R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ).

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 )."

Transkriptio

1 Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin, Lebesguen ensisijisen mielenkiinnon päämääränä oli sd ikn integrli, jok olisi määritelty kikille relikselin kompktill välillä määritellyille rjoitetuille funktioille. 1. Riemnnin integrli. Plutetn mieleen Riemnnin 2 käyttämä määritelmä integrlille: Välin [, b] merkitty jko on äärellinen joukko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}}, missä n Z +, x 0 = < x 1 <... < x n = b j t k [x k 1, x k ] kikille k {1,..., n}. Merkitty jko on siis välin [, b] jko päätepisteitä lukuunottmtt pistevierisiin suljettuihin osväleihin [x k 1, x k ], missä jokinen osväli on merkitty ntmll siltä piste t k. Snotn, että merkitty jko T = {([x k 1, x k ], t k ) k {1,..., n}} on δ-hieno, δ > 0, jos T := mx{x k x k 1 k {1,..., n}} < δ. Rjoitetun funktion f : [, b] R merkittyyn jkoon T liittyvä Riemnnin summ on R(f, T ) := f(t k )(x k x k 1 ). Nyt funktio f on Riemnn-integroituv, jos on olemss I R siten, että jokiselle ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että jokiselle δ-hienolle merkitylle jolle T on voimss R(f, T ) I < ε. Kurssill Anlyysi 2 funktion f Riemnn-integroituvuus määritellään funkioon f liittyvien l- j yläporrsfunktioiden vull. Perinteisempi tp olisi käyttää Drboux n 3 l- j yläsummi, jotk ovt trkoin vlittujen l- j yläporrsfunktioiden integrlit. Olkoon P = {[x k 1, x k ] k {1,..., n}} välin [, b] jko. Asetetn m k := inf{f(x) x [x k 1, x k ]} j M k := sup{f(x) x [x k 1, x k ]} sekä porrsfunktiot g, h: [, b] R, (1) (2) j (3) (4) g(x) = m k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä g(x) = m n, kun x [x n 1, x n ], h(x) = M k, kun x [x k 1, x k ) j 1 k < n, sekä h(x) = M n, kun x [x n 1, x n ]. Näiden porrsfunktioiden integrlit ovt funktion f Drboux n l- j yläsumm, s P := g(x) dx = m k (x k x k 1 ), S P := h(x) dx = M k (x k x k 1 ). 1 Henri Léon Lebesgue ( ); integrli väitöskirjss [11] vuonn Bernhrd Riemnn ( ); integrli Jen-Gston Drboux ( ); integrli

2 Funktion f Drboux n (ti Riemnnin) l- j yläintegrli ovt f(x) dx := l- f(x) dx := sup s P, P P f(x) dx := ylä- 2 f(x) dx := inf P P S P, missä P on välin [, b] kikkien jkojen joukko. Snotn, että funktio f on Drboux-integroituv (kurssill Anlyysi 2 Riemnnintegroituv), jos f(x) dx = f(x) dx. Drboux n l- j yläsummien s P j S P käytöstä kätevän tekee se, että jos jko tihennetään (eli jkopisteitä x j lisätään), niin lsummt ksvvt j yläsummt pienenevät, t.s. jos P P, niin s P s P j S P S P. Jos jkoon P liitetään porrsfunktiot (1) (4) j jkoon P vstvll tvll porrsfunktiot g j h, niin g g j h h. Kurssilt Anlyysi 2 knntt kerrt (ti todist suorn): Luse 1. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Tällöin funktio f on Riemnnintegroituv, jos j vin jos f on Drboux-integroituv. 2. Lebesguen integrli. Lebesguen oivllus integrlin käsitteen prntmiseksi oli käyttää funktion rvokselill (eli y-kselill) tihenevää jko rgumenttikselin (eli x-kselin) jon sijst. Riemnnin j Drboux n käyttämissä summiss on selvästi ongelmi epäjtkuvuspisteiden lähellä: jos funktioll f on epäjtkuvuuspiste välillä [x k 1, x k ], poikkevt tätä osväliä vstvt termit Drboux n ylä- j lsummss toisistn pljon. Jos epäjtkuvuuspiste on pljon, vikutt hyvin mhdolliselt, että Drboux n ylä- j lsummien välinen ero pysyy suuren, joten tällinen funktio ei ole Riemnn-integroituv. Kun jko tehdään y-ksellill tälliselt ongelmlt vältytään (ktso ll olevi esimerkkejä, vrsinkin Dirichlet n funktiot). Välejä [y k, y k+1 ), 0 k < n, vstviin lkukuvjoukkoihin Lebesgue liitti summt E k := f 1 ([y k, y k+1 )) = {x [, b] R y k f(x) < y k+1 } σ Π := y k m(e k ) j Σ Π := y k+1 m(e k ), missä luvut A j B vlitn niin, että A < f(x) < B kikille x [, b], j välit [y k, y k+1 ], 0 k < n muodostvt y-kselin välin [A, B] jon Π. Jott Lebesguen määrittelemät summt σ Π j Σ Π olisivt mielekkäitä, pitää joukoill E k oll hyvin määritelty (pituus-)mitt. Huom, että geometrisesti σ Π (vstvsti Σ Π ) on jon Π j lkukuvjoukkojen E k ntm lrj (vstvsti ylärj) funktion f kuvjn rjoittmn lueen pint-llle (kun f 0). Joukkojen E k määrittelyn sekä lukujen A j B vlinnn nojll joukot E k ovt preittin pistevierit j [, b] = n 1 E k. Lebesgue osoitti väitöskirjssn, että kun f on mitllinen funktio, niin joukot E k ovt mitllisi, j että tällöin jko Π tihennettäessä (eli kun y k+1 y k 0) Lebesguen

3 3 Kuv 1. Funtion y = f(x) kuvj, y-kselin väli y k y < y k+1 sekä sen lkukuvjoukko y k f(x) < y k+1. summt σ Π j Σ Π lähestyvät sm rvo, funktion f Lebesguen integrli yli välin [, b], jot merkitään [,b] f(x) dm(x).4 Itse siss, Lebesguen summill on vstv monotonisuusominisuus suhteess jkojen tihentämiseen kuin Riemnnin summill: kun Π Π, on σ Π σ Π j Σ Π Σ Π. Esimerkki 2. Trkstelln esimerkkinä porrsfunktiot f : [0, 3] R, { 1, kun x [0, 1), j f(x) = 2, kun x [1, 3]. Kun välin [0, 3] jkopisteiksi vlitn x 0 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, j pisteiksi ξ 1 = 1/2 j ξ 2 = 2, sdn Riemnnin summien vull 2 3 S = f(ξ k ) (x k x k 1 ) = = 5 = f(x) dx. Lebesguen integrli määrättäess jko suoritetn funktion rvojoukoss eli y- kselill, ei x-kselill. Tässä tpuksess funktion rvojoukko f([0, 3]) = {1, 2} =: {y 1, y 2 }. Määrätään näiden rvojen lkuvjoukot: f 1 ({y 1 }) = [0, 1) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = [2, 3] =: E 2. Lebesguen integrlille käytetään Lebesguen summi 2 Σ = y k m(e k ) = = 5. Tässä m(e k ) trkoitt joukon E k pituusmitt, mikä välin [, b] tpuksess on välin pituus b. Esimerkki 3. Stndrdi esimerkki ei-riemnn-integroituvst funktiost on ns. Dirichlet n funktio f D : [0, 1] R, jolle { 1, kun x Q [0, 1], j f D (x) = 0, muuten. 0 4 Lebesguen om merkintä oli sm kuin Riemnnin integrlille, f(x) dx.

