Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu
|
|
- Maria Ketonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen perusjärjestelmä. Jos funktio y 0 = y 0 (x) on jokin epähomogeenisen yhtälön y + a(x)y + b(x)y = f(x) yksityisratkaisu välillä I, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa y(x) = y H (x)+y 0 (x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+y 0 (x), jossa C 1 ja C 2 ovat mielivaltaisia reaalisia vakioita. Perustelu: Olkoon y jokin täydellisen yhtälön ratkaisu y y 0 on homogeeniyhtälön ratkaisu y y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2. y = C 1 y 1 + C 2 y 2 + y 0.
2 Yhteenveto Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu voidaan esittää homogeeniyhtälön yleisen ratkaisun ja täydellisen yhtälön jonkin yksityisratkaisun summana. Toisin sanoen on tunnettava homogeeniyhtälön ratkaisujen perusjärjestelmä {y 1 (x),y 2 (x)} ja jokin täydellisen yhtälön ay + by + cy = f(x) ratkaisu y 0 (x). Tällöin täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) = y H (x)+y 0 (x) = C 1 y 1 (x)+c 2 y 2 (x)+y 0 (x). Vakiot C 1 ja C 2 kiinnitetään alkuehdoilla.
3 Määräämättömien kertoimien menetelmä Milloin toimii? Soveltuu vain vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöihin: y + ay + by = f(x). Soveltuu vain tietyntyyppisiin, häiriöfunktioihin, kuten polynomit f(x) = B0 + B 1 x +...+B n x n eksponenttifunktiot f(x) = B e kx trigonometriset funktiot f(x) = B1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx) tulomuotoinen häiriö f(x) = e kx ( B 1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx) )
4 Homogeeniyhtälö y + ay + by = 0 Karakteristisen polynomin p(λ) juuret λ 1, λ 2. Eri tapaukset 1. Kaksi erisuurta reaalijuurta λ 1 λ 2 : yleinen ratkaisu y H (x) = C 1 e λ1x + C 2 e λ2x. 2. Reaalinen kaksoisjuuri λ 1 = λ 2 : yleinen ratkaisu y H (x) = (C 1 + C 2 x)e λ1x. 3. Kompleksiset juuret λ 1 = α+iβ, λ 2 = α iβ C, i = 1: y H (x) = e αx (C 1 cos(βx)+c 2 sin(βx)).
5 Häiriöfunktio: B 0 + +B n x n Jos p(0) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = A 0 +A 1 x+...+a n x n. Jos λ = 0 on yksinkertainen juuri so. p(0) = 0, niin yksityisratkaisuyrite ( y 0 (x) = x A 0 +A 1 x+...+a n x n). Esim. 1 Ratkaise yhtälön y y 2y = 2x yleinen ratkaisu.
6 Häiriöfunktio f(x) = B e kx Jos p(k) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = A e kx. Jos k on yksinkertainen juuri (p(k) = 0), niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = Ax e kx. Jos k on kaksinkertainen juuri, niin yrite on y 0 (x) = Ax 2 e kx Esim. 2 Ratkaise yhtälön y y 2y = e 4x yleinen ratkaisu. Ratkaise yhtälön y y 2y = 5e x yleinen ratkaisu.
7 f(x) = B 1 cos(ωx)+b 2 sin(ωx) Jos p(±iω) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Jos p(±iω) = 0, niin yksityisratkaisuyrite ( ) y 0 (x) = x A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Esim. 3 Ratkaise yhtälön y + 4y = cos(2x) yleinen ratkaisu.
8 f(x) = e kx (B 1 cos(ωx)+b 2 sin(ωx)) Jos p(k ± iω) 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = e kx( ) A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Jos p(k ± iω) = 0, niin yksityisratkaisuyrite y 0 (x) = x e kx( ) A 1 cos(ωx)+a 2 sin(ωx). Esim. 4 Ratkaise yhtälön y + 4y + 3y = e 2x cos(2x) yleinen ratkaisu.
9 Määräämättömien kertoimien menetelmä Lause Määräämättömien kertoimien menetelmä. Olkoon differentiaaliyhtälön ay + by + cy = f(x) homogeeniyhtälön karakteristinen polynomi p(λ) = aλ 2 + bλ+c. Seuraavat yritteet antavat ratkaisun vastaaville häiriöfunktioille. häiriöfunktio f(x) yritefunktio y 0 (x) ehto B 0 +B 1 x+...+b nx n A 0 +A 1 x+...+a nx n p(0) 0 x (A 0 +A 1 x+...+a nx n ) x 2 (A 0 +A 1 x+...+a nx n ) p(0) = 0,1.kl p(0) = 0,2.kl B e kx A e kx p(k) 0 Ax e kx p(k) = 0, 1.kl Ax 2 e kx p(k) = 0, 2.kl B 1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx) A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx) p(± iω) 0 x (A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx)) p(± iω) = 0 e αx (B 1 sin(ωx)+b 2 cos(ωx)) e αx (A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx)) p(α ± iω) 0 x e αx (A 1 sin(ωx)+a 2 cos(ωx)) p(α ± iω) = 0
10 Huomioita Määräämättömien kertoimien menetelmää voidaan soveltaa myös ensimmäisen ja korkeamman kertaluvun vakiokertoimisiin differentiaaliyhtälöihin. Summamuotoiselle häiriölle f(x) = d 1 f 1 (x)+d 2 f 2 (x), d 1,d 2 R yksityisratkaisu voidaan hakea kummallekin häiriöfunktiolle erikseen. Ratkaistaan erikseen yhtälöt a y 01 + b y 01 + c y 01 = f 1 (x), a y 02 + b y 02 + c y 02 = f 2 (x). Häiriöfunktiota f(x) = d 1 f 1 (x)+d 2 f 2 (x) vastaa yksityisratkaisu y 0 (x) = d 1 y 01 (x)+d 2 y 02 (x).
11 Sovelluksia: harmoninen värähtelijä Mallitehtävä: jousi-massa-systeemin liikettä vaakasuoralla tasolla. Fysikaaliset suureet: t aika, x = x(t) massapisteen siirtymä ja m kappaleen massa. Paikkakoordinaatiston origoksi valitaan jousen lepotilan mukainen massapisteen paikka. Oletamme, että 1. Jousivoima on suoraan verrannollinen massapisteen etäisyyteen origosta. Verrannollisuuskerroin k > 0 on ns. jousivakio. 2. Kitkavoima on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen. Verrannollisuuskerroin c > 0 on ns. vaimennusvakio. 3. Oletamme, että massapisteeseen vaikuttaa ulkoinen ajasta riippuva pakkovoima F = F(t).
12 Systeemin liikeyhtälö (Newtonin II laki) mx = kx cx + F tai mx + cx + kx = F. Merkintä: 2p = c m > 0, ω2 0 = k m Yhtälön normaalimuoto: Tarkastelemme x + 2px +ω 2 0x = F m. vaimenematonta (p = 0), vaimennettua (p 0), vapaata ( F = 0), pakotettua värähtelyä (F 0). Pakkovoima on harmoninen: F = F 0 sin(ωt +ϕ). Tarkastelu soveltuu sellaisenaan virtapiirien teoriaan.
13 Vaimenematon harmoninen värähtelijä. Vapaat värähtelyt harmoninen värähtelijä vaimenematon amplitudi taajuus värähdysaika
14 Harmonisen oskillaattorin liikeyhtälö Ei kitkaa ja pakkovoimaa Liikeyhtälö on x +ω 2 0 x = 0. Karakteristisen yhtälön λ 2 +ω 2 0 = 0 juuret ovat λ 12 = ± iω 0 Homogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t). Vakiot C 1 ja C 2 kiinnitetään alkuehtojen avulla.
15 Toinen esitysmuoto Yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa myös muotoon x(t) = A sin(ω 0 t +ϕ), Yhteys edelliseen esitysmuotoon saadaan kaavoista A = C1 2 + C2 2, cosϕ = C 1 A, sinϕ = C 2 A tai tanϕ = C 2 C 1. Käytettiin summatun kulman sinin kaavaa sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ, jota soveltamalla saadaan A sin(ω 0 t +ϕ) = A cosϕsin(ω 0 t)+a sinϕcos(ω 0 t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t).
16 Amplitudi, taajuus ja värähdysaika Ylläolevien esitysten kertoimien välinen yhteys seuraa yhtälöparista (ks. PK I) { A cosϕ = C 1, A on värähtelyn amplitudi, ω 0 2π A sinϕ = C 2. on värähtelyn taajuus (jousen ominaistaajuus) T = 2π ω 0 = 2π m k on värähdysaika ω 0 t +ϕ on vaihekulma hetkellä t ja ϕ on vaihekulman alkuarvo eli vaihekulma hetkellä t = 0.
17 Vaimenematon harmoninen oskillaattori. Pakotetut värähtelyt Jousi-massa-systeemiä häiritään periodisesti. Häiriö muotoa F(t) = F 0 cos(ωt) Liikeyhtälö on x +ω 2 0 x = F 0 m cos(ωt). Pakkovoiman taajuus (häiriötaajuus): ω 2π. Jousen ominaistaajuus: ω 0 2π. Täydellisen yhtälön erään ratkaisun muoto riippuu siitä, tapahtuuko häirintä jousen ominaistaajuudella vai ei.
18 Tapaus ω ω 0 : Yrite täydellisen yhtälön ratkaisuksi on (määräämättömien kertoimien menetelmä) x 0 (t) = A sin(ωt)+b cos(ωt), x 0 (t) = Aω cos(ωt) Bω sin(ωt), x 0 (t) = Aω2 sin(ωt) Bω 2 cos(ωt). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen Määräämättömät kertoimet ovat A = 0 ja B = Yleinen ratkaisu on F 0 m(ω 2 0 ω2 ). x(t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t)+ F 0 1 m (ω0 2 ω2 ) cos(ωt).
19 Massapiste lähtee liikkeelle levosta. Alkuehdot ovat x(0) = 0 ja x (0) = 0. Yleisessä ratkaisussa esiintyvät vakiot saadaan yhtälöparista { x(0) = C2 + F 0 1 m = 0, ω0 2 ω2 x (0) = C 1 ω 0 = 0, { C2 = F 0 m(ω 2 0 ω2 ), C 1 = 0. Alkuarvotehtävän ratkaisu on [ F x(t) = 0 cos(ωt) cos(ω0 t) ] m(ω 2 0 ω2 ) 2F = 0 m(ω0 2 ω2 ) sin(ω 0 ω 2 t)sin( ω 0+ω 2 t) = A(ω,t)sin( ω 0+ω 2 t), Värähtelyn amplitudi riippuu ajasta eli A(ω,t) = 2F 0 m(ω 2 0 ω2 ) sin(ω 0 ω 2 t).
20 Resonanssi: ω = ω 0 Yksityisratkaisuyrite täydelliselle yhtälölle on x 0 (t) = t ( A sin(ω 0 t)+b cos(ω 0 t) ), x 0 (t) = A sin(ω 0t)+B cos(ω 0 t) +t ( Aω 0 cos(ω 0 t) Bω 0 sin(ω 0 t) ), x 0 (t) = 2Aω 0 cos(ω 0 t) 2Bω 0 sin(ω 0 t) +t ( Aω0 2 sin(ω 0t) Bω0 2 cos(ω 0t) ). Yrite sijoitetaan yhtälöön ja vaaditaan yhtälön toteutuminen. Yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 sin(ω 0 t)+c 2 cos(ω 0 t)+ F 0 t sin(ω 2ω0 2 0 t), = A sin(ω 0 t +ϕ)+ F 0 t sin(ω 2mω0 2 0 t). Systeemi on resonanssissa.
21 Vaimennettu harmoninen oskillaattori. Vapaat värähtelyt Malliin on lisätty nopeuteen verrannollinen kitkan vaikutus mutta pakkovoimaa ei esiinny. Liikeyhtälö on x + 2px +ω 2 0x = 0. Karakteristisen yhtälön λ 2 + 2pλ+ω0 2 = 0 juuret ovat λ 12 = p ± p 2 ω0 2, Homogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yleisen ratkaisun muoto riippuu diskriminantin D = p 2 ω 2 0 arvosta. On tarkasteltava erikseen tapaukset: ylikriittinen vaimennus: D > 0 alikriittinen vaimennus: D = 0 kriittinen vaimennus: D < 0
22 Voimakas vaimennus: D > 0 Tapaus D > 0, on ns. voimakas vaimennus eli ylikriittinen vaimennus. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi erisuurta reaalijuurta, λ 1 < 0 ja λ 2 < 0. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t 0, kun t. Massapisteen nopeudeksi saadaan derivoimalla x (t) = C 1 λ 1 e λ 1t + C 2 λ 2 e λ 2t. Derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta, joten massapiste ohittaa tasapainoaseman korkeintaan yhden kerran.
23 Kriittinen vaimennus: D = 0 Karakteristisella yhtälöllä on reaalinen toisen kertaluvun juuri λ 1 = λ 2 = p. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = C 1 e pt +C 2 t e pt = e pt( C 1 +C 2 t ) 0, kun t. Massapisteen nopeus on x (t) = ( p)e pt( C 1 +C 2 t ) + e pt C 2 = e pt( C 2 pc 1 pc 2 t ). Kuten edellä derivaatalla on korkeintaan yksi nollakohta aluessa t > 0, joten massapiste ohittaa tasapainoaseman korkeintaan yhden kerran.
24 Heikko vaimennus: D < 0 Alikriittinen vaimennus Karakteristisen yhtälön juuret (liittokompleksiluvut) λ 12 = p ± i ω0 2 p2 = p± iω 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = e pt( C 1 sin(ω 1 t)+c 2 cos(ω 1 t) ) = A e pt sin(ω 1 t+ϕ) 0, kun t. Värähtely on vaimenevaa, sillä kertoimena oleva eksponenttifunktio pienentää amplitudia ajan myötä. Tästä huolimatta puhutaan vaimenevan värähtelijän värähdysajasta ja taajuudesta. Värähtely on periodista siinä mielessä, että siirtymän peräkkäiset nollakohdat ovat x(t) = 0 sin(ω 1 t +ϕ) = 0 ω 1 t +ϕ = mπ,
25 Massapisteen tasapainoasema ohitetaan ajanhetkillä t = t m = mπ ϕ ω 1,m = 1,... Värähdysaika on T 1 = t m+2 t m = 2π ω 1 = 2π = 2π 1 ω0 2 ω p2 0 1 (p/ω0 ) > 2π. 2 ω 0 Vaimennus pidentää värähdysaikaa. (On rajoituttu p tapaukseen D < 0 eli p < ω 0 eli ω 0 < 1.) Vaimenemisen nopeutta kuvaa ns. logaritminen dekrementti Λ = 2πp ω 1.
26 Oheisessa kuvassa on piirretynä tyypillisiä vaimennetun harmonisen värähtelijän ratkaisukäyriä. Ylinnä voimakas vaimennus, y + 4y + 3y = 0. Keskellä kriittinen vaimennus, y + 4y + 4y = 0. Alimmaisena heikko vaimennus, y + 4y + 65y =
27 Vaimennettu harmoninen värähtelijä. Pakotetut värähtelyt Jousi-massa-systeemi: jaksollinen häiriö. Malliin on lisätty kitkan vaikutus ja pakkovoima on muotoa F(t) = F 0 cos(ωt) Liikeyhtälö on x + 2px +ω 2 0x = F 0 m cos(ωt). Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu on laskettu edellä. Täydellisen yhtälön ratkaisuyrite: x 0 (t) = A sin(ωt)+b cos(ωt), x 0 (t) = Aω cos(ωt) Bω sin(ωt), x 0 (t) = Aω2 sin(ωt) Bω 2 cos(ωt).
28 Yrite sijoitetaan täydelliseen yhtälöön x 0 + 2px 0 +ω2 0 x 0 = [ Aω0 2 Aω2 2pωB ] sin(ωt) + [ 2pωA+Bω0 2 Bω2] cos(ωt) = F 0 m cos(ωt) kaikilla t, Kertoimille yhtälöpari { (ω 2 0 ω2 )A 2pωB = 0, 2pωA+(ω 2 0 ω2 )B = F 0 m A = B = F 0 m (2pω), (2pω) 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 F 0 m (ω 2 0 ω2 ) (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2.
29 Tällöin täydellisen yhtälön eräs ratkaisu on F 0 m (2pω) x 0 (t) = sin(ωt)+ (2pω) 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 F 0 = m sin(ωt +ϕ (2pω) 1). 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 Täydellisen yhtälön yleinen ratkaisu on x(t) = e pt( C 1 sin(ω 1 t)+c 2 cos(ω 1 t) ) + F 0 m (2pω) sin(ωt) + F0 m (ω (2pω) 2 +(ω ω2 )cos(ωt) ω2 ) 2 (2pω) 2 +(ω0 2 ω2 ) 2 = A e pt sin(ω 1 t +ϕ)+ F 0 m (ω 2 0 ω2 ) (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 cos(ωt) F 0m (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 sin(ωt +ϕ 1) F 0 m (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 sin(ωt +ϕ 1), kun t.
30 Pitkän ajan kuluttua eli suurilla t:n arvoilla pakotetun värähtelyn taajuus on likimain ω 2π ja värähdysaika on likimain 2π ω. Värähtelyn amplitudi riippuu pakkovoiman kulmataajuudesta seuraavasti F 0 m A(ω) = +. (2pω) 2 +(ω 20 ω2 ) 2 Edellä olevasta kaavasta voidaan määrätä vaimenevan värähtelijän resonanssitaajuus. Saadaan laskemalla se kulmataajuuden arvo, joka maksimoi amplitudin A(ω). Ääriarvoa määrättäessä riittää etsiä derivaatan avulla funktion g(ω) = (2pω) 2 +(ω 2 0 ω2 ) 2 ääriarvot.
vakiokertoimisen toisen kertaluvun lineaarisen homogeeniyhtälön yleinen muoto on p 2 y +p 1 y +p 0 y = 0. (1)
Toisen kertaluvun yhtälöt Yleinen muoto Φ(x,y,y,y ) =, jossa Φ on neljän muuttujan funktio. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on normaalimuotoinen, jos toinen derivaatta y on ratkaistu muuttujan x,
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotMS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotLuento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotJakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina
Jakso 6: Värähdysliikkeet Tämän jakson tehtävät on näytettävä viimeistään torstaina 31.5.2012. T 6.1 (pakollinen): Massa on kiinnitetty pystysuoran jouseen. Massaa poikkeutetaan niin, että se alkaa värähdellä.
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä θ F t m g F r Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä Johdanto Tarkastellaan
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
Lisätiedot- suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä kuin pieni voima - samanlainen voima aiheuttaa samalle kappaleelle aina samanlaisen vaikutuksen
3 Dynamiikka 3.1 Voima (force) - Jos työnnät jotain kevyttä kappaletta, se alkaa liikkua - jos työnnät sitä kovemmin, se liikkuu nopeammin Kyseinen suure on voima - suurempi voima aiheuttaa nopeampaa liikettä
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Ajankohtaista
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLuento 11: Periodinen liike
Luento 11: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä Laskettuja esimerkkejä ~F t m~g ~F r Konseptitesti 1 Tehtävänanto Kuvassa on jouseen kytketyn massan sijainti ajan funktiona. Kuvaile
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Lisätiedot= vaimenevan värähdysliikkeen taajuus)
Fysiikan laboratoriotyöohje Tietotekniikan koulutusohjelma OAMK Tekniikan yksikkö TYÖ 7: MEKAANINEN VÄRÄHTELIJÄ Teoriaa Vaimeneva värähdysliike y ŷ ŷ ŷ t T Kuva. Vaimeneva värähdysliike ajan funktiona.
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotLiikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima
Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotDifferentiaalilaskenta 1.
Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4. Värähtelyfysiikkaa. Luennot: Heikki Pitkänen
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Värähtelyfysiikkaa 1 Luennot: Heikki Pitkänen Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Periodic motion Mechanical waves Sound and hearing Muuta - Diffraktio, interferenssi,
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
LisätiedotBM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
LisätiedotDifferentiaalilypsämöt II Harjoitus 1
Differentiaalilypsämöt II Harjoitus 1 Heikki Korpela 22. maaliskuuta 217 Tehtävä 1. Ratkaise seuraava differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävä { y 1 = λ 1 y 1, y 1 ) = y y 2 = λ 1 y 1 λ 2 y 2, y2)
Lisätiedot4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
LisätiedotUseita oskillaattoreita yleinen tarkastelu
Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää
LisätiedotLuento 15: Mekaaniset aallot. Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot
Luento 15: Mekaaniset aallot Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa Energia Aallon heijastuminen Seisovat aallot 1 / 40 Luennon sisältö Mekaaniset aallot Eteneminen Aallon nopeus väliaineessa
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
LisätiedotLuento 14: Periodinen liike, osa 2
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F ~ µ ~F t F ~ d ~F r m~g Ajankohtaista Poimintoja palautekyselystä Oli mukava luento. Mukavaa että luennoitsija mahdollisti
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.
DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa
LisätiedotDissipatiiviset voimat
Dissipatiiviset voimat Luennon tavoitteena Mitä on energian dissipaatio? Ilmanvastus ja muita vastusvoimia, analyyttinen käsittely Toinen tärkeä differentiaaliyhtälö: eksponentiaalinen vaimeneminen Vaimennettu
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotJouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013
B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotToisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen
LisätiedotHARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE
HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta
LisätiedotLuento 18: Kertausluento
Luento 18: Kertausluento Värähdysliike Harmoninen värähtely Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Mekaaniset aallot Eteneminen Seisovat aallot Ääniaallot Luennon sisältö Värähdysliike Harmoninen värähtely
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä
Lisätiedot3. Laske osittaisintegroinnin avulla seuraavat integraalit
Harjoitus 1 / syksy 2001 1. Laske seuraavat derivaatat 2 a) D ( 5x + 5) x, b) D (-e 2x ), c) D (-ln x) ja d) D (sin 2x + cos x). 2. Laske seuraavat integraalit 2 x 5x 5 dx, a) ( + ) x b) ( e 2 ) dx, c)
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 37P MARTTI HAMINA Tasa-arvopinnat x + y x + y y u(x, y) C x x(y, C) x x(y, C) x x (y, C) x x + y y + y y x x Φ(x, y, y )? y F (x,y) F (x(t),y) y y(x, C) y y (x, C)?? F (x, y) dt F
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotMapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1. Derivoidaan molemmat puolet, aloitetaan vasemmasta puolesta. Muistetaan että:
Mapu I Laskuharjoitus 2, tehtävä 1 1. Eräs trigonometrinen ientiteetti on sin2x = 2sinxcosx Derivoimalla yhtälön molemmat puolet x:n suhteen, joha lauseke cos 2x:lle. Ratkaisu: Derivoiaan molemmat puolet,
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Kevät 2010 Jukka Maalampi LUENTO 6 Yksinkertainen harmoninen liike yhteys ympyräliikkeeseen energia dynamiikka Värähdysliike Knight Ch 14 Heilahtelut pystysuunnassa ja gravitaation
LisätiedotKERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1
KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Lisätiedot