Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Transkriptio

1 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. ABC tai ABC

2 Painetussa tekstissä vektori esitetään tavallisesti lihavoidulla symbolilla ja käsin kirjoitetussa yläviivalla tai ylänuolella. Koordinaatistossa vektori voidaan spesifioida esim. antamalla vektorin koordinaattiakseleilla olevien projektioiden pituudet (merkki huomioiden): A ( A, A, A ) Projektiot ovat vektorin ns. koordinaatteja tai komponentteja. 50 Kaikki vektorit voidaan siirtää koordinaatiston origoon (paikalla ei ole merkitystä), jolloin vektoria kuvaa sen kärjen koordinaatit. Kääntäen, mitä tahansa avaruuden pistettä voidaan pitää origosta lähtevän vektorin kärkenä. Puhutaan ns. paikka- eli radiusvektorista.

3 51 Esim. Massapisteen paikkaa avaruudessa voidaan kuvata paikkavektorilla r ( xyz,, ). Jos piste liikkuu, sen koordinaatit x, y ja z ovat ajan funktioita ja paikkavektorin kärki liikkuu ajan myötä: rr () t ( xt (), yt (), zt ()) Liikkuvan pisteen nopeus v määräytyy koordinaattien muutosnopeuksista xt (), yt () ja zt (), ts. v ja voidaan kirjoittaa ( t) ( xt ( ), yt ( ), zt ( )) v () t r() t, kun sovitaan, että vektori derivoidaan derivoimalla sen komponentit.

4 Vektoreiden yhtäsuuruus: Vektorit a ( ax, ay, az) ja b ( bx, by, bz) ovat yhtäsuuria, a b, jos ja vain jos vastinkomponentit ovat yhtäsuuria, ts. ax bx, ay by ja az bz. 52 Nollavektori: 0 (0,0,0) Vektorin suuruus - on sama kuin vektorin pituus Vektorin A ( A, A, A ) pituus A on Pythagoraan lauseen mukaan A A A A Vektorin symboli ilman vektorimerkintää tarkoittaa tavallisesti vektorin pituutta, ts. A A A. On selvää, että A 0 jos ja vain jos A 0. Tämän vuoksi vektorimerkintä jätetään usein pois nollavektorista.

5 53 Esimerkki: Vektorin a alkupiste on ( 2, 3) ja kärki (4,2). Määritä vektorin komponentit ja laske pituus. Ratkaisu: Projektion pituus x-akselilla on 4 ( 2) 6 ja y-akselilla 2 ( 3) 5, joten a (6,5) ja a VEKTORIALGEBRA Skalaarilla kertominen Jos A ( A, A, A ) ja reaalinen vakio, niin A ( A, A, A ). Skalaarilla kerrottaessa vektori säilyttää suuntansa, jos 0 ja kääntyy vastakkaissuuntaiseksi, jos 0. Pituus muuttuu kuten A A

6 54 Yhteen ja vähennyslasku Vektoreiden A ( Ax, Ay, Az) ja B ( Bx, By, Bz) summa (ns. resultanttivektori) määritellään kuten AB ( A B, A B, A B ) x x y y z z ja erotus ABA( B ) ( A B, A B, A B ) Graafisesti: x x y y z z Esimerkki: On annettu vektorit a ( 2,2) ja b (3,4) Piirrä samaan koordinaatistoon origosta alkaen vektorit a, b, a b ja ab. Ratkaisu: a ( 2,2) b (3,4) ab (1,6) ab ( 5, 2) Graafisesti:

7 55 Laskutoimitusten ominaisuuksia Yhteenlasku on kommutatiivinen ABBA ja assosiatiivinen A( BC) ( AB) C Skalaarilla kertominen on distributiivinen ( AB) AB Yksikkövektorit Yksikkövektorin pituus on yksi. Esimerkki. Määritä vektorin A (5,3, 2) suuntainen yksikkövektori. Ratkaisu: Vektorin A pituus on A A 5 3 ( 2) jolloin vektori aˆ A (5,3, 2),, A on A:n suuntainen ja sen pituus on aˆ A A A1 A A A Huomaa merkintä â

8 56 Koordinaattiakseleiden suuntaiset yksikkövektorit eli yksikkökoordinaattivektorit ovat ns. kantavektoreita. e eˆ iˆi (1,0,0) x x e eˆ jˆj (0,1,0) y y e eˆ k k ˆ (0,0,1) z z Vektori voidaan aina kirjoittaa kuten A ( A, A, A ) ( A,0,0) (0, A,0) (0,0, A ) A (1,0,0) A (0,1,0) A (0,0,1) joten sille saadaan komponenttiesitys A Aeˆ A eˆ Aeˆ AˆiA ˆjAkˆ x x y y z z Esimerkki. Määritä vektorille a3ˆi4ˆj vastakkaissuuntainen vektori b, jonka pituus on 10. Ratkaisu: Vektorin a pituus on 2 2 a 3 ( 4) 25 5, joten 10 b( 1) (3 ˆ i4 ˆ j) 6 ˆ i8 ˆ j 5

9 Esimerkki: Määritä luku x siten, että vektorit a 2i xj ja b (2 x) i 3xj ovat yhdensuuntaiset. Ratkaisu: Nyt a 0, joten a ja b ovat yhdensuuntaiset, jos löytyy luku t ( 0) siten, että b ta. Lasketaan (2 x) i 3xj 2ti xtj, josta 2 x 2 t ja 3x xt. Jälkimmäisestä x 0 tai t 3. Kun t 3 sijoitetaan edelliseen, saadaan x 4. Siis vastaus x 0 tai x VEKTOREIDEN TULOT Pistetulo Vektoreiden A ( Ax, Ay, Az) ja B ( Bx, By, Bz) pistetulo eli skalaaritulo määritellään AB AB AB AB 2 A tarkoittaa x x y y z z Merkintä A AA Ax Ay Az A, joten vektorin pituus on A A 2

10 58 Pistetulo on - kommutatiivinen AB BA - distributiivinen A( BC) AB AC ja kerrottaessa skalaarilla toteuttaa relaatiot ( AB) ( A) BA( B ) Cauchy-Schwartzin epäyhtälö Voidaan osoittaa (katso esim. 2palsta.pdf), että AB AB. Jos jompi kumpi tai molemmat ovat nollavektoreita, yhtälö on voimassa yhtäsuuruutena. Esimerkki: Osoita, että Cauchy-Schwartzin epäyhtälö on voimassa yhtäsuuruutena, jos B A. 2 2 Ratkaisu: AA A A AA Esimerkki: Olkoon a (3, 5,0) ja b ( 1,3,4). Osoita, että Cauchy-Schwartzin epäyhtälö pätee. Ratkaisu ab a b ( 5) ( 1) Nyt ab ,7 eli 18

11 Esimerkki: Kolmioepäyhtälö. Osoita, että kolmiossa kahden sivun summa on aina suurempi tai yhtäsuuri kuin kolmas sivu. Ratkaisu: Vektorit A, B ja niiden summa A+B muodostavat kolmion, jonka sivujen pituudet ovat A, B ja A B. Nyt on AB ( AB) ( AB) A 2AB B A 2 AB B A 2 A B B ( A B ) CS eli AB A B mikä oli osoitettava. 59 Pistetulon geometrinen merkitys Tarkastellaan vektoreiden A, B ja A B muodostamaa kolmiota. Sivun A B pituuden neliö on AB ( AB) ( AB) A B 2AB Toisaalta, viereisen kuvan perusteella (Pythagoras) h A A cos ja edelleen Pythagoraan lausetta soveltaen

12 AB h ( BAcos ) A A cos B A cos 2ABcos 2 2 A B 2ABcos. Vertaamalla aikaisempaan näemme, että AB ABcos Kuvasta tulkitaan edelleen: Pistetulo AB on - vektorin A projektion pituus vektorilla B kertaa vektorin B pituus tai - vektorin B projektion pituus vektorilla A kertaa vektorin A pituus Vektoreiden A ja B välinen kulma lasketaan cos A B AB ja vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos AB 0 ja yhdensuuntaisia, jos AB AB Erikoisesti kantavektorit i, j ja k ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan (ortogonaalisia) ja niille pätee ijik jk 0. Koska edelleen ii jjkk 1, sanotaan, että kantavektorit ovat ortonormaalisia.

