BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi"

Transkriptio

1 BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015

2 Sisältö 1 Johdanto Peruskäsitteitä Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt Separoituvat differentiaaliyhtälöt Eksaktit differentiaaliyhtälöt Integroivat tekijät Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Bernoullin yhälö Käyräparven kohtisuorat leikkaajat Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Lineaarisesti riippumattomat ratkaisut kantaratkaisut Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt Euler Cauchy differentiaaliyhtälö Epähomogeeniset 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöt Ratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Ratkaisu parametrien varioinnilla Differentiaaliyhtälöryhmät Taustaa ja teoriaa Vakiokertoimiset homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät

3 1 Johdanto 1.1 Peruskäsitteitä Ongelman saattaminen matemaattiseen muotoon = mallinnus, mallinnuksen tulos = matemaattinen malli. Usein nämä matemaattiset mallit sisältävät tietoa niin tutkittavasta suureesta y kuin sen muutosnopeudesta (ja mahdollisesti muutosnopeuden muutoksesta jne.). Tällaisia malleja tarvitaan lähes kaikilla fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Differentiaaliyhtälöiden avulla voidaan mallintaa esimerkiksi sähköisiä piirejä lämmön siirtymistä kappaleissa nesteiden/kaasujen virtausta eläinpopulaatioiden kasvua/vähenemistä talouden lainalaisuuksia rakenteiden värähtelyä kemiallisia prosesseja bioreaktoreja Matemaattisten mallien sisältämissä yhtälöissä voi esiintyä varsinaisten muuttujien lisäksi myös (ratkaistava) funktio ja sen derivaattoja, tällaisia yhtälöitä kutsutaan differentiaaliyhtälöiksi. Jos muuttujia on vain yksi (olkoon se x) ja kiinnostava funktio on y(x) niin tälläinen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon F (x, y, y, y,..., y n ) = 0, (1) missä F on siis funktio jolla n + 2 muuttujaa ja oleellisesti määrittelee yllä lausekkeen jossa voi esiintyä symboleita x, y, y, y,..., y n. Tällöin kyseessä on tavallinen differentiaaliyhtälö (ordinary differential equation, ODE). Tavallinen differentiaaliyhtälö on siis yhtälö, joka sisältää tuntemattoman funktion y(x) derivaattoja. Yhtälön ratkaisuna saadaan funktio y(x). Tälläisten yhtälöiden ratkaiseminen on usein kuitenkin huomattavan vaikeaa. Jos yhtälöissä on mukana osittaisderivaattoja puhutaan osittais differentiaaliyhtälöistä (partial differential equations, PDE). Tällä kurssilla keskittymme kuitenkin vain tavallisiin differentiaaliyhtälöihin, ja näissäkin painopiste on n.k. lineaarisissa differentiaaliyhtälöissä. Differentiaaliyhtälön kertaluku = korkeimman yhtälössä esiintyvän derivaatan kertaluku. Esimerkiksi tuttu eksponentiaaliseen kasvuun (tai vähenemiseen) liittyvä yhtälö y = ky on ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö. Useimmat insinööritieteisiin liittyvät differentiaaliyhtälöt ovat ensimmäisen tai toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä, mutta korkeammankin kertaluvun yhtälöitä esiintyy, mm. joskus malleja ratkaistaessa ongelma voidaan uudelleen muotoilla korkeamman kertaluvun yhtälöksi. 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista Kertalukua n olevan differentiaaliyhtälön ratkaisu avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatat y (i), i = 1, dots, n ja joka toteuttaa alkuperäisen differentiaaliyhtälön kaikilla x:n arvoilla välillä a < x < b. Jos differentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa H(x, y) = 0, (2) 2

4 missä kahden muuttujan funktio H siis määrittelee jonkin x:n ja y:n lausekkeen on kyseessä implisiittinen ratkaisu. Tämä ratkaisu on parvi tasokäyriä. Huomaa että implisiittinen ratkasu voi sisältää useampiakin ratkaisufunktioita: tasokäyrä kun ei aina määrittele vain yksittäistä funktiota vaan kaksi tai jopa useampia funktioita. Esimerkki 1.1. a) Osoita että Ce kx on differentiaaliyhtälön y ky = 0 ratkaisu. b) Anna differentiaaliyhtälö jonka ratkaisuksi kelpaa x 2 +y 2 = 10, osoita että myös x 2 +y 2 = 3 on tämän differentiaaliyhtälön ratkaisu mutta 2x 2 + y 2 = 3 ei ole. Siis kuten edellisestä esimerkistäkin huomataan, on differentiaaliyhtäilöillä useita ratkaisuja. Tämän voidaan ajatella seuraavan esim. siitä että kun differentiaaliyhtälöitä ratkaistaan integroimalla, syntyy mielivaltaisia (integroimis) vakioita. Toisaalta derivoidessa nämä vakiot häviävät. Esim. yhtälön y = cos x ratkaisu on y = sin x + c. Tämä on ko. yhtälön yleinen ratkaisu. Jos valitaan c:lle jokin kiinteä arvo, saadaan erityisratkaisu. Jos on olemassa yksittäinen ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta, on kyseessä singulaarinen ratkaisu (kutsutaan myös erikoisratkaisuksi). Jos puhutaan vain "ratkaisusta"jää usein lukijan vastuulle ymmärtää mikä kolmesta edellisestä tapauksesta on kyseessä. Systeemin matemaattinen tutkiminen tehdään usein seuraavasti: 1. Muodostetaan systeemiä kuvaava matemaattinen malli esim. fysiikan lainalaisuuksien avulla. Tämä malli, tai ainakin jokin sen osa, on usein differentiaaliyhtälö. 2. Ratkaistaan malli. 3. Määritetään erityisratkaisu alkuehtojen perusteella. 4. Tutkitaan ratkaisun herkkyyttä alkuehtojen/muiden epävarmojen tekijöiden suhteen. Tyypillinen esimerkki on alkuarvoprobleemasta, joka on muotoa y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0 (3) Alkuehdon y(x 0 ) = y 0 avulla voidaan määrittää yleisessä ratkaisussa esiintyvä vakio c, ja systeemin herkkyys alkuehtojen (ja c:n) suhteen voi olla kiinnostuksen kohde. Esimerkki 1.2. Ratkaise välillä x [0, ] alkuarvo-ongelma 2y + 5y = 0, y(0) = 4. Kuinka herkkä on arvo y(1) alkuehdon y(0) = a muutoksille? Ehdot voivat liittyä myös välin päätepisteisiin: jos tarkastellaan väliä x [a, b] niin ehdoilla y(a) = c ja y(b) = d varustettua differentiaaliyhtälöä kutsutaan reunarvotehtäväksi. Sekä reuna-arvotehtävissä että alkuarvotehtävissä ehdot voidaan myös antaa itse funktion sijasta derivaatoille. Esimerkki 1.3. Tutkitaan y(x):n käyttäytymistä välillä x [0, 2]. Millä vakion k arvolla reuna-arvotehtävällä y = ky, y (0) = 1, y(2) on olemassa ratkaisu. 2 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2.1 Separoituvat differentiaaliyhtälöt Monet 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan kirjoittaa muotoon g(y)y = f(x). (4) 3

