1. Differentiaalilaskentaa

Transkriptio

1 Sisältö 1. Differentililskent Derivtn määritelmä Derivttojen lsku Korkemmn kertluvun derivtt Sovelluksi Usemmn muuttujn funktiot Integrlilskent Määrätty integrli Kertymäfunktio Integrlifunktio Integrlien lsku Vektorit Vektorin käsite Vektorilgebr Vektoreiden tulot Potenssisrjoj Äärettömät srjt Potenssisrjt Tylorin srjt Kompleksiluvut Lukulueen ljennus Kompleksilukujen esitys j lgebr Kompleksifunktiot Differentiliyhtälöistä Ensimmäisen kertluvun yhtälöt Lineriset toisen kertluvun yhtälöt Vektorit j differentililskent Yhden muuttujn vektorifunktiot Sklrikentät Vektorikentät Derivointiopertioiden ominisuuksi Vektori-integrointi Yhden muuttujn vektorit Polkuintegrli Pintintegrlit Tilvuusintegrlit Gussin luse Stokesin luse Greenin luseet Liite 71. Kreikkliset kirjimet B. Joukko-oppi C. Kvnttorit D. Intervllej, jtkuvuuksi, Differentililskent 1.1 Derivtn määritelmä Funktion f(x derivtll f (x pisteessä x trkoitetn rj-rvo f (x lim x x f(x f(x x x. (1.1 Geometrisesti derivtt on funktion kuvjn tngentin kulmkerroin derivointipisteessä. N N N N! O B N B N J Kuv 1.1 Derivtn geometrinen tulkint Määritelmässä (1.1 ei ole spesifioitu lähestymissuunt, ts. voi oll joko x > x ti x < x. Molempien lähestymistpojen täytyy joht smn lopputulokseen. Rj-rvo (1.1 ei välttämättä in ole yksikäsitteinen ti sitä ei ole olemss. Tällisess tpuksess derivtt ei ole määritelty. Jos rj-rvo (1.1on (yksikäsitteisenä olemss, snotn, että funktio on derivoituv pisteessä x. Merkintöjä Olkoon y f(x jokin derivoituv funktio. Derivtt f (x merkitään usein myös f (x y d df(x f(x Dy Df(x. dx dx Monesti jätetään funtion f rgumenttikin merkitsemättä. Kun hlutn pinott, että derivttfunktio f (x hlutn lske nimenomn pisteessä x, merkitään joskus f (x df(x dx xx. Kun kyseessä on derivointi jn suhteen, käytetään fysiikss usein merkintää d f(t ḟ(t. dt 1.2 Derivttojen lsku Derivtt suorn määritelmästä Lsketn esimerkiksi potenssifunktion f(x x n derivtt. Määritelmän mukn derivtt f (x on rj-rvo f f(y f(x (x lim y x y x lim x f(x + x f(x. x Tässä tpuksess on siis lskettv rj-rvo f (x lim x (x + x n x n. x

2 Binomikehitelmän (x + x n perusteell smme (x + x n x n n ( n k k ( x k x n k ( ( n x n n + x n 1 x 1 ( n + x n 2 ( x ( n + ( x n x n. n Binomikertoimien ominisuuksi käyttäen voimme kirjoitt (x + x n x n x n + nx n 1 x n ( n + ( x k x n k x n k joten derivtt on f (x lim x lim x k2 x nx n 1 n ( n + x k k2 (x + x n x n [ nx n 1. Binomikertoimist x nx n 1 + k2 ( x k 1 x n k, n ( ] n ( x k 1 x n k k Luseke ( + b n voidn kirjoitt binomikehitelmäksi ( ( + b n n ( k k b n k n k n k b k. k k ( n Binomikertoimet on määritelty kvll k ( n n! k k!(n k!. Merkintä m! trkoitt kokonisluvun m kertom, ts. m! (m 1 m. Luvun 1 kertom on siten 1 j luvun kertomksi on määritelty 1 eli! 1! 1. Erikoistpuksin sdn mm. ( n n!!n! n! n! 1 j ( n 1 n! n(n !(n 1! (n 1! n(n 1! (n 1! n. Smoin nähdään helposti, että ( n n 1 j että ( n n n 1. Käsitellään toisen esimerkkinä funktion f(x sin x derivtn lsku. Nyt sin(x + x sin x cos x + cos x sin x, joten derivtn Määritelmän mukn on f (x sin(x + x sin x lim x x sin x cos x + cos x sin x sin x lim x lim x [ sin x cos x 1 x x + cos x ] sin x, x missä olemme käyttäneet sinin j kosinin yhteenlskukvoj. Pienillä rgumentin rvoill trigonometriset funktiot käyttäytyvät kuten sin δ δ 1 6 δ3 + O ( δ 5 cos δ δ2 + O ( δ 4, missä merkintä O (x n trkoitt, että kikiss lopuiss termeissä rgumentin x potenssi on vähintään n. Näin ollen on siis voimss j cos x 1 lim x x sin x lim x x Derivtksi smme siis 1 2 lim ( x2 + O ( ( x 4 x x lim O ( x x x O ( ( x 3 lim x x [ ( lim 1 O ( x 2 ] x 1. d sin x cos x. dx Trigonometristen funktioiden yhteenlskukvoj Sini- kosinifunktiot toteuttvt yhteenlskukvt sin(x + y sin x cos y + cos x sin y cos(x + y cos x cos y sin x sin y. Kosk tn x sin x cos x, voidn tngentin yhteenlskukv kirjoitt mm. muotoon sin x cos y + cos x sin y tn(x + y cos x cos y sin x sin y tn x + tn y 1 tn x tn y. Erikoistpuksen sdn kksinkertisille kulmille kvt sin 2x 2 sin x cos x cos 2x cos 2 x sin 2 x tn 2x Pythgorn luseen perusteell on 2 tn x 1 tn 2 x. sin 2 x + cos 2 y 1. Kksinkertisen kulmn kosini voidn siten kirjoitt myös muotoihin cos 2x 2 cos 2 x sin 2 x.

3 Muutmien tvllisimpien funktioiden derivttoj on esitetty tulukoss f(x x n e x Df(x nx n 1 e x ln x 1/x. (1.2 sin x cos x cos x sin x tn x 1/cos 2 x Derivtn lskusääntöjä Olkoot f j g derivoituvi funktioit j j b vkioit. Tällöin on voimss d dx [f(x + bg(y] f (x + bg (x. (1.3 Derivointi on linerinen opertio. Funktioiden tulo f(xg(x derivoidn kuten d dx [f(xg(x] f (xg(x + f(xg (x (1.4 j osmäärä f(x/g(x kuten d f(x dx g(x f (xg(x f(xg (x g 2. (1.5 (x Yhdistetyn funktion f(g(x derivointiin soveltuu ketjusääntö d dx f(g(x f (g(xg (x. (1.6 Oletetn, että muuttuj z on rtkistviss yhtälöstä ts. x f(z, z f 1 (x, missä f 1 on funktion f käänteisfunktio. Kun tunnetn funktion derivtt, voidn käänteisfunktion derivtt lske kvst Df 1 (x Syklometriset funktiot 1 f (f 1 (x 1 f (z. (1.7 Trigonometrisillä funktioill ei ole yksikäsitteistä käänteisfunktiot. Esimerkiksi yhtälön sin x 1 2 rtkisee mikä thns äärettömän joukon { π x 6 + 2nπ 5π 6 + 2nπ, n kokonisluku luvuist. Kun rjoitetn sinin rgumentti välille π 2 x π 2, on yhtälöllä sin x yksikäsitteinen rtkisu, jot nimitetään rkussiniksi j merkitään x rcsin, π 2 x π 2. rkussini on siis se sinin käänteisfunktio, jonk rvolue on rjoitettu välille π 2 x + π. Kosinill puolestn on 2 yksikäsitteinen rkuskosiniksi snottu käänteisfunktio, kun rjoitetn kosinin rgumentti välille x π. Tästä käytetään merkintää x rccos z, x π. Tngentin käänteisfunktio on nimeltään rkustngentti. Sen rvolue on y rctn x, π 2 y π 2. Kosk sinin j kosinin rvolueet kttvt välin [ 1, 1], voivt rkussinin j rkuskosinin rgumenttit oll väillä [ 1, 1]. rkustngentin rgumentti ts voi oll mikä thns reliluku, sillä tngentin rvolueen on koko relikseli. Joskus hlutn määritellä trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot monikäsitteisiksi, esim. hlutn että z rcsin x nt kikki ne rvot z, joill sin z x. Tällöin rvolueelle π 2 rcsin x π rjttu rkussiniä snotn ko. 2 funktion päährksi. Päährst käytetään merkintää rcsin x. Vstvt nimitykset j merkinnät ovt käytössä muillekin trigonometrisille käänteisfunktioille. Trigonometristen funktioiden käänteisfunktioit snotn syklometrisiksi funktioiksi ti useimmiten niiden nimen mukisesti tuttvllisesti rkus-funktioiksi. Lsketn esimerkkinä funktion rcsin x derivtt. Nyt rcsin on sinifunktion käänteisfunktio, ts. jos x sin z niin z rcsin x. Säännön (1.7 perusteell on D rcsin x 1 cos z. Trigonometristen funktioiden ominisuuksien perusteell voidn kirjoitt cos z 1 sin 2 z 1 x 2, joten smme d dx rcsin x 1. 1 x Korkemmn kertluvun derivtt Jos funktion f(x derivtt f (x on myöskin derivoituv, voimme lske senkin derivtn: Df (x lim x f (x + x f (x. (1.8 x Snomme, että funktio f(x on khdesti derivoituv j suure Df (x funktion f(x toinen derivtt. Jos vielä tämä toinen derivttkin on derivoituv, voisimme edelleen määrätä sen derivtn DDf (x jne. Vstvsti funktion snotn tällöin olevn kolmesti,..., n kert, derivoituv j puhutn kolmnsist,..., n:stä derivtoist. Merkintöjä Olkoon funktio f(x n-kertisesti derivoituv. Sen n:ttä derivtt merkitään mm. kuten f (n (x D n f(x dn f(x dx n. lhisen kertluvun derivtoist voidn myös käyttää sellisi merkintöjä kuin f (2 (x f (x DDf(x. Jos kyseessä on derivointi jn suhteen, merkitään usein d 2 f(t.. dt 2 f (t.