13 61 Suuntakulmat (suuntakosinit). Kirjoitetaan vektori A komponenttimuodossa A AxiAyj Azk. Kantavektoreiden ortonormaalisuuden perusteella Ai Axii Ayji Azki Ax Aj A y Ak A z Ai Ax ja esimerkiksi cos Ai A ja A voidaan kirjoittaa suuntakulmien avulla A A(cos,cos,cos ). Projektion laskeminen Olkoon a A:n suuntainen yksikkövektori, ts. 1 a A A Vektorin B projektio p vektorin A suuntaan voidaan laskea 1 p ABaB A

14 Esimerkki: Laske vektorin Ai2jk projektio vektorille B4i4j7k. Ratkaisu: Lasketaan ensin vektorin B suuntainen yksikkövektori: B 4i4j7k 4i4j7k b i j k B ( 4) Vektorin A projektio p tähän suuntaan on PbA Esimerkki: Laske voiman F2ijk tekemä työ, kun se siirtää kappaletta vektorin r3i2j5k kannasta kärkeen. Ratkaisu: Määritelmän mukaan voiman tekemä työ on siirroksen suuntainen voima kerrottuna siirroksen pituudella. Kuvan perusteella voiman F tekemä työ on W ( Fcos ) r, joka pistetulon avulla saa muodon W Fr Tässä tapauksesssa 62

15 W (2 ijk) (3i2j5 k ) (2)(3) ( 1)(2) ( 1)( 5) Esimerkki: Tason yhtälö. Määritä vektoria A2i3j6k vastaan kohtisuorassa olevan ja vektorin Bi5j3k kärjen kautta kulkevan tason yhtälö. Ratkaisu: Jos r-vektori osoittaa tason johonkin pisteeseen, niin B r on tasossa, ts. kohtisuorassa A:ta vastaan. Saadaan ehto ( Br) A 0. Kirjoitetaan r xi yjzk ja lasketaan 0 ((1 x) i(5 y) j(3 z) k) (2i3j6 k ) (1 x)(2) (5 y)(3) (3 z)(6) 2x3y6z x3y6z 35 Kysytyn tason yhtälö on siis 2x3y6z 35 63

16 Ristitulo Vektoreiden A ( Ax, Ay, Az) ja B ( Bx, By, Bz) ristitulo eli vektoritulo määritellään kuten AB( AB AB, AB AB, AB AB). y z z y z x x z x y y x Vektoritulon muistamista helpottaa determinantin avulla kirjoitettu muistisääntö i j k AB A A A, B B B joka kannattaa kehittää ylärivin mukaan A A A A A A i B B j B B k B B y z x z x y y z x z x y i( AB AB) j( AB AB) k ( AB AB) y z z y x z z x x y y x Tulos on sama kuin määritelmässä yllä. Determinantin ominaisuuksista: - merkki vaihtuu vaihdettaessa kaksi vaakariviä (tai pystyriviä) keskenään - arvo on nolla, jos sen kaksi vaakariviä (tai pystyriviä) ovat samoja.

17 65 Ominaisuuksia: Ristitulo ei ole kommutatiivinen, sillä ABBA. Vektorin ristitulo itsensä kanssa on nolla AA 0. Ristitulo on distributiivinen A( BC) ABAC. Skalaarilla kertominen ( AB) ( A) BA( B ). Yksikkövektorit i j k ij i(0) j(0) k(1) k ja samoin muut: ijk jk i ki j Huomaa syklisyys. Koordinaatisto, jossa ym. relaatiot ovat voimassa on ns. oikeakätinen koordinaatisto. Oikean käden kolmisormisääntö: i on peukalo, j on etusormi ja k on keskisormi

18 66 Ristitulon geometrinen merkitys Voidaan osoittaa, että ristitulon pituudelle pätee AB ABsin, missä on vektoreiden A ja B välinen kulma. Esimerkiksi näin: AB 2 ( AB AB ) ( AB AB) y z z y 2 z x x z 2 ( AB AB) x y y x =...(pitkähkö, mutta suoraviivainen lasku)... ( A A A )( B B B ) ( A B A B A B ) x x y y z z AB ( AB ) AB AB cos A B (1cos ) ( ABsin ) Vektoreiden AB ja A pistetulo on A( AB ) Ax( AB y z AB z y) Ay( AB z x AB x z) Az( AB x y AB y x) 0 ja samoin B( AB ) 0. Siis: Vektori AB on kohtisuorassa molempia tekijöitään vastaan eli on kohtisuorassa tekijävektoreiden virittämää tasoa vastaan.

