Differentiaaliyhtälöt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Differentiaaliyhtälöt"

Transkriptio

1 Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen

2 Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö Homogeenifunktioinen yhtälö Eksakti differentiaaliyhtälö Integroivan tekijän menetelmä Lineaarinen differentiaaliyhtälö Bernoullin yhtälö kertaluvun differentiaaliyhtälön palauttamisesta. kertaluvun differentiaaliyhtälöksi Ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause Picardin menetelmä Numeerisia menetelmiä Eulerin menetelmä Eulerin parannettu menetelmä Runge-Kuttan menetelmä Esimerkkejä sovelluksista Joitakin 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä Funktioiden lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Homogeeninen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö Vakiokertoiminen homogeeninen 2. kl lineaarinen differentiaaliyhtälö Yleinen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö uv -keino Potenssisarjamenetelmä Frobeniuksen menetelmä Laplace-muunnos Eulerin yhtälö Lineaarinen n. kertaluvun diff.yhtälö Esimerkkejä sovelluksista

3 4 Differentiaaliyhtälöryhmistä Homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Eliminointimenettely Matriisin ominaisarvoista ja ominaisvektoreista Matriisimenettely Laplace-muunnoksen käyttö Epähomogeenisen vakiokertoimisien lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta Eliminointimenettely Matriisimenetelmä ja yrite Laplace-muunnoksen käyttö Esimerkki sovelluksesta

4 Luku Differentiaaliyhtälön käsite Määritelmä.. Differentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, joka koostuu reaalimuuttujasta x, x:n reaaliarvoisesta tuntemattomasta funktiosta y ja y:n derivaatoista y, y,..., y (n). Diff.yhtälön yleinen muoto on siis F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. Diff.yhtälön kertaluku on funktion y korkeimman derivaatan kertaluku. Esimerkki.. Funktion F : R 3 R, F (x, x 2, x 3 ) = x + x 3, määräämä differentiaaliyhtälö on (.) x + y = 0. Yhtälön kertaluku on. Huomautus.. Differentiaaliyhtälö annetaan yleensä suoraan muodossa (.) eikä funktion F välityksellä. Määritelmä.2. Diff.yhtälöä sanotaan n. kertaluvun lineaariseksi diff.yhtälöksi, jos se voidaan kirjoittaa muodossa a n (x)y (n) + a n (x)y (n ) a (x)y + a 0 (x)y = b(x). Funktioita a n (x),..., a 0 (x) sanotaan yhtälön kertoimiksi. Jos funktio b on 0, niin yhtälöä sanotaan homogeeniseksi. Esimerkki.2. Yhtälö (.) on lineaarinen. Sen sijaan yhtälö ei ole. x + (y ) 2 = 0 Määritelmä.3. Osittaisdifferentiaaliyhtälöllä tarkoitetaan yhtälöä, joka koostuu useasta muuttujasta, näiden tuntemattomasta funktiosta ja funktion osittaisderivaatoista. 4

5 Huomautus.2. Tällä kurssilla tarkastellaan vain ns. tavallisia diff.yhtälöitä, ts. yhtälöitä, joissa on vain yksi muuttuja. Määritelmä.4. Funktio φ on diff.yhtälön F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 ratkaisu, jos se on välillä I ( R) n kertaa derivoituva ja F (x, φ(x), φ (x),..., φ (n) (x)) = 0 x I. Esimerkki.3. Funktio y = e x on yhtälön ratkaisu koko reaaliakselilla. (Totea!) y + y = 0 Määritelmä.5. Jos ratkaisu annetaan muodossa y = φ(x), sanotaan sitä eksplisiittiseksi ratkaisuksi. Jos sitä vastoin ratkaisu annetaan muodossa g(x, y) = 0, niin ratkaisua sanotaan implisiittiseksi. Esimerkki.4. Yhtälö x 2 + y 2 = on yhtälön y = x y implisiittinen ratkaisu. Huomautus.3. Differentiaaliyhtälöllä on yleensä enemmän kuin yksi ratkaisu, yleensä niitä on ääretön määrä. Esimerkiksi yhtälöllä y = x on ääretön määrä ratkaisuja, nimittäin y = 2 x2 + C, C R. Määritelmä.6. Jos on olemassa sellainen mielivaltaisia vakioita sisältävä ratkaisufunktio, jonka erikoistapauksina saadaan "melkein"kaikki yksityisratkaisut, sanotaan ko. ratkaisufunktiota yleiseksi ratkaisuksi. Ratkaisuja, joita ei saada yleisestä ratkaisusta, sanotaan erikoisratkaisuiksi. Esimerkki.5. Yhtälön yleinen ratkaisu on (y ) 2 + = y 2 (x C) 2 + y 2 =, C R. Lisäksi sillä on erikoisratkaisut y, y. Esimerkiksi on yksityisratkaisu. x 2 + y 2 = 5

6 Määritelmä.7. Alkuarvotehtävässä diff.yhtälön ratkaisulle on annettu lisäehto yhdessä pisteessä x. Reunaehtotehtävässä lisäehto on annettu useammassa kuin yhdessä pisteessä. Esimerkki.6. Tehtävä y + y = 0, y(0) = 2, y (0) = 0 on alkuarvotehtävä. Tehtävä ( ) π y + y = 0, y(0) = 0, y = 2 on reunaehtotehtävä. Ratkaise tehtävät! Vihje: y = C cos x + C 2 sin x on yleinen ratkaisu. 6

7 Luku 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 2. Separoituva yhtälö Määritelmä kertaluvun diff.yhtälöä sanotaan separoituvaksi, jos se voidaan kirjoittaa muodossa Lause 2... Tarkastellaan yhtälöä y = f(x)g(y). (2.) y = f(x)g(y), missä f on avoimella välillä I jatkuva ja g on avoimella välillä J jatkuvasti derivoituva. Olkoon J = (a, b), missä voi olla a = tai b =, sekä a = a 0 < a < < a m < a m+ = b, missä a, a 2,..., a m ovat g:n nollakohdat. (Jos m = 0, niin g:llä ei ole nollakohtia.) Silloin yhtälöllä (2.) on erikoisratkaisut y a i (i =, 2,..., m) välillä I. Yhtälön (2.) muut ratkaisut muodostuvat yhtälöiden (2.2) y = f(x)g(y), a i < y < a i+ (i = 0,, 2,..., m), kaikista ratkaisuista. Yhtälön (2.2) ratkaisujen kuvaajat kulkevat suorien y = a i ja y = a i+ välissä. Yhtälön (2.2) ratkaisu on muotoa (2.3) dy g(y) = f(x)dx. 7

8 Todistus. Oletetaan, että y a i, missä a i on funktion g nollakohta. Silloin y = 0 ja g(y) = 0, ja näin ollen y = f(x)g(y). Oletetaan sitten, että a i < y < a i+. Tämä kohta käsitellään luennolla. Yksikäsitteisyyteen tarvitaan pykälän 2.8 tuloksia. Esimerkki 2... Yhtälö y = 2xy(y ) on separoituva. Sovelletaan lausetta 2... Erikoisratkaisut ovat y 0, y. Etsitään yleinen ratkaisu: y y(y ) dy y(y ) y ln y y y y = 2xy(y ) = 2x = Jaetaan tarkastelu 3 tapaukseen: Tapaus. Olkoon y < 0. Silloin saadaan y y y = = Ce x2, C > 0 2xdx = x 2 + C, C R = e x2 e C = Ce x2, C > 0., C >, x R tai 0 < C, x > ln Ce x2 C. Tapaus 2. Olkoon 0 < y <. Silloin saadaan y y y y y = Tapaus 3. Olkoon y >. Silloin saadaan y y y = = Ce x2, C > 0 = Ce x2, C < 0 = Ce x2, C > 0 Ce x2, C < 0, x R., 0 < C <, x < ln Ce x2 C. 8

9 Esimerkki Yhtälö voidaan ratkaista separoituvana y = + x + y 2 + xy 2 y = ( + x)( + y 2 ), + y 2 0 dy + y 2 dx = + x dy = ( + x)dx + y 2 arctan y = x + 2 x2 + C y = tan(x + 2 x2 + C). 2.2 Homogeenifunktioinen yhtälö Määritelmä kertaluvun diff.yhtälö on homogeenifunktioinen, jos se voidaan kirjoittaa muodossa y = f ( y x). Lause Kun homogeenifunktioiseen yhtälöön (2.4) y = f ( y x), x 0, tehdään sijoitus u = y, muuntuu se separoituvaksi yhtälöksi x (2.5) u = (f(u) u). x Yhtälön (2.4) ratkaisut y : I R, 0 I, saadaan muodossa y(x) = x u(x), x I, missä u : I R käy läpi kaikki yhtälön (2.5) ratkaisut. Todistus. Tarkastellaan yhtälöä (2.4). Merkitään u = y/x, jolloin y = ux ja edelleen y = u+u x. Tällöin yhtälö (2.4) tulee muotoon u+u x = f(u), joka on yhtäpitävä yhtälön (2.5) kanssa. Siis yhtälön (2.4) ratkaisut ovat y = ux, missä u käy läpi yhtälön (2.5) ratkaisut. Esimerkki Yhtälö y + x 2 + y 2 xy = 0, x > 0, 9