4 1.4 Sovelluksi Differentililskennn lukemttomist käyttökohteist käsitellään muutmi fysiikn knnlt ehkä tärkeähköjä sovelluksi. Suureiden muodostus Intuitiivisesti nopeudell ymmärretään ikyksikössä kuljettu mtk. Mtemttisen täsmälliseksi nopeuden käsite sdn määrittelemällä se rjrvon v(t lim t x(t + t x(t, (1.9 t kun oletetn trksteltvn objektin liikkuvn pitkin x-kseli j sen olevn pikss x(t hetkellä t. Derivtn määritelmästä (1.1 nähdään, että nopeus v(t hetkellä t on v(t dx(t ẋ(t. (1.1 dt Kiihtyvyys puolestn on nopeuden muutos ikyksikössä. Derivttojen vull ilmistun on siis pitkin x-kseli liikkuvn kppleen kiihtyvyys kirjoitettviss kuten (t dv(t dt d2 x(t dt 2 v(t..ẋ(t. (1.11 Muist lukemttomist derivttojen vull määritellyistä fysiikn käsitteistä minittkoon vikkp sähkövirt I dq dt sähkövruksen Q muuttuess jn t funktion ti teho P dw dt, missä W on hetkeen t mennessä tehty työ ti, kolmnten esimerkkinä kppleen tilvuuden V muutoksest iheutuvst pineen P muutoksest kertov puristusmouli (kompressibiliteetti B 1 V pproksimtio Derivtn määritelmästä (1.1 dp dv. f f(x + x f(x (x lim x x voidn rtkist f(x + x likimääräisesti: f(x + x f(x + f (x x. (1.12 Tämä reltio on sitä trkempi mitä pienempi x on. Välirvoluse Trksti otten on voimss ns. välirvoluse: Olkoon f derivoituv funktio. Tällöin pisteiden x j x + x välissä on olemss sellinen piste x että f (x f(x + x f(x. x Luseen mukn on siis trksti voimss f(x + x f(x + f (x x, missä x < x < x + x (oletten, että x >. Esim. sin x kun x on pieni Kvn (1.12 mukn on sin x x sin x cos x. Esim. Newton-Rphsonin menetelmä Tehtävänä on etsiä funktion f(x nollkoht, ts. rtkist yhtälö f(x. Oletetn, että f(x on derivoituv. Olkoon x jokin likirvo rtkisulle (stu esim. rvmll ti piirtämällä funktion kuvj. pproksimoidn funktiot pisteen x läheisyydessä (ks. kuv 1.2 linerisell kuvjll f(x f(x + f (x (x x. Tämän suorn j x-kselin leikkuspiste x 1 x f(x f (x on (yleensä prempi nollkohdn likirvo kuin lkuperäinen x. Kuv 1.2 Newton-Rphsonin itertio Toistetn sm menettely käyttäen pistettä x 1 lähtörvon, jolloin sdn ts (toivottvsti prempi likirvo x 2. Jtketn smll tvoin iteroiden, ts. lsketn likirvost x n likirvo x n+1 x n f(x n f (x n, niin kun kunnes f(x n on hlutull trkkuudell noll ti kunnes x n+1 poikke riittävän vähän edellisestä rvost x n. Äärirvot Funktion mksimikoht on sellinen piste, että poistuttess siitä mihin thns suuntn funktion rvo pienee. Vstvsti minimikohdst poistuttess funktion rvo ksv. Mksimi (minimi on pikllinen eli lokli, jos funktioll on muit rvoltn tätäkin suurempi (pienempiä mksimej (minimejä. Jos kyseessä on funktion suurin (pienin rvo, puhutn globlist ti bsoluuttisest mksimist (minimistä. Esim. kuvss 1.3 minimi kohdss x j mksimi kohdss x 1 ovt pikllisi. Kohdn x 2 minimi sttisi

5 N oll globli. B N N N N N! Kuv 1.3 Funktion äärirvot Derivoituvn funktion f(x äärirvokohdiss, ts. mksimeiss j minimeissä funktion tngentti on x-kselin suuntinen (ks. kuv 1.3 eli Derivoituvn funktion derivtt äärirvopisteissä on noll. Trksti otten derivtt häviää sellisiss äärirvopisteissä, jotk sijitsevt funktion määrittelylueen sisällä. Jos esim. funktio f(x on määritelty siten, että f(x x 2, kun 1 x 1, mksimit (rvoltn 1 sijitsevt reunpisteissä x ±1. Pisteitä, joiss derivtt häviää snotn kriittisiksi pisteiksi. Derivtn häviäminen on siis äärirvon välttämätön ehto. Se ei kuitenkn ole riittävä. Esim. kuvss 1.3 kohdn x 3 vsemmll puolen funktio on pienempi j oikell puolen suurempi kuin pisteessä x 3. Jos funktio on khdesti derivoituv, voimme toisest derivtst päätellä kriittisen pisteen luonteen: siirryttäessä mksimikohdn yli vsemmlt oikelle ensimmäinen derivtt pienenee, ts. toinen derivtt on negtiivinen, siirryttäessä minimikohdn yli vsemmlt oikelle ensimmäinen derivtt ksv, ts. toinen derivtt on positiivinen, jos toinen derivtt on noll kriittisessä pisteessä, kyseessä ei ole mksimi eikä minimi. Esim. Funktion f(x 3x 4 4x 3 kriittiset pisteet Derivtt on nyt f (x 12x 3 12x 2 12x 2 (x 1. Kriittiset pisteet sdn settmll f (x, ts. rtkistn yhtälö 12x 2 (x 1. Kriittiset pisteet ovt siten j 1. Funktion toinen derivtt on f (x 36x 2 24x, joten f ( j f (1 12. Piste 1 on siis minimi mutt piste ei ole mksimi eikä minimi. l Hospitlin sääntö Hyvin monesti rj-rvoj lskettess päädytään muoto /, / ti oleviin lusekkeisiin. Jos kyseessä ovt derivoituvt funktiot, voidn useimmiten sovelt l Hospitlin sääntöä Jos f (x lim x g (x j jos joko ti niin Perusteluj f(x j g(x kun x g(x ± kun x, f(x lim x g(x. Trkstelln esimerkkinä tpust, missä on äärellinen j missä sekä f( että g(. Voimme siis kirjoitt Nyt f(x f(x f( g(x g(x g(. F (z g(z[f(x f(] f(z[g(x g(] on derivoituv rgumentin z funktio j F (x F (. Välirvoluseen mukn pisteiden x j välissä on sellinen piste β, että F (x F ( + F (β(x. Pisteessä β on siis F (β eli g (β[f(x f(] f (β[g(x g(]. Smme siis f(x g(x f (β g (β, missä β on pisteiden x j välissä. Kun nyt x, niin myöskin β j voimme kirjoitt f(x lim x g(x lim f (x x g (x. Esim. lim x sin x/x Sekä osoittj että nimittäjä lähestyvät noll rgumentin lähestyessä noll j funktiot ovt derivoituvi. Voimme siis sovelt l Hospitlin sääntöä: sin x lim x x lim cos x 1 x Esim. lim x sin 2 2x/x 2 l Hospitlin sääntö on ilmeisestikin sovellettviss j smme sin 2 2x 4 sin 2x cos 2x lim x x 2 lim x 2x sin 2x 2x lim 2 cos 2x lim 2sin x x x x. Päädymme siten edelleen muoto / olevn lusekkeeseen. Sovelletn tähän uudelleen l Hospitlin sääntöä, jolloin sdn 2x cos 2x lim 2sin lim 4 4. x x x 1 Esim. lim x + x ln x Tässä merkintä x + trkoitt, että x lähestyy noll positiiviselt puolelt. Tämä rjoitus on setettu, jott

