Matemaattinen Analyysi

Transkriptio

1 Vaasan yliopisto, / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä on: Karakteristinen yhtälö Homogeeniyhtälön (HY) yleinen ratkaisu y 0 (x) saadaan karakteristisen yhtälön juurien perusteella. Differentiyhtälön (DY) yksityisratkaisu y 1 (x) on mikä tahansa ratkaisu, joka toteuttaa DY:n. Saadaan yritteellä (tai vakiota varioimalla). Differentiyhtälön (DY) yleinen ratkaisu on HY:n yleisen ratkaisun ja DY:n yksitryisratkaisun summa, y(x) = y 0 (x) + y 1 (x) Alkuarvot y(0) =..., y (0) =... tms. määräävät yleisen ratkaisun vakiot C 1 ja C. Nyt kyseessä on lineaarinen, vakiokertoiminen, toisen kertaluvun DY ilman alkuarvoja. Vastaukseksi tulee siis DY:n yleinen ratkaisu, jossa on kaksi integroimisvakiota C 1 ja C. Karakteristinen yhtälö: r + r + = 0 r = ± 4 1 = ± ( 1) 4 ± i = = 1 ± i 1 r 1 = 1 + i, r = 1 i. (α = 1, β = 1) Homogeeniyhtälön (HY) yleinen ratkaisu y 0 (x). Kun karakteristisen yhtälön juuret ovat kompleksiset r = α ± βi, niin HY:n yleinen ratkaisu on e αx (C 1 cos(βx) +C sin(βx)). Nyt α = 1 ja β = 1, joten y 0 (x) = e x (C 1 cosx +C sinx). Differentiyhtälön (DY) yksityisratkaisu y 1 (x). Tehdään yrite y 1 (x) = Ax + B y 1 (x) = Ax + B y 1 (x) = A y 1 (x) = 0 Siis alkuperäisen DY:n eräs yksityisratkaisu on DY 0 + (A) + (Ax + B) = x Ax + (A + B) = x A = 0.5, ja B = 0.5 y 1 (x) = 0.5x 0.5 Differentiyhtälön (DY) yleinen ratkaisu on y(x) = y 0 (x) + y 1 (x), siis y(x) = e x (C 1 cosx +C sinx) + 0.5x 0.5

2 . Ratkaise y + 6y + 5y = 100, kun y(0) = 4 ja y (0) = Kommentti: Yleinen työlista on sama kuin edellisessä tehtävässä. Nyt alkuarvotkin on annettu, joten vastauksessa ei ole vakioita C 1 ja C. Karakteristinen yhtälö: r + 6r + 5 = 0 r = 6 ± = 6 ± 16 1 r 1 = 1, r = 5. = 6 ± 4 Homogeeniyhtälön (HY) yleinen ratkaisu y 0 (x). Kun karakteristisen yhtälön juuret ovat erisuuret reaaliluvut, niin y 0 (x) = C 1 e r 1x +C e r x. Nyt siis y 0 = C 1 e x +C e 5x Differentiyhtälön (DY) yksityisratkaisu y 1 (x). Tehdään yrite y 1 (x) = A (Yritetään vakiota, kun DY:n RHS on vakio) y 1 (x) = A y 1 (x) = 0 y 1 (x) = 0 Siis alkuperäisen DY:n eräs yksityisratkaisu on DY A = 100 y 1 (x) = 0. A = 0 Differentiyhtälön (DY) yleinen ratkaisu on y(x) = y 0 (x) + y 1 (x), siis y(x) = C 1 e x +C e 5x + 0, ja y (x) = C 1 e x 5C e 5x. Alkuarvot y(0) = 4 ja y (0) = antavat kaksi yhtälöä, joista C 1 ja C saadaan ratkaistua. { { { y(0) = 4 y (0) = C1 + C + 0 = 4 C 1 5C = C1 = 19.5 C = 3.5 Vastaus: y(x) = 19.5e x + 3.5e 5x + 0.

3 3. Tarkastellaan kulutustuotteen markkinoita. Tuotteen hinta on p ja määrä varastossa on q. Tuotteen kysyntä on D = a 1 b 1 p ja tarjonta on S = a + b p. Varaston muutosnopeus on q = S D. Varastoja pyritään pitämään keskimäärin suunnitellun kokoisena q e samoin hintaa pyritää ohjaamaan tavoitearvoonsa p e. Hintaa ohjataan tätä varten niin, että d p/dt = α(q e q) + β(p e p). Oletamme, että kaikki edellä esiintyneet vakiot a 1,b 1,a,b,q e,p e,α,β ovat positiivisia. Millainen tulee β:n arvon olla, jotta tasapaino olisi stabiili? Miten tasapaino riippuu tavoitehinnasta p e ja tavoitevarastosta q e. Mitä arvoa q lähestyy systeemin vakiintuessa? Muodostetaan vaiheittain hinnan p(t) aikakehitystä kuvaava differentiaaliyhtälö. Lähtökohta on tehtävässä annettu DY. (Huom kaikki derivaatat ovat nyt aikaderivaattoja, f = d f /dt.) p = α(q e q) + β(p e p) p = αq β p p = α(( a + b p) (a 1 b 1 p)) β p p + β p + α(b 1 + b )p = α(a 1 + a ) derivoidaan vielä kerran sijoitetaan q = S D p:t vasemmalle Tasapaino on stabiili, jos vakiokertoimisen DY:n kaikki kertoimet ovat positiivisia. Siis tasapaino on stabiili, jos β > 0. Tämä oli eräs tehtävän alkuoletuksista, joten voimme sanoa, että tasapaino on aina stabiili. Tämän differentiaaliyhtälön tasapainoratkaisu on DY:n yksityisratkaisu p 1 (t) = A, p 1 = 0 ja p 1 = 0. Sijoittamalla nämä DY:öön saadaan 0 + β 0 + α(b 1 + b )A = α(a 1 + a ) A = a 1 + a b 1 + b Siis tasapainohinta määräytyy kysynnästä ja tarjonnasta, eikä se riipu lainkaan tavoitehinnasta p e ja tavoitevarastosta q e. Lopulta, kun systeemi on päätynyt lähelle tasapainoa, niin DY toteutuu muodossa 0 = α(q e q) + β(p e A). Jos hinta oli alussa arvioitu väärin, niin varastokin vakiintuu eri arvoon kuin odotettiin. q q e = β ( p e a ) 1 + a α b 1 + b

4 4. Miten tehtävän 3 ratkaisu muuttuu, jos tuottajat reagoivat hitaasti ds/dt = γ(s e S), missä S e = a + b p Aloitamme taas samasta differentiaaliyhtälöstä p = α(q e q) + β(p e p) p = αq β p p = α(s a 1 + b 1 p) β p S = 1 α p β α p b 1 p + a 1 Derivoimme vielä kerran p = αs αb 1 p β p p = αγ(s e S) αb 1 p β p ( p = αγ [ a + b p] [ 1α p βα ]) p b 1 p + a 1 αb 1 p β p p = αγ ( a + b p + 1α p + βα ) p + b 1 p a 1 αb 1 p β p Järjestetään vielä p:tä ja sen derivaattoja sisältävät termit vasemmalle. DY menee silloin muotoon: p + (γ + β)p + (γβ + αb 1 )p + αγ(b 1 + b )p = αγ(a 1 + a ) Tasapainohinta on taas sama kuin edellä p tasap = (a 1 + a )/(b 1 + b ). Tasapainon stabiilisuudesta on nyt vaikeampi sanoa mitään helppoa. Emme ole tutkineet kolmannen kertaluvun differentiaaliyhtälöiden teoriaa. Kommentti: Differentiaaliyhtälön y +ay +by +cy = 0 analyysissä voimme merkitä y = u ja y = u = v. Saamme joukon differentiaaliyhtälöitä v = av bu cy u = v y = u v u y = a b c } {{ } =A Jos sopivalla kannan vaihdolla matriisi A daataisiin diagonaaliseksi, niin DY:lle saataisiin samalla helposti käsiteltävä muoto. Diagonalisointi onnistuu ominaisarvohajoitelman avulla. Harjoituksen vuoksi kirjoitamme matriisin A karakteristisen yhtälön: v u y a r b c 1 r r = 0 +( a r) (r 0) ( b) ( r 0) + ( c) (1 0) = 0 Saimme DY:n karakteristisen yhtälön! r 3 ar br c = 0

5 5. Miten tehtävän 3 ratkaisu muuttuu, jos asiakkaat lykkäävät ostojaan hinnan ollessa laskussa ja aientavat ostojaan hinnan ollessa nousussa. Mallinnamme asian seuraavasti Aloitamme samoin kuin edellä D = D 0 + c 1 p, missä D 0 = a 1 b 1 p p = α(q e q) + β(p e p) p = αq β p p = α(s D) β p p = α( a + b p (a 1 b 1 p + c 1 p )) β p Kertaluku ei nyt noussut yli kahden, joten johtopäätösten teko on helpompaa. Kun termit järjestetään normaaliin järjestykseen, menee DY muotoon Tasapainohinta ei taaskaan muuttunut p + (β αc 1 )p + α(b 1 + b )p = α(a + a 1 ) p tasap = a 1 + a b 1 + b. Jos (β αc 1 ) > 0, niin tasapaino on stabiili. Jos siis asiakkaat lykkäävät ostopäätöksiään liian usein (c 1 suuri) on vaara joutua epästabiiliin tilaan. Oikea lääke silloin on kasvattaa säätöjärjestelmän parametria β.

6 6. Tarkastellaan kulutustuotteen markkinoita. Tuotteen hinta on p ja määrä varastossa on q. Tuotteen kysyntä on D = a 1 b 1 p+c 1 p ja tarjonta on S = a +b p+c p. Varaston muutosnopeus on q = S D. Varastoja pyritään pitämään keskimäärin suunnitellun kokoisena q e. Hintaa ohjataan tätä varten niin, että d p/dt = α(q e q). Oletamme, että kaikki edellä esiintyneet vakiot a 1,b 1,c 1,a,b,c,q e,α ovat positiivisia. a) Kirjoita hinnan kehitystä kuvaava differentiaaliyhtälö. b) Olkoon a 1 = 00,b 1 = 5,c 1 = 1.00,a = 60,b = 8,c = 3.00,q e = Missä rajoissa parametrin α tulee olla jotta mallin ratkaisu ei oskilloisi? Aloitamme samoin kuin edellä p = α(q e q) p = αq p = α(s D) p = α(( a + b p + c p ) (a 1 b 1 p + c 1 p )) a) p + α(c c 1 )p + α(b 1 + b )p = α(a + a 1 ) Tasapainohinta on (yllätys-yllätys!) p tasap = a 1 + a b 1 + b. Tasapaino on stabiili, jos α(c c 1 ) > 0. Tasapaino on siis stabiili, jos tarjonta reagoi hinnan muutoksiin voimakkaammin kuin kysyntä. b) Annetuilla parametrien arvoilla DY saa muodon: p + α p + α 13 p = α 60 Karakteristinen yhtälö on r + αr + 13α = 0. Ratkaisu ei oskilloi, jos karakteristisen yhtälön juuret ovat reaaliset. Juuret ovat reaaliset, jos karakteristisen yhtälön diskriminantti on ei-negatiivinen. Siis ei oskilloi (α) α 0 4α(α 13) 0 α 13. Vaihtoehto α 0 jätetään nyt pois, koska tehtävän oletuksena oli, että kaikki mallin parametrit (myös α) ovat ei-negatiivisia. Vastaus: a) p + α(c c 1 )p + α(b 1 + b )p = α(a + a 1 ), b) α 13.