10 on homogeenifunktioinen, sillä se voidaan kirjoittaa muodossa y = y + x 2 + y 2 x = y ( y 2 x + + x) Sijoitetaan u = y x, jolloin y = (ux) = u x + u. Saadaan u x + u = u + + u 2 + u u 2 = ( + u x 2 > 0). Kyseessä on separoituva yhtälö. Ratkaistaan se seuraavalla tavalla: du dx = + u 2 x Esimerkki Yhtälö ln(u + + u 2 ) = ln x + C = ln x + C u + + u 2 = x e C = Cx, C > 0 ( ) y y 2 x + + = Cx x y + x 2 + y 2 = Cx 2. (2.6) y = y2 + xy x 2, x 0, x 2 on homogeenifunktioinen, sillä se voidaan kirjoittaa muodossa ( ) y 2 y y = + x x. Sijoitetaan u = y, jolloin x y = (ux) = u x + u. Siis u x + u = u 2 + u u = u2 (2.7). x Kyseessä on separoituva yhtälö. Erikoisratkaisut: u tai u välillä I, missä I = (0, ) tai I = (, 0). Siis yhtälöllä (2.6) on erikoisratkaisut y = x tai y = x välillä I, missä I = (0, ) tai I = (, 0). Yleinen ratkaisu: u u 2 = x du u 2 = x dx ( 2 u ) du = ln x + C u + u ln = ln x 2 + 2C = ln x 2 + ln C, C > 0 u + u = Cx 2, C > 0. u + 0

11 A. Tapaus I = (0, ). 0 Olkoon u > eli y x > eli y > x. Silloin u u + = Cx2, C > 0, y x y + = Cx2 x y x y + x = Cx Olkoon < u < eli x < y < x. Silloin 3 0 Olkoon u < eli y < x. Silloin u u + = Cx2, C > 0, y x y + x = Cx2. u u + = Cx2, C > 0, y x y + x = Cx2. B. Tapaus I = (, 0) käsitellään vastaavasti. 2.3 Eksakti differentiaaliyhtälö Tarkastellaan yhtälöä (2.8) M(x, y) + N(x, y)y = 0. (Usein (2.8) kirjoitetaan differentiaalimuodossa M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.) Yhtälöä (2.8) sanoaan eksaktiksi, jos on olemassa sellainen funktio F (x, y), että (2.9) F (x, y) x F (x, y) y Silloin (2.8) voidaan kirjoittaa F (x, y) x + = M(x, y), = N(x, y). F (x, y) y = 0 y

12 eli Siis d F (x, y) = 0. dx F (x, y) = C, C R. Lause Olkoon yhtälö (2.8) eksakti (suorakulmiossa S R 2 ) ja olkoon F sellainen funktio, että yhtälöt (2.9) toteutuvat (suorakulmiossa S). Silloin yhtälön (2.8) ratkaisu on F (x, y) = C, C R. Lause Oletetaan, että funktioilla M ja N on jatkuvat ensimmäiset osittaisderivaatat (suorakulmiossa S). Silloin yhtälö (2.8) on eksakti (suorakulmiossa S), jos ja vain jos (2.0) M y = N x. Todistus. ( ) Oletetaan, että yhtälö (2.8) on eksakti. Silloin on olemassa sellainen funktio F (x, y), että F x = M, F y = N. Näin ollen 2 F y x = M y, 2 F x y = N x. Derivoimisjärjestyksen sallivien ehtojen nojalla 2 F y x = 2 F x y eli M y = N x. ( ) Oletetaan käänteisesti, että yhtälö (2.0) on voimassa. Sivuutetaan. Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä 3x 2 ln x + x 2 + y + }{{}}{{} x y = 0. M N. Nyt Siis yhtälö on eksakti. M y = N x. 2

13 2. Etsitään funktio F. Ratkaistaan yhtälöpari { F = 3x 2 ln x + x 2 + y x F = x. y Yhtälöparin ensimmäisen yhtälön perusteella F (x, y) = x 3 ln x 3 x3 + 3 x3 + yx + ϕ(y). Näin ollen yhtälöparin toisen yhtälön perusteella eli Täten esimerkiksi. 3. Ratkaisu on x + ϕ (y) = x ϕ(y) = C. F (x, y) = x 3 ln x + yx x 3 ln x + yx = C. Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä. Nyt Siis yhtälö on eksakti. (3x 2 + 4xy) dx + (2x 2 + 2y) dy = 0. }{{}}{{} M N M y = N x = 4x. 2. Etsitään funktio F. Ratkaistaan yhtälöpari { F = 3x 2 + 4xy x F = 2x 2 + 2y. y Yhtälöparin ensimmäisen yhtälön perusteella F (x, y) = x 3 + 2x 2 y + ϕ(y). Näin ollen yhtälöparin toisen yhtälön perusteella eli Täten esimerkiksi. 3. Ratkaisu on 2x 2 + ϕ (y) = 2x 2 + 2y ϕ(y) = y 2 + C. F (x, y) = x 3 + 2x 2 y + y 2 x 3 + 2x 2 y + y 2 = C. 3

14 2.4 Integroivan tekijän menetelmä Tarkastellaan yhtälöä (2.) M(x, y) + N(x, y)y = 0, joka ei ole eksakti. Integroivan tekijän menetelmässä pyritään löytämään sellainen funktio µ(x, y), että yhtälö (2.2) µ(x, y)m(x, y) + µ(x, y)n(x, y)y = 0 on eksakti. Tällöin yhtälön (2.) sijasta ratkaistaankin yhtälö (2.2). On kuitenkin huomattava, että yhtälöiden (2.) ja (2.2) ratkaisut eivät aina ole samat. Funktiota µ(x, y) kutsutaan integroivaksi tekijäksi. Tällä kurssilla tarkastellaan vain sellaisia tapauksia, joissa löytyy vain x:stä tai vain y:stä riippuva integroiva tekijä. Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä (2.3) 2xy + (y 2 3x 2 ) y = 0. }{{}}{{} M N Nyt joten yhtälö ei ole eksakti. M y = 2x, N x = 6x, Pyritään löytämään integroiva tekijä µ niin, että µ(x, y)2xy + µ(x, y)(y 2 3x 2 )y = 0. Pitää olla µ µ x (y2 3x 2 ) µ µ µ 2xy + µ2x = y x (y2 3x 2 ) µ6x µ µ y 2xy + 2x = µ µ x (y2 3x 2 ) 6x µ 2xy = 8x. y Löytyykö vain x:stä riippuva integroiva tekijä? µ µ x (y2 3x 2 ) = 8x µ µ x = 8x y 2 3x 2 ei löydy. 4

15 Löytyykö vain y:stä riippuva integroiva tekijä? Saadaan yhtälö µ = 8x µ y 2xy = 4 löytyy y µ = e 4 y dy = e 4 ln y = y 4 2x y 3 + y2 3x 2 y 4 y = 0. Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä Nyt joten yhtälö ei ole eksakti. y dx x dy = 0 (eli y xy = 0). }{{}}{{} M N M y =, N x = x, Pyritään löytämään integroiva tekijä µ niin, että Pitää olla µ(x, y)ydx µ(x, y)xdy = 0. µ µ µ y y + µ µ y y + µ = µ x x µ µ y y + = µ µ x x µ x x = 2. Löytyykö vain x:stä riippuva integroiva tekijä? Saadaan eksakti yhtälö µ = 2 löytyy µ x x µ = e 2 x dx = e 2 ln x = x 2. y x 2 dx x dy = 0 F (x, y) = y x. Ratkaisu on y = Cx, missä x > 0 tai x < 0. (Toteuttaa yhtälön myös, kun x = 0. Totea!) Huomautus Edellisen esimerkin yhtälö voidaan ratkaista myös helpommalla tavalla. 5

16 2.5 Lineaarinen differentiaaliyhtälö Määritelmä kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa (2.4) y + a(x)y = b(x), missä funktiot a ja b ovat jatkuvia funktioita. Lause Diff.yhtälön (2.4) yleinen ratkaisu on ( (2.5) y = e a(x)dx ) e a(x)dx b(x)dx + C (missä a(x)dx ja e a(x)dx b(x)dx tarkoittavat integroitavan funktion erästä primitiiviä). Todistus. Kerrotaan yhtälö (2.4) puolittain lausekkeella e a(x)dx ( 0), jolloin saadaan y e a(x)dx + a(x)ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx. Osittaisderivointisäännön perusteella (ye a(x)dx ) = b(x)e a(x)dx. Integroimalla saadaan ye a(x)dx = b(x)e a(x)dx dx + C, joka yhtäpitävä yhtälön (2.5) kanssa. Esimerkki Ratkaistaan lineaarinen yhtälö y + ay = 0, a R, soveltamalla lauseen todistuksen ideaa: e adx y + e adx ay = 0 ( e adx y ) = 0 e adx y = C, C R, e ax y = C y = Ce ax. Esimerkki Ratkaistaan lineaarinen yhtälö y + y = x, x > 0, x 6

17 soveltamalla lauseen todistuksen ideaa: e x dx y + e x dx x y = e x dx x ( e x dx y ) ( = e x dx x e x dx = e ln x = x = x > 0 ) e x dx y = e x dx xdx + C, C R, xy = x 2 dx + C xy = 3 x3 + C y = 3 x2 + C x. Huomautus Lineaarisesta yhtälöstä tulee eksakti, kun integroitavaksi tekijäksi otetaan funktio e a(x)dx. Huomautus Tarkastellaan jatkuvien reaalifunktioiden f : I R (I R) vektoriavaruutta C(I) funktioiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a[f(x)], a R, suhteen. Jatkuvasti derivoituvat reaalifunktiot f : I R muodostavat vektoriavaruuden C(I) aliavaruuden C () (I). Kuvaus L : C () (I) C(I), Ly = y + a(x)y, on lineaarinen. Homogeenisen lineaarisen yhtälön Ly = y + a(x)y = 0 ratkaisujoukko on kuvauksen L ydin kerl, joten kyseinen ratkaisujoukko muodostaa vektoriavaruuden C () (I) aliavaruuden, ns. ratkaisuavaruuden. (Ratkaisuavaruuden dimensio on. Etsi jokin kanta!) Täydellisen lineaarisen yhtälön Ly = y + a(x)y = b(x) ratkaisu on muotoa y = y h + y p, missä y h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu (ts. y h käy läpi ytimen) ja y p täydellisen yhtälön yksittäisratkaisu. (Todistus esitetään luennolla.) Esimerkissä on y h = C ja y x p = 3 x2. Huomaa, että esimerkiksi lineaarisilla yhtälöryhmillä on samanlainen ilmiö. (Vrt. lineaarialgebran kurssit.) 7

18 2.6 Bernoullin yhtälö Bernoullin yhtälö on muotoa (2.6) y + a(x)y = b(x)y α (α Z \ {0, }), missä funktiot a ja b ovat jatkuvia (jollakin avoimella välillä I). Yhtälö on epälineaarinen, mutta se palautuu lineaariseksi sijoituksella z = y α. Lause Yhtälön (2.6) ratkaisut y (mahdollista triviaaliratkaisua y 0 lukuun ottamatta) ovat avoimilla väleillä J I täsmälleen seuraavaa muotoa: (i) Jos α on parillinen, niin y = z α, missä z : J R käy läpi kaikki sellaiset yhtälön (2.7) z + ( α)a(x)z = ( α)b(x) ratkaisut, että z(x) 0 aina, kun x J. (ii) Jos α on pariton, niin on kahta tyyppiä ratkaisuja: y = z α, y = z α, missä z : J R käy läpi kaikki sellaiset yhtälön (2.7) ratkaisut, että z(x) > 0 aina, kun x J. Todistus. Luennolla. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y 4 xy = 4 xy5. Erikoisratkaisut: y 0. Yleinen ratkaisu: Sijoitetaan z = y 4. Tällöin z = 4y 5 y, joten y = 4 y5 z. Saadaan yhtälö 4 y5 z 4 xy = 4 xy5 z + xy 4 = x z + xz = x. 8

19 Ratkaistaan tämä lineaarinen yhtälö ja palataan lopuksi alkuperäiseen funktioon y: e xdx z + e xdx xz = e xdx x ( e xdx z ) = e xdx x ( e 2 x2 z ) = e 2 x2 x e 2 x2 z = e 2 x2 xdx + C e 2 x2 z = e 2 x2 + C z = + Ce 2 x2 Ehto + Ce 2 x2 > 0 toteutuu, kun ) C >, x R, 2) C, x > 2 ln( C). Esimerkki Ratkaistaan yhtälö Erikoisratkaisut: y 0. y = ± ( + Ce 2 x2) 4, + Ce 2 x2 > 0. y + y = y 2 (cos x sin x). Yleinen ratkaisu: Sijoitetaan z = y. Tällöin z = y 2 y, joten y = y 2 z. Saadaan yhtälö y 2 z + y = y 2 (cos x sin x) z y = sin x cos x z z = sin x cos x. Ratkaistaan tämä lineaarinen yhtälö ja palataan lopuksi alkuperäiseen funktioon y: z e dx ze dx = e dx sin x e dx cos x z e x ze x = e x sin x e x cos x (e x z) = e x sin x e x cos x (e e x z = x sin x e x cos x ) dx + C e x z = e x sin x + C z = sin x + Ce x y = sin x + Ce, x sin x Cex. 9

20 kertaluvun differentiaaliyhtälön palauttamisesta. kertaluvun differentiaaliyhtälöksi A. Yhtälö y = f(x, y ) palautuu. kertaluvun yhtälöksi sijoituksella y (x) = z(x) (tai lyh. y = z). Silloin y (x) = z (x) (tai lyh. y = z ). B. Yhtälö y = f(y, y ) palautuu. kertaluvun yhtälöksi sijoituksella y = z(y), jolloin y = dz dy z(y). Esimerkki Ratkaistaan yhtälö xy ln x = y, x >. Sijoitetaan y (x) = z(x) (tai lyh. y = z). Saadaan xz ln x = z z z = x ln x, joka on separoituva. Erikoisratkaisut: z 0 eli y 0 eli y C, C R. Yleinen ratkaisu: z = z x ln x dz dx = z x ln x ln z = ln(ln x) + C = ln(ln x) + ln C 2, C 2 > 0 ln z = ln(c 2 ln x) z = C 2 ln x z = C 3 ln x, C 3 0 y = C 3 ln x y = C 3 (x ln x x) + C 4, C 4 R. Kun etsitään ratkaisua alkuarvotehtävään, voi apuna käyttää seuraavaa karkeasti esitettyä lausetta. Lause Tarkastellaan alkuarvotehtävää y = f(y, y, x) y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y. 20

21 Olkoot f ja sen ensimmäiset osittaisderivaatat jatkuvia (pisteen x 0 sisältävällä välillä). Silloin alkuarvotehtävällä on yksikäsitteinen ratkaisu. Todistus. Sivuutetaan. Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä y = e 2y, y(0) = 0, y (0) =. Sijoitetaan y (x) = z(y(x)) eli y = z(y), joten y = y (x) = d dx y (x) = d dz dy z(y(x)) = dx dy dx = dz dy z(y). Saadaan dz z(y) = e2y dy z(y)dz = e 2y dy 2 z(y)2 = 2 e2y + C z(y) 2 = e 2y + C 2. Siis z(y(x)) 2 = e 2y(x) + C 2 eli y (x) 2 = e 2y(x) + C 2. Kun asetetaan x = 0, saadaan C 2 = 0. Näin ollen y (x) 2 = e 2y(x) eli y (x) = e y(x). Koska y (0) > 0, niin y (x) = e y(x) tai lyhyemmin y = e y e y dy = dx e y = x + C 3. Kun asetetaan x = 0, saadaan C 3 =. Ratkaisu on e y = x eli y = ln( x), missä x <. 2.8 Ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause Määritelmä Olkoon D = {(x, y) a x b, c y d}. 2

22 Silloin funktion f(x, y) sanotaan olevan joukossa D jatkuva Lipschitzin mielessä (tai lyhyesti L-jatkuva) muuttujan y suhteen, jos on olemassa sellainen k > 0, että f(x, y ) f(x, y 2 ) k y y 2 aina, kun (x, y ), (x, y 2 ) D. Esimerkki Olkoon f(x, y) = xy 2, kun 0 x, y. Silloin määritelmän nojalla f(x, y) on L-jatkuva y:n suhteen D:ssä. (Todistus luennolla.) Huomautus Jos f(x, y) on L-jatkuva muuttujan y suhteen, niin jokaista kiinteää lukua x kohti f(x, y) on jatkuva (tavallisessa mielessä) y:n suhteen. Todistus. Luennolla. Huomautus Käänteinen tulos ei pidä paikkaansa. Nimittäin jos D = {(x, y) 0 x, 0 y } ja f(x, y) = y, niin jokaista lukua x kohti f(x, y) on jatkuva y:n suhteen mutta f(x, y) ei ole L-jatkuva y:n suhteen. Todistus. Lause Oletetaan, että f (x, y) on jatkuva joukossa D. Silloin f(x, y) y on L-jatkuva muuttujan y suhteen D:ssä. Todistus. Sovelletaan väliarvolausetta y:n suhteen. Esimerkki Olkoon f(x, y) = xy 2, kun 0 x, y. Silloin lauseen 2.8. nojalla f(x, y) on L-jatkuva y:n suhteen D:ssä. Lause (OY-lause). Olkoon f(x, y) suorakulmiossa D määritelty kahden muuttujan jatkuva funktio ja muuttujan y suhteen L-jatkuva funktio, ja olkoon (x 0, y 0 ) joukon D sisäpiste. Silloin on olemassa sellainen väli I ( x 0 ), että alkuarvotehtävällä { y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 on yksikäsitteinen välillä I määritelty (jatkuvasti derivoituva) ratkaisu. Todistus. Lauseen todistuksen yksityiskohtia ei esitetä. Todetaan kuitenkin, että ratkaisu löytyy niin sanotulla Picardin menetelmällä, jonka periaate annetaan seuraavassa luvussa. Esimerkki Lineaarisen, Bernoullin, eksaktin, separoituvan ja homogeenifunktioisen yhtälön OY-ominaisuus käsitellään luennolla. 22