4 Kun edellistä ide sovelletn Dirichlet n funktioon f D, sdn f D ([0, 1]) = {0, 1} =: {y 1, y 2 } j f 1 ({y 1 }) = [0, 1] \ (Q [0, 1]) =: E 1 j f 1 ({y 2 }) = Q [0, 1] =: E 2. Vstv Lebesguen summ on 2 Σ = y k m(e k ) = 0 m(e 1 ) + 1 m(e 2 ). Joukon E 1 mitst ei trvitse välittää. Joukon E 2 mitksi osoittutuu noll, joten Lebesguen integrliksi sdn f D (x) dm(x) = 0. [0,1] 3. Lebesguen ulkomitt j sisämitt. Jott Lebesguen ide integrlin määräämiseksi stisiin toimivksi, pitäisi kikkien joukkojen kokoelmst void tunnist mitlliset joukot. Tätä vrten Lebesgue määritteli kikille rjoitetuille joukoille E R ulkomitn m (E) j sisämitn m (E). 5 Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Avoimen joukon A R mitn määritteleminen on helppo: Nimittäin, on olemss yksikäsitteisesti määrätyt voimet välit I j, j J N, joiden pisteviers yhdiste A on, A = j J I j. Tällöin m(a) := j J m(i j). Huom, että jos tson R 2 voimille osjoukoille tilnne on hnklmpi; tson voint osjoukko ei välttämättä voi esittää vstvll tvll. Kompktille (epätyhjälle) joukolle K R voidn menetellä seurvsti: Olkoot := inf K j b := sup K. Tällöin, b K, joten [, b] \ K on relikselin voin joukko, j luonnollisen mitn tälle joukolle nt m(k) := (b ) m([, b] \ K). Huom, että tätäkään määrittelytp ei voi yleistää kovin suorviivisesti tson kompkteille osjoukoille. Tämä määritelmä kompktin joukon mitksi on kuitenkin hnkl käyttää. Jos K on toinen kompkti joukko, niin tätä vstvt luvut j b ovt yleensä eri luvut kuin j b. Jos esimerkiksi K K, niin miten edellisen määritelmän perusteell näytetään, että m(k) m(k )? (Avoimille joukoille tämä on helppo. Osoit!) Entä, jos K j K ovt pistevierit, niin miten osoitetn, että m(k K ) = m(k) + m(k )? (Avoimille joukoille tämäkin on helppo, smoin vstv väite numeroituvlle pistevierlle yhdisteelle.) Tärkeä oivllus on osoitt seurv putulos ([15, Kp. III, 2]): kun I R on rjoitettu voin väli siten, että K I, niin m(i \ K) = m(i) m(k). Näin määriteltynä mitll on seurvt jtkuvuusominisuudet (ks. [15, Kp. III, 2, Stz 4] j [15, Kp. III, 2, Stz 5]; todistmist knntt yrittää): 5 Lebesgue ei lähtenyt mitn määrittelyyn ivn tyhjästä. (Mrie Ennemond) Cmille Jordnilt ( ) oli jo peräisin joukon Jordnin sisältö 1892 (joukko on Jordn-joukko, jos sen Jordnin ulkosisältö on sm kuin sen Jordnin sisäsisältö; yhtäpitävästi: joukon reun on nollmittinen). Myös (Félix Édourd Justin) Émile Borel ( ) oli trvinnut ennen Lebesgue iä relikselin Borelin joukoille määriteltyä mitt (1894 j 1898). 4

5 5 Luse 4. Kun A R on rjoitettu j voin, on m(a) = sup{m(k) K on kompkti j K A}. Luse 5. Kun K R on kompkti, on m(k) = inf{m(a) A on vion j K A}. Lebesgue määritteli ulkomitn m (E) j sisämitn m (E) jokiselle rjoitetulle joukolle E R settmll m (E) = inf{m(a) A on voin j A E}, m (E) = sup{m(k) K on kompkti j K E}. Edelleen Lebesgue määritteli joukon E mitlliseksi, jos m (E) = m (E). Mitlliselle joukolle E setetn m(e) = m (E) = m (E), joukon E mitt. Mitt- j integrliteorin kurssill käytetty mitllisuuden määritelmä on peräisin Crthéodoryltä. 6 Crthéodoryn määritelmä mitllisuudelle on osoittutunut hyväksi vrsinkin khdest syystä: Ensinnäkin, siinä mitllisuus määritellään vin ulkomitn vull; ei trvit kht erilist puvälinettä. Toisekseen, se toimii yhtä hyvin btrktin ulkomitn tilnteess. Edellisten luseiden nojll rjoitetulle, voimelle joukoll A R j kompktille joukolle K R on m (A) = m(a) j m (K) = m(k). Kosk trivilisti m (A) = m(a) j m (K) = m(k), ovt relikselin rjoitetut, voimet joukot j kompktit joukot mitllisi. Ulkomitn subdditiivisuus on melko helppo todist (kuten kurssill on tehty): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj, niin m (E) j N m (E j ). j Sisämitlle vstv ominisuus on mutkikkmpi ([15, Kp. III, 3, Stz 6]): kun E j, j N, j E := j N E j ovt rjoitettuj j joukot E j ovt prittin pisteviert (E j E k =, kun j k), niin m (E) j N m (E j ). Edellisestä epäyhtälöprist seur, että jos E j, j N, ovt mitllisi j prittin pistevierit j E := j N E j on rjoitettu, niin E on mitllinen j m(e) = j N m(e j ). Burkillin kirjss [3, Ch. II] mitn ominisuuksiin liittyvät trkstelut ovt huomttvsti suppemmt kuin Ntnsonin kirjss [15, Kp. III], j moness kohdin käsittely on myös puutteellist. Myös Lebesguen lkuperäinen mitn j mitllisuuden käsittely [11, Ch. I] on vrsin kursorinen. Hyvä kirjllisuustutkimuksen ihe olisi selvittää, missä määrin puutteelisi Burkillin j Lebesguen lkuperäinen esitys ovt, j 6 Constntin Crthéodory ( ). Määritelmä (j yhteys Leebesguen lkupeäräiseen mitllisuuteen) löytyy inkin Crthéodoryn 1918 julkistust oppikirjst [4, n 257, Stz 6]. Crthéodoryltä on peräisin myös bstrktin ulkomitn käsite.

6 miksi Ntnsonin kirjss todistukset ovt niin mutkikkit (Burkillin j Ntnsonin kirjt ovt smlt jlt, j 1950-lukujen vihteest). Lebesguen vuonn 1904 julkistut luennot [12] olisi myös hyvä ott vertiluun mukn. Crthéodoryn kirj [4] on selvästi vnhempi, mutt silti modernimpi. Helppolukuinen, vikkkn ei lyhyt lähestyminen Lebesguen mittn Lebesguen lkuperäistä lähestymistp (j siis myös sisämitt, tosin yleisemmässä usempiulotteisess tpuksess) käyttäen löytyy Jonesin kirjst [9, Ch. 2]. 4. Lebesguen l- j yläintegrlit. Oletetn nyt, että f : [, b] R on rjoitettu mitllinen funktio. Olkoot A j B siten, että A < f(x) < B Vlitn y-kselin välille [A, B] jko Π kikille x [, b]. A = y 0 < y 1 < y 2 < < y n 1 < y n = B. Olkoon E k välin [y k, y k+1 ) lkukuv (huom puolivoin väli) E k = {x [, b] y k f(x) < y k+1 }. Funktion f mitllisuuden nojll joukot E k ovt mitllisi. Lisäksi joukot E k ovt preittin pistevierit j [, b] = n 1 E k. Olkoot σ Π j Σ Π jkoon Π liittyvät Lebesguen summt σ Π = y k m(e k ) j Σ Π = y k+1 m(e k ). Lebesguen summt vstvt Drboux n summi, joiss jko kuitenkin tehdään x-kselill. Lebesguen summist on helppo todet seurv Drboux n summille nloginen ominisuus: kun jko Π tihennetään, lsummt σ Π ksvvt j yläsummt Σ Π vähenevät. Tämän totemisess lkukuvjoukkojen mitllisuus j mitn dditiivisuus ovt tärkeitä. Lisäksi lsummien joukko on ylhäältä rjoitettu, yläsummien joukko on lhlt rjoitettu, j kikki lsummt ovt yläsummi pienempiä. Al- j yläsummien erotukselle on Σ Π σ Π = (y k+1 y k ) m(e k ) λ (y k+1 y k ) m(e k ) = λ m([, b]), missä λ := mx{y k+1 y k k = 0, 1,..., n 1}. Tästä seur, että kun jko Π on riittävän tiheä (eli λ on riittävän pieni), erovt Σ Π j σ Π toisistn mielivltisen vähän. Siis sup σ Π = inf Σ Π. Π Π Tämä yhteinen rvo on Lebesguen määritelmän mukn funktion f (Lebesguen) integrli. Tästä päättelystä seur myös, että rjoitettu mitllinen funktio on integroituv. Edellä funktiost f tehty mitllisuusoletus ei Lebesgue-integroituvuudelle ole vin riittävä ehto, se on myös välttämätön. Tämän näkemiseksi määritellään integrli hiemn yleisemmin. Snotn, että mitllisten joukkojen kokoelm D = {E 1,..., E n } on välin [, b] mitllinen jko, jos (i) joukot E k ovt mitllisi; 6

7 (ii) joukot E k ovt preittin pistevierit; j (iii) E 1 E n = [, b]. Olkoon f : [, b] R rjoitettu funktio. Mitlliseen jkoon D liittyen määritellään m k := inf{f(x) x E k } j M k := sup{f(x) x E k }, kun 1 k n. Vstvn tpn kuin Drboux n summt määritellään Lebesguen l- j yläsummt σ D = m k m(e k ) j Σ D = M k m(e k ). Tvnomiseen tpn on osoitettviss, että kun jko D tihennetään, lsummt σ D ksvvt j yläsummt Σ D vähenevät. Lisäksi lsummien joukko on ylhäältä rjoitettu, yläsummien joukko on lhlt rjoitettu, j kikki lsummt ovt yläsummi pienempiä. (Näitä päättelyitä vrten, smoinkuin l- j yläsummien määrittelyn mielekkyyden tki, jon joukkojen E j pitää oll mitllisi; sen sijn trksteltvn funktion f ei trvitse oll mitllinen.) Asetetn (sup j inf yli kikkien välin [, b] mitllisten jkojen D) [,b] f(x) dm(x) = sup σ D D j [,b] f(x) dm(x) = inf D Σ D. Näitä lukuj kutsutn funktion f Lebesguen lintegrliksi j vstvsti yläintegrliksi yli välin [, b]. Näille on siis f(x) dm(x) f(x) dm(x). Jos [,b] [,b] f(x) dm(x) = [,b] [,b] f(x) dm(x), snotn, että f on Lebesgue-integroituv. Integrlien yhteistä rvo kutsutn funktion f Lebesguen integrliksi j merkitään f(x) dm(x). [,b] Hiemn edellä ollutt Lebesguen esitystä mukillen nähdään, että jokinen rjoitettu (Lebesguen mielessä) mitllinen funktio on Lebesgue-integroituv välillä [, b] myös tässä yleisemmäkin mielessä. Myös käänteinen tulos pätee: jos rjoitettu funktio f on Lebesgue-integroituv (tässä yleisemmä mielessä) välillä [, b], niin f on mitllinen (Lebesguen mielessä). Tämän (iden) selvittämiseksi olkoon D n, n Z +, jono välin [, b] mitllisi jkoj siten, että vstville l- j yläsummille on Σ Dn σ Dn < ε n. Olkoot jkoon D n liittyvät joukot E k = E n,k, luvut m k = m n,k, M k = M n,k sekä g n := m n,k χ En,k j h n := M n,k χ En,k. Tällöin g n j h n ovt mitllisi funktioit, joille g n f h n. Kun jkojono (D n ) n=1 vlitn ksvvksi (miten?), on jono (g n ) n=1 ksvv j (h n ) n=1 vähenevä. Näiden 7

