Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Transkriptio

1 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na n + a n 1 + 3) arvoilla n 2 Todista, että a n 4n kaikilla n N Induktio 18 Määritä inf{ n n/2 n N} Lukujonon suppeneminen 19 Määritä lukujonon 2n 2 a n = n 2 + n + 1 raja-arvo, kun n, ja todista tulos suoraan määritelmän perusteella (ts epsilontekniikkaa käyttäen) 20 Todista raja-arvon määritelmään perustuen, että suppeneva lukujono on rajoitettu, ts jos lima n = a, niin on olemassa luku M > 0 siten, että a n M kaikilla indekseillä n 21 Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b 22 Todista yksityiskohtaisesti lukujonojen raja-arvoja koskeva lause: Jos lim n a n = a ja lim n b n = b, niin lim n (a n + b n ) = a + b Päteekö kääntäen lim (a n + b n ) = a + b = lim a n = a, lim b n = b? n n n

2 23 Todista: Jos lukujonolle a n pätee a n > 0 kaikilla indekseillä n N ja lima n = 0, niin on olemassa max{a n n N} Onko em oletuksilla välttämättä olemassa myös min{a n n N}? 24 Olkoon a n rajoitettu lukujono Todista: 2n + a n lim = 2 n n 2 Olkoon 1 lim n a n + a = b 0 Osoita täsmällisesti, että lukujono a n suppenee ja määritä sen raja-arvo lima n = 1 b a 26 Määritä raja-arvot ( n a) lim n ) (n + 1)! (n 1)!, b) lim n n n (n + 1)! + (n 1)!, n ( ) c) lim, d) lim n 2 + n n n n n a) 1 2 ; b) 1; c) 1; d) Määritä raja-arvo lim n f n (x) = f (x) kaikilla arvoilla x R, kun f n (x) = xn 1 + x n Piirrä funktioiden f n kuvaajia indeksin n eri arvoilla Piirrä myös funktion f kuvaaja 28 Määritä raja-arvo lim n f n (x) = f (x) kaikilla arvoilla x R, kun f n (x) = xn 1 + x 2n Piirrä funktioiden f n kuvaajia indeksin n eri arvoilla Piirrä myös funktion f kuvaaja

3 29 Osoita, että lukujono b n, ( b n = 1 1 n, n) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu Käytä Bernoulli n epäyhtälöä Mikä on jonon raja-arvo? 30 Olkoon lima n = a Osoita: lim a 1 + a a n n = a 31 Olkoot a n ja b n kaksi lukujonoa, joille pätee lim(a n e n ) = e ja lim(b n n 10 ) = π Määritä lim(a n b n ), mikäli se on olemassa lim(a n b n ) = 0 32 Lukujono a n määritellään asettamalla a 1 = 1; a n+1 = 1 + 2a n 1 + a n, n = 1,2,3, Osoita induktiolla, että jono on ylhäältä rajoitettu ja kasvava Päättele tästä, että jonon raja-arvo on olemassa ja laske se 33 Lukujono määritellään rekursiivisesti ehdoilla a 1 = 0, a n+1 = 1 2 a n + 1 Osoita, että jono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu Määritä sen raja-arvo a n = n, lima n = 2 34 Lukujono määritellään rekursiivisesti ehdoilla a 1 = 1, a n+1 = a n 1 + a n Osoita, että jono on vähenevä ja alhaalta rajoitettu Määritä sen raja-arvo a n = 1/n, lima n = 0 3 Lukujono määritellään rekursiivisesti ehdoilla a 1 = 0, a n+1 = a n 2 +

4 Osoita täsmällisesti, että jono suppenee ja määritä sen raja-arvo 36 Osoita seuraavat jonot monotonisiksi ja rajoitetuiksi sekä määritä niiden raja-arvot: a) a 1 = 2, a n+1 = 2 + a n, b) a 1 = 2, a n+1 = 2a n a) lima n = 2; b) lima n = 2 37 Olkoon a 1 ]0,π/2[ ja a n+1 = sina n (n 1) Osoita jono väheneväksi ja alhaalta rajoitetuksi sekä määritä sen raja-arvo lima n = 0 38 Tutki numeerisesti raja-arvoa sijoittamalla luvulle n yhä suurempia arvoja lim (1 + 1/n)n n 39 Tutki numeerisesti raja-arvoja ( a) lim 1 1 n (, b) lim 1 + n n) 1 ) n (, c) lim ) n n n n n Mitkä ovat raja-arvojen tarkat arvot? Miten tulokset voi perustella? 23 Cauchyn suppenemiskriteeri 40 Tutki seuraavien lukujonojen käyttäytymistä: a) a n = cos nπ 4 + ( 1)n, b) a n = sin nπ 2 + ( 1)n n Onko jonoilla raja-arvoa? Entä kasautumispisteitä? Mitä mahdettaisiin tarkoittaa käsitteillä yläraja-arvo ja alarajaarvo (limes superior ja limes inferior)? 41 Osoita, että lukujono a n = 1/n (n N) toteuttaa Cauchyn suppenemisehdon, ts määritä annettua lukua ε > 0 vastaava indeksiraja N

5 42 Lukujonolla a n olkoon ominaisuudet 1) i j = a i a j, 2) lima n = a R Todista, että a on lukujoukon {a n n N} R kasautumispiste Voiko joukolla olla muita kasautumispisteitä? Jos ominaisuudesta 1) luovutaan, pitääkö väite paikkansa? 24 Reaalilukujen konstruoinnista