ε y = v ε z = w γ yz = v z + w γ xz = u e = ε x + ε y + ε z. y ε y x 2 = 2 γ xy x y, y 2 = 2 γ yz z ε z y z, z x x ε x z 2 = 2 γ zx

Transkriptio

1 ÄÙ Ù ½ Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ ½º½ Ã ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ø ε = u, ε = v, ε z = w z, ½º½µ γ = u + v, γ z = v z + w, γ z = u z + w, ½º¾µ Ù Ø ÐÐ Ò Ò Ø Ð ÚÙÙ Ò ÑÙÙØÓ e = ε + ε + ε z. ½º µ Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ÓØ 2 ε ε 2 = 2 γ, ½º µ 2 ε z ε z 2 = 2 γ z z, ½º µ Ø 2 ε z ε z 2 = 2 γ z z ( γ z γ z + γ ) z = 2 2 ε z, ( γz γ z + γ ) = 2 2 ε z z, ( γz z γ z + γ ) z = 2 2 ε z. ½ ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ

2 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ Ð Ø ØØÝ ÀÓÓ Ò Ð ε = E [σ ν(σ + σ z )], γ = G τ, ε = E [σ ν(σ + σ z )], γ z = G τ z, ½º½¼µ ε z = E [σ z ν(σ + σ )], γ z = G τ z. Ä Ñ Ò Ú ÓØ Ð Ù ÙÑÓ ÙÙÐ Gµ µ = G = E 2( + ν), λ = νe ( + ν)( 2ν). ½º½½µ Ì Ð ÚÙÙ ÒÑÙÙØÓ ÖÖÓ Ò K = ( λ + 2G 3 ). ½º½¾µ Ð Ø ØÝ ÀÓÓ Ò Ð σ = λe + 2Gε, σ = λe + 2Gε, σ z = λe + 2Gε z, τ = Gγ, τ z = Gγ z, τ z = Gγ z. ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ Ì Ó ÒÒ ØÝ Ø Ð σ = σ = E ν 2(ε + νε ), ½º½ µ E ν 2(ε + νε ), ½º½ µ τ = Gγ. ½º½ µ Ì Ô ÒÓ ÓØ Ì Ô ÒÓ ÓØ Ö ÙÒ ÐÐ σ + τ + τ z z + f =, τ + σ + τ z z + f =, τ z + τ z + σ z z + f z =. σ n + τ n + τ z n z = t, ½º¾¼µ ½º¾½µ ½º¾¾µ τ n + σ n + τ z n z = t, ½º¾ µ τ z n + τ z n + σ z n z = t z.

3 ½º½º Ã ÑÑÓØ ÓÖ Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ô Ö Ø ( σ + τ + τ ) z z + f δudv + Ù Ò Ð Ù V V V ( τ + σ + τ ) z z + f δv dv + ( τz + τ z + σ ) z z + f z δw dv + S t [( t + t )δu + ( t + t )δv + ( t z + t z )δw] ds =. Î ÖØÙ Ð Ò ØÝ Ò Ý ØÐ V ( f + g + h ) dv = z S (fn + gn + hn z ) ds. (σ δε + σ δε + σ z δε z + τ δγ + τ z δγ z + τ z δγ z )dv V (f δu + f δv + f z δw)dv ( t δu + t δv + t z δw)ds =. V S t ½º¾ µ ½º¾ µ ½º¾ µ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÒÒ ØÝ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ U = Ũ = 4G V [σ 2 + σ2 + σ2 z ν + ν (σ + σ + σ z ) 2 + 2(τ 2 + τ2 z + τ2 z )]dv. ½º¾ µ ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Π = U + V. ½º¾ µ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö U = G V [ε 2 + ε2 + ε2 z + νe2 2ν + 2 (γ2 + γ2 z + γ2 z )]dv. ½º¾ µ ÍÐ Ó Ø Ò ÙÓÖÑ Ò ÔÓØ ÒØ Ð V = V (f u + f v + f z w)dv S t ( t u + t v + t z w)ds. ½º ¼µ ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ò Ö Ṽ = Π = Ũ + Ṽ, S u (ūt + vt + wt z )ds, ½º ½µ ½º ¾µ

4 ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ t = n σ + n τ + n z τ z, t = n τ + n σ + n z τ z, ½º µ t z = n τ z + n τ z + n z σ z. ½º¾ ½º¾º½ Î Ô ÚÒØ ÓÙÐÓÑ Ò Ø ÓÖ ÎÒØ ÙÐÑ ϕ ÚÒØÝÑ θ ÑÔÝÖÔÓ Ð Ù ÐÐ M z = θ = dϕ dz. γ(r) = dϕ dz r = θr, τr d = 2π R τ = Gγ = Gθr, τr 2 dr, ½º µ ½º µ ½º µ ½º µ ÑÔÝÖÔÙØ ÐÐ I p = M z = Gθ2π R r 2 d = 2π r 3 dr = GθI p, R I p = π 2 (b4 a 4 ), ½º µ r 3 dr = π R4 2. ½º µ ½º ¼µ b ÙÐ Ó a º Ì Ô ÒÓÝ ØÐ ÂÓ GI p ÓÒ Ú Ó Ò Ò τ ma = GθR = MR I p. dm dz + m =, d dz (GI dϕ p dz ) + m =. d 2 ϕ GI p + m(z) =. dz2 ½º ½µ ½º ¾µ ½º µ ½º Î Ô Ø ÖØÝÚ Ô M z = Mº ¾º Ã ÒÒ Ø ØÝ Ô ϕ = º