6 logritmifunktio olisi määritelty. Nyt x j ln x, joten l Hospitlin säännön soveltmiseksi kirjoitetn rj-rvo muotoon lim x ln x lim x + x + ln x 1. x Nyt sekä osoittj että nimittäjä lähestyvät ääretöntä j l Hospitlin sääntö on jälleen käyttökelpoinen: lim x ln x lim x + x + 1 x 1 x 2 lim ( x. x Usemmn muuttujn funktiot Osittisderivtt Trkstelln esimerkkinä sähkökentässä liikkuv vrttu hiukkst. Jos kentän voimkkuus riippuu pikst, hiukksen potentilienergikin riippuu hiukksen pikst kolmiulotteisess vruudess, koordinteist x, y j z. Hiukksen energi w voisi kuvt usemmn muuttujn funktio w w(x, y, z. Kysymykseen, mikä on energin muutos kun hiukksen x-koordintti muuttuu hiemn, nt vstuksen osittisderivtt w x : w x lim x w(x + x, y, z w(x, y, z. (1.13 x Energin muutos kun on kirjoitettviss muotoon w w x x. Vstvsti määritellään osittisderivtt funktion muidenkin muuttujien suhteen. Funktion osittisderivtt jonkin muuttujn suhteen sdn siis derivoimll funktio tämän muuttujn suhteen pitäen muit muuttuji vkioin. Mikäli osittisderivtt ovt edelleen muuttujiens derivoituvi funktioit, voidn lske korkempi derivttoj. Jos esimerkiksi w x on muuttujien x, y j z derivoituv funktio, voimme konstruoid mm. osittisderivtt 2 w x 2 2 w x x x 2 w x ( w. x ( w x Jos funktio j sen osittisderivtt ovt riittävän pehmeitä (useimmiss fysiklisiss probleemoiss ne ovt sekderivtoiss ei derivointijärjestyksellä ole merkitystä, ts. 2 w x 2 w x. Osittisderivtn kertluku kertoo, kuink mont kert funktiot on derivoitu. Esim. Funktion g(x, y x 3 + 7x 2 y y 3 osittisderivtt toiseen kertlukuun skk Ensimmäisen kertluvun derivtt ovt j toisen kertluvun g x 3x2 + 14xy g 7x 2 3y 2 2 g x 2 x (3x2 + 14xy 6x + 14y 2 g x (3x2 + 14xy 14x 2 g x x (7x2 3y 2 14x 2 g 2 (7x2 3y 2 6y. Nähdään mm. että 2 g x 2 g x, kuten pitääkin. Osittisderivttoj merkitään joskus myös kirjoittmll lindeksiksi muuttujt, joiden suhteen on derivoitu. Esim. g y g, gxx 2 g x 2, gxy 2 g x, jne. Kokonisdifferentili Trkstelln usemmn muuttujn funktiot f(x 1, x 2,..., x n Muuttujien vritiost iheutuv funktion muutos on f f x 1 x 1 + f x 2 x f x n x n. (1.14 Tämä reltio sdn trkksi infinitesimlisell rjll x i. Tällöin kirjoitetn df f x 1 dx 1 + f x 2 dx f x n dx n. (1.15 Suurett df snotn kokonisdifferentiliksi. Miksi summ? Tehtävänä on lske f f(x + x, y + y, z,... f(x, y, z,.... Siirrytään ensin pisteeseen (x + x, y, z,..., missä f(x + x, y, z,... f(x, y, z,... + f(x, y, z,... x x. Jtketn tästä pisteeseen (x + x, y + y, z,..., missä tällä kert Nyt f(x + x, y + y, z,... f(x + x, y, z,... f(x + x, y, z,... y f(x + x, y, z,... + y. ( f(x, y, z,... f(x, y, z,... + x x f(x, y, z,... y + 2 f(x, y, z,... x y x y.

7 Kosk vritiot x, y,... ovt pieniä, ovt niiden tulot sitäkin pienempiä. Infinitesimlisell rjll kvdrttiset termit dx 2, dx dy,... häviävät kokonn verrttun linerisiin termeihin. Siksi voimme kirjoitt jolloin f(x + x, y, z,... y f(x, y, z,... f(x + x, y + y, z,... f(x, y, z,... y, f(x, y, z,... + x x f(x, y, z,... + y. Käsittelemällä smoin loputkin muuttujt päädymme summlusekkeseen (1.14 j siitä edelleen kokonisdifferentiliin (1.15. Esim. Sylinterin tilvuuden mittus Määrätään sylinterin tilvuus mittmll sen korkeus h j pohjn hlkisij d. Tilvuus on silloin V 1 4 πd2 h. Mikään mittus ei ole bsoluuttisen trkk. rvioidn nyt, että hlkisijn mittuksess virhe on suuruusluokk d j vstvsti korkeuden mittuksess suuruusluokk h. Näistä mittusten epätrkkuuksist iheutuu tilvuuteen virhe V V V d + d h h 1 2 πdh d πd2 h. Poikkemt d j h voivt oll positiivisi ti negtiivisi. rvioitess vrmn päälle vlitn merkit siten, että termit ovt positiivisi eli V mx 1 2 πdh d πd2 h. Kosk virheet thtovt oll sitä suurempi mitä suurempi ovt mitttvt suureet, relevntimpi epätrkkuuden mitt on suhteellinen virhe V V 1 1 mx 4 d2 h V mx 2 d d + h h. jtelln nyt, että ikisemmss esimerkissämme sähkökentän voimkkuutt vihdelln jn funktion. Hiukksen energi riippuu nyt siis myös jst t: w w(x, y, z, t. Vstus kysymykseen, mikä on energin muutos ikvälillä t, on hiemn monimutkisempi. Hiukksen pikk näet muuttuu myös jn myötä, ts. x x(t, y y(t j z z(t, sen lisäksi että energi riippuu eksplisiittisesti jst. Ketjusäännön (1.6 mukn x-koordinttiin liittyvä muutos on tällöin w x x t t. Jos x ei riipu jn lisäksi muist muuttujist, voidn osittisderivtt x t korvt tvllisell derivtll dx dt ẋ. Muihin muuttujiin liittyvät vstvt lusekkeet. Kun vielä otetn huomioon eksplisiittinen ikriippuvuus päädytään muutokseen w w. x t + w. y t + w. z t + w x t t. Tämä sdn jälleen eksktiksi siirtymällä infinitesimliselle rjlle: ( w. dw x + w. y + w. z + w dt. x t Jkmll puolittin differentilill dt päädymme kokonisderivtksi kutsuttuun lusekkeeseen dw dt w. x + w. y + w. z + w x t. Itse siss kokonisderivtt on ivn tvllinen derivtt. Jos nimittäin sijoitmme funktioon koordinttifunktiot w w(x, y, z, t x x(t, y y(t, z z(t päädymme vin jst riippuvn funktioon. Merkitään tätä funktiot kuten g(t w(x(t, y(t, z(t, t. Kokonisderivtt dw dt j funktion g tvllinen ikderivtt dg dt yhtyvät, ts. dg dt w. x + w. y + w. z + w x t. Esim. Funktion f(x, y, t sin(xy 2 + 2t kokonisderivtt, kun x(t t j y(t cos t Koordinttien ikderivtt ovt ẋ 1 j ẏ sin t, joten kokonisderivtt on df dt f. x + f. y + f x t y 2 cos(xy 2 + 2t ẋ + 2xy cos(xy2 + 2t ẏ +2 cos(xy 2 + 2t cos(t cos 2 t + 2t ( cos 2 t 2t sin t cos t + 2. Toislt voidn kirjoitt f(x, y, t sin(xy 2 + 2t sin(t cos 2 t + 2t g(t. Funktion g derivtt on dg dt cos(t cos2 t + 2t ( cos 2 t 2t sin t cos t + 2, mikä on sm kuin kokonisderivtt.

8 Implisiittinen derivointi Trkstelln khden muuttujn funktiot f(x, y j yhtälöä f(x, y c, (1.16 missä c on vkio. Peritteess tästä yhtälöstä voitisiin (ehkä rtkist muuttuj y. Tämä rtkisu riippuisi tietenkin muuttujst x. Voimme siis jtell, että yhtälö (1.16 määrää implisiittisesti funktion y(x. Funktion f (kokonisdifferentili on df f f dx + x dy. Jos hlutn yhtälön (1.16 olevn voimss, täytyy myös differentilien noudtt sitä, ts. täytyy oll df dc. Vkion differentili on noll, joten smme yhtälön f f dx + dy. x Jkmll differentilill dx smme f x + f dy dx j funktion y derivtksi niin ollen f dy dx x. (1.17 f Tämä derivtn muodostustp tunnetn implisiittisenä derivointin. Esim. Yksikköympyrän tngentti Olkoon nyt f(x, y x 2 + y 2. Silloin origokeskisen yksikköympyrän yhtälö on j oikell puolen joten f(x, y x dc (c vkio, dx + f(x, y dy dx. Tämä joht ikisempn derivtn lusekkeeseemme (1.17. Esim. Muodost implisiittisesti derivtt dy dx yhtälöstä sin(xy + y x Voitisiin kirjoitt vikkp f(x, y sin(xy + y x, jolloin olisi f(x, y. Toislt muoto p(x, y q(x, y olevien yhtälöiden knss voimme edetä suorviivisemmin j yksinkertisesti derivoid yhtälöt molemmin puolin. Tässä tpuksess siis ( d (sin(xy + y cos(xy y + x dy + dy dx dx dx j d dx x 1. Hiemn ryhmittäen voidn kirjoitt (1 + x cos(xy dy dx 1 y cos(xy, jost smme derivtksi dy dx 1 y cos(xy 1 + x cos(xy. On helppo todet, että kv (1.17 joht smn lusekkeeseen. x 2 + y 2 f(x, y 1. Ympyrän kehällä derivtt on f dy dx x x y. f Tulos on helppo trkist derivoimll ympyrän yhtälöstä rtkistu y muuttujn x suhteen. Käytännössä implisiittinen derivtt muodostetn usein suorviivisemmin. Olkoon f(x, y c muuttuji x j y toisiins sitov ehto. Oletetn, muuttuj y on rtkistviss muuttujn x funktion, ts. y y(x. Sijoittmll tämä sdn f(x, y(x c. Derivointi muuttujn x suhteen yhtälön vsemmll puolell nt df(x, y(x dx f(x, y(x x + f(x, y(x dy(x dx

9 N N D " N " $ N % 2. Integrlilskent 2.1 Määrätty integrli Trkstelln suljetull välillä [, b] määriteltyä ploittin jtkuv rjoitettu funktiot f(x. Jetn väli [, b] n yhtäsuureen h-mittiseen osn, j merkitään ts. h b n (2.1 x k + kh, (2.2 x, x 1 + h, x 2 + 2h,..., x n b. (2.3 N B N Kuv 2.1 Porrssumm B N > N Jkoon (2.3 liittyvä porrssumm on n 1 S n h f(x k. (2.4 k Geometrisesti summn jokinen termi k hf(x k esittää suorkiteen, leveydeltään h j korkeudeltn f(x k, pint-l. Kosk jkovälin pituus h on positiivinen, pint-l k on positiivinen jos f(x k on positiivinen j negtiivinen jos f(x k on negtiivinen. Summ S n (2.4 pproksimoi siten välillä [, b] käyrän y f(x j x-kselin väliin jäävää pint-l siten, että x-kselin yläpuolinen os lsketn positiivisen j lpuolinen os negtiivisen. Tämä pproksimtio on ilmeisestikin sitä trkempi mitä tiheämpi jko on, ts. mitä pienempi on h ti mitä suurempi on n. Voidn osoitt, että jon (2.3 tihentyessä summ (2.4 lähestyy äärellistä rj-rvo, ts. rj-rvo S lim n S n on olemss j äärellinen. Tätä rj-rvo snotn funktion f(x määrätyksi integrliksi välillä [, b]. Sitä merkitään kuten b f(x dx lim n h n 1 f(x k. (2.5 k Geometrisesti määrätty integrli on ilmeisestikin käyrän y f(x j x-kselin väliin jäävä pint-l Määrätyn integrlin ominisuuksi Tyhjä integroimisväli Olkoon integrointiväli [, ], ts. se sisältää vin yhden pisteen. Tällöin on f(x dx, (2.6 sillä integrlin määritelmässä (2.5 jkoväli h ( /n on in noll riippumtt jkopisteiden lukumäärästä. Integrointirjojen vihto Määrittelimme (2.5 integrlin vsemmlt oikelle eli integroimisvälissä [, b] oli b. Tällöin jkoväli h (b /n on positiivinen. Voimme myös jtell integrointi oikelt vsemmlle, jolloin jkovälistä (2.1 tulee negtiivinen. Tämän huomioonotten määrittelemme b f(x dx b f(x dx. (2.7 dditiivisuus Jos c on integroimisvälin [, b] sisäpiste, nähdään määritelmästä (2.5 että voimme koost integrlin ploist, kuten b f(x dx c f(x dx + b c f(x dx. (2.8 Otten huomioon rjojen vihto-ominisuuden (2.7 näemme, että dditiivisuus (2.8 on voimss olivtp, b j c mitä thns funktion määrittelylueen pisteitä. Linerisuus Integrlin määritelmästä (2.5 nähdään, että integrointi on linerinen opertio, ts. b [αf(x + βg(x]dx α b f(x dx + β b g(x dx. (2.9 Integroimismuuttujn vihto Integrlin b f(x dx rvo (käyrän j x-kselin välinen pint-l ei ilmeisestikään riipu muuttujst x. On siis ivn smntekevää, millä symbolill funktion rgumentti merkitään, ts. b b f(x dx f(s ds. ( Kertymäfunktio Funktion f kertymäfunktio K on K(x x f(t dt. (2.11 Ilmeisestikin pisteessä kertymäfunktio on noll, sillä K( f(t dt.

10 Kertymäfunktio (2.11 imoitt käyrän j x-kselin välisen pint-ln kohdst kohtn x. nnetn kertymäfunktion rgumentille (pieni lisäys x. Vstv kertymäfunktion muutos K K(x + x K(x on silloin suuruudeltn likimin kuvn 2.2 vrjostetun lueen pint-l xf(x, ts. K(x + x K(x xf(x. B N N, N N, N Kuv 2.2 Kertymäfunktion derivtt Tämä reltio on ilmeisestikin sitä trkempi mitä pienempi x on, joten smme eli K(x + x K(x lim f(x x x K (x d dx x f(t dt f(x. ( Integrlifunktio Funtio F on funktion f integrlifunktio, jos F (x f(x. (2.13 Integrlifunktio ei ole yksikäsitteinen. Jos nimittäin F on funktion f integrlifunktio, niin mikä thns muoto F (x + C olev funktio on myös integrlifunktio kun C on vkio: Jokinen kertymäfunktio d dx [F (x + C] F (x f(x. K(x x f(t dt on lrjst riippumtt funktion f integrlifunktio. Yleisesti voidn osoitt, että Olkoon f integroituv funktio, jonk eräs integrlifunktio on F. Tällöin jokinen funktion f integrlifunktio on muoto F (x + C. Vkiot C snotn integroimisvkioksi. Kertymäfunktiokin on siis muoto K(x x f(t dt F (x + C. Integroimisvkio C määräytyy nyt lkuehdost eli K( F ( + C C F (. Kosk määrätty integrli b f(x dx voidn ilmist kertymäfunktion smme b f(x dx K(b F (b + C, b f(x dx F (b F (. (2.14 Tämä ominisuus on ilmeisestikin voimss olip F mikä hyvänsä funktion f integrlifunktio. Määrättyjä integrlej lskettess käytetään usein sijoitusmerkintää: b f(t dt / b F (t F (b F (. (2.15 Integrlifunktiost on tpn käyttää merkintää f(x dx, ts. Funktiot f snotn integroitvksi. f(x dx F (x + C. (2.16 Usein jätetään integroimisvkio merkitsemättä, ts. kirjoitetn f(x dx F (x, missä F on jokin funktion f integrlifunktio. Toisinn käytetään myös kertymäfunktiomerkintää spesifioimtt lrj eli f(x dx x f(t dt. Hiemn huolimttomsti silloin tällöin käytetään integrointimuuttujlle j ylärjlle sm symboli, esim. 2.4 Integrlien lsku f(x dx x f(x dx. Integrlifunktion määritelmästä Ktsotn esimerkkinä potenssifunktioit. Kosk on Dx n+1 (n + 1x n, x n dx xn+1 n + 1 ; n 1. Käsitellään tpus n 1 erikseen. Kosk sdn silloin D ln x 1 x ; x >, 1 dx ln x; x >. x

11 Otetn toisen esimerkkinä sini- j kosinifunktiot. Kosk D sin x cos x D cos x sin x, ovt integrlifunktiot vstvsti sin x dx cos x cos x dx sin x. Muutmien yksinkertisten funktioiden integrlifunktioit on esitetty tulukoss f(x f(x dx x x ( x 1 ln x sin x cos x cos x sin x e x e x (2.17 Integrointimenetelmiä Toisin kuin derivointi integrointi ei yleensä ole suorviivinen mekninen toimenpide. Integrlifunktion etsinnässä on käytössä lukuisi menetelmiä, joist tässä esitämme muutmi tärkeimpiä. Kosk derivointi on linerinen opertio, myös integrointi on linerinen, ts. [αf(x+βg(x] dx α f(x dx+β g(x dx, (2.18 missä α j β ovt vkioit. Linerisuusominisuuden perusteell voimme lske esim. minkä thns polynomin integrlin. Jos polynomi on muoto, P (x + 1 x + 2 x 2 + n x n, on sen integrli P (x dx x x x n + 1 nx n+1. Derivoinnin ketjusäännön (1.6 mukn on d dx g(f(x g (f(xf (x g (f(xf (x dx g(f(x. (2.19 Esim. x cos(3x 2 dx Koitetn kirjoitt integroitv muotoon g (zz. Kokeilln funktiot z 3x 2, jolloin z 6x. Nyt pitäisi siis löytää sellinen g, että g (zz 6xg (3x 2 x cos(3x 2. Tämä toteutuu, jos g(z 1/6 sin z j smme siis x cos(3x 2 dx g(3x sin(3x2. Esim. f (x/f(x dx Ketjusäännön funktiot g vst nyt ln-funktio, joten f (x dx ln f(x. f(x Ketjusääntöön perustuu myös muuttujnvihto- eli sijoitustekniikk. Olkoon F funktion f integrlifunktio, jok siis toteutt reltion Ketjusäännön mukn on d F (x f(x. dx d dt F (h(t F (h(th (t f(h(th (t. Integroimll yhtälö puolittin sdn siten F (h(t f(h(th (t dt, jonk voimme myös kirjoitt muotoon f(x dx f(h(th (t dt. (2.2 Voidn jtell, että vsemmn puoleisen integrlin integrointimuuttuj on itsekin funktio x h(t. Tällöin on dx dt h (t, jost rtkistu differentili dx h (t dt sijoitetn integrliin. Lsketn sijoitusmenettelyn esimerkkinä integrli ln x x dx. Sijoitetn t ln x, jolloin dt 1/x dx eli Integrli on siten ln x x dx dx xdt. 1 2 t2. t x x dt t dt Sijoitetn tkisin t ln x, jolloin sdn lopult ln x x dx 1 2 ln2 x. Integroinnin tulos knntt yleensä trkist derivoimll. Äskeisessä esimerkissä derivointi nt [ ] d 1 dx 2 ln2 x ln x 1 x ln x x kuten pitääkin. Vihdettess muuttuj määrätyssä integrliss on muistettv viht vstvsti myös integrlin rjt. Kun integrliin I b f(x dx

12 sijoitetn x h(t, niin uuden integrointimuuttujn t rjt ovt h 1 ( j h 1 (b (h 1 on h:n käänteisfunktio. Määrätty integrli on siten sijoituksen jälkeen muoto I h 1 (b h 1 ( f(h(th (t dt. Lsketn esimerkkinä määrätty integrli π/3 π/6 sin 3x dx. Sijoitetn t 3x, jolloin dt 3 dx sekä rjt 3π/6 j 3π/3. Smme siis π/3 π/6 sin 3x dx 1 3 π π/2 sin t dt 1 3 Integroimll tulon derivointisäännön π / cos t 1 π/2 3. d dx [f(xg(x] f (xg(x + f(xg (x smme osittisintegrointisäännön f (xg(x dx f(xg(x f(xg (x dx. (2.21 Sovelletn osittisintegrointi integrliin x ln x dx. Olkoon säännön (2.21 f (x x j g(x ln x. Silloin on f(x 1/2 x 2 j g (x 1/x j smme x ln x dx 1 2 x2 ln x 1 x x dx 1 2 x2 ln x 1 x dx x2 ln x 1 4 x2. Viimeisenä menetelmänä trkstelemme muoto R P n Q m olevien murtolusekkeiden integrointi, kun P n j Q m ovt n:nnen j m:nnen steen polynomej. Jos osoittj on steluvultn suurempi kuin nimittäj, tehdään polynomien jkolsku j päädytään lusekkeeseen R T n m + S Q m, missä T n m on stett n m olev osmääräpolynomi j S jkojäännöspolynomi. Polynomi T n m on helppo integroid, joten jäljelle jää jälleen muoto P n /Q m olev murtofunktio, missä nyt on n < m. Mitään yleistä sääntöä murtolusekkeiden Lsketn osmurtohjotelmn esimerkkinä integrli 4 x 2 1 dx. Nyt integroitvn nimittäjä on x 2 1 (x 1(x + 1. Kirjoitmme 4 x 2 1 x 1 + b x + 1 j määräämme vkiot j b siten, että yhtälö on voimss kikill muuttujn x rvoill. Viedään oike puoli smn muotoon kuin vsenkin eli x 1 + b x + 1 (x b(x 1 x 2 1 ( + bx + ( b x 2. 1 Jott tämä olisi yhtäsuuri lkuperäisen lusekkeen knss, täytyy oll + b j b 4, joten 2 j b 2. Integrli on siten 4 x 2 1 dx 2 x 1 dx 2 x + 1 dx 2 ln x 1 2 ln x + 1 ln(x 1 2 ln(x ( 2 x 1 ln. x + 1 Integrointivkio j logritmifunkiot Trksti otten esim. integrliin 1 dx ln x + 1 x + 1 tulisi liittää integrointivkio, ts. 1 dx ln x c. x + 1 Kosk jokinen reliluku on jonkin positiivisen luvun logritmi, on tässä yhteydessä usein tpn kirjoitt c ln C, jolloin 1 dx ln x ln C ln C x + 1. x + 1 Integroinnin puvälineet Kun omt neuvot eivät riitä, voi turvutu puvälineisiin. Integrlej on tulukoitu lukuisiin kirjoihin, joist prs lienee Grdshteyn nd Ryzhik: Tble of Integrls, Series, nd Procts. Toinen mhdollisuus on käyttää symboliseen lskentn tehtyjä tietokoneohjelmi. Näistä tunnetuimpi ovt Mple j Mthemtic. R P n Q m ; (n < m integroimiseksi ei ole. Silloin kun nimittäjä Q m jkutuu ensimmäisen steen tekijöihin voidn funktio hjott osmurtoihin.

13 N + + N + O O * O * N * N O O H N H 3. Vektorit 3.1 Vektorin käsite Fysiklisten suureiden spesifioimiseksi ei useinkn pelkkä suureen koko ole riittävä. Esimerkiksi liikettä kuvttess on yleensä trpeen kerto myös liikkeen suunt kolmiulotteisess vruudessmme. Liikkeen puolestn iheutt johonkin suuntn vikuttv jonkin suuruinen voim. Tällisi suureit kuvmn on luotu vektorit. Vektori on suure, joll on suunt j suuruus. Sklri puolestn on suure, joll on vin suuruus. Grfisesti vektori esitetään nuolen, jonk kärki osoitt vektorin suunnn j pituus vektorin suuruuden. N O origoon, jolloin vektori kuvisivt sen kärjen koordintit. Kääntäen, mitä thns vruuden pistettä voidn pitää origost lähtevän vektorin kärkenä. Tällöin puhutn usein pikk- eli rdiusvektorist. Kuv 3.2 Pikkvektori H 2 N O N O Esimerkiksi msspisteen pikk vruudess voisi kuvt pikkvektori r (x, y, z N + O Jos piste on liikkeessä, niin sen koordintit x, y j z ovt jn funktioit, joten pikkvektorin r kärkikin liikkuu jn myötä: * * * N * O r r(t (x(t, y(t, z(t. Kuv 3.1 Vektorin esitys Määritelmän mukn vektorin pikll vruudess ei ole merkitystä. Esimerkiksi kuvn 3.1 kikki kolme vektori ovt smoj, ts. B C. Merkintöjä Tekstissä vektoreit merkitään tvllisesti (mm. tässä esityksessä lihvoitetuill symboleill (, r,β,.... Käsin kirjoitettess vektoreiden päälle piirretään useimmiten yläviiv, Ā, joskus nuoli,. Vlituss koordintistoss vektori voidn spesifioid esim. ntmll kksi suuntkulm, vikkp vektorin j z-kselin välinen kulm sekä vektorin xy-tsoll olevn projektion j x-kselin välinen kulm, j vektorin pituus. ntmll vektorin koordinttikseleill olevien projektioiden pituudet (merkki huomioiden. Käytämme luksi lähes yksinomn jälkimmäistä esitystä. Vektorin spesifioivt siis sen projektiot koordinttikseleille: kolmiulotteisess vruudess relilukukolmikko ( x, y, z, ( x, y, z. Projektioit x,... snotn vektorin koordinteiksi ti komponenenteiksi. Puhutn myös vektorin komponenttiesityksestä. Kosk vektorin pikll ei ole merkitystä, voisimme siirtää kikki vektorit vlitsemmme koordintiston Kuv 3.3 Liikkuv piste J J Liikkuvn pisteen nopeus v määräytyy ilmeisestikin sen koordinttien muutosnopeuksist ẋ(t, ẏ (t j ż(t, ts. v(t (ẋ(t, ẏ (t, ż(t. Jos vielä sovimme, että vektori derivoidn derivoimll sen komponentit, voimme kirjoitt ytimekkäästi v(t ṙ(t. Vektorin määritelmän perusteell vektorit ( x, y, z j b (b x, b y, b z ovt yhtäsuuri jos j vin jos niiden vstinkomponentit ovt yhtäsuuri, ts. jos j vin jos x b x, y b y j z b z. Tällöin merkitään b. Vektorin jtelln olevn jotkin bsoluuttist; vektori on olemss j pysyy smn käytettiinpä millist koordintisto thns ti toimittiinp ilmn koordintisto. Vektorin esitys komponenttimuodoss sen sijn riippuu vlitust koordintistost. Mittkv j koordinttikseleiden suunnt vikuttvt vektorin komponentteihin. Esimerkiksi vektoreiden yhtäsuuruudest päätettäessä on pidettävä huoli siitä, että ne esitetään smss koordintistoss. Määritellään nollvektori siten, että (,,. (3.1