8 jonojen rjfunktiot g j h ovt mitllisi j g f h. Väite seur, kun osoitetn, että g = h melkein kikkill. Mutt, jos F j := {x [, b] h(x) g(x) > 1/j}, on {x [, b] h(x) g(x)} = F j. Toislt ε n > Σ D n σ Dn = (M n,k m n,k ) m(e n,k ) (M n,k m n,k ) m(e n,k F n ) 1 n j=1 m(e n,k F n ) = 1 n m(f n). Tästä seur, että m(f n ) = 0, joten myös yhdiste on nollmittinen. Tässä lyhyessä trksteluss ei ole kiinnitetty huomiot siihen, onko Lebesguen l- j yläsummien vull määritelty integrli sm kuin Lebesguen lkuperäinen integrli. Trkoitus on vlott erilisi tpoj määritellä integrli. 5. Integrlej moneen lähtöön. Lebesguen lkuperäistä, ulko- j sisämittn perustuv esitystp noudttvt Lebesguen [11] j [12] lisäksi [3] (käsittely kursorist), [15] (käsittely trkk) j uudempn [9] (myös n-ulotteinen tpus). Frigyes Riesziltä [16] on peräisin menetelmä, joss lähdetään liikkeelle tutuist porrsfunktioist, j lähes välittömästi päästään Lebesguen integrliin. Rieszin om oppikirjesitys löytyy kirjst [17]. Uudempi esityksiä ovt [1], [19] (*****) j [20]. Vstv esitystp hiemn yleisemmältä knnlt ktsottun (ns. Dniellin integrli 7 ) löytyy kirjst [18]. Mitt- j integrliteorin kurssin [10] kltinen, Constntin Crthéodoryltä peräisin olev ulkomittn j yleiseen mittn perustuv esitys löytyy esimerkiksi kirjoist [4], [2] j [8] ( Hence we hve presented very generl nd complete versions of number of importnt theorems nd constructions. ). Niin snottuun Rieszin esitysluseeseen perustuv esitystp liitettään joskus Nicols Bourbkiin; vrt. [6] ti[8]. Usein nsio ensimmäisestä todistuksest jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle nnetn Cuchylle 8, mutt Cuchyll ei ollut vielä käytössään tulost, että suljetull välillä jtkuv funktio on tsisesti jtkuv. Cuchyn todistus kuitenkin perustui funktion tsiseen jtkuvuuteen. Tämän tärkeän tuloksen todisti 9 vuonn Drboux n 10 esitys jtkuvn funktion Riemnn-integroituvuudelle lienee ensimmäinen kunnollinen todistus väitteelle vuodelt Riemnnin integrli yksinkertisempi käsite, Dieudonnélt 11 peräisin olev Cuchyn integrli liittyy nimenomn tsisuuteeen. Säännelty funktio 12 on tsisesti suppenevn porrsfunktiojonon rjfunktio. Yhtäpitävästi f : [, b] R on säännelty, 7 Percy J. Dniell ( ): A generl form of integrl (Ann. of Mth, 19, 279), Augustin-Louis Cuchy ( ); integrli (Heinrich) Edurd Heine ( ). 10 Jen-Gston Drboux ( ). 11 Jen (Alexndre Eugène) Dieudonné ( ). 12 Rnsk. fonction réglée, engl. regulted function. 8