23 2.9 Picardin menetelmä Tarkastellaan alkuarvotehtävää { y (2.8) = f(x, y) (eli y(x 0 ) = y 0. dy dx = f(x, y)) Muodostetaan approksimaatioiden jono φ 0, φ, φ 2,... seuraavasti: φ 0 : φ 0 (x) = y 0, φ : d φ dx (x) = f(x, φ 0 (x)) ja φ (x 0 ) = y 0, joten φ (x) = y 0 + x x 0 f(t, φ 0 (t))dt φ 2 : d φ dx 2(x) = f(x, φ (x)) ja φ 2 (x 0 ) = y 0, joten φ 2 (x) = y 0 + x f(t, φ (t))dt x 0 φ n : d φ dx n(x) = f(x, φ n (x)) ja φ n (x 0 ) = y 0, joten φ n (x) = y 0 + x f(t, φ n (t))dt. x 0 Huomautus Kun lauseen ehdot ovat voimassa, niin voidaan todistaa, että yhtälön (2.8) ratkaisu on y = lim n φ n (x). Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä { y = xy, y(0) = Picardin menetelmällä. Nyt f(x, y) = xy ja x 0 = 0, joten φ 0 (x) = y 0 = φ (x) = y 0 + φ 2 (x) = y 0 + x x 0 f(t, φ 0 (t))dt = + x x 0 t dt = + / x x 0 f(t, φ (t))dt = + 2 x x4? φ 3 (x) = = + 2 x x x6 0 2 t2 dt = + 2 x2

24 Siis ilmeisesti φ n (x) = + 2 x x x2n = + 2 x ! x n = + 2 x2 + 2! ( 2 x2 ) n! n! x2n Näin ollen lim φ n(x) = e 2 x2. n Koska lauseen ehdot ovat voimassa, niin ratkaisu on y = e 2 x2. ( 2 x2 ) n. Huomautus Esimerkin 2.9. yhtälö voidaan ratkaista myös helpommalla tavalla. (Vihje: separoituva.) 2.0 Numeerisia menetelmiä Tarkastellaan alkuarvotehtävää y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Olkoon h > 0 ja x n = x 0 +nh. Muodostetaan todellisten arvojen y(x ), y(x 2 ),... approksimaatioiden jono y, y 2, Eulerin menetelmä Integroimalla pisteestä x 0 pisteeseen x saadaan joten Valitaan y(x ) y(x 0 ) }{{} =y 0 = x x 0 f(x, y) dx x y(x ) y 0 + f(x 0, y 0 )h. y = y 0 + f(x 0, y 0 )h. x 0 f(x 0, y(x 0 ) }{{} =y 0 ) dx = f(x 0, y 0 )h, Integroidaan nyt pisteestä x pisteeseen x 2. Silloin saadaan y(x 2 ) y(x ) }{{} y = x 2 x x 2 f(x, y) dx f(x, y(x )) dx f(x, y )h, }{{} x y joten y(x 2 ) y + f(x, y )h. 24

25 Valitaan Näin jatkamalla saadaan y 2 = y + f(x, y )h. y n+ = y n + f(x n, y n )h. Esimerkki 2... Tarkastellaan alkuarvotehtävää y = x + 4y, y(0) =, }{{} =f(x,y) Eulerin menetelmällä. Kun valitaan h = 0., saadaan n x n y n f(x n, y n ) y n + f(x n, y n )h = y n = = = Eulerin parannettu menetelmä Tässä arvioidaan y(x ) y(x 0 ) }{{} =y 0 = x x 0 f(x, y) dx x x 0 2 f(x 0, y(x 0 )) + f(x, y(x )) dx. }{{} =y 0 Koska arvoa y(x ) eikä sen approksimaatiota vielä tunneta, käytetään Eulerin menetelmää eli y(x ) y 0 + f(x 0, y 0 )h. Siis Edelleen y(x 2 ) y(x ) }{{} y(x ) y 0 + h 2 [f(x 0, y 0 ) + f(x, y 0 + f(x 0, y 0 )h)] merk. = y. y = x 2 x f(x, y) dx x 2 x 2 f(x, y(x ) ) + f(x 2, y(x 2 ) ) }{{}}{{} dx. y y +f(x,y )h Siis y(x 2 ) y + h 2 [f(x, y ) + f(x 2, y + f(x, y )h)] merk. = y 2. Näin saadaan y(x n+ ) y n + h 2 [f(x n, y n ) + f(x n+, y n + f(x n, y n )h)] merk. = y n+. 25

26 Esimerkki Tarkastellaan alkuarvotehtävää y = x + 4y, y(0) =, }{{} =f(x,y) parannetulla Eulerin menetelmällä. Kun valitaan h = 0., saadaan x n y n y n + f(x n, y n )h = z n+ y n + h[f(x 2 n, y n ) + f(x n+, z n+ )] = [ ] = = Runge-Kuttan menetelmä Approksimaatiot saadaan kaavasta missä y n+ = y n + K n h, K n = 6 (m n + 2m n2 + 2m n3 + m n4 ), m n = f(x n, y n ) m n2 = f(x n + h 2, y n + h 2 m n), m n3 = f(x n + h 2, y n + h 2 m n2), m n4 = f(x n + h, y n + hm n3 ). Tässä esityksessä ei puututa tähän menetelmään täsmällisemmin. Esimerkki Alkuarvotehtävän y = x + 4y, }{{} y(0) =, h = 0. =f(x,y) ratkaisun approksimaatiot Eulerin, Eulerin parannetulla ja Runge-Kuttan 26

27 menetelmällä (kun h = ) ja tarkat arvot ovat Euler Eulerin parannettu Runge-Kutta tarkka arvo x y n y n y n 0, , , , , , , , , , , Esimerkkejä sovelluksista Tässä pykälässä vain saatujen yhtälöiden ratkaiseminen kuuluu koealueeseen. Yhtälöiden käytännöllistä taustaa ei tarvitse osata. Esimerkki 2.4. (Putoava kappale). Newtonin 2. lain mukaan kappaleeseen vaikuttava voima on F = ma = m dv dt. Putoavaan kappaleeseen vaikuttavat maan vetovoima mg ja ilmanvastus, jonka oletetaan olevan muotoa cv, missä c on vakio. Näin ollen saadaan lineaarinen differentiaaliyhtälö m dv = mg cv dt eli (Ratkaise v(t) ja lim t v(t)). dv dt + c m v = g. Esimerkki (Populaation kasvu). Joitakin populaatioita (esim. bakteerikantaa) voidaan kuvata melko tarkasti Bernoullin tyypin yhtälöllä (2.9) dp dt = ap bp 2, P (0) = P 0, missä P (t) kuvaa populaatiota ajanhetkellä t ja a, b ovat positiivisia vakioita. Nimenomaan yhtälöä (2.9) kutsutaan ns. logistiseksi yhtälöksi (Ratkaise P (t) ja lim t P (t).) 27

28 Esimerkki (Radioaktiivinen hajoaminen). Kokemusten mukaan radioaktiivinen hajoaminen voidaan kuvata matemaattisella mallilla dn dt = kn, N(0) = N 0, missä N(t) on radioaktiivisten ytimien määrä hetkellä t ja k on positiivinen vakio. Esimerkki (Sekoitusongelma). Tankissa on a litraa puhdasta vettä. Tankkiin aletaan pumpata suolaista vettä b litraa/min. Suolaa on c grammaa/litra. Samanaikaisesti tankista imetään sama määrä (= b litraa/min) täysin sekoitettua vettä. (Oletetaan, että tankissa on tehokkaat sekoittimet.) Merkitään suolan määrää tankissa funktiolla y(t). Silloin dy dt = IN OUT, y(0) = 0, missä IN on tulevan suolan määrä ja OUT on lähtevän suolan määrä. Selvästi Siis IN = bc grammaa/min, OUT = b y(t) grammaa/min. a dy dt = bc by(t), y(0) = 0. a (Ratkaise y(t) ja lim t y(t). Ilmeisesti lim t y(t) = ac grammaa.) Esimerkki (Käyräparven kohtisuorat leikkaajat). Etsitään käyräparven (2.20) F (x, y, c) = 0 kohtisuorat leikkaajat. Oletetaan, että (2.20) on yhtälön y = f(x, y) ratkaisu. Silloin kohtisuorat leikkaajat saadaan ilmeisesti yhtälön y = f(x, y) ratkaisuina. (Kohtisuorien leikkaajien tangenttien kulmakertoimien tulo = -.) Etsitään konkreettisena esimerkkinä ympyräparven x 2 + y 2 = c 2 kohtisuorat leikkaajat. Parven differentiaaliyhtälö on 2x + 2yy = 0 28

29 eli y = x y. Kohtisuorien leikkaajien differentiaaliyhtälö on siis y = y x, jonka ratkaisu on y = kx, k R. Esimerkki (Ebbinghausin unohtamis- tai muistamiskäyrä). Oletetaan, että henkilö oppii joukon sanoja. Olkoon m 0 opittu määrä, m(t) muistissa oleva määrä hetkellä t ja m muistiin pysyvästi jäävä määrä. Ebbinghausin mukaan dm dt = k(m m ), m(0) = m 0, missä k on positiivinen vakio. Näin ollen m(t) = m + (m 0 m )e kt Mikä on vakion k ja unohtamisen välinen yhteys? (Harj.) 29

30 Luku 3 Joitakin 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä Tässä luvussa tutkitaan lähinnä toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä. Niiden käyttäytymistä on luontevaa selittää lineaarialgebran keinoilla. 3. Funktioiden lineaarinen riippuvuus ja riippumattomuus Tässä aliluvussa tarkastellaan reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Määritelmä 3... Funktiot ϕ, ϕ 2,..., ϕ n ovat lineaarisesti riippumattomia joukossa I ( R), jos ehdosta (3.) C ϕ + C 2 ϕ C n ϕ n = 0 (nollafunktio) seuraa, että C = C 2 = = C n = 0. Muussa tapauksessa funktiot ovat lineaarisesti riippuvia. Ehto (3.) tarkoittaa, että C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x) = 0 x I. Huomautus 3... Kaksi funktiota ϕ ja ϕ 2 riippuvia, jos ja vain jos ϕ = Cϕ 2, C R. (ϕ, ϕ 2 0) ovat lineaarisesti Määritelmä Derivoituvien funktioiden ϕ, ϕ 2 Wronskin determinantti on ϕ W (ϕ, ϕ 2 )(x) = (x) ϕ 2 (x) ϕ (x) ϕ 2(x). 30

31 Lause 3... Olkoot funktiot ϕ ja ϕ 2 derivoituvia välillä I. Jos ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippuvia välillä I, niin Todistus. Luennot/harj W (ϕ, ϕ 2 )(x) = 0 x I. Seuraus 3... Jos on olemassa sellainen x I, että W (ϕ, ϕ 2 )(x) 0, niin ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I. Huomautus Wronskin determinantin käsite ja ylläoleva lause (3.) voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle funktiolle. Esimerkki 3... Olkoon I = (0, ), ϕ (x) = x, ϕ 2 (x) = ln x. Todistetaan, että ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I. Tapa I. Sovelletaan lausetta 3..: x W (ϕ, ϕ 2 )(x) = x ln x = ln x. Siis esim. W (ϕ, ϕ 2 )() 0, joten ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Tapa II. Käytetään määritelmää: Oletetaan, että C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) = 0 x I eli Asetetaan C x + C 2 ln x = 0 x (0, ). x = : C = 0, x = 2 : C 2 ln 2 = 0, joten C 2 = 0. Siis C = C 2 = 0. Näin ollen ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Huomautus Lause 3.. ei pidä paikkaansa käänteisesti, ts. sen avulla ei voida todistaa lineaarista riippuvuutta. Esimerkki Olkoon I = R, ϕ (x) = x 2, x, x 0, ϕ 2 (x) = x, x < 0. Silloin W (ϕ, ϕ 2 )(x) = 0 x R, 3

32 mutta ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Nimittäin olkoon C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) = 0 x R. Asetetaan Siis C = C 2 = 0. x = : C + C 2 = 0 x = : C C 2 = 0. Huomautus Lause 3.. pitää paikkansa myös käänteisesti, jos ϕ ja ϕ 2 ovat yhtälön y + a (x)y + a 2 (x)y = 0 ratkaisuja. Todistus. Sivuutetaan. 3.2 Homogeeninen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö Homogeeninen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa (3.2) y + a (x)y + a 2 (x)y = 0, missä a (x) ja a 2 (x) ovat jatkuvia funktioita. Lause Alkuarvotehtävällä y + a (x)y + a 2 (x)y = 0, y(x 0 ) = α, y (x 0 ) = α 2, missä a (x) ja a 2 (x) ovat välillä I R jatkuvia funktioita, x 0 I ja α, α 2 R, on yksikäsitteinen ratkaisu. Todistus. Sivuutetaan. Lause Olkoot ϕ ja ϕ 2 yhtälön y + a (x)y + a 2 (x)y = 0, kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. Silloin yhtälön yleinen ratkaisu on y = C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x), C, C 2 R. (Tällaiset funktiot ϕ ja ϕ 2 löytyvät aina.) Todistus. Luennot. 32

33 Esimerkki Olkoon (3.3) y + x y = 0, x > 0. Huomataan, että ja ln x ovat yhtälön (3.3) ratkaisuja. Todetaan niiden lineaarinen riippumattomuus. Siis yleinen ratkaisu on y = C + C 2 ln x. Yhtälö (3.3) voidaan ratkaista myös sijoituksella y = z (eli y (x) = z(x)). Huomautus Tarkastellaan jatkuvien reaalifunktioiden f : I R (I R) vektoriavaruutta C(I) funktioiden yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. Kahdesti jatkuvasti derivoituvat reaalifunktiot f : I R muodostavat vektoriavaruuden C(I) aliavaruuden C (2) (I). Kuvaus L : C (2) (I) C(I), Ly = y + a (x)y + a 2 (x)y, on lineaarinen. Homogeenisen lineaarisen yhtälön Ly = y + a (x)y + a 2 (x)y = 0 ratkaisujoukko on kuvauksen L ydin kerl, joten kyseinen ratkaisujoukko muodostaa vektoriavaruuden C (2) (I) aliavaruuden, ns. ratkaisuavaruuden. Joukko {ϕ (x), ϕ 2 (x)} on ratkaisuavaruuden kanta, joten ratkaisuavaruuden dimensio on 2. Esimerkissä 3.2. kanta on {, ln x}. Ratkaisuavaruuden kantaa kutsutaan joissakin esityksissä perusjärjestelmäksi. 3.3 Vakiokertoiminen homogeeninen 2. kl lineaarinen differentiaaliyhtälö Vakiokertoiminen homogeeninen 2. kl lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa (3.4) y + a y + a 2 y = 0, missä a ja a 2 ovat vakioita. Sen karakteristinen yhtälö on (3.5) r 2 + a r + a 2 = 0. Differentiaaliyhtälön (3.4) ratkaisu saadaan karakteristisen yhtälön (3.5) juurten avulla seuraavan lauseen mukaisesti. Lause Olkoot r ja r 2 karakteristisen yhtälön (3.5) juuret. Silloin yhtälön (3.4) ratkaisu on a) y = C e r x + C 2 e r 2x, 33

34 kun r, r 2 R, r r 2, b) y = C e rx + C 2 xe rx, kun r = r 2 = r R, c) y = C e αx cos βx + C 2 e αx sin βx, kun r = α + iβ C, r 2 = α iβ C. Todistus. Etsitään kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua. (Luennot/harj) Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y + 4y + 3y = 0. Lasketaan karakteristinen yhtälön juuret: Siis ratkaisu on r 2 + 4r + 3 = 0 r = 4 ± r = r = 3. y = C e x + C 2 e 3x, C, C 2 R. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y + 4y + 4y = 0. Lasketaan karakteristinen yhtälön juuret: Siis ratkaisu on r 2 + 4r + 4 = 0 (r + 2) 2 = 0 r = 2. y = C e 2x + C 2 xe 2x, C, C 2 R. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y 4y + 5y = 0. Lasketaan karakteristinen yhtälön juuret: Siis ratkaisu on r 2 4r + 5 = 0 r = 4 ± 4 2 r = 2 ± i (= α + βi, missä α = 2, β = ). y = C e 2x sin x + C 2 e 2x cos x, C, C 2 R. 34

35 3.4 Yleinen 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö Yleinen (tai täydellinen) 2. kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa (3.6) y + a (x)y + a 2 (x)y = b(x), missä a (x), a 2 (x), b(x) ovat jatkuvia funktioita. Lause Yhtälön (3.6) yleinen ratkaisu on muotoa y = C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) + ψ(x), missä C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) on vastaavan homogeenisen yhtälön y + a (x)y + a 2 (x)y = 0 yleinen ratkaisu ja ψ(x) on yhtälön (3.6) jokin yksityisratkaisu. Todistus. Luennot/harj. Huomautus Yleisen lineaarisen yhtälön ratkaisu on muotoa Ly = y + y + a (x)y + a 2 (x)y = b(x) y = y h + y p, missä y h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y h = C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) (ts. y h käy läpi kuvauksen L ytimen) ja y p on täydellisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu y p = ψ(x). Ratkaisu on itse asiassa kuvauksen L ytimen sivuluokka. (Vrt.. kertaluvun lineaariset diff.yhtälöt.) Esimerkissä 3.2. on y h = C + C 2 ln x ja y p = 0. Lause 3.4. tuottaa ratkaisumenetelmän yhtälön (3.6) ratkaisemiseksi. Menetelmä on kolmivaiheinen. Lisää menetelmiä esitellään pykälissä Tämän pykälän menetelmän vaiheet ovat: Vaihe. Etsitään vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y h = C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) a) karakteristisen yhtälön avulla, kun a (x) ja a 2 (x) ovat vakiofunktioita (ks. 3.3), 35

36 b) keksimällä (tai c) potenssisarjamenetelmällä ( 3.6) tai Frobeniuksen menetelmällä ( 3.7)). Vaihe 2. Etsitään koko yhtälön jokin yksityisratkaisu y p = ψ(x) a) määräämättömien kertoimien menetelmällä, kun b(x) on polynomi, b(x) on muotoa e ax, sin ax tai cos ax tai kun b(x) on edellisten tulo tai summa, b) vakion varioinnilla tai c) keksimällä. Vaihe 3. Yhtälön yleinen ratkaisu on y = C ϕ(x) + C 2 ϕ(x) + ψ(x). Seuraavassa esitellään vaiheen 2 alavaiheet a ja b. Vaihe 2a. Määräämättömien kertoimien menetelmä Käytetään yritefunktiota, jonka kertoimet A, B,... (ja aste n) yritetään ratkaista sijoittamalla yrite yhtälöön. b(x) yksityisratkaisun yrite p(x), polynomi Ax n + Bx n + + C p(x)e ax (Ax n + Bx n + + C)e ax p(x)e ax sin bx (A x n + B x n + + C )e ax sin bx+ (A 2 x n + B 2 x n + + C 2 )e ax cos bx p(x)e ax cos bx Huomautus Termiä, joka on homogeenisen yhtälön y + a (x)y + a 2 (x)y = 0 ratkaisu, ei kannata ottaa yritteeseen. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y 2y 3y = x. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu karakteristisen yhtälön menetelmällä: r 2 2r 3 = 0 r = 3 r = y h = C e 3x + C 2 e x. Yksityisratkaisu yritteellä: Yleinen ratkaisu: y = Ax + B y = A, y = 0 0 2A 3(Ax + B) = x 3Ax 2A 3B = x { A = 3 B = 2 9. y = C e 3x + C 2 e x 3 x

37 Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y 2y 3y = sin x. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on Etsitään yksityisratkaisu yritteellä: Sijoittamalla saadaan y h = C e 3x + C 2 e x. y = A sin x + B cos x y = A cos x B sin x y = A sin x B cos x. ( 4A + 2B) sin x + ( 2A 4B) cos x = sin x { 4A + 2B = 2A 4B = 0 { A = 5 B = 0. Yleinen ratkaisu on y = C e 3x + C 2 e x 5 sin x + cos x. 0 Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y 2y + y = e x. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on Yksityisratkaisun yrite y h = C e x + C 2 xe x. y = (Ax + B)e x toteuttaa homogeenisen yhtälön, joten sitä ei kannata yrittää. Samoin yritteestä y = (Ax 2 + Bx + C)e x ei kannata ottaa mukaan termiä (Bx + C)e x. Valitaan yrite y = Ax 2 e x y = 2Axe x + Ax 2 e x y = 2Ae x + 4Axe x + Ax 2 e x. Sijoitetaan y, y, y yhtälöön, jolloin saadaan 2Ae x = e x A = 2. Yleinen ratkaisu on y = C e x + C 2 xe x + 2 x2 e x. 37

38 Vaihe 2b. Vakion variointi Jos homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on niin yksityisratkaisu saadaan kaavalla missä y h = D ϕ (x) + D 2 ϕ 2 (x), y p = C (x)ϕ (x) + C 2 (x)ϕ 2 (x), ϕ 2 (x)b(x) C (x) = W (ϕ, ϕ 2 )(x) dx, ϕ (x)b(x) C 2 (x) = W (ϕ, ϕ 2 )(x) dx. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y + y = tan x, Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on x ( π 2, π ). 2 y h = D sin }{{ x} +D 2 cos }{{ x}. ϕ (x) ϕ 2 (x) Etsitään yksityisratkaisu vakion varioinnilla: cos x tan x C (x) = W (ϕ, ϕ 2 )(x) dx, W (ϕ, ϕ 2 )(x) = = cos x sin x dx = cos x, cos x sin x tan x C 2 (x) = W (ϕ, ϕ 2 )(x) dx = sin x sin x cos x dx cos 2 x = dx = cos x dx cos x cos x dx cos x = sin x cos 2 x dx = sin x cos x sin 2 x dx = sin x dt t 2 = sin x 2 ( t + + t sin x cos x ) dt cos x sin x = = sin x 2 ( ln t + ln + t ) = sin x ln + sin x sin x. Yleinen ratkaisu on y = y h + y p = D sin x + D 2 cos x + C (x) sin x + C 2 (x) cos x + sin x = D sin x + D 2 cos x cos x ln sin x. 38

39 3.5 uv -keino Ratkaistava yhtälö on (3.7) y + a (x)y + a 2 (x)y = b(x). Merkitään y = uv. Silloin y = uv + u v, y = u v + 2u v + uv. Sijoitetaan y, y, y yhtälöön (3.7). Saadaan (3.8) u(v + a (x)v + a 2 (x)v) + u (2v + a (x)v) + u v = b(x). Kiinnitetään v.. vaihtoehto v + a (x)v + a 2 (x)v = 0 eli v on homogeenisen yhtälön jokin ratkaisu. eli 2. vaihtoehto v = e 2 2v + a (x)v = 0 a (x) dx (esim.). Ratkaistaan u (kaikki ratkaisut) yhtälöstä (3.8). Silloin yhtälön (3.7) ratkaisu on y = uv. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö (3.9) y 2 ( ) 2 x y + x + y = x, x > 0. 2 Merkitään y = uv, y = u v + uv, y = u v + 2u v + uv. Saadaan ( (3.0) u v 2 ( ) ) 2 x v + x + v + u (2v 2 ) 2 x v + u v = x. Valitaan 2. vaihtoehto Siis 2v 2 x v = 0. v = x (esim.). Silloin v =, v = 0. Silloin funktiolle u saadaan yhtälö u ( 2x + (2x 2 + )x ) +u x = x : x (> 0) } {{ } =x (3.) u + u =. Käytetään määräämättömien kertoimien menetelmää. Homogeenisen yhtälön ratkaisu: r 2 + = 0, r = ±i, u = C cos x+c 2 sin x. Yksityisratkaisu: esim. u =. Yhtälön (3.) yleinen ratkaisu: u = C cos x + C 2 sin x +. Yhtälön (3.9) yleinen ratkaisu y = uv = C x cos x + C 2 x sin x + x. 39

40 Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y + x y y = 0, x > 0, x2 eli yhtälö x 2 y + xy y = 0. Homogeenisen yhtälön (joka on tässä sama kuin varsinainen yhtälö) yksi ratkaisu on y = x. Siis valitaan v = x (. vaihtoehto). Merkitään y = ux, y = u x + u, y = u x + 2u. Sijoitetaan y, y, y, jolloin saadaan x 2 (u x + 2u ) + x(u x + u) ux = 0, u + 3 x u = 0. Ratkaistaan u. Merkitään u = z (eli u (x) = z(x)). Nyt z + 3 x z = 0 e 3 x dx = x 3 (lineaarinen) z = C x 3 u = C x 3 u = 2 C x 2 C 2. Varsinaisen yhtälön ratkaisu on y = ux = 2 C x C 2 x = C 3 x + C 2 x. Huomautus Ratkaise tehtävä myös Frobeniuksen menetelmällä ( 3.7) ja Eulerin yhtälönä ( 3.9). 3.6 Potenssisarjamenetelmä Tarkastellaan reaalimuuttujan reaalikertoimisia sarjoja ja reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Lause Oletetaan, että sarja c k (x x 0 ) k suppenee, kun x x 0 < R (R > 0). Sen määräämän funktion derivaatta on d dx c k (x x 0 ) k = kc k (x x 0 ) k = kc k (x x 0 ) k, k= 40

41 missä x x 0 < R. Kahden sarjan summa on c k (x x 0 ) k + d k (x x 0 ) k = (c k + d k )(x x 0 ) k, missä x x 0 < R, R min{r c, R d }, ja tulo on ( ) ( ) ( c k (x x 0 ) k k ) d k (x x 0 ) k = c i d k i (x x 0 ) k, i=0 R min{r c, R d }. Sarjojen yhtäsuuruus saadaan kaa- missä x x 0 < R, vasta c k (x x 0 ) k = d k (x x 0 ) k c k = d k, k = 0,, 2,... Määritelmä Funktio f on analyyttinen pisteessä x 0, jos sillä on sarjakehitelmä pisteen x 0 jossakin ympäristössä. Lause Oletetaan, että funktiot a (x), a 2 (x) ja b(x) ovat analyyttisiä pisteessä x 0. Silloin yhtälön (3.2) y + a (x)y + a 2 (x)y = b(x) ratkaisu y on analyyttinen pisteessä x 0, ts. y voidaan kirjoittaa muodossa (3.3) y = c k (x x 0 ) k. Jos funktioiden a (x), a 2 (x) ja b(x) sarjakehitelmät suppenevat vastaavilla väleillä x x 0 < R, x x 0 < R 2 ja x x 0 < R, niin sarjakehitelmä (3.3) suppenee ainakin välillä x x 0 < min{r, R 2, R}. Todistus. Sivuutetaan Potenssisarjamenetelmässä kehitelmä (3.3) sijoitetaan yhtälöön (3.2) ja pyritään ratkaisemaan tuntemattomat kertoimet c k. Aina ei löydetä yleistä kaavaa kertoimille c k, vaan joudutaan tyytymään kehitelmän (3.3) alkupään termeihin. Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä y + xy + y = 0. Tässä a (x) = x, a 2 (x) = ja b(x) = 0, jotka ovat analyyttisiä pisteessä 0. Siis yhtälön ratkaisu on analyyttinen. Merkitään y = c k x k. 4

42 Silloin Siis Saadaan kaava y = c k kx k, y = c k k(k )x k 2. k(k )c k x k 2 + x kc k x k + c k x k = 0 k(k )c k x k 2 + kc k x k + c k x k = 0 k=2 (k + 2)(k + )c k+2 x k + kc k x k + c k x k = 0 [(k + 2)(k + )c k+2 + (k + )c k ]x k = 0. }{{} =0 (k + 2)(k + )c k+2 + (k + )c k = 0, k = 0,, 2,..., missä c 0 ja c voidaan valita mielivaltaisesti. Ratkaisu (k = 0) c 2 = c 0 2 (k = ) c 3 = c 3 (k = 2) c 4 = c 2 4 = c (k = 3) c 5 = c 3 5 = c 3 5 y = c 0 + c x c 0 2 x2 c 3 x3 + c x4 + c = c 0 ( x2 2 + x ) + c ( 3 5 x5 ) x x3 3 + x x R. 3.7 Frobeniuksen menetelmä Tarkastellaan homogeenista yhtälöä y + a (x)y + a 2 (x)y = 0, missä (x x 0 )a (x) ja (x x 0 ) 2 a 2 (x) ovat analyyttisiä pisteessä x 0. Tiedetään, että ratkaisu on muotoa y = C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x), missä ϕ ja ϕ 2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Nyt pyritään löytämään 2 muotoa y = (x x 0 ) r b k (x x 0 ) k 42

43 (missä b 0 = ) olevaa lineaarisesti riippumatonta ratkaisua (3.4) (x x 0 ) r (3.5) (x x 0 ) r 2 Silloin siis yhtälön ratkaisu on b k (x x 0 ) k, d k (x x 0 ) k. (3.6) y = C (x x 0 ) r b k (x x 0 ) k + C 2 (x x 0 ) r 2 d k (x x 0 ) k. Huomautus Jos r r 2, niin (3.4) ja (3.5) ovat lineaarisesti riippumattomat. Huomautus Jos (x x 0 )a (x):n ja (x x 0 )a 2 (x):n suppenemissäteet ovat vastaavasti R ja R 2, niin (3.6) suppenee ainakin, kun 0 < x x 0 < min{r, R 2 }. Todistus. Sivuutetaan. Huomautus Menetelmä ei tuota tulosta aina tässä muodossa. Silloin voidaan käyttää "muunnettua"frobeniuksen menetelmää (johon ei kuitenkaan puututa tällä kurssilla). Huomautus Eulerin tyypin yhtälö ax 2 y + bxy + cy = 0 on tarkasteltavaa muotoa. Eulerin tyypin yhtälö voidaan ratkaista myös käyttämällä sijoitusta x = e t (ks. 3.9). Esimerkki Tarkastellaan yhtälöä eli yhtälöä y + 2x }{{} a (x) y + x 5 2x 2 }{{} a 2 (x) y = 0, x > 0, (3.7) 2x 2 y xy + (x 5)y = 0. Nyt funktiot xa (x) = 2 x 2 a 2 (x) = (x 5) 2 ovat analyyttisiä pisteessä x 0 = 0 ja R = R 2 =. Merkitään (3.8) y = x r b k x k = 43 b k x k+r,

44 missä b 0 =. Sijoitetaan (3.8) yhtälöön (3.7), jolloin saadaan Saadaan 2x 2 (k + r)(k + r )b k x k+r 2 x (k + r)b k x k+r + +(x 5) b k x k+r = 0 2 (k + r)(k + r )b k x k+r (k + r)b k x k+r + + b k x k+r+ 5 b k x k+r = 0. } {{ } b k x k+r k= [2r(r ) r 5] b }{{}}{{} 0 =0 = (3.9) + {[2(k + r)(k + r ) (k + r) 5]b k + b k }x k+r = 0. k= x r Siis 2r(r ) r 5 = 0 eli r = 5 2, r =. 0 Olkoon r = 5. Silloin yhtälön (3.9) nojalla 2 eli Siis ( 2(k )(k ) (k ) 5) b k + b k = 0, k =, 2,... b k = b k k(2k+7), k =, 2,... (b 0 = ) (3.20) y = x 5 2 b = b 0 9 = 9 b 2 = b 22 = 98 b 3 = ( 9 x + ) 98 x Olkoon r =. Silloin yhtälön (3.9) nojalla [2(k )(k 2) (k ) 5]b k + b k = 0, k =, 2, b k = b k k(2k 7)

45 eli b = 5, b 2 = 30, b 3 = Siis (3.2) y = x ( + 5 x + 30 x2 + Ratkaisut (3.20) ja (3.2) ovat lineaarisesti riippumattomia. Siis yleinen ratkaisu on ( y = C x x + (3.22) ) 98 x2 + + C 2 x ( + 5 x + 30 x2 + ). ), C, C 2 R. Tutkitaan vielä sarjan suppenemista. Koska R = R 2 =, niin (3.22) suppenee, kun 0 < x <. 3.8 Laplace-muunnos Määritelmä Funktion f : R + R Laplace-muunnos on L{f(x); s} = f(s) = 0 f(x)e sx dx (niillä luvun s ( R) arvoilla, joilla ko. integraali suppenee). Huomautus Jos f(s 0 ) on olemassa, niin f(s) on olemassa aina, kun s s 0. Esimerkki Jos f(x) = e ax, niin f(s) = lim M = M 0 e ax e sx dx = lim M (0 ) = a s s a, s > a. M 0 e (a s)x dx = / M a s lim e (a s)x M 0 Lause Oletetaan, että f on joukossa [0, ) jatkuvasti derivoituva funktio ja että f(x) Ce ax, x x 0, missä C, a, x 0 ovat ei-negatiivisia vakioita. Silloin f (s) = sf(s) f(0), s > x 0. 45

46 Todistus. Osittaisintegroinnilla saadaan M f (s) = lim f (x)e sx dx M 0 / M M = lim e sx f(x) + e sx sf(x) dx M 0 0 M = lim e sm f(m) e 0 f(0) + s e sx f(x) dx M }{{} 0 0 = s e sx f(x) dx f(0) 0 = sf(s) f(0). Seuraus Jos funktiot f (i), i = 0,, 2,..., k, toteuttavat edellisen lauseen ehdot, niin f (k) (s) = s k f(s) k i=0 s k i f (i) (0), s > x 0, ja erikoisesti f (s) = s 2 f(s) sf(0) f (0), s > x 0, Todistus. Induktiolla Lause Laplace-muunnos on lineaarinen, ts. (af + bg) = af + bg (a, b R). Todistus. Seuraa suoraan määritelmästä. Lause Jos funktiot f ja g ovat jatkuvia ja jos f = g, niin f = g (tai f(x) = g(x), kun x > 0). Todistus. Sivuutetaan. Kyseessä on kuuluisa Lerchin lause, jonka todistus löytyy kirjallisuudesta. Huomautus Kun Laplace-muunnosta sovelletaan diff.yhtälöihin, ei kannattane tutkia Laplace-muunnoksen olemassaoloa. Sen sijaan tarkistetaan, onko saatu ratkaisu oikea. Laplace-muunnos alkuarvotehtävässä, alkuehto pisteessä 0 46