14 N * * * O N O N O Grfisesti khden vektorin j B summ siis muodostetn siirtämällä esim. vektori B siten, että sen knt yhtyy vektorin kärkeen. Summ- eli resultnttivektori + B on silloin vektorin knnst vektorin B kärkeen ulottuv vektori. Erotusvektori voidn puolestn muodost siten, että siirretään molempien vektorien knnt smn kohtn. Erotus B on nyt vektorin B kärjestä vektorin kärkeen ulottuv vektori. Kuv 3.4 Vektorin pituus Lskutoimitusten ominisuuksi Suorn määritelmistä on helppo todet, että Vektorin suuruus on sm kuin vektorin pituus. Kuten kuvst 3.4 nähdään, on vektorin ( x, y, z pituus Pythgorn luseen mukn 2 x + 2 y + 2 z. (3.2 Hyvin usein vektorist käytetty symboli ilmn vektorimerkintää trkoitt ko. vektorin pituutt, esim.. Ilmeisestikin jos j vin jos. Tämän vuoksi hyvin usein jätetään vektorimerkintä pois nollvektorist. 3.2 Vektorilgebr Sklrill kertominen Olkoon ( x, y, z jokin vektori j λ jokin relinen vkio. Silloin λ on vektori λ (λ x, λ y, λ z. (3.3 Sklrill λ kerrottess vektori siis säilyttää suuntns jos λ > ti kääntyy vstkkiseen suuntn jos λ <. Vektorin pituus muuttuu vkioll λ kerrottess kuten λ λ. Yhteen- j vähennyslsku Vektorien ( x, y, z j B (B x, B y, B z summn määrittelee yhtälö + B ( x + B x, y + B y, z + B z. (3.4 j erotuksen yhtälö B + ( 1B ( x B x, y B y, z B z. * * Kuv 3.5 Vektorien yhteen- j vähennyslsku (3.5 Vektoreiden yhteenlsku on kommuttiivinen, ts. + B B +. Vektoreiden yhteenlsku on ssositiivinen, ts. + (B + C ( + B + C. Sulut voidn siis tämän kltisiss lusekkeiss jättää merkitsemättä. Sklrill kertominen on distributiivinen, ts. λ( + B λ + λb. Yksikkövektorit Yksikkövektori on sellinen vektori, jonk pituus on yksi. Esim. Vektorin (5, 3, 2 suuntinen yksikkövektori Vektorin pituus on Tällöin vektori (5, 3, 2 ( 5 6, 1 2, on vektorin suuntinen. Se on ilmeisestikin myös yksikön mittinen, sillä Yksikkövektorit erotetn usein kirjoittmll ˆ-merkki vektorin yläpuolelle, kuten esim. ˆb. Jos smss yhteydessä puhutn myös vektorist b, niin silloin ˆb trkoitt yleensä vektorin b suuntist yksikkövektori. Koordinttikseleiden suuntisi yksikkövektoreit snotán yksikkökoordinttivektoreiksi ti lyhyesti kntvektoreiksi. Niitä merkitään usein kuten e x (1,, e y (, 1, e z (,, 1.. Toinen hyvin pljon käytetty merkitsemistp on (3.6 i e x, j e y j k e z. (3.7

15 * Kosk vektori voidn kirjoitt kuten ( x, y, z ( x,, + (, y, + (,, z x (1,, + y (, 1, + z (,, 1, sdn sille komponenttiesitykset x e x + y e y + z e z x i + y j + z k. 3.3 Vektoreiden tulot Pistetulo Vektoreiden ( x, y, z j B (B x, B y, B z Pistetulon eli sklritulon B määrittelee kv B x B x + y B y + z B z. (3.8 Merkintä 2 trkoitt vektorin sklritulo itsensä knss eli 2 2 x + 2 y + 2 z 2. Vektorin pituus on siis ilmistviss sklritulon vull kuten 2. Suorn määritelmästä nähdään, että pistetulo on kommuttiivinen, ts. B B. on distributiivinen: (B + C B + C. sklrill kerrottess toteutt reltiot λ( B (λ B (λb. Esim. Cuchy-Schwrtzin epäyhtälö Olkoot j B nollst poikkevi vektoreit j λ mielivltinen sklri. Trkstelln vektoreiden λ j B resultntti λ + B j erikoisesti sen pituuden neliötä q(λ λ + B 2. Kuten näimme, vektorin pituuden neliö on vektorin sklritulo itsensä knss, ts. q(λ (λ + B (λ + B λ 2 + λ B + λb + B B λ λ B + B 2 ( 2 λ 2 + 2λ B 2 + B 2, missä olemme käyttäneet hyväksi sklritulon ominisuksi (distributiivisuus, kommuttiivisuus jne.. Täydennetään sulkujen sisällä olev luseke neliöksi j sdn ( q(λ 2 λ 2 + 2λ B ( B ( B2 2 + B 2. Hiemn sieventäen j ryhmittäen voimme kirjoitt edellisen lusekkeen muotoon ( q(λ 2 λ + B ( 2 B 2 ( B 2 Tämän muodon ensimmäinen termi on neliönä in ei-negtiivinen, joten funktioll q(λ on minimi kun neliötermi on minimissään. Vlitsemll λ B/ 2 sdn neliötermi häviämään joten funktion q(λ minimi q min on sm kuin jälkimmäinen termi. Pituuden neliönä q(λ ei voi oll negtiivinen olip λ mitä hyvänsä, joten myös sen minimille täytyy oll voimss q min. Siis on 2 B 2 ( B 2. Tämä on kirjoitettviss Cuchy-Schwrtzin epäyhtälönä tunnettuun muotoon B B. (3.9 Oletimme, että j B. Jos nyt jompi kumpi ti molemmt ovt nolli, niin epäyhtälö on edelleenkin voimss (yhtäsuuruuten. Esim. Kolmioepäyhtälö Vektorit, B j + B muodostvt kolmion, jonk sivujen pituudet ovt, B j + B. Kääntäen, jokinen kolmio voidn esittää khten vektorin j niiden resultnttin. * Kuv 3.6 Kolmioepäyhtälö Nyt on + B 2 ( + B ( + B B + B B + B B + B 2 ( + B 2, missä viimeistä edellisessä muodoss olemme soveltneet Cuchy-Schwrzin epäyhtälöä. Päädymme siten kolmioepäyhtälönä tunnettuun reltioon + B + B, (3.1 jok kertoo sen tutun tosisin, että kolmioss khden sivun summ on in suurempi ti yhtäsuuri kuin kolms sivu. Pistetulon geometrinen merkitys Trkstelln nyt vektoreiden, B j B

