tätä trkoitust vrten ko. piste sijoitetuksi sellisen suorkulmisen särmiön keskelle, jonk särmien pituudet ovt dx, dy j dz. Virt µ tuo särmiön pohjn kutt mteri virttiheydellä µ z (x, y, z dz/2, joten kiken kikkin pohjn läpi virt ikyksikössä särmiöön mteri määrä µ z (x, y, z dz/2dx dy (kg/s. Vstvsti knnen läpi poistuu ikyksikössä mterimäärä µ z (x, y, z + dz/2dx dy. Näiden virtusten seuruksen särmiön nestemäärän vähenemä ikyksikössä on dm z µ z (x, y, z + dz/2dx dy µ z (x, y, z dz/2dx dy [ µ z (x, y, z + µ ] z(x, y, z dz dx dy 2 [ µ z (x, y, z + µ ( z(x, y, z dz ] dx dy 2 µ z dx dy dz. Differentilien tulo dx dy dz on infinitesimlisen särmiömme (infinitesimlinen tilvuus dv dx dy dz. Pohjn j pinnn läpi suuntutuvien virtusten iheuttm mssn nettomuutos (nettopoistum ikyksikössä tilvuudess dv on siten dm z µ z dv. Vstv lsku osoitt, että xz- j yz-suuntisten pintojen läpi kulkevt virrt iheuttvt ikyksikössä nettopoistumt dm y µ y dv dm x µ x x dv.

53 Mssn kokonismuutos ikyksikössä tilvuuslkioss dv on siten dm dm x + dm y + dm z ( µx x + µ y + µ z dv. Vektorimerkintää käyttäen voimme kirjoitt tämän muotoon ( dm i x + j + k (µ x i + µ y j + µ z kdv. Kun huommme, että sklritulon ensimmäinen tekijä on operttori, smme tämän kompktimpn muotoon dm µ dv. Msstieyden muutos dm/dv pisteessä (x, y, z voi iheutu mm. siitä, että dm/dv µ neste puristuu kokoon ti ljenee, jolloin ρ t, ko. pisteeseen ruiskutetn lisää nestettä eli pisteessä on lähde ti ko. pisteestä poistetn nestettä eli pisteessä on nielu. Msstiheyden muutos (pienennys voidn siten ilmist khden termin summn dm/dv ρ t + ψ, missä jälkimmäinen termi ψ kuv nielujen j lähteiden vikutust. Näin olemme johtneet nesteiden (j ksujen virtust hllitsevn kontinuiteettiyhtälön (ρv + ρ ψ, (7.31 t muisten, että mssvirttiheys oli µ ρv. Kontinuiteettiyhtälössä esiintyvää suurett µ snotn vektorikentän µ divergenssiksi. Olip F mikä thns (differentioituv vektorikenttä, sen divergenssi F on siis ( F i x + j + k (F x i + F y j + F z k Fx x + Fy + Fz. (7.32 Smnkltinen trkstelu kuin kontinuiteettiyhtälön (7.31 tpuksess kertoo, että divergenssi F kuv kentän vuotiheyden muutost trkstelupisteen ympäristössä. Esim. pisteessä (1, 1, 1, kun x 2 zi 2y 3 z 2 j + xy 2 zk Nyt ( i x + j + k (x 2 zi 2y 3 z 2 j + xy 2 zk x (x2 z + ( 2y3 z 2 + (xy2 z 2xz 6y 2 z 2 + xy 2 2(1(1 6( 1 2 (1 2 + (1( Esim. φ, kun φ 2x 3 y 2 z 4 Merkintä φ on tulkittv mielekkäällä tvll: viitt siihen, että kyseessä on divergenssi j divergenssi kohdistuu in vektoriin. Siispä lskemme ensin grdientin φ ( i x + j + k (2x 3 y 2 z 4 i x (2x3 y 2 z 4 + j (2x3 y 2 z 4 +k (2x3 y 2 z 4 6x 2 y 2 z 4 i + 4x 3 yz 4 j + 8x 3 y 2 z 3 k j sitten tämän divergenssin ( φ i x + j + k (6x 2 y 2 z 4 i + 4x 3 yz 4 j + 8x 3 y 2 z 3 k x (6x2 y 2 z 4 + (4x3 yz 4 + (8x3 y 2 z 3 12xy 2 z 4 + 4x 3 z x 3 y 2 z 2. Toislt voisimme lusekkeess φ tulkit osn operttoreiden sklrituloksi ( i x + j + k ( i x + j + k ( + ( + ( x x 2 x j sovelt tätä operttori sklrikenttään ( 2 ( φ x (2x 3 y 2 z 4 2 x 2 (2x3 y 2 z (2x3 y 2 z (2x3 y 2 z 4 12xy 2 z 4 + 4x 3 z x 3 y 2 z 2. inkin tässä tpuksess on siis voimss ( φ ( φ. Suorviivinen lsku (kotitehtävä näyttää, että olip φ mikä thns (differentioituv funktio, niin in on voimss ( φ ( φ. (7.33 Operttorin sklritulost itsensä knss,, käytetään vstvnlist merkintää kuin vektorinkin sklritulost itsensä knss, ts. merkitään 2. Operttori 2 2 x (7.34

54 snotn Lplcen operttoriksi. Divergenssiin liittyvät lskusäännöt esitämme myöhemmin yhdessä kikkien muiden -opertioiden sääntöjen knss. Ktsotn kuitenkin esimerkkinä vektorikentän φf divergenssiä, kun φ on mielivltinen (differentioituv sklrikenttä. Ktsotn kentän x-komponentti, jonk osuus divergenssistä on x (φf x ( φ x F x + φ ( Fx x. Kun lskemme vstvt lusekkeet muille kentän komponenteille, smme divergenssiksi (φf x (φf x + (φf y + (φf z ( ( ( φ φ φ F x + F y + F z x ( ( ( Fx Fy Fz +φ + φ + φ x ( φ F + φ( F. Divergenssi j Lplcen operttori käyräviivisiss koordinteiss Ktsotn esimerkkinä pllokoordintisto. iemmin johdimme (kv (7.3 j sitä seurv esimerkki -operttorille lusekkeen e r r + e θ r θ + e φ r sin θ φ. Kun sovellmme tätä operttori pllokoordintistoss ilmistuun vektoriin F F r e r + F θ e θ + F φ e φ, on muistettv, että kntvektorit (7.22 e r i sin θ cos φ + j sin θ sin φ + k cos θ e θ i cos θ cos φ + j cos θ sin φ k sin θ e φ i sin φ + j cos φ. riippuvt koordinteist r, θ j φ. Divergenssiä lskiessmme joumme käsittelemään termin (F r e r kltisi lusekkeit. Äsken johtmmme tuloksen mukn tämä on (F r e r ( F r e r + F r ( e r. Jälkimmäisen kltisten termien lskemiseksi trvitsemme kntvektoreiden osittisderivtt koordinttien suhteen: e r r e r θ e θ θ e φ θ e θ r e φ r i cos θ cos φ + j cos θ sin φ k sin θ e θ i sin θ cos φ j sin θ sin φ k cos θ e r e r φ e θ φ e φ φ i sin θ sin φ + j sin θ cos φ sin θe φ i cos θ sin φ + j cos θ cos φ cos θe φ i cos φ j sin φ sin θe r cos θe θ. Kntvektorin e r divergenssiksi smme ( e r e r r + e θ r θ + e φ r sin θ φ e r e r e r r + e θ r e r θ + e φ r sin θ e r φ + 1 r + 1 r 2 r. Vstvsti muiden kntvektoreiden divergenssit ovt Tällöin divergenssissä e θ cos θ r sin θ e φ. (F r e r ( F r e r + F r ( e r koordintiston ortogonlisuudest johtuen oiken puolen ensimmäisessä termissä sklritulo poimii grdientist vin vektorin e r suuntisen komponentin Fr r eli smme (F r e r F r r + F 2 r r 1 ( r 2 r 2 F r. r Muut divergenssissä esiintyvät termit ovt vstvsti (F θ e θ (F φ e φ 1 r sin θ θ (F θ sin θ 1 F φ r sin θ φ. Kiken kikkin divergenssi pllokoordintistoss on siis kolmen viimeksi lsketun termin summ eli F 1 r 2 ( r 2 1 F r + r r sin θ θ (F θ sin θ + 1 F φ r sin θ φ. Smll tvoin voisimme myös lske vektorin divergenssin 2 j sisimme lusekkeen 2 1 ( r 2 r 2 ( 1 + r r r 2 sin 2 sin 2 θ θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2. Lplcen operttorille pllokoordintistoss. Sylinterikoordintistoss grdientti, divergenssi j Lplcen operttori voidn ilmist kuten e ρ ρ + e 1 φ ρ F 1 ρ ρ (ρf ρ + 1 ρ 2 1 ( ρ ρ ρ ρ φ + e z F φ φ + F z + 1 ρ 2 2 φ

55 O N N O Roottori Trkstelln jälleen ρ-tiheyksisen nesteen virtust. Kun virtusnopeus pisteessä r (x, y, z on v(r on µ ρv mssvirttiheys tässä pisteessä. Tutkitn tällä kert, miten pyörteellistä virtus on. Ktsotn esimerkkinä pisteen (x, y, z ympäri kiertyvää virtust. Lsketn erikseen nettokiertymät kunkin koordinttitson suuntisiss virtuksiss, esimerkkinä xy-tson suuntinen tso. N O N O N O N O Kuv 7.11 Virtuksen kiertymä Kuvitelln piste (x, y, z (kuvss z-koordintti ei ole merkitty sijoitetuksi tässä tsoss dx dy-sivuisen suorkiteen keskelle. Suorkiteen llidll kokonisvirtus positiiviseen kiertosuuntn on µ x (x, y dy/2, zdx, oikenpuoleist lidll µ y (x + dx/2, y, zdy, ylälidll µ x (x, y + dy/2, zdx j vsemmnpuoleisell lidll µ y (x dx/2, y, zdy. z-kselin ympäri kiertyvä kokonisvirtus ds z (kg/(ms on näiden neljän termin summ ds z µ x (x, y dy/2, zdx + µ y (x + dx/2, y, zdy N O µ x (x, y + dy/2, zdx µ y (x dx/2, y, zdy [µ y (x + dx/2, y, z µ y (x dx/2, y, z] dy [µ x (x, y + dy/2, z µ x (x, y dy/2, z] dx µ y x dx dy µ x dy dx [ µy x µ ] x dx dy. (7.35 Jkmll tämä suorkiteen pint-lll dx dy smme z-kselin ympäri ikyksikössä kiertyväksi msstiheydeksi s z ds z dx dy µ y x µ x. Menettelemme smoin kuin kulmnopeuden tpuksess j muodostmme pyörteisyydeksi snotun vektorisuureen s z, jonk pituus ilmoitt ikyksikössä kiertyvän msstiheyden määrän j suunt kiertokselin, ts. s z s z k [ µy x µ x ] k. Vstvsti x- j y-kseleiden suuntiset pyörteisyydet ovt [ µz s x µ ] y i s y [ µx µ ] z j. x Vektoreiden s x, s y j s z resultntin s pituus kertoo silloin pisteeseen (x, y, z setetun resultnttivektorin ympäri ikyksikössä kiertyvän msstiheyden kokonismäärän. Virtuskentän pyörteisyys on siis s [ µz µ ] y i + [ µy + x µ ] x k. Ktsotn determinntti i j k x µ x µ y µ z, [ µx µ z x ] j jonk ylimmmällä vkrivillä ovt yksikkövektorit, keskimmäisellä rivillä osittisderivttoperttorit j limmll rivillä mssvirttiheyden komponentit. Kehitetään tämä determintti ylimmän rivin mukn, jolloin i j k x i µ x µ y µ z µ y µ z j x µ x µ z +k x µ x µ y [ µz µ ] y i [ µy + x µ ] x k. [ µz x µ ] x j Näemme, että tämä yhtyy pyörteisyyden s lusekkeeseemme. Toislt voimme tulkit determinntin siten, että se esittää operttorin j vektorikentän µ ristitulo, ts. s µ. Olip nyt F mikä thns (differentioituv vektorikenttä. Smoin kuin virtvn nesteen tpuksess voimme muodost suureen i j k F x F x F y F z. (7.36 Suurett F snotn kentän F roottoriksi. Kuten näimme, roottori kuv kentän pyörteisyyttä. Jos roottori häviää, ts. F, snomme kentän olevn pyörteetön. Mekniikss pyörteetöntä voimkenttää snotn konservtiiviseksi. Esim. pisteessä (1 1, 1, kun xz 3 i 2x 2 yzj + 2yz 4 k Nyt ( x i + j + k

56 (xz 3 i 2x 2 yzj + 2yz 4 k i j k x xz 3 2x 2 yz 2yz 4 [ (2yz4 ] ( 2x2 yz i [ x (2yz4 ] (xz3 j [ + x ( 2x2 yz ] (xz3 k (2z 4 + 2x 2 yi + 3xz 2 j 4xyzk (2( (1 2 ( 1i + 3(1(1 2 j 4(1( 1(1k 3j + 4k. Esim. (, kun x 2 yi 2xzj + 2yzk Nyt i j k ( x x 2 y 2xz 2yz [(2x + 2zi (x 2 + 2zk] i j k x 2x + 2z x 2 2z (2x + 2j. Myös roottoriin liittyy useit lskusääntöjä. Ktsotn esimerkkinä ristitulon roottori ( B i j k x ( B x ( B y ( B z. Tämän x-komponentti on ( ( B x ( B z ( B y ( xb y y B x ( zb x x B z x B B y y + x y B B x x y z B B x x z + x B z + x B z. Ryhmitellään termejä uudelleen kuten x ( ( B x B y + B x z y B x B z x B y + x + B z x B x y B x z x B y + B x z + B x x x y B x B z x B x x x B y + x + B z x + B x x x B x y B x z B x x x (B x B x ( ( B x + x ( B. Vstvt lusekkeet sdn muillekin komponenteille, joten kiken kikkin on ( B (B B( ( B + ( B. Esim. v, kun v ω r j ω on vkio Vektorin ω vkioisuudest johtuen kikki siihen kohdistuvt derivoinnit ntvt tulokseksi nolln. Edellä johdetun ominisuuden perusteell on v (ω r (r ω r( ω (ω r + ω( r (ω x x + ω y + ω z (xi + yj + zk [( +ω i x + j + k ] (xi + yj + zk ω x i ω y j ω z k + 3ω 2ω. Näemme, että tsisen ympyräliikkeen kulmnopeus on kun v on linerinen nopeus. ω 1 2 v, 7.4 Derivointiopertioiden ominisuuksi Kerätään derivointiin liittyvien operttorien d j liittyviä lskusääntöjä j muit ominisuuksi tulukoiksi. Lskusääntöjä Olkoot, B j C differentioituvi vektorikenttiä j φ j ψ differentioituvi sklrikenttiä. 1. d d ( + B + db