47 Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä Laplace-muunnoksella saadaan y + 2y = e x, y(0) = 0. }{{} =b(x) (y + 2y)(s) = b(s) = s + y (s) + 2y(s) = s + sy(s) y(0) + 2y(s) = s + (s + 2)y(s) = s + y(s) = (s + )(s + 2) = (s + ) (s + 2) y = e x e 2x. Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä Laplace-muunnoksella saadaan y y = 0, y(0) = 0, y (0) =. (y y)(s) = 0 y (s) + y(s) = 0 s 2 y(s) sy(0) y (0) y(s) = 0 (s 2 + )y(s) = y(s) = s 2 = 2 (s ) 2 (s + ) y = 2 ex 2 e x = sinh x. Määritelmä Funktioiden f ja g konvoluutio f g on (f g)(x) = x 0 f(x t)g(t) dt. Lause Konvoluution Laplace-muunnos on (f g)(s) = f(s)g(s). Todistus. Perustuu 2-kertaisen integraalin ominaisuuksiin. 47

48 Esimerkki Ratkaistaan alkuarvotehtävä y + y = x, y(0) = y (0) = 0. Kun otetaan puolittain Laplace-muunnokset, saadaan (y + y)(s) = s 2 y (s) + y(s) = s 2 s 2 y(s) 2y(0) y (0) + y(s) = s 2 y(s) = s 2 + s. 2 Tästä voidaan jatkaa eri tavoilla. I tapa: Jaetaan edellisen yhtälön oikea puoli osamurtoihin y(s) = s s 2 ja etsitään y taulukosta, jolloin saadaan y = sin x + x. II tapa: Sovelletaan konvoluutiota. Silloin y(s) = = f(s)g(s) = (f g)(s), s 2 + s2 jossa f(x) = sin x ja g(x) = x. Näin ollen y = (f g)(x) = x 0 f(x t)g(t) dt = 3.9 Eulerin yhtälö Yhtälöä x 0 sin(x t) t dt = (osittaisintegrointi) = x sin x. ax 2 y + bxy + cy = F (x), missä a, b, c ovat reaalivakioita, sanotaan Eulerin yhtälöksi (tai Cauchyn ja Eulerin yhtälöksi). Kun x > 0, voidaan merkitä x = e t (ja y(x) = z(t)). Silloin y = y (x) = x z (t), y = y (x) = x 2 (z (t) z (t)) ja Eulerin yhtälö muuntuu lineaariseksi vakiokertoimiseksi yhtälöksi (Kun x < 0, merkitään x = e t.) az (t) + (b a)z (t) + cz(t) = F (e t ). 48

49 Esimerkki Ratkaistaan yhtälö x 2 y 2xy + 2y = 0, x > 0. Sijoitetaan x = e t ja merkitään y(x) = z(t). Silloin joten saadaan yhtälö Karakteristinen yhtälö on y = y (x) = x z (t), y = y (x) = x 2 (z (t) z (t)), z (t) 3z (t) + 2z(t) = 0. r 2 3r + 2 = 0 eli Siis joten (r )(r 2) = 0. z(t) = C e t + C 2 e 2t, y(x) = C x + C 2 x Lineaarinen n. kertaluvun diff.yhtälö Tarkastellaan aluksi homogeenista yhtälöä (3.23) y (n) + a (x)y (n ) + a 2 (x)y (n 2) + + a n (x)y + a n (x)y = 0, missä funktiot a i (x) ovat jatkuvia. Silloin jos ϕ (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) ovat yhtälön (3.23) n lineaarisesti riippumatonta ratkaisua, niin yleinen ratkaisu on y = C ϕ (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x), C, C 2,..., C n R. Jos funktiot a i (x) ovat vakioita (merk. a i ), niin lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ϕ (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) saadaan karakteristisen yhtälön (3.24) r n + a r n + + a n = 0 juurten avulla. Kirjoitetaan (3.24) muodossa (r r ) m (r r 2 ) m2 (r r s ) ms = 0, m + m m s = n, ts. r i on m i -kertainen juuri. Silloin juuret r i, i =, 2,..., s, antavat lineaarisesti riippumattomat ratkaisut seuraavasti: 49

50 Tapaus. Kun r i R, saadaan lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e r ix, xe r ix,..., x m i e r ix. Tapaus 2. Kun r i = α + iβ C. Silloin on olemassa sellainen j i, että r j = α iβ ja m j = m i. Juuret r i ja r j antavat yhdessä lineaarisesti riippumattomat ratkaisut e αx cos βx, xe αx cos βx,..., x m i e αx cos βx, e αx sin βx, xe αx sin βx,..., x m i e αx sin βx. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö Sen karakteristinen yhtälö on y (3) = 0. r 3 = 0, jonka 3-kertainen juuri on r = 0. Siis ratkaisu on y = C e 0x + C 2 xe 0x + C 3 x 2 e 0x = C + C 2 x + C 3 x 2. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö Sen karakteristinen yhtälö on y (4) + 2y + y = 0. r 4 + 2r 2 + = 0 (r 2 + ) 2 = 0 (r + i) 2 (r i) 2 = 0, joten r = ±i on 2-kertainen kompleksijuuripari. Siis ratkaisu on y = C e 0x cos x + C 2 xe 0x cos x + C 3 e 0x sin x + C 4 xe 0x sin x = C cos x + C 2 x cos x + C 3 sin x + C 4 x sin x. Tarkastellaan vielä lopuksi epähomogeenista yhtälöä y (n) + a (x)y (n ) + a 2 (x)y (n 2) + + a n (x)y + a n (x)y = b(x). Sen yleinen ratkaisu on muotoa y = C ϕ (x) + + C n ϕ n (x) + }{{} ψ(x) }{{}, Homog.yht. yl. ratk. vars. yht. jokin ratk. missä ϕ (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x) ovat homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. 50

51 Huomautus Tällä kurssilla a (x),..., a n (x) ovat vakiofunktioita ja b(x) sellainen funktio, että yksityisratkaisun etsimiseen voidaan käyttää määräämättömien kertoimien menetelmää. Esimerkki Ratkaistaan yhtälö y + y + y + y =. Homogeenisen yhtälön karakteristinen yhtälö ja sen ratkaisu on r 3 + r 2 + r + = 0 (r + )(r 2 + ) = 0 (r + )(r i)(r + i) = 0 r =, r = ±i. Siis homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on y = C e x + C 2 cos x + C 3 sin x. Etsitään koko yhtälön yksityisratkaisu yritteellä y = A, josta saadaan yksityisratkaisu y =. Koko yhtälön yleinen ratkaisu siis on y = C e x + C 2 cos x + C 3 sin x Esimerkkejä sovelluksista Esimerkki 3.. (Vaimenematon harmoninen värähtely). Asetetaan kappale värähtelemään jousen päähän jousen suuntaan. Oletetaan, että mikään ulkopuolinen voima ei vaikuta kappaleeseen (ei edes ilmanvastus). Merkitään y:llä kappaleen sijaintia tasapainopisteen suhteen. Silloin F = ky eli ma = ky, missä k on ns. jousivakio. Näin saadaan differentiaaliyhtälö Sen ratkaisu on muotoa m d2 y + ky = 0. dt2 y = A sin wt + B cos wt. Esimerkki 3..2 (Virtapiiri). Tarkastellaan millä tavalla vastus, kondensaattori ja käämi määräävät sarjapiirin virran I, kun virta värähtelee sähkömotorisen voiman pakottamana. 5

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas

800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu

Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Epähomogeenisen yhtälön ratkaisu Lause Olkoot a = a(x), b = b(x) ja f = f(x) jatkuvia funktioita välillä I R ja olkoot y 1 = y 1 (x) ja y 2 = y 2 (x) eräs homogeeniyhtälön y + a(x)y + b(x)y = 0 ratkaisujen

Lisätiedot

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?

2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse? 2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt. Petri Juutinen

Differentiaaliyhtälöt. Petri Juutinen Differentiaaliyhtälöt Petri Juutinen 2. syyskuuta 2008 Sisältö Johdanto 3 2 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöistä 6 2. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys..................... 6 2.2 Separoituvat yhtälöt...........................

Lisätiedot

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I

802320A LINEAARIALGEBRA OSA I 802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4.

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 13: ti klo 13:00-15:30 ja to 1.4. DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 3: ti 33 klo 3:-5:3 ja to 4 klo 9:5-: Käydään läpi differentiaaliyhtälöitä Määritelmä Olkoon A R n n (MatLab:ssa

Lisätiedot

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,

Harjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio, Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja

Lisätiedot

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi

7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi 7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 = TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot