Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

Transkriptio

1 Ö ¹ Ò ÐÝÝ ½¼ ÓÔ ÖØÓ ÄÙÓÑ Ì Ð ØÓØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý ¼½ Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ËÝ Ý ¾¼½

2 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÇØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÃÐ Ò Ò ÓØ ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º Ã Ù Ú Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ ½ ½º ÅÙ Ø Ò Ð Ò Ó ØÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ä Ò Ö Ø ÙÓØ Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ö Ó Ò ØØ Ñ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÖÓ Ñ ÐÐ º º º º ½ ½º ÂÒÒ Ö Ò ³Ú Ð Ó ÙÙ Ò³ Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º ¾¾ ¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ø ¾ ¾º½ Ð Ø ÒÒÙ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º Ä Ò Ö Ø ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ËØ Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ö Ó Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º ¾º ÒÒÙ Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò P n ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º º º º º ÊÅ ¹Ñ ÐÐ Ø ¼ º½ ÊÅ Ô Õµ¹ÔÖÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Ò Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ ¾ º ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò º º º º Ç ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º È Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º ½

3 Å ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò ÊÅ ¹ÔÖÓ ÐÐ ¾ º½ ÐÙ Ø Ú Ø ÑÓ ÒØ ÙÐ ¹Ï Ð Ö¹Ý ØÐ ÐÐ º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÐÙ Ø Ú Ø ÑÓ ÒØ À ÒÒ Ò¹Ê Ò Ò¹ Ð ÓÖ ØÑ ÐÐ º º º º º º º º ËÙÙÖ ÑÑ Ò Ù ÓØØ ÚÙÙ Ò Ø ÑÓ ÒØ ÊÅ ¹Ñ ÐÐ ÐÐ º º º º º º Å ÐÐ ÒÚ Ð ÒØ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ö Ø Ö Ò ÚÙÐÐ º º º º º º º º º º º º º Å ÐÐ Ò ÓÔ ÚÙÙ Ò Ø Ö Ø Ñ Ò Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÝÑÔØÓÓØØ Ò Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º Ô Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ö Ó Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ ½ º½ Ö Ò ÐÙ Ø Ú Ø Ö Ø ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÊÁÅ ¹Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙÙÖ Ò ÓÐ Ñ ÓÐÓÒ Ø Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º ÊÁÅ ¹ÔÖÓ Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë ÊÁÅ ¹Ñ ÐÐ Ã ÖÖ ÒÒ Ò Ò Ù ¹Ú Ø ÐÙÑ ÐÐ µ º º º º º º º ¼ º Ê Ö Ó Ò ÐÝÝ ÙÒ Ú Ö Ø ÖÑ ÒÓÙ ØØ ÊÅ ¹ÔÖÓ ÓÐÐ Ò Ø ÖÓ Ø ÙÙ Ò Ñ ÐÐ Ø º½ ÓÐÐ Ò Ø ÖÓ Ø ÙÙ Ò ÐÙÓÒÒ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ê À¹Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê À¹Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÁÒØ ÖÓ ØÙÒÙØ Ê À¹Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ê À¹Å¹Ñ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö Ø º½ À Ó Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ö Ø ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó º º º º º º º º º¾ Î Ð Ó Ò Ò Ó Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÔÖÓ º º º º º º º º º º º º º ½ º Î ØÓÖ ¹ ÙØÓÖ Ö Ú Ø Î Êµ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÙÙÖ ¹ Ô Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ý Ø ÒØ ÖÓ ØÙÒ ÙÙ º º º Ø ÒØ ÖÓ ØÙÒ Ø Î Ê¹Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 Ã Ö ÐÐ ÙÙØØ È ÐÐ Ø Ð Ø Ø ÖÓ Û ÐÐ Ú ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ì Ñ Ë Ö Ò ÓÖ Ø Ò Ì Ý Ò ÐÝ Ó Ò Ò Ð Ì Ñ Ë Ö Ì Ö Ø ÓÒ ÅÙÙØ Ö ÐÐ ÙÙØØ ÓÛÔ ÖØÛ Ø Å Ø Ð ÁÒØÖÓ ÙØÓÖÝ Ì Ñ Ë Ö Û Ø Ê Í Ê µ È Ò ÐÝ Ó ÁÒØ Ö Ø Ò Ó ÒØ Ö Ø Ì Ñ Ë Ö Û Ø Ê Í Ê µ ÖÓ Û ÐÐ Ú Ì Ñ Ë Ö Ì ÓÖÝ Ò Å Ø Ó ÐÝ º ÌËÌŵº Ë ÙÑÛ Ý ËØÓ Ö Ì Ñ Ë Ö Ò ÐÝ Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ï Ø Ê Ü ÑÔÐ ÖÝ Ö Ò Ì Ñ Ë Ö Ò ÐÝ Ï Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò Ê

5 ÄÙ Ù ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ Ð Ø Ö ÝÒØÝÝ ÙÒ ÓØ Ò ÙÙÖ ØØ Ñ Ø Ø Ò Ô Ö Ò Ò Ó Ø Ò Ñº ÙÖ ØØ Ø ÐÓÙ Ò ØÝ Ø Ø ÓÐÐ ÙÙ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ô Ò ØÝ Øº Ö Ó Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ò Ò Ñ ÐÐ ÓÒ ØÓ Ø Ò Ò ÔÖÓ {X t, t T} Ñ Ò ÓÙ Ó T ÚÓ ÓÐÐ Ö ØØ ÑºZ = {0,1,2,...}µ Ø Ø ÙÚ Ñº [0, )µº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ö Ó ØÙØ Ò Ö ØØ Ò Ö¹ Ó Òº Ð Ò Ö Ó Ø ÓÒ Ø Ú ÐÐ Ý Ö Ð Ø Ó Ø ØÝÐÐ ÚÐ ÐРѺ x 1,x 2,...,x n º Ö Ò ÐÝ Ó Ñ ÐÐ ÔÝÖ ØÒ Ð ÝØÑÒ ØÓ Ø ¹ Ò Ò ÔÖÓ Ó ÚÓ ØÙÓØØ Ý Ò Ö Òº ÌÑ ÚÓ ÙØØ ½µ Ýѹ ÑÖØÑÒ ÓØ Ò ØÙØ ØØ Ú Ò ÐÑ Ò ÐÙÓÒØ Ø ¾µ ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ö¹ Ò ØÙÐ Ú ÖÚÓ º Ö ¹ Ò ÐÝÝ ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÑÝ µ ÔÖÓ Ò ÓÒ¹ ØÖÓÐÐÓ ÒÒ Ñº Ø ÓÐÐ ÙÙ ÙÒ ØØÚ ÓÐ Ú ÔÖÓ ØÙÓØØ ÓÒÓÒ Ú ÒØÓ ÖÚÓ º µ Ò Ö Ò Ú Ø ÐÙ ÚÓ Ò ÔÝÖ Ð ØØÑÒ ÑÙ Ò Ö Ó Ò Ú Ø ÐÙÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÚÙØ Ò ÑÓ ÓÒ ÐÑ Ù Ò Ö Ö Ó¹ Ò ÐÝÝ º ½º¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ Ð Ò Ö ÔÝÖ ØÒ Ö Ð ÐÐ ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ ØØ Ñ Ò ÐÐ Ò ÑÙÓØÓÓÒ ØØ Ò ÚÓ Ø Ó ÓÐ Ú Ò Ö Ð Ø Ó Ø Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ø º ËØ Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÚÓ Ò ÝÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ò º ÊÅ ¹ ÔÖÓ Ò ÚÙÐÐ º Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö ÚÓ Ò ØØ Ò ÙÚ Ø ÝØØ Ò Ø ¹

6 Ø ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ø ÑÙÙÒÒÓ Ó ÐÐ Ø Ò Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö º ÈÖÓ Ò {X t } ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ØÖ ØÐÝ Ø ¹ Ø ÓÒ Öݵ Ó Ô Ö Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ý Ø ÙÑ ÑÙÙØÙ ÙÒ ÖÖݹ ØÒ Ø ÒÔ Òº ÌÓ Ò ÒÓ Ò ÔÖÓ ÓÒ Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ó ØÙÒÒ Ú ØÓÖ ÐÐ (X 1+h,X 2+h,...,X n+h ) ÓÒ Ñ ÙÑ Ù Ò Ú ØÓÖ ÐÐ (X 1,X 2,...,X n ) Ñ h n ÓÚ Ø Ñ Ø Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ó ÓÒ ÐÙ Ù º ÃÙÒ ÔÙ ÙØ Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ø Ø Ö Ó Ø Ø Ò Ù Ø Ò Ò ÝÐ Ò Ò º Ó Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙØØ º ÈÖÓ Ò {X t } ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò Ó Ø Ø Ø ÓÒ¹ Ö Ò Ò Øº Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ð Ñ Ð Û ÐÝ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò Ø Û Ò µ Ó ÔÖÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ô Ö Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ó¹ Ú Ö Ò Ñ ØÖ ÑÙÙØÙ ÖÖÝØØ Ø ÒÔ Òº ÌÐÐ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ô Ø Ø ÓØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÚ Ö Ò Ø ÓÐ ¹ Ú Ø ÑÖ Ø ÐØÝ º ÀÙÓÑ ØØ Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ø ÙÖ Ó Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ñ Ð ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÙØØ Ó Ø Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ø ÚÐØØÑØØ ÙÖ Ú Ú Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ º ÅÖ Ø ÐÐÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó µ X (t) = E(X t ) ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó γ X (r,s) = Cov(X r,x s ) ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ r sº Æ Ò ÙÒ Ø Ó Ò ÚÙÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝÒ ÔÖÓ ÓÒ Ó Ø µ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ó Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÙÒ ¹ Ø Ó µ X (t) ÓÒ Ø t Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Ú Ó ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó γ X (t + h,t) Ö ÔÙ Ø t Ñ ÐÐÒ Ó ÓÒ ÐÙÚÙÐÐ hº ÂÓ Ý ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö ¹ Ò Ò ÔÖÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÚÓ Ò ÐÑ Ø Ý Ò Ö ÙÑ ÒØ Ò ÚÙÐÐ γ X (t+h,t) = γ X (h,0) = γ X (h)º Ä Ø Ø ÓÒ Ö ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ρ X (h) = γ X (h)/γ X (0) = Cor(X t+h,x t )º Ѻ ½º ÇÐ ÓÓÒ {X t, t = 1,2,..} ÓÒÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÑÓ Ò Ù¹ ØÙÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ E(X t ) = µ Var(X t ) = σ 2 º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ {Y t, t = 1,2,...} Ñ Y 0 = 0 Y t = X 1 +X X t ÙÒ t 1º ÈÖÓ ÙØ ÙØ Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝ º ÃÝ ÓÒ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ó µ = 0 Ý Ò ÖØ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝ Ó X t ÚÓ ÖÚÓ Ò Ó Ó ½ Ø ¹½º ÈÖÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó ÓÒ µ Y (t) = E(X 1 +X X t ) = tµ Ú Ö Ò Var(Y t ) = Var(X 1 )+Var(X 2 )+...+Var(X t ) = tσ 2 º ÃÓ Ú Ö Ò Ú ÙÒ t Ú ÔÖÓ ÓÐ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ú ¹ µ ÓÐ ¼º Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö {X t } Ò Ö Ø {Y t } ÖÓ Ñ ÐÐ X t = Y t Y t 1 º Ѻ ¾º ÁÁ ¹ Ó Ò º ÇÐ ÓÓÒ {X t } ÓÒÓ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÑÓ Ò Ù¹ ØÙÒ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ó Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ¼º ÌÐÐ Ò ÓÒÓ ÒÓØ Ò ÁÁ ¹ Ó Ò ÁÁ Ò Ô Ò ÒØ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ µº ÈÖÓ ÓÒ

7 Ý Ò ÖØ Ò Ñ Ö Ú Ú Ø Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ø º ÃÓ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ø ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÑÓ Ò ÙØÙÒ Ø Pr(X 1 x 1,X 2 x 2,..,X n x n ) =Pr(X 1 x 1 )Pr(X 2 x 2 )...Pr(X n x n ) =Pr(X 1+h x 1 )Pr(X 2+h x 2 )...Pr(X n+h x n ) =Pr(X 1+h x 1,X 2+h x 2,...,X n+h x n ), Ó Ø Ò Ò ØØ Ô Ö Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ý Ø ÙÑ ÔÝ ÝÝ Ñ Ò ÖÖÝØØ º Å Ö ØÒ ÁÁ ¹ Ó Ò {X t } ÁÁ (0,σ 2 )º Ѻ º Î Ð Ó Ò Ò Ó Ò º ÇÐ ÓÓÒ {X t } ÓÒÓ ÓÖÖ ÐÓ Ñ ØØÓÑ ØÙÒ¹ Ò ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ¼ Ú Ö Ò σ 2 º Ë ÐÐÓ Ò ÓÒÓ ÒÓ¹ Ø Ò Ú Ð Ó Ó Ò Ñ Ö ØÒ {X t } ÏÆ (0,σ 2 )º ÂÓÒÓ ÓÒ ¹ Ñ Ö Ó Ø µ Ø Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ø ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ µ X (t) = EX t = 0 { σ γ X (t+h,t) = 2, ÙÒ h = 0, 0, ÙÒ h 0. Ç ÓØÙ ÖÚÓ¹ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓØ ÚØ Ö ÔÙ Ø Øº ÁÁ ¹ Ó Ò ÓÒ ÑÝ Ú Ð Ó Ø Ó Ò Ó ÔÖÓ Ò Ú Ö Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Òº Î Ð Ó Ò Ò Ó Ò Ò Ò ÓÐ ÚÐØØÑØØ ÁÁ ¹ Ó Ò º Ѻ º Å ½µ¹ÔÖÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÓÒÓ {Z t, t = 0,1,2,...} ÓÒ Ú Ð Ó Ø Ó Ò º ÅÖ Ø ÐÐÒ X t = Z t + θz t 1 Ñ θ ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò µ X (t) = 0 EXt 2 = σ2 (1+θ 2 ) < º Ä σ 2 (1+θ 2 ), ÙÒ h = 0, γ X (t+h,t) = σ 2 θ, ÙÒ h±1, 0, ÙÒ h > 1. ÃÓ µ X (t) γ X (t+h,t) ÚØ Ö ÔÙ Ø Ø Ý ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÔÖÓ ¹ º ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÔÖÓ ÐÐ {X t } ÓÒ 1, ÙÒ h = 0, ρ X (t+h,t) = θ/(1+θ 2 ), ÙÒ h±1, 0, ÙÒ h > 1. Ñ º Ê ½µ¹ÔÖÓ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ {X t } ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ó ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ø X t = φx t 1 +Z t,t = 0,±1,..., ½º½µ

8 Ñ {Z t } ÏÆ (0,σ 2 ), φ < 1 Z t ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ñ ØÓÒ ØÙÒÒ ÑÙÙع ØÙ Ò X s Ò ÙÒ s < tº ÌÐÐ Ò ÒÓØ Ò ØØ {X t } ÒÓÙ ØØ ÙØÓÖ ¹ Ö Ú Ø ÔÖÓ Ú Ú ÐÐ ½ Ð Ê ½µ¹ÔÖÓ µº ÇØØ Ñ ÐÐ Ó ÓØÙ ÖÚÓ Ý ØÐ Ò ½µ Ö ÔÙÓÐ Ø Ò ÔÖÓ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ EX t = 0º ÙØÓ Ó¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØÑ ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ ÒX t h ÐÐ Ñ h > 0 ÓØ Ø Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÔÙÓÐ ØØ Ò E(X t X t h ) = φe(x t 1 X t h )+E(Z t X t h ) Cov(X t,x t h ) = φcov(x t 1,X t h )+0 γ X (h) = φγ X (h 1). Ê ÙÖ Ú Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ γ X (h) = φ h γ X (0)º ÃÓ γ X (h) = Cov(X t+h,x t ) = Cov(X t,x t+h ) = γ X ( h) ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ò Ø Ú ÐÐ Ú ¹ Ú ÐÐ h ÓÚ ÐØÙÚ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ò Ú ÓÒ γ X (h) = φ h γ X (0)º ÙØÓ ÓÖÖ ¹ Ð Ø Ó ÔÙÓÐ Ø Ò ÓÒρ X (h) = γ X (h)/γ X (0) = φ h,h = 0,±1,... ÎÓ ÑÑ ÑÖ ØØ Ñ ÓÒ γ X (0) ØÓ Ø Ò Ò Ò ØØ Cov(X t,z t ) = Cov(φX t 1 +Z t,z t ) = φcov(x t 1,Z t )+Cov(Z t,z t ) = Cov(Z t,z t ) = σ 2, ÐÐ ÓÐ ØÙ Ò ÑÙ Ò Cov(X t 1,Z t ) = 0º ÌØ Ò γ X (0) = Cov(X t,x t ) = Cov(X t,φx t 1 +Z t ) = φγ X (1)+σ 2 = φ 2 γ X (0)+σ 2, Ó Ø Ò Ö Ø ØÙ ØØ γ X (0) = σ 2 /(1 φ 2 )º ½º ÇØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ð Ò Ö Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ¹ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ø ØÙÒÒ Ø Ú Ò Ò ÓÙ ÙØ Ò Ø ÑÓ Ñ Ò ÓØÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ñ ÐÐ ÓÒ ÓØÓ x 1,x 2,...,x n Ó Ø Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ó Ø º ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓØÓ ¹ ÖÚÓ x = 1 n x t, n ÓØÓ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ˆγ(h) = 1 n n h t=1 (x t+ h x)(x t x), n < h < n, t=1

9 ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ˆρ(h) = ˆγ(h), n < h < n. ˆγ(0) ÀÙÓÑ ØØ Ý ÓÐ Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ú ÒØÓÔ Ö Ø (x t,x t+ h ) Рع ØÙ ÓØÓ ÓÚ Ö Ò º ÒÒ ØØÙ ÑÖ Ø ÐÑ Ù Ø Ò Ò Ø Ò ÓØÓ ÓÚ Ö Ò ¹ ÓØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÑ ØÖ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º Ì ÓÖ ØØ Ø ÓÚ Ö Ò ¹ ÓÖÖ Ð Ø ÓÑ ØÖ Ø ÓÚ Ø Ò ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º Ä ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ ÝÝ Ø Ö Ò Ñ ØÖ ÓØ ÐÑ Ò ÓÐ ¹ Ñ ÓÐÓÒº ÇØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ø ÔØ ÐÑ Ö Ò Ò¹ ÖÓ Ò Ò ØÙÒÒ ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ø Ñ ÚÓ ÙØØ ÓÔ ¹ Ú Ò Ñ ÐÐ Ò Ð ÝØÑ º Î Ð Ó Ò Ó Ò Ò Ø Ô Ù ρ(h) = 0 ÙÒ h 0º ÌÐÐ Ò ÚÓ ÓÐ ØØ ØØ Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ Ò ØÙÓØØ Ñ Ò Ö Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ð ÐÐ ÒÓÐÐ ÙÒ h 0º ÁØ ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ÌËÌÅ º ¾¾¾µ ØØ ÁÁ ¹ Ó Ò Ò Ø Ô Ù ÙÒ ÔÖÓ Ò Ú Ö ¹ Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓØ ˆρ(h), h > 0 ÓÚ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ÒÓÙ ØØ Ú Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ N(0,1/n) ÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ º ÌØ Ò ÒÓ Ò ± ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó Ø Ô Ø Ó Ù Ö Ó Ò ±1.96/ n ÐÐ Ó Ý ÓÒ ÁÁ ¹ Ó Ò Ò ÔÖÓ º ÃÙÚ Ó ½º½ ÓÒ ÑÙÐÓ ØÙ ¾¼¼ ÖÚÓ ÁÁ Æ ¼ ½µ ¹ Ó Ò º ÃÙÚ ÓÒ ¹ Ó ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÑÙÐÓ ÙÒ Ò ØÓÒ Ô ÖÙ Ø Ð¹ Ð º Æ Ò ØØ ÖÚÓØ Ó ØØÙÚ Ø Ö Ó Ò ±1.96/ n ÐÐ º ÃÙÚ ÓØ ÓÒ ØÙÓØ ØØ٠ʹ Ý ÐÐ Û Ø ÒÓ ¹ÖÒÓÖÑ ¾¼¼µ ÔÐÓØ Ø Û Ø ÒÓ µ Ñ Ò ÝÐ µ Û Ø ÒÓ Ñ Ò Ð ºÑ Ü ¼µ ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú ÝÔÓØ ØØ ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙ Ó ÙÖ ÓРع ÙÒÒ Ú ÐÝÔÖÓ º ÃÙÚ Ó ½º¾ Ò ÝÝ ÆÓ Ò Ó ÙÖ ÐØ º º¾¼½¾ º º¾¼½ ÑÙÙÒÒ ØØÙ Ö Ó ÓÒ ØÙ ÐÓ Ö ØÑÓ Ñ ÐÐ ÖÓ Ñ Ð¹ Ð Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö º Î Ñ Ò Ô ÚÒ ÙÖ ÒÓÙ Ù ÓÒ ÙÖ Ù ÐÑÓ ØÙ Ø ÆÓ Ò Ñ Ø ÔÙ Ð ÒÐ ØÓ Ñ ÒÒ Ò ÑÝÝÑ Ø Å ÖÓ Ó Ø ÐÐ º ÙØÓ ÓÖÖ Ð ¹ Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÑÙÙÒÒ ØØÙ Ö ÒÝØØ ÓÖÖ ÐÓ Ñ ØØÓÑ ÐØ ÔÖÓ ¹ ÐØ Ò Ò Ù Ò Ô Ø Òº ÃÓ Ð Ö Ò Ú Ö Ò ÒÝØØ ÔÝ ÝÚÒ Ð ¹ Ñ Ò Ú ÓÒ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÖÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ø Ñ Ö ØØÚ Ø ÒÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ô Ø Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ Ò º À ÓÒÒ Ò σ Ø Ñ ØØ ÓÒ ¼º¼ ¾½º

10 ACF µ Ö º Time Lag µ ÇØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Óº ÃÙÚ Ó ½º½ Î Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÑÙÐÓ ÒØ º Ð Ö ÖÝ Ø Ö µ ÒÓ ¹ غ غÕÙÓØ Ò ØÖÙÑ ÒØ ÒÓ Ø ÖØ ¾¼½¾¹ ¹½ Ò ¾¼½ ¹ ¹ ÕÙÓØ ÐÓ µ ÐÒÓ ¹ ÐÓ ÒÓ µµ Ü ¹ ÓÖ Ø ÐÒÓ µ Ü Ñ Ò µ ÙÑÑ ÖÝ ÐÑ ÐÒÓ ½µµ Ó ÒØ Ø Ñ Ø ËØ º ÖÖÓÖ Ø Ú ÐÙ ÈÖ Ø µ ÁÒØ Ö Ôص ¼º¼¼¾ ½ ¼º¼¼¾ ¾¾ ¼º ¼º ¾ Ê Ù Ð Ø Ò Ö ÖÖÓÖ ¼º¼ ¾½ ÓÒ ¾ Ö Ó Ö ÓÑ ÃÙÚ Ó ½º ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝÒ Ä ÀÙÖÓÒ ¹ ÖÚ Ò Ô ÒÒ Ò Ø Ó Ó Ó ØØ ¹ Ú ÙÚ º Ë ÐÚ Ø Ò Ö ÓÐ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÐÐ Ò ÒØÝÝ

11 nok dlnok Sep Nov Jan Mar May Jul Sep µ Ö Index Sep Nov Jan Mar May Jul Sep Index µ Ö ÐÓ Ö ØÑÓ ØÙÒ ÖÓ ØÙÒ ÃÙÚ Ó ½º¾ ÆÓ Ò Ó ÙÖ º º¾¼½¾ º º¾¼½ ACF Lag ÃÙÚ Ó ½º ÆÓ Ò Ó ØÙÓØØÓ Ö Ò ½º¾ µ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ½¼

12 Ð Ú ØÖ Ò º ÃÙÒ Ø ÑÓ Ò Ð Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÇÄ˵ Ú Ø Ò ÒÒ Ö ÔÓ Ø Ú Ø Ù¹ ØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓØ Ô Ò ÐÐ Ú Ú Ðк ÈÓ Ø Ú Ò Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó Ò ÝÝ ÑÝ Ø Ö Ø ÐØ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø ÓØ º ÃÓ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ ¹ Ø Ó Ú Ò ÙÙÖ Ò Ô ÖØ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÚÓ Ò ÓØØ ÒÒ Ö Ò Ò ÖÓ Ú ÔÖÓ Ê ½µ¹ÔÖÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò φ 0.8º Ì ÓÖ ØØ Ò Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ò Ê ½µ¹ÔÖÓ ÐÐ ÓÒ ρ(h) = φ h º ÔÐÓØ Ä ÀÙÖÓÒµ ¹ ÐÑ Ä ÀÙÖÓÒ Ð Ò µ Ø Ñ Ä ÀÙÖÓÒµµ Ö ¹ Ø Ö Ù Ð µ Ø ÖØ Ø ÖØ Ä ÀÙÖÓÒµ Ö ÕÙ ÒÝ Ö ÕÙ ÒÝ Ä ÀÙÖÓÒµµ ÔÐÓØ Ö ÝÐ Ö Ù Ð µ Ð Ò ¼ ¼µ Ö Ù Ð µ Ñ Ò µ LakeHuron residuals Time Time µ Ö µ ÂÒÒ Ö ÃÙÚ Ó ½º Ä ÀÙÖÓÒ ¹ ÖÚ Ò Ô ÒØ ½½

13 ACF Lag ÃÙÚ Ó ½º Ä ÀÙÖÓÒ ¹ ÖÚ Ò Ô ÒÒ Ò ÒÒ Ö Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó¹ ÙÒ Ø Ó ÇØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÚÓ Ò Ð Ú Ö ÓÐ Ò Ø Ø Ó¹ Ò Ö Ò Ò ÓÐÐÓ Ò Ø ÚÓ Ò Ñ ÓÐÐ Ø Ú Ø ¹ Ø Ø ÓÒ Ö ÙÙ º ¹ Ñ Ö Ó Ö ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ØÖ Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÔÝ ÝÝ Ô Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò ÙÒh Ú º ÌÑ Ó ØÙÙ Ø ØØ Ö Ò Ð ÙÔ ÓÒ ÖÚÓÒ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÐÓÔÔÙÔ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò ÓØÓ ÙØÓ Ó¹ Ú Ö Ò Ò Ð Ù Ø Øx t x x t+ h x ÓÚ Ø Ñ ÒÑ Ö ÚØ Ò Ò ØÙÐÓØ ÙÑÓ ØÓ Òº ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝ ÓÐ Ø Ø ÓÒ Ö ¹ Ò Ò ÔÖÓ ÑÙØØ ÑÙ ØÙØØ Ê ½µ¹ÔÖÓ ÙÒ φ ÓÒ Ð ÐÐ Ý Øº Ì Ø Ô Ù ˆρ(h) Ú Ò Ø Ø Ý Ø ÙÒ h Ú º Ä Ó Ö ÓÒ ÒÒ ÐÐ Ø ÓÐÐ Ø Ú Ø ÐÙ ÑÝ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó¹ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú ØØ Ú Ñ ÒÐ Ø Ú Ø ÐÙ Ñ ÐÐ ÓÐÐ º ½º ÃÐ Ò Ò ÓØ ÐÑ ÃÐ Ù ÓØ ÐÑ Ñ ÐÐ Ø Ð Ð ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÑÓ Ðµ ÓÐ Ø ¹ Ø Ò ØØ ÔÖÓ ÚÓ Ò ÓÐÑ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ò Ñ ØØ Ò Ø Ø Ú Ø Ð Ú Ò ØÖ Ò Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ò Ö Òº ½¾

14 À ÓØ ÐÑ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X t = m t +s t +Y t, Ñ m t Ù Ø ØÖ Ò s t Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ Y t Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ó Ò º Å ÐÐ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ E(Y t ) = 0 s t = s t+d d j=1 s j = 0 Ñ d ÓÒ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖº ÌÖ Ò m t ÚÓ Ò ÖÓØØ Ö Ø ÝØØÑÐÐ Ð Ù Ù¹ Ú ÖÚÓ Ó ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ò º Ð Ò Ö Ø ÙÓØ Ñ Ø º ÌÖ Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ˆm t = (x t q +x t q x t+q )/d, q < t n q, ÙÒ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ô Ö ØÓÒ d = 2q +1 ˆm t = (0.5x t q +x t q x t+q x t+q )/d, q < t n q, ÙÒ Ù Ò ÐÙ ÙÑÖ ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò d = 2qº ÌÐÐ ÙÓØ Ñ ÐÐ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ú ÙØÙ Ú ÑÒ Ó Ò Ò Ú ÙØÙ ÝÚ Ò Ô Ò º à ٠ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÑÓ Ñ Ð Ø Ò ÙÐÐ Ò Ù ÐÐ k, k = 1,...,d ÖÚÓ w k ÔÓ Ñ Ø x k+jd ˆm k+jd, q < k+jd n qº ÃÓ Ò Ò Ù ÖÚÓ Ò ÙÑÑ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ¼ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò Ù Ø Ö¹ Ñ ÐÐ s k Ø Ñ ØØ ŝ k = w k 1 d d w i, k = 1,...,d. i=1 à ٠ÔÙ Ø ØØÙ ÓÒ Ð µ Ö Ò Ú ÒØÑÐÐ Ð ÙÔ Ö ¹ Ø Ö Ø Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ d t = x t ŝ t, t = 1,...,n. ÄÓÔÙ Ù ÔÙ Ø ØÙ Ø Ö Ø ÚÓ Ò ÖÓØØ ØÖ Ò Ñ Ö ÓÚ Ø¹ Ø Ñ ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ÌÖ Ò ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÙ Ø Ñ ØØ ˆm t º ÃÓ Ò Ö Ò Y t Ø Ñ ØØ ÓÒ ØÐÐ Ò ÒÒ Ö Ŷ t = x t ˆm t ŝ t. ÄÙ ÙÙÒ ÓØØ Ñ ØØ Ú Ñ Ø Ú ØØ Ø ÖÑ Ò Ø Ò ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÚ ØÙ ¹ Ø Ð Ò Ò ÓØ ÐÑ ÚÓ Ò Ø Ê¹ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÑÔÓ º ½

15 ½º Ã Ù Ú Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÝØØ Ò Ð Ò Ö Ø Ö Ö ÓØ Ø Ô Ñ ÐÐ ÒØ Ù Ú Ø ÐÙ ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ ÓÒ Ò º ÖÑÓÒ Ò Ò Ö ¹ Ö Óº Ë Ò Ö Ð Ø ØÒ Ö Ú ÓÐ Ú ÐÐ Ö Ø ÙÙ Ù ¹ Ø Ú ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó ÐÐ º ÂÓ Ý Ò ÓÒ Ô ØÙÙ Ù Ò Ð Ñµ ÓÒ d Ù Óѹ ÔÓÒ ÒØØ s t ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó s t = a 0 + k (a j cos(λ j t)+b j sin(λ j t)), j=1 Ñ Ø ÙÙ Ø λ j ÓÚ Ø Ð Ù Ò 2π/d Ó ÓÒ ÑÓÒ ÖØÓ º ÌÙÒØ Ñ Ø¹ ØÓÑ Ø ÖØÓ Ñ Øa 0 a j, b j, j = 1,...,k ÚÓ Ò Ø ÑÓ Ò ØÓ Ø Ø Ú Ð¹ Ð ÐÐ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐк ËÝ Ø Ñ ØØ ÑÔ Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ØÒ Ô ØÖ Ò ÐÝÝ Ò Ý Ø Ý º ÃÙÚ Ó ½º ÓÒ ÍË Ø ¹ Ò ØÓÓÒ ÓÚ ÐÐ ØØÙ ÖÑÓÒ Ø Ö Ö Ó¹ Ø º Ë Ò ÓÒ ÝØ ØØÝ ÒÓ Ø Ò Ø Ñ Ø Ð Ø Ù ÒØ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÓÐÐÓ Ò k = 2, λ 1 = 2π/d,λ 2 = 4π/dº ÃÙÚ Ó ÚÓ Ò ØÙÓØØ Ê¹ Ý ÐÐ Ø ¹ Ø Ñ ÍË Ø µ ÔÐÓØ ÍË Ø ÐØÝ ¼ ØÝÔ µ ¹ ÐÑ ÍË Ø Ò ¾ Ô Øµ Ó ¾ Ô Øµ Ò Ô Øµ Ó Ô Øµµ Ð Ò Ø ØØ µ Ø ÖØ ½ Ö ÕÙ ÒÝ ½¾µµ ÂÓ ØÖ Ò Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ù Ø Ò Ð Ò Ö ÐÐ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÙØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ ØÖ Ò ÚÓ Ò Ø ÑÓ ÝÐ Ø ØÝÐÐ Ô Ò ÑÑÒ Ò Ð ÙÑÑ Ò Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ Ä˵º Ì Ú ÐÐ Ø ÈÆË¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÇÄ˵ ÝØ ØÒ Ó ÚÓ Ò ÓÐ ØØ ØØ ÒÒ Ö ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ó ¹ Ò Ò ÔÖÓ º Å ÐÐ Ó ØÖ Ò ÓÒ ØÓ Ò Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÓÒ ÐØÝÝ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X t = β 0 +β 1 t+β 2 t 2 +γ 1 u t γ d 1 u t,d 1 +Y t, Ñ u tj, j = 1,...,d 1, ÓÒ Ó Ó Ø ÒÑÙÙØØÙ Ó ÖÚÓÒ ½ Ó Ò Ø Ð¹ Ð t ÓÒ Ñ ÒÓ Ù j ÖÚÓÒ ¼ ÑÙÙØ Òº ÂÓ Ñ ÐÐ ÓÐ ÑÙ Ò Ù Ò d Ò ØØÓÖ ÑÙÙØØÙ Ô Ö Ñ ØÖ Ø ÚØ ÓÐ Ø ÑÓ ØÙÚ º à ٠ÓÑÔÓÒ Òع Ø ÚÓ Ò Ð Ú ÐÐ s j = γ j (γ γ d 1 )/d ÙÒ j = 1,...,d 1 s d = (γ γ d 1 )/dº ½

16 USAccDeaths Time ÃÙÚ Ó ½º À ÖÑÓÒ Ò Ö Ö ÓÒ ÓÚ ØØ Ñ Ò Ò ÍË Ø ¹ Ò ØÓÓÒ ÐÐ ÓÒ Ñ ÐÐ Ø ÑÓ ØÙ ÇÄË¹Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÝØØ Ò ÙÒ Ø ÓØ ÐÑ ÍË Ø ¹ Ò ØÓ º Ç Ó Ø ÒÑÙÙØØÙ Ò Ñ ØÖ U ÓÒ ÑÙÓ Ó Ø ØØÙ Ýع ØÑÐÐ ÃÖÓÒ Ö Ò ØÙÐÓ 1 6 I 12 Ñ 1 6 ÓÒ ¹ÙÐÓØØ Ò Ò Ý Ú ØÓÖ I 12 ÓÒ 12 12¹ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ º ÌÙÐÓÑ ØÖ ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ñ ØÖ Ð Òº ËÓÚ ØÙ Ò ØÙÐÓ ÓÒ Ò ØÚ ÙÚ Ó ½º º Ø ¹ Ø Ñ ÍË Ø µ Í ¹ ÖÓÒ Ö Ö Ô ½ µ ½¾µµ ¹ ÐÑ ÍË Ø Ø Á Ø ¾µ Í ¹½¾ µ ÔÐÓØ ÍË Ø ÐØÝ ¼ ØÝÔ µ Ð Ò Ø ØØ µ Ø ÖØ ½ Ö ÕÙ ÒÝ ½¾µµ ½º ÅÙ Ø Ò Ð Ò Ó ØÙ Ò Ñ Ò Ø ÐÑ ÐÐ ÙÚ ØÙ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÐ Ø Ø Ò ØØ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÔÝ ÝÝ Ú ÓÒ ÚÙÓ Ø ØÓ Òº à ØØÝÒ ÑÑ Ñ Ò Ø ÐÑ Ò ÐÐ Ø Ò Ú ÐÐ º Æ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ù Ò ÑÝ ÔÙ ØÙ Ó Ó Ó Ø Ö Ø ÔÓ Ú Ø Ú ÒÒÓØ ÐÙÓ ØØ Ð Ò ÔÓ Ø Ò Ò Ú Ù¹ ØÙ Òº ÔÙ ØÙ Ú ÚÓ Ò ÓØØ ÙÓÑ ÓÓÒ ÑÝ ÙÔÔ ¹ Ø ½

17 USAccDeaths Time ÃÙÚ Ó ½º Æ Ð ÐÐ Ò ØÖ Ò Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÚ ØØ Ñ Ò Ò ÍË Ø ¹ Ò ØÓÓÒ ØÝ Ô Ú Ò ÐÓÑ Ô Ú Ò Ú ÙØÙ º Î Ö Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÓÒ Ð¹ Ò ÒÒ Ö Ò ÔÙ Ø Ù ÚÓ Ò Ø Ö Ø ÒÓ Ø Ò Ø Ø Òº ÅÙ Ø Ñ Ò Ø ÐÑ Ø ÓØ Ó ØØ Ú Ø Ö Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ØÙÒ¹ Ò ØÙ ÑÔ ÓÒ Ý Ú ÐØ Ò Ø Ð ØÓ Ù Ò Ò Ù ÙÖ ÙÒ ØØÑ Ò¹ Ù ÁÁº Å Ò Ø ÐÑÒ ÙÙ Ò Ú Ö Ø Ó ÓÒ ¹½¾¹Ê ÊÁÅ º Å Ò Ø ÐÑÒ ¹ ÔÙ ØÙ Ó Ó ÓÒ Ê ÊÁÅ º Ç ÐÑ ØÓÒ ØÓ Ò Ò Ó ¹½¾ Ö¹ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ ØÙÙ Ö Ô ØÙ Ø Ò Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÙÓ Ò¹ Ø Ò Ô Ö Ò ÓÚ ÐØ Ñ Òº ÂÓØØ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÙÓØ Ñ ÚÓ Ø Ò ÓÚ ÐØ Ö Ò ÑÓÐ ÑÑ Ô Ö ÒÒÙ Ø Ø Ò Ø Ò¹ Ø Ô Ò ÓÔ Ú ÐÐ ÊÁÅ ¹Ñ ÐÐ ÐÐ º ÌÓ Ò Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ Ô Ò Ò Ô Ò Ò ØØÑ ÌÊ ÅÇ»Ë Ì˺ Ë Ò ÌÊ ÅÇ ÙÓÐ Ø ÔÙ ØÙ Ø Ë ÌË ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ó Ø º Å Ò Ø ÐÑ ÒÓØ Ò Ñ ÐÐ ÔÓ ÐÐ Ô ÖÙ ØÙÙ Ö Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò ÊÁÅ ¹ÔÖÓ ÐÐ º Ë ÌË Ë Ò Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò ÊÁÅ Ì Ñ Ë Ö µº ÃÓÐÑ ØÙÒÒ ØØÙ Ñ Ò Ø ÐÑ ÓÒ ËÌÄ Ë ÓÒ Ð¹ÌÖ Ò ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÒ ÄÓ µº Å Ò Ø ÐÑ ØÖ Ò ¹ ØØ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ø Ó Ø ¹ Ø Ò Ò º Ð Ñ Ò Ø ÐÑÐÐ ÐÓ µº Ä Ñ Ò Ø ÐÑ Ô ÖÙ ØÙÙ Ô ÐÐ Ò Ö ¹ ½

18 Ö ÓÓÒ ÐÓ Ð Ö Ö ÓÒµ Ó ÓÚ ØØ Ö Ò Ø Ò ÝÖÒº Ä ¹ Ñ Ò Ø ÐÑ ÔÓ Ô ÐÐ Ø Ö Ö Ó Ø Ò ØØ Ò ÔÓ Ú Ò Ú ÒØÓ Ò Ú ÙØÙ Ø ÔÝÖ ØÒ Ú ÒØÑÒº ËÌÄ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÐØÝÝ Ê¹Ó ÐÑ Òº Ì Ó ØÙ Ø ÚÓ Ò Ø Ô Ö ¹ Ñ ØÖ ÐÐ ºÛ Ò ÓÛ ØºÛ Ò ÓÛº È Ö Ñ ØÖ ºÛ Ò ÓÛ Ø Ù ¹ ÙÒ Ò Ð Ú ÝØغ Å Ø ÙÙÖ ÑÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ú Ð Ø Ò Ø Ø ÑÑ Ò Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ ÑÙÙØØÙÙº ÂÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÖÚÓ Ú Ð Ø Ò Ô Ö Ø Ô ¹ Ö Ó Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ú Ø Ð ÚÙÓ Ø ØÓ Òº È Ö Ñ ØÖ ØºÛ Ò ÓÛ ÑÖ ØÖ Ò ¹ ÙÒ Ò Ð Ú Ý Òº Å Ø ÙÙÖ ÑÔ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÒ Ø Ø Ñ¹ Ô Ø ÑÓ ØÙ ØÖ Ò ÝÖ ÓÒ Ø Ø ÑÑ Ò Ö Ó Ö Ø Ô ØÙÚ Ò ÑÙÙØÓ Òº ÌÊ ÅÇ»Ë ÌË ¹Ó ÐÑ ÓÒ Ø ÐÐÒ Ñº Ö Ó Å Ö Ú ÐÐ º ½ µ ÍÒÓ ÖÚ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò ÓÒÓÑ Ì Ñ Ë Ö º Ì À Ò ÓÓ Ó ÔÔÐ ÓÒÓÑ ØÖ º½¾¹ ¾ Å Ö Ú ÐÐ ÓÑ Þ ¾¼¼½µ Ë ÓÒ Ð Ù Ø¹ Ñ ÒØ Ò Ë Ò Ð ÜØÖ Ø ÓÒ Ò ÓÒÓÑ Ì Ñ Ë Ö º ÓÙÖ Ò Ì Ñ Ë ¹ Ö Ò ÐÝ º ¹½¾¹Ê ÊÁÅ ËÌÄ ¹Ñ Ò Ø ÐÑ ÙÚ Ø Ò Ñº Ö Å Ö Ï ÐÛÖ Ø ÀÝÒ Ñ Ò ÓÖ Ø Ò Å Ø Ó Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º ½º Ä Ò Ö Ø ÙÓØ Ñ Ø ÑÑ Ò Ø ÐØ Ò Ð Ù ÙÚ ÖÚÓ Ñ Ö Ò Ò º Ð Ò Ö Ø ÙÓØ Ñ Ø º Ð ÑÑ Ò ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓ Ò m t = j= a j X t j. Ä Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ Ø Ô Ù a j = 1/(2q + 1) ÙÒ q j q a j = 0 ÑÙÙÐÐÓ Òº Ä Ù ÙÚ ÖÚÓ ÓÒ ØÝÝÔ ÐÐ Ò Ò Ð Ô Ø ÙÓ Ò Ó ÙÓ ØØ Ö Ø ÔÓ ÒÓÔ Ø Ú Ø Ð Ú Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø ÓÖ Ø Ø ¹ Ù٠صº Ä Ù ÙÚ ÖÚÓ Ú ÙØ Ð Ò Ö Ò ØÖ Ò Ò Ñ Ø Ò Ò ÐÐ ÓÚ ÐÐ ØØ Ð Ù ÙÚ ÖÚÓ Ö Ò X t = a+bt+y t Ò q j= q 1 2q +1 (a+b(t j)+y t j) = a+bt+ q j= q 1 2q+1 Y t j. Ð Ò Ñ Ø ÙÙÖ ÑÔ q Ú Ð Ø Ò Ò ÙÙÖ ÑÔ Ø Ó ØÙ Ò Òº ÂÓ q Ú Ð Ø Ò Ð Ò ÙÙÖ ØÖ Ò Ò Ø Ñ Ø Ø ØØ ØÙÐÐ ÙÓÒÓ ÐÐ ½

19 ØÖ Ò ÓÐ Ð Ò Ö Ò Òº ÎÓ Ò ÑÝ ÙÙÒÒ Ø ÐÐ ÙÓØ Ñ ÓØ ÐÝØØÚØ Ù ÑÔ Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø ÓØ Ó Ñ ØØÓÑ Ò º Ä Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÙÓØ Ñ ÚÓ ÓÐÐ Ù ÑÔ Ô Ö Òº Ñ Ö ¹ 3 5 Å ¹ ÙÓ Ò ØÓ Ñ Ò Ò ØØ Ò Ò Ð Ø Ò Ú ÒÒÓÒ Ð Ù ÙÚ ÖÚÓ ØÑÒ Ð Ò Ú ÒÒÓÒ ÖÚÓº Ê¹Ó ÐÑ Ò Ø Ø ¹Ô ØØ Ò ÙÒ Ø Ó ÐØ Ö ÓÐÐ ÚÓ Ò Ø Ð Ò Ö ÙÓ ØÙ º ËÙÓØ Ñ Ø ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ ØÝÝÔ ÐØÒ ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÙÓØ Ñ Ø Ö ÙÖ¹ Ú ÙÓØ Ñ º Ë ÙÖ Ú ÓÒ ÒÒ ØØÙ Ñ Ö Ö ØÝÝÔÔ Ø ÙÓ¹ Ø Ñ Ø Ø Ñ Ø Ò ÙÓ ØÙ Ø ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ º ÔÙÓÐ Ò Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÙÓ Ò y t = a 0 x t +a 1 x t a p x t p ʹØÓØ ÙØÙ ¹ 0 1 ººº p µ Ý ¹ ÐØ Ö Ü ½µ à ÔÙÓÐ Ò Ò ÓÒÚÓÐÙÙØ Ó ÙÓ Ò y t = a p x t+p +a p+1 x t+p a p 1 x t p+1 +a p x t p ¹ p p+1 ººº p 1 p µ Ý ¹ ÐØ Ö Ü ¾µ Ê ÙÖ Ú Ò Ò ÙÓ Ò y t = x t +a 1 y t a p y t p ¹ 1 ººº p µ Ý ¹ ÐØ Ö Ü Ñ Ø Ó Ö ÙÖ Ú µ Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ Ê¹ Ð Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ñ Ú Ö Ó Ð Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒº ÙÒ Ø ÓÐÐ ÒÒ Ø Ò Ö ÙÑ ÒØØ Ò ÙÓ Ø ØØ Ú Ö q Ñ q ÐÑ ÑÓÒØ Ó ÐØÚ ÙÖ Ú Ú ÒØÓ ÐÐÝØ ØÒ Ö¹ ÚÓÓÒº ÂÓØØ Ð Ù ÙÚ ÖÚÓ ÚÓ Ø Ò Ð ÑÝ Ö Ò ÐÙ ÐÓÔÙ Ö Ò Ð ÙÙÒ Ð ØÒ q ÖØ Ò ÑÑ Ò Ò Ú ÒØÓ x 1 ÐÓÔÔÙÙÒ q ÖØ Ú Ñ Ò Ò Ú ÒØÓ x n º ½

20 Ñ Ú Ö ¹ ÙÒØ ÓÒ Ø Ö Õµ ß Ò ¹ Ð Ò Ø Ø Ö µ Ý ¹ Ö Ô Ø Ö ½ Õµ Ø Ö Ö Ô Ø Ö Ò Õµµ ÐØ ¹ Ö Ô ½ ¾ Õ ½µ» ¾ Õ ½µ Ý ¹ ÐØ Ö Ý ÐØ ¾µ Ý Õ ½µ Õ Òµ Ð ÌÖ Ò ÚÓ Ò Ø ÑÓ ÝØØ Ò ÑÝ Ò º ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ø Ó ØÙ Ø º Ë ÑÖ Ø ÐÐÒ Ö ÙÖ Ú Ø ÙÖ Ú Ø ˆm t = ax t +(1 a)ˆm t 1, t = 2,...,n, ˆm 1 = X 1, Ñ a ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÚÐ ÐØ ¼ ½µº ÃÙÒ a ÓÒ Ð ÐÐ Ý Ø Ò Ô Ò Ø Ó ØÙ ÙÒ ÓÒ Ð ÐÐ ¼ Ø Ó ØÙ ÓÒ ÙÙÖ º ËÙÓ Ò ÚÓ Ò ÐÑ Ø ÑÝ ÑÙÓ Ó t 2 ˆm t = a(1 a) j X t j +(1 a) t 1 X 1, j=0 ÙÒ t 2 ÓÐÐÓ Ò Ò Ò ØØ Ý ÓÒ Ô ÒÓØ ØØÙ Ð Ù ÙÚ ÖÚÓº ÃÓ Ô ÒÓ ÖØÓ Ñ Ø Ú Ò ÚØ ÔÓÒ ÒØ Ð Ø ÔÙ ÙØ Ò ÔÓÒ ÒØ ¹ Ð Ø Ø Ó ØÙ Ø º ÙÒ Ø ÓÐÐ ÜÔ ÑÓÓØ ÚÓ Ò Ø ÔÓÒ ÒØ Ð Ø Ø Ó ØÙ Ø º ÜÔ ÑÓÓØ ¹ ÙÒØ ÓÒ Ø Ö ¼º µ ß Ø Ö ½ ¹ Ø Ö ½» ÐØ Ö Ø Ö ½¹ Ñ Ø Ó Ö ÙÖ Ú µ Ð ½º Ö Ó Ò ØØ Ñ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ö ÖÓ Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ò ØÖ Ò Ò Ñ ÓÐÐ Ò Ù Óѹ ÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÑÓ Ñ º ÃÙÒ Ð ÙÔ Ö Ø Ö Ø Ú ÒÒ ØÒ ØÖ Ò ½

21 Ù ÓÑÔÓÒ ÒØØ ØÙÐÓ Ò ÚÓ Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÒÒ Ö º ÌÓ Ò Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ò ØØ Ñ Ø Ø ÓÒ Ö ÓÒ ÖÓ ÒØ º ÃÙÒ ÙÓÖ Ø Ø Ò ÖÓ ÒØ Ú Ú ÐÐ ½ Ù Ø Ò Ö Ò Ú ÒÒÓ Ø Ú Ò¹ Ò ØÒ ÐÐ Ò Ò Ú ÒØÓº ÐÐ Ð ÐÐ Ú Ú Ø ØØÝ Ú ÒØÓ Ñ Ö ØÒ ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ B ÖÓ ÒØ Ú Ú ÐÐ Ý Ñ Ö ØÒ ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ º ÂÓ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö ÓÒ {X t } Ú Ú ÐÐ ½ ÖÓ ØÙ Ö ÓÒ {Y t } Ñ Y t = X t X t 1 = X t BX t = (1 B)X t = X t. ½º¾µ ÖÓ ÒØ Ú Ú ÐÐ ½ Ú ØØ Ö Ø Ð Ò Ö Ò ØÖ Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Òº ÂÓ Ö ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X t = a+bt+z t Ñ E(Z t ) = 0 ÖÓ ØÙ Ö ÓÒ X t X t 1 = (a+bt+z t ) [a+b(t 1)+Z t 1 ] = b+z t Z t 1, ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ú Ó bº ÂÓ ØÖ Ò ÓÒ p¹ Ø Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ ¹ Ø Ó ÖÓ ØÙÙÒ Ö Ò Ø ØØ p 1 ÓÐ Ú ØÖ Ò º Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº ÖÓ ÒØ ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ ÑÙÙÒ Ù Ò ØÖ Ò Ø Ó ØÙÚ Ò Ô Ø ¹ Ø ÓÒ Ö ÙÙ Ò ÔÓ Ø Ñ Òº Ñ Ö ½ Ø ÐØ Ò ØÙÒÒ Ú ÐÝÒ ÔÖÓ ¹ Ó ÓÒ Ô Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ú Ð Ò Ö Ø Ò Ù Ø Òº ÖÓ Ñ ÐÐ ÔÖÓ Ø Ò ÁÁ ¹ÔÖÓ Ó ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Òº ÖÓ ÒØ ÚÓ Ò ÑÝ ØÓ Ø º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÖÓ ÒØ ØÓ Ò ÖÖ Ò Ú ½º¾µ ÑÖ Ø ÐØÝÝÒ ÔÖÓ Ò Y t ÑÑ Y t Y t 1 = (X t X t 1 ) (X t 1 X t 2 ) = X t 2X t 1 +X t 2. ½º µ Î Ú ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò B Ð Ù Ø ÝØØÝØÝÚØ Ù Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Øº ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ ÔÓØ Ò B d Ø Ö Ó ØØ Ö Ò Ú Ú ØÑ Ød Ý B d X t = X t d k Ø Ö Ó ØØ Ö Ò ÖÓ ÒØ k ÖØ º Ã Ú ½º µ Ø ØØÝ ØÓ Ò ÖØ ÐÙÚÙÒ Ö Ò ÓÐ ÚÓ ØÙ Ð ÙÓÖ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò ÚÙÐÐ Ù¹ Ö Ú Ø 2 X t = (1 B) 2 X t = (1 2B+B 2 )X t = X t 2X t 1 +X t 2. ÂÓ Ö Ò ØÖ Ò ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó Ø ØØ p ÖÓ Ñ ÐÐ Ö p Ö¹ Ø Ò ØÖ Ò ÔÓ Ø ØØÙ º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÙÒ Ø Ó ÓÒ m(t) = c 0 + c 1 t c p t p Ò Ò p m(t) = p!c p º Ð Ò ØÖ Ò Ò ÔÓ ¹ Ø Ñ Ò Ö ØØ Ý Ø ÖÓ ÒØ Ú Ú ÐÐ ½º ÌÑ Ó ØÙÙ Ø Ø¹ Ø Ò Ò Ô ÐÐ Ø ØÖ Ò ÚÓ Ò Ù Ò Ñ ÐÐ ÒØ ÙÓÖ ÐÐ Ø Ñ Ø Ð ¹ Ø ÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ º ¾¼

22 ÃÙÚ ÓÓÒ ½º ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÍË Ò ÔÓÔÙÐ Ø ÓØ ÙÚ Ú Ö ÖØ ÖÓ ØÙ Ö º À Ú Ø Ò ØØ ÖØ ÖÓ Ù Ö ¹ ÓÐ Ú ØØ Ú ØÖ Ò º Ë Ö Ù Ø Ò Ò ÓÐ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÐÐ Ú Ö ¹ Ò Ú ÐÚ Ø º ÇÒ ÐÑ ÚÓ Ò ÔÓ Ø ÐÓ Ö ØÑÓ Ñ ÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö º ÂÓ Ð ÙÔ Ö Ö Ú Ö Ò Ú Ñ ÐÐ ÙÒ ØÖ Ò Ú ÓÒ ÐÑ Ø ÚÓ Ò Ô Ø ÐÓ Ö ØÑÓ Ñ ÐÐ Ø Ø ÑÐÐ Óܹ ÓÜ ¹ÑÙÙÒÒÓ º (millions) Time Time µ Ö µ Ã Ø ÖÓ ØÙ Ö ÃÙÚ Ó ½º ÍË Ò Ú Ø ½¼ ÚÙÓ Ò ÚÐ Ò ÃÙÚ ÓØ ÓÒ ØÙÐÓ Ø ØØÙ Ý ÐÐ ÔÐÓØ Ù ÔÓÔ ÝÐ Ñ ÐÐ ÓÒ µ µ ÔÐÓØ Ù ÔÓÔ ½ ¾µ ÝÐ µ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØØ ½ Ø Ö Ó ØØ ÖÓ ÒØ Ú Ú ÐÐ Ý ¾ Ø ØØ ÖÓ ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÖØ º ÖÓ Ñ ÐÐ ÚÓ Ò Ô Ø ÑÝ ÖÓÓÒ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø º ÂÓ Ö ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X t = s t +Y t Ñ s t ÓÒ Ù Ú Ø ÐÙØ ÖÑ ÓÒ ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ d Ò Ò ÖÓ Ñ ÐÐ Ú Ú ÐÐ d Ò d X t := (1 B d )X t = X t X t d = (s t +Y t ) (s t d +Y t d ) = Y t Y t d, ¾½

23 ÐÐs t = s t d º Ð Ó Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ d Ó ÙÚ ÖÓ Ñ Ø Ú Ú ÐÐ d ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝÝÒ ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò d Ó ÙÚ ÖÓ Ñ Ø d ÖØ Ú ¹ Ú ÐÐ ½µº ÂÓ ÒÒ Ö Y t Y t d ÐØ Ú Ð ØÖ Ò ÚÓ Ò ÔÓ Ø ØÓ Ø Ñ ÐÐ ÖÓ ÒØ Ú Ú ÐÐ ½º ½º ÂÒÒ Ö Ò ³Ú Ð Ó ÙÙ Ò³ Ø Ø Ñ Ò Ò ÐÐ ÓÒ ÔÝÖ ØØÝ ÔÓ Ø Ñ Ò Ö Ø ØÖ Ò Ù Ú Ø ÐÙ Ó Ó ÙÓ¹ Ö Ò Ú ÒØÑÐÐ Ö Ø Ý Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø ÖÓ Ñ ÐÐ º Ì ÚÓ Ø¹ Ø Ò ÓÒ ÓÐÐÙØ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÒÒ Ö º ÂÓ ÒÒ Ö ÑÙ ØÙع Ø Ú Ð Ó Ø Ó Ò ÚÓ Ò Ö Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÐÓÔ ØØ º ÌÐÐ Ò ÒÒÙ ¹ Ø Ø ÚÓ Ò Ð Ø ØÖ Ò Ò Ù Ú Ø ÐÙÒ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÂÓ Ò Ò Ò¹ Ò Ø ÖÑ ÐÐ ÓÒ ÓÖÖ Ð Ø ÓØ ÓÖÖ Ð Ø ÓÖ ÒÒ ØØ ÚÓ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÝÚ ÒÒÙ Ø Ñ º Ë ÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ø Ú Ø Ó ÒÒ Ö Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ º à ÔÔ Ð ½º ØÓ ØØ Ò ØØ Ó Ö ÒÓÙ ØØ ÁÁ ¼ σ 2 µ¹ ÔÖÓ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó¹ ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ð Ñ Ò N(0,1/n)¹ ÙØÙÒ Ø Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ º ÌÑ Ñ Ö Ø Ø ØØ ÒÓ Ò ± ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ Ø Ó ØØÙÙ Ö Ó Ò ±1.96/ n ÐÐ º ÂÓ Ù¹ ØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ Ø ÓÒ Ð ØØÙ Ú Ú Ò ¼ Ø Ò ÑÑÒ Ù Ò ÓÒ Ö Ó Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ö Ø ÓÐÐ ± ÚÓ Ò ÝÐØ ÝÔÓØ ØØ Ý ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ º ÅÝ Ó Ó Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó¹ ÖØÓ Ñ Ø ÓÒ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ö Ó Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÝÔÓØ ÚÓ Ò ÝÐغ à РØÙØ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ Ø ÚÓ Ò ÐÐÝØØ Ò º ÈÓÖØÑ ÒØ Ù¹Ø Ø Òº ÂÓ ÝÔÓØ Ø ØØ Ö ÒÓÙ ØØ ÁÁ ¼ σ 2 µ¹ ÔÖÓ Ô Ø Ô Ò Ø Ø ÙÙÖ Q = n h ˆρ 2 (j) j=1 ÓÒ Ð Ñ Ò χ 2 (h)¹ ÙØÙÒÙغ ËÙÙÖ Ø Q Ò ÖÚÓØ ÖØÓÚ Ø Ø ØØ Ù¹ ØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÖÚÓÐØ Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓØØ Ý ÓÐ ÁÁ ¼ σ 2 µ¹ôöó º Ì Ø ÒÓØ Ò ÓÜ¹È Ö ¹Ø Ø º Ä ÙÒ ÓÜ ÓÚ Ø ÓØØ Ò Ø Ø Ø ÙÙÖ ØØ Q LB = n(n+2) h ˆρ 2 (j)/(n j) j=1 ¾¾

24 Ó ÒÓÙ ØØ Ú Ð Ò Ø Ö ÑÑ Ò χ 2 (h)¹ ÙÑ º ÅÄ Ó Ä ÓÚ Ø ¹ ØØÒ Ø ÈÓÖØÑ ÒØ Ù¹Ø Ø Ò ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ø Ø Ø ÓÒ Ó ÒÒ ¹ Ö ÔÐ Ò Ö Ø Ö ÔÔÙÚÙÙØØ º Ì Ø ÙÙÖ ÓÒ Q LB ÓÚ ÐÐ ØØÙÒ Ö¹ Ò Ó ÓÒ ØÙ ÓÖÓØØ Ñ ÐÐ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö ØÓ Ò ÔÓØ Ò Ò Ò ÙÑ ÓÒ χ 2 (h)º Ì Ø ÓÔ Ò Ô Ö Ø Ò Ø Ð ÒØ Ò Ó Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÔÓØ Ò ÁÁ ¹ÔÖÓ ÐÐ ÓÒ Ò º Ê À¹ÔÖÓ º È Ö Ø Ò Ú ÒØÓ Ò Ö ÔÔÙÚÙÙ Ò ØÙØ Ñ Ò ÚÓ Ò ÝØØ ÑÝ Ò º ÒÒ Ô Ø Ø Ø ØÙÖÒ Ò ÔÓ ÒØ Ø Øµº ÂÓ y 1,y 2,...,y n ÓÒ ÓÒÓ Ú ÒØÓ ÒÓØ Ò ØØ Ò Ø ÐÐ i ÓÒ ÒÒ Ô Ø Ó y i 1 < y i y i > y i+1 Ø y i 1 > y i y i < y i+1 º ÇÐ ÓÓÒ T ÒÒ Ô Ø Ò ÐÙ ÙÑÖ ÁÁ ¹ Ö ÓÒ Ô ØÙÙ ÓÒ nº ÃÓ ÒØÝÑÔ Ø Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ Ø ÐÐ i ÓÒ ¾» ÎÓ Ò ÑÝ Ó Ó ØØ ØØ µ T = E(T) = 2(n 2)/3. σ 2 T = Var(T) = (16n 29)/90. ÂÓ T µ T ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÙÖ ÑÔ ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ Ö Ú Ø ÙÙÒØ Ò ÒÓÔ ÑÑ Ò Ù Ò ÚÓ Ó ÓØØ ÁÁ ¹ÔÖÓ ÐØ Ó T µ T ÓÒ Ô Ð ÓÒ ÒÓÐÐ Ô Ò ÑÔ ÓÒ Ñ Ö ÔÓ Ø Ú Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó Ø º ÃÙÒ n ÓÒ ÙÙÖ Ö ÒÓÙ ØØ ÁÁ ¹ÔÖÓ Ð Ñ Ò T N(µ T,σ 2 T ), Ñ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÝÚ Ø Ø Ñ º Ä Ò Ö Ò ØÖ Ò Ò ØÓØ Ñ ÓÒ Ý ÝÐÐ Ò Ò Ò º Ö ØÝ Ø Ø Ö Ò Ø Øµº Å Ö ØÒP ÐÐ ÐÐ Ø Ò Ô Ö Ò(y i,y j ) ÑÖ ØØy j > y i ÙÒ j > i i = 1,2,...,n 1º Ã Ø Ò Ô Ö (y i,y j ) Ó ÐÐ j > i ÓÒ n(n 1)/2º ÂÓ Ö ÓÒ ÁÁ ¹ÔÖÓ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ ØØ y j > y i ÓÒ ½»¾ ÓØ Ò ÎÓ Ò ÑÝ Ó Ó ØØ ØØ µ P = E(P) = (1/4)n(n 1). σ 2 P = Var(P) = n(n 1)(2n+5)/72. ËÙÙÖ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ n Ð Ñ Ò P N(µ P,σ 2 P ). ¾

25 ÂÓ ÒÒ Ö Ò Ú Ð Ó ÙÙ Ò Ð ÐÙØ Ò ØÙØ Ò Ú ÒØÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙØÙÒ ÙÙØØ ÚÓ Ò ÝØØ Ú ÒØ Ð ¹ Ú ÒØ Ð ¹ ÙÚ ÓØ ÕÕ¹ ÔÐÓصº ÇÐ ÓÓÒX 1,X 2,...,X n ØÙÒÒ ÓØÓ ÙÑ Ø N(0,1) Y 1,Y 2,...,Y n ÙÑ Ø N(µ,σ 2 )º Å Ö ØÒ ÓØÓ Ø Ò Ö ØÝ ØÙÒÒÙ ÐÙ Ù X (i) Y (i) i = 1,2,..,n ÓÐÐÓ Ò X (1) < X (2) <... < X (n) Y (1) < Y (2) <... < Y (n) º ÌÐÐ Ò E(Y (j) ) = µ+σm j, Ñ m j = E(X (j) ), j = 1,2,...,nº Ì Ø ÙÖ ØØ Ô ÖÖ ØØ Ô Ö Ò (m 1,Y (1) ),...,(m n,y (n) ) ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ô Ø Ô ÖÚ ÕÕ¹ ÙÚ Óµ Ô Ø Ò ØÙÐ ¹ Ø ÙÙÖ Ò Ô ÖØ Ò ÙÓÖ ÐÐ º ÂÓ Ö Ø Ô ÖÖ ØÝ ÙÚ Ó Ú ÒÒÓØ ÚØ ÓÐ ÙÙÖ Ò Ô ÖØ Ò ÙÓÖ ÐÐ ÓÒ Ñ Ö Ø ØØ ÚØ Ú ÒÒÓØ ÒÓÙ¹ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ º Ç ÓØÙ ÖÚÓ m j ÚÓ Ò ÔÔÖÓ ÑÓ Ú ÐÐ Φ 1 [(j 0.5)/n]º ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ ÙÒ Ø Ó ÐÐ ÚÓ Ø ÒØÝÑÔ Ø ¹ Ö ØÝ Ø Ø Øº Ä ÙÒ ¹ ÓÜ¹Ø Ø Ò Ò ÑÙÙÒÒ ÐÑ Ø ÚÓ Ø Ö ØÓÓÒ ³ Ø Ø ³ ÐØÝÚÐÐ ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ ÓÜºØ Øº ÆÓÖÑ Ð ÙÑ Ú Ø Ú Ò ÕÕ¹ ÙÚ ÓÒ ÚÓ Ô ÖØ ÝÐÐ ÕÕÒÓÖÑ Üµ Ò Ð ØØÝÚÒ Ú Ú Ò ÝÐÐ ÕÕÐ Ò Üµ Ñ Ü ÓÒ ØÙØ Ø¹ Ø Ú ÒÒ Ö º Ä ÒÓÖÑ Ð ÙÙØØ ÚÓ Ò Ø Ø Ø Â ÖÕÙ ¹ Ö ¹ Ø Ø ÐÐ Ó ÐØÝÝ Ö ØÓÓÒ ³Ø Ö ³º Ì Ø ÚÓ Ò ØÓØ ÙØØ ÝÐÐ ÖÕÙ º Ö ºØ Ø Üµ Ô ÖÙ ØÙÙ Ú ÒÓÙ Ò Ù ÔÙ ÙÙ Ò Ð Ñ Òº ØÙÖÒ Ò ºÔÓ ÒØºØ Ø ¹ ÙÒØ ÓÒ Üµ ß Æ Å ¹ Ô Ö Ù Ø ØÙØ Üµµ Ò ¹Ð Ò Ø Üµ Å ÌÀÇ ¹ ÌÙÖÒ Ò ÔÓ ÒØ Ø Ø ¹ Ñ Ü µ ËÌ ÌÁËÌÁ ¹ ÙÑ ¾ ½ ² ¾ µ ¾ ½ ² ¾ µµ ÑÙ ¹ ¾ Ò¹¾µ» Ñ ¾ ¹ ½ Ò¹¾ µ» ¼ ÈÎ Ä ¹¾ ½¹ÔÒÓÖÑ ËÌ ÌÁËÌÁ ¹ ÑÙµ» ÕÖØ Ñ ¾µµµ È Ê Å Ì Ê ¹ ÑÙ Ñ ¾µ Ò Ñ ËÌ ÌÁËÌÁ µ ¹ ÒÓÖÑ Ð Ò Ñ È Ê Å Ì Êµ ¹ ÑÙ Ñ ¾ µ ØÖÙØÙÖ Ð Ø Ø Ø Ø ËÌ ÌÁËÌÁ Ô Ö Ñ Ø Ö È Ê Å Ì Ê ÔºÚ ÐÙ ÈÎ Ä Ñ Ø Ó Å ÌÀÇ Ø ºÒ Ñ Æ Å µ Ð Ø Ø µ Ð ¾

26 Ö Ò ºØ Ø ¹ ÙÒØ ÓÒ Üµ ß Æ Å ¹ Ô Ö Ù Ø ØÙØ Üµµ Ò ¹Ð Ò Ø Üµ Å ÌÀÇ ¹ Ê Ò Ø Ø ËÌ ÌÁËÌÁ ¹ ÙÑ ÓÙØ Ö Ü Ü µ ÓÙØ Ö ½ Ò ½ Ò µ µ ÑÙ ¹ Ò Ò¹½µ» Ñ ¾ ¹ Ò Ò¹½µ ¾ Ò µ» ¾ ÈÎ Ä ¹¾ ½¹ÔÒÓÖÑ ËÌ ÌÁËÌÁ ¹ÑÙµ» ÕÖØ Ñ ¾µµµ È Ê Å Ì Ê ¹ ÑÙ Ñ ¾µ Ò Ñ ËÌ ÌÁËÌÁ µ ¹ ÒÓÖÑ Ð Ò Ñ È Ê Å Ì Êµ ¹ ÑÙ Ñ ¾ µ ØÖÙØÙÖ Ð Ø Ø Ø Ø ËÌ ÌÁËÌÁ Ô Ö Ñ Ø Ö È Ê Å Ì Ê ÔºÚ ÐÙ ÈÎ Ä Ñ Ø Ó Å ÌÀÇ Ø ºÒ Ñ Æ Å µ Ð Ø Ø µð ÐÐ ÓÒ Ø ØÝ Ø ÐÐÝØ Ø Ø Ø Ö ÐÐ ³ ÐÒÓ ³ º ½º µº Ì Ø Ò Ô ÖÙ Ø Ð¹ Ð ÒÓÐÐ ÝÔÓØ Ø ØØ Ý ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ ÐÝݺ ÃÙ Ø Ò Ò Â ÖÕÙ ¹È Ö ¹Ø Ø ÝÐ ÝÔÓØ Ò ÒÒ Ø Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÙ ¹ Ø º ÌÑ ÚÓ Ò ØÓ Ø ÑÝ ÕÕ¹ ÙÚ Ó Ø ½º º Ë Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ Ò ¹ ØÓÒ ÙÙÖ Ø Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø Ð Ò ÙÙÖ Ú ÖÖ ØØÙÒ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò ÓØ Ò ÒÒ Ø Ò ÙÑ ÓÒ Ó ÐÐ Ú ÒÓº ÅÝ Ô Ò ÑÑØ Ú ÒÒÓØ ÓÚ Ø ³Ð Ò Ô Ò ³ ÓØ Ò ÙÑ ÓÒ Ô Ù ÒØ Ò Ò ÑÓÐ ÑÔ Ò ÙÙÒØ Òº Ë Ñ Ø Ø ÚÓ Ò ØÓ Ø ØÓ Ö ÑÑ Ø ½º º ÓÜºØ Ø ÐÒÓ Ð ¼ Ä ÙÒ µ ¹ ÕÙ Ö ¾ º½¾ ¼ Ô¹Ú ÐÙ ¼º ¾ ÓÜºØ Ø ÐÒÓ ¾ Ð ¼ Ä ÙÒ µ ¹ ÕÙ Ö º ¾ ¼ Ô¹Ú ÐÙ ½ ØÙÖÒ Ò ºÔÓ ÒØºØ Ø ÐÒÓ µ ÒÓÖÑ Ð ½ ÑÙ ½ º Ñ ¾ º Ô¹Ú ÐÙ ¼º ½ ¾

27 Ö Ò ºØ Ø ÐÒÓ µ ÒÓÖÑ Ð ½ ÑÙ ½ º¼ Ñ ¾ ½ ¼ º Ô¹Ú ÐÙ ¼º ½ ÖÕÙ º Ö ºØ Ø ÐÒÓ µ ¹ ÕÙ Ö ½ º¼ ½ ¾ Ô¹Ú ÐÙ ¾º¾ ¹½ Éɹ ÙÚ Ó ØÓ Ö ÑÑ ÕÕÒÓÖÑ ÐÒÓ µ ÕÕÐ Ò ÓÖ Ø ÐÒÓ µµ Ø ÓÖ Ø ÐÒÓ µ Ñ Ò ÜÐ ÐÒÓ µ Normal Q Q Plot Sample Quantiles Frequency Theoretical Quantiles dlnok µ Éɹ ÙÚ Ó µ À ØÓ Ö ÑÑ ÃÙÚ Ó ½º ÆÓ Ò Ó ÙÖ Ò ØÙÓØØÓ ÙÑ ¾

28 ÄÙ Ù ¾ ËØ Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ø ¾º½ Ð Ø ÒÒÙ Ø Ñ Ø ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ö Ò{X t,t = 0,±1,...} Ö Ð Ø Ó Ø Ú Ò¹ ÒÓØ x 1,x 2,...,x n ÐÙØ Ò ÒÒÙ Ø h ÐØ Ø ÒÔ Ò Ú ÒØÓ x n+h º Ø ÐÐ Ò ØØ ÒÒÙ Ø Ú Ö Ø e ÙØÙÚ Ø ÔÔ ÓØ ÚÓ Ò Ñ Ø Ø Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø ÓÐÐ C(e)º ÌÐÐ Ò ÓÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÐ Ø Ú ÒÒÓ Ø x 1,x 2,...,x n Ö ÔÔÙÚ ÒÒÙ Ø ÙÒ Ø ÓØ f(x 1,x 2,...,x n ) ØØ E C(e) = E C[X n+h f(x 1,...,X n )] Ñ Ò ÑÓ ØÙÙº Ì ÔÔ Ó ÙÒ Ø Ó C(e) ÖÚÓÒ ¼ ÙÒ ÒÒÙ Ø Ú Ö e = 0 C(e) Ú ÙÒ e Ú º ÃÙ Ø Ò Ò C(e) ÓÐ ÚÐØØÑØØ ÒÓÐÐ Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÙÒ Ø Óº Ð ÑÑ Ò ÝØ ØØÝ Ø ÔÔ Ó ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÑÙÓØÓ C(e) = ae 2 Ñ a ÓÒ Ó Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÐÙ Ùº ÌÐÐ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò Ñ Ö Ø Ò Ð Ú Ö Ò E[X n+h f(x 1,...,X n )] 2 Ñ Ò ÑÓ Ñ Ø º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ñ Ò ÑÓ Ú Ö Ø Ù ÓÒ f(x 1,...,X n ) = E(X n+h X 1,...,X n ) ÚÖغ Ö º Ø Øºµº ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ Ð Ñ ÓÒ ØÙÒÒ ØØ Ú ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ¹ Ò X 1,...,X n,x n+h Ý Ø ÙÑ º Ѻ ½º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ø X 1 X 2 ÒÓÙ ØØ Ú Ø ¹ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ µº Å Ö ØÒ Ó ÓØÙ Ö¹ ÚÓ E(X i ) = µ i, i = 1,2 Ú Ö Ò Var(X i ) = σi 2 ÓÖÖ Ð Ø ÓØ ρ = Cor(X 1,X 2 )º ÌÐÐ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò X 2 ÙÑ ÓÐÐ X 1 ÓÒ ÑÝ ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ó ÓØÙ ÖÚÓÐÐ E(X 2 X 1 ) = µ 2 +ρσ 2 σ 1 1 (X 1 µ 1 ) ¾

29 Ú Ö Ò ÐÐ Var(X 2 X 1 ) = σ 2 2 (1 ρ2 ). ÐÐ Ñ Ö ÓÐÐ Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓE(X 2 X 1 ) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ð ÓÒ ÑÙÓØÓ ax 1 +bº Ð ÑÑ Ò ÚÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ E(X n+h X 1,...,X n ) ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò ÑÓÒ ÙÐÓØØ Ò ÒÓÖÑ Ð ÙÑ Ò Ø Ô Ù ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó E(X n+h X 1,...,X n ) = a 0 +a 1 X a n X n, Ñ a 0,...,a n ÓÚ Ø Ú ÓØ º ÂÓ Ú ÒØÓ Ò Ý Ø ÙÑ ÓÐ ÒÓÖÑ Ð ¹ Ò Ò Ø º Ý ÓÐ Ù Ò Ò ÔÖÓ µ ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÒÒÙ Ø Ò ÚÐع ØÑØØ ÓÐ Ð Ò Ö Ò Òº ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ù Ø Ò Ò Ö Ó ØÙØ Ò Ø Ö Ø Ð ¹ Ñ Ò Ð Ò Ö ÒÒÙ Ø Ñ ÓÔØ Ñ Ð ÙÙ Ò Ö Ø Ö Ò ÝØ ØÒ ¹ Ò Ð Ú Ö Øغ ÌÑ Ñ Ö Ø Ø ØØ ÔÖÓ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ Ö Ó ØÙ¹ Ø Ò Ò ÑÑ Ò ØÓ Ò Ø Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò Ø º Ó ÓØÙ ÖÚÓÓÒ Ó¹ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÓÒº ¾º¾ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ ÒÒ Ò Ù Ò ÖÖÝÑÑ Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÔÖÓ Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò ÓÒ ÝÚ ØÙØ Ù Ò Ð ÑÑ Ò Ò Ò ÔÖÓ Ò ÓÑ Ò ÙÙ º ËØ Ø ÓÒ Ö Ò ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ½º γ(0) 0 ¾º γ(h) γ(0) ÐÐ h º γ(h) ÓÒ Ô Ö ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ø º γ(h) = γ( h)º ÇÑ Ò ÙÙ ½µ ÙÖ Ø ØØ Ú Ö Ò ÓÒ Ò ¹Ò Ø Ú Ò Ò ÓÑ ¹ Ò ÙÙ ¾µ Ù Ý¹Ë Û ÖÞ¹ ÔÝ ØРغ ÇÑ Ò ÙÙ µ Ó ØÙÙ Ø ØØ γ(h) = Cov(X t+h,x t ) = Cov(X t,x t+h ) = γ( h)º Ä ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ Ö Ð ÖÚÓ Ò Ò ÙÒ Ø Ó κ ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ Ó n a i κ(i j)a j 0 ¾º½µ i,j=1 ¾

30 ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÐÐ Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ n Ú ØÓÖ ÐÐ a = (a 1,a 2,...,a n ) Ñ ¹ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø a i ÓÚ Ø Ö Ð ÐÙ Ù º ÀÙÓÑ ØØ ØÓ ¾º½ ÚÓ Ò ØØ Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó a Ka 0 Ñ K ÓÒ Ñ ØÖ [κ(i j)] n i,j=1º Ä Ù ½º Ê Ð ÖÚÓ Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó ÓÒ Ø Ø Ó¹ Ò Ö Ò Ö Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ó Ú Ò Ó ÓÒ ¹ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ γ(h) ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò {X t } Ù¹ ØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Óº ÇÐ ÓÓÒ n Ñ Ø Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ó ÓÒ ÐÙ Ù a = (a 1,a 2,...,a n ) Ñ Ø Ò Ö Ð ÐÙÚÙ Ø ÓÓ ØÙÚ Ú ØÓÖ ÓÒ Ô ¹ ØÙÙ ÓÒ nº ÌÐÐ Ò Var(a 1 X 1 +a 2 X a n X n ) = n Cov(a i X i,a j X j ) = i,j=1 n a i γ(i j)a j 0, i,j=1 ÐÐ Ú Ö Ò ÓÒ Ò ¹Ò Ø Ú Ò Òº Æ Ò ØØ γ(h) ÓÒ ¹ Ò Ø Ú Ø Ò ØØ º ÌÓ ØÙ ØÓ Ò ÙÙÒØ Ò ÓÒ Ú Ø Ú ÑÔ º à º Ѻ ÌËÌÅ Ì ÓÖ Ñ ½º º½º Ѻ ¾º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ ÙÒ Ø Ó 1, ÙÒ h = 0, κ(h) = ρ, ÙÒ h = ±1, 0, ÑÙÙÐÐÓ Òº ÓÒ ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ ÙÒ ρ 0.5º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ κ(h) ÓÒ Å ½µ¹ ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÙÒ Ø Ø Ò σ 2 (1 + θ 2 ) = 1 σ 2 θ = ρº Ê Ø Ù Ò { θ = 1± 1 4ρ 2 2ρ σ 2 = 1 θ 2 ÙÒ ρ 0.5º Ê Ø Ù ÓÐ ÓÐ Ñ Ó ρ > 0.5º ¾º Ä Ò Ö Ø ÔÖÓ Ø ÌÖ Ò ÖÝ ÑÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ø ÔÖÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø Ò º Ð Ò Ö Ø ÔÖÓ Ø Ó Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò ÊÅ ¹Ñ ÐÐ ÐÐ ÑÙÓ Ó Ø ¾

31 ÙÖ Ò Ý ÒÓ Òº Ö {X t } ÒÓØ Ò Ð Ò Ö ÔÖÓ Ó ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X t = j= ψ j Z t j, ¾º¾µ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ t Ñ {Z t } ÏÆ (0,σ 2 ) {ψ j } ÓÒ ÓÒÓ Ú Ó Ø Óع ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÓÒ j= ψ j < º ÃÝØØÑÐÐ ÖØÓ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ B Ú ¾º¾µ ÚÓ Ò ØØ Ø Ú ÑÑ ÑÙÓ Ó X t = ψ(b)z t, Ñ ψ(b) = j= ψ jb j º Ä Ò Ö Ø ÔÖÓ ÒÓØ Ò Ð Ù ÙÚ Ò Ö¹ ÚÓÒ ÔÖÓ Ó ψ j = 0 ÙÒ j < 0º ÌÐÐ Ò ÔÖÓ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó X t = ψ j Z t j. j=0 ÀÙÓÑ ÙØÙ º ØÓ j= ψ j < Ø Ö Ò ¾º¾µ ÙÔÔ Ò Ñ Ò ØÓ¹ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ½µº Ù Ý¹Ë Û ÖÞ Ò ÔÝ ØÐ Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ E Z t σ ÐÐ [E( Z t 1 ] 2 E Z 2 E(1) = σ 2 º ÁØ ÖÚÓ Ö Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò E j= ψ j Z t j = j= ψ j E Z t j σ j= ψ j <. ÃÓ Ø ÖÚÓ Ö Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò Ø ÖÚÓ Ö ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ½ Ó Ø ÙÖ ØØ ÑÝ Ð ÙÔ Ö Ò Ò Ö ÙÔÔ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ ÐÐ ½º ÇÔ Ö ØØÓÖ Òψ(B) ÚÓ Ò Ø ÐÐ ÓÐ Ú Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓ Ò ÓÒ Ý Ø¹ Ø Ò ÓÒ Ö {Z t } ÙÐÓ ØÙÐÓÒ Ö {X t }º Ë ÙÖ Ú Ó Ó Ø Ø Ò ØØ Ñ Ø Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö ÒØ ÙÐÓ ØÙÐÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò ÙÒ Ò ÓÚ ÐÐ Ø Ò ÙÓ ÒØ ψ(b)º Ä Ù ¾º ÇÐ ÓÓÒ {Y t } Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö ÓÒ Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ¼ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó γ Y º ÂÓ j= ψ j < Ò Ò Ö X t = ψ j Y t j = ψ(b)y t j= ¾º µ ¼

32 ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ¼ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ γ X (h) = ψ j ψ k γ Y (h+k j). j= k= ¾º µ Ë Ò Ö Ó Ø Ô Ù ØØ {Y t } ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ ÏÆ (0,σ 2 ) γ X (h) = ψ j ψ j+h σ 2. j= ¾º µ ÌÓ ØÙ º Ë ÑÓ Ò Ù Ò ÐÐ ÙÓÑ ÙØÙ ÚÓ Ò Ô ÖÙ Ø ÐРع Ø Ö {X t } ÙÔÔ Ò ÓÒÒ Ò σ Ø Ð ÐÐ ÓÒ γ(0)µº ÃÓ E(Y t ) = 0 ( ) E(X t ) = E ψ j Y t j = ψ j E(Y t j ) = 0 E(X t+h X t ) =E = [( j= j= k= j= ψ j Y t+h j )( k= ψ j ψ k E(Y t+h j Y t k ) = j= ψ k Y t k )] j= k= ψ j ψ k γ Y (h+k j), Ó Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ Ö Ò{X t } ÓÐ Ú Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ ¹ Ø ÓÐÐ ¾º µº Ë ØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÙÑÑ Ù Ò Ö ØÝ Ø ÚÓ Ò Ú ¹ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÓÐ ØÙ Ò j= ψ j < ºµ ÂÓ {Y t } ÓÒ Ú Ð Ó Ò Ó Ò Ò ÔÖÓ γ Y (h+k j) = σ 2 ÙÒ k = j h ¼ ÑÙÙØ Ò Ñ Ø ÙÖ ¾º µº ÀÙÓÑ ÙØÙ º ËÙÓØ Ñ Ó ÐÐ ÓÒ Ø Ø ÙÑÑ ÙØÙÚ Ø ÖØÓ Ñ Ø ÚÓ Ò ÓÚ ÐØ Ô Ö Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò ØÙÐÓ Ò Ò Ò Ø ¹ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ Ò ÒÒ ÐØ ÓÐ Ñ Ö ØÝ Ø ÐÐ Ñ ¹ Ö ØÝ ÙÓØ Ñ ÓÚ ÐÐ Ø Òº ÂÓ ÙÓØ Ñ α(b) = j= α jb j β(b) = j= β jb j ÓÚ ÐÐ Ø Ò Ô Ö Ò Ö Ò {Y t } ØÙÐÓ Ò Ò Ö α(b)β(b)y t = β(b)α(b)y t = ψ(b)y t, Ñ ψ(b) = α(b)β(b)º ÄÓÔÔÙØÙÐÓ Ò Ô ØÒ ÑÝ ÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ Ö¹ Ò {Y t } Ý Ø ÙÓ ÒØ ψ(b) Ó Ò ÖØÓÑ ÐÐ ÒÒ ÙÓØ Ñ Ø α(b) β(b) ÓØ ÓÚ Ø ÖØÓ¹ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò B ÔÓØ Ò Ö Ó º ½

33 Ñ ½º Å Õµ¹ÔÖÓ º Ñ Ö Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ Å Õµ¹ÔÖÓ Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ý ØÐ ÐÐ X t = Z t +θ 1 Z t θ q Z t q, Ñ Z t ÏÆ (0,σ 2 )º Ã Ú Ò ¾º µ Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ò Å Õµ¹ ÔÖÓ Ò ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó { σ 2 q h γ X (h) = j=0 θ jθ j+ h, ÙÒ 0 h q, 0, ÑÙÙØ Ò Ñ θ 0 = 1º À Ú Ø Ò ØØ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó Ú ÙÒ h > qº ÌÐÐ Ø ÔÖÓ ÓÒ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó = 0 ÙÒ h > q ÒÓØ Ò q¹ ÓÖÖ ÐÓ ØÙÒ º ÎÓ Ò ÝÐ Ø Ó Ó ØØ ØØ q¹ ÓÖÖ ÐÓ ØÙÒÙØ Ø Ø ÓÒ¹ Ö Ò Ò ÔÖÓ ÚÓ Ò ØØ Å Õµ¹ÔÖÓ Ò ÌËÌÅ Ë Ø ÓÒ º¾µº Ñ ¾º Ê ½µ¹ÔÖÓ º Ò ÐÑÝ ÐÐ Ê ½µ¹ÔÖÓ ÒÝØ Ð ¹ Ò Ö ÐØ ÔÖÓ ÐØ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ø Ø ÓÒ Ö ÔÖÓ Ó ØÓØ ÙØØ Ö Ò Ý ØÐ Ò X t φx t 1 = Z t, ¾º µ Ñ Z t ÏÆ (0,σ 2 )º ÈÖÓ ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ØØ Ð Ù ÙÚ Ò Ö¹ ÚÓÒ ÔÖÓ Ò ÙÒ φ < 1º Ö Ò Ý ØÐ ¾º µ ÚÓ Ò ØØ ÑÙÓ Ó φ(b)x t = Z t, ¾º µ Ñ φ(b) = 1 φbº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÙÓ ÒØ ψ(b) = 1/φ(B) Ó ÚÓ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ö Ò ÙÑÑ Ú ÝØØ Ò ØØ ÑÙÓ Ó 1 ψ(b) = 1 φb = 1+φB+φ2 B ËÙÓØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ø Ø ÙÑÑ ÙØÙÚ Ø ÖØÓ Ñ Ø ÐÐ 1 + φ + φ = 1/(1 φ ) < º ËÓÚ ÐØ Ñ ÐÐ ÙÓ ÒØ ψ(b) Ý ØÐ Ò ¾º µ ÑÓÐ ÑÔ Ò ÔÙÓÐ Ò Ò X t = ψ(b)z t Ð X t = Z t +φz t 1 +φ 2 Z t , Ó Ø Ò Ò ØØ {X t } ÓÒ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º ÂÓ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö ÚÓ Ò ØØ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÔÖÓ Ò ÙÑÑ Ò º ÈÖÓ ÓÒ Ø Ö¹ Ñ Ò Ø Ò Ò Ó ÔÖÓ Ò Ú ÒÒÓØ ÑÖÝØÝÚØ ØÝ Ò ÐØÚ Ò Ú ÒØÓ¹ Ò ÚÙÐÐ º ËÙÑÑ ØÝ Ø ÙØ ÙØ Ò ÏÓÐ Ò ÓØ ÐÑ º ÇÒ Ö ØØ Ò ÖÚ ¹ Ò Ø ØØ Ñº Ø ÐÓÙ ÐÐ Ö Ó ÒØÝ Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò Óѹ ÔÓÒ ÒØØ º ÌÐÐ ÙÖ ÐÐ Ø ÐÐ Ò ÑÔ ÏÓÐ Ò ÓØ ÐÑ º ¾

34 ¾º ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÑÓ Ñ Ò Ò ËØ Ø ÓÒ Ö Ò ÔÖÓ Ò {X t } Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÑÓÑ ÒØØ Ø Ñ ØØÓÖ ÓÒ ÓØÓ ¹ ÖÚÓ X n = (X 1 +X X n )/n. Ë ÓÒ Ö ØÓÒ ÐÐ E( X n ) = µº ÇØÓ ÖÚÓÒ Ò Ð Ú Ö ÓÒ n n E( X n µ) 2 =Var( X n ) = n 2 Cov(X i,x j ) =n 2 n i j= n =n 1 n h= n i=1 j=1 (n i j )γ(i j) ( 1 h ) γ(h). n Ã Ò Ð Ú Ö ØØ ÚÓ Ò Ø ÑÓ Ð Ù ÐÐ n 1 a h= a ( 1 h n ) ˆγ(h) Ó ˆγ(h) 0 ÙÒ h > aº ÀÙÓÑ ØØ ˆγ(h) ÓÐ ÐÙÓØ ØØ Ú γ(h) Ò Ø Ñ ØØÓÖ Ó h > n/4 Ñ n ÓÒ Ö Ò Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖº Ã Ò Ð Ú Ö Ò Ð Ù Ø¹ Ø ÚÓ Ò ÝØØ ÝÚ ÙÒ ÑÖ Ø ØÒ ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ µ ÐÐ º ÂÓ {X t } ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ò Ø ÊÅ ¹ÔÖÓ ÓØÓ ÖÚÓ ÓÒ Ð Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ø ÙØÙÒÙغ ÌÐÐ Ò ± ÐÙÓØØ ÑÙ ÚÐ µ ÐÐ ÓÒ ( X n 1.96 Var( X n ), X n Var( X n ))º ÇØÓ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ¹ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÑ ØÖ ÓÚ Ø ¹Ò Ø Ú Ø Ò ØØ ÑÓ Ò Ù Ò Ò Ò Ø ÓÖ ØØ Ø Ú Ø Ò Ø º ØÓ ØÙ ÖÓ ¹ Û Ðв Ú º µº ÁØ Ò ÓÚ Ø ÔÓ Ø Ú Ø Ò ØØ ÐÐ ÚØ ¹ Ö Ò ÖÚÓØ ÓÐ Ý Ø ÙÙÖ º Ä Ò Ö Ø Ò Ö ØÝ Ø ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò Ø Ô Ù ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ ÒØ Ò Ú ØÓÖ ÒÓÙ ØØ Ð Ñ Ò ÑÓÒ ¹ ÙÐÓØØ Ø ÒÓÖÑ Ð ÙÑ (ˆρ(1),..., ˆρ(k)) N((ρ(1),...,ρ(k)),n 1 W), Ñ Ñ ØÖ Ò W Ð Ñ ÒØ Ø Ò ÖØÐ ØØ Ò Ú Ø w ij = {ρ(k +i)+ρ(k i) 2ρ(i)ρ(k)} k=1 {ρ(k +j)+ρ(k j) 2ρ(j)ρ(k)}.

35 Ñ ½º Ê ½µ¹ÔÖÓ Ò X t = φx t 1 +Z t, {Z t } ÏÆ (0,σ 2 ), Ø Ô Ù Ñ φ < 1 ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò Ú Ú ÐÐ h ÓÒ ρ(h) = φ h º ÇØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó¹ ÖØÓ Ñ Ò Ú Ö Ò ÓÒ w ii /n Ñ ÖØÐ ØØ Ò Ú Ò Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÚÓ Ò Ó Ø ØØ w ii = (1 φ 2i )(1+φ 2 )(1 φ 2 ) 1 2iφ 2i. ÃÙÚ Ó ¾º½ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ó ÓÒ ØÙ ÑÙ¹ ÐÓ Ù Ø ½¼¼ Ú ÒÒÓÒ Ô ØÙ Ø Ê ½µ¹ÔÖÓ Ø Ó φ = 0.7º Ä ¹ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ø ÓÖ ØØ Ò Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÐÐ ± ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÐ º À Ú Ø Ò ØØ ÚÐ ÙÙÖ ÐÐ Ú Ú ÐÐ ÓÒ ÙÙÖ ÑÔ Ù Ò ÁÁ ¹ Ó Ò Ú Ø Ú ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÐ Ó ÑÝ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ù¹ Ú ÓÓÒº À Ú Ø Ò ÑÝ ØØ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ò Ù Ò ³Ð Ò Ø ³ Ð Ô Ö ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓØ Ú Ø ÓÖ ØØ Ò Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ú Ò Ø Ø º ACF Lag ÃÙÚ Ó ¾º½ Ê ½µ¹ÔÖÓ Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÐ ¹ Ò Ò

36 Ò ¹ ½¼¼ Ô ¹ ¼º Ù ¹ Ö Ñ º Ñ Ð Ø Ö ¼º µ Òµ Ü ¹ ¼ ¼ Ý ¹ Ô Ü Þ ¹ ½¹Ô ¾ ܵµ ½ Ô ¾µ» ½¹Ô ¾µ¹¾ Ü Ô ¾ ܵ Ù ¼ Ñ Ò µ Ð Ò Ü Ý ÐØÝ µ Ð Ò Ü Ý ½º Þ»Òµ ¼º ÐØÝ ¾µ Ð Ò Ü Ý¹½º Þ»Òµ ¼º ÐØÝ ¾µ Ê Ôµ ¹ÔÖÓ Ò ÒØ Ó ÒØ Ð Ú Ú Ô ØÙÙ Ò p ÑÖ ØÝ ÓÒÒ ØÙÙ Ô Ö Ø Ò Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø ÓÒ ÚÙÐÐ Ó Ø ÐÐÒ ÑÝ ÑÑ Òº Ѻ ¾º Å Õµ¹ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Óº à ÔÔ Ð ¾º ØÓ Ø¹ Ø Ò ØØ Å Õµ¹ÔÖÓ ÓÒ Õ¹ ÓÖÖ ÐÓ ØÙÒÙØ Ð ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ρ(h) Ú Ð ÓÒ ¼µ ÙÒ h > qº ÌÑÒ ÚÙÓ Å Õµ ÔÖÓ ÚÓ Ò ÝÖ Ø¹ Ø ÒØ Ó Ø Ö Ø Ð Ñ ÐÐ Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø ÓØ º ÖØÐ ØØ Ò Ú Ò ÚÙÐÐ ÓÒ ÐÔÔÓ Ó Ó ØØ ØØ Õ¹ ÓÖÖ ÐÓ ØÙÒ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ô Ù ¹ Var(ˆρ(i) [1 + 2ρ 2 (1) ρ 2 (q)]/n ÙÒ i > qº ÃÙÚ Ó ¾º¾ ÓÒ ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ö ÐÐ Ó ÓÒ ØÙ ÑÙÐÓ Ñ ÐÐ Å ¾µ¹ ÔÖÓ X t = Z t 0.6Z t Z t 2 º ÃÙÚ ÓÓÒ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ± ØÓ Ò¹ Ò ÝÝ Ö Ø ±1.96n 1/2 (1 + 2ρ 2 (1) + 2ρ 2 (2)) 1/2 Ø Ú ÒÓÑ Ø Ö ¹ Ø ±1.96n 1/2 º Ð Ò ÝØ ØÒ Ø Ù ÑÔ Ø Ú ÒÓÑ Ö Ó ÐÐ ÓÖ¹ Ö Ð Ø Ó ÖØÓ Ñ Ø ρ(i) ÚØ ÓÐ Ø Ú ÐÐ Ø ØÙÒÒ ØØÙ º Ì Ø Ô Ù ρ(1) = (θ 1 +θ 1 θ 2 )/(1+θ1 2+θ2 2 ) = ( )/( ) = 0.54 ρ(2) = θ 2 /(1+θ1 2 +θ2) 2 = 0.8/( ) = 0.4º Ù ¹ Ö Ñ º Ñ Ð Ø Ñ ¹¼º ¼º µµ ½¼¼µ Ö½ ¹ ¹¼º ¹¼º ¼º µ» ½ ¼º ¼º µ Ö¾ ¹¼º» ½ ¼º ¼º µ ÙÔÔ Ö ¹½º ÕÖØ ½ ¾ Ö½ ¾ ¾ Ö¾ ¾µ»½¼ ÐÓÛ Ö ¹ ¹ÙÔÔ Ö Ù ¼ Ñ Ò µ Ð Ò ¼µ ÙÔÔ Ö ÙÔÔ Öµ ÐØÝ µ Ð Ò ¼µ ÐÓÛ Ö ÐÓÛ Öµ ÐØÝ µ

37 ACF Lag ÃÙÚ Ó ¾º¾ Å ¾µ¹ÔÖÓ Ò ÓØÓ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ØÓ ÒÒ ÝÝ ÚÐ ¹ Ò Ò ¾º ËØ Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ö Ó Ò ÒÒÙ Ø Ñ Ò Ò Ë ÙÖ Ú Ó Ø Ò Ð Ò Ö Ò Ò ÒÒÙ Ø Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò {X t } Ú ÒÒÓÐÐ X n+h ÙÒ ÝØ ØØÚ ÓÒ Ú ÒÒÓØ X 1,X 2,...,X n º Ç ÓØÙ Ö¹ ÚÓ µ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó γ(h) ÓÐ Ø Ø Ò ØÙÒÒ ØÙ º Å Ö ØÒ ¹ Ò Ð Ú Ö Ò Ñ Ð ÓÔØ Ñ Ð Ø ÒÒÙ Ø ÒØ P n X n+h = a 0 +a 1 X n +a 2 X n a n X 1. à ÖØÓ Ñ Ò a i ÑÖ ØØÑ Ñ Ò ÑÓ Ò Ð Ù E(X n+h a 0 a 1 X n a 2 X n 1... a n X 1 ) 2. Ö ÚÓ Ñ ÐÐ Ð Ù ÖØÓ Ñ Ò a i Ù Ø Ò ØØ Ñ ÐÐ Ö Ú Ø Ø ÒÓй Ð Ò Ý ØÐ Ø E(X n+h a 0 a 1 X n a 2 X n 1... a n X 1 ) = 0 ¾º µ E(X n+h a 0 a 1 X n a 2 X n 1... a n X 1 )X n+1 i = 0, i = 1,2,...,n ¾º µ

38 Ò ÑÑ Ø Ý ØÐ Ø ÚÓ Ò ÔØ ÐÐ ØØ ÒÒÙ Ø Ú Ö Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ¼ Ð ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò ÒÒÙ Ø Ò ÓÒ Ö ØÓÒº ØÐ Ø Ò Ö Ø ØÙ a 0 = µ(1 a 1 a 2... a n ). ØÐ Ø ¾º µ ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÙÓØÓÓÒ Cov(X n+h a 0 a 1 X n a 2 X n 1... a n X 1,X n+1 i ) = 0, i = 1,2,...,n Ó Ø Ò Ò ØØ ÒÒÙ Ø Ú Ö ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ñ ØÓÒ Ð ØØÚ Ò ÑÙÙØØÙ Ò X n,x n 1,...,X 1 Ò º ØÐ Ø ÚÓ Ò ÐÐ Ò ØØ ÑÙÓ Ó a 1 γ(i 1)+a 2 γ(i 2)+...+a n γ(i n) = γ(h+i 1), i = 1,2,...,n Ø Ñ ØÖ ÑÙÓ Ó γ(0) γ(1)... γ(n 1) γ(1) γ(0)... γ(n 2) γ(n 1) γ(n 2)... γ(0) Å Ö ØÒ Ñ ØÖ Ý ØÐ ÐÝ Ý Ø a 1 a 2... a n = γ(h) γ(h+1)... γ(h+n 1). Γ n a n = γ n (h). ¾º½¼µ ÇÔØ Ñ Ð Ò Ò ÒÒÙ Ø Ò ÓÒ P n X n+h = µ+ n a i (X n+1 i µ) i=1 Ñ ÖØÓ Ñ Ø a i ÑÖÝØÝÚØ Ý ØÐ Ò ¾º½¼µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º

39 ÃÓ Ú Ò ¾º µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ ÒÒÙ Ø Ú Ö Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓ ÓÒ ¼ ÒÒÙ Ø ¹ Ú Ö Ò Ò Ð Ú Ö ÓÒ [ ] 2 n E(X n+h P n X n+h ) 2 = E X n+h µ a i (X n+1 i µ) = E(X n+h µ) 2 2 n + i=1 = γ(0) 2 i=1 n a i (X n+1 i µ)(x n+h µ) i=1 n a i a j E(X n+1 i µ)(x n+1 j µ) j=1 n a i γ(h+i 1)+ i=1 i=1 j=1 n n a i a j γ(i j) = γ(0) 2a γ n (h)+a Γ n a = γ(0) a γ n (h). Î Ñ ÚÐ Ú ÓÒ ÝØ ØØÝ ÝÚ Ú ¾º½¼µº ¾º ÒÒÙ Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò P n ÓÑ Ò ÙÙ Ä Ò Ö ÐÐ ÒÒÙ Ø Ñ ÐÐ P n Y Ø Ö Ó Ø Ø Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ Ò 1,X n,x n 1,...,X 1 Ð Ò Ö ÓÑ ¹Ò Ø ÓØ a 0 + a 1 X n a n X 1 Ó Ñ Ò ÑÓ Ò Ð Ú Ö Ò E(Y a 0 a 1 X n... a n X 1 ) 2. ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ö ØØÚØ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÓØ ÖØÓ Ñ ÐÐ a 0,a 1,...,a n ÓÚ Ø ÚÖغ Ú Ø ¾º µ ¾º µµ E(Y a 0 a 1 X n a 2 X n 1... a n X 1 ) = 0 ¾º½½µ E(Y a 0 a 1 X n a 2 X n 1... a n X 1 )X n+1 i = 0, i = 1,2,...,n ¾º½¾µ Ò ÑÑ Ò Ò ØÓ Ñ Ö Ø Ø ØØ ÒÒÙ Ø Ò ÓÒ Ö ØÓÒ ØÓ Ò Ò ØØ ÒÒÙ Ø Ú Ö ÓÒ ÓÖÖ ÐÓ Ñ ØÓÒ ÒÒÙ Ø Ú Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ò º

40 ÒÒÙ Ø ÓÔ Ö ØØÓÖ ÐÐ P n ÓÒ ÙÖ Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÓØ ÓÒ ÝÚ ØÙÒ¹ Ø ½º P n (β 0 + k j=1 β jy j ) = β 0 + k j=1 β jp n Y j Ð Ò Ö ÙÙ µ ¾º P n X m = X m, Ó m n, º ÌÓ ØÙ P n P m Y = { Pn Y, Ó m > n P m Y, Ó m n. ½º Ç Ó Ø Ø Ò ØØ Ð Ù β 0 + k j=1 β jp n Y j ØÓØ ÙØØ ÓÒ ¾º½¾µ Ñ Y = β 0 + k j=1 β jy j º Î Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ø Ö Ø ØÓ ¾º½½µµº Å Ö ØÒ Y j Ò ÓÔ¹ Ø Ñ Ð Ø ÒÒÙ Ø ÒØ P n Y j = a j0 + a j1 X n + a j2 X n a jn X 1 ÓÐÐÓ Ò E(Y j a j0 a j1 X n a j2 X n 1... a jn X 1 )X n+1 i = 0, i = 1,2,..,nº ÆÝØ k E Y (β 0 + β j P n Y j ) X n+1 j j=1 k k = E β 0 + β j Y j ) β 0 + β j (a j0 +a j1 X n +...+a jn X 1 ) X n+1 i j=1 j=1 k = E β j (Y j a j0 a j1 X n... a jn X 1 )X n+1 j = j=1 k β j E[(Y j a j0 a j1 X n... a jn X 1 )X n+1 j ] = 0, i = 1,2,...,n. j=1 ¾º ÂÓ m n ÓÒ ÐÑ ÐÚ ØØ P n X m = X m ÐÐ ÒÒÙ Ø ØØ Ú ÑÙÙØØÙ X m ÐØÝÝ ÒÒÙ Ø Ú Ò ÑÙÙØØÙ Ò X n,x n 1,...,X 1 º º Å Ö ØÒ P m Y = a m0 + a m1 X m a mm X 1 P n Y = a n0 + a n1 X n a nn X 1 º ÇÐ Ø Ø Ò ÐÙ ØØ m nº ÌÐÐ Ò P n P m Y = P n (a m0 +a m1 X m a mm X 1 ) = a m0 +a m1 P n X m +...+a mm P n X 1 = a m0 +a m1 X m +...+a mm X 1 = P m Y Ð Ò Ö ÙÙ Ò Ó Ò ¾µ Ô ÖÙ Ø ÐÐ º ÃÙÒ m > n ÓÒ ØÓ Ø ØØ Ú ØØ P n Y ØÓØ ÙØØ ÓØ E(P m Y P n Y) = 0 E(P m Y P n Y)X n+1 i = 0º Ò ÑÑ Ò Ò ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ Ó P m Y ØØ P n Y ÓÚ Ø Ö ØØÓÑ ÒÒÙ Ø Ñ Y ÐÐ º ÂÐ ÑÑ Ò Ò ØÓ ØÓØ ÙØÙÙ Ó E[(P m Y P n Y)X n+1 i ] = E[(a m0 +a m1 X m +...+a mm X 1 a n0 a n1 X n... a nn )X n+1 i ] = E[(a m0 +a m1 X m +...+a mm X 1 Y)X n+1 i ] +E[(Y a n0 a n1 X n... a nn )X n+1 i ] = 0.

41 ÄÙ Ù ÊÅ ¹Ñ ÐÐ Ø º½ ÊÅ Ô Õµ¹ÔÖÓ Ø Ì Ò Ñ ÒÒ ÓÒ Ø ÐØÝ ÙØÓÖ Ö Ú Ê Ôµ¹ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ Å Õµ¹ Ñ ÐÐ º ÇÒ ÑÝ Ñ ÓÐÐ Ø Ý Ø ÒÑ Ñ ÐРغ ÅÖ Ø ÐÐÒ ØØ {X t } ÓÒ ÊÅ Ô Õµ¹ÔÖÓ Ó {X t } ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ò Ò Ø Ò t X t φ 1 X t 1... φ p X t p = Z t +θ 1 Z t θ q Z t q, º½µ Ñ Z t ÏÆ (0,σ 2 )º Ò ÖØ ÙÙ Ò ÚÙÓ ÓÐ Ø Ø Ò Ð ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ 1 φ 1 z... φ p z p 1+θ 1 z+...+θ q z q ÓÐ Ý Ø Ø Øº ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ØØ Ý ØÐ ÐÐ º½µ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ø Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ø Ù Ó ÓÑÔÐ Ø Ó ÑÖ Ø ÐÐÝÐÐ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ 1 φ 1 z... φ p z p ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø Ý ÝÑÔÝÖÐÐ {z C : z = 1}º Ð Ò Ù Ø Ò Ò Ö Ó ØÙØ Ò Ù Ð Ò ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ Ò ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÐÐ ÒÑ ÔÖÓ Ø Ö ØØÚØ Ø Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÓÚ Ö Ò Ö Ò¹ Ø Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Òº Ë ÒÓØ Ò ØØ ÊÅ ¹ÔÖÓ {X t } ÓÒ Ù Ð Ò Ò Ó ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ö ØØ ÑÒ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ Ò X t = Z t +ψ 1 Z t 1 +ψ 2 Z t , Ñ {Z t } ÏÆ (0,σ 2 ) n j=1 ψ j < º ØÓ ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ò Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ 1 φ 1 z... φ p z p ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø ÓÒ Ý ¹ Ó {z C : z 1}º ¼

42 Î Ø Ú Ø ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò {X t } ÒÓØ Ò ÓÐ Ú ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ Ó Z t ÚÓ Ò ØØ Ú ÒØÓ Ò X t,x t 1,... ÚÙÐÐ Z t = X t +π 1 X t 1 +π 2 X t , Ñ {Z t } ÏÆ (0,σ 2 ) n j=1 π j < º ØÓ ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ò Ò ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐ 1 + θ 1 z... + θ q z q ÓÐ ÒÓÐÐ Ó Ø Ý Ó ¹ {z C : z 1}º ØÔ ØÚØ ÓØ ÓÚ Ø ÙÖ Ù Ø ÔÓØ Ò Ö Ó Ò Ô ÖÙ ÓÑ Ò ÙÙ Ø ÚÖغ ÌËÌÅ Ë Ø ÓÒ º½ºµ Ѻ ½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÊÅ ¹Ñ ÐÐ ( B 0.028B B 3 )X t = ( B 7.92B B B B 5 )Z t. ÃÙÚ ÓÓÒ º½ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò φ(z) = z 0.028z z 3 θ(z) = z 7.92z z z z 5 ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÑÔÐ ¹ Ø Ó º ÃÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò φ(z) ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÚ Ø Ý ÝÑÔÝÖÒ ÙÐ ÓÔ¹ ÙÓÐ ÐÐ ÔÖÓ ÓÒ Ù Ð Ò Òº ÃÓ Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ò θ(z) ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖÒ ÔÙÓÐ ÐÐ ÔÖÓ ÓÐ ÒÚ ÖØÓ ØÙÚ º Im(polyroot(c(1, 0.258, 0.028, 0.281))) Im(polyroot(c(1, 0.482, 7.92, 18.5, 14.4, 20.5))) Re(polyroot(c(1, 0.258, 0.028, 0.281))) Re(polyroot(c(1, 0.482, 7.92, 18.5, 14.4, 20.5))) ÃÙÚ Ó º½ ʹ Å ¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÒÓÐÐ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø Ó Ç ÒÔÙÓÐ Ò Ò ÙÚ Ó ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÝØØ Ò Ê¹ Ý ½

43 ÔÐÓØ ÔÓÐÝÖÓÓØ ½ ¹¼º ¾ ¹ º ¾ ½ º ½ º ¾¼º µµ ÜÐ Ñ ¹¾ ¾µ ÝÐ Ñ ¹¾ ¾µµ Ð Ò ÜÔ ½ Õ ¹Ô Ô Ð Ò ½¼¼µµµ Ð Ò Ú ¼ ÐØÝ µ Ð Ò ¼ ÐØÝ µ ÙÒ Ø ÓÐÐ ÔÓÐÝÖÓÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÙÙÖ Øº ÙÒ Ø ÓÐÐ Ø Ò ÙÓ¹ Ö Ò ÐÚ ÐÐ ÙÙÖØ Ò Ø ÖÚÓØ Ñº ÔÓÐÝÖÓÓØ ½ ¹¼º ¾ ¹ º ¾ ½ º ½ º ¾¼º µµµ ÒØ ØÙÐÓ Ò ½ ¼º ¼ ¼º¾ ¼º ¼ ½º½½ ½ ¼ ½º½½ ½ ¼ Ó Ø Ò Ò ØØ ÓÐÑ ÙÙÖØ ÓÒ Ý ÝÑÔÝÖÒ ÔÙÓÐ ÐÐ Ò Ù Ø ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º º¾ ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Ò Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ÊÅ ¹ÔÖÓ (1 φ 1 B... φ p B p )X t = (1+θ 1 B+...+θ q B q )Z t, º¾µ Ñ Z t ÏÆ (0,σ 2 ) ÓÒ Ù Ð Ò Òº ÌÐÐ Ò ÚÓ Ò ØØ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ Ò X t = (1+ψ 1 B+ψ 2 B )Z t. º µ Ë Ó ØØ Ñ ÐÐ X t Ò Ð Ù º µ Ý ØÐ Ò º¾µ Ò Ý ØÐ (1 φ 1 B... φ p B p )(1+ψ 1 B+ψ 2 B )Z t = (1+θ 1 B+...+θ q B q )Z t, ÓÒ ÚÙÐÐ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ØÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÖØÓ Ñ Øº Å Ö Ø ÑÐÐ Ö B Ò ÔÓØ Ò Ú Ø Ú Ø ÖØÓ Ñ Ø Ý Ø ÙÙÖ Ò Ý ØÐ Ø θ 1 = ψ 1 φ 1 θ 2 = ψ 2 ψ 1 φ 1 φ 2 θ 3 = ψ 3 ψ 2 φ 1 ψ 1 φ 2 φ 3... ¾

44 Ѻ ½º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÊÅ ¹ÔÖÓ (1 0.8B+0.2B 2 )X t = (1 0.3B)Z t. ÈÓÐÝÒÓÑ ÐÐ φ(z) = 1 0.8z + 0.2z 2 ÓÒ ÒÓÐÐ Ó Ø 2 ± i ÓØ Ø Ú Ø Ý ÝÑÔÝÖÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÊÅ ¹ÔÖÓ ÓÒ Ù Ð Ò Ò ÚÓ Ò ØØ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÔÖÓ Ò º µº ÌÙÒØ Ñ ØØÓÑ Ø ÖØÓ Ñ Ø ψ j ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ý ØÐ Ò (1 0.8B+0.2B 2 )(1+ψ 1 B+ψ 2 B ) = 1 0.3B Ô ÖÙ Ø ÐÐ º Ë ÑÑ B Ò Ö ÔÓØ Ò Ò ÖØÓ Ñ Ñ Ø Ò Ö Ø ØÙ B : ψ = 0.3 B 2 : ψ 2 0.8ψ = 0 B 3 : ψ 3 0.8ψ ψ 1 = 0... ψ 1 = = 0.5 ψ 2 = ψ 1 = = 0.2 ψ 3 = 0.8ψ 2 0.2ψ 1 = = ÈÖÓ ÚÓ Ò ØØ Ö Ò X t = Z t +0.5Z t Z t Z t º ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÑÖ ØØÑ Ò Ò Ø Ô ÑÖ ØØ ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÖØÓ Ý ØÐ X t φ 1 X t 1... φ p X t p = Z t +θ 1 Z t θ q Z t q

45 ÔÙÓÐ ØØ Ò ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ ÐÐ X t k ÓØØ Ó ÓØÙ ÖÚÓØ ÔÙÓÐ ØØ Òº ÃÓ X t k ÓÒ Ö ÔÔÙÑ ØÓÒ Z t h Ò Ò ÙÒ h < k Ò E(X t k X t ) φ 1 E(X t k X t 1 )... φ p E(X t k X t p ) = θ k E(X t k Z t k )+...+θ q E(X t k Z t q ), º µ ÙÒ 0 k qº Å Ö ØÒ ØØ θ 0 = 1µº ÃÝØØÑÐÐ ÝÚ ØÝ ÑÙÓØÓ Ý ØÐ º µ Ò ÑÙÓØÓÓÒ X t k = Z t k +ψ 1 Z t k 1 +ψ 2 Z t k γ(k) φ 1 γ(k 1)... φ p γ(k p) = (θ k +θ k+1 ψ 1 +θ k+2 ψ θ q ψ q k )σ 2. º µ ÃÙÒ k > q ÓÒ ÚÓ Ñ Ý ØÐ γ(k) φ 1 γ(k 1)... φ p γ(k p) = 0. º µ ÃÝØØÑÐÐ p+1 Ò ÑÑ Ø Ý ØÐ Ý ØÐ Ø º µ º µ ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ø γ(0),γ(1),γ(2),...,γ(p)º ÌÑÒ Ð Ò Ö ÙÖ¹ Ú Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÐÓÔÙØ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ø Ý ØÐ Ø º µº Ñ ½ Ø Ó µº Â Ø Ø Ò ÔÔ Ð Ò º¾ Ñ Ö Ò ØØ ÐÝ Ó Ø Ö Ø ÐØ Ò ÔÖÓ ÓÐÐ ÓÐ ØÝ ÑÙÓØÓ X t 0.8X t X t 2 = Z t 0.3Z t 1, X t = Z t +0.5Z t Z t Z t ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ø γ(0) γ(1) γ(2) ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ð Ò Ö Ø Ý ØÐ ÖÝ ¹ Ñ Ø γ(0) 0.8γ(1)+0.2γ(2) = ( )σ 2, γ(1) 0.8γ(0)+0.2γ(1) = 0.3σ 2, γ(2) 0.8γ(1)+0.2γ(0) = 0. ÄÓÔÙØ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò Ø ÚÓ Ò Ö Ø Ø Ö ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ò γ(k) 0.8γ(k 1)+0.2γ(k 2) = 0 ÚÙÐÐ º Ð Ò Ò Ö Ø Ù ÚÓ Ø Ò ÑÖ ØØ ÝØØÑÐÐ ÝÚ Ö Ò ¹ Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù ÚÓ ÑÙØØ Ò Ò ÔÙÙØÙØ Ø º

46 º Ç ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó ËØ Ø ÓÒ Ö Ò Ö Ò {X t } Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó α(h) ÑÖ Ø Ð¹ ÐÒ Ý ØÐ ÐÐ α(0) = 1, α(h) = φ hh, h 1, Ñ φ hh ÓÒ Ú ØÓÖ Òφ h = Γ 1 h γ h Ú Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ Γ h = [γ(i j)] h i,j=1 γ h = [γ(1),γ(2),...,γ(h)] º Î Ø Ú Ø Ú ÒÒÓ ÐÐ x 1,x 2,...,x n ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓØÓ ¹Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ý ØÐ ÐÐ Ñ ˆφ hh ÓÒ Ú ØÓÖ Ò ˆφ h = ˆα(0) = 1, ˆα(h) = ˆφ hh, h 1, ˆΓ 1 h ˆγ h Ú Ñ Ò Ò ÓÑÔÓÒ ÒØØ º Ѻ ½º Ê Ôµ¹ÔÖÓ Ò Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Óº Ã Ù Ð Ò Ò Ê Ôµ¹ÔÖÓ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ý ØÐ ÐÐ X t φ 1 X t 1... φ p X t p = Z t, Ñ {Z t } ÏÆ (0,σ 2 ) Cov(X s,z t ) = 0 ÙÒ s < tº È Ö Ð Ò Ö Ò Ò ÒÒÙ Ø Ò Ú ÒÒÓÐÐ X h+1 Ú ÒØÓ Ò X 1,...,X h ÚÙÐÐ ÓÒ ˆX h+1 = φ 1 X h +φ 2 X h φ p X h+1 p, ÙÒ h > p ØÓ ØÙ Ö Ó ØÙ Ø ØÚµº ÌÓ ÐØ Ú ÒØÓ Ò X h,x h 1,...,X 1 ÖØÓ Ñ Ø a 1,a 2,...,a h Ò Ý ØÐ Ø γ h = Γ h a h ÚÖغ Ú ¾º½¼µº ÆÝØ a i = φ i ÙÒ i p a i = 0 ÙÒ i > pº Æ Ò ØØα(p) = a p = φ p α(h) = a h = 0 ÙÒ h > pº Ë Ê Ôµ¹ÔÖÓ Ò Ø Ô Ù Ó ØØ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò Ú Ú ÐÐ h ÓÒ ÒÓÐÐ ÙÒ h > pº ÎÓ Ó ÓØØ ØØ ÓØÓ Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÖÖÓ Ò ÓÐ Ð Ñ Ò ÒÓÐÐ ÙÒ h > pº ÎÓ Ò Ò Ó Ó ØØ ØØ Ê Ôµ¹ÔÖÓ Ò Ø Ô Ù Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓØ ˆα(h) ÓÚ Ø Ð Ñ Ò Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ N(0,1/n)¹ ÙØÙÒ Ø ÙÒ h > p n ÓÒ Ú ÒØÓ Ò ÐÙ ÙÑÖ º ÌËÌÅ Ë Ø ÓÒ º½¼µº ÂÓ Ú Ú Ø p + 1 Ð Ø Ò ÓØÓ Ó ØØ ÙØÓ ÓÖ¹ Ö Ð Ø Ó ØØÙÙ Ö Ó Ò ±1.96/ n ÔÙÓÐ ÐÐ ÚÓ Ò ÐÙ Ø Ú Ø ÓØØ Ê Ôµ¹Ñ ÐÐ º

47 ÀÙÓÑ ÙØÙ º Ç ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÖÖ Ð ¹ Ø ÓÒ α(h) = Cor(X h+1 P(X h+1 X 2,X 3,..,X h ),X 1 P(X 1 X 2,...X h )), Ñ P(X s X 2,X 3,..,X h ) Ø Ö Ó ØØ Ú ÒÒÓÒ X s Ô Ö Ø Ð Ò Ö Ø Ò¹ ÒÙ Ø ÒØ Ú ÒØÓ Ò X 2,X 3,..,X h ÚÙÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ Ý ØÔ ØÚ Ñ¹ Ñ Ò ÒÒ ØÙÒ ÑÖ Ø ÐÑÒ Ò ÚÖغ ÌËÌÅ Ôº½ ½µº ÁÒØÙ Ø Ú Ø ÚÓ Ò Ø ÐÐ ØØ Ð ØØ Ó ØØ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÓÒ Ú ÒØÓ Ò X 1 X h+1 ÓÖÖ Ð Ø Ó Ø ÔÓ Ø ØØÙ ÚÐ ÓÐ Ú Ò Ú ÒØÓ Ò X 2,...,X h Ú ÙØÙ º º È Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÊÅ ¹ÔÖÓ Ò ¹ ÓÐÐ ÙÙ Ê Ð ÐÙ ÙÚ ØÓÖ ÐÐ x = (x 0,x 1,...,x n 1 ) ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ö ØØ ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ a = (a 0,a 1,...,a n 1 ) Ñ a k = 1 n 1 x t e itω k = 1 n 1 x t [cos(ω k t) isin(ω k t)] n n t=0 ÐÙÚÙØ ω k = 2πk/n ÓÚ Ø Ò º ÓÙÖ Ö Ò Ø ÙÙ º à ÖØÓ Ñ Ø a k ÓÚ Ø ÓÑÔÐ ÐÙ Ù º ÃÙÒ ØÙÒÒ Ø Ò ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ð ÙÔ Ö Ò Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ x ÚÓ Ò Ô Ð ÙØØ Ú ÐÐ x t = 1 n 1 a k e iω k = 1 n 1 a k [cos(ω k t)+isin(ω k t)]. n n k=0 k=0 ÂÓ Ò Ò n Ò Ô ØÙ Ò Ò ÐÙ Ù ÓÒÓ x ÚÓ Ò ØØ ω k ¹Ø ÙÙ Ø Ò Ò ¹ ÐØÓ Ò Ð Ò Ö ÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÓÙÖ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ò a k Ø ÖÚÓ a k Ö¹ ØÓÓ Ú Ø Ú Ò Ò ÐÐÓÒ ÑÔÐ ØÙ Ò Ð Ð Ø ÐÙÚÐ Òº ÓÙÖ Ö Ò Ø ÙÙ ω n k = 2π 2πk/n Ú Ø Ò Ø Ú Ø Ø ÙÙØØ ω k ÓÒ ÐÔÔÓ Ó ¹ Ó ØØ ØØ a n k = ā k Ñ Ú Ú ÝÐÔÙÓÐ ÐÐ Ø Ö Ó ØØ Ð ØØÓÐÙ Ù º Ë a n k = a k º ÓÙÖ Ö Ò ÖÖÓ Ò a 0 ÓÒ Ö Ð ÐÙ Ù ÓÒ ÐÙ Ù ÓÒÓÒ x ÖÚÓ ÖÖÓØØÙÒ Ú ÓÐÐ nº ÃÙÚ Ó º¾ ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ö ÙÒ ÔÓØºÝ Ö Ö Ð ÔÔÖÓ ¹ Ñ Ø Ó Ø ÝØØ Ò ÑÔÐ ØÙ ÐØ Ò ÙÙÖ ÑÔ Ò ÐØÓ º t=0

48 appr appr2 appr sunspot.year Time ÃÙÚ Ó º¾ ËÙÒ ÔÓع Ö Ò ÓÙÖ Ö¹ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó Ø ¹ Ø ÙÒ ÔÓØºÝ Öµ ¼ ¹ Ö Ô ¼ ¾ µ ¼ ÓÖ Ö ÅÓ µµ ¾ ¾ ¹ ÓÖ Ö ÅÓ µµ ¾ ¾ ÔÔÖ½ ¹Ê Ø ¼ ÒÚ Ìµ»¾ µ ¼ ÓÖ Ö ÅÓ µµ ¾ ¾ ¹ ÓÖ Ö ÅÓ µµ ¾ ¾ ÔÔÖ¾ ¹Ê Ø ¼ ÒÚ Ìµ»¾ µ ¼ ÓÖ Ö ÅÓ µµ ¾ ¾ ¹ ÓÖ Ö ÅÓ µµ ¾ ¾ ÔÔÖ ¹Ê Ø ¼ ÒÚ Ìµ»¾ µ ÔÐÓØ Ò ÙÒ ÔÓØºÝ Ö ÔÔÖ½ ÔÔÖ¾ ÔÔÖ µ Ñ Ò µ ÃÓ Ê¹ ÙÒ Ø Ó Ø ÙÓÖ Ø Ú ÓÐÐ 1/ n ÖØÓÑ Ø ØÝØÝÝ ÒØ ¹ ÑÙÙÒÒÓ Ø ÑÙÓ Ó Ø ØØ ÐÙÚÙÐÐ n = 289º à ÖØÓ Ñ Ò a 0 Ð Ò ÙÙÖ Ò Ø ÖÚÓ ÓÒ ÖØÓ Ñ ÐÐ a 26 Ó Ú Ø Ø ÙÙØØ ω 26 = 2π(26/289)º ÌØ Ø ÙÙØØ Ú Ø Ó 2π/ω 26 = Ó ÓÒ Ð ÒÒ Ù¹

49 Ö Ò ÓÒÔ Ð Ù Ò ØÙÒÒ ØØÙ Ó ½½º Ö Ó Ò ÐÝ Ó Ø ÝØ ØÒ ÝÐ Ø Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ó ÓÒ ÓÐÐ Ò Ò Ö Ð ÐÙÚÙ ÐÐ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÒ Ø Ó I n (λ) = 1 n 1 2 x t e itλ n t=0 ÃÙÒ λ = ω k Ñ ω k ÓÒ Ý ÓÙÖ Ö Ò Ø ÙÙ Ø Ò Ò I n (ω k ) = a k 2 º È Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÚÓ Ò Ð ÓÙÖ Ö Ò ÑÙÙÒÒÓ ÐÐ º Ð Ò Ô Ö Ó¹ Ó Ö ÑÑ Ô ÖÖ ØÒ ÚÐ ÐÐ [0,π] ÐÐ Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ò Ó ÓÒ 2π I n (λ) = I n ( λ)º È Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÐÑ Ö Ò x Ú Ö Ò Ò ÙØÙ¹ n 1 k=1 I(ω k)º à ÖÚÓÒ Ñ Ò Ö Ø ÙÙ ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò ÐÐ ˆγ(0) = 1 n Ò Ð ØÓØ ÙØØ Ý ØÐ Ò x 2 = 1I(0)º n Ð Ò Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ø Ó Ø Ø Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓÒ ÙÓØ Ñ ÐÐ ÓØØ ÙÑ ØÙÐ Ô Ö ÑÑ Ò Ò ÝÚ Òº Ì Ó ØÙ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÐÐ Ö Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ð ØÝ Ø ÓÖ ØØ Ø Ô ØÖ Ø Ý ÙÒ Ø ÓØ Ú ¹ ÓØÓ Ó Ó n º ÖÓ Û Ðв Ú º½¾¾µº Å Ø Ù ÑÔ Ø ÖÑ ¹ Ð Ù ÙÚ Ò ÖÚÓ Ò ÓØ Ø Ò Ø Ô Ò ÑÔ ÓÒ Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ò Ú Ö ¹ Ò Ø Ø ÑÔ ÙÚ Óº ÃÙ Ø Ò Ò ÙÓØ Ñ Ò Ô ØÙÙ Ò Ú ØØ Ñ Ò Ò Ð Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ò Ö º ÃÙÚ ÓÓÒ º ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ ÙÖ Ò ÓÒÔ Ð Ù Ò ¹ ØÓÒ Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÓØ ÓÒ Ø Ó Ø ØØÙ Ø Ö¹ Ñ Ò Ð Ù ÙÚ ÐÐ ÖÚÓ ÐÐ º ÀÙÓÑ ØØ Ê Ð Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ò ÚÐ ÐÐ ¼ ¼º ÚÐ Ò [0,π] Ø º Ç ÒÔÙÓÐ Ø Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ø ÓÒ Ô ÖÖ ØØÝ Ýع Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÙÙ Ò Ø º È Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÓÒ Ù ÔÔÙ Ø ¹ ÙÙ ÐÐ ½»½½ Ó Ú Ø Ó ½½º Ô Ö Ñ ÖÓÛ ¾ ¾µµ ¹ Ô ØÖÙÑ ÙÒ ÔÓØºÝ Ö Ñ Ò µ Ö Õ ¹ ½» Ö Õ ÔÐÓØ ÜÐ Ô Ö Ó ÜÐ Ñ ¼ ¾¼µ Ñ Ò µ ¹ Ô ØÖÙÑ ÙÒ ÔÓØºÝ Ö Ô Ò µ Ñ Ò µ Ö Õ ¹ ½» Ö Õ ÔÐÓØ ÜÐ Ô Ö Ó ÜÐ Ñ ¼ ¾¼µ Ñ Ò µ

50 spectrum spectrum frequency bandwidth = period bandwidth = spectrum spectrum frequency bandwidth = period bandwidth = ÃÙÚ Ó º ËÙÒ ÔÓع Ö Ò Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÙÚ Ó Ø ÃÓ Ö Ò ÓÐÐ ÙÙ Ò ÝÝ ÑÝ ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø Ó ÙÒ Ø Ó Ø Ð Ò ÝÐÐØØÚ ØØ Ô Ö Ó Ó Ö ÑÑ ÚÓ Ò Ð ÓØÓ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ ¹ Ø Ó Ø I n (ω k ) = h <nˆγ(h)e ihω k º È Ö Ó Ó Ö ÑÑ Ò Ø ÓÖ ØØ Ò Ò Ú Ø Ò ÓÒ Ô ØÖ Ø Ý ÙÒ Ø Ó Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ø Ø ÓÒ Ö ÐÐ ÒÓÐÐ ÐÐ ÔÖÓ ÐÐ {X t } Ú ÐÐ f(λ) = 1 2π h= e ihλ γ(h), ÙÒ ÙØÓ ÓÚ Ö Ò ÙÒ Ø Ó γ(h) ØÓØ ÙØØ ÓÒ h= γ(h) < º ÎÓ Ò Ó Ó ØØ ÖÓ Û Ðв Ú º½ ¼µ ØØ ÊÅ Ô Õµ¹ÔÖÓ Ò {X t } Ó ØÓØ ÙØØ Ö Ò Ý ØÐ Ò φ(b)x t = θ(b)z t Ô ØÖ Ø Ý ÙÒ ¹ Ø Ó ÓÒ f(λ) = σ2 θ(e iλ ) 2 2π φ(e iλ ) 2.