16 D * E muodostm kolmiot. G *? I G *? I G Kuv 3.7 Pistetulon geometrinen merkitys Sivun B pituuden neliö on B 2 ( B ( B 2 + B 2 2 B 2 + B 2 2 B, missä j B trkoittvt vektoreiden j B pituuksi. Kuviost 3.7 nähdään, että vektoreiden, B j B muodostmn kolmion korkeuden h neliö on snotn näiden kntvektoreiden olevn ortonormlisi. Kirjoitetn vektori komponenttimuodoss x i + y j + z k. Kntvektoreiden ortonormlisuuden perusteell on mm. i x i i + y j i + z k i x Vektorin komponentit voidn siten lusu sklrituloin x i, y j j z k. Kntvektoreiden ortonormlisuudest seur smoin se, että muodoss x i + y j + z k j B B x i + B y j + B z k esitettyjen vektoreiden sklritulo on B x B x + y B y + z B z eli yhtäpitävä määritelmän (3.8 knss. h cos 2 θ, missä θ on vektoreiden j B välinen kulm. Edelleen Pythgorn lusett sovelten smme > C B 2 h 2 + (B cos θ cos 2 θ +B cos 2 θ 2B cos θ 2 + B 2 2B cos θ. Vertmll tätä ikisempn suureen B 2 lusekkeeseen näemme, että B B cos θ. (3.11 Kuviost 3.7 on luettviss myös tulkinnt: B on vektorin projektion pituus vektorill B kert vektorin B pituus ti vektorin B projektion pituus vektorill kert vektorin pituus. Vektoreiden välisen kulmn θ kosini on lusuttviss pistetulon vull kuten cos θ B B. (3.12 Ilmeisestikin vektorit j B ovt kohtisuorss toisin vstn jos B j yhdensuuntisi jos B B. Erikoisesti kntvektoreille i, j j k on voimss i j i k j k eli ne ovt toisin vstn kohtisuorss, ts. ortogonlisi. Kosk vielä on i i j j k k 1, Kuv 3.8 Suuntkulmt Vektorin j yksikkövektorin i välisen kulmn eli vektorin j x-kselin välisen kulmn α kosini on cos α i i x, missä. Vstvt lusekkeet sdn vektorin j y-kselin välisen kulmn β sekä vektorin j z-kselin välisen kulmn γ kosineille. Näemme siis, että vektori on kirjoitettviss suuntkulmiens α, β j γ vull mm. muodoss (cos α, cos β, cos γ. Olkoon nyt vektori Ensinnäkin on j toiseksi vektorien j väliselle kulmlle θ on voimss cos θ 1 1 1, joten on vektorin suuntinen yksikkövektori. Vektorin B projektio p vektorin suuntn voidn nyt lusu yksikkövektorin vull kuten p 1 B B.

17 . H * H Esim. Vektorin i 2j + k projektio vektorille B 4i 4j + 7k Vektorin B suuntinen yksikkövektori on b B B 4i 4j + 7k 42 + ( i 4 9 j k. Vektorin projektio tähän suuntn on p b (i 2j + k ( 4 9 i 4 9 j k (1( ( 2( (1( Esim. Voimn F 2i j k tekemä työ sen siirtäessä kpplett vektorin r 3i + 2j 5k knnst kärkeen Määritelmän mukn voimn tekemä työ on siirroksen suuntinen voim kerrottun siirron pituudell. Olkoon r jokin tson piste. Tällöin vektori B r on jonkin vektoreitten r j B kärkien kutt kulkevn tson suuntinen. Kosk tson piti oll kohtisuorss vektori vstn, täytyy vektorin B r oll kohtisuorss vektori vstn osoittip r mihin thns tson pisteeseen. Smme siis ehdon (B r tson pisteille r. Sijoittmll tähän r xi + yj + zk sekä vektoreiden j B eksplisiittiset lusekkeet sdn ((1 xi + (5 yj + (3 zk (2i + 3j + 6k 2x 3y 6z + (1(2 + (5(3 + (3(6 2x 3y 6z Kysytyn tson yhtälö on siis 2x + 3y + 6z Ristitulo Vektoreiden ( x, y, z j B (B x, B y, B Z ristitulon eli vektoritulon B määrittelee kv.? I G G Kuv 3.9 Voimn tekemä työ Kuvn mukisesti voimn F tekemä työ on W (F cos θr. Pistetulon vull tämä sdn kirjoitettu muotoon W F r. Tässä tpuksess työ on siis W (2i j k (3i + 2j 5k (2(3 + ( 1(2 + ( 1( Esim. Vektori 2i + 3j + 6k vstn kohtisuorss olevn j vektorin B i + 5j + 3k kärjen kutt kulkevn tson yhtälö Kuv 3.1 Tson yhtälö * H B ( y B z z B y, z B x x B z, x B y y B x. (3.13 Vektoritulon muodostmist uttnee muistisääntö: Tulo B lsketn siten, että kolmirivisen determinntin ylimmäksi riviksi kirjoitetn kntvektorit i, j j k (tässä järjestyksessä, keskimmäisen rivin muodostvt vektorin komponentit x, y j z (tässä järjestyksessä sekä limmn rivin vektorin B komponentit B x, B y j B z (tässä järjestyksessä, ts. B i j k x y z B x B y B z Determinnteist Determinntit ovt muoto n n n1 n2 nn. (3.14 olevi tulukoit. Niissä siis srkkeiden j rivien lukumäärä on sm. Puhutn n n-determinnteist ti n-rivisisistä determinnteist. Determinnteill on lukurvo. Meidän trkoituksiimme riittävät kksi- j kolmiriviset determinntit. Kksirivisen determinntin rvon määrittelee kv , 22 ts. kksirivisen determinntin rvo sdn vähentämällä lävistäjälkioden tulost sivulävistäjälkioiden tulo. Kolmirivinen determinntti lsketn helpoimmin kehittämällä se lideterminnttien vull: 1. kuhunkin determinntin lkioon liittyy merkki tulukon mukisesti.

18 N O 2. vlitn jokin vk- ti pystyrivi. 3. kuhunkin vlitun rivin ti srkkeen lkioon liittyy 2 2-lideterminntti, jok muodostetn lkuperäisestä determinntist pyyhkimällä siitä pois ko. lkion kutt kulkev vk- j pystyrivi. 4. käydään läpi kikki vlitun rivin ti srkkeen lkiot kertoen keskenään lkio vrustettun siihen liittyvällä merkillä j sen lideterminntti. Muodostettujen termien summ on determinntin rvo. Esim. Determinntti D Kehitetään vikkp oikenpuoleisimmn srkkeen mukn. Tämän ylimpään lkioon 2 liittyy merkki +. Vstv lideterminntti sdn pyyhkimällä pois ylin rivi j oikenpuoleisin srke. Päädymme termiin +( ( 2[(1( 3 (4( 2] 1. Vstvsti kehityssrkkeen toinen lkio nt termin ( [(2( 3 (1(4] 3 j lin lkio termin +( [(2( 2 (1(1] 2. Determinntin rvo D on näiden termien summ eli D ( 1 + (3 + ( 2. Determinntteihin liittyy useit lskusääntöjä. Tässä viheess meille riittänee tieto siitä, että determinntin merkki vihtuu vihdettess kksi vkriviä (ti kksi pystyriviä keskenään. determinntti on noll, jos sen kksi vkriviä (ti kksi pystyriviä ovt smoj. Kehitetään determinntti (3.14 ylimmän rivin mukn, jolloin i j k x y z i y z B x B y B z B y B z j x z B x B z +k x y B x B y ( y B z z B y i ( x B z z B x j +( x B y y B x k. Nähdään, että tämä todellkin yhtyy määritelmään (3.13. Determinnttiesityksestä nähdään mm. ominisuus B i j k x y z B x B y B z B. i j k B x B y B z x y z Siten ristitulon merkki vihtuu vihdettess tekijöiden järjestystä: B B. (3.15 Ristitulo ei siis ole kommuttiivinen. Ominisuudest (3.15 seur mm., joten vektorin ristitulo itsensä knss on noll,. (3.16 Suorn määritelmästä nähdään vektoritulon distributiivisuus (B + C B + C. (3.17 Sklrill kerrottess ristitulo noudtt yhtälöä λ( B (λ B (λb. (3.18 Ktsotn, millisi ovt yksikkövektoreiden ristitulot toistens knss. Lsketn esimerkkinä i j (1,, (, 1, (,, 1 (,, 1 k. Smll tvoin voimme todet, että muutkin kvoist i j k j k i k i j (3.19 pitävät pikkns. Koordintisto, jonk kntvektorit toteuttvt reltiot (3.19 snotn oikekätiseksi. Kuv 3.11 Oikekätinen koordintisto Oikekätisessä xyz-koordintistoss z-kselin suuntinen oikekätinen ruuvi postiiviseen kiertosuuntn kierrettäessä (kierretään lyhintä kutt positiiviselt x-kselilt positiiviselle y-kselille etenee positiivisen z-kselin suuntn. Sm si voidn ilmist myös ns. oiken käden kolmisormisääntönä: oiken käden peuklon osoittess x-kselin suuntn j etusormen y-kselin suuntn osoitt keskisormi z-kselin suunnn. Ristitulon geometrinen merkitys Vektorin B pituuden neliö on B 2 ( y B z z B y 2 + ( z B x x B z 2 +( x B y y B x 2.

