Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu"

Transkriptio

1 Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen perusjärjestelmä. Jos funktio y 0 = y 0 (x) on jokin epähomogeenisen yhtälön y + a(x)y + b(x)y = f(x) yksityisratkaisu välillä I, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa y(x) = y H (x)+y 0 (x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+y 0 (x), jossa C 1 ja C 2 ovat mielivaltaisia reaalisia vakioita. Perustelu: Olkoon y jokin täydellisen yhtälön ratkaisu y y 0 on homogeeniyhtälön ratkaisu y y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2. y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y 0.

2 Yhteenveto Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää homogeeniyhtälön yleisen ratkaisun ja täydellisen yhtälön jonkin yksityisratkaisun summana. Toisin sanoen on tunnettava homogeeniyhtälön ratkaisujen perusjärjestelmä {y 1 (x),y 2 (x)} ja jokin täydellisen yhtälön ay + by + cy = f(x) ratkaisu y 0 (x). Tällöin täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) = y H (x)+y 0 (x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+y 0 (x). Vakiot C 1 ja C 2 kiinnitetään alkuehdoilla.

3 Määräämättömien kertoimien menetelmä Milloin toimii? Soveltuu vain vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöihin: y + ay + by = f(x). Soveltuu vain tietyntyyppisiin, häiriöfunktioihin, kuten polynomit f(x) = B0 + B 1 x +...+B n x n eksponenttifunktiot f(x) = B e kx trigonometriset funktiot f(x) = B1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx) tulomuotoinen häiriö f(x) = e kx ( B 1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx) )

4 Homogeeniyhtälö y + ay + by = 0 Karakteristisen polynomin p(λ) juuret λ 1, λ 2. Eri tapaukset 1. Kaksi erisuurta reaalijuurta λ 1 λ 2 : yleinen ratkaisu y H (x) = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x. 2. Reaalinen kaksoisjuuri λ 1 = λ 2 : yleinen ratkaisu y H (x) = (C 1 + C 2 x)e λ1x. 3. Kompleksiset juuret λ 1 = α+iβ, λ 2 = α iβ C, i = 1: y H (x) = e αx (C 1 cos(βx)+c 2 sin(βx)).

5 Häiriöfunktio: B 0 + +B n x n Jos p(0) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = A 0 +A 1 x+...+a n x n. Jos λ = 0 on yksinkertainen juuri so. p(0) = 0, niin yksityisratkaisuyrite ( y 0 (x) = x A 0 +A 1 x+...+a n x n). Esim. 1 Ratkaise yhtälön y y 2y = 2x yleinen ratkaisu.

6 Häiriöfunktio f(x) = B e kx Jos p(k) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = A e kx. Jos k on yksinkertainen juuri (p(k) = 0), niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = Ax e kx. Jos k on kaksinkertainen juuri, niin yrite on y 0 (x) = Ax 2 e kx Esim. 2 Ratkaise yhtälön y y 2y = e 4x yleinen ratkaisu. Ratkaise yhtälön y y 2y = 5e x yleinen ratkaisu.

7 f(x) = B 1 cos(ωx)+b 2 sin(ωx) Jos p(±iω) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Jos p(±iω) = 0, niin yksityisratkaisuyrite ( ) y 0 (x) = x A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Esim. 3 Ratkaise yhtälön y + 4y = cos(2x) yleinen ratkaisu.

8 f(x) = e kx (B 1 cos(ωx)+b 2 sin(ωx)) Jos p(k ± iω) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = e kx( ) A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Jos p(k ± iω) = 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = x e kx( ) A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Esim. 4 Ratkaise yhtälön y + 4y + 3y = e 2x cos(2x) yleinen ratkaisu.