5 ½º¾º Î Ô ÚÒØ ½º¾º¾ Ð Ñ ÒØØ Ñ Ò Ø ÐÑ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö ÍÐ Ó Ø Ò ÚÓ Ñ Ò ÔÓØ ÒØ Ð U = 2 GI v(ϕ ) 2 dz. L V = m(z)ϕ(z)dz i M i ϕ(z i ). Ã ÖØÝÑÒ ÒØ ÖÔÓÐ Ø Ó ϕ(s) =( s)ϕ + sϕ 2 =N (s)ϕ + N 2 (s)ϕ 2 Ð [ ϕ(s) = N (s) N 2 (s) ] { ϕ ϕ 2 }, U e = L 2 GI vθ 2 dz, θ = ϕ = dϕ dz = dϕ ds ds dz = dϕ ds L, ½º ¼µ [ ϕ = N ϕ + N 2ϕ 2 = ] { } ϕ. ½º ½µ L L ϕ 2 ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ Ò Ö U e = 2 LGI v [ ϕ ] [ GI v ϕ L 2 GIv L GIv L GI v L ] { ϕ ϕ 2 } = 2 ϕet K e ϕ e. ½º ¾µ Ð Ñ ÒØ Ò e Ó ÙÙ V e = L e m(z)ϕ(z)dz M i ϕ(z i ), i M i Ô Ø ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ô Ø z i Ö ³ Ò δ¹ ÙÒ Ø Ó m i = M i δ(z z i ), ½º µ δ(z) = ÙÒ z δ(z)dz =. Ð Ñ ÒØ Ò e [ V e = ϕ ] Le ϕ 2 z L z L ( m(z) + m i )dz

6 ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ s τ z d ds α β d n β α n n τ z ÃÙÚ ½º½ ÈÓ Ð Ù Ò Ö ÙÒ ÝÖº Ð f e = Ë ÙÚ Ò ÔÓØ ÒØ Ð Ò Ö [ V e = { f f 2 } = ϕ ϕ 2 ] { f L e Π = z L z L f 2 E Π e. e= } ϕ et f e, ( m(z) + m i )dz ½º¾º Ë ÒØ Î Ò ÒØ³ Ò ÚÒØ Ë ÖØÝÑØ u = (θz), v = (θz), w = θψ(,). ½º ¼µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø ( w τ z = G + u ) ( ) ψ = Gθ z, ( w τ z = G + v ) ( ) ψ = Gθ z +. ½º ½µ Ì Ô ÒÓ Ó Ø ½º¾¾µ Ê ÙÒ ØÓ 2 ψ ψ 2 =. τ z n + τ z n =, ( ) ( ) ψ ψ cos α + + cos β =, n = cos α = d dn = d ds, n = cos β = d dn = d ds, ½º ¾µ ½º µ

7 ½º¾º Î Ô ÚÒØ Ä Ù ÚÓ Ñ Ø Q Q ψ d dn + ψ d dn d ds + ( d ds ) =, Q = dψ dn d 2 ds (2 + 2 ) =. τ z d, Q = τ z d, ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÚÒØ Ý ÝÝ I v = I p + M v = ( τ z + τ z )d, ( ψ + ψ ) d, I p = ( )d. ½º ¼µ ½º¾º ÎÓ Ñ Ñ Ò Ø ÐÑ ÂÒÒ ØÝ Ù Ø Ó φ = φ(,) Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ Ê ÙÒ ØÓ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÓÒØ ÐÓÔÓ Ð Ù ÐÐ dφ ds τ z = φ, τ z = φ. 2 φ φ 2 = 2Gθ. ½º ½µ ½º ¾µ =, φ = vakioreunalla. ½º µ M v = 2 M v = 2φd + φ(,)d. n 2φ i i. i= ½º¾º Ö Ò Ñ Ò Ø ÐÑ Ö Ò ÔÔÖÓ Ñ Ø Ó ÑÓÐ ÝÝÐ ÑÙÓ Ó h = ÓÒ Ð ÚÐ φ 2 (φ m+ φ m ), 2h φ ¹½ ¼ ½, 2 φ 2 h 2(φ m+ 2φ m + φ m ),

8 ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ k = ÑÓÐ ÝÝÐ ÑÙÓ Ó 2 φ 2 k 2(φ n+ 2φ n + φ n ), h 2 2 φ 2 2, ½º ¼µ k 2 2 φ 2 2. ½º ½µ Ä ÔÐ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ Ò Ö Ò ÑÓÐ ÝÝÐ k = = h = h 2 φ 4. ½º ¾µ ½º¾º ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö Ø ÈÓØ ÒØ Ð Ò Ö Π = 2 GLθ2 [ ( ψ ) 2 ( ) ] ψ d M v Lθ. ½º µ ÃÝÖ ØÝÑ ÙÒ Ø ÓÒ ψ(,) Ø ÐÑ ψ = n a i ψ i (,). i= Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ n B ij a j + C i =, i =,2,...,n, j= B ij = C i = ( ψi ψ j + ψ i ( ψ ) i + ψ i d. ) ψ j d, ÎÒØ Ý ÝÝ I v = ) ( ψ ψ d n I v = I p + a i C i. i=

9 ½º¾º Î Ô ÚÒØ Ì ÙÐÙ Ó ½º½ ËÙÓÖ ÔÓ Ð Ù º b/t k ½ ¼º½ ¼ ½º¾º ÃÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ñ Ò Ñ Ò Ô Ö ØØ ÅÓ Ó ØÙ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ð Ù Π c = L 2G ÂÒÒ ØÝ ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÐÑ [ ( φ ) 2 + ( ) ] φ 2 d + λ Mv 2 φd. φ (,) = λ L n b i φ i (,), i= ½º ¼µ φ i = Ö ÙÒ ÐÐ º Ó Ø ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ δ Π c (b i ) = ½º ½µ n D ij b j 2GE i =, i =,...,n, ½º ¾µ j= D ij = M v = ( φi φ j + φ i E i = φ i d. ) φ j d, ( ) n 2λ b i E i = GIv θ. L i= ½º µ ËÙ λ L ÓÒ ÚÒØÝÑÒ Ð ÖÚÓ θ ÚÒØ Ý ÝÝ ÓÒ I v = M v Gθ = 2 G n b i E i. i=

