2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

Transkriptio

1 BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu tällöin? Muistetaan että y = dy dx, eli 2 dy dx x = y2 e x2 2 y 2 dy = e x2 xdx 2 y = ex2 2 +C 2 ex2 +C y = y () = 0 eli 2 0 = y() 2 e 2 eli y() = 0 eli 2 e2 +C = 0 ja tästähän ei C ratkea. Kuitenkin on olemassa erikoisratkaisu y(t) = 0, joka toteuttaa alkuperäisen DY:n ja jolle y () = 0. Tätä emme hoksanneet aikaisemmin koska tuli jaettua y:llä ja "unohdimme" tarkastella hävisikö jokin ratkaisu tässä kohtaa. 2. (y 3 + sin(y))y = e x. (a) Osoita että y(x) 0 kaikilla x:n arvoilla. (Vinkki: Differentaiaaliyhtälöä ei tarvitse tätä varten ratkaista) (b) Ratkaise DY kun y(0) = π/2. Millä x:n arvolla/arvoilla (jos millään) y(x) = 2? Huom! tässä DY:n ratkaisuksi riittää yhtälö jossa esiintyy enää vain y:tä ja x:ää, eli y :sta on päästy eroon. (a) Jos olisi y(x) = 0 niin (0 3 + sin(0))y (x) = e x eli 0 = e x mikä ei voi olla totta millään x:n arvolla. (b) (y 3 + sin(y)) dy dx = ex (y 3 + sin(y))dy = e x dx 4 y4 cos(y) = e x +C Nyt koska y(0) = π/2, saadaan 4 (π/2)4 cos(pi/2) = e 0 +C eli C = + 4 (π/2)4. Kun y(x) = 2 niin x = ln( C cos(2)). 3. Ratkaise y:n lauseke, kun (a) y = 2y + 3. Ratkaise loppuun asti. (b) y 2y = x. Ratkaise loppuun asti. (integraaleista selviää esim. osittaisintegroinnilla tai kaavakirjalla) (c) x 2 y + y = ln(x). Integraalit saa jäädä laskematta.

2 ja y:n muodon tahdotaan olevan y(x) = e x. (a) Lauseke on selvästi ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö. Tällöin sen ratkaisu on muotoa y(x) = e h ( e h r dx +C) missä siis r(x) = 3 h(x) = = p(x)dx dx Tällöin saamme y = e (x) ( e x 3dx +C) = x y = e 2x ( 3 2 ex +C) = 3 2 +Ce2x (b) Lauseke on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö, eli kuten edellisessä tehtävässä, mutta nyt r(x) = x. Sijoittamalla tämä saamme y(x) = e (x) ( e x ( x) dx +C) = e 2x ( 4 ex (2x + ) +C) = Ce 2x + (2x + ) 4 (c) x 2 y + y = ln(x) : x 2 y + y x 2 = ln(x) x 2 Yhtälö on ensimmäisen asteen lineaarinen DY. Lasketaan mitä on h(x) ja sijoitetaan tiedot kaavaan. h(x) = p(x)dx = x 2 dx = x y(x) = e ( x ) ( e x ln(x) x 2 dx +C) 4. Tiedetään että y (t) = ky(t), missä k ei tällä kertaa olekkaan välttämättä vakio, vaan voi riippua myös t:stä. (a) Jos tahdomme että y(t) = +2t niin mitä täytyy olla k:n? (b) Olkoon nyt k on kuten edellisessä kohdassa, mutta tahtoisimmekin että y(t) = +4t. Tällöin ei voi olla enää y (t) = ky(t), vaan täytyy esiintyä esim. "ulkopuolinen" y:n arvon vähenemistä vastustava termi g(t), eli malli olisikin y (t) = ky(t) + g(t). Määritä g(t) siten että y saa tahdotun muodon. 5. (a) Määritä q(x) kun tahdotaan että y(x) toteuttaa DY:n y + y + q(x)y = 0

3 (a) Ajanhetkellä t = 0 tankissa on nestettä 0m 3 ja sen kiintoainepitoisuus on 40g/m 3. Oletetaan nyt että virtausnopeudet ulos ja sisään ovat samoja, 2 kuutiometriä minuutissa, eli tankissa olevan nesteen tilavuus ei muutu. Määritä lauseke tankissa ajanhetkellä t olevan kiintoaineen määrälle y(t), kun c = 0. (b) Mitä olisi q(x):n oltava jos tahdotaan että DY:n ratkaisuksi kelpaisi y(x) = x = x 2? (a) Sijoitetaan Siis oltava q(x) =0. y (x) = e x y (x) = e x e x e x + g(x) e x = 0 q(x) }{{} e x = 0 0 Tarkistetaampa ratkaisemalla DY yleisesti (tätä ei toki harjoituksissa tarvitse tehdä) y + y = 0 λ 2 + λ = 0 λ(λ + ) = 0 { λ = 0 λ 2 = y(x) = C e 0 x +C 2 e x = C +C 2 e x Tahdottu ratkaisu on siis se yksittäisratkaisu jossa C = 0 ja C 2 =. (b) y (x) = 2 x 2 Sijoitetaan nämä differentiaali yhtälöön y (x) = 4 x x x 2 + q(x) x 2 = 0 4 x + 2 x + q(x) = 0 q(x) = 4 x 2 x 6. Ajatellaan alla olevan kuvan kaltaista tankkisysteemiä johon tulee nestettä ja josta lähtee nestettä. Tankkiin tulevan nesteen kiintoainepitoisuus on c, yksikkönä grammaa per kuutiometri. Tankissa olevaa nestettä sekoitetaan sen verran tehokkaasti että sen pitoisuuden voidaan ajatella olevan sama kaikkialla tankissa.

4 (b) Kuinka kauan kestää että tankissa olevan nesteen kiintoainepitoisuus on 20g/m 3? v 2 (t) v (t) V (t) 7. Määritä y(t) kun tilanne on muuten sama kuin tehtävässä 6, mutta (a) tankkiin tulevan nesteen pitoisuus on c = 30g/m 3? (b) tankkiin tulevan nesteen pitoisuus on c = e 0.0t 8. Jos nyt tilanne olisi muutoin kuten tehtävässä 6, mutta nestettä virtaisi sisään vain vauhdilla kuutiometri minuutissa niin mikä olisi nyt kiintoaineen määrän y(t) lauseke?

5 Vastauksia: Teht.#: Osittainen ratkaisu y =. 2 ex2 +C Teht.#2: Osittainen ratkaisu 4 y4 cos(y) = e x +C Teht.#3: (a) y = 3 2 +Ce2x (b) Osittainen ratkaisu y(x) = e (2x) ( e x ( x) dx +C) (c) y(x) = e (x ) ( e x ln(x) dx +C) x 2 Teht.#4: (a) +2t 4 (b) + 2 (+4t) 2 +2t +4t Teht.#5: (a) q(x) = 0 (b) q(x) = 4 x 2 x Teht.#6: (a) y(t) = 400e 5 t (b) t = 5ln(0.5) Teht.#7: (a) y(t) = 5(60 + exp( 5 t 5ln(20))) (b) exp( 0.2t)( exp(0.9t) ) Teht.#8: y(t) = 4( t + 0) 2, t [0,0]