Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Transkriptio

1 Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle versiolle saadaan yksittäisratkaisu y H (y) = e y dy = e lny = y akion varioinnilla ratkaistaessa sijoitetaan(y) = H (y)c(y) yhtälöön (), jolloin saadaan C (y) H (y) = y ja edelleen Integroimalla saadaan C(y) = y C (y) = y H (y) = y y = y +B, joten ratkaisuksi saadaan (y) = H (y)c(y) = y( y +B) = (y3 +By) Ratkaistaan seuraavista differentiaaliyhtälöistä ne, jotka ovat eksakteja (a) Merkitään f(,y) = +e y +e y ja g(,y) = e + Tällöin differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon jolle Siis f(,y) y f(,y) y +e y +e y +(e +)y = 0 () f(,y)+g(,y)y = 0, = e +e ja g(, y) = e +e = g(,y), joten (jos f ja g ovat riitävän säännöllisiä) yhtälö () on eksakti differentiaaliyhtälö Haetaan seuraavaksi yhtälölle f(,y)d+c 0 (y) = g(,y)d+c () (3) ratkaisut c 0 (y) ja c () Koska d(e ) d edelleen yhtälö (3) saadaan muotoon = e + e saadaan e d = e e ja +e y +c 0 (y) = y +e y +c (), josta voidaan valita c 0 (y) = y ja c () = (ilman integrointivakiota) alitaan F(,y) = +y +e y,

2 jolloin yhtälö () saadaan muotoon ja ratkaisuksi saadaan F(,y) Sieventämällä saadaan lopulta ratkaisuksi + F(,y) y = 0 d(f(,y)) = 0 y d F(,y) = +y +e y = C y = C e + (b) Merkitään f(,y) = y ja g(,y) = y 3y Tällöin differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon jolle Siis f(,y) y 3 (a) Differentiaaliyhtälö saadaan muotoon f(,y) y y +( y 3y)y = 0 (4) f(,y)+g(,y)y = 0, = y ja g(, y) = y g(,y), joten yhtälö (4) ei ole eksakti differentiaaliyhtälö y = y +y + (5) y = y + ( y ) +, jonka sijoitus z = y (y = z +z) saattaa muotoon z +z = z +z + ja edelleen separoituvaksi differentiaaliyhtälöksi Ratkaistaan tämä: z z + = z = z + (6) z + dz = d arctan z = ln+c Siis saadaan yhtälön (6) ratkaisuksi ja edelleen yhtälön (5) ratkaisuksi z = tan( ln+c ) y = z = tan( ln+c ) Huomautus: Yleensä kiinnostuksen kohteena ovat ratkaisut, jotka pätevät arvoille 0 (vertaa alkuehdot; ratkaisut kuitenkin yleensä pätevät paljon laajemminkin)

3 Edeltävä ratkaisu on pätevä vain arvoille > 0 (johtuen logaritmista) ja tällöinkin jää vielä äärettömän monta epäjatkuvuuskohtaa Jos halutaan ratkaista funktio myös arvoille < 0, pitäisi käyttää integraalia d = ln Arvo = 0 olisi kuitenkin edelleen poissuljettu Tällöin saataisiin yhtälön (6) ratkaisuksi ja edelleen yhtälön (5) ratkaisuksi z = tan( ln +C ) y = z = tan( ln +C ) Ylimääräistä: Sijoittamalla aluksi y = y (y = y ) saadaan yhtälöstä (5) yhtälö y = y + [ (y joka sijoituksella z = y (y = z +z) saadaan muotoon ) + ], (7) Ratkaistaan tämä: z z + = z = z + (8) z + dz = d arctanz = ln +C Siis saadaan yhtälön (8) ratkaisuksi ja edelleen yhtälön (7) ratkaisuksi arctanz = ln +C arctan y = ln +C, joka polaarimuodossa (huomaa: avaruudessa (,y )) voidaan esittää muodossa tai (b) Differentiaaliyhtälö r cosθ = e θ C = e θ C eθ C r = θ C cosθ = e cosθ y = +y (9) saadaan sijoituksella z = + y (y = z ) saattaa muotoon z = z ja edelleen separoituvaksi differentiaaliyhtälöksi z = z (0) 3

4 Ratkaistaan tämä: z z = dz = z d z = +C Siis saadaan yhtälön (0) ratkaisuksi ja edelleen yhtälön (9) ratkaisuksi z = (+C) y = z = (+C) = +(C )+C 4 Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y + y = ( +)y () Tämä on muodoltaan Bernoullin differentiaaliyhtälö, johon sovelletaan sijoitustaz = y = y (y = z z johtaen yhtälöön z z + z = + z ja edelleen saadaan kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö z z = + () Yhtälön () homogenisoidulle versiolle saadaan yksittäisratkaisu z z z H () = e d = e ln = akion varioinnilla ratkaistaessa sijoitetaan z() = z H ()C() yhtälöön (), jolloin saadaan C ()z H () = + ja edelleen C () = + = + Integroimalla saadaan C() = +B, joten ratkaisuksi yhtälölle () saadaan z() = z H ()C() = ( +B) = 3 +B ja edelleen yhtälölle () saadaan ratkaisuksi y() = z() = 3 +B 4

5 5 Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y +3y 8y = 0 (3) Tämä on muodoltaan Eulerin differentiaaliyhtälö, johon sovelletaan sijoitusta t = ln ( = e t ) aihtoehto: Määritellään funktio y (t), jolle y (t) = y(e t ) Tämän avulla saadaan y = dy d = dy dt dt d = y = y ja käyttäen edellistä ja tulon derivointikaavaa y = dy d = d ( ) y d = dy ( ) dt d dt d +y d = y y = y y, joiden avulla yhtälöstä (3) saadaan yhtälö y +y 8y = 0 (4) Yhtälön (4) karakteristinen yhtälö on λ +λ 8 = 0 eli (λ+) = 9, jonka juuret ovat λ = +3 = ja λ = 3 = 4 Täten yhtälön (4) yleinen ratkaisu on ja edelleen yhtälön (3) yleinen ratkaisu on 6 Olkoon t aika (min) altaan koko (vakio=0 5 l), y (t) = C e t +C e 4t, y() = C +C 4 v io veden virtausnopeus (vakio=0 l/min), c i altaaseen tulevan veden epäpuhtauden konsentraatio (vakio = 8 g/l), c o (t) altaasta poistuvan veden epäpuhtauden konsentraatio (g/l), y(t) epäpuhtauden määrä altaassa (g) Tällöin y(0) = 0 ja c o (t) = y(t) Lisäksi saadaan differentiaaliyhtälö y (t) = c i v io c o (t)v io = c i y(t) v io (5) Neljä eri variaatioita yksittäisratkaisun löytämiseksi: 5

6 aihtoehto: Ratkaistaan separoituva differentiaaliyhtälö (5): y c i y(t) = v io c i y(t) dy = vio d ln(c i y(t)) = v iot +C c i y(t) = C e v io t Sovitetaan vielä alkuehto y(0) = 0: C = c i Siis saadaan yhtälön (5) yksittäisratkaisuksi ) y(t) = c i ( e v io t ja sijoitetaan lopuksi annetut vakiot: y(t) = 8 0 5( e t 0 4 ) Kun t, termi e t eli y(t) Eli altaassa olevan epäpuhtauden määrä lähestyy arvoa grammaa, kun aika t aihtoehto: Ratkaistaan kertaluvun lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö (5) jonka yksittäisratkaisu on y (t)+ v io y(t) = c iv io y H () = e v io = e v io t akion variointi: sijoitetaany() = y H ()C() yhtälöön (5), jolloin saadaan yhtälöc ()y H () = c i v io ja edelleen C () = = = ci v io y H () d ci v io d e v io t c i v io e v io t d = c i e v io t +B Saadaan yleinen ratkaisu y() = y H ()C() = Be v io t +c i Sovitetaan vielä alkuehto y(0) = 0: B = c i Siis saadaan yhtälön (5) yksittäisratkaisuksi annetulla alkuehdolla ) y(t) = c i ( e v io t ja sijoitetaan lopuksi annetut vakiot: y(t) = 8 0 5( e t 0 4 ) Kun t, termi e t eli y(t) Eli altaassa olevan epäpuhtauden määrä lähestyy arvoa grammaa, kun aika t aihtoehto3: Sijoitetaan z(t) = c i y(t) (y (t) = z (t), z(0) = c i ), jolloin saadaan separoituva differentiaaliyhtälö z (t) = v io z(t) (6) 6

7 Ratkaistaan tämä: z z = v io z dz = vio d lnz = v iot +C z(t) = C e v io t Sovitetaan vielä alkuehto z(0) = c i : c i = z(0) = C Siis saadaan yhtälön (7) yksittäisratkaisuksi annetulla alkuehdolla ja edelleen yhtälön (5) yksittäisratkaisuksi ja sijoitetaan lopuksi annetut vakiot: z(t) = c i e v io t y(t) = c i ) ( e v io t y(t) = 8 0 5( e t 0 4 ) Kun t, termi e t eli y(t) Eli altaassa olevan epäpuhtauden määrä lähestyy arvoa grammaa, kun aika t aihtoehto4: Sijoitetaan z(t) = c i y(t) (y (t) = z (t), z(0) = c i ), jolloin saadaan kertaluvun lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö jonka yksittäisratkaisu on z (t)+ v io z(t) = 0, (7) z H () = e v io = e v io t akion variointi: sijoitetaanz() = z H ()C() yhtälöön (7), jolloin saadaan yhtälöc ()z H () = 0 ja edelleen C () = B ja lopuksi yleinen ratkaisu z() = z H ()C() = Be v io t Sovitetaan vielä alkuehto z(0) = c i : c i = z(0) = B Siis saadaan yhtälön (7) yksittäisratkaisuksi annetulla alkuehdolla ja edelleen yhtälön (5) yksittäisratkaisuksi ja sijoitetaan lopuksi annetut vakiot: z(t) = c i e v io t y(t) = c i ) ( e v io t y(t) = 8 0 5( e t 0 4 ) Kun t, termi e t eli y(t) Eli altaassa olevan epäpuhtauden määrä lähestyy arvoa grammaa, kun aika t 7

8 7 Ratkaistaan differentiaaliyhtälöiden pari { = 5 6y y = 3 4y, (8) kun ja y ovat muuttujan t funktioita aihtoehto: Differentiaaliyhtälöpari (8) voidaan nyt esittää muodossa ( ) ( )( ) 5 6 y = 3 4 y }{{} =A Ratkaistaan ensin matriisin A ominaisarvot: deta λi = 5 λ λ = (λ 5)(λ+4)+8 Ominaisarvot ovat siis λ = ja λ = = λ λ = (λ )(λ+) = 0 Ratkaistaan ominaisarvon λ = ominaisvektorit: ( ) ( ) 3 6 (A λ I) = ( 0 ) Ratkaisut: = y y Ratkaistaan ominaisarvon λ = ominaisvektorit: ( ) ( ) 6 6 (A λ I) = ( 0 ) Ratkaisut: = y y Täten saadaan differentiaaliyhtälöparille (8) ratkaisu ( ) ( ) ( ) = C y e t +C e t ( ) ( ) aihtoehto: Differentiaaliyhtälöpari (8) voidaan nyt esittää muodossa { { (D 5)+ 6y = 0 (D 5)(D +4)+6(D +4)y = 0 3+(D +4)y = 0 8 6(D +4)y = 0 Yhteenlaskemalla rivit saadaan (D D ) = 0, joka vastaa differentiaaliyhtälöä = 0, jonka karakteristisen yhtälön = ( ) 9 4 = 0 yleinen ratkaisu on (t) = C e t +C e t Yhtälöstä (D 5) + 6y = 0 saamme funktiolle y(t) yleiseksi ratkaisuksi y(t) = (t)+5(t) 6 = C e t +C e t = ( +5)C e t +(+5)C e t 6 8

9 Yhdistämällä nämä ratkaisut saamme differentiaaliyhtälöparille (8) ratkaisun ( ) ( ) ( ) = C y e t +C e t ( ) ( ) = C e t +C e t 8 Ratkaistaan differentiaaliyhtälö dy d = + y y käyttäen sijoitusta z = y (y = z + z) saadaan yhtälö (9) muotoon z + z = +z z ja edelleen separoituvaksi differentiaaliyhtälöksi Ratkaistaan tämä: z ( z) +z = Siis saadaan yhtälön (0) ratkaisuksi ja edelleen yhtälön (5) ratkaisuksi (9) z = +z z (0) +z dz z +z dz = d arctanz ln(+z ) = ln+c arctanz = ln+ ln(+z )+C arctanz = ln (+z ) +C arctanz = ln (+z ) +C arctan y = ln +y +C Ylimääräistä: Edellinen käy kyllä ratkaisuksi, mutta esitellään vielä pientä lisäystä Siirrytään napakoordinaatistoon (r,θ) (r = ( +y ), tanθ = y/), jolloin yhtälön (5) ratkaisu voidaan esittää muodossa r = e θ C = C e θ 9