10 ½¼ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ 2c c c c φ : I vc I va I vb 2 ÃÙÚ ½º¾ Ì¹ÔÓ Ð Ù º ½º¾º ÇÖØÓ ÓÒ Ð Ø ÒÒ ØÝ ÒØØ ma I v = I va + I vb + I vc. c/4 Ò Ð ÚÝ ÐÐ ÚÝ Ý ÐÐ φ¹ ÙÒ Ø ÓÒ ÐØ ÚÙÙ : τ 2 z + τ2 z = I va = (2V a) 2 a, a Ú Ö Ó Ø ØÙÒ Ó Ò Ô ÒØ ¹ Ð V a ÔÓ Ð Ù ÐØ Ò ÑÙÖØÓÚ Ú ÒÑÙÓØÓ Ò φ¹ ÙÑÔ Ö Ò Ø Ð ÚÙÙ Ø ÒØ Ò Ó ÙÙ Ø I vc º Î Ö Ó Ø ØÙÐÐ ÐÙ ÐÐ ÙÓÖ Ø Ò ÒÒ ØÝ ÒØØ Ý¹ ÝÝ I vb º ËÙÓÖ ÔÓ Ð Ù ÐÐ I v = kbt 3 t ÐÝ Ý ÑÑÒ ÚÙÒ Ñ ØØ º È Ö Ñ ØÖ Ò k ÖÚÓ ÓÒ Ø ÙÐÙ Ó ½º½º ËÙÙÖ Ò Ð Ù ÒÒ ØÝ τ ma = M a + M b = M ( v Iva + I ) vb, ½º½¼¼µ W va W vb I v W va W vb M a = I va I v M v, M b = I vb I v M v, ½º½¼½µ ÈÓ Ð Ù Ò ÚÒØ Ú ØÙ W va = M a τ a = 2V a. ½º½¼¾µ W v M v τ ma = t b ÓÒ Ú Ö Ó Ø ØÙÒ ÚÝ Ý Ò ÙÙÖ Ò Ð Ú Ý º I v I va W va + I vb W vb = I vb W vb = k k t b, I v 2V a + k, t b a k ½º½¼ µ ½º½¼ µ

11 ½º º ÃÓØ ÐÓÔÓ Ð Ù Ò Ú Ô ÚÒØ ½½ ½º ÃÓØ ÐÓÔÓ Ð Ù Ò Ú Ô ÚÒØ Ä Ù ÒÒ ØÝ τ zs ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÅÓÒ ÓÒØ ÐÓ Ò Ò ÔÓ Ð Ù q i i τ zs = 2Gθ e + M v = ds t m k= k i 42 ds t q k s ik + 3 t ds t. t 3 ds Gθ. ½º½¼ µ ½º½¼ µ ds t = 2 igθ, i =,2,...,n. ½º½¼ µ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ M v = 2 φd = 2 i q i i. ½º½¼ µ ½º ÚÓ Ò ÔÓ Ð Ù ÆÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ [ dw (z) σ z (s,z) = E dz Ë ØÓÖ Ð Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ω d2 u(z) dz 2 ω (s) = (s) d2 v(z) dz 2 P(s) ] (s) d2 ϕ(z) dz 2 ω (s). ½º½¼ µ P h (τ)dτ, ½º½½¼µ dω = r ds = i j k d d ½º½½½µ =( )d ( )d, dω = ( )d ( )d, ω = ω B ( B ) + ( B ) + C. ½º½½¾µ ½º½½ µ ÂÒÒ ØÝ Ö ÙÐØ ÒØ Ø N(z) = σ z (s,z)d, ½º½½ µ

12 ½¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ M (z) = (s)σ z (s,z)d, M (z) = d = t(s)dsº ÈÓ Ô ÒØ ÙÙÖ Ø (s)σ z (s,z)d, B(z) = ω(s)σ z (s,z)d, I = 2 d, I = 2 d, I = d, I ω = ω d, I ω = ω d, I ω = ω 2 d, S = d, S = È ÓÓÖ Ò Ø ØÓ I = d =, S = d, S ω = ω d. d =, S = d =. ½º½½ µ ½º½½ µ ½º½½ µ ½º½½ µ ½º½½ µ ½º½¾¼µ ½º½¾½µ ÎÒØ S ω S ω = ω (s)d =, I ω I ω = (s)ω (s)d =, ½º½¾¾µ I ω I ω = (s)ω (s)d =. È ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÆÓÖÑ Ð ÒÒ ØÝ N(z) = E dw (z), ½º½¾ µ dz M (z) = EI d 2 v(z) dz 2, ½º½¾ µ M (z) = EI d 2 u(z) dz 2, ½º½¾ µ B(z) = EI ω d 2 ϕ(z) dz 2. ½º½¾ µ σ z (s,z) = N(z) + M (z) I (s) M (z) (s) + B(z) ω (s). ½º½¾ µ I I ω

13 ½º º ÚÓ Ò ÔÓ Ð Ù ½ ¾ ½ s S ω (s) ÂÓ Ú Ò M ω Ò Ò τ ω > ÓÒ s¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÃÙÚ ½º S ω º ÎÒØ [ I I I I ] { B B } = { ωb d ω B d } ½º½¾ µ Ä Ù ÒÒ ØÝ tτ ω = E(s) d2 w dz 2 + ES (s) d3 u dz 3 + ES (s) d3 v dz 3 + ES ω(s) d3 ϕ dz 3, s (s) = t(s)ds, s s S (s) = (s)t(s)ds, S (s) = (s)t(s)ds, s s s S ω (s) = ω (s)t(s)ds. s tτ ω = N (s) + M S (s) I s M S (s) I ½º½¾ µ ½º½ ¼µ B S ω (s) I ω, ½º½ ½µ Ã Ò Ð Ò Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ØÙÐÓÒ ÒØ Ö Ð f(s)g(s)t ds = bt 6 [f (2g + g 2 ) + f 2 (g + 2g 2 )]. ½º½ ¾µ È Ý ÝÝ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ d 3 u Q = τ ω td = EI dz 3 = dm dz, Q = Ä Ù ÚÙÓ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ M ω = τ ω t == N (s) τ ω t dω = EI ω d 3 ϕ dz 3 = db dz. S (s) I τ ω td = EI d 3 v dz 3 = dm dz. ½º½ µ ½º½ µ Q S (s) Q S ω(s)m ω. ½º½ µ I I ω M z = M v + M ω. ½º½ µ