9 Määräämättömien kertoimien menetelmä Lause Määräämättömien kertoimien menetelmä. Olkoon differentiaaliyhtälön ay + by + cy = f(x) homogeeniyhtälön karakteristinen polynomi p(λ) = aλ 2 + bλ+c. Seuraavat yritteet antavat ratkaisun vastaaville häiriöfunktioille. häiriöfunktio f(x) yritefunktio y 0 (x) ehto B 0 +B 1 x+...+b nx n A 0 +A 1 x+...+a nx n p(0) 0 x (A 0 +A 1 x+...+a nx n ) x 2 (A 0 +A 1 x+...+a nx n ) p(0) = 0,1.kl p(0) = 0,2.kl B e kx A e kx p(k) 0 Ax e kx p(k) = 0, 1.kl Ax 2 e kx p(k) = 0, 2.kl B 1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx) A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx) p(± iω) 0 x (A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx)) p(± iω) = 0 e αx (B 1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx)) e αx (A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx)) p(α ± iω) 0 x e αx (A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx)) p(α ± iω) = 0

10 Huomioita Määräämättömien kertoimien menetelmää voidaan soveltaa myös ensimmäisen ja korkeamman kertaluvun vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöihin. Summamuotoiselle häiriölle f(x) = d 1 f 1 (x)+d 2 f 2 (x), d 1,d 2 R yksityisratkaisu voidaan hakea kummallekin häiriöfunktiolle erikseen. Ratkaistaan erikseen yhtälöt a y 01 + b y 01 + c y 01 = f 1 (x), a y 02 + b y 02 + c y 02 = f 2 (x). Häiriöfunktiota f(x) = d 1 f 1 (x)+d 2 f 2 (x) vastaa yksityisratkaisu y 0 (x) = d 1 y 01 (x)+d 2 y 02 (x).

11 Sovelluksia: harmoninen värähtelijä Mallitehtävä: jousi-massa-systeemin liikettä vaakasuoralla tasolla. Fysikaaliset suureet: t aika, x = x(t) massapisteen siirtymä ja m kappaleen massa. Paikkakoordinaatiston origoksi valitaan jousen lepotilan mukainen massapisteen paikka. Oletamme, että 1. Jousivoima on suoraan verrannollinen massapisteen etäisyyteen origosta. Verrannollisuuskerroin k > 0 on ns. jousivakio. 2. Kitkavoima on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen. Verrannollisuuskerroin c > 0 on ns. vaimennusvakio. 3. Oletamme, että massapisteeseen vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva pakkovoima F = F(t).

12 Systeemin liikeyhtälö (Newtonin II laki) mx = kx cx + F tai mx + cx + kx = F. Merkintä: 2p = c m > 0, ω2 0 = k m Yhtälön normaalimuoto: Tarkastelemme x + 2px +ω 2 0x = F m. vaimenematonta (p = 0), vaimennettua (p 0), vapaata ( F = 0), pakotettua värähtelyä (F 0). Pakkovoima on harmoninen: F = F 0 sin(ωt +ϕ). Tarkastelu soveltuu sellaisenaan virtapiirien teoriaan.

13 Vaimenematon harmoninen värähtelijä. Vapaat värähtelyt harmoninen värähtelijä vaimenematon amplitudi taajuus värähdysaika

14 Harmonisen oskillaattorin liikeyhtälö Ei kitkaa ja pakkovoimaa Liikeyhtälö on x +ω 2 0 x = 0. Karakteristisen yhtälön λ 2 +ω 2 0 = 0 juuret ovat λ 12 = ± iω 0 Homogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t). Vakiot C 1 ja C 2 kiinnitetään alkuehtojen avulla.

15 Toinen esitysmuoto Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa myös muotoon x(t) = A sin(ω 0 t +ϕ), Yhteys edelliseen esitysmuotoon saadaan kaavoista A = C1 2 + C2 2, cosϕ = C 1 A, sinϕ = C 2 A tai tanϕ = C 2 C 1. Käytettiin summatun kulman sinin kaavaa sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ, jota soveltamalla saadaan A sin(ω 0 t +ϕ) = A cosϕsin(ω 0 t)+a sinϕcos(ω 0 t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t).

16 Amplitudi, taajuus ja värähdysaika Ylläolevien esitysten kertoimien välinen yhteys seuraa yhtälöparista (ks. PK I) { A cosϕ = C 1, A on värähtelyn amplitudi, ω 0 2π A sinϕ = C 2. on värähtelyn taajuus (jousen ominaistaajuus) T = 2π ω 0 = 2π m k on värähdysaika ω 0 t +ϕ on vaihekulma hetkellä t ja ϕ on vaihekulman alkuarvo eli vaihekulma hetkellä t = 0.