19 * 2 H. Suorviivinen lsku osoitt, että tämä voidn kirjoitt muotoon B 2 ( 2 x + 2 y + 2 z(b 2 x + B 2 y + B 2 z Tämä ts on sm kuin ( x B x + y B y + z B z 2. B 2 2 B 2 ( B 2, missä jälleen j B trkoittvt vektoreiden j B pituuksi. Kirjoitetn pistetulo vektoreiden välisen kulmn θ vull, jolloin B 2 2 B 2 (1 cos 2 θ 2 B 2 sin 2 θ. Näemme siis, että ristitulovektorin B pituus on B B sin θ. Vektoreiden B j sklritulo on ( B x ( y B z z B y. + y ( z B x x B z + z ( x B y y B x Smoin nähdään, että B ( B. Vektori B on siis kohtisuorss molempi tekijöitään vstn eli kohtisuorss tekijöiden muodostm tso vstn. Tulovektorin suunt on pääteltävissä yksikkövektoreitten ristituloist (3.19: Vektoreiden j B ristitulo on B ( B sin θn, (3.2 missä θ on vektoreiden välinen kulm j n vektoreiden muodostm tso vstn kohtisuorss olev sellinen yksikkövektori että vektoreiden, B j n kolmikko (tässä järjestyksessä muodost oikekätisen systeemin. Oiken käden kolmisormisääntö lienee hvinnollisempi: Jos osoitt oiken käden peuklon suuntn j B etusormen suuntn niin B osoitt keskisormen suuntn (j on kohtisuorss vektoreit j B vstn. * G * Kuv 3.12 Ristitulon geometrinen merkitys Kuvss 3.12 vektoreiden j B muodostmn kolmion korkeus on B sin θ jos kolmion kntn pidetään vektori. Tämän kolmion pint-l on siten 1 2B sin θ, joten ristitulo on suuruudeltn tekijävektoreiden muodostmn suunnikkn pint-l. Esim. 2i 3j k j B i + 4j 2k, B, b B j c ( + B ( B i j k B i j k i + 3j + 11k. b i j k B i j k c Esim. H I E G 1i 3j 11k B. ( + B ( B ( B Vääntömomentti G +B ( B B +B B B B B 2 B 2i 6j 22k. Kuv 3.13 Vääntömomentti Määritelmän mukn voimn F vääntömomentti pisteen P suhteen on suuruudeltn F kert pisteen P kohtisuor etäisyys voimn vikutussuorst. Olkoon nyt r pisteestä P voimn vikutuspisteeseen suunnttu vektori j θ tämän vektorin j voimn välinen kulm. Kuvst nähdään, että pisteen P kohtisuor etäisyys vikutussuorst on r sin θ, joten vääntömomentti on suuruudeltn M F r sin θ r F. Vääntömomentin suunnst on sovittu, että voimn kiertämä vikutuspisteeseen setettu vikutustso (vektoreiden r j F muodostm tso vstn kohtisuorss olev oikekätinen ruuvi etenee vääntömomentin suuntn. Voimme siis kirjoitt M r F.

20 D G M M 2 H + L * Esim. Linerinen nopeus pyörivässä kppleess H I E G Kuv 3.14 Kulmnopeus j linerinen nopeus Oletetn, että kiinteä kpple pyörii origon O kutt kulkevn kselin ω ympäri kulmnopeudell ω. Vektori ω orientoidn siten, että vektorin suuntn ktsottun kpple pyörii myötäpäivään. Trkstelln kppleen pistettä P. Kppleen pyöriessä piste P seur sellisen ympyrän kehää, jok on kohtisuorss keskipisteensä kutt kulkev vektori ω vstn. Jos nyt r on pisteen P pikk sekä θ vektorien r j ω välinen kulm, niin tämän ympyrän säde on r sin θ. Ympyräliikkeen linerinen nopeus on suuruudeltn ympyrän säde kert kulmnopeus, ts. rω sin θ. Linerisen nopeuden suunt ts on ympyrän tngentin suuntinen eli nyt kohtisuorss vektoreit ω j r vstn. Oiken käden kolmisormisäännön perusteell voimme siten kirjoitt Kolmitulot v ω r. Sklrikolmitulo Trkstelln muoto (B C olevi kolmen vektórin tuloj. Vektoreiden j B C pistetulon tämä on sklri. Siksi sitä nimitetäänkin sklrikolmituloksi. Sklrikolmitulon geometrinen merkitys selvinnee ll olevst kuvst. * + Kuv 3.15 Sklrikolmitulo Vektoreiden, B j C muodostmn suuntissärmiön tilvuus on pohjsuunnikkn pint-l B C kert särmiön korkeus h. Korkeus ts on vektorin projektio pohjtso vstn kohtisuorlle suunnlle, esim. vektorille B C. Särmiön tilvuus V on siis V (B C. (3.21 Komponenttimuodoss sklrikolmitulo on (B C ( x i + y j + z k eli i j k B x B y B z C x C y C z ( x i + y j + z k ( i B y B z C y C z j B x C x +k B x B y C x C y B y B z x C y C z y B x C x B + x B y z C x C y x y z B x B y B z C x C y C z (B C x y z B x B y B z C x C y C z B z C z B z C z. (3.22 Kosk vihdettess kksi riviä keskenään determinntti viht merkkinsä, smme x y z (B C B x B y B z C x C y C z C x C y C z B x B y B z x y z C x C y C z x y z C ( B. B x B y B z Kosk sklritulo on kommuttiivinen, voimme kirjoitt tämän myös muotoon (B C ( B C (3.23 eli sklrikolmituloss pisteen j ristin pikn voi viht (sulkumerkkien pikt toki vihtuvt tässä opertioss. Vektorikolmitulo Vektorikolmituloll trkoitetn kolmen vektorin ristituloj (B C j ( B C. Nämä ovt yleensä erisuuri, joten sulkumerkit ovt oleellisi. Käsitellään edellistä muoto olevi kolmituloj (jälkimmäisen käsittely menee smll tvoin. Kosk kyseessä on vektoreiden j B C vektoritulo, on tuloskin vektori. Lsketn näytteeksi sen x-komponentti: ( (B C x i ( (B C 1 x y z B y B z B x B z B x C y C z C x C z C x y (B x C y B y C x + z (B x C z B z C x B y C y

21 B x ( x C x + y C y + z C z C x ( x B x + y B y + z B z ( C(B i ( B(C i i [( CB ( BC]. Smll tvoin voisimme lske niin tämän kolmitulon muut komponentit kuin myös jälkimmäisen muodon komponentit jolloin päätyisimme yhtälöihin (B C ( CB ( BC ( B C ( CB (B C. (3.24 Muistmist helpottnee molempiin tpuksiin soveltuv sääntö: vektorikolmitulo (kuempi ulkolähempi -(lähempi ulkokuempi, missä ulko trkoit sulkujen ulkopuolist tekijää, lähempi lähempänä j kuempi kuempn ulko -tekijästä olev sulkujen sisäpuolist vektori. 4. Potenssisrjoj 4.1 Äärettömät srjt Olkoon { n } jokin lukujono. Summ S n n + (4.1 n snotn äärettömäksi srjksi. Lukuj S n n k kutsutn ossummiksi. Äärettömän srjn, ti lyhyesti vin srjn, snotn suppenevn (konvergoituvn jos rj-rvo lim n S n on olemss. Jos rj-rvo ei ole, srj hjntuu (divergoi. lkko srj nollnnest, ensimmäisestä, toisest ti jostkin muust termistä on vin numerointikysymys. Summt k1 k, k2 k,... ti lyhyemmin 1 k, 2 k,... ovt myöskin (äärettömiä srjoj. Ktsotn esimerkkinä geometrist srj xn. Ossummt ovt S n k n x k 1 + x + + x n 1 xn+1 1 x 1 1 x xn+1 1 x. Tiedämme, että x n+1 kun x < 1. Tällöin siis lim S n 1 1 x. Toislt srj selvästikin hjntuu kun x 1. Olemme siis sneet tuloksen x n 1, kun x < 1. (4.2 1 x Se, että srjn termit lähestyvät noll, ei tk srjn suppenemist. Esimerksi hrmoninen srj 1 n n + 1 hjntuu. On olemss useit testejä, joill srjojen suppenemist voi tutki. Näistä ehkä käytetyin on suhdetesti: Olkoon n sellinen positiivisten termien srj, että rj-rvo lim n+1 / n q on olemss. Silloin jos q < 1, niin srj suppenee, jos q > 1, niin srj hjntuu j jos q 1, niin srj voi supet ti hjntu.