19 Edelleen ristitulo voidaan kirjoittaa AB( ABsin ) n, missä n on vektoreiden virittämää tasoa vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, siten että kolmikko A, B ja n muodostavat (tässä järjestyksessä) oikeakätisen systeemin. 67 Kolmisormisääntö: A on peukalo, B on etusormi ja n on keskisormi. Kuvassa vektoreiden A ja B virittämän kolmion korkeus on Bsin, jos kantana on vektori A. Tämän kolmion pinta-ala on 1 2 ABsin, joten ristitulo on suuruudeltaan tekijävektoreiden virittämän suunnikkaan pinta-ala.

20 Esimerkki: On annettu vektorit A2i3jk ja Bi4j2k. Laske AB, B A ja ( AB) ( AB ). Ratkaisu: i j k AB i(6 4) j( 4 1) k (8 3) = 10i3j11k BAAB10i3j11k ( AB) ( AB) A( AB) B( AB ) AAABBABB 0ABAB02AB 20i6j22k 68

21 69 Esimerkkejä ristitulon käytöstä: Vääntömomentti: Voiman F vääntömomentti M pisteen P suhteen on suuruudeltaan F kertaa P:n kohtisuora etäisyys voiman vaikutussuorasta: M Fr sin rf Suuntasopimus: Pisteeseen P asetettu oikeakätinen ruuvi etenee M-vektorin suuntaan, kun voima F kiertää sitä. On siis MrF Esimerkki: Laske voiman vääntömomentti pisteen P suhteen, kun F 48 N ja väli PQ on 75 cm seuraavissa tapauksissa a) ja b):

22 70 Ratkaisu: Tässä r-vektori on PQ, joten sen ja F- vektorin välinen kulma on a) kohdassa 60 ja b) kohdassa 135. Vääntömomentin suuruus on M rf rf sin a) M (0.75m)(48N)sin Nm. Suunta paperiin päin. b) M (0.75m)(48N)sin Nm. Suunta paperiin päin. Ratanopeus ympyräradalla: Piste P pyörii kulmanopeudella origon O kautta kulkevan akselin ympäri (kuva). Pisteen paikkavektori on r ja ratanopeus (lineaarinen nopeus) v on radan tangentin suuntainen. Ympyräradan säde on (katkoviiva) r sin, joten rata-nopeuden suuruuden ja kulmanopeuden suuruuden vä-lille saadaan relaatio v r sin. Myös kulmanopeus on vektori, joka on akselin suuntainen siten, että sen suuntaan katsottaessa piste

23 pyörii myötäpäivään. Suunnat huomioiden voidaan kirjoittaa v r (tai v r) Kolmitulot Skalaarikolmitulo Muotoa A( BC ) oleva kolmen vektorin tulo on skalaari (siitä nimi). Sen geometrinen merkitys nähdään kuvasta: Vektoreiden muodostaman suuntaissärmiön tilavuus on pohjasuunnikkaan pinta-ala BC kertaa korkeus h. Korkeus h taas on vektorin A projektio vektorille BC, eli A( BC) h A cos BC missä on vektoreiden A ja Särmiön tilavuus on siis V hbc A( BC ) BC välinen kulma.

24 Komponenttimuodossa skalaarikolmitulo on i j k A( BC) ( Ai A j Ak ) B B B C C C B B B B B B A A A eli siis y z x z x y Cy Cz Cx C C z x Cy A( BC ) A A A B B B C C C A A A B B B C C C Kun kaksi vaakariviä vaihdetaan keskenään, determinantti vaihtaa merkkinsä: C C C C C C A( BC) B B B A A A C( AB) A A A B B B ja koska pistetulo on kommutatiivinen, saadaan A( BC) ( AB) C, ts. skalaarikolmitulossa pisteen ja ristin paikka voidaan vaihtaa. 72

25 73 Vektorikolmitulo - on muotoa A( BC ) tai ( AB) C. Jakamalla tulot komponentteihin voidaan johtaa seuraavat laskukaavat A( BC) ( ACB ) ( ABC ) ( AB) C( ACB ) ( BCA ) Esimerkki: On annettu vektorit a i 2 j k, b i 2 j k ja c 2i j k. Laske a( b c) ensin suoraan ja sitten ylläannetulla kaavalla. Ratkaisu: Suoraan: i j k bc i( 1) j(3) k(5) i j k a( bc) i(13) j(6) k( 1) On siis a( bc) 13i 6j k

26 Kaavalla: a( bc) ( acb ) ( abc ) (221) b(141) c 5b4c 5i 10 j 5k 8i 4 j4k 13i 6 j k 74