57 d db ( B + d B d db ( B + d B d (φ φd + dφ d d ( B C B dc [ (B C] ( B dc + 7. (φ + ψ φ + ψ 8. (φψ φ ψ + ( φψ 9. ( + B + B 1. ( + B + B 11. (φ ( φ + φ( 12. (φ ( φ + φ( db d + C+ B C ( db C + d (B C 13. ( B B ( ( B 14. ( B (B B( ( B+( B 15. ( B (B + ( B + B ( + ( B 16. ( φ 2 φ 2 φ + 2 φ + 2 φ x ( φ 18. ( 19. ( ( 2 Monill luetelluist ominisuuksist on tärkeä fysiklinen merkitys. Esimerkiksi uset fysiikn voimkentät, mm. sähkökenttä j pinovoimkenttä sdn muodostmll sklrisen potentilin grdientti. Ominisuuden 17 perusteell tälläinen voimkenttä on pyörteetön eli konservtiivinen. Konservtiivisuus ts trkoitt esim. sitä, että siirrettäessä kpplett pikst toiseen tehty työ riippuu inostn lku- j loppupisteistä mutt ei siirtotiestä. Sylinterikoordintisto Muunnoskvt Grdientti Divergenssi ψ ψ e ρ ρ + e 1 ψ φ ρ φ + e ψ z. 1 ρ ρ (ρ ρ + 1 ρ Lplcen operttori 2 ψ 1 ρ ρ Pllokoordintisto Muunnoskvt Kntvektorit Grdientti Divergenssi ( ρ ψ ρ φ φ + z. + 1 ρ 2 2 ψ φ ψ 2. x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ. e r i sin θ cos φ + j sin θ sin φ + k cos θ e θ i cos θ cos φ + j cos θ sin φ k sin θ e φ i sin φ + j cos φ. ψ ψ e r r + e θ ψ r θ + e φ ψ r sin θ φ. 1 ( r 2 1 r 2 r + r + 1 r sin θ Lplcen operttori 2 ψ 1 r 2 r ( r 2 ψ r φ φ ψ + r 2 sin 2 θ φ 2. r sin θ 1 r 2 sin 2 θ θ ( θ sin θ ( sin 2 θ ψ θ θ x ρ cos φ y ρ sin φ z z. Kntvektorit e ρ i cos φ + j sin φ e φ i sin φ + j cos φ e z k.

58 H 8. Vektori-integrointi 8.1 Yhden muuttujn vektorit Olkoon F(u F x (ui + F y (uj + F z (uk jokin prmetrist u riippuv vektori. Vektorin F integrli on tällöin F(u i F x (u + j F y (u +k F z (u. Jos vektorifunktio S(u on funktion F(u jokin integrlifunktio eli toteutt ehdon niin on d S(u F(u, F(u S(u + C, missä C on mielivltinen vkiovektori. Kuten sklrifunktioidenkin tpuksess on vektorifunktion määrätty integrli lusuttviss integrlifunktion S vull muodoss b (8.1 F(u / b S(u S(b S(. (8.2 Esim. 2 1 R(u, kun R(u (u u2 i + 2u 3 j 3k Etsitään ensin vektorin R(u integrlifunktio: R(u [(u u 2 i + 2u 3 j 3k] i (u u 2 + j 2u 3 +k ( 3 ( 1 i 2 u2 1 ( 2 3 u3 + C x + j 4 u4 + C y +k( 3u + C z ( u 2 2 u3 i + u4 j 3uk + C, 3 2 missä C C x i + C y j + C z k on integrointivkioiden muodostm vektori. Määrätty integrli sdn nyt sijoituksell 2 1 R(u 2/ [( u u3 3 ] i + u4 2 j 3uk + C [( ] i j 3(2k + C [( ] i j 3(1k + C 5 6 i j 3k. Esim. Hiukksen nopeus v j pikk r hetkellä t, kun kiihtyvyys on v. 12 cos 2ti 8 sin 2tj + 16tk j sekä v että r ovt nolli hetkellä t Kiihtyvyyden integrointi nt nopeudeksi v i 12 cos 2t dt + j ( 8 sin 2t dt +k 16t dt 6 sin 2ti + 4 cos 2tj + 8t 2 k + C 1. lkuehdon mukisesti pitää oll v( i + 4j + k + C 1, joten C 1 4j. Nopeus on siis v 6 sin 2ti + (4 cos 2t 4j + 8t 2 k. Integroimll nopeuden smme hiukksen pikksi r i 6 sin 2t dt + j (4 cos 2t 4 dt +k 8t 2 dt 3 cos 2ti + (2 sin 2t 4tj t3 k + C 2. lkuehto r( kuuluu nyt 3i + j + k + C 2, joten C 2 3i. Hiukksen pikk on siis r (3 3 cos 2ti + (2 sin 2t 4tj t3 k. 8.2 Polkuintegrli Oletetn, että vektorifunktio F(r on määritelty pisteitä j B yhdistävällä käyrällä C, jonk piirtää pikkvektori H r r(u x(ui + y(uj + z(uk. * H K Kuv 8.1 Polkuintegrli H > Oletmme edelleen, että (kuvn mukisesti pistettä vst pikkvektori r( j pistettä B pikkvektori r(b. Käyrällä C lskettu differentili dr on dr idx + jdy + kdz dr

59 * j osoitt, kuten iemmin olemme nähneet (ks. (7.4, käyrän tngentin suuntn. Polku- eli viivintegrlill F dr trkoitetn tvllist yksiulotteist integrli C F(r dr (F x dx + F y dy + F z dz (8.3 C b ( dx(u F x + F dy(u y + F z dz(u. Geometrisesti viivintegrli F dr trkoitt vektorin C F käyrän C tngentin suuntisten projektioiden summ. Integrointitiellä on määrätty suunt: kusskin käyrän pisteessä etenemissuunt on sm kuin käyrällä lsketun differentilin suunt. Kun siis tien C kuvj on r r(u, niin integrointi etenee prmetrin u ksvvn suuntn. Jos nyt C on muuten sm käyrä kuin C mutt suunnltn päinvstinen, niin näemme että F dr F dr, (8.4 C sillä käyrällä C lskettu differentili on vstkkisuuntinen käyrällä C lsketulle differentilille. H H > > + H K + H > K Kuv 8.2 Suunnn vihto C H > H > Kuvss integroinnin lku- j loppupisteitä yhdistävä tie on C : r(u. Kuvn mukisesti pistettä vst pikkvektori r( j pistettä B pikkvektori r(b. Jos nyt > b, niin käyrän j siis integroinnin suunt on pisteestä pisteeseen B. Integroinnin suunnn kääntö voidn toteutt helposti esimerkiksi vihtmll prmetri u käyrän C kuvjss prmetriksi + b u, ts. käännettyä integrointisuunt vstv tie on C : p(u r( + b u. Vielä selvemmäksi geometrinen merkitys käy, kun kirjoitmme differentilin dr muotoon dr T(r ds. Tässä T on käyrän yksikkötngentti j s käyrän kren pituus (mitttun jostkin pisteestä. Polkuintegrliss esiintyvä sklritulo on tällöin F(r dr F(r T(r cos θ ds F (r cos θ ds, missä θ on vektorin F j integrointitien tngentin välinen kulm. Viivintegrli sdn nyt muotoon F(r dr F (r cos θ ds. C Tästä muodost nähdään esimerkiksi, että vektorin F olless msspisteeseen vikuttv voim trkoitt C viivintegrli tehtyä työtä siirrettäessä msspistettä pitkin käyrää C. Esim. Integrli F dr pitkin xy-tson käyrää y 2x2 C pisteestä (, pisteeseen (1, 2, kun F 3xyi y 2 j Prmetrisoidn käyrä C siten, että x t j y 2t 2. Tällöin lkupisteessä t j loppupisteessä t 1. Differentili dr on dr dx i + dy j ( i dx dt + jdy dt dt (i + 4tjdt. Polkuintegrli on siis F dr (3xyi y 2 j (dx i + dy j C C 1 1 (3(t(2t 2 i (2t 2 2 j (i + 4tjdt (6t 3 16t 5 dt [ ] [] / [ 6 4 t4 16 ] 6 t6 Käyrää prmetrisoivksi muuttujksi voidn usein ott jokin muuttujist x, y ti z. Esimerkiksi xy-tson käyrät esitetään monesti muodoss y y(x. Esim. Integrli F dr pitkin xy-tson käyrää y 2x2 C pisteestä (, pisteeseen (1, 2, kun F 3xyi y 2 j Otetn käyrää C prmetrisoivksi muuttujksi x, jolloin y 2x 2. lkupisteessä x j loppupisteessä x 1. Differentili dr on dr dx i + dy j dx i + j dy dx dx (i + 4xjdx. Polkuintegrli on siis F dr (3xyi y 2 j (dx i + dy j C C 1 1 (3x(2x 2 i (2x 2 2 j (i + 4xjdx (6x 3 16x 5 dx [ ] [] / [ 6 4 x4 16 ] 6 x6 Esim. Tehty työ siirrettäessä kpple xy-tsoss pisteestä (, pisteeseen B (2, 1, kun kppleeseen vikuttv voim on F xyi y 2 j Nyt F dr (xyi y 2 j (dx i + dy j xy dx y 2 dy.

60 * * Tehty työ on W C F dr Otetn integrointitieksi suor jolloin C y 1 2 x, dy 1 2 dx. O N Kuv 8.3 Integrointitie Tehty työ on nyt W C 2 (xy dx y 2 dy. (xy dx y 2 dy [ x 1 ( ] x dx 2 x 1 2 dx x2 dx 2/ x b Integroidn ensin pitkin y-kseli pisteestä (, pisteeseen (, 1 j sitten x-kselin suuntisesti pisteestä (, 1 pisteeseen (2, 1. Konservtiiviset kentät Edellisen esimerkin tpuksess tehty työ riippui siirtoreitistä. Toislt hyvin moniss kiinnostviss fysiklisiss syteemeissä työ riippuu inostn siirroksen lku- j loppupisteistä mutt ei linkn näitä pisteitä yhdistävästä reitistä. Tällöin siis pisteitä P 1 j P 2 yhdistävää käyrää myöten lskettu voimn F polkuintegrli W P2 P 1 F dr on tiestä riippumton j voimkentän F snotn olevn konservtiivinen. Oletetn nyt, että kenttä F on konservtiivinen. Silloin pisteitä P 1 (x 1, y 1, z 1 j P (x, y, z yhdistävää tietä myöten lskettu viivintegrli φ(x, y, z (x,y,z (x 1,y 1,z 1 F dr määrittelee yksikäsitteisesti integrointitiestä riippumttomn j vin integroinnin loppupisteestä (pidetään lkupistettä kiinnitettynä riippuvn sklrikentän φ. Olkoon r u(t jokin sellinen pisteitä P 1 j P yhdistävä käyrä, että Tällä käyrällä on (x 1, y 1, z 1 u(t 1 j (x, y, z u(t. dr dt dt, joten tätä käyrää myöten lskettun kentän φ rvoksi sdn t φ(x, y, z F t 1 dt dt. Kentän φ rgumenttej voidn näin pitää integrointimuuttujn t funktioin. Tällöin ensinnäkin integrlifunktion määritelmän (2.13 mukn on dφ dt F dt. Kuv 8.4 Integrointitie b Reitillä (, (, 1 on x j dx. Reitillä (, 1 (2, 1 ts on y 1 j dy. Työ on siten W b 1 y 2 + 1/ ((y( y 2 dy x ( y3 3 (x(1dx (1( + 2/ x Toiseksi, kosk kentän φ differentili käyrällä r u(t on kvn (7.26 mukisesti dφ φ, derivtt prmetrin t suhteen on kirjoitettviss myös muotoon dφ φ dt dt. Näemme siis, että kenttä φ toteutt ehdon ti φ dt F dt ( φ F dt.

61 Kosk u(t oli mielivltinen pisteitä P 1 j P yhdistävä käyrä, täytyy oll F φ. Konservtiivinen kenttä on siis esitettävissä jonkin sklrikentän grdienttin. Oletetn nyt, että vektorikenttä F on sklrikentän φ grdientti, ts. F φ. Lsketn pisteestä P 1 pisteeseen P 2 pitkin käyrää C polkuintegrli W P2 P 1 F dr P2 Sklrifunktion φ differentili on P 1 dφ(x, y, z φ dr, joten työ W on kirjoitettviss muotoon Olkoon nyt W P2 P 1 r r(t dφ. sellinen käyrän C prmetriesitys, että φ dr. (x 1, y 1, z 1 r(t 1 j (x 2, y 2, z 2 r(t 2. Tällä käyrällä kenttä φ s rvot φ(x(t, y(t, z(t eli voimme pitää käyrällä kenttää yhden muuttujn t funktion ψ(t φ(x(t, y(t, z(t. Käyrällä lskettu differentili on dφ dψ(t dψ(t dt, dt eli pitkin käyrää C tehty työ on nyt W P2 P 1 dφ t2 t 1 dψ(t dt dt t2 / t 1 ψ(t ψ(t 2 ψ(t 1 φ(x 2, y 2, z 2 φ(x 1, y 1, z 1. Integrlin rvo riippuu näin ollen inostn päätepisteistä eikä linkn vlitust integrointitiestä. Olemme johtneet luseen Integrli P 2 P 1 F dr on riippumton integrointitiestä (ts. F on konservtiivinen jos j vin jos kenttä F on esitettävissä jonkin sklrifunktion φ grdienttin F φ. Eräs operttoriin liittyvä ominisuus oli ( φ olip φ mikä thns sklrikenttä. Jos siis kenttä F on konservtiivinen j siten ilmistviss jonkin sklrikentän grdienttin, sen roottori häviää: F. Oletetn nyt että kentän F roottori on noll, ts. i j k F x F x F y F z ( Fz F ( y Fx i + F z j x ( Fy + x F x k. Kentän komponenttien osittisderivtt toteuttvt siis ehdot F z F y, F x F z x j F y x F x. Lsketn viivintegrli F dr (F x dx + F y dy + F z dz C C pisteestä P 1 (x 1, y 1, z 1 pisteeseen P (x, y, z pitkin käyrää C. Vlitn erikoisesti täksi käyräksi koordinttikselien suuntiset viivsegmentit pisteestä (x 1, y 1, z 1 pisteeseen (x, y 1, y 2, siitä pisteeseen (x, y, z 1 j tästä lopuksi pisteeseen (x, y, z. Olkoon φ(x, y, z tätä käyrää myöten lskettu viivintegrlin rvo, ts. φ(x, y, z x + + x 1 F x (x, y 1, z 1 dx y y 1 F y (x, y, z 1 dy z z 1 F z (x, y, zdz. Tästä esityksestä funktion φ osittisderivtksi muuttujn z suhteen sdn φ F z(x, y, z. Muuttujn y suhteen osittisderivtt on φ F y (x, y, z 1 + F y (x, y, z 1 + z F z (x, y, z dz z 1 F y (x, y, z dz z 1 z F y (x, y, z 1 + z / z 1 F y (x, y, z F y (x, y, z 1 + F y (x, y, z F y (x, y, z 1 F y (x, y, z, missä olemme käyttäneet hyväksi roottorin häviämisestä seurnneit ehtoj. Funktion φ osittisderivtt muuttujn x suhteen on φ x F x(x, y 1, z z y F z (x, y, z dz z 1 x F y (x, y, z 1 y 1 x dy

62 y F x (x, y 1, z 1 + z + F x (x, y, z z 1 F x (x, y, z 1 y 1 dz F x (x, y 1, z 1 + y / y 1 F x (x, y, z 1 + z / z 1 F x (x, y, z F x (x, y 1, z 1 + F x (x, y, z 1 F x (x, y 1, z 1 +F x (x, y, z F (x, y, z 1 F x (x, y, z, missä jälleen olemme käyttäneet osittisderivttojen välisiä ehtoj. Kenttä F voidn siis kirjoitt muodoss F φ x i + φ j + φ k φ. Sklrikentän grdienttin kenttä F on siten edellisen luseemme mukisesti konservtiivinen. Olemme sneet kentän konservtiivisuudelle kätevän kriteerin: Vektorikenttä on konservtiivinen (ts. esitettävissä sklrifunktion grdienttin jos j vin jos sen roottori häviää. Lusett johtessmme muodostimme sellisi derivttoj kuin φ(x, ydx siirtämällä derivoinnin integrlin sisälle, ts. φ(x, y φ(x, ydx dx. Tämä on sllittu silloin kun integrlit ovt kyllin siistejä (tsisesti suppenevi. Fysiklisiss systeemeissä voidn useimmiten näin olett. Konservtiivist kenttää vstv sklrifunktiot snotn kentän potentiliksi. Jos integrointitie C on suljettu, ts. integrointitien lkupiste yhtyy loppupisteeseen, on polkuintegrlist tpn käyttää merkintää F dr F dr. (8.5 C Jos kenttä on konservtiivinen, niin pitkin mitä thns suljettu käyrää C myöten lskettu polkuintegrli on noll, F dr. (8.6 C Tämä on voimss myös toisin päin. Oletetn siis, että mitä thns suljettu käyrää myöten lskettu viivintegrli häviää. Olkoot P j P b kksi vruuden pistettä j C 1 jokin pisteestä P pisteeseen P b kulkev käyrä. Jos C 2 on jokin toinen käyrä välillä P P b, niin F dr F dr F dr C 1 C 2 C, kun C on yhdistetty suljettu käyrä C P P b P. C1 C2 dy Viivintegrli Pb P F dr F dr C 1 F dr C 2 ei siis riipu linkn integrointitiestä, joten kenttä F on konservtiivinen. Esim. Onko kenttä F (2xy + z 3 j + x 2 j + 3xz 2 k konservtiivinen? Lsketn kentän roottori i j k F x 2xy + z 3 x 2 3xz2 ( (3xz 2 (x2 i ( (2xy + z 3 + (3xz2 j x ( (x 2 + x (2xy + z3 k, joten kenttä F on konservtiivinen. Esim. Kenttää F (2xy + z 3 j + x 2 j + 3xz 2 k vstv sklripotentili Edellisen esimerkin perusteell F on konservtiivinen, joten on olemss sellinen potentili φ, että F φ. On siis etsittävä sellinen φ, että φ x φ φ 2xy + z3 x 2 3xz 2. Integroimll nämä lusekkeet smme x 2 y + xz 3 + f(y, z φ x 2 y + g(x, z xz 3 + h(x, y Tulokset ovt yhtäpitäviä, kun vlitsemme f(y, z, g(x, z xz 3 j h(x, y x 2 y. Hettu sklripotentili on siis φ x 2 y + xz 3, mihin voidn vielä lisätä mielivltinen vkio. Esim. Tehty työ siirrettäessä msspistettä pisteestä P 1 (1, 2, 1 pisteeseen P 2 (3, 1, 4, kun vikuttv voim on F (2xy + z 3 j + x 2 j + 3xz 2 k Konservtiivist kenttää F vstv sklripotentili on edellisen esimerkin perusteell φ x 2 y + xz 3. Voimn konservtiivisuudest johtuen tehty työ on P2 W F dr φ(3, 1, 4 φ(1, 2, 1 P 1 21 ( 1 22.

63 O N O 8.3 Pintintegrlit Sklrifunktion integrlit Olkoon φ(x, y, z on jokin sklrifunktio, jokin kolmiulotteisen vruuden pint j d tämän pinnn infinitesimlinen pint-lkio. Tehtävänä on nyt lske pintintegrli I φ(x, y, zd. Smll tvoin kuin tvllisen yhden muuttujn integrlinkin tpuksess tämä trkoitt sitä, että 1. jetn pint pieniin suuruisiin plsiin, 2. lsketn kusskin plsess funktion φ(x, y, z rvo j kerrotn tämä plsen pint-lll, 3. summtn yhteen kikki termit φ(x, y, z j 4. nnetn plsten pint-ln lähestyä noll. Pintintegrli on usein helpompi lske pluttmll se koordinttien yli suoritettviksi integroinneiksi. Jos esimerkiksi pint voidn esittää muodoss z f(x, y, knntt yleensä integroid muuttujien x j y yli, ts. viedä integrli muotoon y1 [ x1 ] I φ(x, y, f(x, yh(x, ydx dy. y x Tässä h(x, y on sklustekijä, joll xy-tson pint-lkio d dx dy on kerrottv, jott stisiin pinnn lkio d. Integrointien rjt riippuvt pinnst. Se, knnttko ensin integroid muuttujn x (kuten yo. lusekkeess vi muuttujn y yli riippuu pitsi pinnst niin myös funktiost Kuv 8.5 Kuten kuvst nähdään, xy-tson pint-lkiot d j sitä pinnll vstv lkiot sitoo toisiins reltio d dx dy d cos γ, (8.7 missä γ on pinnn normlin n j z-kselin välinen kulm. Tässä tpuksess pintintegrli on siis kirjoitettviss muotoon I φ d dx dy φ(x, y, z cos γ. Merkintä... dx dy trkoitt, että kyseessä on ksinkertinen (kksiulotteinen integrli, toinen muuttujn x yli j toinen muuttujn y yli. Se ei spesifioi integrointien suoritusjärjestystä eikä myöskään kerro eksplisiittisesti integrointirjoj. Nämä vlitn tilnteen mukn, useist vihtoehdoist tietenkin helpoimmin lskettv. Usein käytetään myös sellisi sm trkoittvi merkintöjä kuin dx dy.... Vstvi merkintöjä käytetään myös kolmi- j usempiulotteisille integroinneille. Oletetn nyt, että pinnn yhtälö on nnettu muodoss g(x, y, z C. Kyseessä on siis sklrikentän g eräs ts-rvopint. Kuten grdientin yhteydessä näimme, on sklrin grdientti kohtisuorss ts-rvopint vstn. Eräs pinnn normli on niin ollen g j normlin suuntinen yksikkövektori silloin n g g. Tämän projektio z-kselille on n k cos γ g g. Pintintegrlimme on nyt kirjoitettviss muotoon I φ(x, y, z g dx dy. (8.8 g Jos pint on nnettu muodoss niin settmll pinnn yhtälö on z f(x, y, g z f(x, y g. Tällöin kvss (8.8 trvittvt osittisderivtt ovt g x f x, g f j g 1 j pintelementin sklustekijä vstvsti ( f 2 ( 2 1 f cos γ g x Pint-integrli I on nyt ( f 2 I φ(x, y, f(x, y + x Esim. Funktion φ z integrli puolipllon x 2 + y 2 + z 2 R 2, z pinnn yli Nyt z R 2 x 2 y 2 f(x, y, jolloin f x x R2 x 2 y 2 f y R2 x 2 y 2 ( 2 f + 1dx dy. (8.9

64 H B j 1 cos 2 γ 1 + ( 2 f + x x 2 + y R 2 x 2 y 2 R 2 R 2 x 2 y 2. ( 2 f Integrointilueen xy-tsoss on puolipllon pinnn projektio eli kehän x 2 + y 2 R 2 ; z rjoittm ympyrä. Muuttujn x sdess rvoj välillä R x R s muuttuj y rvot väliltä R 2 x 2 y R 2 x 2. Pintintegrli on siis [ R ] R 2 x 2 1 I φd cos γ dy dx R R R R 2R R R 2 x 2 z R 2 x 2 dx dy R 2 x [ 2 ] R2 x 2 y 2 R R2 x 2 y 2 R R R R 2 x 2 dx R 2 x 2 dy dx R 2 x 2. Tämä voidn lske sijoittmll x R sin t. Tällöin dx R cos t dt j R 2 x 2 R cos t, joten on pintelementin d läpi ikyksikössä kulkevn nesteen määrä. Vektorin µ ρv vuo pinnn läpi, µ d, on ikyksikössä pinnn läpi kulkevn nesteen määrä. Muunlisi pintintegrlej ovt esim. F d F n d; φ d; φ d. Esim. I F d, kun F yi + xj + zk, j on puolipllon x 2 + y 2 + z 2 R 2 ; z pint Nyt i j k F x y x z 2k. Pinnn yhtälö on joten g x 2 + y 2 + z 2 R 2, g 2xi + 2yj + 2zk 2r. Pllopinnn yksikkönormli n on siis n g g r r xi + yj + zk, r eli rdiusvektorin suuntinen yksikkövektori. Edelleen F d 2k n d 2 cos θ d, missä θ on rdiusvektorin j z-kselin välinen kulm. π/2 I 2R R 2 cos 2 t dt π/2 2R 3 π/2 / π/2 ( t sin 2t πr 3. 4 H I E G H I E B Vektoreiden pintintegrlit Trkstelln pint j sillä pisteessä P (x, y, z olev pint-lkiot d. Määritellään vektorilinen pint-lkio d siten, että d n d, missä n on pisteessä P lskettu pinnn normlin suuntinen yksikkövektori. Olkoon F(x, y, z jokin (integroituv vektorikenttä. Eräs vektorikentän F pintintegrli on F d F n d. (8.1 Tämä integrli kuv vektorin F vuot pinnn läpi. Esim. Nesteen virtus Jos ρ on nesteen tiheys j v sen nopeus, niin ρv d ρv n d Kuv 8.6 Pintelementti plloll Kuvss φ rdiusvektorin xy-tsoll olevn projektion j x-kselin välinen kulm. Kuten kuvst nähdään, pllon pinnll pllokoordinttien θ j φ differentilisi muutoksi dθ j dφ vstv pintelementti d on d r 2 sin θ dθ dφ. (8.11 Puolipllon pinnll kulmt θ j φ svt rvot θ π 2 φ 2π. Integrli I on siis I F n d

65 D 4 @ π/2 dθ 2π dφ 2 cos θ R 2 sin θ π/2 4πR 2 cos θ sin θ dθ 4πR 2 π/2 / sin 2 θ 2 2πR 2. suuntisen projektion j x-kselin välinen kulm. 8 H B H 8.4 Tilvuusintegrlit Tilvuusintegrleiss integrointilueen on suljetun pinnn sisään jäävä tilvuus V. Merkitään symbolill dv tilvuuslkiot; krteesisiss koordinteiss dv dx dy dz. Esimerkkejä tilvuusintegrleist ovt V F dv ; Usein merkitään lyhyemmin V F dv ; dv dv. V φ dv. Esim. Ktkistun krtion (ämpärin muotoisess stiss olevn nesteen mss, kun nesteen (msstiheys η muuttuu korkeuden z funktion kuten η(z η e z Kuv 8.7 Ktkistu krtio Olkoon stin korkeus h, pienemmän pohjympyrän säde R 1 j suuremmn säde R 2. setetn stin kseli z-kselin suuntiseksi. Korkeudell z olevn ympyrän säde R(z on silloin R(z R 1 + R 2 R 1 z R 1 + kz. h stiss olevn nesteen mss M on M η(z dv. V Kuv 8.8 Tilvuuselementti sylinterikoordintistoss Kuvst nähdään, että sylinterikoordinttien differentilisi muutoksi dρ, dφ j dz vst tilvuuselementti Muuttujn z mhdolliset rvot ovt j kulmn φ rvot dv ρ dρ dφ dz. (8.12 z h, φ 2π. Korkeudell z etäisyys ρ voi sd rvot V h ρ R(z. Mss M on siis M η(zρ dρ dφ dz 2π dz h 2π dφ R(z 1 2 R2 (zη e z dz h πη (R 1 + kz 2 e z dz πη {R 2 1 h +k 2 h Osittinintegrointi nt h z 2 e z dz ρ dρ η e z h e z dz + 2kR 1 ze z dz } z 2 e z dz. h/ z 2 e z + 2 h2 e h + 2 Integroimll edelleen osittin smme h h ze z dz ze z dz. Siirrytään sylinterikoordintteihin, joiss ρ on pisteen r etäisyys z-kselist (sm kuin vektorin r xy-tson suuntisen projektion pituus j φ vektorin r xy-tson h ze z dz h/ ze z + 1 h e z dz

66 joten M πη { R 2 1 πη {R1 2 1 h/ e z h e h 1 { h 1 } 2 e h + 1 2, h/ e z + ( 2kR 1 + 2k2 h ze z dz } k 2 h2 e h + (2kR 1 + 2k2 { +πη R1 2 1 (2kR 1 + 2k2 } k 2 h2 e h } 1 2 ( h 1 2 Pint- j tilvuuslkiot käyräviivisiss koordintistoiss Voidksemme lske tilvuus- j pintintegrlej käyräviivisess uvw-koordintistoss meidän on tiedettävä, mitä tilvuutt j pint-l differentilisten muutoksien, dv j dw tulot vstvt. Olkoon r r(u, v, w pikkvektori ilmistun uvw-koordinttiem vull. Kun koordintti u muuttuu infinitesimlisen määrän, muuttuu pikkvektori kuten dr r u, sekä vstvsti myös muidenkin differentilien kyseessä ollen. Tällöin muutoksi j dv vstv pintelementti on suuruudeltn d r u r dv h uh v dv, v sillä oletmme koordintistomme olevn ortogonlisen. Olemme tässä ottneet myös käyttöön iemmin määrittelemämme sklustekijät (7.29. Tilvuuselementti on vstvsti dv h uh vh w dv dw. Esimerkiksi pllokoordintistoss sklustekijät olivt h r 1, h θ r, h φ r sin θ, joten pint-lkio pllon pinnll (r vkio eli dr on j tilvuuselementti d h θ h φ dθ dφ r 2 sin θ dθ dφ dv h rh θ h φ dr dθ dφ r 2 sin θ dr dθ dφ. 8.5 Gussin luse ikisemmin nähtiin (ks. kv (7.32, että jos ρ on nesteen tiheys, v nesteen nopeus j µ ρv virtuskenttä, niin µ dv (ρv dv on nesteen nettovuo tilvuudest dv. Itsesiss päädyimme tähän tulkintn lskemll infinitesimlisen suorkulmisen särmiön seinämien läpi ulospäin virtvn nesteen määrän: µ dv 6 µ n i d i. i1 Tässä summusindeksi i käy läpi kikki särmiömme kuusi sivu (so. xy-tson suuntinen sivu etäisyydellä dz/2 pisteen (x, y, z lpuolell, xy-tson suuntinen sivu etäisyydellä dz/2 pisteen (x, y, z yläpuolell,..., µ on lskettv sivull i (so. µ(x, y, z dz/2, µ(x, y, z + dz/2,..., n i pinnnn i särmiöstä ulospäin suuntutunut yksikkönormli (so. k, k,... j d i pinnn i pintll (so. dx dy, dx dy,.... Määritellään nyt vektorilinen pintelementti d, siten, että suljetull pinnll d on kohtisuorss pint vstn osoitten ulospäin j on suuruudeltn pintelementti d. Tätä merkintää käyttäen divergenssin tulkintmme s muodon µ dv i µ d i. Tämä on toki voimss mielivltisellekin vektorikentälle F: F dv F d i. (8.13 i Trkstelln nyt tilvuusintegrli I F dv V yli äärellisen tilvuuden V. jtelln tilvuus V jetuksi infinitesimlisiin tilvuuselementteihin dv i. Tilvuusintegrli voidn silloin lusu summn F dv F dv i. i V Toislt kvn (8.13 mukisesti voimme kirjoitt F dv i i i F d ij, (8.14 missä pint-lkiot d ij, j 1,..., 6 rjoittvt tilvuuselementtiä dv i. Ktsotn kht vierekkäistä (smn suuruist tilvuuselementtiä. Nimitetään näitä elementeiksi 1 j 2. Lusekkeen (8.13 mukisesti on voimss F dv 1 + F dv 2 i j F d 1i + i F d 2i,

67 @ N 4 N D O missä pintelementit d 1i kuuluvt särmiöön 1 j elementit d 2i särmiöön 2. Kosk elementit ovt vierekkäisiä, molemmill särmiöillä on yksi yhteinen pint, snotn pint k. Tällä pinnll kenttä F on molemmiss oiken puolen termeissä sm, mutt d 1k d 2k, kosk vektoriliset pintelementit osoittvt sopimuksen mukn ulospäin pinnn sulkemst tilvuudest. Näitä vstvt termit kuomovt siten toisens oiken puolen summiss. Jäljelle jäävät siten yhdistettyä tilvuutt rjoittvn ulkopinnn elementit. Kun siis täytämme tilvuuden V näillä infinitesimlisill smn kokoisill elementeillä dv i, yhtälön (8.14 oikell puolen kumoutuvt kikki muut termit pitsi tilvuuden V ulkopinnlle sttuvi pint-lkioit vstvt. Smme siis F dv i F d, ti i V ulkopint F dv F d, (8.15 missä on tilvuutt V rjoittv pint. Olemme päätyneet Gussin (divergenssiluseeseen: Vektorin F normlikomponentin integrli suljetun pinnn yli on sm kuin vektorin F divergenssin integrli pinnn sulkemn tilvuuden V yli. Gussin luseen trkempi todistus Kirjoitetn vektori F komponenteittin: F F xi + F yj + F zk, j trkstelln integrli V F z dv. Olkoon n pinnn yksikkönormli, n 1 lpinnn 1 yksikkönormli j n 2 yläpinnn 2 yksikkönormli. Nyt joten R Smme siis lpinnll: dxdy k n 1 d 1 yläpinnll: dxdy k n 2 d 2 pinnll: dxdy k n d, [F z(x, y, f 2 F z(x, y, f 1 ] dxdy 2 1 F zk n 2 d 2 + F zk n 1 d 1 V F zk n d. F z dv F zk n d. Vstvsti voidn osoitt, että F y dv F yj n d V joten kiken kikkin on eli V V V F x x dv ( Fx x + Fy F dv + Fz dv F xi n d, ( Fxi + F yj + F zk n d, F n d F d. Esim. Vektorin r vuo -säteisen j h-korkuisen sylinterin pinnn läpi Olkoon sylinteriä rjoittv pint (mukn lukien pohjt j V sylinterin tilvuus. Kuv 8.9 Gussin luseen todistus Olkoot 1 j 2 tilvuutt V ympäröivän suljetun pinnn lj yläpint, joit esittävät yhtälöt 1 : z f 1 (x, y 2 : z f 2 (x, y. Olkoon R pinnn (ti 1 ti 2 projektio xy-tsoll. Tällöin V F z dv V R R F z dzdxdy [ f2 (x,y f 1 (x,y F z dz ] dxdy [F z(x, y, f 2 F z(x, y, f 1 ] dxdy Kuv 8.1 Sylinteri Divergenssiluseen perusteell vuo I on I r d r dv. V Kosk r xi + yj + zk,

68 O N O on joten r x x + + 3, I 3 V dv 3V 3π 2 h. b Lsketn vuo pintintegrlin. (i Yläpinnll n k j joten yläpint (ii Pohjll n k j joten r n r k z h, r n d h d π 2 h. r n z, pohj r n d. (iii Vipll yksikkönormli on sillä vipn yhtälö on j niin ollen vektori n xi + yj, f x 2 + y 2 2, f 2xi + 2yj on kohtisuorss vipp vstn. Nyt joten vipp r n x2 + y 2 r n d 2, Lskemll kikki vuot yhteen sdn I 3π 2 h. d 2πh. Esim. Newtonin grvittiopotentili φ toteutt yhtälön 2 φ 4πGρ, missä G on grvittiovkio j ρ msstiheys. Määritetään grvittiokenttävoimkkuus pllosymmetrisessä tpuksess Merkitään K φ, jolloin K 2 φ 4πGρ. Jos tilvuudess V olev kokonismss on M, niin K dv 4πG ρ dv V V 4πGM. Toislt Gussin luseen mukn on K dv K d, V kun on tilvuutt V rjoittv pint. Oletetn, että M-mssinen kpple on pllosymmetrinen j otetn tilvuudeksi V ko. kppleen sisäänsä sulkev r-säteinen kpplekeskinen pllo. Tällöin ilmeisestikin K on vkio pllon pinnll j K on rdiusvektorin suuntinen (ti vstkkissuuntinen, ts. voidn kirjoitt K K(re r, missä e r on rdiusvektorin suuntinen yksikkövektori. Vektori e r on tietystikin myös yksikkönormli ko. pllon pinnll, joten K d K(re r e r d r-säteinen pllo K(r 4πGM. Smme siis tutun Newtonin grvittiolin ti vektorilisesti K(r GM r 2, K(r GM r 2 e r. d K(r 4πr Stokesin luse Roottorin fysiklist tulkint etsiessämme simme tuloksen (7.35, jonk mukn xy-tsoss pisteen (x, y ympäri kiertyvä virtus oli ds z µ x (x, y dy/2, zdx + µ y (x + dx/2, y, zdy µ x (x, y + dy/2, zdx µ y (x dx/2, y, zdy [ µy x µ ] x dx dy. Kuv 8.11 xy-tson

69 Kuvn mukisesti voimme kirjoitt tämän muotoon 4 µ dr i ( µ z dx dy, i1 missä vektoriliset differentilit ovt dr 1 dx i, dr 2 dy j, dr 3 dx i sekä dr 4 dy j j virttiheys on lskettv in vstvll infinitesimlisen suorkiteen sivull. Yhtälön oikekin puoli on lusuttviss kompktimmin, kun otmme käyttöön vektorilisen pint-lkion d dx dy k. Näin päädymme reltioon 4 µ dr ( µ d, i1 missä nyt sekä dr että µ on lskettv summusindeksiin liittyvällä suorkiteen sivull. Tämä yhtälö on toki voimss mielivltisellekin (differentioituvlle vektorikentälle F j miten thns orientoituneelle pintelementille d: 4 F dr ( F d, (8.16 i1 missä vsemmll puolen kierretään d vstpäivään. Trkstelln nyt mielivltist pint. Jetn infinitesimlisiin plsiin d i. Kusskin pint-lkioss on voimss 4 ( F d i F dr, j1 missä vsemmll puolen roottori lsketn lueen d i keskipisteessä j oikell puolen sek F että differentilit lueen d i summusindeksistä j riippuvll reunll. Summtn yli kikkien plsten, jolloin ( F d i i i 4 F dr. (8.17 j1 Trkstelln kht vierekkäistä pint-lkiot, snotn lkioit 1 j 2. Näiden yhteisellä reunll toisen suorkiteen dr on vstkkinen toisen suorkiteen vstvlle differentilille kun ts kenttä F on sm. Summss (8.17 yhteisiin reunoihin liittyvät termit kumoutuvt, joten jäljelle jäävät vin lueen reunoihin rjoittuvien pint-lkioiden ulkoreunt eli ( F d i F dr. i :n ulkoreun Yhtälön vsen puoli on suureen F pintintegrli yli pinnn j oike puoli polkuintegrli pint rjoittvn reunkäyrän C ympäri. Kosk jokinen pint-elementti yhtälön (8.16 j kuvn 8.11 mukisesti kierrettiin positiiviiseen kiertosuuntn, smn suuntn kierretään myös pint. Olemme näin päätyneet Stokesin luseen tunnettuun pint- j polkuintegrlej sitovn reltioon F dr ( F d. (8.18 C Snllisesti Stokesin luse on ilmistviss muodoss Vektorikentän F polkuintegrli pinnn reunkäyrän C ympäri on sm kuin kentän F roottorin normlikomponentin pintintegrli pinnn yli. Huom. Integrlin rvo ei muutu sellisiss integrointipinnn deformtioiss, joiss reunkäyrä säilyy muuttumttomn. Esim. F d kun F yi + xj + zk j on puolipllon x 2 + y 2 + z 2 2 ; z pint 1 Suorn pintintegrlin. Ktso edellä (pintintegrlit. 2 Viivintegrlin Stokesin lusett sovelten. Nyt F dr ( yi + xj + zk (dx i + dy j + dz k y dx + x dy + z dz. Puolipllon pinnn reunkäyrä C on xy-tson ympyrä Tällä käyrällä x 2 + y 2 2 ; z. x cos θ y sin θ z, kun θ on vektorin r (x, y, j x-kselin välinen kulm. Tällöin joten käyrällä C dx sin θ dθ dy cos θ dθ dz, F dr y dx + x dy 2 sin 2 θ dθ + 2 cos 2 θ dθ 2 dθ. Stokesin luseen mukn on ( F d C 2π 2. F dr 2π 2 dθ 3 Pintintegrli on sm mille thns käyrän C rjoittmlle pinnlle. Vlitn xy-tson ympyrä. Kosk on F 2k, x 2 +y 2 2 ( F d x 2 +y 2 2 2k k d 2 2π 2. Stokesin luseen perusteell pyörteettömälle kentälle F on voimss F dr ( F d, C

70 olip C mikä thns suljettu käyrä j sen sisäänsä sulkem pint. Tähän tulokseen päädyimme jo polkuintegrlien yhteydessä konservtiivisi vektorikenttiä trkstellessmme (ks. kv ( Greenin luseet Olkoon käyrän C rjoittm xy-tson lue, j olkoon F (M, N,. Stokesin luseen mukn on ( N (M dx + N dy x M C dxdy. (8.19 Tämä Stokesin luseen erikoistpus on nimeltään Greenin luse tsoss. Greenin tsoluseen sovellutuksen sdn mm. käyttökelpoisi menetelmiä suljetun käyrän rjoittmn pint-ln lskemiseksi. Vlitn M j N x, jolloin N x M 1. Greenin luseen perusteell on dxdy C x dy. Vlint M y/2 j N x/2 puolestn nt j N x M 1 dxdy 1 2 C (x dy y dx. Esim. Ellipsin x2 + y2 2 b 1 pint-l 2 Ellipsi voidn kirjoitt prmetriesityksessä, kuten x cos t y b sin t, missä t 2π. Pint-l on 2π x dy cos t b cos t dt b πb. 2π cos 2 t dt b 2 2π (1 + cos 2t dt Ellipsin yhtälöstä nähdään, että 2 j b 3, joten I 6π. Gussin luseen sovellutuksin sdn ns. Greenin 1. j 2. luse. Olkoot φ j ψ kksi sklrifunktiot. Tällöin (φ ψ φ 2 ψ + φ ψ. Olkoon tilvuutt V rjoittv pint. Gussin luseen mukn on φ ψ d (φ ψ dv V V φ 2 ψ dv + V φ ψ dv. (8.2 Tämä on nimeltään Greenin 1. luse. Vstvsti sdn ψ φ d ψ 2 φ dv + ψ φ dv. V Vähentämällä yo. yhtälöt puolittin sdn Greenin 2. luse: (φ ψ ψ φ d (φ 2 ψ ψ 2 φ dv. (8.21 V Kun vlitn φ ψ, sdn 1. luseen erikoistpuksen ( φ φ d φ 2 φ + ( φ 2 dv. Jos vlitn ψ vkio, sdn φ d 2 φ dv. V V V Esim. Vektorin F (x + 2yi + (3x yj integrli ellipsin C : 9x 2 + 4y 2 36 ympäri setetn Greenin luseess M x + 2y j N 3x y, jolloin N x M 3 2 1, j I F dr (M dx + N dy C C (3 2 dxdy dxdy πb.

71 Liite. Kreikkliset kirjimet Pienet kirjimet α lf θ thet π pi β bet ι iot ρ ro γ gmm κ kpp σ sigm δ delt λ lmbd τ tu ɛ epsilon µ my υ ypsilon ζ zet ν ny φ fi η et ξ xi χ khi ψ psi ω omeg Isot kirjimet Γ Gmm Λ Lmbd Σ Sigm Delt Ξ Xi Υ Ypsilon Θ Thet Π Pi Φ Fi Ψ Psi Ω Omeg Liite B. Joukko-oppi Joukko koostuu lkioist (jäsenistä, elementeistä. Kun hlutn ilmoitt, että joukon lkiot ovt 1, 2,... käytetään usein merkintää { 1, 2,...}. Joukko voi oll tyhjä, ts. siinä ei ole yhtään jäsentä. Tyhjästä joukost käytetään merkintää. Jos joukon jäsenet toteuttvt jonkun tietyn ehdon, merkitään {x ehto x:lle}. Esimerkiksi I {x x 1} on välillä j 1 olevien (relilukujen joukko. Merkintä ilmoitt, että on joukon jäsen, kuuluu joukkoon. Jos kikki joukon lkiot ovt myös joukon B lkioit, merkitään B (B j snotn, että kuuluu joukkoon B ti että on joukon B osjoukko. Joukkojen j B yhtäsuuruus trkoitt, että molemmiss joukoiss on smt jäsenet, ts. B j B. Luonnollinen merkintä yhtäsuuruudelle on B. Khden joukon j B yhteisistä jäsenistä koostuv joukko B snotn leikkukseksi. Ilmeisestikin on voimss B B, B j B B. Yhdiste B on molempien joukkojen j B lkioist koostuv joukko. Se toteutt mm. reltiot B B, B j B B.

72 Liite C. Kvnttorit Mtemtiikss käytetään usein ilmuksi on olemss j kikill. Esimerkkiluseit voisivt oll vikkp: on olemss sellinen reliluku x, että x 2 kun ti kikill reliluvuill x on voimss x 2. Päästään hiemn vähemmällä kirjoittmisell, kun otetn käyttöön formlin logiikn kvnttorit j ilmisemn olemssolo (eksistenssiä j yleispätevyyttä (universlisuutt. Kvnttoreiden vull esimerkkiluseet voitisiin kirjoitt vikkp muotoihin x R siten, että x 2 kun j x 2 x R. Symbolill R on tässä merkitty relilukujen joukko. Liite D. Intervllej, jtkuvuuksi,... Relikselin yhtenäisistä osist intervlleist käytetään usein merkintöjä suljettu väli [, b] trkoitt relikselin väliä x b, ts. lku- j loppupisteet kuuluvt mukn. voin väli (, b trkoitt väliä < x < b, ts. lku- j loppupisteet eivät kuulu väliin. puolivoimet välit (, b] j [, b trkoittvt vstvsti välejä, joiss vin toinen päätepiste kuuluu joukkoon. Funktio f(x on rjoitettu jos trksteltvll välillä on f(x M, missä M <. jtkuv jos se ei hyppää pisteestä toiseen, ploittin jtkuv funktio jos se on jtkuv muull pitsi mhdollisesti äärellisen moness trksteltvn välin pisteessä.