14 ½ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ M M + M z M M + M z Q Q ÃÙÚ ½º Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ Ò M M Ñ Ö ÒÒ Øº ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ê Ø Ù d 4 ϕ EI ω dz 4 + GI d 2 ϕ v dz 2 + m =, d 4 ϕ dz 4 k2d2 ϕ dz 2 = f(z), k2 = GI v EI ω. ϕ(z) = C + C 2 z + C 3 sinhkz + C 4 cosh kz + ϕ. ½º½ µ ½º½ µ ½º½ µ Ê ÙÐØ ÒØ Ø M v = GI v dϕ dz = GI v ( C 2 + C 3 k cosh kz + C 4 k sinhkz + dϕ ), ½º½ ¼µ dz d 2 ( ϕ B = EI ω dz 2 = GI v C 3 sinhkz + C 4 cosh kz + d 2 ) ϕ k 2 dz 2, ½º½ ½µ M ω = db dz = GI v ( C 3 k cosh kz + C 4 k sinhkz + k 2 d 3 ϕ dz 3 ). ½º½ ¾µ ÃÓ ÓÒ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ( M z = M v + M ω = GI v C 2 + dϕ dz d 3 ) ϕ k 2 dz 3. ½º½ µ ÎÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ ÙÚ ½º m(z) = q ( ) q ( ). Ö Ø Ý ØÝ Ö Ø Ù ½º Ì Ò ÙÓÖÑ m(z) = m ϕ = m 2 GI v z 2. ¾º Ä Ò Ö Ø ÙØÙÒÙØ ÙÓÖÑ m(z) = m z L ϕ = m z 3. 6L GI v

15 ½º º ÚÓ Ò ÔÓ Ð Ù ½ q q m ÃÙÚ ½º Ë ÙÚ Ò ÙØÙÒ Ø ÙÓÖÑ Ø q q ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ m º È Ø Ñ Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ M Ó z = a ϕ =, kun z < a, ϕ = M kgi v [sinh k(z a) k(z a)], kun z > a. º È Ø Ñ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ Ó z = a ϕ =, kun z < a, ϕ = B GI v [cosh k(z a) ], kun z > a. ½º½ ¼µ ÎÒÒ Ò Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ö Ø ÐÙ ½º ÃÙÒ kl >,...,2 Ö Ø Ø Ò GI v d 2 ϕ dz 2 = m. ½º½ ½µ ¾º ÃÙÒ kl <.5 Ö Ø Ø Ò EI ω d 4 ϕ dz 4 = m. ½º½ ¾µ º ÃÙÒ.5 < kl < (2) Ö Ø Ø Ò Ý ØÐ d 4 ϕ dz 4 ϕ k2d2 dz 2 = m. EI ω ½º½ µ

16 ½ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ ½º º½ Â Ø ÙÚ ÚÒØ ÙÚ ÎÒØÝÑ Ò ÑÓÑ ÒØØ Ò ÚÐ Ø Ý ØÐ Ø θ k =ak B + a k 2 B 2 + α k, θ k 2 =ak 2 B + a k 22 B 2 + α k 2, k ÓÒ Ó ÙÚ Ò ÒÙÑ ÖÓ a = GI v L [ ] kl tanh kl, a 2 = [ ] kl GI v L sinhkl, a 2 = [ ] kl GI v L sinhkl, a 22 = [ GI v L ÂÓ Ô Ø z = a ÓÒ Ô Ø Ñ Ò Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ M Ò Ò α = M GI v [ b L sinh kb sinh kl kl tanh kl ], α 2 = M GI v [ a L sinhka sinh kl Ì Ø ÙØÙÒ Ò ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ ÙÓÖÑ Ò Ø Ô Ù α = m [ L GI v 2 kl tanh kl ], α 2 = m [ L 2 GI v 2 kl tanh kl 2 Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ ØÙ ÐÐ k Ó ÚÐ Ò k k Ð ØÓ ]. ]. ]. θ (k ) k = θ (k) k. ½º º¾ Ð Ø ÙÓÖÑ Ø Ê ÙÐØ ÒØ Ø Ô Ô Ø ÙÚÙÙ Ø Ô Ò ÚÐ ÐÐ N = i P i, N = i P i i P i, i P i M = i M = i M = i i P i, M = i i P i, ½º½ ¼µ B = i ω i P i, B = i ω i P i. ÈÓ Ð Ù Ò Ø Ó Ú ÙØØ Ú Ò ÑÓÑ ÒØ Ò M (s) ÙØØ Ñ ÑÓÑ ÒØ Ò ÑÙÙØÓ B = r(s) M (s). ½º½ ½µ ÍÐÓ Ò Ô Ú ÙØØ Ú Ò ÚÓ Ñ Ò P ÙÚ ½º µ ÙØØ Ñ Ô Ø ÙÚÙÙ B = 2PΩ MCD, ½º½ ¾µ Ω MCD ÓÒ ÐÙ Ò MCD Ô ÒØ ¹ Ð º

17 ½º º ÚÓ Ò ÔÓ Ð Ù ½ M = P a z D a r cosα α r C α P M = Pa M (ω = ) ÃÙÚ ½º Ë ÙÚ Ò Ð Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ô Ø ÚÓ Ñ ÙÐÓ Ò Ô º P ϕ t ϕ P(, ) C C ÃÙÚ ½º Ì Ó Ò Ý Ò Ð ÚÝÒ ØÙ Ñ ØÓ ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓÚ Ø Ò Ú Ð ÐÐ Øº ½º º Ç ØØÙ ÚÒØ Ã Ø ÐÐ Ò Ò Ð ØÓ w = dw dz =, N = ES ω d 2 ϕ dz 2, B = EI ω d 2 ϕ dz 2, σ z = E d2 ϕ dz 2 ω = B I ω ω. ½º½ µ Ã Ø ØÓÒ Ð ØÓ N =,

18 ½ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ D C ȳ B α ÃÙÚ ½º È Ò Ð ØÙ ØØÙ ÙÚ º σ z = Eω b d 2 ϕ dz 2, ω b (s) = ω (s) S ω, I ωb = ωb 2 t ds, B = ω b σ z t ds. ÎÒÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ ÑÓÐ ÑÑ Ø Ô Ù d 2 ϕ EI ω dz 2 GI d 2 ϕ v dz 2 = m. ½º½ ¼µ ½º½ ½µ ½º½ ¾µ ½º º Ò Ú Ô Ù Ø Ò Ó ØØÙ ÚÒØ Ì ÚÙØÙ Ò ÚÒÒ Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ Ø d 4 v EI dz 4 + d 4 ϕ EI ω dz 4 = p ȳ, ½º½ µ ÅÙÙÒÒÓ Ú [ d 4 v EI ω dz 4 + d 4 ϕ EI ω dz 4 GI d 2 ϕ v dz 2 = m. ȳ ] [ ][ cos α sin α = sinα cos α ]. ȳ D ȳ B = sin α( D B ) + cos α( D B ) =. ȳ ω D d =. I ω = ω D = ω B ( D B ) + ( D B ) + C.

19 ½º º ÃÓØ ÐÓ ÙÚ ½ v s = hϕ q 2 q 3 n q h r s z 2 3 q i ÃÙÚ ½º ÃÓØ ÐÓÔÓ Ð Ù º ω B dsin α + ω B dcos α + (I sin α I cos α)( D B ) + ( I sin α + I cos α)( D B ) =. ØÐ Ø D B = ωb dcos 2 α ω B dsin αcos α I cos 2 α + I sin 2 α 2I sinαcos α, ½º½ ¼µ D B = ωb dsin αcos α ω B dsin 2 α I cos 2 α + I sin 2 α 2I sin α cos α. ½º½ ½µ ÂÓ (,) ÓÒ Ô ÓÓÖ Ò Ø ØÓ Ò Ò I = º ½º ÃÓØ ÐÓ ÙÚ Ä Ù ÚÙÓ q = q a + q + q v. ½º½ ¾µ Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ G ÓÒ Ú Óµ ds q t = q ads t, ½º½ µ Ð Ù ÚÙÓ q a Ô Ý ÝÝ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ q a (s) = dn dz (s) Q I S (s) Q I S (s) M ω I ω S ω (s), i ds q i t m k = k i s ik ds q k = t i q a t ds, i =,...,n.

20 ¾¼ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ ÃÓØ ÐÓÒ ÔÐ Ò Ø Ó s w s ds = θ s s h(s)ds q(s) ds = θˆω(s), t i ds q i t m k = k i q(s) = qv Gθ, ds q k = 2Ω i, i =,...,n. t s ik ÎÒØ Ò Ñ ˆω(s)(s)t(s) ds =, ˆω(s)(s)t(s) ds =, ˆω(s)t(s)ds =. Ò ÖØ ÓØ ÐÓ ÙÚ Ò Ø ÓÖ d 4 ϕ EIˆω dz 4 GI d 2 ϕ v dz 2 = m(z), Iˆω = ˆω 2 (s)t(s)ds. ½º½ ¼µ ½º½ ½µ Ø Ò ÓÔ ÚÙÙ ØÓ ÂÓ I = = B + ds q t + q a = M ω I ω S ω, q ads t =, ˆωt ds. S ω ½º½ ¾µ ½º½ µ ˆωB d ˆωB d, = B. I I ˆω = ˆω B ( B ) + ( B ) + ω. Ë ØÓÖ Ð Ò Ò Ø ØØ Ò Ò ÑÓÑ ÒØØ ÙÒ M ω /I ω = º Ä Ù ÚÙÓ Sˆω = S ω q = (q a + q), q = q v + q a + q. ½º Ç Ù Ò Ð Ø Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø Ë ÖØÝÑØ ÅÙÓ ÓÒÑÙÙØÓ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø u = zw, z w, ε = u = zw,, v = zw, z w.

21 ½º º Ç Ù Ò Ð Ø Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ¾½ Q M M M σ M M σ τ M τ M M = zσ dz τ z Q M = M = zτ dz zσ dz z Q M τ z M = zτ dz Q = τ z dz ÃÙÚ ½º½¼ ÂÒÒ ØÝ Ö ÙÐØ ÒØ Øº ÃÝÖ ØÝÑØ ÚÒØÝÑ ε = v = zw,, γ = u + v = 2zw,. ½º¾¼¼µ ½º¾¼½µ κ = w,, κ = w,, κ = w,. ½º¾¼¾µ Ê ÙÐØ ÒØ Ø M = h/2 zσ dz, M = h/2 zσ dz ja M = h/2 zτ dz, ½º¾¼ µ h/2 h/2 h/2 Q = h/2 τ z dz ja Q = h/2 τ z dz. ½º¾¼ µ Ì Ô ÒÓÝ ØÐ Ø h/2 h/2 Q + Q + p =, Q = M + M, Q = M + M, ½º¾¼ µ ½º¾¼ µ ½º¾¼ µ 2 M 2 Á ÓØÖÓÓÔÔ Ò ÑÑÓ Ò Ò Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø M + 2 M 2 + p =. ½º¾¼ µ σ = σ = E ν 2(ε + νε ), ½º¾¼ µ E ν 2(ε + νε ), ½º¾½¼µ

