º F(+,+ ) = 1 F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й

Transkriptio

1 Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ Ø Ý Ø ØÝØ ÙÑ Ø º º º º º º º ½ º½º à ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º ½ º½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÑ º º º º º º º º º ½ º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ º º º º º º º º º º º º ¾¼¼ º¾º½ ÅÓÑ ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼½ º¾º¾ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º ¾¼¾ º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º¾ Ë ÑÓ Ò ÙØÙÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ËÂʵ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó º º º º º ¾¼ º ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò Ù¹ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ã Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º¾ ÃÓÖÖ ÐÓ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º º½ Ð Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º º º º º ¾½ º º¾ ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ F ¹ ÙÑ Ø ¹ ÙÑ º º º ¾½ Ø ÒÚ ØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ À Ö Ó ØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾

2 ÄÙ Ù ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ ¾º ÐÙÚÙ Ø ÐØ Ò Ý Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ º Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ù Ñ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ º Ò ÑÑ Ð ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò Ý Ø ÙÑ ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ø Ý ÙÒ Ø Óº Ë ØØ Ò Ø ¹ ØÒ Ö ÙÒ ÙÑ Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò ØØ Øº ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ØØ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ò Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓ Ú Ö Ò º º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø Ì Ð ØÓÐÐ ÓÚ ÐÐÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ø Ù Ø ÑÙÙØØÙ Ñ Ò¹ Ø º Ñ Ö Ø ØØ ÐÙØÙØ ÑÙ Ú Ð Ø Ò ÓÔ Ð Ó Ø ¹ ØÙÒÒ ÓØÓ ÓØÓ º ÂÓ ÐØ ÓØÓ Ò Ó ÙÒ ÐØ Ý ÝØÒ Ù Ø Ý ÝÑÝ Ð Ò Ø Ø ÐØ Ú Ò Ø Ù Ø Ø ØÓ Ò Ñ Ö Ù ÙÔÙÓÐ Ù ÒÔ Ò º ÇØÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ Ù Ø ÑÙÙØØ٠ݹ ÝÑÝ Ø Ø Ù Ø ÑÙÙØØ٠صº ÌÐÐ Ò Ò Ø ÐÑ Ñ ÓÐÐ Ø ÑÙÙØØÙ Ò ÚÐ Ø Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò Ø Ö Ø ÐÙÒº Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÑ Ò Ð ØØÝÚ ØØ Ø º Ò Ò Ø ÐÐÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù º Ë Ò Ð Ò ÓÒ ÙÓÖ Ú Ú Ø ÝÐ Ø Ø Ö Ø ÐÙ Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ¹ Òº ÃÙÒ Ø ÑÑ ØÙÒÒ Ó Ò ÓÐ ÑÑ Ù Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ù Ø Ö ØÙÐÓ Ø Ñ Ò Ø º À Ø ØÒ Ñ Ò Ø Ø ÒÓÔÔ ¹ Ú ÒÒÓ Ò ÙÑÑ Ò Ò ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ùº ÇÐ ÓÓÒ X ÒÓÔ Ò Y ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ùº ÃÓ Ò ØÙÐÓ ÚÓ Ò ØØ ÙÐÓØØ Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÚÙÐÐ º ÂÓ ÙÖ ÐÐ ÓÒ ÚÐ Ó ØØ ÚÓ Ò ÓÔ Ð Ò Ñ ØÙÐÓ ØØ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ñ X ÓÒ. ÚÐ Ó Ò Y ÓÒ. ÚÐ Ó Ò ØÙÐÓ º Ê Ó ØÙÑÑ Ø Ö Ø Ð Ñ Ò Ø Ô Ù Ø Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ó Ó Ö ØØ Ø Ø ÙÚ º Å Ö ØÒ ØÙÒÒ ¹ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ý Ø ÙÑ P X,Y ÑÖ Ø ÐÐÒ ØÓ ÒÒ ÝÝØ Ò P X,Y (S) = P[(X,Y) S] ÐÐ S R Ñ R ÓÒ ¹ÙÐÓØØ Ò Ò Ù Ð ¹ Ò Ò Ú ÖÙÙ Ð Ø Óº ½

3 ½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÅÖ Ø ÐÑ º½ ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ý Ø ÙÑ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ½º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ý Ø ÙÑ ÓÒ ÓÙ Ó ÙÒ Ø Ó Ó Ð ØØ R Ò Ó ÓÙ Ó Ò S R ÖÚÓØ º½º½µ P[(X,Y) S] = P({ω Ω (X(ω),Y(ω)) S}), S R S Ò Ñ ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ P X,Y (S)º ¾º ÃÙÒ Ú Ð Ø Ò S = (,x] (,y] ÙÖ Ö Ð Ø Ó Ø º½º½µ P[(X,Y) (,x] (,y] = P({ω Ω (X(ω) x,y(ω) y}) = P(X x,y y). ÌÑ Ö Ð Ø Ó ÑÖ ØØ Ð Ø Ó Ô Ø ÙÒ Ø ÓÒ F X,Y : R [0,] F X,Y (x,y) = P(X x,y y), Ó ÓÒ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ÂÓ ØÙÒÒ ÑÑ ÙÑ Ò P X,Y Ò Ò ÅÖ Ø ÐÑÒ º½ ÑÙ Ò ÚÓ ÑÑ ÑÖ ØØ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X,Y º ÃÒØ Ò Ò ØÙÐÓ Ô Ø ÑÝ Ô Ò Ã ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X,Y ÑÖ ØØ Ý ØØ ¹ Ø ÙÑ ÒP X.Y º Ì Ò ÒØ Ò ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ØÖ Ý ØÓ ÒÒ ÝÝ Ð ÒÒ º ÌÓ ØÙ ÓÒ Ú Ø Ú ÙÙÐÙ ØÑÒ ÙÖ Ò Ø Òº à ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F X,Y ÓÒ Ñ ÒÐ ØØ ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ù Ò Ý Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ º Ä Ù º½ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÐÐ F X,Y ÐÝ Ý Ø F µ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º 0 F(x,y) ÐÐ x,y Rº ¾º ÂÓ x x y y Ò Ò F(x,y ) F(x,y )º º F(x,y )+F(x,y ) F(x,y ) F(x,y ) 0. º F ÓÒ Ó ÐØ Ø ÙÚ ÂÓ x n x + y n y + Ò Ò F(x n,y n ) F(x,y) ÙÒ n. º F(+,+ ) = F(, ) = F(,y) = F(x, ) = 0 й Ð x,y Rº Å Ö ÒØF(+,+ ) Ø Ö Ó ØØ Ö ¹ ÖÚÓ lim n F(x n,y n ) ÙÒ x n y n º ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ØØ X ÖÚÓ x i, i Y ÖÚÓ y j, j º Ë ØÙÙÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Ò

4 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ Ñ Ö ØÒ f X,Y ÑÖ Ø ÐÐÒ f X,Y (x i,y j ) = P(X = x i,y = y j )º Ë ÐÐÓ Ò P(S) = P[(X,Y) S] = (x i,y j ) S f X,Y (x i,y j ). ÙÒ Ø ÓØ f X,Y ÙØ ÙØ Ò ÑÝ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø Ó ÐÐÓ Ò ÙÒ X Y ÓÚ Ø Ö ØØ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾ ÇÐ ÓÓØ X Y ÐÐ Ö Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØØ X Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S X = {x i i } Y Ò ÖÚÓ ÓÙ Ó S Y = {y j, j }º ÖÚÓ ÓÙ ÓØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ö ÐÐ Ø ÒÙÑ ÖÓ ØÙÚ Ø Ö ØØ Ñ º Ë ØÙÒÒ ¹ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ ÓÙ Ó S = S X S Y = {(x i,y j ) i, j } Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X,Y (x,y) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø f X,Y (x,y) = { P(X = x i,y = y j ), Ó x = x i y = y j 0 ÑÙÙØÓ Òº ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÙÖ Ú Ø X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ù٠غ Ä Ù º¾ ÇÐ ÓÓÒ f X,Y (x,y) ÐÝ Ý Ø f(x,y)µ ÙØ Ò ÅÖ Ø ÐÑ º¾º Ë Ð¹ ÐÓ Ò ½º f(x,y) 0 ÐÐ (x,y) R ¾º ÐÐ S R, P[(X,Y) S] = (x i,y j ) S f(x i,y j )º º Ö ØÝ Ø F(x,y) = f(x i,y j ) x i x,y j y x i S X,y j S Y f(x i,y j ) =. Ñ Ö º½ ÇÐ ÓÓÒ (X,Y) ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÓÒ ÖÚÓ ÓÙ Ó ÓÒ S = {(0,),(0,),(,0),(,),(,0)} ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x,y) = c(x+y), (x,y) S. ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÙÖ ØØ c(x+y) = c(+4++3+) = c =, (x,y) S

5 ½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÓØ Ò c = º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö P(X > Y) = f(,0)+f(,0) = 3 P(X Y) = f(,0)+f(,0)+f(,) = 6. ÇÐ Ø Ø Ò ÒÝØ ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ø ÙÚ º Ä ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò R ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó f X,Y ØØ ÐÐ Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ x y F X,Y (x,y) = x y f X,Y (s,t)dsdt. ÅÖ Ø ÐÑ º ÇÐ ÓÓØ X Y Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f X,Y ØØ º½º¾µ º½º µ f X,Y (x,y) 0 ÐÐ x,y R, P[(X,Y) S] = f X,Y (x,y)dxdy, S R. S ÙÒ Ø ÓØ f X,Y ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó º ÅÖ Ø ÐÑ Ø Ò ÐÝÝ Ò Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ø Ò ÙÖ ¹ Ú Ð Ù Ø ØÝØ ØÙÐÓ Øº Ä Ù º ÇÐ ÓÓÒ f X,Y ÐÝ Ý Ø fµ ÅÖ Ø ÐÑ º ÐÙÓÒÒ ØØÙ Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò x y ½º F(x,y) = f(s,t)dsdt ÐÐ x,y R Î Ð Ø Ò S = (,x] (,y] Ð Ù º½º µµº ¾º R R f(x,y)dxdy = R = R Ð Ù º½º µµº º f(x,y)dxdy = Î Ð Ø Ò S = (R F(x,y) x y = f(x,y) f(x,y) Ò Ø ÙÚÙÙ Ô Ø º Ä Ù Ò º Ó Ø 3 ÙÖ ÒØ Ö Ð Ð ÒÒ Ò Ô ÖÙ Ð Ù Ø º Ë Ò ÒÓ¹ ÐÐ º½º µ F(x,y) x y = f(x,y) f(x,y) Ò Ø ÙÚÙÙ Ô Ø º Ê Ð Ø Ó º½º µ ÓÒ Ý ÝÐÐ Ò Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó ØÙÒÒ Ø Ò ÐÙØ Ò Ó Ø Ø Ý ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó f(x,y) Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ F(x,y) x Ò ØØ y Ò Ù Ø Ò Ð Ð Ñ ÐÐ Ó ØØ Ö Ú ØØ F(x,y) x y º

6 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ Ñ Ö º¾ ÇÐ ÓÓÒ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó xy, 0 x 0 y ; y, x >, 0 y ; F(x,y) = x, y >, 0 x ; Ä Ñ ÐÐ Ó ØØ Ö Ú ØØ F(x,y) x y f(x,y) =, x > y > ; 0, x < 0 Ø y < 0. Ò {, 0 x, 0 y ; 0 ÑÙÙ ÐÐ º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (X,Y)ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø Ø ÙÑ Ì [(0,) (0,)]º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø P(x X x, y Y y ) = x y x Ð Ø Ô Ø Ô Ò ØØ P(x X x, y Y y ) y dydx = / x x / y y xy = (x x )(y y ) = x y x y x y +x y = F(x,y ) F(x,y ) F(x,y )+F(x,y ). = F(x,y ) F(x,y ) F(x,y )+F(x,y ). Ã Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø ÙÑ Ò Ì [(0,) (0,)] Ø Ô Ù ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ P ( X, Y 3 4 4) ÓÒ ( F, 3 ) ( F 4, ) ( F 4, 3 ) ( +F 4 4, ) = = 6. Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x,y) = 3 x ( y ), < x <, < y <.

7 ½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÅÖ Ø ÐÐÒ A = {(x,y) 0 < x <, 0 < y < x}º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ØØ (X,Y) A ÓÒ º½º½ P[(X,Y) A] = = x x ( y)dydx = ) (x 3 x4 dx = 3 0 / 0 3 x / x 0 (y y ( ) x 4 4 x5 0 Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø = ) dx ÇÐ ÓÓÒ F X,Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó f X,Y Ø Ý ÙÒ Ø Óº Ø ÙÑ Ò Ý Ø Ý ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙÙ Ò ØØ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Øº Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ñ Ö Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓØ F X,Y (x,y) = P(X x,y y) ÒÒ ¹ Ø Ò y Ò Ú Ö ØØ Ð y º Ë ÐÐÓ Ò Ò F X,Y (x, ) = P(X x,y ) = P(X x) = F X (x). Æ Ò Ò X Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F X (x) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý ¹ Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ø F X,Y (x,y)º ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ØØ ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ f X,Y Ò Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ò Ò f X (x i ) = P(X = x i ) = P(X = x i, < Y < ) = y j S Y f X,Y (x i,y j ). ÌÑ ÓÒ X Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø Ó Ø f X,Y (x i,y j )º ÅÖ Ø ÐÑ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ö ÙÒ ÙÑ Ò ÖØÝѹ Ø Ý ÙÒ Ø Óغ ½º ÇÐ ÓÓÒ F X,Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò F X (x) = F X,Y (x, ) = lim F X,Y (x,y) y º½º µ F Y (y) = F X,Y (,y) = lim F X,Y (x,y) x ÓÚ Ø X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ F X,Y Ö ÙÒ ÖØÝѹ ÙÒ Ø ÓØ º F X (x) ÓÒ X Ò F Y (y) Y Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óº ¾º ÇÐ ÓÓÒ f X,Y ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø º½º µ f X (x i ) = f X (x) = y j S Y f X,Y (x i,y j ), f Y (y j ) = f X,Y (x,y)dy, f Y (y) = x i S X f X,Y (x i,y j ) Ö ØØ f X,Y (x,y)dx.

8 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ Ì Ý ÙÒ Ø ÓØ f X f Y ÓÚ Ø Ý Ø Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ f X,Y Ö ÙÒ Ø Ý f X ÓÒ X Ò f Y ÓÒ Y Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó º½º µ f(x,y) = f X (x)f Y (y) ÐÐ x,y R. ÇÐ ÓÓØX Y Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓØ Ú Ø ÖÚÓ x i, i y j, j º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ø Ô ØÙÑ Ø A i = {X = x i } = {ω X(ω) = x i } S j = {Y = y j } = {ω Y(ω) = y j } Ñ (x i,y j ) R º Ë ÐÐÓ Ò A i S j = {X = x i, Y = y j }º ÃÓ Ò Ò P(A i S j ) = P(X = x i,y = y j ) = f(x i,y j ) P(S j ) = P(Y = y j ) = f Y (y j ), P(A i S j ) = P(A i S j ) P(S j ) = f(x i,y j ) f Y (y j ), Ñ ÓÐ Ø Ø Ò f Y (y j ) > 0º ÌÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ò ØØ º½º µ f X Y (x i y j ) = f(x i,y j ) f Y (y j ), Ñ y j ÓÒ ÒÒ Ø ØØÝ f Y (y j ) > 0. ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ø ÙÚ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ Ó Ø ÒÒ ØØÙ Y = y f Y (y) > 0 Ó Ø ÓÐÐ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ú Ø Ú Ø º½º µ f X Y (x y) = f(x,y) f Y (y). ÅÖ Ø ÐÑ º ØÐ º½º µ ÑÖ ØØ Ð X Ò ÓÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÐÐ Y = y j Ý ØÐ º½º µ ÑÖ ØØ Ð X Ò ÓÐÐ Ò Ø Ý ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÐÐ Y = yº Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Y Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ X = x i Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ X = xº Ñ Ö º Ñ Ö º½ Ø ÐÐÝÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x,y) = x+y, ÙÒ (x,y) S, Ñ S = {(0,),(0,),(,0),(,),(,0)}º ÀÙÓÑ ØØ f(x,y) = 0 ÙÒ (x,y) / Sº X Ò Y Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø f X (x) = f(x,y) f Y (y) = y=0 f(x,y). x=0

9 ½ ¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø X Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Y = y ÓÒ f(x y) = f(x,y) f Y (y), x = 0,,. Ë Ò ÓÐÑ X Ò ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ f (x 0) = x 3, x = 0,,; f (x ) = x+, x = 0,; 5 f (x ) =, x = 0. Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò ÓÐÑ Y Ò ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ ÓÐÐ X = xº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÚØ ÓÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ñ Ö f(0,) = 6 f X(0)f Y () = 5 = 5 4. X Ò Y Ò Ö ÔÔÙÚÙÙØØ Ú º Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÓÑÙÙØØ µ ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú Ø Ö¹ Ø ÐÐ ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º Y Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ X = ÓÒ ÃÓ f (y ) = f(,y) f X () = +y / f (y ) f Y (y), 3 = +y, y = 0,. 4 ÚÓ ÑÑ ÐÐ Ò ÔØ ÐÐ ØØ X Y ÚØ ÓÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ñ Ö º À ØÙ ÓÒ ÓÖØØ ÓØ ÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ØÙ Ý Ø ÓÐÑ Òº Î Ð Ø Ò ØÙ Ø Ô Ö Ò ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ¾ ÓÖØØ º ÇÐ ÓÓÒ X Ò Ú Ð ØÙÒ ÓÖØ Ò ÒÙÑ ÖÓ Y ØÓ Ò ÓÖØ Ò ÒÙÑ ÖÓº Ë ÐÚ Ø Ò P(X = i) = f X (i) = 3, i =,,3. ÇÒ ÐÔÔÓ Ú Ø ØØ ØÓ Ò Ú Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ Y Ö ÔÔÙÙ ½º Ú Ð ÒÒ Ò ØÙÐÓ ¹ Ø P(Y = X = ) = 0, P(Y = i X = ) =, i =,3; P(Y = X = ) = 0, P(Y = i X = ) =, i =,3; P(Y = 3 X = 3) = 0, P(Y = i X = 3) =, i =,. ÃÓ P(X = i,y = j) = P(X = i)p(y = j X = i) Ò Ò X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ {, ÙÒ i j 6 º½º½¼µ f(i,j) = f X (i)f (j i) = 0, ÙÒ i = j i 3 j 3º

10 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ ½ f(i,j) 6 ½ ¾ Y 3 ÃÙÚ Ó º½º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(i,j) ÙÒ X ÓÒ ½º Ú Ð ÒØ Y ÓÒ ¾º Ú Ð ÒØ Ô Ð Ùع Ø Ñ ØØ ÓÙ Ó Ø {,,3}º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ ÓÙ Ó S = {(,),(,3),(,),(,3),(3,), (3,)} ÐÐ P(X = i,y = j) > 0 ÐÐ (i,j) S P(X = i,y = j) = 0 Ó (i,j) / Sº  ÙÑ º½º½¼µ ÓÒ Ñ Ö ÝÑÑ ØÖ Ø ¾¹ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º Ö Ø Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÙÑ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ó Ò ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x,y) ÓÒ ÝÑ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ë Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ f(x,y) = f(y,x) Ñ S ÓÒ (X,Y) Ò ÖÚÓ ÐÙ º ÐÐ (x,y) S Ñ Ö º ÇÐ ÓÓÒ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x,y) =, 0 x y, ÑÙÙ ÐÐ f(x,y) = 0º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ Ú ÖÙÙ ÓÒ S = {(x,y) 0 x y }º y S y = x X x S = {(x,y) 0 x y } ÃÙÚ Ó º¾º Ì ÙÑ Ò f(x,y) = ÑÖ ØØ ÐÝ ÐÙ Sº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÓ ÒÒ ÝÝ ( P 0 X, 0 Y ) ( = P 0 X Y, 0 Y ) = / y / dydx = ydy =

11 ½ ¾ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø Ê ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø f X (x) = dy = ( x), 0 x, x f Y (y) = y dx = y, 0 y. 0 Ä Ø Ò Ú Ð X Ò Y Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓØ Y Ò º ÑÓÑ ÒØØ º E(X) = xdydx = x( x)dx = 3, 0 x 0 y E(Y) = ydxdy = y dy = 3, y E(Y ) = y dxdy = y 3 dy = Ç ÓØÙ ÖÚÓØ E(X) E(Y) E(Y) ÚÓ Ò Ð Ó Ó ÙÓÖ Ò Ö ÙÒ Ù¹ Ñ Ø Ø ØØ Ò Ý Ø ÙÑ Ø º Æ Ò ÐÔÓ Ø ØØ Ñ Ö º ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÚØ ÓÐ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó f X (x)f Y (y) = ( x)y f(x,y) =, (x,y) S. Ë Ò Ò ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ö º ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ñ Ö º ÇÐ ÓÓØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y Ñ Ø Ù Ò Ñ Ö ¹ º Ë ÐÐÓ Ò f(x,y) =, 0 x y, f X (x) = ( x), 0 x, f Y (y) = y, 0 y. ÅÖ Ø ØÒ ÒÝØ Y Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÙÒ X = x ÓÒ ÒÒ ØØÙº ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò f(y x) = f(x,y) f X (x) = ( x) =, x y, 0 x. x

12 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ X = x ÓÒ E(Y x) = x y x dy = Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ ÓÒ / y ( x) = +x x E(X y) = y, 0 y., 0 x. ËÙÓÖ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐÐ X = x E ( [Y E(Y x)] x ) = = x / x ( y +x ) x dy ( y +x ) 3 3( x) = ( x). ÂÓ U Tas(a,b) Ò Ò E(U) = a+b Var(U) = (b a) º ÃÓ Y Ò Óй Ð Ò Ò ÙÑ ÓÐÐ X = x ÓÒ Tas(x,) Ò Ò ÓÐ ÑÑ ÚÓ Ò Ø Ø Ù¹ Ñ Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÙÓÖ Ò ØÓ Ø ØØ E(Y x) = x+ Ä Ø Ò Ú Ð ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(3/4 Y 7/8 X = /4) = 7/8 3/4 Var(Y x) = ( x). f(y /4)dy = 7/8 3/4 3/4 dy = 6. À Ú Ø ÑÑ ÐÐ Ñ Ö ØØ Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ x Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÒ Ø Ó E(Y x) = + x, 0 x. ÂÓ E(Y x) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò Ô Ø ÝÐ Ø Ô Ò ØØ E(Y x) = µ Y +ρ σ Y σ X (x µ X ), Ñ ρ = Cor(X,Y) ÓÒ X Ò Y Ò ÚÐ Ò Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó σ X ÓÒ X Ò ÓÒØ σ Y ÓÒ Y Ò ÓÒØ º ÂÓ E(X y) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ò Ò E(X y) = µ X +ρ σ X σ Y (y µ Y ).

13 ½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò E(Y x) E(X y) Ý ØÐ ÖØÓ Ñ Ò ρ σ Y σ X ρ σ X σy ØÙÐÓ ÓÒ ρ º Ñ Ö º Ò Ò ÖØÓ Ñ Ò ØÙÐÓ ÓÒ ρ = º Ë 4 ρ = Ó ÑÓÐ ÑÑ Ø ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Øº Æ Ò ÖØÓ Ñ Ò Ù ¹ ÓÒ σy /σ X Ñ Ö ØÑ Ù ÓÒ º Ì Ø ÚÓ ÑÑ ÔØ ÐÐ ØØ Ñ Ö º σx = σ Y º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Ò ÙÓÖ Ò Ö Ð Ø ÓÒ º½º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÐÐÝØØ Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Òf X (x) f Y (y) ØÙÒØ Ñ Ø º Ë ÙÖ Ú ÔÙÐ Ù Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò Ø Ö Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ò Ú ÖÖ Ò ÐÔÓÑÑ Ó Ò ÐÐÝØ Ø Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÙÒØ Ñ Ø º ÔÙÐ Ù º½ ÇÐ ÓÓÒ(X,Y) ÙÐÓØØ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÓÒ Ý Ø ¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x,y)º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ø ÙÒ Ø ÓØ g(x) h(y) ØØ f(x,y) = g(x)h(y) ÐÐ x R ÐÐ y R Ñ g Ö ÔÔÙÙ Ú Ò x Ø h Ú Ò y غ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ø ÐØ Ò Ó Ð ÐÙÚÙ º½º¾ ÒØ Ø ØØ º½º µº Ð ¹ ÐÙÚÙ º½º½ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÐÙÓÒÒ ØØ Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ó Ó¹ ØÙ ÖÚÓÒ º º½º½½µ º½º½ µµº ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò E(X Y = y) = x xf(x y) = x x f(x,y) f Y (y). ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÙØ ÙØ Ò ÙÑ Ò ÓÐÐ Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓ º X Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ Y = y ÓÒ º½º½½µ E(X Y = y) = xf(x y) Ø E(X Y = y) = x S X xf(x y)dx Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ X = x ÓÒ º½º½¾µ E(Y X = x) = yf(y x) Ø E(Y X = x) = y S Y yf(y x)dy. Æ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ñ Ö ØÒ ÑÝ E(X y) = µ X y E(Y x) = µ Y x. Î Ø Ú Ø ÑÖ Ø ÐÐÒ X Ò ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐÐ Y = y Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐÐ X = xº Y Ò ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ÓÐÐ X = x

14 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ ÓÒ º½º½ µ Var(Y x) = E [ (Y µ Y x ) x ] = (y µ Y x ) f(y x), Ø y S Y Var(Y x) = [y E(Y X = x)] f(y x)dy. ÓØ Ñ Ö ØÒ ÑÝ Var(Y x) = σy x º Ë Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ ÚÓ Ò Óй Ð Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐÐ Ñ Ø Ò ÙÑ Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÙÒÒÙ ¹ ÐÙ Ù ÙØ Ò Ñ Ö ÓÐÐ Ø ÑÓÑ ÒØ Ø Ø ÓÐÐ Ò Ò Ñ Ò º ÃÙÒ E(Y x) Ð Ø Ò Ö x Ò ÖÚÓ ÐÐ Ö ÔÔÙÙ ØÙÐÓ ÝÐ Ò x Ò ÖÚÓ Ø º ÂÓ ÐÙØ Ò ÓÖÓ Ø E(Y x) Ò Ö ÔÔÙÚÙÙØØ x Ø Ñ Ö ØÒ Ñ Ö E(Y x) = g(x)º Ë ÐÐÓ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÑÖ ØØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ g(x)º Ñ Ö º Ñ Ö º ÑÖ Ø ØØ Ò ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø ÓØ f (x 0),f (x ) f (x ) ÙÒ (X,Y) Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x,y) = x+y, (x,y) S. Ä Ø Ò ÒÝØ ÓÐÐ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓØ E(X y) y = 0,, E(X 0) = = 5 3, E(X ) = = 3 5, E(X ) = = 0. ÓÐÐ Ø Ú Ö Ò Ø Var(X y) y = 0,, ÓÚ Ø Ú Ø Ú Ø Var(X 0) = Var(X ) = ( 5 ) 3 ( ) + ( 5 ) 3 ( = 9, ) ( 3 ) 0 = 6 5 5, Var(X ) = (0 0) +( 0) 0+( 0) 0 = 0. ÀÙÓÑ ØØE(X Y = y) ÓÒy Ò ÙÒ Ø Ó Ð E(X Y = y) = h(y)º Å Ö ¹ ØÒ E(X Y) = h(y) Ñ E(X Y) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ö¹ ÚÓ E(X Y = y), y S Y º ÎÓ ÑÑ ÒÝØ Ð ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò E(X Y) Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ó ÓÒ E(X)º ÅÓÒ ÓÚ ÐÐÙ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ Ò Ò ÓÒ ÐÙÓÒØ Ú ÒØ ÓÐÐ Ø Ñ Ò ÙØØ º

15 ½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø Ä Ù º ÇÐ ÓÓØ X Y Ñ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ë ÐÐÓ Ò E[E(X Y)] = E(X)º ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò ØÙÐÓ Ö Ò Ö Ø ÐÐ Ø ÙÚ ÐÐ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ ÐÐ º Ö ØØ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ Ç ÓØÙ ÖÚÓÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò E[E(X Y)] = y = y = y = x = x E(X Y = y)f Y (y) x f(x,y) f x Y (y) f Y(y) xf(x,y) x x y f(x,y) xf X (x) = E(X), Ñ y f(x,y) = f X(x) ÓÒ X Ò Ö ÙÒ ÙÑ º Â Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ ÅÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò [ ] º½º½ µ E(Y) = yf(x,y)dydx = yf(y x)dy f X (x)dx, Ñ f(y x) ÓÒ Y Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ X = x f X (x) ÓÒ X Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÁÒØ ÖÓ ÒØ Ø Ò ÝÐ (X,Y) Ò ÖÚÓ Ú ÖÙÙ Òº ÃÓ ÑÔ ÒØ Ö Ð ÐÙ º½º½ µ ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y x) Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ º½º½ µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓ Ó E(Y) = E(Y x)f X (x)dx = E[E(Y X)], Ò Ò Ù Ò Ð Ù Ú Ø ØÒº ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò Var(X Y = y) = E[(X E(X Y = y)) Y = y] = E(X Y = y) [E(X Y = y)] ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ º½º½ º ÒØ Ø ØØ º½º½ µµº ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò Var(X Y) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÖÚÓ Var(X Y = y)º ÃÓ Ò Ò Var(X Y) = E(X Y) [E(X Y)], º½º½ µ E[Var(X Y)] = E[E(X Y)] E[E(X Y)] = E(X ) E[E(X Y)].

16 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ Ä Ù Ò º ÑÙ Ò E[E(X Y)] = E(X) E[E(X Y)] = E(X ) ÓØ Ò º½º½ µ Var[E(X Y)] = E[E(X Y)] [E(X)]. Ä Ñ ÐÐ Ý ØÐ Ø º½º½ µ º½º½ µ ÔÙÓÐ ØØ Ò Ý Ø Ò Ò ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØØÚ ØÙÐÓ º Ä Ù º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØÙ ÐÐ X Y Ô Ø Ô Ò ÒØ Ø ØØ Var(X) = E[Var(X Y)]+Var[E(X Y)], Ó Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÓÚ Ø ÓÐ Ñ º º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ Ø Ý Ø ØÝØ ÙÑ Ø Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÐÙ Ñ Ö Ò Ø ØÝÒ Ð ØØ Ò Ñ Ö ÓÔ Ó ÓÒ Ò Ö ¹ ÓÓÒØÙÑ Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ÓÓÒØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ X ÚÙÓ ÒÓÙ¹ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ λº ÃÙÒ Ð Ø ÓÒ Ö ÓÓÒØÙÒÙØ Ò ÓÖ¹ Ñ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú ÒÓÙ ØØ ÔÓÒ ØØ ÙÑ ÖÚÓÐÐ θ > 0º ÇÐ ÓÓÒ Y i Ó Ø ÖÚ Ø Ò iº Ö ÓÓÒØÙÑ Ò ÓÖ Ñ Òº ÇÐ Ø Ø Ò Ð ¹ ØØ ÓÖ Ù Ø Ö ÖÖÓ ÐÐ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÂÓ ÚÙÓ ØØÙÙ X = x Ö ÓÓÒØÙÑ Ø Ò Ò Ó ÓÒ ÓÖ Ù ÓÒ Ë ÐÐÓ Ò Y = Y +Y + +Y x. E(Y x) = E(Y )+E(Y )+ +E(Y x ) = xθ Var(Y x) = Var(Y )+Var(Y )+ +Var(Y x ) = xθ. ÐÐ Ð ØÙØ ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø ÓÐÐ ÓÐÐ X = xº ÓÐÐ Ò Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò µ(x) = E(Y x) = xθ σ (x) = Var(Y x) = xθ ÓÚ Ø x Ò ÙÒ Ø Ó Ø º ÃÓ X Poi(λ) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ò ÑÝ µ(x) = E(Y X) = Xθ σ (X) = Var(Y X) = Xθ ÓÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ë ÐÐÓ Ò E[µ(X)] = E[E(Y X)] = θe(x) = θλ, E[σ (X)] = E[Var(Y X)] = θ E(X) = θ λ, Var[µ(X)] = Var[E(Y X)] = θvar(x) = θλ. ÅÖ Ø ÑÑ ÐÐ Ò ÖØ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ E[E(Y X)] Ñ ¹ ÑÑ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓØ ØØÙ Y Ò Ù Ø Ò ÙÐÓÑÔ X Ò Ù Ø Òº

17 ½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ØÑÑ ÒÝØ Ò ÖØ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ó Ú Ò Ð Ù Ò Ó Ù Ò ÐÔÓØØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò Ð Ñ Ø º ÎÓ ÑÑ ÓÚ ÐØ ÒÝØ Ä Ù ØØ º Ð ØØ Ò Ö ÓÓÒØÙÑ Ø Ò Ú Ø Ñ ÓÖ¹ Ù Ó Ú Ò Ñ Ö Òº ÃÓ ÓÒ ÓÖ Ù ÚÙÓ ÓÒ Y Ò ÖÚÓ ÓÒ Ä Ù Ò º ÑÙ Ò E(Y) = E[E(Y X)] = E(θX) = θe(x) = θλ. ÌÐÐ Ò Ò ÓÚ ÐÐÙ ÓÒ ÐÚ ÒØ Ø ÐÐ Ø Ó Ò Ö Ö Ò Ñ ÐÐ Ò Ñ º Ú ØØÙÚ Ø Ö ÓÓÒØÙÑ Ø ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ Ò ÑÙ Ò ØØ Ò º Ú Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ÓÖ Ù Ø ÒØÙÚ Ø ÔÓÒ ÒØØ ÙÑ Ò ÑÙ Òº ÀÙÓÑ ØØ Ó ÓÒ ÓÖ Ù Ò Y ÖÚÓÔ Ö Ñ ØÖ ÓÒ ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ θx Ñ X ÒÓÙ ØØ ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ º Ë Y Ò ÙÑ ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐØÙ ÙØ Ù Ý Ø ØÝ ÙÑ Ó Ò Ý ¹ ØÝÚØ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÈÓ ÓÒ Ò ÙÑ ÓÖ Ù Ò ÔÓÒ ÒØØ Ù Ñ º Ç ÓØÙ ÖÚÓ E(Y) Ð ØØ ÓÒ Ý Ò ÖØ ÒØ Ð Ò Ò ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ E(Y X) ØØ Ò Ò Ò ÓÐÐ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓº Ë ÐÐÓ Ò Ð ÒÒ Ø ÖÚ Ø Y Ò Ö ÙÒ ÙÑÑ º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ä Ù Ò ÑÙ Ò E(Y)º º½º à ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ X Ber(p) ÓÒ Ö Ý ¹ Ò ÖØ ÑÔ Ø ÐØ Ú ÓÐ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ë Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X (x) = p x ( p) x, x {0,}, ÙÒ 0 p º ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÓÒ ÒÓÑ ÙÑ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ø Ò ØØ X Bin(,p)º à ÙÐÓØØ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ (X,Y) ÚÓ ÖÚÓØ (0,0) (0,) (,0) (,)º Ë Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º½º½ µ f(x,y) = p xy, x {0,} y {0,}, Ñ p 00 +p 0 +p 0 +p = º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ØØ ÑÝ ÑÙÓ Ó f(x,y) = p ( x)( y) 00 p ( x)y 0 p x( y) 0 p xy, ÙÒ x {0,} y {0,} ÑÙÙ ÐÐ f(x,y) = 0º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X = x,y = y) = p xy ÓÒ Ø ØØÝ Ì ÙÐÙ Ó º½ Ê ÙÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÑÖ Ø ÐÐÒp 00 +p 0 = p p 00 +p 0 = p º ÇÒ ÐÔÔÓ Ú Ø ØØ X Ber(p ) Y Ber(p )º Æ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ ÓÚ Ø f X (x) = p x ( p ) x, x {0,}

18 º½º à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø ½ Ì ÙÐÙ Ó º½º à ÙÐÓØØ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ¹ ÙÒ Ø Óº f(x,y) y = 0 y = f X (x) x = 0 p 00 p 0 p x = p 0 p p f Y (y) p p f Y (y) = p y ( p ) y, y {0,}. ÆÝØ Ñ Ö Y Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ X = ÓÒ º½º½ µ f (y ) = p y p, y {0,} ÙÒ p > 0º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y ÓÐÐ Ò Ò ÙÑ ÓÐÐ X = ÓÒ Ber(p /p )º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØX Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ P(X = x, Y = y) = P(X = x)p(y = y) ÐÐ x {0,} y {0,}º ÃÓ p 00 +p 0 +p 0 +p = Ò Ò ÙÐÓØØ Ò Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÓÐÑ ÐÐ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ º  ÙÑ Ò ÓÐÑ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø Ô ¹ Ö Ñ ØÖ ÓÚ Ø p = E(X) = P(X = ), p = E(Y) = P(Y = ), p = E(XY) = P(X =,Y = ). ÃÙÒ (X,Y) ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø ÖÒÓÙÐÐ Ò ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò p p p Ò Ò Ñ Ö ØÒ (X,Y) Ber(p,p,p )º º½º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÑ Í Ò Ø ÖÚ Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÓÒ Ò ÙÒ Ø ÓÒ h(x,y) Ù¹ Ñ º ÙÒ Ø Ó h(x,y) ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ÑÙÓØÓ X+Y XY X +Y Ò º ÂÓ hóò Ó Ò Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Óh(x,y) ÚÓ ÑÑ ÑÖ Ø ÐÐ ÙÙ Ò ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Z = h(x,y)º ÇÐ ÓÓÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ ÐÙ Sº Å Ö ØÒ A z = {(x,y) S h(x,y) = z}. Ë ÐÐÓ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ P(Z = z) ÚÓ Ò Ð ÙÖ Ú Ø P(Z = z) = (x,y) A z f(x,y). Ä Ø Ò Ý Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø f(x,y) Ô Ø (x,y) Óع ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ h(x,y) = zº ÌÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø Z Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Óº

19 ¾¼¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø Ñ Ö º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò(X,Y) Ñ Ö º½µ ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x,y) = x+y, (x,y) S, Ñ S = {(0,),(0,),(,0),(,),(,0)}º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ ¹ Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Z = h(x,y) = XY. Ë ÐÐÓ Ò Z Ò ÖÚÓ Ò ÓÙ Ó ÓÒ S z = {0,} Ú Ø Ú Ø ÆÝØ A = {(x,y) xy = } = {(,)}, A 0 = {(x,y) xy = 0} = {(0,),(0,),(,0),(,0)}. P(Z = 0) = P ( (X,Y) A 0 ) = 3 4, P(Z = ) = P ( (X,Y) A ) = 4, ÓØ Ò Z Ber ( 4) º º¾ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÇÐ ÓÓØ X Y Ö Ø Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò Ý Ø Ò Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x,y) ÓÒ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ Sº ÇÐ ÓÓÒ h(x,y) ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò E[h(X,Y)] = h(x,y)f(x,y) (x,y) S ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò h(x,y) Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ñ Ð ÙÑÑ ÓÒ ÓÐ Ñ º ÀÙÓÑ ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ E[h(X,Y)] ÓÐ Ñ ÓÐÓ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ ÙÑÑ h(x,y)f(x,y) (x,y) S ÙÔÔ Ò Ø Ø Ð ÙÑÑ (x,y) S h(x,y) f(x,y) ÙÔÔ Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Ì Ø ÙÖ ØØ E[h(X,Y)] ÓÒ ÓÐ Ñ º ÙÒ ¹ Ø Ó V = h(x,y) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó g(v) ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ S v = {v v = h(x,y), (x,y) S}º Ë ÐÐÓ Ò E[h(X,Y)] = E(V) = v S v vg(v).

20 º¾º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ¾¼½ º¾º½ ÅÓÑ ÒØ Ø ÅÓÒ ÐÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÐÐ ÓÒ ÓÑ Ø Ò Ñ Ò Ó Ò ÐÐ ÓÒ ØÖ ÖÓÓÐ Ù¹ Ñ Ø ÓÖ º ÇÐ ÓÓØ X X Ö Ø Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò Ý Ø ¹ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x,x ) ÓÒ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÖÚÓ Ú ÖÙÙ Sº ÇÐ ÓÓÒ h(x,x ) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X X Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ö ÙÖ Ú Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ½º ÂÓ h(x,x ) = X i Ò Ò ÓÒ X i Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ i =,º ¾º ÂÓ h(x,x ) = (X i µ i ) Ò Ò ÓÒ X i Ò Ú Ö Ò i =,º E[h(X,X )] = E(X i ) = µ i E[h(X,X )] = E[(X i µ i ) ] = σ i º ÂÓ h(x,x ) = (X µ )(X µ ) Ò Ò E[h(X,X )] = E[(X µ )(X µ )] = σ ÓÒ X Ò X Ò ÓÚ Ö Ò º Ç ÓØÙ ÖÚÓ µ i Ú Ö Ò σ i ÚÓ Ò Ð Ó Ó Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ¹ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ f(x,x ) Ø Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓÒ f i (x i ) ÚÙÐÐ º Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ò ÖØ ÐÙ Ù Ò ÑÓÑ ÒØ Ø ÇÐ ÓÓÒ r ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ùº ½º ÂÓ h(x,x ) = X r i Ò Ò ÓÒ X i Ò Öº ÑÓÑ ÒØØ i =,º ¾º ÂÓ h(x,x ) = (X i µ i ) r Ò Ò E[h(X,X )] = E(X r i) E[h(X,X )] = E[(X i µ i ) r ] ÓÒ X i Ò Öº Ù ÑÓÑ ÒØØ i =,º º ÂÓ h(x,x ) = X r Xs Ò Ò E[h(X,X )] = E(X r X s ) ÓÒ X Ò X Ò ÖØ ÐÙ Ù r +s ÓÐ Ú Ý Ø ÑÓÑ ÒØØ º Ñ Ö ÓÚ Ö Ò Ò Ð Ñ Ø ÖÚ Ø ÒX Ò X Ò Ý Ø ÑÓÑ ÒØØ E(X X )º

21 ¾¼¾ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø º¾º¾ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ý Ø ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t,s) = E[exp(tX +sy)] = x i S X y j S Y exp(tx i +sy j )f(x i,y j ), Ñ S X ÓÒ X Ò S Y ÓÒ Y Ò ÖÚÓ ÐÙ º Ñ Ð Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐ Ñ ÒÓÐÐ Ò ÝÑÔÖ Ø º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÔÓ Ø Ú ÐÙ Ùa > 0 ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓ E[exp(tX+sY)] ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ (t,s) {(t,s) t +s < a} ÓÐÐ Ò a > 0º ÐÐ ÓÒ ÝØ ØØÝ Ñ Ö ÒØ exp(tx +sy) = e tx+sy º Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò Ð Ø ÙÚ Ò ¹ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ ÐÐ Ø ¹ Ú ÐÐ Ù Ò Ö Ø Ø Ô Ù º ÇÐ ÓÓÒ (X,Y) Ø ÙÚ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ tx +sy ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ð Ò Ö Ò Ò Ý Ø Ñ t,s Rº Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t,s) = E ( e tx+sy). Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ E ( e tx+sy) = e tx+sy f(x,y)dxdy. Å Ö ØÒ M t (t,s) = M(t,s), t M tt (t,s) = M(t,s), t M ts (t,s) = M(t,s), t s Ñ M t (t,s) ÓÒ M Ò Ó ØØ Ö Ú ØØ t Ò Ù Ø Ò M tt (t,s) ÓÒ M Ò º Ó Ø¹ Ø Ö Ú ØØ t Ò Ù Ø Ò M ts (t,s) ÓÒ Ó ØØ Ö Ú ØØ t Ò s Ò Ù Ø Òº ØÑÑ ÒÝØ ÙÖ Ú Ð Ù Ñ Ø Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò ÖÓ ØÙÒ¹ Ò Ú ØÓÖ Ò ÑÓÑ ÒØ Øº Ä Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÐÐ (X,Y) ÓÒ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Óº Ë ÐÐÓ Ò E(X), E(X ), E(Y),E(Y ) E(XY) ÓÚ Ø Ö ÐÐ Ø E(X) = M t (0,0), E(X ) = M tt (0,0), E(XY) = M ts (0,0) E(Y) = M s (0,0), E(Y ) = M ss (0,0).

22 º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ¾¼ Ñ Ö X Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ò Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó t Ò Ù Ø Ò Ó ØØ Ñ ÐÐ ØØ Ò Ö Ú Ø Ò Ð Ù Ò t = 0 s = 0º Ë ÑÓÑ ÒØØ E(XY) Ò ÑÖ ØØÑÐÐ ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ó ØØ ¹ Ö Ú ØØ M ts (t,s) Ö ÚÓ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó s Ò t Ò Ù Ø Òµ Ð ¹ Ñ ÐÐ Ó ÓØØ Ö Ú Ø Ò ÖÚÓ M st (0,0) Ô Ø (t,s) = (0,0)º Ñ Ö º½¼ ÂÓ Z Z ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø Ò Ö¹ ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ò (Z,Z ) ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø Ø Ò¹ Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º (Z,Z ) Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(t,t ) = E ( e t Z +t Z ) = E(e t Z )E(e t Z ) = e t / e t / = e (t +t )/. Ì Ø Ô Ù M (t,t ) = t e )/ (t +t ÓØ Ò E(X ) = M (0,0) = 0º Î Ø Ú Ø M = e (t +t )/ +t e (t +t )/ E(X) = M (0,0) = º ÀÙÓÑ ØØ ÓÓÒ ØØ ÑÝ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò Ø Ô Ù ÔØ ÑÓ¹ Ñ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò Ý ØØ ÝÝØØ Ó Ú Ð Ù ÚÖغ Ä Ù º½¼µº ÂÓ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÐÐ (X,X ) (Y,Y ) ÓÒ Ñ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ò Ò Ò Ð¹ Ð ÓÒ Ñ ÙÑ º Ê ÙÒ ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ Ò Ø Ú Ø Ý Ø ÙÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó Ø º Ä Ù º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò(X,Y) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ M(s,t) X Ò Y Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ Ú Ø Ú Ø M X (s) M Y (t)º ½º Ë ÐÐÓ Ò M X (s) = M(s,0) M Y (t) = M(0,t). ¾º X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó M(s,t) = M X (s)m Y (t). º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ ÑÙ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø {X = x} {Y = y} ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó P(X = x, Y = y) = P(X = x)p(y = y) Ð º º½µ f(x,y) = f X (x)f Y (y), Ñ f(x,y) ÓÒX Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f X (x) ÓÒ X Ò f Y (y) Y Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó Ý Ø ÙÙÖÙÙ º º½µ Ô Ø Ô Ò ÐÐ x S X y S Y Ñ S X ÓÒ X Ò S Y ÓÒ Y Ò ÖÚÓ ÓÙ Óº ÎÓ Ò ÐÔÓ Ø Ó Ó ØØ ØØ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó º º¾µ F(x,y) = F X (x)f Y (y)

23 ¾¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÐÐ x S X y S Y Ñ F X (x) ÓÒ X Ò F Y (y) Y Ò ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó Ö ÙÒ ÖØÝÑ ÙÒ Ø Óµº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÚÓ Ò ÐÙÓÒÒ Ø ÑÝ ÓÐÐ Ø Ò ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º ÂÓ ÅÖ Ø ÐÑ f(y x) = f Y (y) ÐÐ x S X y S Y ÙÒ f X (x) 0 Ò Ò X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ø ØÓ X Ò ÖÚÓ Ø Ú ÙØ Y Ò ØÓ ÒÒ Ýݹ Ø Òº Î Ø Ú Ø Ô Ø Ô Ò ØØ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó X Ò ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÐÐ Y = y Ö ÔÙ y غ ÇÐ ÓÓØ Y Y º º º Y n Ó Ò ÓØÓ Ú ÖÙÙ ÑÖ Ø ÐÐÝØ Ö Ø Ø ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ ÅÙÙØØÙ Ò Y Y º º º Y n Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(y,y,...,y n ) = P(Y = y,y = y,...,y n = y n ). ÅÙÙØØÙ Ø Y Y º º º Y n ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó º º µ f(y,y,...,y n ) = f (y )f (y ) f n (y n ) ÐÐ y i S i i =,,...,n Ñ f i (y i ) ÓÒ Y i Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó S i ÓÒ Y i Ò ÖÚÓ Ú ÖÙÙ º º º½ Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ø ÇÐ ÓÓØ E E Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ Ó Øº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ¹ ÑÙÙØØÙ Ò X ÖÚÓ ÑÖÝØÝÝ Ú Ò ØÙÒÒ Ó Ò E ØÙÐÓ Ò Y Ò ÖÚÓ Ú Ò ØÙÒÒ Ó Ò E ØÙÐÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ë ÐÐÓ Ò Ø Ô ØÙÑ Ø {X = x} {Y = y} ÑÖÝØÝÚØ Ö ØÙÒÒ Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ø¹ Ó Ð ÐÙ Ù º ÑÖ Ø ÐÑ º º½µµº Ë Ø Ô ØÙÑ Ø {X = x} {Y = y} ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÃÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑÙÙ ÔØ ÐÐ Ñ ÓÐÐ ÐÐ x Ò y Ò ÖÚÓ ÐÐ Ò Ò X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÂÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÖÚÓØ ÑÖÝØÝÚØ Ö ØÙÒÒ Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ¹ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ì Ò Ñ Ö ÖÒÓÙÐÐ Ò ØÓ ØÓ Ó Ó ÓÒ r + s ØÓ ØÓ ÓÒ¹ Ò ØÙÑ ØÓ ÒÒ ÝÝ pº ÇÐ ÓÓÒ X ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ r Ò Ñ¹ Ñ Ó Y ÓÒÒ ØÙÑ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ s Ú Ñ Ó º ÃÓ X Y Ö ÔÔÙÚ Ø Ö Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ÐÐÓ Ò º º½µ Ò ÑÙ Ò ( )( ) r s f(x,y) = f X (x)f Y (y) = p x+y ( p) r+s x y, x y Ñ x = 0,,...,r y = 0,,...,sº

24 º º Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ¾¼ º º¾ Ë ÑÓ Ò ÙØÙÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ËÂʵ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y Y º º º Y n Ó Ø Ó Ò Ò ÒÓ٠ع Ø Ñ ÙÑ ÒÓØ Ò ÑÓ Ò ÙØÙÒ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Öµ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º Ë ÐÐÓ Ò ÔÙ ÙØ Ò Ù Ò ÐÝ Ý Ø Ö ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ø º Î Ø Ú Ò Ð ÒÒ Ò Ð Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ ÐÐÝ ¹ ØÖ ÙØ µº ÂÓ Ñ Ö Y i Poi(λ) i =,,...,n Ò Ò Ë ÐÐÓ Ò º º µ Ò ÒÓ ÐÐ Ñ y = n y i º º º i= f (y) = f (y) = = f n (y) = λy e λ. y! f(y,y,...,y n ) = = n f i (y i ) = i= n λ y i e λ i= y i! y!y!...y n! λy e nλ, Ê ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó ÇÐ ÓÓØ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ Ë ÐÐÓ Ò f(x,y) = f X (x)f Y (y) ÐÐ x,y S Ñ S ÓÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ Ú ÖÙÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÒÝØ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ø U = g(x) V = h(y) Ñ g( ) Ö ÔÔÙÙ Ú Ò X Ø h( ) Ú Ò Y غ Ë ÐÐÓ Ò Ä Ù Ò º ÑÙ Ò U V ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Î Ø ØÓ Ø ØØ Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ U Ò V Ò Ñ Ð Ú ÐØ Ø Ò ÖÚÓ Ò u v ØÓ ÒÒ ÝÝØغ ÇÐ ÓÓÒ A u = {x S X g(x) = u} B v = {y S Y g(y) = v}º ÃÓ ÐÐ U Ò V Ò ÖÚÓ ÐÐ u v º º µ P(U = u,v = v) = P(X A u,y B v ) = P(X A u )P(Y B v ) X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øµ = P(U = u)p(v = v), Ò Ò U V ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ÃÙÒ Ó Ø Ø Ò ÒØ Ø ØØ Ò º º µ P(U = u,v = v) = x A u y B v f(x,y), P(U = u) = x A u f X (x) P(V = v) = y B v f Y (y),

25 ¾¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø Ò Ò Ò ( )( ) f(x,y) = f X (x) f Y (y). y B v x A u y B v x A u º ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ ÒÓÑ ÙÑ ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ ÓÚ Ø Ò ØÖ Ø Ø Ð ØÓÐÐ ÓÚ ÐÐÙ Ó Ò Ø Ø ÖÚ Ø Ò Ñ Ö Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ò Ó ØÓ ØÓ Ò ØÙÐÓ Ø Ò Ö Ú Ò ÙÑ Ò ØØ ÐÝ º Ð ÐÙÚÙ º Ø ØØ Ò Ñ Ø Ò ¹ ÒÓÑ ÙÑ Ò ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÒ ØÓ Ø Ø Ò Ó Ø Ó ÓÒ Ù ÑÔ Ù Ò ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ ØÙÐÓ Ø Ò Ö Ú Ò ÙÑ ÚÓ Ò ÙÚ Ø ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ò ÚÙÐÐ º Ä ÒÒ Ø Ò Ò Ò ÒÓÑ Ù¹ Ñ ØÖ ÒÓÑ ÙÑ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò Ó ØØ Ó ÓÒ ÓÐÑ ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú ØÙÐÓ Ú ØÓ ¹ ØÓ º Ñ Ö ØÙÓØ ÒØÓÔÖÓ ÝÒØÝÚ ØÙÓØ ÐÙÓ Ø ÐÐ Ò Ý Ø Ò Ú Ò Ý Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ø ÓÖ Ó Ø Ò ÐÙÓ Ò Ò µ ÙÒ µ Ø Ú ÐÐ Ò Ò 3µº ÇÐ ÓÓØ Ò ÐÙÓ Ò ÙÒ Ò Ú ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ú Ø Ú Ø p p p 3 = p p º Î ÐÑ Ø Ø Ò n ØÙÓØ ØØ º ÇÐ ÓÓÒ X = Ò ÐÙÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ X = ÙÒ ØÙÓØØ Ò ÐÙ ÙÑÖ X 3 = n X X = Ú ÐÐ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ØÙÓØ ¹ Ö º ÂÓ x x ÓÚ Ø ÐÐ Ø ÔÒ Ø Ú Ø Ó ÓÒ ÐÙÚÙØ ØØ x +x n Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ x Ò ÐÙÓ Ø x ÙÒ n x x Ú ÐÐ Ø Ó Ò ÒÒ ØÙ Ö ØÝ ÓÒ p x p x ( p p ) n x x. Ë ÐÐ n Ò ØÙÓØØ Ò Ö ØÝ Ó ÓÒ x Ò ÐÙÓ Ø x ÙÒ n x x Ú ÐÐ Ø ÓÒ ( )( ) n n x = x x n! x!x!(n x x )! ÔÔ Ð ØØ º Ë ØÖ ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º½µ f(x,x ) = n! x!x!(n x x )! px px ( p p ) n x x, Ñ f(x,x ) = P(X = x,x = x )º ÃÙÒ (X,X ) ÒÓÙ ØØ ØÖ ÒÓÑ ¹ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò n p p Ñ Ö ØÒ (X,X ) Tri(n,p,p ). ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø ØØ X Bin(n,p ) X Ò Ö ÙÒ ÙÑ µ X Bin(n,p )º

26 º º ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ ¾¼ ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ ÚÓ Ò Ó Ø Ñ ÐÐ Ô Ö ØØ ÐÐ Ù Ò ØÖ ÒÓÑ ¹ ÙÑ º ÌÓ Ø Ø Ò n ÖØ Ó Ó ÓÒ k ØÓ Ò ÔÓ ÙÐ Ú ØÙÐÓ Ú ¹ ØÓ ØÓ º Å Ö ØÒ ØÙÐÓ Ú ØÓ ØÓ,,...,k ÓÐ ÓÓÒ p i = ØÙÐÓ Ò i ØÓ ÒÒ ÝÝ X i ÓÒ ØÙÐÓ Ò i ÐÙ ÙÑÖ n Ò Ó Ò Ö º Ë ÐÐÓ Ò k¹ùðóøø Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò X = (X,X,...,X k ) ÖÚÓ ÐÙ ÓÒ S = {(x,x,...,x k ) 0 x i n, x +x + +x k = n}. X i Ø ÓÚ Ø ÔÒ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò ÙÑÑ ÓÒ nº Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ X = (X,X,...,X k ) ÒÓÙ ØØ k¹ùðóøø Ø ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò n p = (p,p,...,p k ) ÓØ Ñ Ö ØÒ Mult(n,p)º ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) n º º¾µ f(x,x,...,x k ) = p x p x p x k k x x... x, k Ñ p +p + +p k = ( ) n x x... x k = n! x!x! x k º ÅÙÐØ ÒÓÑ Ð Ù Ò ¾º! ÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÐÔÓ Ø Ó Ó ØØ ØØ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ò º º¾µ ÙÑÑ ÝÐ ÖÚÓ ÐÙ Ò S ÓÒ ÓØ Ò Ý Ò Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ØÓ ÐÐ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Óº ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ó ÒX i Ò Ö ÙÒ ÙÑ ÓÒ ÒÓÑ ÙÑ Ð X i Bin(n,p i ) i =,,...,kº Ø ØÒ ÒÝØ ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ó Ú Ø Ô ÖÙ ØÙÐÓ Ø Ð Ù Ò ÑÙÓ Ó º Ä Ù º ½º ÙÒ Ø Ó º º¾µ ÓÒ ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ ¹ Ø Ó ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ n ÐÐ ÐÐ ÐÐ p º º º p k ØØ 0 p i p + +p k = º ¾º ÂÓ X Mult(n,p) Ò Ò º X i Bin(n,p i ) (X i,x j ) Tri(n,p i,p j ), E(X i ) = np i, Var(X i ) = np i ( p i ), Cov(X i,x j ) = np i p j, M(t) = E[exp(t X + +t k X k )] = ( p e t + +p k e t k) n. ÅÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ Ð ØØÝÝ ÓØ ÒØ Ò Ô Ð ÙØØ Òº ÇÐ ÓÓÒ ÙÙÖÒ Ö ÚÖ ¹ Ô ÐÐÓ Ý Ø Ò N ÚÖ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ k ÚÖ i ÓÐ Ú Ô ÐÐÓ ÓÒ N i ÔÔ Ð ØØ i =,,...,kµ N + N + +N k = Nº ÇØ ÒÒ Ô Ð Ùع Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ p i ÚÖ i ÓÒ N i /N Ó ÒÓ ØÓ º Î Ð Ø Ò ÙÙÖÒ Ø n Ô ÐÐÓ Ô Ð ÙØØ Ò ÓÐ ÓÓÒ X i ÚÖ i ÓÐ Ú Ò Ô ÐÐÓ Ò ÐÙ Ùѹ Ö ÓØÓ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X X º º º X k Ý Ø ÙÑ ÓÒ ÑÙÐØ ÒÓÑ ÙÑ º ÇØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ ÙÙÖÒ Ò ÐØ ÑÙÙØØÙÙ Ø Ò ÑÝ Ú Ð ÒØ ¹ ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÑÙÙØØÙÚ Ø Ú Ð ÒØ ÔÖÓ Ò Ò º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X X º º º X k Ý Ø ÙÑ Ò Ó Ø Ñ Ñ Ò ÓÒ ÝÐ Ø ØØÚ Ð ÐÙ¹ ÚÙ ¾º º½ Ø ØØÝ ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º

27 ¾¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÇÐ ÓÓÒ x i ÚÖ i i kµ ÓÐ Ú Ò Ô ÐÐÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØ ÒÒ Ô Ð ÙØØ Ñ ØØ º Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ Ò ÓØÓ Ó Ö ÚÖ ÓÐ Ú Ò ÐÙ ÙÑÖØ ÓÚ Ø (x,x,...,x k ) ÃÓ ÙÙÖÒ ÓÒ N i ÔÔ Ð ØØ ÚÖ i Ò Ò 0 x i N i º ÇØÓ Ó Ó ÓÒ n n = x + x + + x k º ÆÝØ ÚÖ ½ ÓÐ Ú Ø x Ô ÐÐÓ ÚÓ Ò Ú Ð Ø ( N x ) Ø Ú ÐÐ ÚÖ ¾ ÓÐ Ú Ø ( N x ) Ø Ú ÐÐ ÐÓÔÙÐØ ÚÖ k ÓÐ Ú Ø Ô ÐÐÓØ ( N k ) x k Ø Ú ÐÐ º ËÙÓØÙ Ø Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ØÙÐÓÔ Ö ØØ Ò ÒÓ ÐÐ ( )( N N x x ) ( Nk ÃÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ò n Ò Ó Ó Ø Ò ÓØÓ Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ ( N n) Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÙ ÙÑÖØ (x,x,...,x k ) Ö ÚÖ Ô ÐÐÓ ÓÒ º º µ f(x,x,...,x k ) = ( N x k ). )( N ) ( Nk x x ( N, n) Ñ x + x + + x k = nº ÌÑ ÓÒ ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò ÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº x k ) º Ã Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º º½ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Z V ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓ٠ع Ø Ú Ø Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ë ÐÐÓ Ò Z Ò V Ò Ö ÔÔÙÑ Ø¹ ØÓÑÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (Z,V) Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º½µ f Z,V (z,v) = f(z)f(v) = π e z / π e v / = π e (z +v )/. Ë ÒÓÑÑ ØØ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (Z,V) ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø Ø Ò Ö¹ ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÒ Ø Ó º º½µ ÓÒ ØÑÒ ÙÑ Ò Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Óº Å Ö ØÒ (Z,V) N (0,I) Ñ 0 ÓÒ ¹ÒÓÐÐ Ú ØÓÖ Ð 0 = (0,0) T º Å Ö ÒØ (0,0) T Ø Ö Ó ØØ Ú ØÓÖ Ò (0,0) ØÖ Ò ÔÓÒÓ ÒØ Ó ÑÙÙÒØ Ú Ú ØÓÖ Ò (0,0) ÔÝ ØÝØÓÖ º Å ØÖ ( ) 0 I = 0 ÓÒ ¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º Ø ÙÑ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ÖÚÓØ ÓÚ Ø E(Z) = E(V) = 0 Ú Ö Ò Ø Var(Z) = Var(V) = Cov(Z,V) = 0º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (Z,V) Ó ÓØÙ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÓÒ [E(Z),E(V)] T = 0 ÓÚ ¹ Ö Ò Ñ ØÖ ( Var(Z) Cov(Z,V) Cov(V, Z) Var(V) ) = ( 0 0 ÀÙÓÑ ØØ Ò Cov(Z,V) = Cov(V,Z) ÓØ Ò ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ÓÒ Ýѹ Ñ ØÖ Ò Òº ÎÓ Ò Ñ Ö Ø ÑÝ (Z,V) N (0,0;,,0) Ñ Ó ÓØÙ ÖÚÓØ Ú Ö Ò Ø ÓÖÖ Ð Ø Ó ÓÒ ÒÒ ØØÙ ÙÐ º ).

28 º º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ¾¼ º º¾ ÃÓÖÖ ÐÓ Ú Ø ÑÙÙØØÙ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X N(0,) Z N(0,) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Æ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Y Ø Ò ØØ X Y ÓÖÖ ÐÓ Ú Øº à ÖØÑÐÐ x¹ Ð ÙÐÑ Ò θ Ú Ö¹ z (X,Z) θ y Z z y θ Y x Xcosθ Zsinθ θ X Y x ÃÙÚ Ó º º Ö Ò Ú Ø Ô ÚÒ Ò y¹ Ð ÃÙÚ Ó º µº ÈÖÓ Ó Ò ØÙÒÒ Ô Ø (X,Z) y¹ Ð ÐÐ Ñ Ö ØÒ ØØ ÔÖÓ Ø ÓØ Y Ðк ÇÒ ÐÔÔÓ ØÓ Ø Ó¹ Ñ ØÖ Ò ÔØØ ÐÝÒ ÚÙÐÐ ÃÙÚ Ó º µ ØØ Y = Xcosθ+Zsinθ. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Y Ò X Ò Z Ò Ð Ò Ö Ò ÑÙÙÒÓ Ò º Ì ¹ Ø ÙÖ ØØ E(Y) = cosθ E(X)+sinθ E(Z) = 0 Var(Y) = cos θ Var(X)+sin θ Var(Z) =, Ó E(X) = E(Z) = 0 Var(X) = Var(Z) = º Ä Ù Ò º ÑÙ Ò Y Æ(0,)º Ë ØÙÒÒ ÙÙØØÙ Ò X Y. ÖØ ÐÙÚÙÒ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒ E(XY) = E[X(Xcosθ+Zsinθ)] = cosθ E(X )+sinθ E(XZ) = cosθ. Î Ñ Ò Ò Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÙÖ Ø ØØE(X ) = E(XZ) = E(X)E(Z) = 0º Ë ØÙÒÒ ÙÙØØÙ Ò X Y ÚÐ Ò Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó Cor(X,Y) = E(X,Y) Ó ¹ E(X) = E(Y) = 0 Var(X) = Var(Y) = º º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ fº ÇÐ ÓÓÒ º º½µ U = h (X,Y); V = h (X,Y)

29 ¾½¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÑÙÙÒÒÓ ØØ ÐÐ ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ º Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ø Ø Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) ÖÚÓ (u,v) R Ú Ø Ý ¹ ØØ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ (x,y) R º ÎÓ ÑÑ ÐÐÓ Ò Ñ¹ Ö Ø ÐÐ ÒØ ÙÚ Ù Ò x = g (u,v); y = g (u,v). Î ØÓÖ Ò (u,v) R (x,y) R ÚÐ ÐÐ ÓÒ Ý ¹Ý Ò Ò Ú Ø ÚÙÙ º ÇÐ Ø Ø ÑÑ Ð ØØ ÙÒ Ø Ó ÐÐ g g ÓÒ Ø ÙÚ Ø Ó ØØ Ö Ú Ø Øº ÙÐÓØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Ø Ô Ù Ð ØØ Ú Ö Ú ØØ g Ú Ø ¹ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Â Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò g g Ó ØØ Ö Ú ØØÓ Ò Ñ ØÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ º Â Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ ÙØ ÙØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò Â Ó Ò º ÅÙÙÒÒÓ Ò º º½µ Â Ó Ò ÓÒ x x º º¾µ Ñ (x, y) (u,v) = u y u x u = g (u,v), u y u = g (u,v), u v y v = x y u v y x u v, x v = g (u,v), v y v = g (u,v). v Â Ó Ò Ø ÖÑ Ò ÒØØ Ñ Ö ØÒ J = (x,y) º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ J 0 ÙÒ (u,v) f(x,y) > 0º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º µ f U,V (u,v) = f ( g (u,v),g (u,v) ) J. Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) ÖÚÓ Ú ÖÙÙ S U,V Ò Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ ÙÚ Ù ¹ Ø º º½µ Ó ÙÚ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ ÓÙ ÓÒ S X,Y ÙÚ ÓÙ¹ Ó S U,V º Ñ Ö º½½ ÇÐ ÓÓØX Y Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò Ý Ø ¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ fº ÅÖ Ø ÐÐÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø U V Ø Ò ØØ º º µ U = X +Y; V = X Y. ÂÓ Ø Ò ÒÝØ (U,V) Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÅÙÙÒÒÓ Ò º º µ Ò¹ Ø ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ x = g (u,v) = u+v, y = g (u,v) = u v,

30 º º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ¾½½ ÑÙÙÒÒÓ Ò Â Ó Ò ÓÒ J = =. Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ý ØÐ Ò º º µ ÒÓ ÐÐ º º µ f U,V (u,v) = ( u+v f, u v ). ÂÓ Ñ Ö X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø ÙÑ Tas(0,) Ò Ò (X,Y) Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó f(x,y) = ÙÒ x [0,] y [0,]º Ë ÐÐÓ Ò (U,V) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f U,V (u,v) = {, 0 u+v, 0 u v. 0 ÑÙÙ ÐÐ º Ð Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ Ì Ö Ø ÐØ Ú ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ Ø Ø Ò Ò Ò ÓÐ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ Ø º ÂÓ ÑÙÙÒÒÓ º º½µ ÓÐ Ý ¹Ý Ò Ò Ð Ø Ó Ò Ò ÐÐ ÓÐ ÒØ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø º ÂÓ Ù Ø Ò Ò ÓÒ ÓÐ Ñ ÐÐ Ò Ò ÖÚÓ Ú ÖÙÙ Ò S X,Y Ó ØÙ Ý Ø Ô Ø ØØ Ñ Ò (x,y)¹ø ÓÒ Ó ÚÐ Ò A A º º º A m ØØ º º µ S X,Y = A A A m ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ u = h (x,y), x = g (x,y), v = h (x,y) y = g (x,y) Ó ÐÐ Ó ÚÐ ÐÐ A i i =,,...,m Ò Ò Ú º º µ ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÙÐÐ Ò Ó ÚÐ ÐÐ Ö Ò Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò Ý Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ô Ù ¹ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÒ Ø ÓØ { h k (x,y), ÙÒ (x,y) A i h ki (x,y) = 0 ÑÙÙ ÐÐ ÙÒ k =,º Ë ÐÐÓ Ò h (x,y) = m i= h i(x,y) h (x,y) = m i= h i(x,y)º ÂÓ ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ u = h i (x,y), v = h i (x,y)

31 ¾½¾ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÚÐ ÐÐ A i i =,,...,mº Å Ö ØÒ Ò Ø ÒØ ¹ ÑÙÙÒÒÓ x = g i (u,v), y = g i (u,v). Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÐÐÓ Ò ØØ Ú Ò º º µ ÚÙÐÐ ÙÖ Ú Ø m ( º º µ f U,V (u,v) = f X,Y gi (u,v),g i (u,v) ) J i, i= Ñ J i ÓÒ ÑÙÙÒÒÓ Ò x = g i (u,v) y = g i (u,v) Â Ó Ò º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÑ Í Ò Ø Ö Ø ÐØ Ú Ò ÓÒ Ú Ò Ý ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÙÒ Ø Ó U = h (X,Y)º ÙÒ Ø Ó h (X,Y) ÚÓ ÓÐÐ Ñ Ö ÑÙÓØÓ X+Y XY X +Y Ò º Ø ØØÝ ÑÙÙÒÒÓ Ø Ò ÚÓ Ò ÐÐ Ò ÝØØ Ó Ð Ý ØÒ ÐÐ Ò Ò ÔÙÑÙÙØØÙ V = h (X,Y) ØØ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ U = h (X,Y), V = h (X,Y) ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ º ÅÙÙÒÒÓ Ú Ò º º µ ÚÙÐÐ Ò ØØ Ò ØÙÒÒ ¹ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ó Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ U Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÂÓ Ñ Ö U = h (X,Y) = X +Y Ò Ò ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÔÙÑÙÙØØÙ V = h (X,Y) = X Y º Ë ÐÐÓ Ò ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ u = x+y v = x y ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ x = g (u,v) = u+v, y = g (u,v) = u v (U,V) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ú ÐÐ º º µ Ò Ò Ù Ò Ñ Ö º½½ Ó Ó Ø ØØ Òº ÃÙÒ Ø Ø(U,V) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ÒØ ÖÓ Òv ÔÓ Ò U Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÂÓ ÓÐÐ Ò ÒÒÓ ØÙÒ Ø Ñ Ö ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò U = XY Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ú Ð Ø ÔÙÑÙÙØØÙ V = X ÐÐ ÑÙÙÒ¹ ÒÓ ÐÐ u = xy v = x ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ º Ë ØØ Ò ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÐÐ Ò ÐÐ ÙÚ ØØÙ Ø Ò º ÀÙÓÑ ØØ ÔÙÑÙÙØØÙ Ò Ú Ð ÒØ ÓÐ Ý ØØ ¹ Ò Ò Ú Ò Ù ÐÐ Ö Ú Ð ÒÒÓ ÐÐ ÚÓ Ò Ô Ø ÐÙØØÙÙÒ ØÙÐÓ Òº Ì Ý Ø Ý ÓÒ ÝÝØ Ô Ð ÙØØ Ñ Ð Ò Ä Ù º º Ë Ò Ó Ó Ø ØØ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X Y ÙÖ Ú ØÙÐÓ ÂÓ g(x) Ö ÔÙ Y Ø h(y) Ö ÔÙ X Ø Ò Ò ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø g(x) h(y) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ä Ù ØÓ Ø ØØ Ò Ö ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò Ø Ô Ù ÑÙØØ Ô Ø Ô Ò ÑÝ Ø ÙÚ ÐÐ ÑÙÙØØÙ ÐÐ º Ñ Ö º½¾ ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø Ò Ö¹ ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ò Ñ Ø ÙÑ ÒÓÙ ØØ X +Y Ź Ö Ø ÐÒ Ò Ò ÔÙÑÙÙØØÙ V = X Yº ÃÙØ Ò Ñ Ö º½½ Ó Ó Ø ØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ò u = x+y v = x y ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ x = g (u,v) = u+v, y = g (u,v) = u v,

32 º º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ¾½ ÑÙÙÒÒÓ Ò Â Ó Ò J = º ØÐ Ò º º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ (U,V) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ º º µ f U,V (u,v) = 4π e [(u+v) /8+(u v) /8] = 4π e (u +v )/4 = 4π e u /4 4π e v /4 = f U (u)f V (v). Æ ÑÑ ØØ f U (u) f V (v) ÓÚ Ø ÙÑÔ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò N(0,) Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Ó Ø º Ë f U,V (u,v)dv = f U (u) f V (v)dv = f U (u), ÓØ Ò U = X + Y N(0,)º Á ÒØ Ø Ø Ø º º µ ÙÖ ØØ X + Y X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº À Ú Ø ÑÑ ÑÝ ØØ X Y N(0,)º ÁØ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÙÖ Ú ØÙÐÓ ÂÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ñ ÙÑ F Ò Ò X +Y X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó F ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ñ Ö º½ ÇÐ ÓÓØX Y Ø ÙÚ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø Ó Ò Ý Ø ¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ fº ÅÖ Ø ÐÐÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ º º µ u = ax+by, v = cx+dy. Ê Ø Ñ ÐÐ Ý ØÐ ÖÝ Ñ Ø º º µ x y Ò ÒØ ÑÙÙÒÒÓ x = du bv D, av cu y = D, Ñ D = ad bcº ÃÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ó D 0º ÅÙÙÒÒÓ Ò Â Ó Ò ÓÒ d b D D J = = ad bc = D D. c D a D Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ý ØÐ Ò º º µ ÒÓ ÐÐ º º½¼µ f U,V (u,v) = D f[(du bv)/d,(av cu)/d]. Ñ Ö Ò º½½ Ý ØÐ º º µ ÓÒ Ý ØÐ Ò º º½¼µ Ö Ó Ø Ô Ù º ÃÙÒ a = b = c = d = Ó Ø Ø Ò Ý ØÐ Ò º º½¼µ Ò Ý ØÐ º º µº Ä Ò Ö Ò Ò ÑÙÙÒÒÓ u = ax+by +e, v = cx+dy +f.

33 ¾½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ ÑÙÙÒÒÓ Ò º º µ Ñ Ö Ø ÑÐÐ u = u e v = v f ÓÐÐÓ Ò u = ax+by, v = cx+dy. ØÐ Ø º º½¼µ Ò ØØ Ò (U,V ) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº º º½ Ð Ò Ò Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ËØ Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò Ò ÙÐÓØØ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÑÖ Ø ÐØ Ò Ð ÐÙÚÙ ¹ º º½º Ð Ò Ò ÙÐÓØØ Ò Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ò¹ Ö ÑÙÓØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÚÙÐÐ Ú Ø Ú Ø Ù Ò Ý Ò ÑÙÙØØÙ¹ Ò Ø Ô Ù º ÇÐ ÓÓÒ (X,Y) ÐÐ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ØØ E(X) = µ E(Y) = µ Var(X) = σ Var(Y) = σ Cov(X,Y) = σ º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒ¹ Ò Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓÚ ØÓÖ ÓÒ µ = (µ,µ ) T ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ ( ) σ Σ = σ σ σ. Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y ÚÐ Ò Ò ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò ÓÒ ρ = σ σ σ º ÅÖ Ø ÐÑ º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (X,Y)ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÒ¹ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÓÒ µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Σ Ó ÚÓ Ò Ð Ù Ù ÑÙÓ¹ Ó º º½½µ X µ = σ ρ Z +ρσ Z, Y µ = σ Z, Ñ Z Z ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ø ÒÓÖ¹ Ñ Ð ÙÑ N(0,) σ > 0 σ > 0 ρ º Å Ö Ø ÑÑ (X,Y) N (µ,σ) ÙÒ (X,Y) ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ ÓÒ ÖÚÓÚ ØÓÖ ÓÒ µ ÓÚ Ö Ò Ñ ØÖ Σº ÆÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ N (µ,σ) ÒÓÙ ØØ Ú ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (X,Y) Ò Ò Ö ÔÔÙ¹ Ñ ØØÓÑ Ø Ø Ò Ö Ó Ù Ø ÒÓÖÑ Ð ÑÙÙØØÙ Ø Ð Ò Ö ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ Ð¹ Ð º º½½µ Ð Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò ÙÓÖ Ò Ñ Ö º½ Ø ØÝÐÐ Ø Ò ÐÐ º Å Ö ØÒ x µ = u y µ = vº ÃÓ ÒÝØ Ð Ò ¹ Ö ÑÙÙÒÒÓ º º µ c = 0 D = ad Ý ØÐ º º½¼µ ÑÙÓ ÓÒ f U,V (u,v) = ad f ( du bv, v ad d ÃÓ f ÓÒ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ø Ò Ö ÑÙÓØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó ÑÙÙÒÒÓ º º½½µ a = σ ρ b = ρσ d = σ Ò Ò [ ] f U,V (u,v) = πσ σ exp ρ σ σ ( ρ ) (σ u ρσ v) + v σ [ ( = πσ σ exp u ρ u )] v + v. ρ ( ρ ) σ σ σ σ ).

34 º º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ¾½ ÃÙÒ ÐÐ Ó ØØÙÙÒ Ø Ý ÙÒ Ø ÓÓÒ Ó Ø Ø Ò u = x µ v = y µ Ò (X,Y) Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó [ ( (x µ ) º º½¾µ f X,Y (x,y) = πσ σ exp ρ ( ρ ) σ ( )( ) ( ) )] x µ y µ y µ ρ +. Ë ÙÖ Ú Ð Ù Ø ØÒ ÙÐÓØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ¹ Ø ÓÑ Ò Ù٠غ σ σ σ Ä Ù º ÇÐ Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (X,Y) ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N (µ,σ) Ñ µ = (µ,µ ) T = [E(X),E(Y)] T ( ) ( ) σ Σ = σ Var(X) Cov(X,Y) σ σ = Cov(Y, X) Var(Y) ρ = Cor(X,Y) = σ σ σ º Ë ÐÐÓ Ò Ô ØÚØ Ô Ò ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º X N(µ,σ ) Y N(µ,σ ) ¾º X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ó Ú Ò Ó ρ = 0º º X Ò Y Ò ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø ( X y N µ + ρσ ) (y µ ), σ σ ( ρ ), Ð X ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÓÐÐ ØØ Y = y ÓÒ ÒÒ ØØÙº Î Ø Ú Ø ( Y x N µ + ρσ ) (x µ ), σ σ ( ρ ). º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ( ) M(s,t) = exp µ s+µ t+ σ s +σ t +ρσ σ st. Ä Ù º½¼ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (X,Y) ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ¹ ÙÑ Ó Ú Ò Ó ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓØ ax+by ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ý ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÐÐ a R b Rº

35 ¾½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø º º¾ ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ F ¹ ÙÑ Ø ¹ ÙÑ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØZ U ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Z N(0,) U ÒÓÙ ØØ χ ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò r Ð U Khi(r)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÒÝØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò º º½ µ T = Z U/r ÙÑ º ÌØ ÑÙÓØÓ ÓÐ Ú ÐÐ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ ÓÒ Ö ØØ Ò Ò Ò ÖÓÓÐ Ø Ð ØÓÐÐ ÔØØ ÐÝ º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º½ µ ÒÓÙ ØØ Ò º ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ Ø ÐÝ Ý Ø t¹ ÙÑ µ Ú Ô Ù Ø Ò rº  ÙÑ ÓÒ Ò Ñ ØØÝ Ò Ð ÒØ Ð Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ð Ò Ïº ˺ Ó Ø Ò ÑÙ Òº Ó Ø ØØ ØÑÒ ÙÑ Ò ÓÑ ØÖ ÚÙÓÒÒ ½ ¼ Ò Ñ Ñ Ö ÐÐ ËØÙ ÒØ º ÃÙÒ T ÒÓÙ ØØ ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò r Ñ Ö ØÒ T t(r)º ÇÐ ÓÓÒ X,X,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø Æ(µ,σ )º Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X,X,...,X n ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø X i Æ(µ,σ ) i nº ÇØÓ Ø Ð ØØÙ ÙÙÖ º º½ µ X µ S/ n (X µ)/(σ/ n) = S /σ Ð ÓØÓ ÙÙÖ ÒÓÙ ØØ t¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò n Ñ X ÓÒ ÓØÓ ¹ ÖÚÓ S = n (X i X) n i= ÓÒ ÓØÓ Ú Ö Ò º Ä Ù Ò º º½ µ Ó Ó ØØ (X µ)/(σ/ n) ÒÓÙ ØØ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Æ(0,) ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ (n )S /σ ÒÓÙ ØØ ¹ ÙÑ Ã ¾(n )º ÃÓ X S ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò Ð Ù Ò º º½ µ Ó Ó ØØ Ò Ñ ØØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò º º½ µ Ð ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ú ¹ Ô Ù Ø Ò r ÓÒ º º½ µ f T (t) = Γ( ) r+ Γ ( ) r rπ (+t /r)(r+)/, < t <. ÀÙÓÑ ØØ Ú Ô Ù Ø Ò r = Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ø º º½ µ ØÙÐ Ù ÝÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº Ì Ý ÙÒ Ø Ó º º½ µ Ò ÙÓÖ Ú Ú Ø ÐÐ Ø ØÝÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ø Ò ÐÐ º Ä ØÒ Ð ÐÐ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (Z,U) Ý Ø ÙÑ Ø º ÃÓ Z U ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò f Z,U (z,u) = π e z Ì Ò ÑÙÙÒÒÓ Γ(r/) r/ur/ e u/, < z <, 0 < v <. t = z u/r, w = u,

36 º º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø ¾½ ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ z = t w/r, u = w. ÅÙÙÒÒÓ Ò Ó Ò ÓÒ w/rº Ë Ò Ð Ò ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ ÑÙÙÒÒÓ ¹ Ú º º µº T Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò (T,W) Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó Ø ÒØ ÖÓ Ñ ÐÐ w Ò ÝÐ f T (t) = 0 f Z,U [ t(w/r) /,w ] (w/r) / dw. Ä ÒÒ Ò ÐÓÔÔÙØÙÐÓ Ò ÓÒ t¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó º º½ µº ØÝ ¹ Ó Ø Ø ØÒ ÐÙ Ò Ø ØÚ º ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ ÐÐ ÓÐ ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ Ø ÓØ Ó ÐÐ ÓÐ ¹ Ò ÖØ ÐÙ Ù Ò ÑÓÑ ÒØØ º ÂÓ T r t(r) Ò Ò ÐÐÓ Ò T r ÐÐ ÓÒ ÒÓ Ø Ò r Ò ÑÑ Ø ÑÓÑ ÒØØ º Ñ Ö ÙÑ ÐÐ t() ÓÐ ÖÚÓ ÙÑ ÐÐ t() ÓÐ Ú Ö Ò º ÎÓ Ò Ð Ñ ÐÐ Ó Ó ØØ ØØ º º½ µ E(T r ) = 0, Ó r > Var(T r ) = r, Ó r > º r ÌÓ Ò Ò Ø Ð ØÓÐÐ ÔØØ ÐÝ Ò Ò ÙÑ ËÒ ÓÖ Ò F ¹ ¹ ÙÑ Ø Ú Ò ÐÝ Ý Ø F ¹ ÙÑ ÚÓ Ò Ó Ø t¹ ÙÑ Ò Ø Ô Òº ÂÓ X,X,...,X n ÓÒ ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ ) X,X,...,X m ÓØÓ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ø N(µ,σ ) Ò Ò ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º½ µ S /σ S /σ ÒÓÙ ØØ F ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò n m º Ä Ù º º½ µ S S ÓÚ Ø ÓØÓ Ú Ö Ò Øº S /σ S /σ ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø (n )S /σ Khi(n ), (m )S /σ Khi(m ). F ¹ ÙÑ ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ÂÓ X Khi(r) Y Khi(s) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º½ µ F = X/r Y/s ÒÓÙ ØØ F ¹ ÙÑ Ú Ô Ù Ø Ò r sº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö ØÒ F F(r,s)º F ¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò Ó Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ù Ò t¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÑÙÙÒÒÓ U = X +Y, V = X/r Y/s,

37 ¾½ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø Ñ F ¹ ÙÙÖ ØØ º º½ µ ÓÒ Ñ Ö ØØÝ Ö Ñ ÐÐ V º ÅÙÙÒÒÓ Ò ÒØ ¹ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ X = r (+ r ) UV, ( s s V Y = + r ) U. s V ÃÓ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ò Ò f X,Y (X,Y) = k r k s x (r/) y (s/) e (x+y)/, 0 < x <, 0 < y <, Ñ k r = /Γ ( ) r r/ k s = /Γ ( s ) s/ º ÃÙÒ Ð Ø Ò Â Ó Ò Ø ¹ Ò Ó ØÙ Ø Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ø Ý ÙÒ Ø Ó f U,V (u,v) Ú Ò º º µ ÑÙ Ø ºV Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒØ Ó ÓÒ ØØ ÒF ¹ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒØ Ó º º½ µ f F (v) = Γ( ) r+s ( r Γ ( r/ v ( r ) Γ s ) s) (r/) [ + r v], 0 < v <. (r+s)/ s F ¹ ÙÑ Ò ÖÚÓ Ú Ö Ò ÓÚ Ø º º¾¼µ º º¾½µ Ø ¹ ÙÑ E(F) = s s, s > Var(F) = s (r+s ) r(s ) (s 4), s > 4. ÇÐ ÓÓØ X Gamma(α,θ) Y Gamma(β,θ) Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ÑÑ ¹ ÙÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØ٠غ Ë ÐÐÓ Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f(x,y) = Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ø Γ(α)Γ(β)θ α+βxα y β exp ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ U = X X +Y, ( x+y θ V = X +Y, ), 0 < x, y <. X = UV, Y = V UV. ÅÙÙÒÒÓ Ò Â Ó Ò ÓÒ v u v u = v( u)+uv = v. Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ò º º µ ÑÙ Ò f U,V (u,v) = Γ(α)Γ(β) (uv)α (v uv) β e vθ v,

38 Ø ÒÚ ØÓ ¾½ Ñ 0 < u < 0 < v < º ÃÙÒ Ø Ø (U,V) Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Ó Ø ÑÖ Ø ØÒ U Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò º º¾¾µ f U (u) = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) uα ( u) β, 0 < u <. Ë ÒÓÑÑ ØØ U ÒÓÙ ØØ Ø ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò α βº Ë ÐÐÓ Ò Ñ Ö¹ Ø ÑÑ U Beta(α,β)º ÃÓ º º¾¾µ ÓÒ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ò Ò ÙÒ Ø ÓØ º º¾ µ Γ(α)Γ(β) Γ(α+β) = 0 u α ( u) β du. B(α,β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α+β) ÙØ ÙØ Ò Ø ÙÒ Ø Ó º Ø ÙÑ ÓÒ Ý Ò Ø ÖÚÓ Ò Ñ ØØÝ ÙÑ Ó Ò Ó Ó ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ Ñ ÓÒ Ö ÐÐ ÐÐ Ú Ð ÐÐ Ð ÚÐ ÐÐ(0,)º Ø ÙÑ Ò ÑÓ¹ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÐÔÔÓ Ð Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÝ ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÒ n > α Ò Ò º º¾ µ E(X n ) = B(α+n,β) B(α, β) = Γ(α+n)Γ(α+β) Γ(α+β +n)γ(α). Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ n = n = Ú Ò º º¾ µ Ò º º ÑÓÑ ÒØØ Ò Ò ÚÙÐÐ Ú Ö Ò º º¾ µ E(X) = α α+β Var(X) = αβ (α+β) (α+β +). Ñ Ö º½ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ ÙÓÖ Ø ØØ Ú Ò n+m ØÝ Øº Ì Ò ÙÓ¹ Ö ØØ Ñ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú Ø Ø ÒÓÙ ØØ Ú Ø ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ ÔÓÒ ØØ ¹ ÙÑ ÖÚÓÐÐ θ > 0 Ø º ÑÑ ÙÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò α = θºµ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ØÝ ÒØ Ø ÒÑ ØÝ Ø Ø Ò ØØ ØÝ ÒØ A Ø ØÝ Ø º º º n B Ø ØÝ Ø n+ n+ º º º n+mº ÂÓ Ñ Ö ØÒ X ÐÐ ØÝ ÒØ Ò A ÝØØÑ Y ÐÐ ØÝ ÒØ Ò B ÝØØÑ Ò Ò ØÓ Ø Ò Ö ÔÔÙÑ ØØ X Gamma(n,θ) Y Gamma(m,θ)º Ë ÐÐÓ Ò (n + m) Ò ØÝ Ò Ú Ø Ñ Ó ÓÒ X + Y ÒÓÙ ØØ ÑÑ ÙÑ Gamma(n+m,θ)º ÌÝ ÒØ Ò A ÝØØÑ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ó ÙÙ X/(X + Y) Ó ÓÒ Ø ÒÓÙ ØØ Ø ÙÑ Beta(n,m)º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø Ø ÒÚ ØÓ Ö ØØ ÙÐÓØØ Ò Ò ÙÑ Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ý Ø ÙÑ º ÌÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f(x,y) ØÓØ ÙØØ ÓØ

39 ¾¾¼ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½º 0 f(x,y) ÐÐ (x,y) S ¾º f(x,y) = (x,y) S Ñ S ÓÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) ÖÚÓ ÓÙ Óº Ê ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ f X (x) = f(x,y), x S X ; f Y (y) = f(x,y), y S Y. y S Y x S X ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ f (x y) = f(x,y) f Y (y) f (y x) = f(x,y), (x,y) S. f X (x) ÖÒÓÙÐÐ Ber(p,p,p ) ÅÙÐØ ÒÓÑ Mult(n, p) f(x,y) = p ( x)( y) 00 p ( x)y 0 p x( y) 0 p xy, Ñ p 00 +p 0 +p 0 +p =, x {0,} y {0,} E(X) = p = P(X = ), E(Y) = p = P(Y = ) E(XY) = p = P(X =, Y = ) p = (p,p,...,p k ), Ñ 0 p i p +p + +p k = E(X i ) = np i, Var(X i ) = np i ( p i ) Cov(X i,x j ) = np i p j X i Bin(n,p i ), (X i,x j ) Mult(n;p i,p j, p i p j ) M(t) = (p e t + +p k e t k ) n ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò f(x,x,...,x k ) = ( N )( N ) ( Nk x x ( N, Ñ n) x k ) N +N + +N k = N x +x + +x k = n ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò Y = h(x) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÙÒ X Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f X (x) Ñ g(y) ÓÒ h(x) Ò ÒØ ÙÒ Ø Óº f Y (y) = f X [ g(y) ] g (y), y S Y,

40 Ø ÒÚ ØÓ ¾¾½ Â Ø ÙÚ ÙÐÓØØ Ò Ò ÙÑ Â Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÒX Y ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,Y) Ø Ý ÙÒ Ø Ó ØÓØ ÙØØ ÓØ ½º f(x,y) 0 ÐÐ (x,y) ¾º f(x,y)dxdy = º P[(X,Y) A] = f(x,y)dxdyº (x,y) A Ê ÙÒ ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ f X (x) = f(x,y)dy, x S X ; f Y (y) = f(x,y)dx, y S Y ÓÐÐ Ø Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ f X (x y) = f(x,y) f Y (y) Ñ f X (x) > 0 f Y (y) > 0º à ÖØÝÑ ÙÒ Ø Ó F(x,y) = x y f Y (y x) = f(x,y) f X (x), f(s,t)dsdt. ( ÆÓÖÑ Ð ÙÑ (X,Y) N µ,µ,σ,σ,ρ ) º Ì Ý ÙÒ Ø Ó [ ] f(x,y) = πσ σ exp ρ ( ρ ) Q(x,y), Ñ ( ) ( )( ) ( ) x µ x µ y µ y µ Q(x,y) = ρ +. Ê ÙÒ ÙÑ Ø σ ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø σ σ X N(µ,σ ) Y N(µ,σ ). X Ò ÙÑ ÓÐÐ Y = y ÓÒ [ X y N µ + ρσ ] (y µ ), σ σ ( ρ ), Y Ò ÙÑ ÓÐÐ X = x ÓÒ [ Y x N µ + ρσ ] (x µ ), σ σ ( ρ ). σ

41 ¾¾¾ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ÅÙÙØØÙ Ò Ú ØÓ ÇÐ ÓÓÒ U = h (X,Y); V = h (X,Y) ÑÙÙÒÒÓ ÓÐÐ ÓÒ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ x = g (u,v), y = g (u,v)º Ë ØÙÒÒ ¹ Ú ØÓÖ Ò (U,V) Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó ÓÒ f U,V (u,v) = f ( g (u,v),g (u,v) ) J, Ñ f(x,y) ÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó x x J = u v y y = x y u v y x u v. u v ÓÐÐ Ø Ó ÓØÙ ÖÚÓØ Ú Ö Ò Ø ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÐÐ Ò Ò Ú Ö Ò ËØÙ ÒØ Ò t¹ ÙÑ E(Y) = E[E(Y X)] Var(Y) = E[Var(Y X)]+Var[E(Y X)]. T t(r)º T = Z U/r t(r), Ó Z N(0,) U Khi(r) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ÐÐÓ Ò E(T) = 0, r > Var(T) = r r, r >. F ¹ ÙÑ F F(r,s)º F = X/r Y/s F(r,s), Ó X Khi(r) Y Khi(s) ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº Ë ÐÐÓ Ò E(F) = s s, s > ; Var(F) = s (r +s ) r(s ) (s 4), s > 4. Ø ¹ ÙÑ X Beta(α,β) α > 0 β > 0º Ì Ý ÙÒ Ø Ó f X (x) = Γ(α+β) Γ(α)Γ(β) xα ( x) β, 0 < x <. E(X) = α α+β Var(X) = αβ (α+β) (α+β +).

42 À Ö Ó ØÙ ¾¾ À Ö Ó ØÙ ½º ÅÖ Ø ÐÐÒ X Ò Y Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÙÖ ¹ Ú Ø f(x,y) = x+y, 3 ÙÒ x =,; y =,,3,4. ÅÖ Ø µ X Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó µ Y Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº µ Ä P(X > Y) µ P(Y = X) µ P(X +Y = 3)º ¾º X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ½º Ø ¹ ØÚ º µ Ä Ó ÓØÙ ÖÚÓØ µ X µ Y µ Ú Ö Ò Ø σ X σ Y µ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò ρº µ ÇÚ Ø Ó X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø º X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ½º Ø ¹ ØÚ º µ ÅÖ Ø X Ò ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ f (x y) ÓÐÐ y =,,3 y = 4º µ ÅÖ Ø Y Ò ÓÐÐ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø ÓØ f (y x) ÓÐÐ x = x = º µ Ä P( Y 3 X = ) P(Y X = ) P(X = Y = 3)º µ Ä E(Y X = ) Var(Y X = ). º Ì Ø Ø Ò ÝÑÑ Ò Ò ÙÓ ÝÔÖÒ Ù ØÚÝÝ º ÃÝÔÖØ Ø Ò ¹ Ø Ò Ú Ò ÖÝ ÑÒº Ò ÑÑ Ò ÖÝ ÑÒ ÝÔÖ ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ù Ó Ö ÝÔÖÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 0.º ÌÓ Ò ÖÝ ÑÒ ÝÔÖ ØÒ ÚÓ Ñ ÐÐ Ó Ö ÝÔÖÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ 0.3º Å ÐÐ ØÓ ÒÒ ¹ ÝÝ ÐÐ Ò ÑÑ Ò ÖÝ ÑÒ ÝÔÖ Ö ÓÓÒØÙÙ Ò ÑÑÒ Ù Ò ØÓ Ò ÖÝ ÑÒ ÝÔÖ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X X X 3 ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÑÙÐØ ÒÓÑ ¹ ÙÑ Mult(5;0.,0.3,0.6) ÌÓ Ò ÒÓ Ò(X,X ) Tri(5;0.,0.3) º µ ÅÖ Ø X Ò Ö ÙÒ ÙÑ X Ò

43 ¾¾ ÄÙ Ù º ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø µ ÓÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó f (x x = )º º ÆÓ Ø Ø Ò Ø Ú ÐÐ Ø ÓÖØØ Ô Ø 5 ÓÖØØ µ ØÙÒÒ Ø Ô Ð ÙØØ ¹ Ñ ØØ 3 ÓÖØØ º ÇÐ ÓÓÒ X Ô ØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ X ÖØØÓ Ò ÐÙ Ùѹ Ö 3 X X ÖÙÙØÙ Ò Ö Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓØÓ º µ ÅÖ Ø X Ò X Ò Ý Ø ÙÑ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Óº Å ÓÒ ØÙÒÒ Ú ØÓÖ Ò (X,X ) ÖÚÓ ÐÙ µ X Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÙÒ Ø Ó ÖÚÓ ÐÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ (X,Y) ÒÓÙ ØØ ØÖ ÒÓÑ ÙÑ Tri ( 3, 6, ) º µ Ä Ó ÓØÙ ÖÚÓØ µ X µ Y µ Ú Ö Ò Ø σ X σ Y µ ÓÚ Ö Ò Cov(X,Y) µ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò ρº º Ë ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 0 Y 0 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ú Ø Ú Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù ÖÚÓ º Ç Ó Ø ØØ µ P(X +Y = n) = n P(X = 0)P(Y = n k)º k=0 µ À Ø ØÒ 4 Ö ØÓÒØ ÒÓÔÔ Ð Ø Ò ÐÑÐÙ Ù Ò Ùѹ Ñ º Å ÓÒ ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ ÙÑÑ ÓÒ 8 Î ÇÐ ÓÓÒ X Ò ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù Ò ÙÑÑ Y Ò ÑÙÙÒ ÒÓÔ Ò ÐÑÐÙ Ù Ò ÙÑÑ ºµ º ÅÖ Ø Ñ Ö º½ X Ò Y Ò ÙÑ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Òµ Ø ¹ Ý ÙÒ Ø Óغ ÌÓØ ØØ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ½¼º ÌÓØ Ð Ñ ÐÐ ØØ Ñ Ö º E(X y) = y 0 y º ½½º ÇÐ ÓÓÒ Ø ÙÚ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X Y Ý Ø ÙÑ Ò ÖØÝѹ ÙÒ Ø Ó { kxy(x+y), ÙÒ 0 < x < 0 < y < ; F(x,y) = 0 ÑÙÙ ÐÐ º µ Ä Ú ÓÒ k ÖÚÓ ÑÖ Ø X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ¹ ÙÒ Ø Óº µ ÅÖ Ø X Ò Ö ÙÒ ÙÑ Ò ÓÐÐ Ò ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº µ Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø P(X < 0.5, Y < 0.5); P(X < 0.5); P(X < 0.5 Y < 0.5). ½¾º ÅÖ Ø a b c d Ø Ò ØØ

44 À Ö Ó ØÙ ¾¾ µ P(a F 8, b) = 0.8; P(c F 6,6 d) = 0.98º µ P( t 9 a) = 0.05; P( t 0 > b) = 0.95º µ P(F, b) = 0.05; P(F, c) = 0.º ½ º ÇÐ ÓÓØ Y Z ÐÐ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø ØØ Z N(0,) Y χ 4º ÅÖ Ø a b Ø Ò ØØ P(Z a Y) = 0.975; P(Y +Z b) = ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ X t(ν)º Ç Ó Ø ÑÙÙØØÙ Ò Ú ØÓØ Ò ÐÐ ØØ X F,ν º ÀÙÓÑ ØØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÐ ÑÓÒÓØÓÒ Ò Òµº ½ º ÇÐ ÓÓÒ X Ò Y Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ñ Ö º µ f(x,y) = 3 x ( y ), < x <, < y <. ÅÖ Ø X Ò Y Ò ÙÑ Ò Ö ÙÒ ÙÑ Òµ Ø Ý ÙÒ Ø Óغ ÌÓØ ØØ X Y ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ½ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ØX Y ÒÓÙ ØØ Ú Ø Ø ÙÑ Tas(0,)º Ä ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø µ P( X Y ) µ P( X Y )º ½ º ÇÐ ÓÓØ X Y Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Ø Ø Ò Ö Ó ÙØ ÒÓÖÑ Ð ÑÙÙØØ٠غ Ź Ö Ø ÐÐÒ ÑÙÙØØÙ Ø U = X +Y ; V = X Y. Ã Ö Ó Ø U Ò V Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø Óº ÆÝØ ØØ U V ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ Øº ½ º Ë ØÙÒÒ Ú ØÓÖ (X,Y)ÒÓÙ ØØ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ô ¹ Ö Ñ ØÖ Ò µ = µ = 0 σ = 4 σ = 9 ρ = 0.8º µ Ã Ö Ó Ø (X,Y) Ò Ý Ø ÙÑ Ò Ø Ý ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ù µ E(Y x) µ Var(Y x)º à º Ä Ù º ºµ ½ º Ö Ò Ò Ø Ò ÙÒØÓ¹Ó ÐÑ Ò Ó ÐÐ ØÙÒ ÐØ Ñ Ø ØØ Ò ÓÒ Ö Ú ¹ ÔÖÓ ÒØØ X ÒÒ Ò Ó ÐÑ Ò Ð Ù Ö Ú ÔÖÓ ÒØØ Ò ÑÙÙØÓ Y Ó Ð¹ Ñ Ò ÐÓÔÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÑÙÙØØÙ Ò Ý Ø ÙÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð Ò Ò µ X = 4.5 σ X = 4.8 µ Y = 0. σ Y = 3.0 ρ XY = 0.3º Ä