Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Transkriptio

1 Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

2 Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Koska niin y x f (x) = ε x 0 0, y = f (x) x + ε x, missä ε 0, kun x 0. Tässä pienillä x :n arvoilla f (x) x merkitsee enemmän kuin ε x, sillä ε x f (x) x = Silloin voidaan arvioida ε x 0 f 0 (x) f (x) = 0, jos f (x) 0. y f (x) x. Luento 7 2 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

3 Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Funktion y = f (x) differentiaali dy on dy = f (x) x. Geometrisesti dy on tangentin y-koordinaatin muutos. esimerkki d(x 2 + sin x) = (2x + cos x) x. esimerkki Jos y = f (x) = x, niin d(x) = 1 x, joten dx = x. dy = f (x) dx. Luento 7 3 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

4 Differentiaali virheen arvioinnissa Jos x:n muutos eli x:n virhe dx on itseisarvoltaan pieni, niin funktion f absoluuttiselle virheelle y saadaan likiarvokaava f (x + dx) f (x) = y dy = f (x) dx ja suhteelliselle virheelle likiarvokaava y y dy y = f (x) f (x) dx. Luento 7 4 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

5 Differentiaali virheen arvioinnissa esimerkki Ympyrän säteen mittauksessa oli absoluuttinen virhe ±dr eli mitattu r todellinen r dr. Arvioidaan alan suhteellista virhettä: A = πr 2 da = 2πr dr A A da A = 2πr dr πr 2 = 2 dr r. Alan suhteellinen virhe on noin kaksi kertaa säteen suhteellinen virhe, esimerkiksi jos säde mitataan 1 %:n tarkkuudella, ala saadaan suunnilleen 2 %:n tarkkuudella. Luento 7 5 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

6 Etsitään ratkaisu yhtälölle f (x) = 0. Yhden menetelmän tarjoaa Bolzanon lause. Luento 7 6 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

7 Kiintopistemenetelmä Kirjoitetaan yhtälö f (x) = 0 muotoon g(x) = x. Yhtälön g(x) = x juurta ξ sanotaan funktion g kiintopisteeksi. Valitaan lähtökohdaksi juuren likiarvo x 0. Käytetään iteraatiokaavaa x n+1 = g(x n ), n = 0, 1, 2,..., jolloin saadaan jono x 0, x 1, x 2,... Voidaan todistaa, että jos g (x) < 1 juuren ξ ympäristössä, jossa tarkastelut suoritetaan, niin jono x 0, x 1, x 2,... lähestyy ξ:tä. Luento 7 7 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

8 Yhtälön ratkaiseminen kiintopistemenetelmällä y y y = g(x) y = x y = x y = g(x) x 0 x 2 ξ x 3 x 1 x x 2 x 1 x 0 ξ x g (ξ) < 1 g (ξ) > 1 Luento 7 8 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

9 Newtonin menetelmä Oletetaan, että f derivoituu yhtälön f (x) = 0 juuren x = ξ ympäristössä, jossa lasketaan. Valitaan lähtökohdaksi juuren likiarvo x 0. Käytetään iteraatiokaavaa x n+1 = x n f (x n) f, n = 0, 1, 2,..., (x n ) jolloin saadaan jono x 0, x 1, x 2,... Voidaan todistaa, että jono x 0, x 1, x 2,... lähestyy ξ:tä, jos f (x)f (x) (f (x)) 2 < 1 juuren ξ ympäristössä, jossa tarkastelut suoritetaan. Luento 7 9 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

10 Yhtälön ratkaiseminen Newtonin menetelmällä y y = f (x) Käyrän y = f (x) tangentti pisteessä (x 0, f (x 0 )) y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) leikkaa x-akselin pisteessä x = x 0 f (x 0) f (x 0 ), x 3 x 2 x 1 x 0 x jos f (x 0 ) 0. Tätä arvoa x on merkitty x 1 :llä. Samoin on laskettu x 2 arvosta x 1 jne. Luento 7 10 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

11 esimerkki Etsitään funktion f (x) = x e x nollakohta käyttäen Bolzanon lausetta ja binäärihakua. Koska f on jatkuva ja f (0) = 1 ja f (1) = 1 e 1 > 0 ovat erimerkkiset, niin Bolzanon lauseen mukaan välillä (0, 1) on ainakin yksi nollakohta. Merkitään a 0 = 0 ja b 0 = 1 ja lasketaan niiden keskiarvo c 0 = (a 0 + b 0 )/2 = 0.5. Koska f (c 0 ) 0.1 < 0, niin nollakohta onkin välillä (0.5, 1). Valitaan siis seuraavaksi a 1 = c 0 ja b 1 = b 0, ja jatketaan samoin. Luento 7 11 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

12 a 0 = 0, b 0 = 1 c 0 = 0.5 f (c 0 ) < 0 a 1 = 0.5, b 1 = 1 c 1 = 0.75 f (c 1 ) > 0 a 2 = 0.5, b 2 = 0.75 c 2 = f (c 2 ) > 0 a 2 = 0.5, b 2 = y y = x e x x 1 Luento 7 12 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

13 esimerkki Etsitään funktion f (x) = x e x nollakohta käyttäen kiintopistemenetelmää. Merkitään g(x) = e x, jolloin etsitään yhtälön g(x) = x juurta. Koska g (x) = e x = e x on pienempi kuin 1, kun x (0, 1), menetelmä on sopiva. Aloitetaan arvosta x 0 = 0.8. x 0 = 0.8, x 1 = g(x 0 ) 0.449, x 2 = g(x 1 ) 0.638, x 3 = g(x 2 ) 0.528,... Luento 7 13 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

14 esimerkki Etsitään funktion f (x) = x 3 3x 5 nollakohta käyttäen Newtonin menetelmää. Koska f (2) < 0 ja f (3) > 0, niin nollakohta on välillä (2, 3). Lasketaan derivaatta f (x) = 3x 2 3, jolloin iterointikaavaksi tulee x n+1 = x n x 3 n 3x n 5 3x 2 n 3 = 2x 3 n + 5 3x 2 n 3. Luento 7 14 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

15 Aloitetaan arvosta x 0 = 2.5. x 0 = 2.5, x 1 = 2.30, x 2 = , x 3 = ,. y y = x 3 3x x 3 Luento 7 15 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto