2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät
|
|
- Tarja Mattila
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi usemmn muuttujn funktioiden jtkuvuus jäävät möhemmin määriteltäviksi sointegrli Keskeinen jtus: f(, )dd on tsolueess integroituvn relifunktion keskirvo kerrottun :n lll Kuv : R f f 4 :n l (ruutu/cm ), joten jos esimerkiksi f(, ) on likipitäen vkio 4 :ss, niin f(, )dd 44 ( likipitäen sllii sen, että f s poiket pljonkin 4:stä pint-lltn hvin pienissä :n osiss) äsmällisen määritteln luksi käsitellään tpus, joss on suorkulmio, [, b] [c, d] {(, ) b, c d} (, b, c, d R, < b, c < d), j f : R on rjoitettu funktio Kuv: j sen ossuorkulmiot ij tpuksess k 5 j l 3 (ks ll) ȧ 3 4 b k c l d
2 Nt -kselin välin [, b] jko D (,, k ) (ks9) j -kselin välin [c, d] jko D (,, l ) määrittelevät :n jon D D D ossuorkulmioihin ij [ i, i ] [ i, i ] (i,, k, j,, l) Merkitään i i i, i i i j ij i i, ij :n l Olkoon M sup(f( )), m inf(f( )), M ij sup(f( ij )), m ij inf(f( ij )), jolloin Määritellään ntkin (vrt 9) Yläsumm S D k l M ij ij, lsumm s D k i j i j l m ij ij, j Riemnnin summt R D k m m ij M ij M i, j i j l f(u ij ) ij (u ij ij ) skin s D R D S D j s D S D kikill :n joill D j D j sdn määriteltä f:n lintegrli I sup s D j f:n läintegrli I inf S D D D li suorkulmion Ne toteuttvt epähtälöt missä ( ) (b )(d c) on :n l m ( ) s D I I S D M ( ), Määritelmä Jos I I I, niin f on integroituv :ssä (li :n) j luku I f fd f(, )dd R on f:n tsointegrli li :n Integroituvuustesti pätee (smll todistuksell) ntkin: Luse Rjoitettu funktio f : R on integroituv li :n jos j vin jos kikill ɛ > on olemss :n jko D siten, että S D s D < ɛ Yleisen rjoitetun joukon tpuksess tsointegrli f määritellään f:n nolljtkon vull pusuorkulmiot kättäen: Olkoon R rjoitettu joukko, ts joukko, jok sisält johonkin tson suorkulmioon Olkoon lisäksi f : R rjoitettu funktio ällöin f:n nolljtko on funktio {, (, ) / f : R R, f (, ) f(, ), (, ) Olkoon suorkulmio, jolle 4
3 3 Määritelmä f on integroituv li :n, jos sen nolljtko f on integroituv li :n ällöin luku f fd f(, )dd f R on f:n tsointegrli li :n Huomutus oidn osoitt, ettei f :n (j siis f:n) integroituvuus j integrlin rvo riipu pusuorkulmion vlinnst sointegrlin vull sdn nt suorkulmion pint-lst lähtien järkevä määritelmä monimutkisemmnkin osjoukon R pint-llle: 4 Määritelmä Rjoitetull joukoll R on pint-l () dd jos vkiofunktio : R on integroituv li :n ällöin snomme, että on (Riemnnin mielessä) mitllinen 5 Esimerkki ([, ] [, ]) (Q Q) ei ole mitllinen, sillä suorkulmion [, ] [, ] mielivltiselle jolle D vkiofunktion : R nolljtkoll {, (, ) : R, (, ), (, ) \ pätee lä- j lsummille, että S D, s D S D s D ɛ ], [ Perustelu: Jokisess D:n ossuorkulmioss ij on sekä :n että \ :n pisteitä (joten in M ij, m ij ), kosk jokisell välillä on Q:n j R \ Q:n pisteitä 6 Määritelmä Olkoon R, ɛ > j r (, ) R (i) Joukko ɛ (r ) [ U ɛ (r ) (r, ɛ) N ɛ (r ) jne] {(, ) ( ) + ( ) < ɛ } (eli r -keskinen ɛ-säteinen kiekko ilmn reunmprää) on r :n ɛ-mpäristö [j ɛ (r ) U ɛ (r ) o U ɛ (r ) ɛ (r ) \ {r } punkteerttu r :n ɛ-mpäristö] (ii) Piste r on joukon () sisäpiste, jos ɛ (r ) jollin ɛ >, (b) ulkopiste, jos ɛ (r ) R \ jollin ɛ >, (c) reunpiste, jos se ei ole sisä- eikä ulkopiste (iii) Joukon reun {(, ) R (, ) on :n reunpiste} 43
4 7 Esimerkki i) Q Q R ii) Meille tärkein joukkotppi tämän kärän rjoittm joukko on reunkärä (iii) kuten 5:ssä [, ] [, ] (iv) äärellinen (v) Z Z Mitllisi joukkoj j integroituvi funktioit on pljon: 8 Luse Olkoon R rjoitettu joukko j f : R rjoitettu funktio ällöin () on mitllinen on mitllinen j ( ) (ts on nollmittinen) () Jos on mitllinen j f on :ss jtkuv lukuunottmtt mhdollist nollmittist epäjtkuvuusjoukko, niin f on integroituv li :n (3) Jos (), niin f on integroituv li :n j f odistus Sivuutetn (Luseen sisältö tk sen, että mitllisuus j integroituvuus ovt kätännön tilnteiss melkein in voimss rjoitetuille j f) sointegrlille f pätee luseen 3 vstine: (i) (f + g) f + g (ii) cf c f (iii) m () f M (), m inf(f()), M sup(f()) (iv) f f + f, kun ( ) j j ovt mitllisi 44
5 sointegrlin lskeminen Kätännössä tsointegrli sdn useimmiten lskettu lskemll kksi peräkkäistä määrättä integrli sin liittvä teori esitetään seurvksi ilmn todistuksi Ensin suorkulmion tpus: 9 Luse Olkoon [, b] [c, d] tson R suorkulmio j f : R integroituv Jos f(, )d g() on olemss [, b], d niin c f b g()d b d c f(, )d d Jos b f(, )d h() on olemss [c, d], niin f d h()d d b c c f(, )d d Huomutus (i) Esimerkiksi jtkuv funktio f : R toteutt utomttisesti luseen 9 oletukset Jtkuvlle f pätee siis f b d c f(, )d d d c b f(, )d d Näistä integrleist toinen voi joskus oll helpompi lske kuin toinen (ii) Merkintätpoj: f b d d c b d c b d d f(, ) (sulkuj ei trvit) f(, )dd ( -merkit j d,d smss järjestksessä ) c f(, )d d 45
6 Esimerkki i) [, ] [, ], f(, ) + (?) f ( f:n keskirvo :ssä ) ( :n l) 3 }{{}}{{} erifioidn llä olev rvus kunnon lskull: f / d d( + ) d( + 4 ) / d ( + 4 ) ( + 4 )d ii) [, ] [, π ], f(, ) cos() π ässä d π/ d cos() on hnkl, joten kokeilln toist järjeststä: f π/ d d cos() π/ / d sin() π/ sin d / π/ cos Jos joukko on -projisoituv ti -projisoituv, f voidn plutt iteroiduksi integrliksi pusuorkulmion vull utkimme tätä Määritelmä Olkoot g j g välillä [, b] jtkuvi relifunktioit j olkoon g () g () [, b] Kärien g (), g () j suorien j b rjoittm joukko (3) {(, ) b, g () g ()} on -projisoituv stvsti kärien g (), g () j suorien j b rjoittm joukko {(, ) b, g () g ()} on -projisoituv Sekä että ovt mitllisi 46
7 Kuvt: b g () g () -projisoituv ( vrjostettu) b g () g () -projisoituv ( vrjostettu) (uudet, b, g j g ) Kuvn suorkulmion vull sdn -projisoituvll joukoll kv tsointegrlille: b c d g () g () [, b] [c, d] kuten 3:ss f 3 f 9 b d c f (, )d d [kosk f, kun g () > ti g () < ] b g () g () f(, )d d merk b d g () g () d f(, ) (4) 5 Luse (sointegrlin lskuluse) Olkoon {(, ) b, g () g ()} -projisoituv j f : R jtkuv ällöin f b d g () g () d f(, ) 47
8 Jos on -projisoituv, niin {(, ) c d, h () h ()} f d c d h () h () d f(, ) 6 Esimerkki (i) Lske f, kun {(, ), } j f(, ) + Rtkisu (4, ) 4 on -projisoituv, joten sdn, että f / ii) Lske I Rtkisu d d( + ) [ ] d / d (5 + ) ( 5 ) Leikkuspiste: Siten sijoitus :ään ( ) d + dd, kun {(, ) } } { {(, ), } on -projisoituv j 48
9 f / / d + d ( + / ) d d + / / + d / ( )( + ) + d ( ) 4 ( / ) 4 ( )d 8 / / ( ) iii) Lske f, kun f(, ) j on suorien,, j 3 + reunustm puolisuunniks (kuv ll) Rtkisu ( ) 3 (, ) (6 3, ) Hvitn, että -projisoituvuutt kättäen integrli hjoisi lopuksi kolmeksi plksi lärjfunktion mutkikkuuden vuoksi Kätetään siksi -projisoituvuutt: {(, ), ( )} 3 j f d 3 ( ) d (7 43 ) d / / 3 ( ) d (7 3 )d sointegrlien teoriss määrättjen integrlien sijoituskeino vst muuttujin vihto 49
10 Muuttujin vihto tsointegrliss v g f R u Kun tsointegrliss f(, )dd hlutn suoritt muuttujn vihto kuvuksen g :, g(u, v) ( (u, v), (u, v) ), vull tät korvt (u, v):llä j (u, v):llä j lisäksi on otettv huomioon pintmittojen pikllinen muuntuminen siirrttäessä integroimn joukon li iimeksi minitun tekee g:n Jcobin determinntin (7) D u (u, v) D v (u, v) J g D u (u, v) D v (u, v) J g (D u )(D v ) (D v )(D u ) itseisrvo (ässä D u on derivointi u:n suhteen j D v v:n suhteen) Jos kuvus g : on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio (joko g on injektio j \ g() on nollmittinen ti g on surjektio j ne :n pisteet, joille g vie usemmn kuin hden :n pisteen muodostvt nollmittisen :n osjoukon), smme siis muuttujnvihtokvn f (f g) J g eli (8) f(, )dd f ( (u, v), (u, v) ) J g (u, v) dudv 9 Esimerkki Olkoon suorkulmio, jot rjoittvt suort,, + j + Lske I f, kun f(, ) + 5
11 Rtkisu + + u v g Sijoitetn (, ) g(u, v), { u v + { 5 (u + v) 5 ( u + v), jolloin g(u, v) ( (u, v), (u, v) ) 5 (u + v, u + v) j J g (u, v) j g(), missä [, ] [, ], jok on helpommin käsiteltävä suorkulmio Nt g on (trkk) bijektio j smme f (f g) J g u + v 5v 5 dudv 5 du dv ( u v + ) 5 du / (u ln v + v) 5 (u ln + )du 4 ln + 5 ärkein muuttujin vihto on siirtminen npkoordintteihin (vrt 53): R r ϕ (, ) r ϕ Ṙ π (r, ϕ) g J g r 5
12 Muunnos g(r, ϕ) ( (r, ϕ), (r, ϕ) ) (r cos ϕ, r sin ϕ) kuv (r, ϕ)-tson suorkulmion [, R] [, π] melkein bijektiivisesti kiekolle R ( (, ) ) {(, ) + R } j sen Jcobin determinntti on r: D r J g (r, ϕ) D r D ϕ D ϕ D r (r cos ϕ) D ϕ (r cos ϕ) D r (r sin ϕ) D ϕ (r sin ϕ) cos ϕ sin ϕ r(cos ϕ + sin ϕ) r ( ) Muuttujnvihtokvn (8) nojll sdn nt integroituvlle f : R ( R (, )) kv () f f(r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ r sin ϕ r cos ϕ Esimerkki (i) dd dd + () () r cos ϕ rdrdϕ (tässä [, ] [, π]) 4 dr π π dϕ r 3 cos ϕ cos ϕ + r 3 dr dϕ 4 π π 4 π cos ϕdϕ (ii) Lsketn puolikiekon {(, ) +, } keskiö () dd, dd Nt g : [, ] [, π], g(r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ), on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio (sillä rjt on vlittu oikein, ts npkoordinttimuunnos piirtää :n kertlleen näillä rjoill: + r j ϕ [, π] r sin ϕ ässä on voimss kosk ϕ π) 5
13 Nt () 48 π j ilmeisesti dd (:n keskirvo :ss on ): dd r dr π dϕ r cos ϕ r r dr / π sin ϕ Edelleen dd r dr π dϕ r sin ϕ r r dr / π ( cos ϕ) 3 3 Siis :n keskiö on π (, 3 ) (, 4 3π ) Kuv: ( vrjostettu) (, ) Puolikiekon keskiö (, ) (, 4 3π ) 4 3π 444 Jos kiekon keskipiste on (, ) (eikä siis origo), kätetään muunnost { + r cos ϕ + r sin ϕ (npkoordintit npn (, )) Esimerkki Lske dd kun on (, )-keskinen mprärengs {(, ) ( ) + 4} Rtkisu f(, ) on jtkuv j muunnos g : [, ] [, π], g(r, ϕ) ( + r cos ϕ, r sin ϕ) on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio j J g r 53
14 Kuv ( vrjostettu): (, ) (3, ) r ϕ (, ) litn r j ϕ π, jolloin peitt melkein bijektiivisesti muunnoksell g Siten dd dr π dϕ( + r cos ϕ) r rdr / π (ϕ + r sin ϕ) π rdr π / r 3π vruusintegrlit vruuden R 3 {(,, z),, z R} suorkulmisiss särmiöissä [, b] [c, d] [s, t] {(,, z) b, c d, s z t} määritelln rjoitetun funktion f : R integrli f (f:n keskirvo kerrottun :n tilvuudell) määritellään välien [, b], [c, d] j [s, t] jkojen D, D j D z määrittelemän :n jon D D D D z (ossärmiöihin) vull ivn kuten tsointegrli Sm menetteltp leist mös korkempiulotteisiin R n :n (n 4) särmiöihin Yleinen integroimisjoukko R 3 (ti R n ) käsitellään pusärmiön j f:n nolljtkon f vull ivn kuten tsotpuksess Sivuutmme ksitiskohtiset trkstelut j keskitmme lskutekniikkoihin Smistetn R R 3 kuvuksen (, ) (,, ) välitksellä, ts jtelln R R 3 :n -tsoksi Joukko (3) {(,, z) R 3 (, ) R, mitllinen, c (, ) z c (, )} on -projisoituv, jos c : R j c : R ovt jtkuvi j c c 54
15 Kuv: z z c (, ) z c (, ) -tso R ẋ Jos on -projisoituv kuten llä j f : R on jtkuv, niin c (,) f f(,, z)dz dd c (,) Jos tässä {(, ), b () b ()} on -projisoituv, vruusintegrli f plutuu kolminkertiseksi iteroiduksi integrliksi b () c (,) f f(,, z)dz d d (4) d b () b () b () d c (,) c (,) c (,) dz f(,, z) Kvoiss (3) j (4) projektiosuunnt ovt tilnteen mukn (z- j z-projisoituvt, - j z-projisoituvt jne) vihdettviss Jos esimerkiksi kvn (3) :llä on mös esits {(,, z) R 3 (, z), d (, z) d (, z)}, missä on z-tson z-projisoituv osjoukko {(, z) e z e, g (z) g (z)}, niin kvn (4) integrli sdn mös muodoss f e e dz g (z) g (z) d d (,z) d (,z) d f(,, z) j joskus tämä voi oll helpompi lske kuin (4) ti toisin päin 55
16 5 Esimerkki i) Lsketn f, kun [, ] [, ] [, 3] j f(,, z) + + z rvus: f ( ) ( 3) (:n keskirvo, :n j z:n 3 j :n tilvuus 6) Lsku: f ii) Lsketn kun d d 3 d dz( + + z) d( ) d( ) / d / 3 d / d ( ) (3 + 5) 8 (z + z + z ) f, kun f(,, z) z j {(,, z) z } Nt {(,, z) (, ), z }, {(, ) } {(, ), }, joten on -projisoituv j -projisoituv Siten f z dz dd ( )dd d d( ) 3 ( 3 )d Muuttujnvihto vruusintegrliss sujuu tsointegrlin teorist tuttuun tliin: Jos integrliss f(,, z)dddz hlutn siirtä uusiin muuttujiin u, v, w jtkuvsti ( derivoituvn melkein) bijektiivisen muunnoksen g :, g(u, v, w) (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w) vull, on muistettv ott huomioon tilvuuksien pikllinen muuntuminen ämän tekee g:n Jcobin determinntin D u D v D w ( J g D u D v D w Jg (u, v, w) ) D u z D v z D w z 56
17 itseisrvo J g Smme kvn (6) f (f g) J g f ( (u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w) ) J g (u, v, w) dudvdw ärkeimpiä muuttujnvihtoj ovt siirtmiset pllokoordintteihin ti slinterikoordintteihin Pllokoordintit z (,, z) θ ϕ R ämän pituus r p + + z R 3 :n kuuln {(,, z) + + z R } pisteellä (,, z) on esits ns pllokoordinttien vull: r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, z r cos θ, missä r + + z, pisteen (,, z) etäiss origost ( r R), θ pisteen (,, z) pikkvektorin j positiivisen z-kselin välinen kulm ( θ π), ϕ projektiopisteen (,, ) npkulm -tsoss ( ϕ π) Pllokoordinttimuunnos g : {}}{ [, R] [, π] [, π], g(r, θ, ϕ) (,, z) ( r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ ), 57
18 on suorkulmisen särmiön jtkuvsti derivoituv melkein bijektio :lle Edelleen D r D θ D ϕ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ J g D r D θ D ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ D r z D θ z D ϕ z cos θ r sin θ lske r sin θ ( ) j smme :ss integroituvlle funktiolle f : R muuttujnvihtokvn (7) f (f g) J g eli f(,, z)dddz R π dr dθ π dϕ f(r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ) r sin θ 8 Esimerkki i) Lsketn pllokoordinteill R-säteisen pllon (kuuln) tilvuus vol() vol() R π dr dθ π 3 R3 π 4 3 πr3 dϕ r sin θ R r dr π sin θdθ π dϕ ii) Lsketn puolipllon {(,, z) + + z, z } keskiö vol() dddz, dddz, zdddz (,, z ) Ilmeisesti smmetrisistä, j vol() 3 π kohdn i) nojll Kosk 58
19 puoliplloss on θ π, sdn joten zdddz R dr R 4 (,, z ) π/ dθ π r 3 dr / π/ dϕ r cos θ r sin θ π/ cos(θ) 4 (,, π 4 } cos θ {{ sin θ } sin(θ) dθ π π ) ( 3,, 3 ) π 8 π dϕ ( 4 + ) π 4 4, Slinterikoordintit Jos {(,, z) + R, z b}, kätetään :n pisteiden esittämiseen usein slinterikoordinttej ρ, ϕ, z: Pri (ρ, ϕ) on projektion (, ) (,, ) npkoordinttiesits -tsoss j z z Kuv : ( on kuvn slinteri) z b (,, z) ρ p +, ( ρ R) ϕ π z b ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z z ϕ ρ (,, ) R g : [, R] [, π] [, b], g(ρ, ϕ, z) (,, z) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) on jtkuvsti derivoituv melkein bijektio j cos ϕ ρ sin ϕ J g sin ϕ ρ cos ϕ ρ ( ), 59
20 joten smme slinterikoordinttien muuttujnvihtokvn (9) f (f g) J g eli R f(,, z)dddz dρ π b dϕ dz f(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z) ρ 3 Esimerkki i) Lsketn slinterin [7, 9] tilvuus, kun {(, ) ( ) + ( 3) 4} on (, 3)-keskinen -säteinen kiekko Nt g(ρ, ϕ, z) (,, z) ( + ρ cos ϕ, 3 + ρ sin ϕ, z) on suorkulmisen särmiön [, ] [, π] [7, 9] melkein bijektiivinen jtkuvsti derivoituv surjektio :lle j J g ρ (vkiot j 3 häviävät derivoinneiss) Siten π 9 π 9 vol( ) dρ dϕ dz ρ ρdρ dϕ dz / ρ 7 π 8π kuten pitikin (pohjn l π, korkeus ) ii) Olkoon {(, ) +, } j [, ] Nt sdn slinterikoordinteill rjoin ρ, ϕ π, z bijektiivisesti, joten esimerkiksi π π ( + +z )dddz }{{} ρ ρdρ ρ π / dϕ ( ρ + 7 ) dρ π 3 ( ) 6 dρ ) (ρ z + z3 π 3 3π / π dϕ ρdρ dz(ρ + z ) ρ ( ρ ρ ) 3 ρ ( 4 6 ρ π ) 6 7 6
21 Epäoleelliset tso- j vruusintegrlit Eräissä tpuksiss f voidn määritellä, vikk integroimisjoukko j/ti integroitv funktio f eivät olisi rjoitettuj ämä tehdään sopivill rj-rvotrksteluill, joist ksinkertisimmt liittvät merkin säilttävään funktioon f Keskitmme näihin esittelemällä pri perustpust Merkin säilttävällä f rjnkänneissä voi kättää tietntppisiä testijoukkoj Olkoon ensin R mitllinen (ts ( () ) j rjoitettu, r (, ), \ {r } j f : R jtkuv Jos f on rjoitettu j positiivinen joukoiss ɛ \ (ks 6i) {}}{ ɛ (r ) {(, ) ( ) + ( ) ɛ} (ɛ > ), niin määritellään f:n epäoleellinen tsointegrli (3) f lim ɛ ɛ f R (Ide: ɛ kun ɛ Piirrä kuvio!) edellttäen, että oikenpuoleinen rj-rvo on olemss j relinen ällöin snotn, että f suppenee; muuten se hjntuu 3 Esimerkki Olkoon () {(, ) + } origokeskinen ksikkökiekko utkitn epäoleellisen integrlin f suppenemist, kun f(, ) + (, ) \ {} Nt ɛ \ ɛ () on origokeskinen mprärengs (sisäsäde ɛ, ulkosäde ) j siten ɛ f npk ɛ dr π dϕ r r π ɛ / r π( ɛ) π, kun ɛ, joten epäoleellinen integrli f suppenee kohti luku π: < + dd π + Olkoon sitten f rjoitettu j positiivinen :ss, mutt rjoittmton Jos f on jtkuv j nollmittinen, niin :n rjoitetuiss osiss M M () (ks 6
22 kuv) f on integroituv: Kllin suurill M, M j on olemss määritellään (33) f lim M M f R M f ällöin edellttäen, että oikenpuoleinen rj-rvo on olemss j relinen ässä tpuksess snomme, että epäoleellinen integrli f suppenee; muuten se hjntuu Kuv ( M vrjostettu): f R M M [Reunkärän pint-l on ] 34 Esimerkki Olkoon {(, ) + } j f(, ) + Nt rvoill M >, M {(, ) + M} on origokeskinen mprärengs (sisäsäde, ulkosäde M) j npkoordintteihin siirtmällä sdn M f M dr π dϕ r r π / M Siten f hjntuu (vrt esim 3) r π(m ) M ärkeä erikoistpus suppenevist tsointegrleist ovt tihesfunktiot 35 Määritelmä Funktio f : R R on tihesfunktio, jos f(, ) (, ) R j R f(, )dd 6
23 36 Huomutus Jos stunnisvektorill Z (X, Y ) (X j Y ovt stunnismuuttuji) on tihesfunktion f : R R, niin jokisell tson mitllisell (reunltn nollmittisell) osjoukoll luku P (Z ) f(, )dd on sen tphtumn todennäköiss, että Z (X, Y ) osuu :hn 37 Esimerkki ) Lsketn R e dd Nt f(, ) e (, ) R j (33):n R j M M () on M-säteinen origokeskinen kiekko Siirtmällä npkoordintteihin sdn, että f M M π / M e r dr dϕ e r r π ( ) π e M ( ) π M Kvn (33) nojll on siis (38) f R R e dd π b) Osoitetn edellisen esimerkin integrlin (38) vull, että kuten esimerkissä 63(iii) luvttiin ätä vrten riittää nättää, että e d π R e dd e d j tähän riittää smmetrisistä todist kv M e d M π 4 4 R e dd (integrli li ensimmäisen neljänneksen >, > on neljäsos integrlist li koko tson) 63
24 Kuv Neliötä M mpäröivät neljänneskiekot C M (sisältä) j M (ulko) M M C M M M Merkitään M [, M] [, M] { M (, ) + M,, } j {C M (, ) + M,, }, jolloin neljänneskiekot C M, j M ovt kuten kuvss, C M M M M M Kosk f(, ) e >, on kikill M > f f f C M M M Kohdn ) nojll on C M f M π 4 j M f M π 4, joten kuristusperitteen nojll M f M π 4 Mutt toislt f M M M e e dd M e d M e d M e d Siis kuten pitikin M e d M π 4 64
25 c) -kohdn nojll R e dd π, joten funktio g(, ) π e on eräs tihesfunktio R R: g(, ) j R g(, )dd Epäoleellisi vruusintegrlej j korkempiulotteisi epäoleellisi integrlej määritellään j käsitellään epäoleellisten tsointegrlien esittelssä opitull tvll dmme hteen esimerkkiin: 39 Esimerkki Olkoon {(,, z),, z } j f(,, z) Suppeneeko f? ( + + z) 3 Rtkisu Kosk f(,, z) > (,, z), voidn ljenevin joukkoin kättää kuulien sijn mös esimerkiksi keskenään hdenmuotoisi särmiöitä tutkittess integrlin f suppenemist (vrt esimerkki 36 b) Merkitään C() [, ] [, ] [, ] ( > ), jolloin C() f / d d ( d d dz ( + + z) 3 ( + + ) ( + ) ( ) d ln ( + ) ( + ) ln 3 4 ln 3 4 ln stus: Ei suppene / ln + ( + ) ) ln 3 ( ) 4 d / d / d ( ( + + z) + + ) + (ln + ln + + ln ) 65
II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa II
MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, os II G. Gripenberg Alto-yliopisto 9. helmikuut 16 G. Gripenberg (Alto-yliopisto MS-A7 ifferentili- j integrlilskent (Chem Yhteenveto, 9. helmikuut
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotAnalyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että
Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotPinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotTEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.
Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotSinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
Lisätiedot3 Integraali ja derivaatta
3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,
Lisätiedot7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen
7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
LisätiedotMonikulmion pinta-ala ylioppilaille
Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n
LisätiedotSisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15
Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1
Lisätiedot4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
LisätiedotIntegroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä
Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
Lisätiedot> 1. = lim. ja lisäksi oletetaan, että integraali b
j lisäksi oletetn, että integrli b g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli b f (x)dx hjntuu5. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Lisätiedoti 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +
I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue
LisätiedotViikon aiheet. Pinta-ala
info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
Lisätiedot521. 522. 523. 524. 525. 526. 527. 12. Lisää määrätystä integraalista. 12.1. Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:
12. Lisää määrätystä integrlist 12.1. Integrlin rvioimisest 521. Osoit: 1 + x 2 22 1 < < 1 + x21 21. 522. Osoit: x 3 < 5 x 6 + 8x + 9 < 15 1 5. 523. Osoit: 2 2 < e x2 x < 2e 2. e 524. Olkoon k >. Osoit:
LisätiedotRiemannin integraalista
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin
LisätiedotSarjat ja integraalit
Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa
Luku 5. Integrli Merkitsemme seurvss [, b]:llä lukusuorn suljettu väliä { R : b}. Olkoon f välillä [, b] määritelty funktio. Snomme, että välillä [, b] määritelty funktio g on funktion f integrlifunktio
Lisätiedot2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.
2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotKertausta ja täydennystä
LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
Lisätiedot( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
Lisätiedot5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Hrjoitustehtäviä syksy 4. Millä reliluvun rvoill ) 9 =, b) + +, e) 5?. Kirjoit Σ-merkkiä käyttäen summt 4, ) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + + 4 + + 99, d)
LisätiedotANALYYSIN TEORIA A JA B
ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,
Lisätiedotfunktion voi tarkistaa derivoimalla. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön.
I.6. Sijoitusmenettely A. Integrlifunktiot Integrlifunktiot etsittäessä on sopiv derivoimissääntö luettv tkperin. funktion voi trkist derivoimll. Sijoitusmenettely perustuu ketjusääntöön. Löydetyn 6..
LisätiedotMatematiikan peruskurssi. Seppo Hassi
Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät
LisätiedotBM20A5820 Integraalilaskenta ja sovellukset
BMA58 Integrlilskent j sovellukset Jouni Smpo 6. helmikuut 7 Sisältö Integrointitekniikoit. Osittisintegrointi (Integrtion by prts)....................... Sijoitus (Method of Substitution)..........................
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
LisätiedotTasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
LisätiedotMatemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi
Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
LisätiedotLebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen
Lisätiedot763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedot1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z)
1. Käyrän kierrosluvust Kompleksinlyysin tärkeimpiä tuloksi on pri Cuchyn luse j Cuchyn integrlikv. Näistä jälkimmäinen on seurv (useimmt käsitteet knntt nyt sivuutt; vin kierrosluku on tärkeä): Olkoot
LisätiedotAnalyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto
Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P
Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi C
Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotANALYYSI I, kevät 2009
ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................
Lisätiedot8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella
H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että
LisätiedotGreenin ja Stokesin lauseet
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Grdu -tutkielm Niin Oksmn Greenin j Stokesin luseet Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Toukokuu 212 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö OKSMAN, NIINA: Greenin j Stokesin
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
LisätiedotPertti Koivisto. Analyysi B
Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotRiemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua
Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5
Lisätiedot