9 jos j vin jos funktioll f on enintään numeroituvsti ääretön määrä epäjtkuvuuskohti, jokisess pisteessä x (, b] funktioll f on vsemmnpuoleinen rj-rvo j jokisess pisteessä x [, b) funktioll f on oikenpuoleinen rj-rvo. Tätä Cuchyn integrli käytetään kirjss [5]; vrt. [14]. Viitteet [1] Tom M. Apostol, Mthemticl Anlysis, 2nd edition, 5th printing, Addison Wesley, [2] Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner j Brin S. Thomson, Rel Anlysis, second edition, ClssiclRelAnlysis.com, [3] J. C. Burkill, The Lebesgue Integrl, Cmbridge trcts in mthemtics nd physics No. 40, First pperbck edition, Cmbridge University Press, 2004; lunperin julkistu [4] Constntin Crthéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, kolms (korjttu) litos, Chelse Publishing, 1968; lunperin Leipzig, [5] Jen Dieudonné, Foundtions of Modern Anlysis, Third (enlrged nd corrected) printing, Acdemic Press, 1969; lunperin Fondements de l Anlyse Moderne, Guthier Villrs, [6] Jen Dieudonné, Tretise on Anlysis II, Acdemic Press, 1970 (lunperin Elements d nlyse. Tome 2, Guthier-Villrs, 1969). [7] Thoms Hwkins, Lebesgue s Theory of Integrtion. Its Origin nd Development, 2nd edition, AMS Chelse Publishing, 1975 (reprinted 2002). [8] Edwin Hewitt j Krl Stromberg, Rel nd Abstrct Anlysis. A Modern Tretment of the Theory of Functions of Rel Vrible, Third printing, Grdute Texts in Mthemtics 25, Springer-Verlg, [9] Frnk Jones, Lebesgue integrtion on Eucliden spces, revised edition, Jones nd Brtett Publishers, [10] Tero Kilpeläinen, Mitt- j integrliteori , pdf-dokumentti osoitteess terok/opetus/mitt/ (luettu kesäkuuss 2007). [11] H. Lebesgue, Intégrle, Longueur, Aire, Annli di Mtemtic, (3) 7 (1902), [12] H. Lebesgue, Leçons sur l intégrtion et l recherche des fonctions primitives, Guthier-Villrs, [13] H. Lebesgue, Sur l recherche des fonctions primitives pr l intégrtion, R. Acc. Lincei Rend., (5), 16 1 (1907), [14] J. Lelong-Ferrnd, J. M. Arnudiès, Cours de mthémtiques. Tome 2. Anlyse, 4 e édition, Dunod, [15] I. P. Ntnson, Theorie der Funktionen Einer Reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überrbeitete Auflge, Akdemie-Verlg, 1961; Theory of Functions of Rel Vrible, Volume I, New York, Rederick Ungr, 1955; Volume II, 1960; lunperin venäjänkielisenä 1949 (1. litos) j 1956 (2. litos). [16] Frigyes Riesz, Sur l intégrle de Lebesgue, Act Mth. 42:3, (1919), [17] Frigyes Riesz nd Bél Sz.-Ngy, Functionl Anlysis, Dover Publictions, Inc, 1990; lunperin Leçons d nlyse fonctionelle, Acdémii Kidó, 1952; 2 e ed. 1953; engl. käännös Functionl Anlysis, Frederick Ungr Publishing Co., [18] G. E. Shilov nd B. L. Gurevich, Integrl, Mesure & Derivtive: A unified pproch, Dover Publictions, Inc, 1977; lunperin Prentice-Hll, Inc., [19] Krl Stromberg, An Introduction to Clssicl Rel Anlysis, Wdsworth Interntionl Mthemtics Series, [20] Aln J. Weir, Lebesgue integrtion nd mesure, London,

Luku I on funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] ja sitä merkitään b

Luku I on funktion f Riemannin integraali välillä [a, b] ja sitä merkitään b 1. Lebesguen tp määritellä mitt j integrli Lebesguen 1 itsensä lunperin käyttämä määritelmä mitlle j ennenkikke mitllisuuden käsitteelle poikke jonkinverrn nykyisin tvnomisest määrittelytvst. Ensinnäkin,

Lisätiedot

Kertausta ja täydennystä

Kertausta ja täydennystä LUKU 1 Kertust j täydennystä 1.1. Merkintöjä N = {k Z k 0} = {0, 1, 2,... }, luonnollisten lukujen joukko. Z + = {k Z k > 0} = {1, 2,... }, positiivisten kokonislukujen joukko. (, b) on relikselin voin

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

Riemannin integraali

Riemannin integraali LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali

5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.

Käydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja. DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen

Lisätiedot

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia.

2 Riemann-integraali. 2.1 Porrasfunktion integraali. Aloitetaan integraalin täsmällinen määrittely tutkimalla porrasfunktion integraalia. 2 Riemnn-integrli 2.1 Porrsfunktion integrli Aloitetn integrlin täsmällinen määrittely tutkimll porrsfunktion integrli. Määritelmä 2.1 (Porrsfunktion integrli). Olkoon f : [, b] R porrsfunktio j P = {x

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Lebesguen integraali

Lebesguen integraali LUKU 3 Lebesguen integrli Seurvss esitettävä määritelmä Lebesguen integrlille ei ole Lebesguen lkuperäinen. Vuoden 1904 luennoissn [23] hän kuitenkin setti tvoitteeksi, että integrlill olisi ominisuus:

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 +

i 2 n 3 ( (n 1)a (i + 1) 3 = 1 + I. INTEGRAALILASKENTA Arkhimedes (287 22 e.kr.) prbelin segmentin pint-l Newton (642 727) j Leibniz (646 76) keksivät diff.- j int.-lskennn Cuhy (789 857) ε, δ Riemnn (826 866) Riemnnin integrli Lebesgue

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali

4. Reaalifunktioiden määrätty integraali 6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

Integraalilaskenta. Määrätty integraali 9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1 5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

2 Epäoleellinen integraali

2 Epäoleellinen integraali ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Analyysi III S

Analyysi III S Anlyysi III 800624S Sisältö sitietoj 5 Riemnn integroinnin rjt 6 Luku 1. Mittteori 7 1. Algebr j σ-lgebr 7 2. Mitt 8 3. Ulkomitt j mitlliset joukot 11 4. Ulkomitn konstruointi 14 5. Lebesguen ulkomitt

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit

Newtonin, Riemannin ja Henstock-Kurzweilin integraalit TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Annik Heinonen Newtonin, Riemnnin j Henstock-Kurzweilin integrlit Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Helmikuu 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Newtonin integrli 2 2.1

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 3. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mt-.4 Mtemtiikn peruskurssi P 3. välikokeen lueen teoritiivistelmä 27 Mterili: kirjt [Adms] R. A. Adms: Clculus, complete course (6th edition), [Ly] D. C. Ly: Liner lgebr nd its pplictions

Lisätiedot

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on

1.1. Joukon Jordanin sisältö. Reaaliakselin kompaktin välin [t 0, t m ] jako on 1. Jordan-joukot Yksinkertaisuuden (ja havainnollisuuden vuoksi) seuraavassa tarkastellaan vain tason osajoukkoja, vaikka päättelyt voitaisiin helposti siirtää yleiseen n-ulotteiseen euklidiseen avaruuteen

Lisätiedot

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Pinta-alan laskeminen

Pinta-alan laskeminen Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin

Lisätiedot

Viikon aiheet. Pinta-ala

Viikon aiheet. Pinta-ala info Viikon iheet Mpu I:sen voit suoritt: Kurssin loppukokeess 23.10. Arvosn: koe + lskrit Mikäli yo. ik ei sovi, voit suoritt loppukokeen yleistenttitilisuudess 24.11. Arvosn: koe + lskrit. Ilmoittudu

Lisätiedot

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä

Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

Analyyttinen lukuteoria

Analyyttinen lukuteoria Anlyyttinen lukuteori Johdnto Kuten yltä näkyy, tämän luentomonisteen kttm luentosrj on nimeltään Anlyyttinen lukuteori, vikkkin opintorekisteribyrokrttisist syistä opintojkso knt nimeä Lukuteori 3. Näin

Lisätiedot

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua

Riemann-integraalin ja mittaintegraalin vertailua Riemnn-integrlin j mittintegrlin vertilu Pro grdu -tutkielm Pii Tskinen Mtemttisten tieteiden litos Oulun yliopisto Kevät 216 Sisältö Johdnto 3 1 Esitietoj 5 1.1 Välijost............................. 5

Lisätiedot

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto

Analyysi B. Derivaatta ja integraali. Pertti Koivisto Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7 Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist,

Lisätiedot

Pertti Koivisto. Analyysi B

Pertti Koivisto. Analyysi B Pertti Koivisto Anlyysi B TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 TAMPERE 8 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 67/8 JOULUKUU 8 Pertti Koivisto Anlyysi

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z)

1. Käyrän kierrosluvusta Kompleksianalyysin tärkeimpiä tuloksia on pari Cauchyn lause ja Cauchyn integraalikaava. f(z) 1. Käyrän kierrosluvust Kompleksinlyysin tärkeimpiä tuloksi on pri Cuchyn luse j Cuchyn integrlikv. Näistä jälkimmäinen on seurv (useimmt käsitteet knntt nyt sivuutt; vin kierrosluku on tärkeä): Olkoot

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdtus relifunktioihin 802161P, 5op Os 3 Pekk Slmi 19. lokkuut 2015 Pekk Slmi FUNK 19. lokkuut 2015 1 / 48 Integrlit 1 Määrätty integrli = oike integrli: esim. 1 0 x 2 dx = reliluku 2 Määräämätön integrli

Lisätiedot

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä

Integroimistehtävät, 10. syyskuuta 2005, sivu 1 / 29. Perustehtäviä. Tehtävä 1. Osoita, että vakiofunktio f(x) c on Riemann-integroituva välillä Integroimistehtävät,. syyskuut 5, sivu / 9 Perustehtäviä Tehtävä. Osoit, että vkiofunktio f(x) c on Riemnn-integroituv välillä [, b] j lske suorn määritelmän perusteell b f(x). Tehtävä. Osoit, että funktio,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentili- j integrlilskent 1 Riikk Korte (Pekk Alestlon klvojen pohjlt) Alto-yliopisto 22.11.2016 Sisältö Pint-l Integrli 1.1 Pint-l: Suorkulmio Seurvss trkstelln umpinisten tsokäyrien rjmi

Lisätiedot

ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Pertti Koivisto. Analyysi C

Pertti Koivisto. Analyysi C Pertti Koivisto Anlyysi C TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 TAMPERE 28 TAMPEREEN YLIOPISTO INFORMAATIOTIETEIDEN YKSIKÖN RAPORTTEJA 68/28 JOULUKUU 28 Pertti Koivisto Anlyysi

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunt/Ossto Fkultet/Sektion Fculty Litos Institution Deprtment Mtemttis-luonnontieteellinen Tekijä Förfttre Author Antti Khri Työn

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Sarjojen tasainen suppeneminen

Sarjojen tasainen suppeneminen Srjojen tsinen suppeneminen Pro grdu -tutkielm Krist Mikkonen 165274 Itä-Suomen yliopisto Fysiikn j mtemtiikn litos 19. mrrskuut 2013 Sisältö 1 Johdnto 1 2 Lukujonoist j srjoist 2 2.1 Lukujoukoist...........................

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 2. Tero Kilpeläinen ANALYYSI Tero Kilpeläinen 3 Teksti sisältää muistiinpnoj vuosin j 3 pidetystä kurssist. Tämän pketin trkoitus on tuke omien muistiinpnojen teko, ei korvt niitä. Mtemtiikk oppii prhiten itse kirjoitten

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1

r 1 Kuva 1. Cantorin joukon ensimmäiset sukupolvet. Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä s=1 Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 5 4. Yleistetty Cantorin joukko 6 5. Vito Volterran esimerkki 7 6. Analyysin peruslauseesta 9 Kirjallisuutta. Cantorin

Lisätiedot

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1 Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon

Lisätiedot

1 Supremum ja infimum

1 Supremum ja infimum Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,

Lisätiedot

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta Jennika Ojalehto Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 Tiivistelmä: Jennika Ojalehto, Jordanin sisältö ja

Lisätiedot

Numeerinen integrointi.

Numeerinen integrointi. Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

4 Pinta-alasovelluksia

4 Pinta-alasovelluksia Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille

Monikulmion pinta-ala ylioppilaille Solmu 3/9 Monikulmion pint-l lioppilille Mik Koskenoj Mtemtiikn j tilstotieteen litos Helsingin liopisto Tehtävä. Kuusikulmion M kärjet ovt tson pisteissä (, ), (3, ), (, ), (4, 3), (, ) j (, ). Lske M:n

Lisätiedot

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15

Sisältö. Funktiojonot ja -sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 15 Funktiojonot j -srjt 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 15 Sisältö 1 Funktiojonoist 2 2 Funktiosrjoist 5 3 Funktiojonojen j -srjojen derivointi j integrointi 7 4 Potenssisrjt 9 5 Tylorin polynomit j srjt 12 5.1

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen

Lisätiedot

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät

2. Useamman muuttujan funktioiden integraalilaskentaa. käsitteet kuten esimerkiksi useamman muuttujan funktioiden jatkuvuus jäävät Usemmn muuttujn funktioiden integrlilskent Sekä jnkättösistä että pedgogisist sistä otn usemmn muuttujn integrlilskennn heti hden muuttujn integrlilskennn jtkoksi Eräät trvittvt käsitteet kuten esimerkiksi

Lisätiedot