22 ¾¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ Ä Ø Ò ÓÒ Ø ØÙØ Ú Ø Ý ØÐ Ø τ = Gγ, G = ½º¾½½µ E 2( + ν). ½º¾½¾µ M = D(κ + νκ ), M = D(νκ + κ ), M = D( ν)κ, M = D(w, + νw, ), M = D(νw, + w, ), M = D( ν)w,, ½º¾½ µ ½º¾½ µ ½º¾½ µ ½º¾½ µ ½º¾½ µ ½º¾½ µ Ø ÚÙØÙ Ý ÝÝ ÂÒÒ ØÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø D = Eh 3 2( ν 2 ). ½º¾½ µ σ = z 2 h 3M, σ = z 2 h 3M, τ = z 2 h 3M. ½º¾¾¼µ Ä Ù ÚÓ Ñ Ø Ä ÔÐ Ò ÓÔ Ö ØØÓÖ ÅÓÑ ÒØØ ÙÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ó Ò Q = D ( 2 ) w w 2 Q = D ( 2 ) w w 2 2 ( ) = 2 ( ) ( ) 2. M = M + M + ν Q = M, Q = M. 4 w = p D = D ( 2 w), = D ( 2 w), ½º¾¾½µ ½º¾¾¾µ ½º¾¾ µ = D 2 w, ½º¾¾ µ ½º¾¾ µ ½º¾¾ µ 2 M = p, 2 w = M D. ½º¾¾ µ Ä Ù ÒÒ ØÝ Ø Ò Ñ Ñ ÖÚÓØ Ä Ù ÚÓ Ñ Q n Ö ÙÒ ÐÐ n = vakio (τ z ) ma = 3 Q 2 h, (τ z) ma = 3 Q 2 h. ½º¾¾ µ

23 ½º º Ç Ù Ò Ð Ø Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ¾ ds ds n s M ns M ns ds M ns M ns + M ns s ds (M ns + M ns M ns + M s ds)ds ns s ds ÃÙÚ ½º½½ ÃÓÖÚ Ð Ù ÚÓ Ñ Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÓÒ nº ÓÖÚ Ð Ù ÚÓ Ñ Ö ÙÒ ÐÐ n = vakio Q n = M n n + M ns s, ½º¾¾ µ Ê ÙÒ ÐÐ Ú Ó V n = Q n + M ns s = M n n + 2 M ns s. ½º¾ ¼µ V = M + 2 M { 3 } w = D 3 + (2 ν) 3 w 2,, ½º¾ ½µ Ö ÙÒ ÐÐ ÓÒ Ú Ó V = M + 2 M { 3 } w = D 3 + (2 ν) 3 w 2. ÃÙÚ Ò ½º½¾ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ò ÒÙÖ Ò ÚÓ Ñ. ½º¾ ¾µ R = 2M = 2D( ν) 2 w. ½º¾ µ Ä Ø Ò Ø Ô ÒÓÝ ØÐ 4 w w w 4 = p(,) D. ½º¾ µ Ê ÙÒ ÓØ ½º ÂÝ Ø ÒÒ Ø ØÝÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ = aµ w(a,) =, w, (a,) =. ½º¾ µ

24 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ d d d d d M d M (M + M d)d M M ÃÙÚ ½º½¾ µ ÃÓÖÚ Ð Ù ÚÓ Ñ Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ò Ö ÙÒ ÐÐ Ú Ó µ ÒÙÖ ¹ ÚÓ Ñ º M = ÃÙÚ ½º½ µ ÂÝ Ø ØÙ ØØÙ Ö ÙÒ µ Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ö ÙÒ º ¾º Î Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ = aµ w(a,) =, M (a,) = D[w, (a,) + νw, (a,)] =. ½º¾ µ ½º¾ µ ÂÓ Ú Ô Ø ØÙ ØØÙ Ö ÙÒ = aµ ÔÝ ÝÝ ÙÓÖ Ò w, (a,) =. ½º¾ µ º Î Ô ÐÐ Ö ÙÒ ÐÐ M (a,) = 2 w 2 + ν 2 w =, kun = a, 2 ½º¾ µ V (a,) = 3 w 3 + (2 ν) 3 w =, kun = a. 2 ½º¾ ¼µ

25 ½º º Ç Ù Ò Ð Ø Ò Ô ÖÙ Ý ØÐ Ø ¾ c b ÃÙÚ ½º½ µ Î Ô Ö ÙÒ µ Ð Ù ÙØÙ µ ÑÑÓ Ò Ò ÒÒ ØÝ º M v d V V M M M v + M v M V V w, ϕ() ÃÙÚ ½º½ Ã ÒÒ ØÝ Ö ÙÒ Ô Ð Òº º Ä Ù ÙØÙ ÐÐ w(a, ) V (a,) =. =, ½º¾ ½µ ½º¾ ¾µ º ÂÓÙ Ø Ú ØÙ ÒØ ØÖ Ò Ð Ø Ó¹ ÖÖ ÓÙ ÐÐ M = c w, kun = a, ½º¾ µ V = bw, kun = a. º Ê ÙÒ Ô Ð ÙÚ ½º½ EI d4 v d 4 = q,

26 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ ÃÙÚ ½º½ µ Î Ô Ø ØÙ ØØÙ µ ÒÒ Ø ØØÝ µ Ú Ô Ð Ø Ò ÒÙÖ º M M M M ϕ s M n M nt ϕ n t ÃÙÚ ½º½ Ì ÚÙØÙ ÑÓÑ ÒØØ ÚÒØ ÑÓÑ ÒØØ Ð Ù ϕº GI v d 2 ϕ d 2 + m =, q() = V (a,) ja m() = M (a,), Ö ÙÒ ÐÐ = a w(a,) = v(), w(a, ) = ϕ(). º ÃÙÚ Ò ½º½ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ð Ø Ò ÒÙÖ R = 2M = 2D( ν) 2 w ½º¾ ¼µ Ð Ô Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò z ÙÙÒØ Ò ÙÚ ½º½ º ÅÓÑ ÒØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú Ø M n M t M nt = cos 2 ϕ sin 2 ϕ 2sin ϕcos ϕ sin 2 ϕ cos 2 ϕ 2sin ϕcos ϕ sin ϕcos ϕ sin ϕcos ϕ cos 2 ϕ sin 2 ϕ M M M, ½º¾ ½µ

27 ½º º Æ Ú Ö Ò Ö Ø Ù ¾ M n + M t = M + M. ½º¾ ¾µ ÈÑÓÑ ÒØ Ø È ÙÙÒÒ Ø tan 2ϕ = M,2 = M + M 2 2M M M, ± 2 (M M ) 2 + 4M 2. ½º¾ µ tan ϕ = M M M = M M M. ½º Æ Ú Ö Ò Ö Ø Ù Ì ÔÙÑ w(,) = a mn sinα m sin β n, m= n= α m = mπ a ja β n = nπ b. Â ÙØÙÒÙØ ÙÓÖÑ p(,) m= n= ÖØÓ Ñ Ò a b Ì ÔÙÑ Ò Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø p(,) = b mn sinα m sin β n, b mn = 4 p(,)sin α m sin β n dd. ab a mn = b mn ( m 2 ) 2, m,n =,2,.... Dπ 4 a 2 + n2 b 2 ½º Ä ÚÝÒ Ö Ø ÙÑ Ò Ø ÐÑ Ì ÔÙÑ ÃÙÓÖÑ p(,) ÖØÓ Ñ Ò dy n () d w(,) = Y n ()sin α n, α n = nπ a. n= p(,) = p n () = 2 a a p n ()sin α n n= p(,)sin α n d. Y n () = ( n + B n α n )cosh α n + (C n + D n α n )sinh α n, ½º¾ ¼µ ½º¾ ½µ ½º¾ ¾µ = α n [( n + D n + B n α n )sinh α n + (C n + B n + D n α n )cosh α n ], ½º¾ µ

28 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ d 2 Y n () d 2 = α 2 n[( n + 2D n + B n α n )cosh α n + (C n + 2B n + D n α n )sinh α n ], d 3 Y n () d 3 ØÝ Ö Ø Ù = α 3 n[( n + 3D n + B n α n )sinh α n + (C n + 3B n + D n α n )cosh α n ]. Q n () = D Ȳ n ( t)p n (t)dt = 2α 3 nd [α n ( t)cosh α n ( t) sinh α n ( t)]p n (t)dt. ÃÓ ÓÒ Ö Ø Ù w(,) = (Y n () + Q n ())sin α n. n= ½º º½ Ä ÚÝÒ Ö Ø Ù Ø Ô Ù p(, ) = p() Q n = p n α 4 nd, p n() = 2 a a p()sin α n d. ÂÓ Ø Ò ÚÓ sin(a ± b) = sin acos b ± cos asin b, cos(a ± b) = cos acos b sinasin b, sin d = sin cos, ½º¾ ¼µ ½º¾ ½µ sin lim =. ½º¾ ¾µ ½º ½º º½ Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ Ø Ð Ò Ù Ø Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÙÓÖÑ ØÙ Ì ÔÙÑ ÃÙÓÖÑ ØÙ p(,) ÖØÓ Ñ Ò w(,) = Y n ()sin α n, α n = nπ a. n= p(,) = p n ()sin α n n= a p n () = 2 p(,)sin α n d. a ½º¾ µ

29 ½º º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ Ø ¾ p c c u a d d w, (, ) = z, w ÃÙÚ ½º½ ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ð ÙÓÖÑ º Ì ÔÙÑ Ð ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ú Ú ÙÓÖÑ Ø p() p n w(,) = 4Dα 3 ( + α n )e αn sin α n, α n = nπ n a n=, kun. Ì ÔÙÑ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù w(,β) = 2 π w(,)cos β d, p n (β) Ȳ n (β) = D(α 2 n + β 2 ) 2, n =,2,.... w(,) = 2 π n= p n (β) D(α 2 n + β2 ) 2 cos β dβ sin α n. ËÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ð ÙÓÖÑ Ì Ò Ò ÙÓÖÑ p ÙÓÖ Ø u c u + c, dº Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù w(,) = 2p a 4 π 5 D n= n 5 sin α nusin α n csin α n ½º¾ ¼µ {2 [(2 + α n d)cosh α n α n sinhα n ]e αnd}, d, w(,) = 2p a 4 π 5 D n= n 5 sin α nusin α n csin α n ½º¾ ½µ {[(2 + α n )sinh α n d α n dcosh α n d]e αn }, d.

30 ¼ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ Î Ú ÙÓÖÑ w(,) = P a 3 π 4 D n= n 4 sin α nusin α n csin α n ½º¾ ¾µ {[2 + α n ]e αn },. È Ø ÙÓÖÑ w(,) = Fa2 2π 3 D n= n 3 sin α nusin α n ½º¾ µ {( + α n )e αn },. ½º º¾ Ð Ò Ù Ø Ò ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò ÙÓÖÑ w(,β) = p(,β) = 2 π 2 π w(,)sin β d, p(,)sin β d. Ì ÔÙÑ w(,) = 2 π Ȳ n (β) = n= p n D(α 2 n + β 2 ) 2. p n (β) D(α 2 n + β 2 ) 2 sinβ dβ sin α n. ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ð ÙÓÖÑ Ì Ò Ò ÙÓÖÑ p ÙÓÖ Ø u c u + c d ÙÓÖÑ p ÙÓÖ Ø u c u + c, d u dº Ì ÔÙÑ Ò Ð Ù w(,) = 2p oa 4 π 5 D n= n 5 sinα nusin α n csin α n {2 (2 + α n )e αn [(2 + α n d)sinh α n α n cosh α n ]e αnd}, d, w(,) = 2p oa 4 π 5 D n= n 5 sinα nusin α n csin α n {[(cosh α n d )(2 + α n ) α n dsinh α n d]e αn }, d.

31 ½º º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ Ð ØØ Ø ½ c p p c u d d z ÃÙÚ ½º½ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ò Ò Ô Ð ÙÓÖÑ º c c p p d d d d c c u v v ÃÙÚ ½º¾¼ ÒØ ÝÑÑ ØÖ Ø Ô Ð ÙÓÖÑ Ø Ú Ô Ø ØÙ ØÙÐÐ Ð ØØ Ø ÐÐ º È Ð ÙÓÖÑ Ø p p ÙÓÖ Ø = 2c, = 2d Ô Ø Ò (u,v) (u, v) ÃÙÚ Ò ½º¾¼ ÙÓÖÑ ØÙ Ø Ô Ù Ò Ö Ø Ù Ò ÙÔ ÖÔÓÒÓ Ñ ÐÐ º Ì ÔÙÑ w(,) = 4p a 4 π 5 D n= n 5 sin α nusin α n csin α n {[(2 + α n v)sinh α n d α n dcosh α n d]sinh α n α n sinhα n dcosh α n } e αnv ½º¾ ¼µ, v d,

32 ¾ ÄÍÃÍ ½º Ê ÒØ Ò Ñ Ò Ò Ø Ó ÙÖ Ú Ó Ó ÐÑ w(,) = 4p oa 4 π 5 D n= n 5 sinα nusin α n csin α n 2 {2 {[2 + α n(v + d)]sinh α n α n cosh α n }e αn(v+d) + [cosh α n (v d)(2 + α n ) α n (v d)sinh α n (v d)]e αn }, v d v + d ½º¾ ½µ w(,) = 4p a 4 π 5 D n= n 5 sinα nusinα n csin α n { sinhα n v sinhα n d(2 + α n ) α n v cosh α n v sinhα n d ½º¾ ¾µ α n dcosh α n dsinh α n v } e αn, v + d. È Ø ÙÓÖÑ F Ó (u,v) Ô Ø ÙÓÖÑ F Ó (u, v) Ì ÔÙÑ w(,) = Fa2 π 3 D n= n 3 sinα nusin α n ½º¾ µ [( + α n v)sinh α n α n cosh α n ]e αnv, v, w(,) = Fa2 π 3 D n= n 3 sin α nusin α n [( + α n )sinh α n v α n v cosh α n v]e αn, v. ½º º Î Ô Ø ØÙ ØØÙ ÔÙÓÐ Ö Ø Ò Ð ØØ Ø Ì ÔÙÑ ÓÒ w = w + w Ñ w ÓÒ Ú Ô Ø ØÙ ØÙÒ Ö ØØ ÑÒ Ð ØØ Ø Ò Ö Ø Ù w ÓÒ ÓÑÓ Ò Ò Ý ØÐ Ò Ö Ø Ù w (,) = (C n + D n α n )e αn sin α n. n=

33 Ä Ø ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø ÂÓ f() ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ ÚÐ ÐÐ ( L,L) ÐÐ ÓÒ Ö ÐÐ Ò Ò ÑÖ Ö ÖÚÓ Ó Ø Ò Ò ÚÓ Ò ØØ ØÐÐ ÚÐ ÐÐ ÓÙÖ Ö¹ Ö ÖØÓ Ñ Ò f() = 2 a + a n = L b n = L L L L L n= f()cos nπ L f()sin nπ L [ a n cos nπ L + b n sin nπ ] L d, n =,,2,3,..., º¾µ d, n =,2,3,.... º µ º½µ È Ö ÐÐ Ò ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f( ) = f() ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø a n = 2 L L f()cos nπ L d, n =,,2,..., b n =. º µ È Ö ØØÓÑ Ò ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f( ) = f() ÓÙÖ Ö¹ Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø b n = 2 L Ã Ó Ò Ö Ò ÖØÓ Ñ Ø L f()sin nπ L d, n =,2,..., a n =. º µ p mn = 4 ab b a p(,)sin mπ a nπ sin b dd. º µ

34 ÄÍÃÍ º ÓÙÖ Ö¹ Ö Ø

35 Ä Ø ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ È Ö ØØÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f() = f( ) ÓÙÖ Ö¹ Ò ÑÙÙÒÒÓ ÒØ ÑÙÙÒÒÓ ÓÚ Ø 2 f(α) = f(ξ)sin αξ dξ, π 2 f() = π f(α)sin αdα. º½µ ÅÙÙÒÒÓ Ò ÐÐÝØÝ Ò ÓÒ ØØ ½º f() ÓÒ Ô ÐÓ ØØ Ò Ø ÙÚ Ó ÐÐ Ö ÐÐ ÐÐ ÚÐ ÐÐ ¾º f() ÓÒ ÓÐÙÙØØ Ø ÒØ ÖÓ ØÙÚ Ð f() d < M <. º¾µ È Ö ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f( ) = f() Ó Ò ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ Ú Ø Ú Ø 2 f(α) = f(ξ)cos αξ dξ, π 2 f() = π f(α)cos αdα. º µ ËÝÑÑ ØÖ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f ØÓ Ò Ö Ú Ø Ò ÑÙÙÒÒÓ ÓÒ f, (α) = α 2 f(α). º µ

36 ÄÍÃÍ º ÓÙÖ Ö¹ÑÙÙÒÒÓ Ì ÙÐÙ Ó º½ ÓÙÖ Ö¹ Ò ÑÙÙÒÒÓ f() f(α) f =, < < a, f =, a < < 2 + 2, R > 2 ( ) 2, R > π cos αa 2 α π 2 π 2 e α π 2 αe α arctan, R > π 2 α e α 4 ln ( + c)2 + 2 ( c) (c ) (c + ) 2 + 2, R >, sin β, β > π 2 e k, k > c + i R π 4 (2 k)e k, k > π 4 k e k, k > π 4 k 4 [2 (2 + k)e k ], k > π 2 k 2 ( e k ), k > π 2 α e α sin αc 2πe α sin αc π 2 2 ln α + β α β π α 2 α 2 + k 2 π α 3 2 (α 2 + k 2 ) 2 π α 2 (α 2 + k 2 ) 2 π 2 α(α 2 + k 2 ) 2 π 2 α(α 2 + k 2 )

37 Ì ÙÐÙ Ó º¾ ÓÙÖ Ö¹ Ó Ò ÑÙÙÒÒÓ f() f(α) f =, < < a, f =, a < < 2 + 2, R > π sin αa 2 α π 2 e α 2 2 ( ) 2, R > π 2 αe α 2 ln 2 + z 2 π 2 + 2, >, z > 2 α (e α e αz ) c (c ) c + 2πe α (c + ) sinαc, R > Ic (c ) (c + ) πe α cosαc, R > Ic π 2 k e k, k > π 4 k ( k)e k, k > π 4 k 3 ( + k)e k, k > π 2 α 2 + k 2 π α 2 2 (α 2 + k 2 ) 2 π 2 (α 2 + k 2 ) 2 ( ) 2 π 2 arctan 2 2 α e α sinα