AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA"

Transkriptio

1 AUTOMAATTIEN SYNKRONISAATIOSTA John Kopr Pro grdu -tutkielm Huhtikuu 015 MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS TURUN YLIOPISTO

2 TURUN YLIOPISTO Mtemtiikn j tilstotieteen litos KOPRA, JOHAN: Automttien synkronistiost Pro grdu -tutkielm, 46 s. Mtemtiikk Huhtikuu 015 Tässä tutkielmss trkstelln eräitä synkronisoituviin utomtteihin liittyviä ongelmi. Pääpino on Černýn konjektuuriss j tienväritysongelmss, joiden lisäksi käsitellään myös hyridikonjektuuri. Černýn konjektuuri on otksum, jonk mukn jokinen synkronisoituv n-tilinen utomtti voidn synkronisoid enintään pituutt (n 1) olevll snll. Ongelm on ollut voin 1970-luvult sti, mutt useit ostuloksi on todistettu. Tutkielmss esitetään niistä tärkeimmät. Tienväritysongelm koskee sitä, millisist suunntuist grfeist voidn muodost synkronisoituvi utomttej. Vuonn 009 todistetun tienväritysluseen mukn synkronisoituvi utomttej voidn muodost ns. primitiivisistä grfeist. Tutkielmss esitetään tienväritysluseen todistus. Hyridikonjektuuri on vuonn 010 esitetty otksum, joss on yhdistetty elementtejä Černýn konjektuurist j tienväritysluseest. Hyridikonjektuurin mukn jokisest n solmu sisältävästä primitiivisestä grfist voidn muodost synkronisoituv utomtti, jonk lyhimmän synkronisoivn snn pituus on enintään n 3n + 3. Tutkielmss esitetään tunnettuj ostuloksi sekä johdetn uusi lrj Eulerin grfeille. Asisnt: utomttien teori, synkronisoituvt utomtit, Černýn konjektuuri, tienväritysongelm, hyridikonjektuuri, Perronin-Froeniuksen luse.

3 Sisältö 1 Johdnto 1 Peruskäsitteitä 3 3 Linerilger 6 4 Černýn konjektuuri Ylärj-rvio lukujonolle C(n) Sykliset utomtit Vhvsti yhtenäiset utomtit L-yhtenäiset utomtit Tienväritysongelm 9 6 Hyridikonjektuuri Eulerin grfit Hmiltonin polut Lähteet 45

4 1 Johdnto Automttien teoriss tutkimuksen kohteen ovt systeemit, joille nnetn komentoj (esimerkiksi kukosäätimellä), j jotk muuttvt tilns smiens komentojen perusteell. Tilll voidn trkoitt konkreettist sijinti (esimerkiksi teollisuusrootti voi sijit kukosäätimen välityksellä nnetuist komennoist riippuen eri kohdiss tuotntolinjn vrrell) ti jotkin strkti til (esimerkiksi tietokoneen virtpiireissä voi tphtu jännitemuutoksi näppäimistöllä kirjoittmisen seuruksen). Tärkeän utomttien luokn muodostvt synkronisoituvt utomtit, joiden tutkimus on lknut vuonn 1964 Černýn rtikkelist [4]. Krkesti snottun synkronisoituvll utomtill trkoitetn systeemiä, jok voidn jollkin toimintosrjll "synkronisoid", eli stt hluttuun tiln riippumtt siitä, mikä systeemin til on loitettess. Hvinnollistetn tätä esimerkillä, jonk ide on kirjn [15] luvust 4.4. Trkstelln roottipölynimuri, jonk trkoituksen on siivot huone, jonk pohjpiirustus on kuvss 1. Huone on jettu ruutuihin j jokinen imurille nnettv komento (oike, vsen, ylös, ls) siirtää imuri yhden ruudun verrn vstvn suuntn. Jos komennon määrämässä suunnss on seinä, niin imuri yrittää liikku seinää päin eikä sen olinpikk siis muutu. Oletetn nyt, että imurill ei ole sensoreit j että se on ennen käynnistämistä päätynyt stunniseen pikkn. (Sensoreiden lisääminen ksvtt imurin vlmistuskustnnuksi, joten niiden puuttuminen on relistinen oletus.) Imurin on hyödyllistä oll selvillä omst sijinnistn. Sijinnin selvittämiseksi ohjelmoidn imuri etukäteen suorittmn käynnistyksen yhteydessä toimintosrj ls-oike-ylös-oike, jok siirtää imurin ruutuun 5 riippumtt siitä, mistä ruudust se loitt. Esimerkissä imuri s vrmn tiedon sijinnistn neljästä komennost koostuvn toimintosrjn seuruksen. Tutkielmn luvuss 4 trkstelln Kuv 1: Huoneen pohjpiirustus. 1

5 Kuv : Silmukk ennen j jälkeen mluksen. Yhtenäinen nuoli trkoitt must väriä, ktkoninen nuoli vlkoist. sitä, kuink pitkiä lyhimmät synkronisoivt toimintosrjt voivt oll sellisiss systeemeissä, joiss niitä ylipäätään on olemss. Jtketn imuriesimerkkiä j trkstelln tilnnett kuvn viiden käytävän muodostmss silmukss. Jos mhdolliset komennot ovt "myötäpäivään"j "vstpäivään", niin on selvää, että synkronisoiv toimintosrj ei voi oll olemss. Oletetn siis, että tällä kert imurill onkin yksinkertinen sensori, joll se pystyy erottmn kksi väriä toisistn, esim. mustn j vlkoisen. Mltn sitten kustkin käytävästä nuolet viereisiin käytäviin (yksi myötäpäivään j yksi vstpäivään), toinen mustll j toinen vlkoisell värillä. Jos nyt imurille nnettvt komennot ovtkin muoto "seur vlkoist nuolt"j "seur must nuolt"(lyhennetään v j m), niin nuolet voidn mhdollisesti mlt niin, että synkronisoiv toimintosrj on olemss. Kuvss on esitetty tällinen mlus; toimintosrjn mmvv jälkeen imuri on yläoikell olevss käytävässä riippumtt siitä, mistä käytävästä se loitt. Tutkielmn luvuss 5 tutkitn sitä, millä edellytyksillä voidn nuoli mlmll muodost sellinen systeemi, että siinä on olemss synkronisoivi toimintosrjoj. Kiinnostv on myös se, kuink lyhyeksi lyhin mhdollinen synkronisoiv toimintosrj voidn sd kun nuolet on mlttu optimlisesti; tätä käsitellään luvuss 6.

6 Peruskäsitteitä Määritellään tässä luvuss utomttien teorin peruskäsitteitä. Määritelmä.1. Luonnollisten lukujen joukko N = {1,, 3,... }. Määritelmä.. Äärellistä epätyhjää joukko Σ kutsutn kkostoksi. Sen lkioit kutsutn merkeiksi ti kirjimiksi. Jos Σ on jokin kkosto, niin sen kirjimist muodostettujen äärellisten merkkijonojen eli snojen joukko merkitään symolill Σ. Joukko Σ voidn tulkit monoidiksi, jonk kertolskun on khden merkkijonon kirjoittminen yhteen. Identiteettilkion on ns. tyhjä sn, jot merkitään ǫ. Snn w merkkien lukumäärää merkitään w. Esimerkki.3. Jos Σ = {, }, niin joukon Σ snoj ovt esim., j niiden tulo ()() =. Snss w = on viisi merkkiä, eli w = 5. Johdnnoss käytettiin epämuodollist käsitettä "systeemi"j nnettiin hvinnollistvi esimerkkejä systeemeistä. Esitetään seurvksi tämän käsitteen formli vstine. Määritelmä.4. Automtiksi kutsutn 3-tupl A = (Q, Σ, ), missä Q on äärellinen epätyhjä joukko, jonk lkioit kutsutn tiloiksi, Σ on kkosto j on kuvus Q Σ Q (lkion (q, ) Q Σ kuv merkitään q ). Esimerkki.5. Muodostetn utomtti A = (Q, Σ, ), jok vst ensimmäistä johdnnoss esitettyä systeemiä. Tiljoukko Q = {1,, 3, 4, 5} vst niitä ruutuj, joiss imuri voi oll j kkosto Σ = {o, v, y, } vst komentoj "oike", "vsen", "ylös"j "ls". Määritellään kuvus niin, että q = s jos sovellettess komento imurin olless ruuduss q imuri siirtyy ruutuun s, esim. o = 3. Automtti voidn esittää suunnttun grfin, jonk solmuj ovt joukon Q lkiot j joss on kirjimell merkitty nuoli solmust q solmuun q kikill q Q j Σ. Esimerkki.6. Kuvss 3 on utomtin A = (Q, Σ, ) grfiesitys, missä Q = {1,, 3, 4}, Σ = {, } j { { 1 kun q = 4 1 kun q = 4 q = j q =. q muulloin q + 1 muulloin 3

7 4, 1 3 Kuv 3: Erään utomtin grfiesitys. Solmust 4 solmuun 1 menee itse siss kksi nuolt, mutt kuvn yksinkertistmiseksi nämä on korvttu yhdellä nuolell, jok on merkitty khdell eri kirjimell. Opertio voidn induktiivisesti jtk kuvukseksi ˆ : Q Σ Q, missä qˆ ǫ = q kikill q Q j qˆ w = (q )ˆ w kikill q Q, Σ j w Σ. Jtkoss näistä molemmist opertioist käytetään merkintää. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Jos S Q j w Σ, niin merkitään S w = {s w s S} j S w 1 = {q Q q w S}. Jos S w = {q}, niin voidn merkitä myös S w = q. Määritelmä.7. Automtti A = (Q, Σ, ) snotn synkronisoituvksi, jos on olemss sellinen sn w Σ, että Q w = 1. Tällinen sn w synkronisoi utomtin. Joukko S Q snotn synkronisoituvksi, jos on olemss sn w, joll S w = 1. (Erityisesti ei ole synkronisoituv.) Esimerkki.8. Kuvn 3 utomtti on synkronisoituv, sillä esim. sn synkronisoi sen. Synkronisoivi snoj etsittäessä seurvnlinen konstruktio on joskus hyödyllinen. Määritelmä.9. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Sen potenssijoukkoutomtti on P(A) = ( Q, Σ, ), missä Q on joukon Q epätyhjien osjoukkojen joukko j kikill S Q, Σ on S = S. 4

8 , Kuv 4: Potenssijoukkoutomtti. Potenssijoukkoutomtin ide on, että se seur kerrll koko joukon S Q muutost snn w vikutuksest. Erityisesti utomtiss P(A) on kirjimill 1,..., k merkitty polku tilst Q johonkin tiln S, joss S = 1, trklleen silloin kun w = 1... k synkronisoi utomtin A. Esimerkki.10. Kuvss 4 on kuvn 3 utomtin potenssijoukkoutomtti. Sen vull synkronisoivien snojen löytäminen on helppo. Näiden joukoss on myös edellisessä esimerkissä minittu. 5

9 3 Linerilger Esitetään Perronin-Froeniuksen luseen todistus kirjn [14] luvust yhdeksän. Määritelmä 3.1. Jos A = ( ij ) on relinen mtriisi, joss kikill i j j on ij > 0 (vst. ij 0), niin mtriisi kutsutn positiiviseksi (vst. epänegtiiviseksi), merk. A > 0 (vst. A 0). Käytetään jtkoss merkintää A > B (vst. A B) trkoittmn sitä, että A B > 0 (vst. A B 0). Määritelmä 3.. Jos A = ( ij ) on epänegtiivinen neliömtriisi j jokist pri (i, j) kohti on olemss sellinen luku k N, että mtriisin A k koordintiss (i, j) olev lkio on noll suurempi, niin mtriisi A kutsutn redusoitumttomksi. Lemm 3.3. Jos A on redusoitumton, niin on olemss sellinen luku k N, että (I + A) k > 0. Todistus. Vlitn kutkin mtriisin A koordintti (i, j) kohti luku k ij N niin, että mtriisin A k ij koordintiss (i, j) olev lkio on noll suurempi. Vlitn lisäksi k = mx k ij. Kertomll (I + A) k uki nähdään, että (I + A) k > 0. (I + A) k = I + ka + ( ) k A + + A k Olkoon A redusoitumton n n-mtriisi j merkitään symolill L kikkien epänegtiivisten nollst poikkevien pystyvektorien joukko. Vektoreille x = (x 1,... x n ) T L, voidn määritellä funktio (Ax) i r(x) = min, 1 i n x i x i 0 missä (Ax) i on vektorin Ax i:s lkio. Määritelmästä seur, että kikill luvuill i on voimss r(x)x i (Ax) i j jollkin i:n rvoll r(x)x i = (Ax) i. Voidn siis sno, että r(x) on suurin sellinen luku ρ, että Ax ρx. Olkoon B = {x = (x 1,... x n ) T L i x i = 1} j B = {(I + A) k x x B}, missä k on edellisen lemmn mukinen kiinnitetty luku. Selvästi B on kompkti joukko, j kosk B on joukon B kuv jtkuvss kuvuksess (I+A) k, myös se on kompkti. Kosk joukonb lkiot ovt kikki positiivisi, 6

10 niin kuvuksen r(x) rjoittum kompktille joukolle B on jtkuv j sillä on siis suurin rvo. Olkoon nyt x B mielivltinen. Tällöin y = (I + A) k x B j r(x)y = r(x)(i + A) k x (I + A) k Ax = A(I + A) k x = Ay. Kosk r(y) on suurin luku ρ, joll ρy Ay, niin r(x) r(y). Siis sup x B r(x) mx y B r(y). Määritellään r = sup r(x). x L Jos α on positiivinen reliluku j x L, niin r(x) = r(αx). Voidn siis kirjoitt r = sup r(x) = sup r(x) mx r(y). x L x B y B Kosk kuitenkin B L, niin mx y B r(y) sup r(x) = r, x L eli r = mx y B r(y). Siis on olemss vektoreit z L, joill r(z) = r ti ekvivlentisti rz Az. Kikki tällisi vektoreit kutsutn mtriisin A äärivektoreiksi. Lemm 3.4. Olkoon A redusoitumton mtriisi. Siihen liittyvä edellä määritelty luku r on sen positiivinen ominisrvo. Lisäksi kikki mtriisin A äärivektorit ovt positiivisi ominisvektoreit, jotk kuuluvt ominisrvoon r. Todistus. Mikään mtriisin A = ( ij ) vkrivi ei muodostu pelkästään nollist, kosk nollrivi pysyisi nollrivinä myös mtriisiss A l kikill l N vstoin redusoitumttomuuden määritelmää. Siis jos u = (1,..., 1) T, niin r r(u) = min 1 i n nj=1 ij > 0. Olkoon z äärivektori j x = (I + A) k z, missä k on kuten edellisessä lemmss, siis x > 0. Kosk z on äärivektori, niin Az rz 0, j jos olisi Az rz 0, niin Ax rx = (I + A) k (Az rz) > 0. Tästä seurisi, että r < r(x), mikä olisi vstoin luvun r vlint. Siis Az = rz, joten z on ominisrvoon r kuuluv ominisvektori. Tästä seur, että x = (I + A) k z = (1 + r) k z. Kosk x > 0 j r > 0, niin myös z > 0. 7

11 Luse 3.5 (Perron-Froenius). Jos A on redusoitumton mtriisi, niin sillä on positiivinen ominisrvo r, jonk itseisrvo on vähintään yhtä suuri kuin muill ominisrvoill. Lisäksi on olemss positiivinen vektori, jok virittää ominisrvoon r kuuluvn ominisvruuden. Todistus. Olkoon r kuten edellisessä lemmss. Lemmn mukn r on mtriisin A positiivinen ominisrvo. Olkoon α jokin toinen ominisrvo, eli Ay = αy, missä y 0. Käytetään merkintää x vektorist, jok on stu vektorist x ottmll itseisrvo komponenteittin. Kosk A 0, niin α y = Ay A y. Siis α r( y ) r. Olkoon z jokin ominisrvoon r kuuluv ominisvektori, siis Az = rz j z 0. Todetn kuten edellä, että r z A z. Siis z on äärivektori j edellisen lemmn nojll z > 0 j erityisesti vektorin z ensimmäinen komponentti ei ole 0. Tästä seur, että ominisrvoon r kuuluvn ominisvruuden dimensio on 1, sillä muutoin voitisiin vlit linerisesti riippumttomt ominisrvoon r kuuluvt ominisvektorit z 1 j z j luvut α, β 0 niin, että ominisvektorin αz 1 + βz ensimmäinen komponentti olisi 0. Edellisen lemmn nojll z on positiivinen vektori, jok virittää kyseisen ominisvruuden. 8

12 4 Černýn konjektuuri Jos utomtti A on synkronisoituv, niin on luonnollist kysyä, kuink lyhyt voi oll lyhin mhdollinen sn, jok synkronisoi sen. Artikkeliss [5] esitetty Černýn konjektuuri ott knt tähän kysymykseen. 1 Käytetään jtkoss merkintää S kikkien synkronisoituvien utomttien joukost j merkintää S n kikkien n-tilisten synkronisoituvien utomttien joukost. Määritelmä 4.1. Jos A S, niin käytetään merkintää C(A) utomtin A lyhimmän synkronisoivn snn pituudest. Määritelmä ljennetn kikille T S seurvsti: C(T ) = mx{c(a) A T } (jos olemss). Tpuksess T = S n merkitään C(T ) = C(n). Konjektuuri 4. (Černýn konjektuuri). Kikill n N on C(n) = (n 1). Tiedetään, että C(n) (n 1), sillä lähteessä [4] esitetään jokist luonnollist luku n kohti synkronisoituv utomtti, joll on n til j jonk lyhin synkronisoiv sn on pituudeltn (n 1). Nämä utomtit ovt C n = (Q, Σ, ) (ks. kuv 5), missä Q = {1,,..., n}, Σ = {, } sekä { 1 kun q = n q = q muulloin j q = { 1 kun q = n q + 1 muulloin., 1 n n Kuv 5: Automtti C n. 1 Kirjllisuudess on tyypillisesti esitetty konjektuurin lähteeksi rtikkeli [4], joss kuitenkin vin todistetn Luse 4.5. Artikkeliss [5] konjektuuri minitn ohimennen j todistetn muutmss erikoistpuksess. 9

13 n, c n 1 1 c..., c, c 3 Kuv 6: Automtti W n. Tpuksess n = 1 nimittäin lyhin synkronisoiv sn on ǫ, j kun n > 1, niin voidn todet, että Q ( n 1 ) n = 1, joten C(C n ) (n 1). Osoitetn seurvksi lähteen [] esityksen mukisesti, että utomtill C n ei ole lyhyempää synkronisoiv sn. Aluksi on trksteltv utomtti W n = (Q,, ) (n > 1) (ks. kuv 6), missä Q = {1,,..., n}, = {c, } sekä q c = { kun q {1, n} q + 1 muulloin j q = { 1 kun q = n q + 1 muulloin. Lemm 4.3. Olkoon n j m positiivisi kokonislukuj, joiden suurin yhteinen tekijä on 1. Luku nm n m ei voi kirjoitt muodoss kn + lm, missä k j l ovt epänegtiivisi kokonislukuj. Todistus. Tehdään vstoletus, että nm n m = kn+lm. Jkmll yhtälön molemmt puolet luvull n j uudelleen ryhmittelemällä sdn m 1 k = l+1 m. Kosk tämän yhtälön molemmt puolet ovt kokonislukuj, j n kosk lukujen n j m suurin yhteinen tekijä on 1, niin l+1 on positiivinen n kokonisluku. Siis m 1 k < m l+1 m vstoin oletust. n Luse 4.4. C(W n ) = n 3n + 3. Todistus. Voidn helposti todet, että (c n ) n c on synkronisoiv sn, jonk pituus on n 3n + 3. Vielä on osoitettv, että lyhyempiä synkronisoivi snoj ei ole. Olkoon w lyhin mhdollinen synkronisoiv sn j q = Q w. Jos q, niin tiln q spuu nuoli vin yhdestä tilst, joten w olisi synkronisoiv sn myös ilmn viimeistä kirjintn. Tämä on mhdotont, kosk w on lyhin synkronisoiv sn, joten q =. Kikill u myös uw on sn joll Q uw =. Täten kikill l w utomtin W n grfiss on polku solmust siihen itseensä, jonk pituus 10

14 on l. Jokinen tällinen polku muodostuu silmukoist, joiden pituus on n ti n 1, joten Lemmn 4.3 nojll on w > n(n 1) n (n 1) = n 3n+1. Kosk solmust 1 on pituutt w olev polku solmuun j kosk solmun 1 molemmt nuolet menevät solmuun, niin solmust on pituutt w 1 olev polku siihen itseensä. Lemmn 4.3 nojll w 1 n 3n + 1. Siis w > n 3n +. Luse 4.5. C(C n ) = (n 1). Todistus. Olkoon w lyhin mhdollinen synkronisoiv sn. Kikill S Q on Q = Q, joten w päättyy kirjimeen j voidn kirjoitt w = w, missä Q w = {1, n}. Kosk kikill S Q on S = S j kosk w on lyhin mhdollinen synkronisoiv sn, niin snss w jokist kirjimen esiintymää seur. Siis korvmll snss w kikki snn esiintymät kirjimell c sdn sn v. Vertmll utomttej C n j W n todetn, että q = q c j q = q kikill q Q. Siis Q v = {1, n} j vc on utomtin W n synkronisoiv sn. Edellisen luseen nojll vc n 3n + 3, joten v n 3n +. Kosk kikill S Q on S c S 1, niin snss v on vähintään n kirjimen c esiintymää. Kosk c vst kht merkkiä snss w, niin w v +n n n j w n n+1 = (n 1). Synkronisoituvt utomtit A, joill C(A) = (n 1), ovt hrvinisi; itse siss äärettömän perheen C n lisäksi tällisi tunnetn vin khdeksn erilist. Ne on kuvttu rtikkeliss [18]. 4.1 Ylärj-rvio lukujonolle C(n) Černýn konjektuurin mukn lukujono C(n) on neliöllinen luvun n suhteen, mutt prht todistetut ylärjt tälle lukujonolle ovt kuutiollisi. Esitetään rtikkelin [16] todistus sille, että C(n) n3 n. 6 Olkoon A = (Q, Σ, ) jokin synkronisoituv utomtti, joss Q = n. Muodostetn sen synkronisoiv sn seurvsti. Etsitään lyhin mhdollinen sn w 1, joll Q w 1 < Q. Etsitään sitten lyhin mhdollinen sn w, joll Q w 1 w < Q w 1. Jtketn vstvsti, kunnes on muodostettu sellinen sn w = w 1... w k (k n 1), että Q w = 1. Olennist on sd selville, kuink pitkiä snt w i voivt pisimmillään oll. Olkoon S Q, S = k > 1 j w = 1... l, i Σ lyhin sellinen sn, että S w < S. Merkitään S 1 = S j S i+1 = S i i (1 i < l). Kosk S w < S, niin on olemss tilt x, y S (x y), joill x w = y w. Merkitään T 1 = {x, y} j T i+1 = T i i. Snn w määritelmän nojll S i = k, 11

15 T i = j T i S i kikill i l. Lisäksi in kun 1 i < j l, niin T j S i, kosk muutoin olisi S 1... i 1 j... l < S vstoin snn w vlint. Jtkoss trvitn tunnettu linerilgern lemm, jolle esitetään tässä todistus kirjst [1] (luse 5.9). Lemm 4.6. V (x 1,..., x n ) määr. = 1 x 1 x 1... x n x x... x n 1 = j x i ) x n x n... xn n 1 i<j(x Todistus. Todistetn väite induktioll muuttujien lukumäärän n suhteen. Tpus n = 1 on trivili, joten oletetn että väite on todistettu tpuksess n = k j todistetn se tpuksess n = k + 1. Lisäämällä llolevss determinntiss k:s srke sen oikell puolell olevn srkkeeseen kerrottun luvull x 1, k 1:s srke sen oikell puolell olevn srkkeeseen kerrottun luvull x 1 jne. (tässä järjestyksessä) sdn 1 x 1 x 1... x k 1 1 x x V (x 1,..., x k+1 ) =... x k x k+1 x k+1... x k k x x 1 x (x x 1 )... x k 1 (x x 1 ) = x k+1 x 1 x k+1 (x k+1 x 1 )... xk+1 k 1 (x k+1 x 1 ) Kehitetään tmä determinntti ylimmän vkrivin suhteen, otetn jokiselt vkrivilt i tekijä x i+1 x 1 determinntin ulkopuolelle j sovelletn induktio-oletust. x x 1 x (x x 1 )... x k 1 (x x 1 ) x 3 x 1 x 3 (x 3 x 1 )... x k 1 3 (x 3 x 1 ) x k+1 x 1 x k+1 (x k+1 x 1 )... xk+1 k 1 (x k+1 x 1 ) =V (x,..., x k+1 ) (x j x 1 ) = j x i ). 1<j i<j(x 1

16 Seurv putulos, jok nt ylärjn snn w pituudelle l edellä esitetyssä menetelmässä, on ensimmäisenä todistettu (yleisemmässä tpuksess) rtikkeliss [8]. Lemmlle esitetään rtikkelin [13] todistus seurten lähteen [1] esitystä. Lemm 4.7. Olkoon Q joukko, Q = n j {S 1,..., S l } sekä {T 1,..., T l } joukon Q osjoukkojen kokoelmi, missä S i = k, T i =, T i S i j T j S i in kun 1 i < j l. Silloin l ( ) n k+. Todistus. Rjoituksett voidn olett, että Q = {1,..., n}. Liitetään jokiseen joukon Q k-lkioiseen osjoukkoon S = {s 1,..., s k } relikertoiminen polynomi 1 s 1 s 1... s1 k 3 x s1 x s 1 1 s D(S) = s... s k 3 x s x s s k s k... sk k 3 x sk x s k ) ). Riittää osoitt, että joukon P mieli- Polynomit D(S 1 ),..., D(S l ) ovt linerisesti riippumttomi n:n muuttujn relikertoimisten polynomien muodostmss R-vektorivruudess. Todistetn tämä tekemällä vstoletus, että jokin polynomi D(S j ) voidn esittää polynomien D(S 1 ), D(S ),..., D(S j 1 ) linerikomintion. Tiedetään, että T j = {t 1, t } S j mutt T j S i kun i < j. Sijoituksell x t1 = t 1, x t = t j x t = 0 kun t / {t 1, t } polynomit D(S 1 ),..., D(S j 1 ) (j niiden linerikomintiot) svt rvon noll, sillä vstviss determinnteiss tulee khteen viimeiseen srkkeeseen pelkästään nolli (mhdollisesti yhtä riviä lukuunottmtt). Toislt smll sijoituksell determinntin D(s j ) rvo sdn etumerkkiä ville kertomll khdest viimeisestä srkkeest t stv determinntti 1 t 1 t t jollkin lemmn 4.6 tyyppiä olevll determinntill, joten D(S j ) ei s rvo noll. Tämä on ristiriit. Polynomien D(S 1 ),..., D(S l ) linerisest riippumttomuudest seur, että l ei voi ylittää sen R-vektorivruuden V dimensiot, jonk virittää joukko P = {D(S) S Q, S = k}. Määritellään nyt joukko W = {1,..., k }, muodostetn list, joss on jossin järjestyksessä kikki joukon Q \ W -lkioiset osjoukot j muodostetn joukko P i joukkojen W j listn i:nnen joukon unionin kun 1 i ( ) n k+. Väitetään, että polynomit D(P 1 ),..., D(P ( n k+ ) virittävät vektorivruuden V, eli vruuden dimensio on enintään ( n k+ vltinen lkio D(S) (missä S = {s 1,..., s k }) voidn esittää polynomien 13

17 D(P 1 ),..., D(P ( n k+ ) linerikomintion. Todistetn väite induktioll ) luvun S \ W suhteen. Tpuksess S \ W = on W S, joten jollkin i on S = P i j siis D(S) = D(P i ). Tpuksess S \ W > vlitn jokin lkio s 0 W \ S j määritellään S = S {s 0 }. Määritellään lisäksi polynomi p(x) = c w W \s 0 (x w), missä c R on sellinen luku, että p(s 0 ) = 1, j trkstelln determinntti p(s 0 ) 1 s 0 s 0... s0 k 3 x s0 x s 0 p(s = 1 ) 1 s 1 s 1... s1 k 3 x s1 x s p(s k ) 1 s k s k... sk k 3 x sk x s k Polynomi p(x) on stett k 3, joten determinntin ensimmäinen pystyrivi voidn ilmist muiden pystyrivien linerikomintion j siis = 0. Kehittämällä ensimmäisen pystyrivin suhteen sdn yhtälö k ( 1) i p(s i )D(S \ {s i }) = 0. i=0 Siirretään termi p(s 0 )D(S \ {s 0 }) yhtälön toiselle puolelle. Kosk p(s 0 ) = 1 j S \ {s 0 } = S, niin sdn k D(S) = ( 1) i+1 p(s i )D(S \ {s i }). i=1 Kosk p(s i ) = 0 kun s i W \ {s 0 }, niin induktioskeleen todistmiseksi riittää osoitt, että D(S \ {s i }) voidn esittää polynomien D(P 1 ),..., D(P ( n k+ ) ) linerikomintion, kun s i / W. Tämän osoittmiseen voidn käyttää induktio-oletust, sillä kun s i / W, niin (S \ {s i }) \ W = (S \ W) \ {s i } = (S \ W) \ {s i } = S \ W 1. Luse 4.8. C(n) n3 n 6. Todistus. Kun rkennetn n-tilisen utomtin synkronisoiv sn edellä esitetyllä menetelmällä, niin edellisen lemmn mukn sen pituus on enintään ( ) n n k + n = k= i= ( ) i. Induktioll on helppo todist, että tämän summn rvo on n3 n 6. Tpus n = 1 on nimittäin trivili, j jos oletetn, että yhtäsuuruus on voimss 14

18 kun n = k 1, niin k i= ( ) i = k 1 i= ( ) i + = k3 3k + k 6 ( ) k = (k 1)3 (k 1) k(k 1) k 3k 6 = k3 k Sykliset utomtit Černýn konjektuurin edellyttämä ylärj lyhimmän synkronisoivn snn pituudelle on pystytty todistmn useille äärettömille utomttien perheille; esimerkiksi rtikkeliss [7] on todistettu ylärj (n 1) ns. syklisille utomteille, joit ovt mm. kikki Černýn utomtit C n. Esitetään kuitenkin tässä osioss 0 vuott vnhempi todistus lähteestä [17], jok ktt sykliset utomtit, joiss tilojen lukumäärä n on lkuluku. Tässä erikoistpuksess sdn lisäksi yksinkertinen kriteeri sille, milloin utomtti on synkronisoituv. Määritelmä 4.9. Automtti A = (Q, Σ, ) on syklinen, jos on olemss sellinen kirjin c Σ, että Q = {q c r r N} kikill q Q. Rjoituksett voidn olett, että Q = {1,..., n} j että kikill q Q on q c q + 1 (mod n). Lemm Olkoon A = (Q, Σ, ) j c kuten määritelmässä j n = Q lkuluku. Oletetn, että on sellinen kirjin Σ, että Q < Q. Jos S Q j S {, Q} niin on olemss luku r N {0}, joll (S c r ) 1 > S. Todistus. Tehdään vstoletus, että kikill r on (S c r ) 1 S. Silloin yhtälöstä n 1 r=0 (S c r ) 1 = n 1 r=0 q 1 = S q 1 = S Q 1 = S n q S c r q Q seur, että (S c r ) 1 = S kikill r. Vlitn ζ C niin, että n on pienin positiivinen kokonisluku, joll ζ n = 1 (eli ζ on n:s primitiivinen ykkösenjuuri). Käytetään merkintää Q(ζ) kunnn C suppeimmst likunnst, jok sisältää kunnn Q j luvun ζ. Luvun ζ minimlipolynomi on n 1 i=0 x i, joten Q-vektorivruuden Q(ζ) dimensio on n 1 j sillä on knt {ζ i 0 i n }. Siis V = Q Q(ζ) on 15