17 Vaimenematon harmoninen oskillaattori. Pakotetut värähtelyt Jousi-massa-systeemiä häiritään periodisesti. Häiriö muotoa F(t) = F 0 cos(ωt) Liikeyhtälö on x +ω 2 0 x = F 0 m cos(ωt). Pakkovoiman taajuus (häiriötaajuus): ω 2π. Jousen ominaistaajuus: ω 0 2π. Täydellisen yhtälön erään ratkaisun muoto riippuu siitä, tapahtuuko häirintä jousen ominaistaajuudella vai ei.

18 Tapaus ω ω 0 : Yrite täydellisen yhtälön ratkaisuksi on (määräämättömien kertoimien menetelmä) x 0 (t) = A sin(ωt)+b cos(ωt), x 0 (t) = Aω cos(ωt) Bω sin(ωt), x 0 (t) = Aω2 sin(ωt) Bω 2 cos(ωt). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen Määräämättömät kertoimet ovat A = 0 ja B = Yleinen ratkaisu on F 0 m(ω 2 0 ω2 ). x(t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t)+ F 0 1 m (ω0 2 ω2 ) cos(ωt).

19 Massapiste lähtee liikkeelle levosta. Alkuehdot ovat x(0) = 0 ja x (0) = 0. Yleisessä ratkaisussa esiintyvät vakiot saadaan yhtälöparista { x(0) = C2 + F 0 1 m = 0, ω0 2 ω2 x (0) = C 1 ω 0 = 0, { C2 = F 0 m(ω 2 0 ω2 ), C 1 = 0. Alkuarvotehtävän ratkaisu on [ F x(t) = 0 cos(ωt) cos(ω0 t) ] m(ω 2 0 ω2 ) 2F = 0 m(ω0 2 ω2 ) sin(ω 0 ω 2 t)sin( ω 0+ω 2 t) = A(ω,t)sin( ω 0+ω 2 t), Värähtelyn amplitudi riippuu ajasta eli A(ω,t) = 2F 0 m(ω 2 0 ω2 ) sin(ω 0 ω 2 t).

20 Resonanssi: ω = ω 0 Yksityisratkaisuyrite täydelliselle yhtälölle on x 0 (t) = t ( A sin(ω 0 t)+b cos(ω 0 t) ), x 0 (t) = A sin(ω 0t)+B cos(ω 0 t) +t ( Aω 0 cos(ω 0 t) Bω 0 sin(ω 0 t) ), x 0 (t) = 2Aω 0 cos(ω 0 t) 2Bω 0 sin(ω 0 t) +t ( Aω0 2 sin(ω 0t) Bω0 2 cos(ω 0t) ). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen. Yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t)+ F 0 t sin(ω 2ω0 2 0 t), = A sin(ω 0 t +ϕ)+ F 0 t sin(ω 2mω0 2 0 t). Systeemi on resonanssissa.

21 Vaimennettu harmoninen oskillaattori. Vapaat värähtelyt Malliin on lisätty nopeuteen verrannollinen kitkan vaikutus mutta pakkovoimaa ei esiinny. Liikeyhtälö on x + 2px +ω 2 0x = 0. Karakteristisen yhtälön λ 2 + 2pλ+ω0 2 = 0 juuret ovat λ 12 = p ± p 2 ω0 2, Homogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yleisen ratkaisun muoto riippuu diskriminantin D = p 2 ω 2 0 arvosta. On tarkasteltava erikseen tapaukset: ylikriittinen vaimennus: D > 0 alikriittinen vaimennus: D = 0 kriittinen vaimennus: D < 0

22 Voimakas vaimennus: D > 0 Tapaus D > 0, on ns. voimakas vaimennus eli ylikriittinen vaimennus. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalijuurta, λ 1 < 0 ja λ 2 < 0. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t 0, kun t. Massapisteen nopeudeksi saadaan derivoimalla x (t) = C 1 λ 1 e λ 1t + C 2 λ 2 e λ 2t. Derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta, joten massapiste ohittaa tasapainoaseman korkeintaan yhden kerran.