5 Tässä siis f EI viittaa merkintään y = f(x) vaan sekä g että f ovat differentiaaliyhtälön määritteleviä funktoita. Esimerkiksi eksponentiaaliseen kasvumalliin liittyvälle differentiaaliyhtälölle y = ky tämä on mahdollista. Separoituva yhtälö: Määräämättömän integraalin määritelmästä seuraa että, sellaisella välillä jolla f ja g ovat jatkuvia, pätee: g(y)dy = f(x)dx + c g(y)y = f(x). (5) Siis laskemalla vasemman puolen integraalit, saadaan yhtälön (4) yleinen ratkaisu. Huomaa että ratkaisu on lähes aina implisiittisessä muodossa. Esimerkki 2.1. Eräässä prosessissa jossa seurataan suureen y muutosta ajan funktiona on huomattu että y:n kasvussa mopo on karannut täysin käsistä: y:n arvon muutosnopeus on kolminkertainen y:n neliöön verrattuna. Jos hetkellä t = 1 y:n arvo on 3, niin milloin y saavuttaa arvon ? Esimerkki 2.2. Ratkaise separoituva differentiaaliyhtälö y 2 y + (1 y 3 )x = 0, y(0) = 2. Anna vastaus eksplisiittisessä muodossa. Esimerkki 2.3. Sirkkelistä tippuu sahanpurua ympyräpohjaisen kartion muotoiseen kasaan nopeudella m 3 /min. Oletetaan, että kasan korkeus on aina puolet pohjan halkaisijasta. Kuinka nopeasti kasan korkeus kasvaa kasan ollessa 3 m:n korkuinen? Missä ajassa korkeus kasvaa 2 m:stä 3 m:in? Myös jotkin differentiaaliyhtälöt jotka eivät ole alunperin separoituvia voidaan sopivalla sijoituksella muuttaa separoituviksi. Esimerkiksi muotoa ( y y = g (6) x) olevat yhtälöt voidaan muuntaa separoituviksi sijoituksella y x = u (7) Esimerkki 2.4. Ratkaise differentiaaliyhtälö y = (x + y) 2 palauttamalla se separoituvaksi sijoituksella x + y = u. 2.2 Eksaktit differentiaaliyhtälöt Tässä kappaleessa tutkittavat eksaktit differentiaaliyhtälöt ovat sellaisenaan suhteellisen harvinaisia, eikä kuulu kurssin painopistealueeseen. Eksaktien differentiaaliyhtälöiden teoriaa tarvitaan kuitenkin myöhemmissä kappaleissa esiteltävän lineaarisen epähomogeenisen 1. kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisun johtamiseen, joten esiteltäköön teoria nyt tässä. Lähtökohta: Jos funktiolla u(x, y) on jatkuvat osittaisderivaatat, sen kokonaisdifferentiaali (eksakti differentiaali) on du = u u dx + dy (8) x y Tällöin jos u(x, y) = c, missä c on vakio, niin du = 0 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö, joka on muotoa M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (9) 4

6 on eksakti, jos sen vasen puoli on jonkin funktion u(x, y) kokonaisdifferentiaali. Yhtälö (9) voidaan tällöin kirjoittaa muotoon du = 0. (10) Integroimalla saadaan ratkaisu u(x, y) = c (11) Vertaamalla yo. yhtälöitä nähdään, että yhtälö (9) on eksakti, jos on olemassa funktio u(x, y) siten, että u x = M, u y = N (12) Oletetaan, että M ja N ovat määritelty xy tason alueessa, jota rajoittaa suljettu itseään leikkaamaton käyrä, ja niillä on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat ko. alueessa. Tällöin { M y = 2 u y x, N = 2 u x x y Jatkuvuus Välttämätön ja riittävä ehto sille, että Mdx + Ndy on eksakti differentiaali on Funktio u(x, y) saadaan integroimalla: u = M y = N x (13) (14) Mdx + k(y) (15) Yllä k(y) on x:stä riippumaton integrointivakio, joka voidaan määrittää laskemalla u/ y yhtälöstä (15), ratkaisemalla sitten dk/dy, josta integroimalla saadaan k. Vastaavasti voitaisiin käyttää yhtälöä u = Ndy + l(x) (16) Esimerkki 2.5. Ratkaise eksakti differentiaaliyhtälö (xe x + e x e y ) xe y y = Integroivat tekijät Oletetaan, että on olemassa yhtälö P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, (17) joka ei ole eksakti, mutta josta saadaan eksakti kertomalla se sopivalla funktiolla F (x, y). Uusi yhtälö F P dx + F Qdy = 0 (18) on eksakti, ja se voidaan ratkaista edellä kuvatulla tavalla. Funktio F (x, y) on yhtälön (17) integroiva tekijä. Eksaktiusehto integroivan tekijän kanssa on eli F y P + F P y = F x Q + F Q x. y (F P ) = (F Q), (19) x Usein on helpompaa etsiä vain yhden muuttujan integroiva tekijä, esim. F = F (x). Tällöin F y = 0 ja F x = F = df/dx, jolloin F P y = F Q + F Q x, (20) 5

7 josta saadaan 1 df F dx = 1 ( P Q y Q ) x Merkitään oikeaa puolta R:llä, saadaan F (x) = exp (21) R(x)dx (22) Vastaavasti jos F = F (y), saadaan F (y) = exp R(y)dy. (23) Esimerkki 2.6. Integroiva tekijä 1/x muuttaa differentiaaliyhtälön xy 2 dx+(2x 2 y xe y )dy = 0 eksaktiksi. Ratkaise yhtälö alkuehdolla y(1) = Ensimmäisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y + p(x)y = r(x) (24) Huom. Yhtälö on lineaarinen y:n ja y :n suhteen, p ja r voivat olla mitä tahansa x:n funktioita. Jos r(x) 0, yhtälö on homogeeninen, muulloin se on epähomogeeninen. Homogeeninen yhtälö y + p(x)y = 0 separoituva ja se voidaan ketun edellisissä kappaleissa: y(x) = Ce p(x)dx missä C voi olla mikä tahansa vakio. Epähomogeenisella yhtälöllä taasen on integroiva tekijä, joka riippuu ainoastaan x:stä: Kirjoitetaan yhtälö (24) muotoon (py r)dx + dy = 0 Yhtälö on nyt muotoa P dx + Qdy = 0, missä P = py r ja Q = 1. Näin ollen (ks. yhtälö (21)) eli yhtälöllä (24) on integroiva tekijä 1 df F dx = p(x), F (x) = e pdx Kerrotaan tällä yhtälö (24) ja saadaan e pdx y = e pdx rdx + C, josta saadaan y(x) = e h [ ] e h rdx + C, h = p(x)dx (25) joka on yhtälön (24) yleinen ratkaisu integraalimuodossa. Huomaa että tässä kaavassa integroimisvakiot on jo otettu valmiiksi huomioon. 6

8 Esimerkki 2.7. Ratkaise i) y + e x y = 3e x, ii) y + x 2 y + 1 = 0 Esimerkki 2.8. Jos mahdollista, muokkaa seuraavat differentiaaliyhtälöt sellaiseen muotoon että ratkaisukaavaa (25) voitaisiin käyttää (olettaen että esiintyvät integraalit osattaisiin jollakin tapaa ratkaista): i) sin(x)/y = x + y, ii) (sin(x) + y)/y = cos(x), ja iii) (xy + y) 3 = e x. Lineaarinen homogeeninen (1.kertaluvun) differentiaaliyhtälö kuvaa usein sitä miten systeemi käyttäytyy ilman ulkoisia häiriöitä/herätteitä/syötteitä. Epähomogeenisuusosa taasen kuvaa vastaavasti sitä kuinka systeemiä yritetään ohjata kohti tiettyä tilaa, funtiota r(x) kutsutaankin usein ohjaussignaaliksi. Jos ohjaussignaalin muodolla ei ole mitään rajoitteita, on naurettavan helppoa löytää sopiva ohjaussignaali kun haluttu funktion y muoto on annettu: täytyy osata vain derivoida. Samoin, jos systeemistä tunnetaan vain että se on lineaarinen, on funktio p (tai sen numeerinen approksimaatio) määritettävissä mittausten avulla mikäli y ja r pystytään mittaamaan. Kaavaa (25) tarvitaan simuloimaan tilannetta kun ohjaussignaalille r on rajoituksia ja/tai systeemiä kuvaavaa funktio p voidaan muuttuu tai sitä muutetaan. (esim. lämpötila muuttuu ajan myötä). Kaavaa (25) voidaan käyttää myös osana algoritmia jolla etsitään sopivia r ja/tai p funktioita jotka tuottaisivat mahdollisimman lähelle halutunlaisen lopputuloksen eli funktion y Bernoullin yhälö Yhtälö y + p(x)y = g(x)y a, (26) missä a on reaaliluku, on Bernoullin yhtälö. Jos a = 0 tai a = 1, yhtälö on lineaarinen, muulloin epälineaarinen. Tämä yhtälö voidaan kuitenkin aina muuntaa lineaariseksi: Asetetaan Derivoimalla ja sijoittamalla y yhtälöstä 26 saadaan u(x) = [y(x)] 1 a (27) u = (1 a)y a y = (1 a)y a (gy a py) = (1 a)(g py 1 a ), (28) missä y 1 a = u. Saadaan lineaarinen yhtälö u + (1 a)pu = (1 a)g (29) Epälineaarinen yhtälö on näin saatu redusoitua lineaariseen muotoon. Esimerkki 2.9. Ratkaise Bernoullin differentiaaliyhtälö xy + 6y = 3xy 3/4 Bernoulin yhtälöitä muodostuu mm. kasvumalleista: ajatellaan että populaation yksilöiden kasvuhalu on suoraan verrannollinen käytettävissä oleviin "ylimääräisiin"resursseihin. Jos ajanhetkellä t resursseja on r(t) verran yhteensä ja yksittäinen yksilö käyttää g(t) verran (g on usein vakiofunktio) niin tällöin ylimääräisiä resursseja on r(t) g(t)y ja malli on siten y = k(r(t) g(t)y)y mikä vastaa Bernoulin yhtälöä vakion a arvolla Käyräparven kohtisuorat leikkaajat Yhtälö F (x, y, c) = 0 (30) esittää käyrää xy tasossa kiinteällä c:n arvolla. Vaihtelemalla c:n arvoa saadaan äärettömän monta käyrää, c on tämän käyräparven parametri. Käyräparven lausekkeesta voidaan ratkaista y derivoimalla puolittain x:n suhteen ja ajattelemalla y:tä x:n funktiona ja c:tä vakiona. Näin 7

9 saatuun lopputulokseen jää myös c, mutta se voidaan (yrittää) eliminoida ratkaisemalla se alkuperäisestä lausekkeesta F (x, y, c) = 0. Oletetaan nyt että näin ollaan tehty, eli esitetään käyräparvi differentiaaliyhtälönä y = g(x, y). (31) Koska derivaatta on tangentisuoran kulmakerroin ja suorat ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan jos kulmakertoimien tulo on -1, seuraa että differentiaaliyhtälö y = 1 g(x, y) esittää toista käyräparvea jonka käyrät ovat kohtisuorassa alkuperäisen käyräparven tasokäyriin nähden. Esimerkki Määritä käyräparven y = C(x + 2)e x kohtisuorat leikkaajat. Erityismaininnan ansaitsevat käyräparvet jotka ovat muotoa f(x, y) = c, eli käyräparvi muodostuu kahden muuttujan funktion korkeyskäyristä. Tällaisen käyräparven kohtisuorat leikkaajat ovat niitä reittejä joita pitkin funktion kasvu on aina suurimmillaan tai pienimmillään, kulkusuunnasta riippuen. Esimerkki Määritä se reitti mitä pitkin täytyy kulkea kun lähdetään liikkumaan pitkin y kahden muuttujan funktion f(x, y) = kuvaajan pintaa pisteestä (0, 1) kohti jyrkintä (x+2)e x ylämäkeä. 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä käsitellessä tutkimme myös epälineaarisia tapauksia (mm. useat separoituvat sekä Bernoulin yhtälö).toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt keskittyvät tällä kurssilla erityisesti lineaarisiin differentiaaliyhtälöihin. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon (jos ei voida, yhtälö on epälineaarinen) Jos r(x) = 0, saadaan homogeeninen yhtälö: (32) y + p(x)y + q(x)y = r(x). (33) y + p(x)y + q(x)y = 0 (34) Jos r(x) 0, yhtälö (74) on epähomogeeninen. p:tä ja q:ta kutsutaan yhtälön kertoimiksi. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisu avoimella välillä a < x < b on funktio y = h(x), jolla on derivaatat y = h (x) ja y = h (x) ja joka toteuttaa ko. yhtälön tällä välillä. 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun homogeenisen differentiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat tärkeässä roolissa myös epähomogeenisia yhtälöitä ratkaistaessa. Tutkintaan siis ensin homogeenisia yhtälöitä. Superpositioperiaate: Mikä tahansa lineaarikombinaatio homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuista välillä I on myös ratkaisu välillä I. Erityisesti ratkaisujen summa ja vakiokertoimella kerrotut ratkaisut ovat myös ratkaisuja. Huom. Edellinen ei päde epähomogeenisille eikä epälineaarisille yhtälöille. 8

10 Alkuarvoprobleema koostuu yhtälöstä (34) ja alkuehdoista y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K 1 (35) Yleisemmin piste x 0 voi olla jokin muukin kuin tarkasteluvälin alkupiste, eikä derivaatan ja funktion arvoja tarvitse samassa kiinnittää samassa pisteessä, ja ehto voidaan antaa korkeammankin kertaluvun derivaatalle Lineaarisesti riippumattomat ratkaisut kantaratkaisut Funktioiden lineaarinen riippumattomuus määritellään samaan tapaan kuin vektoreillekin: Funktion y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos k 1 y 1 (x) + k 2 y 2 (x) = 0 k 1 = 0, k 2 = 0. (36) Toisen kertaluvun homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on kahden lineaarisesti riippumattoman ratkaisun y 1 ja y 2 lineaarikombinaatio: y = C 1 y 1 + C 2 y 2 (37) Huom! Se että y.o. lauseke sisältää kaikki mahdolliset ratkaisut on kaikkea muuta kuin triviaali asia todeta, kun taas se että edellinen lauseke kelpaa ratkaisuksi on taasen helppo todeta. Esimerkki 3.1. Oletetaan että y 1 = cos(x) ja y 2 = sin(x) ovat toisen kertaluvun lineaarisen homogeenisen differentiaaliyhtälön ratkaisuja. Osoita että myös 3y 1 2y 2 on ratkaisu. Vektoreille voidaan tutkia lineaarista riippumattomuutta vektorit sisältävän kerroinmatriisin rankkia tutkimalla. Neliömatriisn kohdalla det(a) 0 tarkoitti oleellisesti että matriisin sarakkeet/rivit olivat lineaarisesti riippumattomia. Pohjimmiltaan kyseessä oli kuitenkin vain homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisujen tutkiminen, eli oliko muita kuin triviaaliratkaisuja. Nämä ajatukset voidaan laajentaa myös funktiille ja lopputuloksena saadaan: Wronskin determinantti (kahdelle funktiolle) määritellään seuraavasti: W (y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 1 y 2 = y 1y 2 y 2 y 1 (38) Jos p(x) ja q(x) ovat jatkuvia avoimella välillä I, ratkaisut y 1 ja y 2 ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos Wronskin determinantti W (y 1, y 2 ) 0 yhdelläkin arvolla x I. Esimerkki 3.2. Osoita että sin(x) ja cos(x) ovat lineaarisesti riippumattomia. Huom. Wronskin determinantin käyttö voi tuntua hieman hassulta sillä kahden funktion lineaarinen riippumattomuus on yleensä helppo nähdä myös silmämääräisesti jos lausekkeet on annettu. Useamman funktion tapauksessa (palataan tähän myöhemmin) lineaarisen riippuvuuden huomaaminen ei kuitenkaan ole niin helppoa ja tällöin Wronskin determinantti on kätevä apuväline. Sitä tarvitaan myös eräissä ratkaisumenetelmissä epähomogeenista differentiaaliyhtälöä ratkaistaessa. Sanotaan että lineaarisesti riippumattomat, yhtälön (34) ratkaisevat funktiot y 1 ja y 2 muodostavat yhtälön kannan välillä I ja niitä kutsutaan kantaratkaisuiksi. Erityisratkaisu välillä I saadaan, kun valitaan kertoimille C 1 ja C 2 kiinteät arvot. Se, kuinka sopivat y 1 ja y 2 funktiot löydetään, onkin suuri ongelma ja tällä kurssilla tutkitaan ratkaisuja vain muutamille (tärkeille) erikoistapauksille. Sen sijaan jos kantaratkaisut on annettu niin niin differentiaaliyhtälön (34) määrittelevät kerroinfunktiot on ratkaistavissa. Esimerkki 3.3. Jos yhtälön y +r(x)y +q(x)y = 0 yleinen ratkaisu on y(x) = C 1 e x +C 2 sin(x) niin mitä ovat funktiot r(x) ja q(x). 9

11 3.1.2 Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tarkastellaan yhtälöitä, jotka ovat muotoa y + ay + by = 0, (39) missä a ja b ovat vakioita. Ratkaisu: vertaamalla 1. kertaluvun yhtälöön saadaan yrite Sijoittamalla yrite ja sen derivaatat saadaan Tämä on yhtälön (79) karakteristinen yhtälö. Karakteristisen yhtälön ratkaisut ovat jolloin yhtälön (79) ratkaisuksi saadaan y = e λx (40) y = λe λx ja y = λ 2 e λx, (41) λ 2 + aλ + b = 0 (42) λ 1,2 = a ± a 2 4b, (43) 2 y 1 = e λ 1x ja y 2 = e λ 2x (44) Riippuen diskriminantin D = a 2 4b arvosta saadaan kolme tapausta: Tapaus I: Kaksi reaalijuurta, λ 1 ja λ 2 y 1 = e λ 1x ja y 2 = e λ 2x muodostavat kannan; yleinen ratkaisu on y = C 1 y 1 + C 2 y 2 = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x (45) Tapaus II: Reaalinen kaksoisjuuri Kun D = 0, saadaan yksi juuri λ = λ 1 = λ 2 = a/2, jolloin yksi ratkaisu on y 1 = e (a/2)x (46) Toisen ratkaisun saamiseksi käytetään kertaluvun pudotusta (reduction of order). Asetetaan y 2 = uy 1 (47) ja etsitään u siten, että y 2 on yhtälön (79) ratkaisu. Sijoitetaan y 2 = uy 1 ja derivaatat yhtälöön (79), saadaan y 2 = u y 1 + uy 1 y 2 = u y 1 + 2u y 1 + uy 1 (48) u y 1 + u (2y 1 + ay 1 ) + u(y 1 + ay 1 + by 1 ) = 0 (49) Saadaan siis u y 1 = 0 u = 0, josta integroimalla u = c 1 x + c 2. Valitaan u = x, jolloin yleinen ratkaisu on Huom. Jos juuri on yksinkertainen, tämä ratkaisu ei päde. y = C 1 e ax/2 + C 2 xe ax/2 (50) 10

12 Tapaus III: Kompleksiset juuret Jos D < 0, saadaan juuret, jotka ovat toistensa kompleksikonjugaatteja: missä ω = λ 1 = 1 2 a + iω, λ 2 = 1 a iω, (51) 2 b 1 4 a2. Kompleksiset ratkaisut e λ 1x ja e λ 2x Sijoittamalla λ 1 ja λ 2 ja ottamalla huomioon, että (kompleksinen eksponenttifunktio): saadaan reaaliset ratkaisut e z = e s+it = e s (cos(t) + i sin(t)), (52) y 1 = e ax/2 cos(ωx) y 2 = e ax/2 sin(ωx) (53) Nämä ovat kantaratkaisuja y 1 ja y 2 eivät ole verrannollisia; toteuttavat alkuperäisen yhtälön Yleinen ratkaisu y = C 1 e ax/2 cos(ωx) + C 2 e ax/2 sin(ωx) (54) Esimerkki 3.4. Tutki, onko y = C 1 e x + 5C 2 e x DY:n y 2y + y = 0 yleinen ratkaisu, yksityisratkaisu tai yleensä ratkaisu ollenkaan. Määritä DY:n yleinen ratkaisu karakteristisen yhtälön avulla. Vakiokertoimisia lineaarisia differentiaaliyhtäöitä esiintyy moninaisissa tekniikan alan sovelluksissa, tyypillisiä esimerkkejä ovat värähteljät ja sähköiset piirit. Esimerkki 3.5. Jouseen kiinnitetty paino liikkuu edestakaisin. Liikettä kuvaava DY on s + 16s = 0, missä s on jousen venymä. Ratkaise s ajan t funktiona, kun hetkellä t = 0 on s = 2 ja s = Euler Cauchy differentiaaliyhtälö Edellisessä kappaleessa käsitellyt DY:t olivat vakiokertoimisia. Tässä kappaleessa käsiteltävät Euler-Cauchy DY:t eivät ole varsinaisesti kurssin tärkeintä antia, mutta ovat kuitenkin hyviä (helposti käsiteltäviä) esimerkkejä ei-vakiokertoimisista differentiaaliyhtälöistä. Euler Cauchy differentiaaliyhtälö on muotoa x 2 y + axy + by = 0. (55) Tähän yhtälötyyppiin voidaan törmätä esim värähtelyä tutkittaessa. Tämä yhtälötyyppi voidaan ratkaista muutamallakin eri tavalla. Beta-taulukkokirja esittelee sijoituksen jollä tämä yhtälötyyppi muuttuu vakiokertoimiseksi. Toinen tapa on sijoittaa y = x m ja sen derivaatat yhtälöön (55), jolloin saadaan Koska x m 0, kun x 0, saadaan x 2 m(m 1)x m 2 + axmx m 1 + bx m = 0 (56) m 2 + (a 1)m + b = 0 (57) Tämän yhtälön juurista riippuen saadaan jälleen 3 erilaista ratkaisua: 11

13 Tapaus I: Kaksi reaalijuurta Jos kaksi juurta m 1 ja m 2 ovat reaalisia ja erisuuria, kantaratkaisut ovat jolloin yleinen ratkaisu on (C 1 ja C 2 mielivaltaisia): Tapaus II: Kaksinkertainen juuri y 1 (x) = x m 1 ja y 2 (x) = x m 2, (58) y = C 1 x m 1 + C 2 x m 2 (59) Jos yhtälöllä (55) on kaksinkertainen juuri 1 (1 a), yksi ratkaisu on 2 y 1 = x (1 a)/2 (60) on Toinen ratkaisu saadaan kertaluvun pudotuksella, tulos y 2 = y 1 ln x, joten yleinen ratkaisu y = C 1 x (1 a)/2 + C 2 ln(x)x (1 a)/2 (61) Tapaus III: Kompleksiset juuret Jos juuret ovat kompleksisia, ne ovat toistensa konjugaatteja: m 1 = µ + iν ja m 2 = µ iν. Kantaratkaisut ovat tällöin y 1 = x µ cos(ν ln x) ja y 2 = x µ sin(ν ln x) (62) Yleinen ratkaisu y = C 1 x µ cos(ν ln x) + C 2 x µ sin(ν ln x) (63) Esimerkki 3.6. Ratkaise DYx 2 y xy 3y = 0 alkuehdoilla y(1) = 0, y (1) = Epähomogeeniset 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun epähomogeenisen differentiaaliyhtälön y + p(x)y + q(x)y = r(x) yleinen ratkaisu on muotoa y(x) = y h (x) + y p (x), (64) missä y h (x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja y p (x) on yhtälön epähomogeenisen yhtälön mikä tahansa ratkaisu. Erityisratkaisu saadaan jälleen kiinnittämällä mielivaltaisten kertoimien C 1 ja C 2 arvot Ratkaisu määräämättömien kertoimien menetelmällä Tämän kappaleen asiaa ei käsitellä kurssin luennoilla, mutta halutessaan sen voi opetella ja sitä saa soveltaa tenteissä. Määräämättömien kertoimien menetelmä (tai toiselta nimeltään yritemenetelmä) toimii lähinnä vakiokertoimisille differentiaaliyhtälöille eli yhtälöille jotka ovat muotoa y + ay + by = r(x) ja näillekin vain siinä tapauksessa että epähomogeenisuusosa r(x) on suhteellisen yksinkertainen funktio. Tämä johtuu siitä että menetelmä perustuu "valistuneeseen arvaukseen"sopivasta funktiosta y p. Erityisesti jos r(x) on eksponenttifunktio, polynomi, kosini, sini tai näiden tulo tai summa, voidaan ratkaista määräämättömien kertoimien menetelmällä. 12

14 Perussääntö: Jos r(x) on jokin seuravan taulukon funktioista, valitaan vastaava funktio y p taulukosta ja määritetään sen määräämättömät kertoimet sijoittamalla y p ja sen derivaatat alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön y:n ja sen derivaattojen paikalle.. r(x) ke γx Yrite Ce γx kx n (n = 0, 1, ) K n x n + K n 1 x n K 1 x + k 0 k cos ωx, k sin ωx K cos ωx + M sin ωx ke αx cos ωx, ke αx sin ωx e αx (K cos ωx + M sin ωx) Modifikaatiosääntö: Jos yrite on homogeenisen yhtälön ratkaisu, yrite kerrotaan x:llä. Summasääntö: Jos r(x) on usean yo. funktion summa, on yrite vastaavien yritefunktioiden summa. Modifikaatiosääntöä soveltaakseen on siis ensin ratkaistava vastaava homogeeninen yhtälö. Väärä tai liian vähän termejä sisältävä yrite tuottaa yhtälöryhmän jolla ei ole ratkaisua. Liian monta termiä sisältävä yrite tuottaa yhtälöryhmän jolla on äärettömän monta ratkaisua ja/tai jotkin kertoimista menevät menevät nolliksi. Liian monta termiä yritteessä ei siis sinällään haittaa mutta teettää ylimääräistä työtä. Esimerkki 3.7. Ratkaise DY y + y 2y = r(x) kun a) r(x) = e x, b) r(x) = 2e x + 3x Ratkaisu parametrien varioinnilla Parametrien variointitekniikka toimii myös ei-vaikiokertoimiselle yhtälölle y + p(x)y + q(x)y = r(x), ja tällä kurssilla tämä on pääasiallinen työkalumme tälläisen yhtälön ratkaisemiseksi. Yksityisratkaisu y p saadaan kaavalla y p (x) = y 1 y2 r W dx + y 2 missä y 1 ja y 2 ovat vastaavan homogeenisen yhtälön kantaratkaisut ja y1 r dx, (65) W y + p(x)y + q(x)y = 0 (66) W = y 1 y 2 y 1y 2 (67) on niiden muodostama Wronskin determinantti. Menetelmän heikkous edellisessä kappaleessa kuvattuun yritemenetelmään nähden on se että vastaavan homogeenisen yhtälön kantaratkaisut täytyy ensin tuntea, kun yritemenetelmällä voidaan sopivaa y p funktiota etsiä "arvaamalla". Toisaalta jos kantaratkaisut tunnetaan, ei tarvitse kuin osata integroida. Parametrin variointi, kuten myös yritemenetelmäkin, yleistyvät myös korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöille. Esimerkki 3.8. Ratkaise vakion variointimenetelmällä DY y 3y + 2y = e x Huomionarvoista parametrien variointimenetelmässä on se että mikäli kantaratkaisut tunnetaan, ei DY:n kerroinfunktioita tarvita yleistä ratkaisua muodostettaessa. Tämä ei ole sinällään yllättävää sillä aikaisemmassa esimerkissä ollaan kantaratkaisujen avulla määritetty kerroinfunkiot: kantaratkaisut siis sisältävät kaiken oleellisen informaation kerroinfunktioista. Esimerkki 3.9. Jos y 1 (x) = e x ja y 2 (x) = sin(x) yhtälön ovat yhtälön y + r(x)y + q(x)y = 0 kantaratkaisut niin mikä on yhtälön y + r(x)y + q(x)y = e 2x yleinen ratkaisu? 13

15 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Esimerkiksi toisistaan riippuvien systeemien matemaattiset mallit johtavat luonnostaan differentiaaliyhtälöryhmiin (esim. saalissaalistaja populaatiomallit). Usein differentiaaliyhtälöryhmä on muotoa y 1 = f 1 (t, y 1,, y n ) y 2 = f 2 (t, y 1,, y n ) y n = f n (t, y 1,, y n ) tai ainakin pienellä työllä muotoiltavissa tähän muotoon. Tässä siis y 1, y 2 jne. ovat funktioita joille tahdomme lausekkeet ja lausekkeet funktioille f 1, f 2 jne. ovat tunnettuja (tässä alaindeksit eivät siis viittaa osittaisderivaattoihin). Tärkeä erikoistapaus tämän tyyppisestä differentiaaliyhtälöryhmästä on korkeamman kertaluvun kertaluvun differentiaaliyhtälö y(n) = F (t, y, y,, y (n 1) ) joka voidaan muuntaa differentiaaliyhtälöryhmäksi seuraavasti: (68) y 1 = y, y 2 = y, y 3 = y,, y n = y (n 1) (69) y 1 = y 2 y 2 = y 3. (70) y n 1 = y n y n = F (t, y, y 1, y 2,, y n ). Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisu välillä a < t < b on n:n differentioituvan funktion joukko y 1 = φ 1 (t),, y n = φ n (t) (71) Kuten yksittäisten differentiaaliyhtälöidenkin tapauksessa, voidaan differentiaaliyhtälöryhmistä muodostaa alkuarvoprobleema joka koostuu yhtälöstä (68) ja alkuehdoista y 1 (t 0 ) = K 1, y 2 (t 0 ) = K 2,, y n (t 0 ) = K n (72) Aiemmilla kurssilla olemme oppineet ettei kaikilla, edes lineaarisilla, yhtälöryhmällä ole välttämättä ratkaisuja. Differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisujen olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä voidaan todeta: Olkoot f 1,, f n yhtälössä (68) jatkuvia funktioita, joilla on jatkuvat osittaisderivaatat f 1 / y 1,, f 1 / jossain ty 1 y n avaruuden alueessa R sisältäen pisteen (t 0, K 1,, K n ). Tällöin yhtälöllä (68) on yksikäsitteinen ratkaisu jollain välillä t 0 α < t < t 0 +α, siten että alkuehdot (72) toteutuvat. Differentiaaliyhtälöryhmä on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y 1 = a 11 (t)y a 1n (t)y n + g 1 (t) y n = a n1 (t)y a nn (t)y n + g n (t). (73) Vektorimuodossa edellinen voidaan esittää seuraavasti: y = Ay + g, (74) 14

16 missä Yhtälöryhmä on homogeeninen, jos g = 0 a 11 a 1n y 1 g 1 A =, y =. g =. (75) a n1 a nn y n g n y = Ay (76) Lineaariselle yhtälöryhmälle pätee: Jos a jk :t ja g j :t ovat jatkuvia t:n funktioita avoimella välillä α < t < β, joka sisältää pisteen t = t 0, yhtälöllä (74) on tällä välillä yksikäsitteinen alkuehdot toteuttava ratkaisu y(t). Superpositioperiaate: Jos y (1) ja y (2) ovat homogeenisen differentiaaliyhtälöryhmän ratkaisuja jollain välillä, myös lineaarikombinaatio y = c 1 y (1) + c 2 y (2) on ratkaisu. Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisujen kanta välillä J on n:n ratkaisun lineaarisesti riippumaton joukko y (1),, y (n) tällä välillä ja vastaava lineaarikombinaatio on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä J. y = c 1 y (1) + + c n y (n) (77) Kantafunktioiden muodostama Wronskin determinantti: y (1) W (y (1),, y (n) 1 y (2) 1 y (n) 1 ) = y n (1) y n (2) y n (n) (78) 4.2 Vakiokertoimiset homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Oletetaan, että yhtälöryhmän y = Ay (79) kerroinmatriisi A = [a jk ] on vakio, eli sen alkiot eivät riipu t:stä. Koska yksittäisen yhtälön y = ky ratkaisu on y = Ce kt yrite: y = xe λt (80) Sijoitetaan yhtälöön (79), saadaan Jakamalla e λt :llä saadaan karakteristinen yhtälö y = λxe λt = Ay = Axe λt (81) Ax = λx (82) Ominaisarvot ja ominaisvektorit antavat siis yhtälöryhmälle ratkaisuja. Oletus: A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria x (i), i = 1,..., n. Tällöin ratkaisut ovat y (1) = x (1) e λ 1t,, y (n) = x (n) e λnt (83) 15

17 Nämä ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomia sillä Wronskin determinantti x (1) 1 e λ 1t x (n) 1 e λnt W (y (1), y (n) x (1) ) = 2 e λ 1t x (n) 2 e λnt x (1) n e λ 1t x (n) n e λnt x (1) 1 x (n) 1 = e λ 1t+ +λ nt x (1) 2 x (n) 2 x (1) n x n (n) (84) Siis jos kerroinmatriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, vastaavat ratkaisut y (1),, y (n) muodostavat yhtälön (79) ratkaisujen kannan ja vastaava yleinen ratkaisu on y = c 1 x (1) e λ 1t + + c n x (n) e λnt (85) Kahden yhtälön yhtälöryhmän ratkaisuja y 1 y 2 tasossa kutsutaan poluiksi (path, trajectory) ja ko. tasoa faasitasoksi (phase plane). Jos A:lla on kaksinkertainen ominaisarvo µ, jota vastaa vain yksi ominaisvektori x, on toinen riippumaton ratkaisu, missä (A µi)u = x. y (2) = xte µt + ue µt (86) Kolminkertaisen ominaisarvon µ tapauksessa kolmas lineaarisesti riippumaton ratkaisu on missä (A µi)v = u. y (3) = 1 2 xt2 e µt + ute µt + ve µt, (87) Esimerkki 4.1. Jos lineaarisen differentiaaliyhtälöryhmän kerroinmatriisin A ainut ominaisarvo on 2 ja tätä vastaava ominaisvektori on [1 2] T niin määritä yhtälön ratkaisu. Jos ominaisarvot sattuvat olemaan imaginäärisiä niin lopputuloksena on kompleksiarvoinen ratkaisufunktio. Tässäkin tapauksessa löydetään kuitenkin reaalisia ratkaisuja: Esimerkki 4.2. Osoita että kompleksisen ratkaisun reaaliosan ja imaginääriosan täytyy kelvata myös erikseen ratkaisuiksi. Eli jos λ C ja y = c 1 x (1) e λ 1t + c 2 x (2) e λ 1t on yhtälön y = Ay ratkaisu, niin Re(y) ja Im(y) ovat ratkaisuja. Esimerkki 4.3. Anna esimerkki lineaarisesta vakiokertoimisesta homogeenisesta differentiaaliyhtälöryhmästä jonka kerroinmatriisilla on imaginääriset ominaisarvot ja ratkaise tämä ryhmä. 4.3 Epähomogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöryhmät Tarkastellaan yhtälöryhmiä missä vektori g(t) 0. Yhtälöryhmän (88) yleinen ratkaisu on y = Ay + g, (88) y = y (h) + y (p), (89) 16

18 missä y (h) (t) on vastaavan homogeenisen yhtälöryhmän y = Ay ratkaisu ja y (p) (t) on ryhmän (88) erityisratkaisu. Esittelemme seuraavaksi muutaman menetelmän erityisratkaisun löytämiseksi Määräämättömien kertoimien menetelmä: Kuten yksittäistenkin differentiaaliyhtälöiden kohdalla, määräämättömien kertoimien menetelmää voidaan käyttää menestyksekkäästi ainakin tapauksissa kun g:n komponentit ovat t:n kokonaislukupotensseja, eksponenttifunktioita, sinejä tai kosineja tai polynomilla kerrottuja versioita näistä. Lisäksi kerroinmatriisin A on syytä olla vakiokertoiminen jotta menetelmä toimisi. Yritteen rakentamisessa pätevät täsmälleen samat säännöt kuin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden yhteydessä: yritteeseen kootaan muuten samantyyppisiä termejä kuin kuin g(t):ssä esiintyy, mutta jos tälläinen termi on jo joko homogeenisessa yhtälössä tai yritteessä itsessään niin silloin täytyy yritettä kertoa muuttujalla. Esimerkiksi jos g:ssä on termi e λt, missä λ on A:n (yksinkertainen) ominaisarvo, yritteenä on kÿtettävä termiä ute λt + ve λt. Parametrien variointimenetelmä Tätä menetelmää voidaan soveltaa myös tapauksiin missä A ei ole vakiomatriisi, eli epähomogeenisiin lineaarisiin yhtälöryhmiin missä A = A(t) ja g(t) on mikä tahansa funktio. y = A(t)y + g(t), (90) Parametrien variointimenetelmä antaa erityisratkaisun y (p) jollain välillä J, jos homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y (h) = c 1 y (1) + + c n y (n) (91) tunnetaan. Käytetään seuraavaksi muutama rivi menetelmän johtamiseksi. Homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisuvektori voidaan kirjoitaa matriisien avulla seuraavasti: c 1 y (1) c n y (n) 1 y (1) 1 y (n) 1 c 1 y (h) =. =.. = Y(t)c (92) c 1 y n (1) + + c n y n (n) y n (n) y n (n) c n Korvataan vakiovektori c vektorilla u(t): Sijoitetaan y (p) yhtälöön (90), saadaan Toisaalta homogeenisen yhtälöryhmän ratkaisut y (p) = Y(t)u(t) (93) Y u + Yu = AYu + g (94) y (1) = Ay (1), y (2) = Ay (2),, y (n) = Ay (n) (95) voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä Y = AY, jolloin yhtälö (94) redusoituu muotoon Yu = g. Matriisilla Y on käänteismatriisi (muistatko miksi?), ja näin ollen u = Y 1 g (96) 17

19 Integroimalla alkuarvosta t 0 t:hen, saadaan u(t) = t Saadaan yleinen ratkaisu (erityisratkaisu, jos C = 0): t 0 Y 1 ( t)g( t)d t + C (97) t y = Yu = YC + Y Y 1 ( t)g( t)d t. t 0 (98) 18

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013 B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1 2.1 Peruskäsitteitä ja esimerkkejä Funktion y = y(x) derivaattaa merk. y, y (x) tai dy/dx. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28) .5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut

(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi / kertaus

Matemaattinen Analyysi / kertaus Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot