1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt"

Transkriptio

1 Taloustieteen mat.menetelmät syksy 27 materiaali II-4 Ominaisarvot ja lineaariset di erenssiyhtälöt. Idea a b Ajatellaan di erenssiyhtälöä z k+ Az k, A : Jos A olisi diagonaalimatriisi, eli b c, niin muuttujat (z:n komponentit) olisivat toisistaan c d riippumattomia (uncoupled) ja komponentit voisi laskea erikseen. Idea: jos kerroinmatriisi ei ole diagonaalinen, rakennellaan muunnos muuttujien vaihdoksen avulla, joka johtaa diagonaaliseen kerroinmatriisiin! käytetään ominaisarvoja.2 Ominaisarvot Idea neliömatriisille A lähtökohta: voidaanko tehdä sellainen muuttujan vaihdos, että matriisin A sijaan voidaan tarkastella helpommin käsiteltävää matriisia? muuttujan vaihdos: kääntyvä kuvaus (matriisi) P, uudet muuttujat P x miten A toimii kun muuttujat vaihdetaan: otetaan y (uudet muuttujat) ja haetaan sitä vastaava x (vanhat muuttujat), eli x P y, kuvataan A:lla, jolloin saadaan AP y ja suoritetaan taas muuttujan vaihdos P AP y (y:n kuva uusissa muuttujissa) siis muunnettu kuvaus on D P AP eo. kysymys: löytyykö P siten että D on diagonaalimatriisi? Määritelmä: on A:n ominaisarvo ja v 6 on vastaava ominaisvektori jos A I on singulaarinen ja v toteuttaa (A I)v A on neliömatriisi. A:n ominaisarvo on luku. Kun se vähennetään jokaisesta A:n diagonaalialkiosta, A muuttuu singulaariksi. huom. oletetaan, että v 6, koska olisi aina ominaisvektori (eikä siten kovinkaan kiinnostava) on ominaisarvo jos ja vain jos A I on singulaarinen, det(a I), tätä sanotaan A:n karakteristiseksi yhtälöksi, karakteristiseksi polynomiksi tai ominaisarvoyhtälöksi 2 Esim. : A vähentämällä tästä matriisista 2 saadaan 3 matriisi, joka on singulaarinen, eli ominaisarvo on 2, vastaava

2 v ominaisvektori v (v ; v 2 ) saadaan ratkaisemalla, v 2 eli v 6 ja v 2 muotoa olevat vektorit ovat ominaisvektoreita vastaten ominaisarvoa 2 myös 3 on ominaisarvo sillä A 3I on singulaarinen Faktoja ominaisarvoista ja -vektoreista diagonaalimatriisin diagonaalialkiot ovat ominaisarvoja jos v on ominaisvektori, niin myös v on ominaisvektori kaikilla 6 ominaisvektori määrittää suunnan, jota kuvaus A ei muuta matriisi on singulaarinen jos ja vain jos on sen ominaisarvo jos matriisi on symmetrinen, sillä on n ominaisarvoa, jotka ovat reaalilukuja 3 Esim. 2: A, koska kyseessä ei ole diagonaalimatriisi, on 2 ominaisarvojen laskemisessa turvauduttava karakteristiseen yhtälöön: 3 det(a I) det 2 ( + )( ) ( + 3)( 2) ominaisarvot ovat 3 ja 2 2. Ominaisarvoa vastaava ominaisvektori saadaan yhtälöparista (A ( 3)I)v, es- 2 3 v 2 3 v 2 imerkiksi v ( 3; 2) on ominaisarvo (kuten myös kaikkia vektorit v, 6 ), mikä on toinen ominaisvektori? 2 Esim. 3: 5 A, karakteristinen yhtälö 3 2 det(a 2 I) 5 A 3 2 (5 )( 4)( + ) ominaisarvoja on nyt kolme ;2;3 5; 4; 2 ovat v A A A (laske!) 3, vastaavat ominaisvektorit Havaintoja 2

3 karakteristinen yhtälö on n:nnen asteen polynomi! ominaisarvoja n kappaletta, osa voi olla kompleksilukuja (palataan tähän myöhemmin) yleisesti ottaen n:nnen asteen polynomin juurten hakeminen on työlästä.3 Diagonalisointi Määritelmä: matriisi A on diagonalisoituva, jos löytyy kääntyvä matriisi P (muuttujan vaihdos) siten, että D P AP on diagonaalimatriisi Lause: n n matriisi A on diagonalisoituva jos sillä on n erillistä, nollasta poikkeavaa ominaisarvoa kun ominaisvektorit ovat erillisiä ja 6, niin ominaisvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia ominaisvektorit ovat matriisin P sarakkeita ja ominaisarvot ovat matriisin D diagonaalialkioita (matriisi voi olla diagonalisoituva myös silloin kun osa ominaisarvoista on samoja, mutta ei välttämättä) Taustaa: Huomataan että D P AP eli AP P D: Minkälainen pitäisi muunnosmatriisin P olla että D:stä tulisi diagonaalimatriisi?. 2D: Edellinen voidaan kirjoittaa A[v v 2 ][v v 2 ] josta saadaan Av 2 v ja Av 2 2 v 2 :(v v 2 ovat siis P :n sarakkeita). Tämä toteutuu kun :t ovat ominaisarvoja ja v:t ominaisvektoreita. Esim. 3 jatkoa 2 5 muunnosmatriisi A ja 4 A 3.4 Ominaisarvojen informaatio A:n määräämän lineaarikuvauksen luonnetta voi hahmotella ominaisvektorien ja ominaisarvojen avullla Jos A:n ominaisarvo on positiivinen, se tarkoittaa sitä, että A skaalaa vektoreita vastaavan ominaisvektorin suuntaan Jos ominaisarvo on negatiivinen, A peilaa ominaisvektorin suunnat ja skaalaa niitä k Esim. pohdi miten A toimii k 2 jos reaalisia ominaisarvoja ei ole, niin A ei toimi edellä kuvatulla tavalla mihinkään suuntaan 3

4 ! matriisi kääntää kaikkia suuntia (ja mahdollisesti skaalaa niitä) cos() sin() Esim. tasossa matriisi A kääntää kuvattavaa sin() cos() vektoria kulman. Ominaisarvojen avulla voi tutkia de niittisyyttä symmetrinen matriisi A on pos.sem.def (neg.sem.def) jos ja vain jos A:n ominaisarvot ovat ( ) vastaavasti pos.def. (neg.def.) jos ominaisarvot > (< ) matriisi on inde niitti jos ja vain jos sillä on positiivinen ja negatiivinen ominaisarvo.5 Di erenssiyhtälöt Jono fx k g k Rn toteutaa T :nnen kertaluvun di erenssiyhtälön jos G(x k ; x k ; : : : ; x k T ) (kaikilla k T ), missä G : R T n 7! R n yleensä, di erenssiyhtälöt voidaan saattaa ensimmäisen kertaluvun muotoon, jolloin esitys on rekursiivinen, eli x k+ F (x k ) tässä tapauksessa di erenssiyhtälön ratkaisulla tarkoitetaan jonoa, joka saadaan rekursion ratkaisuna, kun alkuarvo x on annettu rekursiota kutsutaan myös tilayhtälöksi (state transition equation), liikeyhtälöksi (law of motion) tai dynaamiseksi systeemiksi (dynamic system).6 Esimerkkejä Esim. malli kansantulolle (national income): periodin k kansantulo Y k toteuttaa yhtälön Y k C k + I k + G k, missä C k on kuluttajien menot, I k on investoinnit ja G k julkiset menot oletetaan C k Y k, G k G kaikilla k, I k (C k C k ) saadaan di erenssiyhtälö Y k Y k + (C k C k ) + G ( + )Y k Y k 2 + G kyseessä toisen kertaluvun di erenssiyhtälö valitsemalla muuttujiksi x k Y k ja z k Y k saadaan di erenssiyhtälöyhtälö ensimmäisen kertaluvun/rekursiiviseen muotoon: Esim 2. kasvumalli x k ( + )x k z k + G z k x k 4

5 tuotantofunktio f(k k ; L k ), K pääoma ja L työ, C k kulutus, pääoman kulumistekijä, K k+ f(k k ; L k ) + ( )K k C k Esim. 3. luonnonvaran käyttö luonnonvaran määrä s k, luonnonvaran käyttö/harvennus x k, kasvufunktio f(s), dynamiikka: s k+ f(s k ) x k.7 Kuluttajan elinkaari X Kuluttajan tehtävä max k u(c k ), 2 (; ) periodin k kulutus c k k oletetaan, että alkupääoma on annettu, w, pääoma kasvaa korkoa, korko r; w k+ ( + r)(w k c k ), missä w k on periodin k pääoma tilayhtälön voi ajatella rajoitteena Ensimmäisen kertaluvun ehdot Lagrangen funktio L(c; ) X k h i k u(c k ) k (w k+ ( + r)(w k c k )) huom. muuttujina c k, w k+, k, eli äärettömästi muuttujia! teoreettinen kysymys: toimiiko ensimmäisen kertaluvun ehdot? derivoidaan L kaikkien muuttujien suhteen ja asetetaan derivaatat nolliksi, saadaan k u (c k ) + k ( + r)( ) (derivointi c k :n suhteen) ( + r) k k (derivointi w k :n suhteen, k ) w k+ ( + r)(w k c k ); k tämä on di erenssiyhtälö, jossa muuttujina ovat c k :t, w k :t ja k :t huom. k :t voi eliminoida.8 Lineaariset Di erenssiyhtälöt Tarkastellaan di erenssiyhtälöitä, jotka ovat muotoa z k+ Az k, k ; ; : : :, ja z annettu tarkoituksena on hyödyntää ominaisarvoteoriaa näiden yhtälöiden ratkaisemisessa 5

6 huom. epälineaarinen di erenssiyhtälö voidaan linearisoida, jolloin lineaaristen di erenssiyhtälöiden teoriaa voidaan hyödyntää lokaalissa tarkastelussa Esim. : korkolaskua pääoma y k, vuosikorko, y k+ ( + )y k laskemalla periodista alkaen, y ( + )y, y 2 ( + ) 2 y, jne. havaitaan, että y k ( + ) k y (di erenssiyhtälön ratkaisu) Esim. 2: malli työttömyydelle työssäkäyvät keskimäärin x, työttömät keskimäärin y työllistymistodennäköisyys p, työssäpysymistodennäköisyys q x k+ qx k + py k y k+ ( q)x k + ( p)y k xk+ q p xk tai matriisimuodossa y k+ q p y k a b Havaintoja 2d mallista z k+ Az k, A c d jos A olisi diagonaalimatriisi, eli b c, niin muuttujat (z:n komponentit) olisivat toisistaan riippumattomia (uncoupled) ja komponentit voisi laskea erikseen kuten korkoesimerkissä, esim. työttömyysmallissa x ja y eivät näytä erikseen ratkeavan kuten korkoesimerkissä (kokeile)! idea: tehdään muuttujien vaihdos, joka johtaa diagonaaliseen kerroinmatriisiin! käytetään ominaisarvoja.9 Ratkaisu diagonalisoimalla Di erenssiyhtälön z k+ Az k ratkaiseminen Oletus A diagonalisoituva. tehdään muuttujan vaihdos, Z P z ja z P Z vanhat muuttujat z 2 R n ja uudet muuttujat Z 2 R n lasketaan A:n ominaisarvot ja ominaisvektorit, muodostetaan P ominaisvektoreista 2. muodostetaan di erenssiyhtälö Z:lle Z k+ P z k+ P Az k P AP Z k huom. P AP on ominaisarvoista muodostuva diagonaalimatriisi 3. ratkaistaan di erenssiyhtälö Z:lle 4. palataan takaisin alkuperäisiin muuttujiin 6

7 . Esimerkki Ratkaistaan matriisin A Az k Lasketaan ominaisarvot ja ominaisvektorit 4 määrittämä di erenssiyhtälö z 2 k+ karakteristinen yhtälö det(a I), ( )( ) 4 2! saadaan ominaisarvot ;2 2; 4 v ominaisvektorit, (i) (A I) v (ii) (A 2 I), mm. v 2 v 2 ( 2; ) muunnosmatriisi P ja P Tehdään muuttujan vaihdos v 2, mm. v (4; ) merkitään z (x; y), uudet muuttujat X ja Y, Z (X; Y ): X 6 3 x x 4 2 X ja Y 6 23 y y Y Johdetaan di erenssiyhtälö Z:lle: eli Z k+ P AP Z k ja P AP on diagonaalimatriisi, jossa ominaisvektorit diagonaalilla, eli P AP 2 tässä di erenssiyhtälössä X ja Y eivät riipu toisistaan, koska B on diagonaalimatriisi! Ratkaistaan Z k : X k 2 k X ja Y k ( ) k Y Siirrytään takaisin alkuperäisiin muuttujiin z k P Z k k X ( ) k Y 4 2 k X 2 ( ) k Y 2 k X + ( ) k (2 k X Y ) 4 + (( ) k Y ) alkuarvot X ja Y saadaan taas muunnoksella Z P z 2 7

8 2 Lineaariset di erenssiyhtälöt II - ominaisarvot 2. Ratkaisu ominaisarvojen avulla Di erenssiyhtälö z k+ Az k (z k 2 R n ) Oletus A diagonalisoituva ja sen ominaisarvot ovat reaalilukuja ominaisarvot ; : : : ; n ja ominaisvektorit v ; : : : ; v 2 k B merkitään C. A, jolloin D k C. A n k n Lause: Di erenssiyhtälön yleinen ratkaisu on z k c k v + c 2 k 2v 2 + : : : + c n k nv n, missä c i, i ; : : : ; n, ovat vakioita yleisellä ratkaisulla tarkoitetaan sitä että ratkaisu on aina edellä kuvattua muotoa riippumatta alkuarvosta z vakiot c i, i : : : ; n, voidaan ratkaista, kun alkuarvo z on annettu; merkitään c (c ; : : : ; c n ), jolloin c P z Lause: Kun alkuarvo on z niin di erenssiyhtälön ratkaisu on z k P D k P z huom. A k P D k P, tämän avulla diagonalisoitavalle matriisille voi määritellä mm. neliöjuuren A Esimerkki Ratkaistaan P D k P di erenssiyhtälölle z k+ Az k, A karakteristinen yhtälö det(a I) : ( + ) ominaisarvot ;2 ( p + 4 6)2 ( 5)2, 3 ja v ominaisvektorit: (i) (A I)v, joten 2 3 v 2 on oltava 2v + 3v 2, esim. v (3; 2) on ominaisvektori 2 3 v (ii) (A 2 I)v, joten 3v v, esim. v (; ) muunnosmatriisi P v 2 3 ja sen käänteismatriisi P 2 :2 :2 :4 :6 8

9 matriisi A k P D k P 3 ( 3) k :2 :2 2 2 k :4 :6 3( 3) k 2 k :2 :2 ( 2)( 3) k 2 k :4 :6 :2 ( ) k 3 k+ + :4 2 k :2 ( 3) k+ + :6 2 k :2 ( ) k+ 3 k + :4 2 k :2 ( ) k+2 3 k + :6 2 k 2.3 Kompleksiluvut Diagonalisointiin tarvitaan n ominaisarvoa, mutta mitä jos kaikkia näitä ei löydy reaalilukujen joukosta?! osa ominaisarvoista on kompleksilukuja Määritelmä: kompleksiluku on muotoa a + ib oleva luku missä i:lle pätee i 2 ja a ja b ovat reaalilukuja lukua a sanotaan reaaliosaksi ja lukua b imaginaariosaksi, i on imaginaariyksikkö Määritelmä: Luvun z a + ib kompleksikonjugaatiksi sanotaan lukua z a ib Lause: Jos kompleksiluku z on polynomin juuri niin myös z on polynomin juuri huom. n:nnen asteen polynomilla on enintään n juurta, jos n 2 ja yksi juurista on kompleksiluku niin toisenkin on oltava huom. vaikka kompleksiluvut määritellään toisen asteen yhtälön ratkaisujen kautta (i toteuttaa yhtälön x 2 ), niillä saadaan kaikkien korkeampaakin astetta olevien polynomiyhtälöiden kaikki ratkaisut 2.4 Kompleksiset ominaisarvot Pohditaan 2d tapausta reaalinen ominaisvektori on sellainen, että kuvaukset tämän vektorin suuntaan pysyvät saman suuntaisina! jos ominaisarvot ovat kompleksisia matriisi kääntää kaikkia suuntia reaalisten ominaisarvojen tapauksessa (2d) di erenssiyhtälön Z k+ Az k ratkaisu on muotoa z k c k v + c 2 k 2v 2, missä ja 2 ovat ominaisarvot, v ja v 2 ovat vastaavat ominaisvektorit ja c ja c 2 ovat vakioita 9

10 jos j i j < niin termi c i k i v i menee kohti nollaveltoria (kerroin k i suppenee nollaan), vastaavasti jos j i j > termi c i k i v i hajaantuu (ei suppene)! mitä tapahtuu jos ja 2 ovat kompleksilukuja? 2 2 (reaalinen) matriisi A, jolla kompleksiset ominaisarvot z i, vastaavat ominaisvektorit u iv di erenssiyhtälön yleinen ratkaisu on z k 2r k [(c cos k c 2 sin k)u (c 2 cos k+c sin k)v], missä c ja c 2 ovat reaalilukuja, jotka määräytyvät alkuarvosta z kompleksiset ominaisarvot johtavat siihen että ratkaisu värähtelee sini- ja kosinitermien johdosta 2.5 Esimerkki A 9 p karakteristinen yhtälö p p, ratkaisut ;2 (2 4 4 )2 (2 36))2 (2 6 )2 i3 3i v ominaisvektorit: (A I), eli 3iv 9 3i v 2 + v 2, esim. v (; 3i) kelpaa, toinen ominaisvektori on (; 3i) ) r p p, arccos( p ) :249 Di erenssiyhtälön ratkaisu, merk. z (x; y) xk p (c k y cos k c 2 sin k) (c k 2 cos k + c sin k) Stabiilisuus Määritelmä: Vektori x on di erenssiyhtälön x k+ F (x k ) tasapaino jos x F (x ) epälineaarinen di erenssiyhtälö voidaan linearisoida tasapainon ympäristössä: F (x) F (x ) + DF (x )(x x ), tällöin muuttujan vaihdoksella z x x päädytään lineaariseen di erenssiyhtälöön, jossa A DF (x )! epälineaaristen di erenssiyhtälöiden tasapainoja voidaan analysoida lineaaristen di erenssiyhtälöiden avulla Määritelmä: Lineaarisen di erenssiyhtälön z k+ Az k tasapaino z on (globaalisti) asymptoottisesti stabiili, jos di erenssiyhtälön ratkaisut suppenevat kohti vektoria kaikilla alkuarvoilla

11 reaalisten ominaisarvojen tapauksessa tasapaino on stabiili kun ominaisarvot ovat itseisarvoltaan pienempiä kuin yleisesti ominaisarvojen on oltava kompleksitasossa yksikköympyrän sisäpuolella, eli r p a 2 + b 2 < edellä olleissa esimerkeissä origo on epästabiili 2.7 Markov prosessit Määritelmä: Oletetaan äärellinen määrä tiloja i ; : : : ; n. Stokastinen prosessi on sääntö, joka määrittää todennäköisyydet sille, että periodilla k + ollaan tilassa i. Jos tilojen todennäköisyydet riippuvat vain edellisen periodin tilasta, stokastista prosessia sanotaan Markov-prosessiksi Esimerkki luokitellaan perheet kotipaikan mukaan: () kaupunkilaisiin, (2) esikaupunkien asukkaisiin ja (3) maalaisiin eri luokkia voidaan pitää tiloina ; 2; 3, jos perheen kotipaikan tyyppi muuttuu, niin tila muuttuu Tilansiirtotodennäköisyydet merkitään x i (k) todennäköisyys että jaksolla k ollaan tilassa i siirtymätodennäköisyydet m ij todennäköisyys että jaksolla k + tila on i kun jaksolla k oltiin tilassa j voidaan koota tilansiirtomatriisiksi (Markov-matriisiksi) m m n B C. A m n m nn Esimerkki (jatkoa) voidaan ajatella että todennäköisyys x i (k) kuvaa osuutta populaatiosta, joka asuu (i ) kaupungissa, (i 2) esikapungissa, (i 3) maalla jaksolla k esim. m j todennäköisyys, jolla pysytään kaupunkilaisena (j ) tai tullaan kaupunkilaiseksi (j 2 tai j 3), voidaan tulkita osuuksina populaatiosta, jotka pysyvät paikoillaan ja muuttavat :75 :2 : :2 :9 :2A :5 :8 :7 Markov-prosessi di erenssiyhtälönä

12 todennäköisyys, että jaksolla k + ollaan tilassa i: x i (k + ) (tod. näk. että siirrytään tilasta tilaan i) (tod. näk. että lähdetään tilasta ) + : : : + (tod. näk että siirrytään tilasta n tilaan i) (tod. näk. että lähdetään tilasta n) P j m ijx j (k) tilansiirtomatriisin avulla x(k + ) M x(k), eli x (k + ) m m n x (k) B C C B C. A x n (k + ) m n m nn x n (k) 2.8 Esimerkki Markov matriisi M :9 :4 : :6 Ominaisarvot, det(m I) (:9 )(:6 ) : :4 2 (:9 + :6) + :9 :6 :4, saadaan ;2 (:5 p :5 2 4 :5)2 (:5 :5)2 ; :5 Ominaisvektoreiksi saadaan v (4; ) ja v 2 (; ) Di erenssiyhtälön yleinen ratkaisu Havaintoja x (k + ) c 4 k + c 2 :5 k x 2 (k + ) c k + c 2 ( ) :5 k toinen ominaisarvo on yksi ja toinen pienempi kuin yksi kun k!, niin raja-arvona on c (4; ) (ominaisarvoa vastaavan ominaisvektorin suunta), koska raja-arvon on oltava todennäköisyysjakauma on 4c + c, eli c 5 yleisesti pätee, että kun M on Markov-matriisi, jonka kaikki komponentit ovat nollasta poikkeavia (tai M k :n alkiot nollasta poikkeavia jollakin k), niin yksi ominaisarvoista on yksi ja loput välillä ( ; ), jolloin prosessi suppenee kohti ominaisarvoa vastaavan ominaisvektorin määrittämää rajajakaumaa! rajajakauma on di erenssiyhtälön stabiili tasapaino (kaikilla todennäköisyysjakaumilla alkutiloina) :8 kokeile eo. esimerkissä mitä on M :2 2.9 Ominaisarvojen ominaisuuksia Lause: Jos ; : : : ; n ovat n n matriisin ominaisarvot, niin n trace(a) ja 2 n det(a). 2

13 trace(a) on matriisin diagonaalialkioden summa (matriisin jälki) tulos voi helpottaa ominaisarvojen laskemista Esimerkki (kaupunki-maaseutu x (k + ) :75 :2 : x 2 (k + ) :2 :9 x (k) x 2 (k) A x 3 (k + ) :5 :8 :7 x 3 (k) tiedetään, että yksi ominaisarvoista on, joten :75 + :9 + :7 2:35 ja 2 :455, saadaan ominaisarvot :7 ja : ominaisvektorit A 35 3 yleinen ratkaisu x (k + ) x 2 (k + ) 225 5A + c 8 5A (:7) k + c A (:65) k x 3 (k + )

1 Di erentiaaliyhtälöt

1 Di erentiaaliyhtälöt Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI

6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI 6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,

Lisätiedot

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja

Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja 7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit

1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu

Talousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA

OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA 1 OMINAISARVOISTA JA OMINAISVEKTOREISTA Olkoon x = (x 1,..., x n ) avaruuden R n piste (l. vektori). Vektori x samaistetaan n 1-matriisin (x 1 x 2... x n ) T kanssa, ts. voidaan yhtä hyvin kirjoittaa x1

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.

Tehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat. JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla

Lisätiedot

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt

Esimerkki 4.4. Esimerkki jatkoa. Määrää matriisin ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt Esimerkki 4.4. Määrää matriisin 2 2 1 A = 1 3 1 2 4 3 ominaisarvot ja -vektorit. Ratk. Nyt det(a λi ) = 1 + 2 λ 2 1 + 1 λ 1 λ 1 3 λ 1 = 1 3 λ 1 2 4 3 λ 2 4 3 λ 1 λ = 1 4 λ 1 = (1 λ)( 1)1+1 4 λ 1 2 6 3

Lisätiedot

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?

Matriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on? Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II Dynaamisten systeemien teoriaa Systeemianalyysilaboratorio II 15.11.2017 Vakiot, sisäänmenot, ulostulot ja häiriöt Mallin vakiot Systeemiparametrit annettuja vakioita, joita ei muuteta; esim. painovoiman

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Milloin A diagonalisoituva?

Milloin A diagonalisoituva? Milloin A diagonalisoituva? ) Oletus: A on diagonalisoituva eli D = TAT, jollakin D = diag(λ, λ 2,..., λ n ). A:n ja D:n ominaisarvot ovat samat λ, λ 2,..., λ n ovat myös A:n ominaisarvot... D e i = D

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

(1.1) Ae j = a k,j e k.

(1.1) Ae j = a k,j e k. Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Taloustieteen matemaattiset menetelmät: Osa 2 - Pikakertaus ja esimerkkejä

Taloustieteen matemaattiset menetelmät: Osa 2 - Pikakertaus ja esimerkkejä Taloustieteen matemaattiset menetelmät: Osa 2 - Pikakertaus ja esimerkkejä Topi Hokkanen 27. maaliskuuta 2017 Tiivistelmä Nämä muistiinpanot ovat nk. quick and dirty - merkinnät kurssin toisen osan asioista.

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi

Matriisihajotelmat. MS-A0007 Matriisilaskenta. 5.1 Diagonalisointi. 5.1 Diagonalisointi MS-A0007 Matriisilaskenta 5. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 25.11.2015 Laskentaongelmissa käsiteltävät matriisit ovat tyypillisesti valtavia.

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1

Ortogonaaliset matriisit, määritelmä 1 , määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa.

ax + y + 2z = 0 2x + y + az = b 2. Kuvassa alla on esitetty nesteen virtaus eräässä putkistossa. BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 7, Syksy 206 Tutkitaan yhtälöryhmää x + y + z 0 2x + y + az b ax + y + 2z 0 (a) Jos a 0 ja b 0 niin mikä on yhtälöryhmän ratkaisu? Tulkitse ratkaisu

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ

tyyppi metalli puu lasi työ I II III metalli puu lasi työ MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 29 ( 7 1 1 4 1 1. Olkoot, B = 1 5 2 5 3 Määrää 2A, B 2A, A T, ( 2A) T, (A T ) T. ), C = ( 1 ) 4 4 ja E = 7. 3 2. Olkoot A, B, C ja E kuten edellisessä tehtävässä.

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Determinantti. Määritelmä

Determinantti. Määritelmä Determinantti Määritelmä Oletetaan, että A on n n-neliömatriisi. Merkitään normaaliin tapaan matriisin A alkioita lyhyesti a ij = A(i, j). (a) Jos n = 1, niin det(a) = a 11. (b) Muussa tapauksessa n det(a)

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1.

Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A = PBP 1. Similaarisuus 1 (Kreyszig 8.4, Lay 5.2) Aalto MS-C1340, 2014, Kari Eloranta Määritelmä Neliömatriisit A ja B ovat similaareja toistensa suhteen, A B, jos on olemassa kääntyvä matriisi P, jolle pätee A

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 Matriisialgebra harjoitukset, syksy 6 MATRIISIALGEBRA, s. 6, Ratkaisuja/ M.Hamina & M. Peltola 8. Olkoon 4 A 6. 4 Tutki, onko A diagonalisoituva. Jos on, niin määrää matriisi D T AT ja siihen liittyvä

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016

Matriisialgebra harjoitukset, syksy 2016 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 7 Onko kuvaus F : R R, F(x 1,x = (x 1 +x,5x 1, x 1 +6x lineaarinen kuvaus? Jos on, niin määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen Jos ei ole, niin

Lisätiedot

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä

1.1. Määritelmiä ja nimityksiä 1.1. Määritelmiä ja nimityksiä Luku joko reaali- tai kompleksiluku. R = {reaaliluvut}, C = {kompleksiluvut} R n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x n R} C n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,..., x

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen

MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO. Niko Holopainen MATRIISIN HESSENBERGIN MUOTO Niko Holopainen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2013 Tiivistelmä: Niko Holopainen, Matriisin Hessenbergin muoto Matematiikan

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0

2, E = Määrää 3A, B 2A ja E + F. 2. Laske (mikäli mahdollista) AB, BA, A 2, BC, CB ja F = 1 0 0 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2012 Tehtävissä 1-2 käytetään seuraavia matriiseja: A = 1 2 ( ) 0 5 1 2 4, B =, C = 1 2, E = 1 0 0 0 1 0 ja F = 1 0 0 0 1 0. 3 7 2 4 3 3 1 3 4 2 2 3 0 1. Määrää

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z

5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z 5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisihajotelmat: Schur ja Jordan Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi Matriisihajotelmat:

Lisätiedot

ja F =

ja F = MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2016 Tehtävissä 1 ja 2a käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3 A =,B = 7 1 2 2 3,C = 4 4 2 5 3,E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1.

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.

1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen

Lisätiedot

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }

Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R } 7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko

Lisätiedot