0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut

Transkriptio

1 0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z = x+iy, missä x,y R ja i 2 = 1 i: imaginääriyksikkö (käsitellään myöhemmin) Osajoukot: Reaalilukujen välia:sta b:hen, a < b: merkitään {x R a x b} tai lyhyesti x [a,b] tai a x b Yllä päätepisteet kuuluvat väliin: suljettu väli. Puoliavoin tai avoin väli x [a,b) tai a x < b x (a,b] tai a < x b x (a,b) tai a < x < b Yhtälöt ja niiden ratkaisu: 1. asteen yhtälö (a,b R) ax+b = 0 x = b/a jos a 0 Jos a = 0, yhtälö on b = 0 eikä se riipu muuttujasta x. 1

2 2. asteen yhtälö ax 2 +bx+c = 0 a,b,c R x = 1 2a ( b± b 2 ac) jos a 0 Reaalinen ratkaisu (ratkaisut) löytyy vain jos b 2 ac. Muutoin ratkaisut ovat kompleksisia (myöh.) Esimerkkejä: Epäyhtälö: x 2 2x+1 = 0 x = 1 2 (2± 2 2 ) = 1 x 2 +x+1 = 0 : koska 1 2 <, ei ratkaisua R:ssä. x 2 x 1 = 0 x = 1 2 (1± 1+) = 1 2 ± 5 2 x 2 9 > 0 x 2 > 9 x > 3 tai x < 3 Merkitään useinx > 3 x < 3, : tai. Samoin : ja Huom: 5x < 2 5x > 2 Suunta kääntyy kun kerrotaan/jaetaan negatiivisella luvulla! Samoin 1/x > 2 0 < x < 1/2 Mutta huomaa erikoistapaukset: 1 x < b Itseisarvo: x > 1/b x < 0, jos b > 0 1/b < x < 0, jos b < 0 x < 0, jos b = 0 x = { x, x 0 x, x < 0 2

3 Sääntöjä: x = x ab = a b a+b a + b kolmioepäyhtälö, h.t. Esimerkki: x+5 = 5 x+5 = 5 (x+5) = 5 x = 0 x = 10 Toinen: x (huom:itseisarvo aina 0) x 2 1 = 0 x = ±1 (elix = +1 x = 1) Kertausta alkeisfunktioista Funktio, kuvaus joukosta A B merkitään y = f(x), x A, y B missä A on lähtöjoukko (määrittelyjoukko) ja B on arvojoukko (t. maalijoukko). (Tai y = g(x),α = φ(β) jne.) Fysiikassa yleensä funktiot ovat kuvauksia reaaliluvuilta reaaliluvuille, R R (tai R:n osajoukko, esimerkiksi R + ), tai kompleksiluvuilta kompleksiluvuille C C. Käänteisfunktio: funktion y = f(x) käänteisfunktiota merkitään Esimerkki: x = f 1 (y) mikäli käänteisfunktio on olemassa. 3

4 y = f(x) = x 2, missä x 0 (R + R + ) x = f 1 (y) = y = y 1/2, mutta kuvaus R R +, y = x 2 ei ole käännettävissä, sillä jokaista y > 0 vastaa 2 x:n arvoa x = ± y. Mikäli (on olemassa) f 1, sanotaan että funktio f on bijektio. (f 1 ) 1 = f, ts. käänteisfunktion käänteisfunktio on funktio itse. Yhdistetty funktio: Olkoon annettu funktiot (R R, yksinkertaisuuden vuoksi) y = f(x),y = g(x). Näistä voidaan muodostaa kaksi yhdistettyä funktiota (myös R R) y = f(g(x)), y = g(f(x)). Esim. funktioista y = sinx ja y = x 2 saadaan yhdistetyt funktiot y = sinx 2 tai y = (sinx) 2 sin 2 x, missä viimeinen merkintä on konventio. Matematiikassa yhdistettyjä funktioita merkitään usein g f(x) = g(f(x)). Tätä ei kuitenkaan käytetä juuri fysiikassa. Potenssifunktio Potenssifunktio y = x µ missä µ R on vakio, kuvaa positiiviset reaaliluvut positiivisille reaaliluvuille (R + R + ). Sen käänteisfunktio on x = y 1/µ

5 Jos µ on positiivinen kokonaisluku, x µ on määritelty kaikilla x R; jos negatiivinen, x µ on määritelty joukossa {x R x 0}. Trigonometriset funktiot Sini- ja kosinifunktiot sinx ja cosx määritellään yksikköympyrällä: Yo. kuvassa on pituus otettava etumerkin kanssa, ts. sini ja kosini voivat olla negatiivisia. Kulma x on radiaaneina, ts. kaaren pituus yksikköympyrällä. Funktiot ovat ilmeisestikin jaksollisia (periodisia), jakson pituus 2π = täysi ympyrä. Käänteisfunktiot ovat y = sin 1 x = arcsinx, y = cos 1 x = arccosx monikäsitteisiä, ja näissä tavallisesti rajoitutaan päähaaraan ottamalla sopiva väli (ks. luku 1.2 luentomuistiinpanoista): y = sinx, π 2 x < π 2 x = arcsiny, 1 y < 1 y = cosx, 0 x < π x = arccosy, 1 < y 1 5

6 Tangentti ja kotangentti: tanx = sinx cosx cotx = cosx sinx Jälleen näillä on olemassa käänteisfunktiot, jos rajoitutaan päähaaralle, esim. y = tanx, π 2 < x < π 2 x = arctany, < y < Trigonometrisillä funktioilla on useita laskukaavoja, joista mainittakoon sin 2 x+cos 2 x = 1 (suoraan määritelmästä) sin(x+ π) = cosx 2 sin(x+y) = sinxcosy +cosxsiny cos(x+y) = cosxcosy sinxsiny Eksponenttifunktio ja logaritmi Eksponenttifunktio y = e x = expx 6

7 on kuvaus R R +. Sen käänteisfunktio on luonnollinen logaritmi x = lny, y > 0. (Tätä merkitään usein pelkästäänlogy, etenkin ohjelmoinnissa.) [ Tässä e on Neperin luku (James Napier, ), ja sen arvo voidaan kirjoittaa esim. seuraavilla tavoilla: e = ! + 1 2! + 1 3! = n! n=0 = lim k (1+ 1 k )k Nämä käyvät selviksi myöhemmin! ] Funktio e x kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio x µ, kun x. Samoin funktio lnx kasvaa hitaammin kuin mikään funktio x µ,µ > 0. Laskusääntöjä: (e x ) µ = e xµ e x+y = e x e y ln(xy) = lnx+lny (johda edellisestä!) lnx µ = µlnx (johda ensimmäisestä!) 7

8 Yleinen eksponenttifunktio voidaan muuntaa e:n eksponenttifunktioksi a x = e lnax = e xlna, a R + Tämän käänteisfunktio on a-kantainen logaritmi y = a x x = log a y = lny lna Huom: 10 x = e xln10 e x. Hyperboliset funktiot Hyperbolinen sini ja kosini määritellään eksponenttifunktion avulla: coshx = 1 2 (ex +e x ), sinhx = 1 2 (ex e x ). Analogisesti trigonometrisen tangetin kanssa näistä voidaan muodostaa hyperbolinen tangentti (ja kotangentti): tanhx = sinhx coshx 8

9 Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktioita kutsutaan areafunktioiksi, esim. y = sinh x x = sinh 1 y = arsinhx. 9

10 Geometrinen sarja Geometrinen sarja on kenties yksinkertaisin ja hyvin kätevä apuväline. Se saadaan summasta joka on muotoa S = a 0 +a 1 +a a n n a k, a R k=0 Sen summa on helppo laskea seuraavalla tempulla: S = a 0 +a 1 +a a n 1 +a n as = a 1 +a 2 +a a n +a n+1 vähennetään nämä, jolloin saadaan S as = a 0 a n+1 = 1 a n+1 S = 1 an+1 1 a Esimerkki: = = 63 Jos a < 1, niin sarja n k=0 an lähestyy äärellistä arvoa vaikkan, siis summataan ääretön määrä termejä. Tällöin sanotaan että sarja suppenee (tästä myöhemmin lisää!). Sarjan summa nähdään suoraan kaavasta S = 1 an+1 1 a n 1 1 a jos a < 1, sillä tällöin a n+1 0. Esimerkki: ( ) k 1 1 = 2 1 1/2 = 2 k=0 Huom: geometrinen sarja ei välttämättä ala potenssista 0: myös a k = a 5 +a = k=5 a k (a 0 +a 1 +a 2 +a 3 +a ) k=0 on geometrinen sarja, ja sekin suppenee jos a < 1. 10

11 Induktiopäättely Induktiopäättely on usein tepsivä apuväline jonkun kokonaisluvusta (n) riippuvan väitteen totuuden testaamiseen. Esimerkiksi onko totta että S n = n 3 = n2 (n+1) 2 Todistetaan tämä induktiolla: Osoitetaan ensin että väite toimi kun n = 1 (tai yleisesti pienin arvo millä väitteessä on mieltä). Oletetaan nyt että väite on tosi arvolla n, ja osoitetaan että tästä seuraa että tällöin väite on tosi myös arvolla n+1. väite tulee todistetuksi kaikilla n 1! Jos jompi kumpi askelista ei pidä paikkansa, väite ei ole tosi. Sovelletaan yo. kysymykseen: S 1 = 1 3 = 12 (1+1) 2. Toimii. OletetaanS n = n2 (n+1) 2. Nyt S n+1 = S n +(n+1) 3 = n2 (n+1) 2 +(n+1) 3 = (n+1)2 (n 2 +n+) Toimii, joten väite on tosi kaikilla n 1. = (n+1)2 (n+2) 2. 11