f(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2

Transkriptio

1 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu: Differentiaali tapauksessa k = voidaan laskea suoraviivaisesti seuraavasti: d f(, ) = f(, ) = =. Merkitään x = (x, x ). Lasketaan seuraavaksi hieman osittaisderivaattoja kaavan d k f(, )(h) = k k k f(, )h k h k käyttöä varten: k, k k +k =k f(x) = x x log(x ) f(x) = x x x f(x) = x x log(x ) f(x) = x x x log(x ) + x x = x x x log(x ) + x x x f(x) = (x )x x x. Nyt voimme laskea d f(, )(h) =, f(, )h +, f(, )h = h + = h d f(, )(h) =, f(, )h +, f(, )h h +, f(, )h = + h h + = h h.

2 6.. Etsi funktion f : R R, f(x, x ) = x + x x + x, kaikki differentiaalit d k f(, ), kun k. Ratkaisu: Olkoon f : R R ja f(x, x ) = x + x x + x. Nyt lasketaan kaikki differentiaalit d k f(, ), kun k. Määritelmän mukaan d k f(, )(h) = k k k f(, )h k h k. k, k Osittaisderivaatat ovat k +k =k f(x) = x + x x, f(, ) =, f(x) = x + x, f(, ) = 4, f(x) = 6x + x, f(, ) = 4, f(x) = 6x, f(, ) = 6, f(x) = x = f(x), f(x) = 6 = f(x), f(x) = = f(x) = f(x), f(x) = = f(x) = f(x), f(x) =,. =. f(, ) = = f(, ),

3 Itse differentiaaleiksi saadaan d f(, )(h) = f(, ) =, d f(, )(h) =, f(, )h +, f(, )h = h + 4h, d f(, )(h) =, f(, )h +, f(, )h h +, f(, )h = 4h + h h + ( 6)h = 4h + 4h h 6h, d f(, )(h) =, f(, )h +, f(, )h h +, f(, )h h +, f(, )h = 6h + h h + h h + 6h = 6h + 6h h + 6h, ja kun k 4 saadaan d k f(, )(h) =. 6.. Etsi edellisen tehtävän funktiolle f Taylorin polynomit T(, ) k, kun k. Ratkaisu: Yleinen kaava on (T k (, ) f)(h) = k i= i! di f(, )(h), joten poly-

4 nomeiksi saadaan (T(, )f)(h) = f(, ) =, (T(, )f)(h) = f(, ) + d f(, )h = + h + 4h, (T(, )f)(h) = (T(, )f)(h) +! d f(, )h = + h + 4h + h + h h h, (T(, )f)(h) = (T(, )f)(h) +! d f(, )h = + h + 4h + h + h h h + h + h h + h, (T(, )f)(h) 4 = (T(, )f)(h) Etsi funktion f : G R, G = {(x, x ) R x >, x > }, kriittiset pisteet kaikilla c R. f(x, x ) = x + x + cx x, Ratkaisu: Funktion kriittiset pisteet ovat sen gradientin nollakohtia. Lasketaan siis aluksi gradientti: lausekkeeksi saadaan f(x) = ( f(x), f(x)) = ( x + cx, x + cx ). Piste x on siis kriittinen piste, mikäli f(x) =. Tästä saadaan yhtälöryhmä x + cx = x + cx = jonka ratkaisuja etsitään funktion määrittelyalueesta, ts. x, x >. Nähdään heti, että jos c =, niin yhtälöt surkastuvat muotoon x = = x, jolla ei ole ratkaisuja, eli kriittisiä pisteitä ei ole, jos c =. Oletetaan sitten, että c. Ratkaisemalla x ylemmästä yhtälöstä saadaan x = c x, ja kun tämä sijoitetaan alempaan yhtälöön, saadaan yhtälö = (c x ) + cx = c x 4 + cx = cx ( cx + ). 4

5 Yhtälön ratkaisut ovat x = (joka ei käy, sillä vaaditaan x > ) sekä cx + =. Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan ratkaistua x = c / : jos c <, niin x < ja ratkaisu ei käy, mutta jos c > niin x > ja ratkaisu voi kelvata. Tiedetään siis jo, että tapauksessa c yhtälöryhmällä ei ole ratkaisuja, ja jos c > niin yhtälöryhmällä saattaa olla ratkaisu muuttujasta x riippuen. Aiemmin saatiin ratkaistua x = c x : kun tähän sijoitetaan muuttujan x ratkaisu x = c /, niin saadaan x = c (c / ) = c +/ = c / joka on myös positiivinen, kun c >, eli ratkaisu kelpaa, ja funktiolla on kriittinen piste (x, x ) = (c /, c / ). Loppuyhteenvetona: kriittisiä pisteitä ei ole, kun c, ja tilanteessa c > on kriittisiä pisteitä yksi, (c /, c / ) Etsi annetun funktion f lokaalit ääriarvot: (a) f : R R, f(x) = x + x x x x + 4, (b) f : R R, f(x) = x x x 4, (c) f : R R, f(x) = x + x + x + x x. Ratkaisu: (a) Lasketaan osittaisderivaatat f(x) = x + x 6x, f(x) = 6x x 6x, a = f(x) = 6x 6, b = f(x) = f(x) = 6x, c = f(x) = 6x 6. Martion kirjan mukaan (s. 6) funktion f lokaalit ääriarvot löytää kriittisten pisteiden joukosta. Etsitään kriittiset pisteet. Asetetaan ensin f(x) nollaksi: Tästä seuraa, että x = tai x =. 6x x 6x = 6x (x ) =. Kun x = ja asetetaan f(x) nollaksi, niin saadaan: x 6x = x (x ) =. 5

6 Tästä seuraa, että x = tai x =. Kun x = ja asetetaan f(x) nollaksi, niin saadaan: + x 6 = x = ±. Kokoomalla tulokset yhteen saadaan kriittisiksi pisteiksi (, ), (, ), (, ), (,). Martion kirja kannustaa tutkiman toisen asteen neliömuotoa: Q(h) = h T Ah, a b missä h = (h, h ) T ja A =. Matriisin A determinanttia voi (usein) b c käytää kriiittisten pisteiden karakterisoimisen apuna. Piste (, ): a = c = ja b = 6, joten ac b = 6 < eli Q on indefiniitti eli piste (, ) on satulapiste. Piste (, ): a = c = ja b = 6, joten ac b = 6 < eli Q on indefiniitti eli piste (, ) on satulapiste. Piste (, ): a = c = 6 ja b =, joten ac b = 6 > eli Q on negatiivisesti definiitti eli piste (, ) on aito lokaali maksimi. Piste (, ): a = c = 6 ja b =, joten ac b = 6 > eli Q on positiivisesti definiitti eli piste (, ) on aito lokaali minimi. Kuvassa on piirretty funktion f(x) = x + x x x x + 4 graafi, sekä kriittiset pisteet. (b) Lasketaan osittaisderivaatat f(x) = x 4x, f(x) = x, a = f(x) = 6x x, b = f(x) = f(x) =, c = f(x) =. Etsitään kriittiset pisteet. Asetetaan ensin f(x) nollaksi ja saadaan, että x =. Kun asetetaan f(x) nollaksi, niin saadaan: x 4x = 4x (x + /4) =. 6

7 x x.5.5 Kuva : Funktion f(x) = x + x x x x + 4 graafi ja kriittiset pisteet (, ), (, ), (, ), (,). Tästä seuraa, että x = tai x = /4. Eli kriittiset pisteet ovat (, ) ja ( /4, ). Piste (, ). Nyt a = b = c = eli Q on semidefiniitti. Nyt determinantista ei ole apua, vaan pitää keksiä jotain muuta. Kun x =, niin f(x) = x >, kun x >. Jos x = ja x >, niin f(x) = x x 4 < eli origon ympäristössä funktio f saa sekä positiivisia, että negatiivisia arvoja, joten piste (, ) ei ole lokaali aäriarvo. Piste ( /4, ): a = 9/4, b = ja c =, joten ac b = 8/4 < eli Q on indefiniitti eli piste ( /4, ) on satulapiste. Funktiolla f(x) = x x x 4 ei siis ole lokaaleja ääriarvoja. Kuvassa on piirretty funktion f graafi, sekä kriittiset pisteet. (c) Huomautus, että funktion alkuperäisessä määrittelyssä oli virhe. Lasketaan 7

8 x x.. Kuva : Funktion f(x) = x x x 4 graafi ja kriittiset pisteet (, ) ja (-/4,). osittaisderivaatat f(x) = x + x, f(x) = x + x + x, a = f(x) =, b = f(x) = f(x) =, c = f(x) = + 6x. Etsitään kriittiset pisteet. Asetetaan ensin f(x) nollaksi ja saadaan, että x = x /. Asettamalla f(x) nollaksi ja sijoittamalla x = x /, niin saadaan: x + x x / = x (x + /) =. Tästä seuraa, että x = tai x = /. Huomioimalla myös x = x / saadaan kriittiset pisteet (, ) ja (/4, /). Piste (, ): a =, b = ja c =, joten ac b = > eli Q on positiivisesti definiitti eli piste (, ) on aito lokaali minimi. 8

9 Piste (/4, /): a =, b = ja c =, joten ac b = < eli Q on indefiniitti eli piste (/4, /) on satulapiste. Kuvassa on piirretty funktion f(x) = x + x + x + x x graafi, sekä kriittiset pisteet x x Kuva : Funktion f(x) = x + x + x + x x graafi ja kriittiset pisteet (, ) ja (/4, /). 9