19 n-dimensioinen Q-vektorivruus. Liitetään nyt jokiseen tiln q Q vektorivruuden V vektori q = (1, ζ q ) j jokiseen osjoukkoon T Q vektori T = q T q. Vektorit q virittävät vruuden V, sillä (1, 0) = Q 1 ( q Q q) j (0, ζ q ) = q (1, 0) kikill q Q. Kosk vruuden V dimensio on n, niin tästä seur, että vektorit q muodostvt V :n knnn. Määritellään linerikuvukset A : V V j B : V R kntvektoreiden vull: A(q) = (q 1 ) j B(q) = 1 kikill q Q. Merkitään nyt u = q S ζ q j osoitetn seurvksi, että joukkojen S c r (0 r n 1) vstinvektorit S c r = ( S, uζ r ) muodostvt vruuden V knnn. Vektori (1, 0) voidn esittää muodoss ( S n) 1 ( n 1 r=0(s c r )), joten riittää osoitt, että vektorit uζ r virittävät vruuden Q(ζ). Luku u = q S ζ q ei ole noll, kosk luvun ζ minimlipolynomi ei j polynomi q S x q. Siis luvull u on käänteislkio n 1 r=0 k i ζ i, eli 1 = n 1 r=0 k i (uζ i ). Kertomll tämä puolittin vruuden Q(ζ) mielivltisell kntvektorill ζ r sdn ζ r = n 1 r=0 k i (uζ i+r ), jost väite seur. Kosk kikill r N {0} on (S c r ) 1 = (S c r ), niin vstvsti B(A(S c r )) = B(S c r ). Kosk vektorit S c r muodostvt joukon V knnn, niin kikill v V on B(A(v)) = B(v); erityisesti B(A(q)) = B(q) = 1 kikill q Q. Tällöin q 1 = 1, mikä on ristiriidss sen knss, että Q < Q. Luse Olkoon A = (Q, Σ, ) syklinen utomtti, jonk tilojen lukumäärä n on lkuluku. Jos on olemss Σ, joll Q < Q, niin A on synkronisoituv j C(A) (n 1). Todistus. Olkoon kirjin c kuten edellisessä lemmss j q Q sellinen til, että q 1 > 1. Osoitetn induktioll, että kun 0 k n, niin on olemss sellinen sn w, että w 1+kn j q w 1 k +. Tpuksess k = 0 voidn vlit w =. Oletetn nyt, että sn u toteutt väitteen tpuksess k = t < n j todistetn väite tpuksess k = t + 1. Jos q u 1 t+3, niin voidn vlit w = u. Muutoin edellisen lemmn nojll on olemss sellinen luku r (0 r n 1), että ((q u 1 ) (c r ) 1 ) 1 > q u 1 = t + j voidn siis vlit w = c r u ( w 1 + (t + 1)n). Nyt todistetust voidn tpuksess k = n päätellä, että on olemss sellinen sn w, että w = 1 + (n )n = (n 1) j q w 1 n, eli q w 1 = Q. Tästä seur, että Q w = Vhvsti yhtenäiset utomtit Automtti A = (Q, Σ, ) snotn vhvsti yhtenäiseksi, jos jokist kht til q, s Q kohti on olemss sn w, joll q w = s. Černýn konjektuu- 16

20 rin tutkimisess riittää rjoittu vhvsti yhtenäisiin utomtteihin. Tämä nähdään seurvn lemmn vull, jok on esitetty yleisemmässä muodoss rtikkeliss [0]. Käytetään lemmn muotoiluss merkintää V n niiden n- tilisten utomttien joukost, jotk ovt synkronisoituvi j vhvsti yhtenäisiä. Lemm 4.1. Jos f : N N {0} on sellinen funktio, että C(V n ) f(n) kikill n N, j jos A = (Q, Σ, ) S n \ V n (siis n > 1), niin C(A) on enintään {( ) } n m + 1 mx + f(m) 1 m < n. Todistus. Olkoon u jokin utomtin A synkronisoiv sn j q sellinen til, että Q u = q. Merkitään S = {q w w Σ }, S = m < n j S = Q \ S. Etsitään ensin sellinen sn w, että S w S. Olkoon T S epätyhjä, T = i. Lyhin sellinen sn w, että jollkin t T on t w S (siis T w S < T ), on enintään pituutt n m i + 1. Jos nimittäin w = 1... j, 1,..., j Σ, niin t 1... l / S kikill l < j j t 1... p t 1... r kun p r. Muodostetn sn w = w 1... w t niin että snt w l ovt lyhimmät mhdolliset, joill S w 1 S < S, S w 1 w S < S w 1 S,..., S w S = 0. Edellä todetun nojll snn w pituus on enintään (n m) = ( ) n m+1. Kolmikko B = (S, Σ, ), missä on sm opertio kuin utomtiss A, on vhvsti yhtenäinen synkronisoituv utomtti. Olkoon u sen lyhin synkronisoiv sn; sen pituus on enintään f(m). Sn wu on utomtin A synkronisoiv sn. Luse Jos C(V n ) = (n 1) kikill n N, niin C(n) = (n 1) kikill n N. Todistus. Luseen oletuksin edellisestä lemmst seur, että jos A S n \ V n (siis n > 1), niin sen lyhin synkronisoiv sn on enintään pituutt mx{ ( ) n m+1 +(m 1) 1 m < n}. Polynomin g(m) = ( ) n m+1 +(m 1) korke-steisin termi on 3 m, joten g(m) svutt mksimins välillä [1, n 1] kun m = 1 ti m = n 1. Molemmill sijoituksill g(m) (n 1). Olkoon nyt A = (Q, Σ, ), Σ = k, vhvsti yhtenäinen utomtti. Rjoituksett voidn olett, että Q = {1,..., n}. Liitetään utomttiin A n n-mtriisi B = ( ij ), joss lkio ij on nuolien lukumäärä tilst j tiln i. Induktioll on helppo todet, että kikill k N mtriisin B k koordintiss (i, j) olev lkio kertoo, kuink mont pituutt k olev polku 17

21 grfiss on tilst j tiln i. Kosk utomtin A grfi on vhvsti yhtenäinen, niin B on redusoitumton. Siis myös mtriisi B T on redusoitumton. Perronin-Froeniuksen luseen nojll mtriisill B T on positiivinen ominisrvo r, jonk itseisrvo on vähintään yhtä suuri kuin muill ominisrvoill, j johon kuuluu positiivinen ominisvektori x = (x 1,..., x n ) T. Olkoon α sellinen luku, että vektorin αx suurin luku on x i = 1. Tästä seur, että k (B T αx) i = (rαx) i = r. Vlitn toislt luku β niin, että vektorin βx pienin luku on 1. Päätellään kuten edellä, että k r j siis r = k. Kosk mtriiseill B T j B on smt ominisrvopolynomit, niillä on smt ominisrvot. Siis mtriisill B on ominisrvo k, jonk itseisrvo on vähintään yhtä suuri kuin muill ominisrvoill. Mtriisill B on ominisrvoon k kuuluv ominisvektori, jonk komponentit ovt rtionlisi. Tämä nähdään trkstelemll yhtälöä Bx = kx, missä x = (x 1,..., x n ) T. Tiedetään, että positiivisi ominisvektoreit on olemss, joten voidn tehdä sijoitus x 1 = 1. Sdn n:n yhtälön yhtälöryhmä, joss on n 1 muuttuj x,... x n. Kosk ominisrvoon k kuuluvn ominisvruuden dimensio on 1, niin yhtälöryhmä määrää muuttujille yksikäsitteiset rvot. Yhtälöistä voidn siis vlit n 1:n linerisesti riippumttomn yhtälön joukko. Näiden muodostm yhtälöryhmä on muoto B x = c, missä B on kääntyvä kokonislukumtriisi, x = (x,..., x n ) T j c on kokonislukuvektori. Kosk B on kokonislukumtriisi, sen käänteismtriisin lkiot ovt rtionlilukuj. Siis rtkisemll yhtälöstä x selviää, että x,..., x n ovt rtionlilukuj. Kertomll ominisrvoon k kuuluv rtionlinen ominisvektori sopivll luvull sdn ominisvektori w T = (w 1,..., w n ) T, jonk komponentit ovt luonnollisi lukuj, joiden suurin yhteinen tekijä on 1. Tällinen vektori on yksikäsitteinen. Vektorin w vull voidn määritellä pinofunktio w : Q N, w(i) = w i kuten rtikkeliss [9] on tehty. Luku w(i) kutsutn tiln i pinoksi. Joukon S Q pinon määritellään olevn i S w(i) j siitä käytetään merkintää w(s). Pinon määrittelystä ominisvektorin w T vull seur, että kikill i Q luvun kw(i) rvo on niiden tilojen pinojen summ, joist tulee nuoli tiln i. (Jos jostkin tilst spuu usempi nuoli, niin summuksess tiln pino kerrotn siitä spuvien nuolien lukumäärällä.) Tämän tiedon vull on joskus helppo rvt pelkästään utomtin grfi ktsomll, mikä sen pinofunktio on. Esimerkki Kuvn 7 utomtiss on merkitty tiloihin niiden pinot. Edellisen kppleen mukisesti on helppo trkist, että pinot ovt juuri nämä. 18

22 1, Kuv 7: Automtti j tilojen pinot. Pinon käsitteen vull voidn muotoill yksi mhdollinen tp etsiä synkronisoituvn j vhvsti yhtenäisen utomtin A = (Q, Σ, ) synkronisoiv sn. Aloitetn mielivltisest tilst q Q j etsitään lyhin mhdollinen sn w 1, joll w(q w1 1 ) > w(q). Etsitään sitten lyhin mhdollinen sn, joll w(q (w w 1 ) 1 ) > w(q w1 1 ). Jtketn vstvsti, kunnes on löydetty sellinen sn w = w k... w 1, että q w 1 = Q. Tällöin Q w = q, eli w on synkronisoiv sn. On selvitettävä, kuink pitkiä snt w i voivt pisimmillään oll. Tehdään snojen w i pituutt koskevt trkstelut rtikkelin [11] esitystä seurten. Jokiseen joukkoon S Q voidn liittää vektori [S] = (s 1,.., s n ), missä { 1 kun q S s i = 0 muulloin. Jokiseen kirjimeen Σ voidn liittää n n mtriisi [] = ( ij ), missä { 1 kun i = j ij = 0 muulloin. Vstvsti snn w Σ voidn liittää mtriisi [w] = (w ij ), missä { 1 kun i w = j w ij = 0 muulloin. Induktioll on helppo todist, että jos w = 1... k, niin [w] = [ 1 ]...[ k ]. Mtriisi [w] T vst linerikuvust R n R n, jonk rjoittum joukolle {[S] S Q} on vrsin luontev: [S][w] T = [S w 1 ]. Määritellään linerikuvus ŵ : R n R, ŵ(x) = xw T, missä w T on edellä minittu ominisvektori. Sen rjoittum joukolle {[S] S Q} yhtyy pinofunktioon w: ŵ([s]) = w(s). 19

23 Jtkoss näistä molemmist funktioist käytetään merkintää w. Kikill x R n w(x[] T ) = w(x Σ Σ[] T ) = x( [] T )w T = kxw T = kw(x). (1) Σ On kksi vihtoehto: joko kikill Σ on w(x[] T ) = w(x) ti jollkin Σ on w(x[] T ) > w(x). Vstvsti voidn osoitt, että jos on sn u, joll w(x[u] T ) w(x), niin on olemss yhtä pitkä sn u, joll w(x[u ] T ) > w(x). Määritellään joukot Z 0 = {x R n w(x) = 0} j Z 1 = {(r,..., r) R n r R}. Jos y R n on mielivltinen, niin vlitsemll z Z 1 sopivsti sdn vektorin x = y z pino nollksi, eli vektorill y on esitys y = x + z, missä x Z 0 j z Z 1. Tämä esitys on yksikäsitteinen, sillä Z 0 Z 1 = {0}. Kosk z[w] T = z kikill snoill w, niin w(y[w] T ) w(y) trklleen silloin kun w(x[w] T ) w(x) = 0, eli silloin kun x[w] T / Z 0. Yhdistämällä tämä edellisen kppleen hvintoon voidn todet, että jos x[w] T / Z 0 jollkin w Σ, niin on olemss yhtä pitkä sn u Σ, joll w(y[u] T ) > w(y). Seurvksi todistettv lemm on yleisemminkin hyödyllinen. Lemm Liitetään kuhunkin kirjimeen Σ jokin relinen n- neliömtriisi j jokiseen snn w = 1... t mtriisi w = 1... t. Jos V R n on vektorivruus, x V, j on olemss sellinen sn w, että xw / V, niin lyhin tällinen sn on pituudeltn enintään dim(v ). Todistus. Olkoon U i (i 0) vektorivruus, jonk generoi joukko { {x} kun i = 0 G i = {x i 1 x i 1 G i 1, Σ} G i 1 muulloin. Jos jollkin luvull i on U i+1 = U i, niin U j = U i kikill j i. Tämä nähdään induktioll: jos U k = U i, niin G k+1 = {x k x k G k, Σ} G k {x k x k U k, Σ} U k = {x k x k U i, Σ} U i U i+1 U i = U i. Siis U k+1 = U i. Olkoon w lyhin sn, joll xw / V j i = w. Kosk kikill j joukon G j vektorit ovt xu, missä u on enintään pituutt j, niin i on pienin luku, joll G i V j smll pienin luku, joll U i V. Vektorivruusketjuss U 0 U 1 U i sisältymiset ovt itoj, joten Siis i dim(v ). 1 = dim(u 0 ) < dim(u 1 ) < < dim(u i 1 ) dim(v ). 0

24 Sovelletn lemm nyt tämän luvun tpukseen. Lemm Kikill x Z 0 \ {0} on olemss enintään pituutt n 1 olev sn w, joll x[w] T / Z 0. Todistus. Ensiksi osoitetn, että on olemss jokin sn w, joll x[w] T / Z 0. Olkoon nimittäin vektorin x koordinttiss i luku r 0. Kosk utomtti on synkronisoituv j vhvsti yhtenäinen, niin on olemss sellinen sn w, että Q w = {i}. Siis mtriisin [w] T i:s rivi koostuu ykkösistä j muut rivit nollist, joten x[w] T = (r,..., r) / Z 0. Väite seur nyt edellisestä lemmst vlinnll V = Z 0 j = [] T kikill Σ. Seurus Kikill S Q, S on olemss enintään pituutt n 1 olev sn u, joll w(s u 1 ) > w(s). Todistus. Esitetään vektori [S] muodoss x + z, missä x Z 0 j z Z 1. Edellä on todettu, että on olemss pituutt i olev sn u joll w(s u 1 ) > w(s) (eli w([s][u] T ) > w([s])) jos on olemss yhtä pitkä sn w, joll x[w] T / Z 0. Kosk [S] / Z 1, niin x 0 j väite seur edellisestä lemmst. Luse Jos A = (Q, Σ, ) V n j W mx on sen pinvimmn tiln pino, niin C(A) (w(q) W mx )(n 1). Todistus. Muodostetn synkronisoiv sn w sivun 18 menetelmällä loittmll tilst, jonk pino on W mx. Edellisen seurusluseen nojll kunkin ossnn w i pituus on enintään n 1, joten koko snn w pituus on enintään (w(q) W mx )(n 1). Luseest seur, että lyhimmän synkronisoivn snn pituus on enintään (n 1) sellisill vhvsti yhtenäisillä synkronisoituvill utomteill, joill yhden tiln pino on mielivltinen j jokisen muun tiln pino on 1. Erikoistpuksen tällisist utomteist muodostvt ns. Eulerin utomtit. Määritelmä Automtti A = (Q, Σ, ) on Eulerin utomtti, jos sen jokiseen tiln spuu Σ nuolt. Voidn helposti todet, että Eulerin utomtin jokisen tiln pino on 1. Tämä mhdollist sen, että edellisen luseen tulost voidn Eulerin utomttien tpuksess hiemn prnt. Käytetään merkintää E n synkronisoituvien n-tilisten Eulerin utomttien joukost. 1

25 1 4 8, 16 Kuv 8: Pinv utomtti Luse 4.0. Jos A = (Q, Σ, ) E n, niin C(A) 1 + (n )(n 1) = n 3n + 3. Todistus. On olemss q Q j Σ, joill q 1 > q = 1. Muodostetn synkronisoiv sn w edellä esitetyllä menetelmällä loittmll tilst q. Černýn konjektuuri on siis todistettu Eulerin utomttien tpuksess. Ei kuitenkn tiedetä, kuink pljon ylärj C(E n ) n 3n + 3 voidn prnt. Esitetään tähän kysymykseen liittyen todistuksett tulos lähteestä [10]. Luse 4.1. Jos n 5 on priton, niin C(E n ) n 3n+4. Luse 4.18 ei yleisesti nn hyviä ylärjoj lyhimmän synkronisoivn snn pituudelle. Kuvss 8 on 5-tilinen utomtti, jolle luse nt ylärjn 60 (vrt. luse 4.8: C(5) 0), mutt itse siss jo sn synkronisoi sen. Vstvll tvll voidn kikill n > 1 muodost n-tilinen utomtti, jolle luse nt eksponentilisen ylärjn (( n 1 ) ) ( n ) i n 1 (n 1) = i (n 1) = ( n 1 1)(n 1). i=0 i=0 4.4 L-yhtenäiset utomtit Trkstelln tässä rtikkeliin [3] pohjutuvss luvuss ns. L-yhtenäisten utomttien lyhimmän synkronisoivn snn pituutt. Esitettävistä tuloksist osoittutuu olevn hyötyä myös luvun 6 konjektuurin tutkimisess. Määritelmä 4.. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Jos L = {w 1,..., w t } Σ j R = {q 1,..., q t } Q ovt selliset joukot, että kikill s Q on s L = {s w 1,..., s w t } = {q 1,..., q t }, niin utomtti A kutsutn L-yhtenäiseksi. Tällöin joukko L kutsutn riippumttomksi j joukko R kutsutn L:n kuvksi.

26 Käytetään jtkoss määritelmän merkintöjä ilmn erillistä minint. Lemm 4.3. Kikill v Σ joukko vl = {vw 1,..., vw t } on riippumton j sen kuv on R. Todistus. Jos s Q, niin s (vl) = {s vw 1,..., s vw t } = {(s v) w 1,..., (s v) w t } = R. Luse 4.4. Jos A = (Q, Σ, ) on L-yhtenäinen, niin kikill P R on t i=1 P w 1 i R = P t. Todistus. Jos P on tyhjä joukko, niin väite on trivili. Oletetn siis, että P = {p 1,..., p m }, m 1 jolloin t i=1 P w 1 i R = t m i=1 j=1 p j w 1 i t m R = i=1 j=1 p j w 1 i R. L-yhtenäisyyden määritelmän nojll kikill s Q j p R on trklleen yksi sn w i L, joll s p wi 1. Joukot p wi 1 muodostvt siis joukon Q prtition, joten t = R = t i=1 p wi 1 R. Nyt t m i=1 j=1 p j w 1 i R = m t j=1 i=1 p j w 1 i R = P t. Seurus 4.5. Jos P R, niin kikill i on P wi 1 i on P wi 1 R > P R = P ti jollkin Luse 4.6. Olkoon K R synkronisoituv j M suurimmn joukkoon R sisältyvän synkronisoituvn joukon koko. Seurvt ovt ekvivlenttej. 1. K = M.. Kikill w L j v Σ on K (vw) 1 R K. 3. Kikill w L j v Σ on K (vw) 1 R = K. 4. K on mksimlinen joukon R synkronisoituv osjoukko. 3

27 Todistus. 1 = : Seur suorn siitä, että K (vw) 1 R on myös synkronisoituv joukko. = 3: Kosk vl on riippumton joukko, jonk kuv on R, niin tämä impliktio seur Seuruksest = 4: Olkoon X R synkronisoituv, X = M. On olemss snt v Σ j w L sekä til q Q, joill X v = q j q w K. Siis X vw K j X K (vw) 1 R. Tästä j oletuksest 3 seur, että K = K (vw) 1 R M. Luvun M vlinnn nojll K = M j K on mksimlinen. 4 = 1: Olkoon X kuten edellä. On olemss snt v Σ j w L sekä til q Q, joill K v = q j q w X. Siis K X (vw) 1 R. Kosk X (vw) 1 R on synkronisoituv, niin joukon K mksimlisuudest seur, että K = X (vw) 1 R. Impliktio 1 = 3 on jo todistettu, joten tiedetään, että X (vw) 1 R = X = M. Siis K = M. Lemm 4.7. Olkoon K R j v Σ. Ehto K (vw i ) 1 R = K on voimss kikill w i L trklleen silloin, kun vektori ([R][v]) T on yhtälöryhmän ( [K wi 1 ] K ) R [Q] x = 0, 1 i t () rtkisu (sijoitus muuttujn x). Todistus. Tekemällä minittu sijoitus sdn ( [K wi 1 ] K R [Q] ) ([R][v]) T = ([K wi 1 ][v] T )[R] T K R ([Q][v]T )[R] T = K (vw i ) 1 R K R Qv 1 R = K (vw i ) 1 R K. Tämä on noll trklleen silloin kun K (vw i ) 1 R = K. Käytetään merkintää rnk(a) mtriisin A steest j merkintää A mtriisin A pystyrivilivruudest. Lemm 4.8. Jos A on t-rivinen relilukumtriisi, joss ei ole nollrivejä j jonk kusskin srkkeess on enintään x > 0 nollst erov lkiot, niin rnk(a) t/x. 4

28 Todistus. Mtriisin A srkkeist voidn vlit vektorivruuden A knt B = { 1,..., r }, missä r = rnk(a). Näissä vektoreiss on yhteensä enintään rx nollst erov lkiot. Väitteen osoittmiseksi tehdään vstoletus, että rx < t. Tällöin josskin koordintiss i on kikiss knnn B vektoreiss nolli. Kosk B virittää vruuden A, niin mtriisin A rivi i koostuu pelkästään nollist, mikä on vstoin lemmn oletust. Lemm 4.9. Jos A j B ovt relilukumtriisej, jotk voidn lske yhteen, niin rnk(a) + rnk(b) rnk(a + B). Todistus. Olkoon V suppein vektorivruus, jok sisältää vruudet A j B. Näiden vruuksien knnt yhdessä virittävät vruuden V, joten rnk(a)+ rnk(b) dim(v ). Avruus V sisältää kikki vruuden A + B vektorit, joten dim(v ) rnk(a + B). Lemm Olkoon K R j oletetn, että K w 1 Q kikill w L (erityisesti K R). Sivun 4 yhtälöryhmän () mtriisin ste on vähintään { } R \ K K mx,. K R \ K Todistus. Yhtälöryhmän mtriisi on C = A K R Y, missä mtriisi Y koostuu pelkästään ykkösistä j mtriisin A vkriveinä on vektorit [K wi 1 ] (1 i t). Kosk K wi 1, niin mtriiss A ei ole nollrivejä. Lisäksi joukon L määritelmästä seur, että jos q Q on mielivltinen, niin joukoss L on K sn w, joill q w K. Siis mtriisin A jokisess srkkeess on trklleen K nollst erov lkiot, joten lemmn 4.8 nojll rnk(a) t/ K. Lemmn 4.9 nojll rnk(c) + rnk(( K / R )Y ) rnk(a), joten rnk(c) rnk(a) rnk ( ) K R Y t/ K 1 = R \ K. K Mtriisi C voidn myös esittää muodoss C = (A Y ) +(1 K / R )Y. Mtriisin A Y lkio on erisuuri kuin noll trklleen silloin kun mtriisin A vstinlkio on noll. Siis mtriisin A Y jokisess srkkeess on trklleen 5

29 t K nollst erov lkiot. Lisäksi mtriisiss A Y ei ole nollrivejä (kosk K wi 1 Q), joten rnk(a Y ) t/(t K ) j ( ( rnk(c) rnk(a Y ) rnk 1 K ) ) t Y R t K 1 = K R \ K. Lemm Olkoon K synkronisoituv, ei-mksimlinen joukon R osjoukko. Tälloin on olemss snt v Σ j w L, joill { } R \ K K (vw) 1 K R > K j v n mx,, K R \ K missä n on utomtin tilojen lukumäärä. Todistus. Seuruksen 4.5 j Lemmn 4.3 nojll riittää osoitt, että on olemss vdittu pituutt olev sn v j jokin w L, joill K (vw) 1 R K. Voidn olett, että K w 1 Q, sillä muutoin väite seur helposti vlitsemll v = ǫ. Olkoon N sivun 4 yhtälöryhmän rtkisujen muodostm vektorivruus (tulkitn rtkisut nyt pystyvektorein). Kosk K ei ole mksimlinen, niin luseest 4.6 j lemmst 4.7 seur, että on olemss sn v Σ, joll [R][v] / N. Lemmn 4.15 nojll sn v voidn vieläpä vlit niin, että v dim N. Jos f : R n R t on linerikuvus, niin tunnetun linerilgern tuloksen mukn n = dim(f 1 (0)) + dim(f(r n )). Siis tulkitsemll yhtälöryhmän mtriisi C linerikuvuksen mtriisin voidn päätellä, että, dim(n) = n rnk(c) (sillä mtriisiss C on n pystyriviä). Tästä seur yhdessä lemmn 4.30 knss, että sn v on vdittu pituutt, j kosk [R][v] / N, niin lemmn 4.7 nojll jollkin w L on K (vw) 1 R K. Luse 4.3. Olkoon A = (Q, Σ, ) n-tilinen synkronisoituv L-yhtenäinen utomtti j L = t. Jos merkitään joukon L lyhimmän snn pituutt L ω j pisimmän snn pituutt L Ω, niin C(A) (t 1)(n L Ω ) t ln t L ω. Todistus. Tpuksess t = 1 joukon L ino sn synkronisoi utomtin. Sen pituus on L ω, joten väite toteutuu tässä tpuksess. Oletetn siis, että t > 1, vlitn mielivltinen q R j merkitään K 0 = {q}. Määritellään 6

30 joukkojen K i ketju induktiivisesti: jos K i R, niin edellisen lemmn mukn voidn vlit snt v i Σ j w γi, joill { } R \ K i (v i w γi ) 1 Ki K i R > K i j v i n mx,. K i R \ K i Merkitään K i+1 = K i (v i w γi ) 1 R j olkoon r indeksi, joll K r = R. Vlitsemll v = v r 1 w γr 1... v 0 w γ0 Σ L sdn R v = q j ( { } ) r 1 R \ Ki K i v n mx, + L Ω i=0 K i R \ K i ( { } ) t 1 t j j n mx, + L Ω j=1 j t j { } t 1 t = (t 1)(n + L Ω ) mx j 1, t t j 1 j=1 t 1 1 = (t 1)(n + L Ω + 1) t j 1 min{j, t j}. Jos w L, niin Q wv = 1. Jos vlitn w niin, että w = L ω, niin luseen todistmiseksi riittää osoitt, että t 1 j=1 1 min{j, t j} ln t + 1. Olkoon h = (t 1)/. Integroimll todetn, että h j=1 1/j = 1/(t j) ln(h + 1), joten t 1 j=t h S = h j=1 t 1 1 j + 1 j=t h t j ln(h + 1). Jos t on priton, niin h = (t 1)/ j t 1 j=1 1/ min{j, t j} = S ln(h+1) = ln((t+1)/). Jos ts t on prillinen, niin h = (t )/ j t 1 j=1 1/ min{j, t j} = S + /t ln(h + 1) + /t. Epäyhtälöstä ln((t + 1)/) ln(h + 1) = ln((t + 1)/((h + 1))) = ln(1 + 1/t) 1/t seur, että ln(h + 1) + /t = (ln(h+1)+/t) ln((t+1)/), joten t 1 1 j=1 ln((t+1)/). min{j,t j} Edellistä lusett sovellettess joukon L vlint on tärkeässä rooliss. Jos nimittäin A on synkronisoituv utomtti j w on sen lyhin synkronisoiv sn, niin A on L-yhtenäinen, kun vlitn L = {w}. Tällöin kuitenkin edellinen luse redusoituu muotoon C(A) C(A). Trkstelln nyt erästä utomttien luokk, missä joukko L voidn vlit premmin. 7

31 Määritelmä Automtti A = (Q, Σ, ) on 1-klusteriutomtti, jos sen grfiss jollkin kirjimell Σ merkityt nuolet muodostvt trklleen yhden syklin j (mhdollisesti) joukon puit, jotk johtvt tähän sykliin. Tällist sykliä kutsutn -pääsykliksi. Luse Jos A = (Q, Σ, ) on synkronisoituv 1-klusteriutomtti j Q = n, niin C(A) n 4n + 1 (n 1) ln n. Todistus. Olkoon Σ kuten määritelmässä 4.33, R W -pääsykliin kuuluvien tilojen joukko j R = t. Automtti A on L-yhtenäinen, missä L = { n 1, n,..., n t }. Nimittäin q n t R kikill q Q, j kun i käy luvut 0 i t 1, niin (q n t ) i käy läpi kikki joukon R tilt. Jos t = n, niin utomtti on syklinen j tässä tpuksess rtikkeliss [7] on todistettu, että C(A) (n 1). Epäyhtälö on ekvivlentti epäyhtälön (n 1) n 4n + 1 (n 1) ln n f(n) = n n (n 1) ln n 0 knss. Kosk ln x x 1 kun x > 0, niin f(n) = n(n ln(n/)) + ln(n/) n(n (n/ 1)) + ln(n/) = ln(n/) 0 kun n. Keskitytään nyt tpukseen t < n. Luseen 4.3 merkintöjä käyttämällä l ω = n t j L Ω = n 1, joten smn luseen nojll C(A) nt n t t ln t + 1. Luseen todistmiseksi osoitetn, että nt n t t ln t + 1 n 4n + 1 (n 1) ln n. Tämä epäyhtälö on ekvivlentti epäyhtälön (n 1) ln n t ln(t + 1) (n 1 + ln )(n t 1) knss. Käyttämällä ts rviot ln x x 1 sdn (n 1) ln n t ln(t + 1) = t ln n + (n t 1) ln n t + 1 t n t 1 + (n t 1)(n 1) n(n t 1) t + 1 (n 1 + ln )(n t 1); khdess viimeisessä epäyhtälössä trvitn oletust t < n. 8

32 5 Tienväritysongelm Olkoon Γ suunnttu grfi, jonk jokisest solmust lähtee sm määrä nuoli j joss khden solmun välillä voi oll useit nuoli. Jos Σ on kkosto, joss on kirjimi yhtä mont kuin kusskin solmuss on lähteviä nuoli, niin voidn muodost utomtti merkitsemällä jokinen grfin nuoli jollkin kirjimell niin, että mistään solmust ei lähde kht smll kirjimell merkittyä nuolt. Tällist grfin nuolien merkintää kutsutn grfin väritykseksi. (Nimitys tulee siitä, että joskus kkoston Σ lkioiden mielletään olevn värejä kirjinten sijst.) Väritykseksi voidn kutsu myös väritystä vstv utomtti. Jos värityksellä sdn muodostettu synkronisoituv utomtti, niin väritystä kutsutn synkronisoivksi. Kysymystä siitä, millisill grfeill on olemss synkronisoiv väritys, kutsutn tienväritysongelmksi. Oletetn jtkoss, että trksteltvt grfit ovt vhvsti yhtenäisiä, eli grfin mistä thns solmust pääsee mihin thns toiseen solmuun seurmll grfin nuoli oiken suuntn. Helposti sdn seurv välttämätön ehto synkronisoivn värityksen olemssololle. Luse 5.1. Jos grfill Γ on synkronisoiv väritys, niin grfin syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1. Todistus. Tehdään vstoletus, että grfin syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on d > 1. Olkoon grfill kiinnitetty synkronisoiv väritys A = (Q, Σ, ) j olkoon v jokin synkronisoiv sn. Kikill snoill u myös uv on synkronisoiv sn, joten on olemss synkronisoiv sn w, jonk pituus l ei ole jollinen luvull d. Olkoon Q w = q. Sn w indusoi utomtiss pituutt l olevn polun tilst q siihen itseensä. Tämä polku voidn muodost syklejä yhdistelemällä, joten vstoletuksen nojll d jk luvun l, mikä on mhdotont luvun l vlinnn nojll. Artikkeliss [1] esitetään konjektuuri, jonk mukn tämä välttämätön ehto on myös riittävä. Konjektuuri 5. (Tienväritysluse). Jos Γ on suunnttu, vhvsti yhtenäinen grfi, jonk jokisest solmust lähtee yhtä mont nuolt j jonk syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1, niin sillä on synkronisoiv väritys. Konjektuuri todistetn rtikkeliss [19]. Esitetään tässä kyseinen todistus. Kutsutn jtkoss konjektuurin ehdot täyttävää grfi primitiiviseksi. Trksteluiss käytetään stiilisuusreltion käsitettä lähteestä [6]. 9

33 Määritelmä 5.3. Automtin A = (Q, Σ, ) tiljoukon Q ekvivlenssireltiot kutsutn kongruenssiksi, jos kikill p, q, Q j Σ p q = p q. Määritelmä 5.4. Automtin A = (Q, Σ, ) tilpri p, q Q on stiili, merkitään p q, jos kikill u Σ on olemss sellinen w Σ, että p uw = q uw. Luse 5.5. Automtin A = (Q, Σ, ) stiilisuusreltio on kongruenssi. Todistus. Selvästi reltio on refleksiivinen j symmetrinen. Olkoon p, q, r Q selliset tilt, että p q j q r j olkoon u Σ mielivltinen. Kosk p q, niin on olemss w 1 Σ, joll p uw 1 = q uw 1. Kosk q r, niin on olemss w Σ, joll q uw 1 w = r uw 1 w. Kun w = w 1 w, niin p uw = q uw = r uw. Siis p r j reltio on ekvivlenssireltio. Stiilisuuden määritelmästä seur helposti, että jos p q, niin p w q w kikill w Σ. Siis reltio on kongruenssi. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti, jolle on määritelty kongruenssi j käytetään merkintää [p] tiln p määräämästä ekvivlenssiluokst. Automtin A tekijäutomtti kongruenssin suhteen on A/ = (Q/, Σ, ), missä Q/ = {[p] p Q} j kikill [p] Q, w Σ on [p] w = [p w]. Kosk on kongruenssi, niin opertio on hyvin määritelty. Lemm 5.6. Olkoon Γ primitiivinen grfi j A = (Q, Σ, ) jokin grfin Γ väritys. Silloin utomtin A/ grfi Γ on myös primitiivinen, j jos grfill Γ on synkronisoiv väritys, niin myös grfill Γ on synkronisoiv väritys. Todistus. Kosk Γ on utomtin A/ = (Q/, Σ, ) grfi, niin sen jokisest tilst lähtee yhtä mont nuolt, j kosk Γ on vhvsti yhtenäinen, niin myös Γ on vhvsti yhtenäinen. Jos C on grfin Γ sykli, niin sitä vst suljettu polku grfiss Γ, joten syklin C pituus voidn ilmist jonkin grfin Γ syklien pituuksien summn. Siis grfin Γ kikkien syklien pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1 j Γ on primitiivinen grfi. Oletetn sitten, että B = (Q/, Σ, ) on synkronisoituv utomtti, jok on stu grfin Γ jollkin värityksellä. Automtin B voidn myös jtell muodostetun utomtist A/ permutoimll kustkin tilst [p] 30

34 Q/ lähtevien nuolten kirjimi ijektioll π [p] : Σ Σ, jok toteutt ehdon [p] π [p] () = [p] kun Σ. Muodostetn grfin Γ uudelleenväritys A = (Q, Σ, ) määrittelemällä p π [p] () = p kikill p Q j Σ. Olkoon w jokin utomtin B synkronisoiv sn eli Q w = [p] Q/. Tällöin utomtiss A on Q w [p]. Kosk joukon [p] tilt ovt keskenään stiilej utomtiss A, niin on olemss sellinen sn u = 1... m, i Σ, että [p] u = 1. Jos merkitään P i = [p] 1... i, niin sn u = π [p] ( 1 )π P1 ( )... π Pm 1 ( m ) toteutt ehdon [p] u = 1. Siis sn wu synkronisoi utomtin A, joten grfill Γ on synkronisoiv väritys. Lemm nt seurvn mhdollisen tvn konjektuurin rtkisemiseen. Luse 5.7. Oletetn, että jokisell primitiivisellä grfill, joll on vähintään kksi solmu, on olemss väritys A, joss on epätrivili stiili tilpri p, q Q (eli p q j p q). Tällöin jokisell primitiivisellä grfill on synkronisoiv väritys. Todistus. Todistetn induktioll primitiivisen grfin Γ tilojen lukumäärän n suhteen. Selvästi synkronisoiv väritys on olemss jos n = 1. Oletetn, että n = k > 1 j että väite on todistettu pienemmille grfeille. Luseen oletuksen nojll grfill Γ on väritys A, joll on epätrivili stiili tilpri. Silloin utomtin A/ tilojen lukumäärä on pienempi kuin k, joten induktio-oletuksen nojll utomttiin A/ liittyvällä grfill Γ on synkronisoiv väritys. Lemmn nojll myös grfill Γ on synkronisoiv väritys. Seurvksi esitettävät tulokset tähtäävät luseen oletuksen todistmiseen. Määritelmä 5.8. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti. Joukko S Q snotn klikiksi, jos kikill w Σ on S w = S. Lemm 5.9. Olkoon A = (Q, Σ, ) utomtti, S klikki jonk lkioiden lukumäärä on mksimlinen j w sellinen sn, että S \ (S w) = 1. Silloin utomtiss A on epätrivili stiili tilpri. Todistus. Oletetn vstoin väitettä, että utomtiss ei ole epätrivilej stiilej tilprej. Merkitään S w = T. Kosk S on klikki, niin S = T j T \ S = 1. Olkoon s S \ T j t T \ S näiden joukkojen uniikit lkiot. Kosk s t, niin on olemss sellinen sn u, että joukko {s u, t u} ei ole synkronisoituv. Kosk lisäksi joukot S u j T u ovt klikkejä, niin mitkään joukon (S T) u tilprit eivät muodost synkronisoituv joukko, eli (S T) u on klikki. Kosk s u t u, niin (S T) u = A + 1, mikä on vstoin joukon S mksimlisuusoletust. 31

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.

Kuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi. Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko

3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko 3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:

Lisätiedot

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij

Lisätiedot

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen

7 Funktiosarjoista. 7.1 Funktiosarjojen suppeneminen 7 Funktiosrjoist 7. Funktiosrjojen suppeneminen Seurvksi trkstelln srjoj, joiden termit ovt (lukujen sijst) jollkin välillä I määriteltyjä funktioit. Täsmällisemmin funktiosrjll (ti lyhyemmin srjll) trkoitetn

Lisätiedot

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F)

Olkoon. M = (Q, Σ, δ, q 0, F) T 79.148 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2.4 Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Riemannin integraalista

Riemannin integraalista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Aij Stenberg Riemnnin integrlist Mtemtiikn j tilstotieteen litos Mtemtiikk Syyskuu 2010 2 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos STENBERG, AIJA: Riemnnin

Lisätiedot

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään

Olkoon. äärellinen automaatti. Laajennetaan M:n siirtymäfunktio yksittäisistä syötemerkeistä merkkijonoihin: jos q Q, x Σ, merkitään T 79.00/002 Tietojenkäsittelyteorin perusteet 2. Äärellisten utomttien minimointi Voidn osoitt, että jokisell äärellisellä utomtill on yksikäsitteinen ekvivlentti (so. smn kielen tunnistv) tilmäärältään

Lisätiedot

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:

Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita: 2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:

Lisätiedot

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss

Lisätiedot

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita. 8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst

Lisätiedot

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause

Pythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin

Lisätiedot

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten

Lisätiedot

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita. T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

5 Epäoleellinen integraali

5 Epäoleellinen integraali 5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss

Lisätiedot

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },

Q = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 }, T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,

Lisätiedot

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä 2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 5, 8. 12. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Hhmolusekkeet ovt esimerkiksi UN*X-järjestelmien tekstityökluiss käytetty säännöllisten lusekkeiden

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 22. syyskuuta 2016 lusekkeet, lusekkeet, TIEA241 Automtit j kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhni Kijnho lusekkeet j smuus TIETOTEKNIIKAN LAITOS 22. syyskuut 2016 Sisällys lusekkeet, lusekkeet lusekkeet j smuus j smuus lusekkeet

Lisätiedot

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat (0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille 2 800118P Mtemtiikn perusteet tloustieteilijöille 2 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2014 Sisältö 1 Mtriisilgebr j optimointi 4 11 Määritelmä 4

Lisätiedot

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Ristitulo ja skalaarikolmitulo Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden

Lisätiedot

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS 11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv

Lisätiedot

Sinilause ja kosinilause

Sinilause ja kosinilause Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,

Lisätiedot

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6

Lisätiedot

2.2 Automaattien minimointi

2.2 Automaattien minimointi 24 2.2 Automttien minimointi Kksi utomtti, jotk tunnistvt täsmälleen smn kielen ovt keskenään ekvivlenttej Äärellinen utomtti on minimlinen jos se on tilmäärältään pienin ekvivlenttien utomttien joukoss

Lisätiedot

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?

Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä? Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.

Lisätiedot

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

2.1 Vaillinaiset yhtälöt .1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön

Lisätiedot

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R.

TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jatkuvia funktioita f n : [a, b] R, joka suppenee välillä [a, b] tasaisesti kohti funktiota f : [a, b] R. Topologi I Hrjoitus 10, rtkisuj AP TEHTÄVÄ 1. Olkoon (f n ) jono jtkuvi funktioit f n : [, b] R, jok suppenee välillä [, b] tsisesti kohti funktiot f : [, b] R. Osoit, että tällöin f n (x) dx f(x) dx.

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Harri Lehtinen. Kongruenssista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Hrri Lehtinen Kongruenssist Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos Mtemtiikk Helmikuu 006 Tmpereen yliopisto Mtemtiikn, tilstotieteen j filosofin litos LEHTINEN,

Lisätiedot

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on 4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Valinnaisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluva tutkielma. Lauri Kumpulainen. Büchin automaateista

TAMPEREEN YLIOPISTO Valinnaisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluva tutkielma. Lauri Kumpulainen. Büchin automaateista TAMPEREEN YLIOPISTO Vlinnisten opintojen syventäviin opintoihin kuuluv tutkielm Luri Kumpulinen Büchin utomteist Luonnontieteiden tiedekunt Tietojenkäsittelytieteiden tutkinto-ohjelm Huhtikuu 2017 Tmpereen

Lisätiedot

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2017 Harjoitus 6, ratkaisuista. 1. Onko jokin demojen 5 tehtävän 3 relaatioista Mtemtiikn johntokurssi, syksy 07 Hrjoitus 6, rtkisuist. Onko jokin emojen 5 tehtävän reltioist ) R := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, ) S := {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ),

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,

Lisätiedot

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN 3..07 VEKTOREILLA LASKEMINEN YHTEENLASKU VEKTORIT, MAA Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on

Lisätiedot

VEKTOREILLA LASKEMINEN

VEKTOREILLA LASKEMINEN ..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2016 Kierros 2, 18. 22. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D1: Formuloi luennoll (monisteen s. 17) esitetty yksinkertinen khviutomtti täsmällisesti äärellisen

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen

Lisätiedot

Suorat, käyrät ja kaarevuus

Suorat, käyrät ja kaarevuus Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.

Lisätiedot

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.

Määritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku. Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio

Lisätiedot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot

1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot . Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1 SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 6 / vko 13 MS-A040 Diskreetin mtemtiikn perusteet, IV/07 Kngslmpi / Jkosson Diskreetin mtemtiikn perusteet Lskuhrjoitus / vko Tuntitehtävät 4-4 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-4 loppuviikon hrjoituksiss.

Lisätiedot

Numeerinen integrointi

Numeerinen integrointi Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)

Lisätiedot

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b 5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),

Lisätiedot

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä Lebesguen integrli - Rieszin määritelmä Tru Lehtonen Mtemtiikn pro grdu-tutkielm Jyväskylän yliopisto Mtemtiikn j tilstotieteen litos Kevät 216 Tiivistelmä Jyväskylän Yliopisto Lehtonen, Tru Puliin: Lebesguen

Lisätiedot

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI 4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI Neliömtriisin determinntti Neliömtriisin A determinntti on luku, jot merkitään det(a) ti A. Lskeminen: -mtriisin A determinntti: det(a) -mtriisin A determinntti esim.

Lisätiedot

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion

Lisätiedot

4 Taso- ja avaruuskäyrät

4 Taso- ja avaruuskäyrät P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen

Lisätiedot

Laskennan perusmallit (LAP)

Laskennan perusmallit (LAP) Lskennn perusmllit (LAP) Kimmo Fredrikssonin j Mtti Nykäsen mterileist muoknnut Pekk Kilpeläinen Tietojenkäsittelytieteen litos, Itä-Suomen yliopisto sähköposti: pekk.t.kilpelinen@uef.fi Lukuvuoden 2014

Lisätiedot

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka )

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (Predikaattilogiikka ) T-79.3001 Kevät 2009 Logiikk tietotekniikss: perusteet Lskuhrjoitus 7 (Predikttilogiikk 9.1 10.2) 19.3. 23.3. 2009 Rtkisuj demotehtäviin Tehtävä 9.1 Rtkisuss on käytetty usen otteeseen rjoitettuj universli-

Lisätiedot

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [ 1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x

Lisätiedot

SUORAKULMAINEN KOLMIO

SUORAKULMAINEN KOLMIO Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 4. Lukujonon rj-rvo....................... 4. Monotoniset jonot..........................3 Osjonot.............................. 7.4

Lisätiedot

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus

3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto

Lisätiedot

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.

Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon. 5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson

Lisätiedot

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30 Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS 0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi

Matematiikan peruskurssi. Seppo Hassi Mtemtiikn peruskurssi Seppo Hssi Syksy 2014 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemtiikn peruskurssin opetusmonisteest, jonk sisältö noudttelee pitkälti Vsn yliopistoss iemmin luennoimni Mtemttiset menetelmät

Lisätiedot

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)

5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa) 5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C Tietojenkäsittelyteori Kevät 6 Kierros 8, 7.. mliskuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Määrittele Turingin koneen stndrdimllin muunnelm, joss koneen työnuh on molempiin suuntiin ääretön, j osoit

Lisätiedot

6 Integraalilaskentaa

6 Integraalilaskentaa 6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 ANALYYSI I, kevät 2009 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä 2 Lukujonoist 3 2. Lukujonon rj-rvo....................... 3 2.2 Monotoniset jonot......................... 7 2.3 Osjonot..............................

Lisätiedot

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20

Sisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20 Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät

Lisätiedot

ANALYYSI I, kevät 2009

ANALYYSI I, kevät 2009 5 Riemnnin integrli 7 ANALYYSI I, kevät 9 5. Integrlin perusominisuuksi................. 76 5. Anlyysin perusluse....................... 8 Sisältö Relilukujen peruskäsitteitä Lukujonoist 3. Lukujonon rj-rvo.......................

Lisätiedot

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää

Matematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt

Lisätiedot

6.2 Algoritmin määritelmä

6.2 Algoritmin määritelmä 6.2 Algoritmin määritelmä Mitä lgoritmill yleensä trkoitetn? Peritteess: Yksiselitteisesti kuvttu jono (tietojenkäsittely)opertioit, jotk voidn toteutt meknisesti. Käytännössä: luonnollist kieltä, pseudokoodi

Lisätiedot

3 Integraali ja derivaatta

3 Integraali ja derivaatta 3 Integrli j erivtt 3.1 Integrli ylärjns funktion Olkoon funktio f Riemnn-integroituv välin I jokisell suljetull osvälillä j välin I jokin kiinteä luku. Tällöin integrli määrittelee funktion G(): I R,

Lisätiedot

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Viivaintegraali: Pac- Man - tulkinta. Perinteisempi tulkinta: 1D 3/19/13 Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes

Lisätiedot

PRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista

PRO GRADU -TUTKIELMA. Eeva Mäkelä. Hiloista ja Boolen algebroista PRO GRADU -TUTKIELMA Eev Mäkelä Hiloist j Boolen lgeroist TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden tiedekunt Mtemtiikk Mrrskuu 2017 Tmpereen yliopisto Luonnontieteiden tiedekunt MÄKELÄ, EEVA: Hiloist j Boolen

Lisätiedot

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi

Matemaattiset menetelmät I. Seppo Hassi Mtemttiset menetelmät I Seppo Hssi Syksy 2011 iii Esipuhe Tämä on 1. versio Mtemttiset menetelmät I-kurssin opetusmonisteest, jok perustuu Vsn yliopistoss luennoimni vstvn nimiseen kurssiin. Sisältö noudtt

Lisätiedot

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut . Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x

Lisätiedot

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }

Lisätiedot

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että

Analyysi 2. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Kevät Anna sellainen välillä ] 2, 2[ jatkuva ja rajoitettu funktio f, että Anlyysi Hrjoituksi lukuihin 3 / Kevät 5. Ann sellinen välillä ], [ jtkuv j rjoitettu funktio f, että () sup A m A j inf A min A, (b) sup A m A j inf A = min A, (c) sup A = m A j inf A min A, (d) sup A

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa. Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä

Lisätiedot

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A

3.5 Kosinilause. h a c. D m C b A 3.5 Kosiniluse Jos kolmiost tunnetn kksi sivu j näien välinen kulm, sinilusett on sngen vike sovelt kolmion rtkisemiseen. Luse on työklun vuton myös kolmion kulmien rtkisemiseen tpuksess, jolloin kolmion

Lisätiedot

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,

Lisätiedot

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella H 8.3.2 uontegrlt: vektoreden pntntegrlt Tvllsn tpus pntntegrlest on lske vektorkentän vuo pnnn läp: Trkstelln pnt j sllä psteessä P (x, y, z olev pnt-lkot d. Määrtellään vektorlnen pnt-lko d sten, että

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Srjt j integrlit c Mtemttisten tieteiden litos, Oulun yliopisto Versio: 9.3.0 Viimeksi muoknnut: Peter Hästö Sisältö Funktion rj-rvo j jtkuvuus. Peruskäsitteitä........................................

Lisätiedot

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,

( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x, Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d

Lisätiedot

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.

Lisätiedot

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin

Lisätiedot

Polynomien laskutoimitukset

Polynomien laskutoimitukset Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää

Lisätiedot

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1 VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON

Lisätiedot

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012.

Tampereen teknillinen yliopisto hum Konstruktiotekniikan laitos. MEC-2430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy 2012. mpereen teknillinen yliopisto hum 3.8. Konstruktiotekniikn litos MEC-430 Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk Syksy 0. Mtemtiikn j mtriisilskennn kertust Yleistä Kirjoittelen tänne joitin kurssin keskeisiä

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4.50 Lsknnllinn systmiiologi 4. Hrjoitus. Viill tutkittvll ljill (,, c, j ) on määrätty täisyyt c 0 8 8 8 0 8 8 8 c 0 4 4 0 0 Määritä puurknn käyttän UPGMA-mntlmää. Näytä kunkin vihn osrkntt vstvin täisyyksinn.

Lisätiedot

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti

Lisätiedot