23 Kriittinen vaimennus: D = 0 Karakteristisella yhtälöllä on reaalinen toisen kertaluvun juuri λ 1 = λ 2 = p. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 e pt +C 2 t e pt = e pt( C 1 +C 2 t ) 0, kun t. Massapisteen nopeus on x (t) = ( p)e pt( C 1 +C 2 t ) + e pt C 2 = e pt( C 2 pc 1 pc 2 t ). Kuten edellä derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta aluessa t > 0, joten massapiste ohittaa tasapainoaseman korkeintaan yhden kerran.

24 Heikko vaimennus: D < 0 Alikriittinen vaimennus Karakteristisen yhtälön juuret (liittokompleksiluvut) λ 12 = p ± i ω0 2 p2 = p± iω 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = e pt( C 1 sin(ω 1 t)+c 2 cos(ω 1 t) ) = A e pt sin(ω 1 t+ϕ) 0, kun t. Värähtely on vaimenevaa, sillä kertoimena oleva eksponenttifunktio pienentää amplitudia ajan myötä. Tästä huolimatta puhutaan vaimenevan värähtelijän värähdysajasta ja taajuudesta. Värähtely on periodista siinä mielessä, että siirtymän peräkkäiset nollakohdat ovat x(t) = 0 sin(ω 1 t +ϕ) = 0 ω 1 t +ϕ = mπ,

25 Massapisteen tasapainoasema ohitetaan ajanhetkillä t = t m = mπ ϕ ω 1,m = 1,... Värähdysaika on T 1 = t m+2 t m = 2π ω 1 = 2π = 2π 1 ω0 2 ω p2 0 1 (p/ω0 ) > 2π. 2 ω 0 Vaimennus pidentää värähdysaikaa. (On rajoituttu p tapaukseen D < 0 eli p < ω 0 eli ω 0 < 1.) Vaimenemisen nopeutta kuvaa ns. logaritminen dekrementti Λ = 2πp ω 1.

26 Oheisessa kuvassa on piirretynä tyypillisiä vaimennetun harmonisen värähtelijän ratkaisukäyriä. Ylinnä voimakas vaimennus, y + 4y + 3y = 0. Keskellä kriittinen vaimennus, y + 4y + 4y = 0. Alimmaisena heikko vaimennus, y + 4y + 65y =

27 Vaimennettu harmoninen värähtelijä. Pakotetut värähtelyt Jousi-massa-systeemi: jaksollinen häiriö. Malliin on lisätty kitkan vaikutus ja pakkovoima on muotoa F(t) = F 0 cos(ωt) Liikeyhtälö on x + 2px +ω 2 0x = F 0 m cos(ωt). Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on laskettu edellä. Täydellisen yhtälön ratkaisuyrite: x 0 (t) = A sin(ωt)+b cos(ωt), x 0 (t) = Aω cos(ωt) Bω sin(ωt), x 0 (t) = Aω2 sin(ωt) Bω 2 cos(ωt).

28 Yrite sijoitetaan täydelliseen yhtälöön x 0 + 2px 0 +ω2 0 x 0 = [ Aω0 2 Aω2 2pωB ] sin(ωt) + [ 2pωA+Bω0 2 Bω2] cos(ωt) = F 0 m cos(ωt) kaikilla t, Kertoimille yhtälöpari { (ω 2 0 ω2 )A 2pωB = 0, 2pωA+(ω 2 0 ω2 )B = F 0 m A = B = F 0 m (2pω), (2pω) 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 F 0 m (ω 2 0 ω2 ) (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2.

29 Tällöin täydellisen yhtälön eräs ratkaisu on F 0 m (2pω) x 0 (t) = sin(ωt)+ (2pω) 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 F 0 = m sin(ωt +ϕ (2pω) 1). 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = e pt( C 1 sin(ω 1 t)+c 2 cos(ω 1 t) ) + F 0 m (2pω) sin(ωt) + F0 m (ω (2pω) 2 +(ω ω2 )cos(ωt) ω2 ) 2 (2pω) 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 = A e pt sin(ω 1 t +ϕ)+ F 0 m (ω 2 0 ω2 ) (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 cos(ωt) F 0m (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 sin(ωt +ϕ 1) F 0 m (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 sin(ωt +ϕ 1), kun t.

30 Pitkän ajan kuluttua eli suurilla t:n arvoilla pakotetun värähtelyn taajuus on likimain ω 2π ja värähdysaika on likimain 2π ω. Värähtelyn amplitudi riippuu pakkovoiman kulmataajuudesta seuraavasti F 0 m A(ω) = +. (2pω) 2 +(ω 20 ω2 ) 2 Edellä olevasta kaavasta voidaan määrätä vaimenevan värähtelijän resonanssitaajuus. Saadaan laskemalla se kulmataajuuden arvo, joka maksimoi amplitudin A(ω). Ääriarvoa määrättäessä riittää etsiä derivaatan avulla funktion g(ω) = (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 ääriarvot.

vakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1)

vakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1) Toisen kertaluvun yhtälöt Yleinen muoto Φ(x,y,y,y ) =, jossa Φ on neljän muuttujan funktio. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen, jos toinen derivaatta y on ratkaistu muuttujan x,

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko

MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina

Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4

BM30A0240, Fysiikka L osa 4 BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen

- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen 3 Dynamiikka 3.1 Voima (force) - Jos työnnät jotain kevyttä kappaletta, se alkaa liikkua - jos työnnät sitä kovemmin, se liikkuu nopeammin Kyseinen suure on voima - suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike

Luento 13: Periodinen liike Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

Luento 11: Periodinen liike

Luento 11: Periodinen liike Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)

= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus) Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 7: MEKAANINEN VÄRÄHTELIJÄ Teoriaa Vaimeneva värähdysliike y ŷ ŷ ŷ t T Kuva. Vaimeneva värähdysliike ajan funktiona.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen

BM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Värähtelyfysiikkaa 1 Luennot: Heikki Pitkänen Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Periodic motion Mechanical waves Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi,

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

Differentiaalilypsämöt II Harjoitus 1

Differentiaalilypsämöt II Harjoitus 1 Differentiaalilypsämöt II Harjoitus 1 Heikki Korpela 22. maaliskuuta 217 Tehtävä 1. Ratkaise seuraava differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävä { y 1 = λ 1 y 1, y 1 ) = y y 2 = λ 1 y 1 λ 2 y 2, y2)

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot

Luento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Luento 14: Periodinen liike, osa 2

Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F ~ µ ~F t F ~ d ~F r m~g Ajankohtaista Poimintoja palautekyselystä Oli mukava luento. Mukavaa että luennoitsija mahdollisti

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Dissipatiiviset voimat

Dissipatiiviset voimat Dissipatiiviset voimat Luennon tavoitteena Mitä on energian dissipaatio? Ilmanvastus ja muita vastusvoimia, analyyttinen käsittely Toinen tärkeä differentiaaliyhtälö: eksponentiaalinen vaimeneminen Vaimennettu

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013

Jouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013 B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit

3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)

Lisätiedot

Luento 18: Kertausluento

Luento 18: Kertausluento Luento 18: Kertausluento Värähdysliike Harmoninen värähtely Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Mekaaniset aallot Eteneminen Seisovat aallot Ääniaallot Luennon sisältö Värähdysliike Harmoninen värähtely

Lisätiedot

2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?

2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse? 2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä

Lisätiedot

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 37P MARTTI HAMINA Tasa-arvopinnat x + y x + y y u(x, y) C x x(y, C) x x(y, C) x x (y, C) x x + y y + y y x x Φ(x, y, y )? y F (x,y) F (x(t),y) y y(x, C) y y (x, C)?? F (x, y) dt F

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:

Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että: Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation

Lisätiedot

7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista

7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista 7. Laplace-operaattorin ominaisarvoista Värähtelevän jousen ja lämmönjohtumisyhtälöiden ratkaisemisessa päädyttiin seuraavankaltaiseen reuna-arvotehtävään { V = λv välillä (a, b), ja V (a) = V (b) = 0.

Lisätiedot

Frobeniuksen menetelmä

Frobeniuksen menetelmä Pro Gradu -tutkielma Frobeniuksen menetelmä Tekijä: Mika Ylisirniö Ohjaaja: Mika Koskenoja 5. joulukuuta 2014 Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen Laitos/Institution

Lisätiedot

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x

k = 1,...,r. L(x 1 (t), x Mat-2.148 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 6 1. Johdetaan välttämättömät ehdot funktionaalin J(y) = t g(y(t), ẏ(t),..., dr y(t), t) dt dt r ekstremaalille, kun

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot