Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen

Transkriptio

1 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni Räsänen Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos Barysentrinen koordinaattisysteemi sekä pisteen konjugaatio kolmion suhteen Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Helmikuu s. Tiivistelmä Referat Abstract Tutkielmassa tarkastellaan kahta tasogeometrian käsitettä: barysentristä koordinaattisysteemiä sekä pisteen konjugaatiota kolmion suhteen. Barysentriset koordinaatit ovat homogeeninen koordinaattisysteemi, jonka avulla pisteen sijainti tasossa ilmoitetaan suhteessa annettuun kolmioon. Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on kuvaus, joka kuvaa tason pisteet toisiksi tietyillä, tyypillisesti geometrisesti luonnehdittavilla ehdoilla. Käsitteet liittyvät toisiinsa siten, että eräät mielenkiintoiset konjugaatiokuvaukset voidaan määritellä barysentristen koordinaattien avulla. Barysentriset koordinaatit otettiin käyttöön 1800-luvun alussa useamman henkilön toimesta. Ne ilmoittavat tason pisteen sijainnin suhteessa annettuun kolmioon järjestetyllä lukukolmikolla, toisin kuin yleisemmin käytetyt karteesiset koordinaatit, jotka ilmoittavat pisteen sijainnin suhteessa annettuun origoon (0, 0) lukuparin avulla. Barysentriset koordinaatit voidaan ilmoittaa useammalla, keskenään ekvivalentilla tavalla, mutta niiden määrittäminen tapahtuu kuitenkin aina jonkin kolmion suhteen. Määrittely voidaan tehdä joko tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien muodostamien kolmion sivujen jakosuhteiden avulla tai käyttäen hyväksi tutkittavan pisteen ja kolmion kärkien muodostamien kolmioiden pinta-alojen suhteita. Tutkielman kolmannessa luvussa esitetään barysentristen koordinaattien järjestelmä sekä annetaan esimerkkejä mielenkiintoisten pisteiden koordinaateista. Barysentristen koordinaattien kaltainen, toinen homogeeninen koordinaattisysteemi, trilineaariset koordinaatit esitellään myös lyhyesti. Neljännessä luvussa johdetaan muunnoskaavat trilineaaristen ja barysentristen koordinaattien sekä barysentristen ja karteesisten koordinaattien välille. Pisteen konjugaatio kolmion suhteen on eräs pistetransformaation erityistapaus. Tutkielman viidennessä luvussa tarkastellaan aluksi pistetransformaation käsitettä yleisesti, jotta pisteen konjugaatiota kolmion suhteen voidaan ymmärtää paremmin. Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio ovat mielenkiintoiset, paljon tutkitut ja geometriassa sovelletut erikoistapaukset pisteen konjugaatiosta kolmion suhteen. Ne ovat mielenkiintoisia myös tämän työn kannalta, sillä niiden määrittelyssä käytetään sekä barysentrisiä että trilineaarisia koordinaatteja. Isotominen ja isogonaalinen konjugaatio esitellään tutkielman viimeisessä luvussa. Avainsanat Nyckelord Keywords Barysentriset koordinaatit, pisteen konjugaatio, isotominen ja isogonaalinen konjugaatio Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

2 ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÖÝ ÒØÖ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ý Ø Ñ Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò Â ÒÒ Ê Ò Ò ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼½ ½

3 Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ à ØÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Å Ö ÒØ ÔÙØÙÐÓ ¾º½ Å Ö ÒÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÔÙØÙÐÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ÂÓ ÒØÓ ÖÝ ÒØÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò º º º º º º º º ¾º¾º¾ ÃÓÒ Ù Ø Ó Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º ½¾ ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ½ º½ ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ô Ø Ø º º º º º º º º º º º º º º º ½ º Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º º½ Ì ÚÙ Ò Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó º º º º º º º º º ½ º º¾ ÃÓÐÑ ÓÒ Ð Ø Ñ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø º º º º º º º º º º º ¾¼ º º Ú Ò ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò ÙÙÒØ ÐÐ ÒÓ ÐÐ Ð ¹ ÙÑ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ÅÙÙÒÒÓ Ú Ø ¾ º½ ÌÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú ¾ º¾ ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÖØ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú º ¾ º Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò ¾ º½ È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ È Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÑÖ Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Á ÓØÓÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó º½ Á ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½º½ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Á Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ Ñ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾

4 ½ ÂÓ ÒØÓ ÌÑÒ ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø ÐÐ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø Ø Ó Ó¹ Ñ ØÖ Ò Ø ØØ ÖÝ ÒØÖ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ý Ø Ñ Ô Ø Ò ÓÒ Ù ¹ Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ù Ø Òº à ØØ Ø Ð ØØÝÚØ ØÓ Ò Ø Ò ØØ ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÚÙÐÐ ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ Ô Ø Ò ÓÒ Ù ØØ Ô Ö º ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò ØØ ÝØ ØÒ ÐÑ Ñ Ò Ô Ø Ò Ô Ø ¹ Ó º ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÖÓ Ú Ø ÝÐ ÑÑ Ò ÝØ ØÝ Ø ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ØØ Ô Ø Ò Ô Ø Ó Ñ Ö ØÒ ÓÐÑ ÐÐ ÓÓÖ¹ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ö Ö Ò Ò ÓÒ Ô Ø Ò ÓÖ ÓÒµ Ñ Ø ÓÐÑ Óº ÖÝ ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÒÒ Ú Ú Ð ÒØØ ÑÖ ¹ Ø ÐÑ º Ø Ø Ò ÐÐ ÓÒ ØØ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÐÑÓ Ø Ø Ò Ò ÓÒ Ò Óй Ñ ÓÒ Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑÒ ÚÓ Ò ÝØØ ÚÙ Ò Ó Ù Ø Ø ÓØ ÑÙÓ¹ Ó ØÙÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò ØÙØ ØØ Ú Ò Ô Ø Ò ÙØØ ÙÐ Ú Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò Ð Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ º ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ØÙØ ØØ Ú Ò Ô Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò Ô Ò ÑÔ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò Ù Ø Ò º ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ò Ð ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ Ñ Ó Ò Ô ÒÓÔ Ø Ò ÚÙÐÐ º Ë ¹ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ù Ù Ø Ö Ò Ò Å Ù ½ ¼¹½ µ ØØ Ð ØÑÒ ØÙ Ò ÑÖ ØØ Ð ÑÐÐ Ô Ø Ò P ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø ¹ Ò Ø ØØÙ Ò Ñ Ó Ò ÚÙÐÐ Ò Ò ØØ P ÓÐ Ò Ò Ñ Ó Ò Ô ÒÓÔ Ø ½ º ÖÝ ÒØÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ý Ø Ñ Ò Ø Ò ÓÒ Ù ÑÔ Ò Ð Øº Ë ¹ Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó ÂÙÐ Ù ÈÐ Ö ½ ¼½¹½ µ ÙÐ ÚÙÓÒÒ ½ ½ ØÓ ¹ Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ò ÐÝØ ¹ ÓÑ ØÖ ÒØÛ ÐÙÒ Ò Ó Ò ØØ Ð ÙÙ ÐÐ Ò ÑÒ ÓÓÖ Ò ØØ Ö Ø ÐÑÒº Ø ÐØÝ ÓÓÖ Ò ØØ ¹ Ö Ø ÐÑ ÓÐ ØØÝ ÐÐ Ò ÙÙ Ø Ò ÐÐ ÓÐ ØØÝ Ö ÔÔÙÑ ØØÓÑ ¹ Ø Ó ÓÐÑ ÖØ ÑÑ Ò Òº ÃÓÐÑ ÑÙÙØ ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø¹ Ø Ò ÓÚ Ø Ð Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓØ Ã ÖÐ Ï Ð ÐÑ Ù Ö ½ ¼¼¹ ½ µ ÐÐ Ñ Ò ØØÙ Å Ù Ö Ò Ð Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø Ó Ø ÒÒ Ó ÐÐ Ö ½ ¹½ ¼µº ½ ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò ØØ Ý ÝÒÒ ØÒ Ñ Ö ØÙØ ÐÑ Ò ØÓ Ò Ô Ò Ð Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ý Ø Ý º È Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó Ø Ô ¹ ØÙÙ Ò ÓÒ Ò Ù Ø Ò Ñ Ö ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ø ÓÐÑ ÓÒ ÙÓÖ Ò Ù Ø Òº È Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÒ Ö Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ð ÙÚ Ù Ó ÙÚ Ø ÓÒ Ô Ø Ø ØÓ Ô Ø Ø ØÝÐÐ ÓÐÐ º È Ø Ò ÓÒ Ù ¹ Ø ÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÓØÓÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Óº ÌÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÓÒ ÙÖ Ú º ÄÙÚÙ ¾ Ø ÐÐÒ ØÙØ ÐÑ Ý¹ Ø ØØÚØ Ñ Ö ÒÒØ Ø ÖÚ ØØ Ú ÔÙØÙÐÓ ÑÖ Ø ÐÑ º Ì ÐÙÚÙ ¹ ÐÙ Ó Ø ÐÐ Ò Ó ÖÝ ÒØÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Òº ÄÙÚÙ Ô ØÒ

5 Ø Ö ÑÑ Ò ÓÑÓ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ý Ø Ñ Òº ÌÝ Ø ÐÐÒ ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ð ØÓ Ò Ò ÓÑÓ Ò Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ý ¹ Ø Ñ ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Øº ÄÙÚÙÒ ÐÙ ÒÒ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ØÖ Ð ¹ Ò Ö ÐÐ ÖÝ ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ º Ä ÒÒ Ø Ò Ñ Ö Ó ¹ Ò Ò Ô Ø Ò ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÔÓ Ø Ò Ñ Ø Ò Ô ¹ Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÑÙÙØØÙÚ Ø ÙÒ Ô Ø Ò Ô ÑÙÙØØÙÙº ÖÝ ÒØÖ ØÖ Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ØØ ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ ØÓ Ò Ø Ò Ø ÚÓ ÑÝ ÑÙÙØØ ÖØ ÓÓÖ Ò Ø º ÄÙÚÙ Ø ÐÐÒ ÑÙÙÒÒÓ Ú ÓÐÐ ÚÓ ÑÙÙØØ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ØÖ Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò Ø ÑÙÙÒÒÓ Ú ÖØ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÙÙØØ Ñ ¹ ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø º Ä Ò Ò ÚÓ Ò ÝØ Ø Ø ¹ ØÒ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö º ÌÙØ ÐÑ Ò ØÓ Ò Ò Ò ÒÓØÙÒ Ô Ò ØØ ÐÝ ÐÓ Ø Ø Ò ÐÙÚÙ º ÄÙÚÙÒ ÐÙ Ø ÐÐÒ Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓØ ÝÐ ÑÔ Ø Ô Ø ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø Ó Ñ Ò Ð Ò ÒÒ Ø Ò ÑÖ Ø ÐÑØ Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓÐÐ ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø Ò ØØ ÓÐÑ ÓÒ ÙÓÖ Ò Ù Ø Òº Î Ñ ÐÙÚÙ ¹ Ø ÐÐÒ Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ñ Ð Ò ÒØÓ Ø Ö Ó Ø Ô Ù Ø ÓØÓÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Óº Æ Ø Ø ØÒ ÑÝ Ñ Ö º ½º½ à ØÓ Ø ËÙÙÖ ØÓ Ó ÐÐ Ò ÒÒ Ã Ö Ñ ÐÐ ÚÙ Ø Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò Ð Ý¹ ØÑ ØÙØ ÐÑ Ò Ð ÙÙÒ ØØ Ñ ÒØÙÒØ Ú Ø Ó Ù Ø Ó Ó ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ñ Ò Ò º à ØÓ ÑÝ ÒØÓ Ø Ó Ø Ô Ñ ¹ Ø ØØ ÐÚ ÒØÚ Ø Ù Ø ÐÙ Ø Ó Ø ÐÑ Ò ØÙØ ÐÑ Ò Ø Ñ Ò Ò ÓÐ ÓÐÐÙØ ÙÓÑ ØØ Ú Ø Ø ÑÔ Ò Ð ÑÔ º à ØÓ Ð ØÙÐÐ Ò ÂÓÓÒ ÐÐ ÒÒÙ ØÙ Ø ØÙ Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð ÙÚ ¹ Ø Ò ÐÓÔÔÙÚ Ñ Ø ÐÝÝÒ Ø º à ØÓ ÑÝ Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÚÙ Ø ÓÑÑ ÒØ Ø Ó Ò ØÙØ ÐÑ Ò Ñ Ø Ñ ØØ Ø ÑÙÓØÓ ÐÙ Ö Ú Ò ¹ Ú Ð ÒØÓ º

6 ¾ Å Ö ÒØ ÔÙØÙÐÓ ¾º½ Å Ö ÒÒØ Ì ØÙØ ÐÑ ÝØ ØÒ ÙÖ Ú Ú ÒØÙÒ Ø ÓÑ ØÖ Ò Ñ Ö ÒØ ¹ º È Ø ÒA B ÑÖÑ Ò Ñ Ö ØÒAB Ò Ò Ô ØÙÙØØ AB º ÌÓ Ò Ò Ø ÐÐ Ò ØØ Ò ÐÐ ÓÒ ÙÙÒØ ÓÐÐÓ ÒA ÓÒ Ò Ò Ð ÙÔ Ø B ÐÓÔÔÙÔ Ø º È Ø Ò A B ÑÖÑ ÙÓÖ Ñ Ö ØÒ ABº ÈÙÓÐ ÙÓÖ ÓÒ Ð ÙÔ Ø ÓÒ A ÙÐ ÙÔ Ø B Ñ Ö ØÒ ÔÙÓÐ Ø Ò ABº Î ØÓÖ ÓÒ Ð ÙÔ Ø ÓÒ A ÐÓÔÔÙÔ Ø ÓÒ B Ñ Ö ØÒ ABº ÃÙÒ Ô Ø Ø X Y ÓÚ Ø Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ AB Ñ Ö ØÒ X ABY ÙÒ Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ñ Ð¹ Ð ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÓÖ Ñ Ö ØÒ XY ABº ÃÓÐÑ ÓÒ ABC Ô ÒØ ¹ Ð Ñ Ö ØÒ [ABC]º Ä ÓÐÑ Ó Ò ABC DEF Ý ÒÑÙÓØÓ ÙÙ Ø ÝØ ØÒ Ñ Ö ÒØ ABC DEF º Ä Ø ØÙØ ÐÑ ÝØ ØÒ ÙÖ Ú Ñ Ö ÒØ ÐÐ ØÓ Ò Ñ Ò Ø Ø º ÙÚ ½µº È Ø Ø A B C ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø ¹ غ ÃÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò BC AC AB Ô ØÙÙ Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ a b cº ÂÓ P ÓÒ Ò Ð Ô Ø Ò Ò ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò AP ÙÓÖ Ò BC Ð Ù Ô Ø Ø¹ Ø Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ Dº ÈÙÓÐ ÙÓÖ Ò BP CP ÙÓÖ Ò CA AB Ð Ù Ô Ø Ø Ñ Ö ØÒ Ú Ø Ú Ø Ö Ñ ÐÐ E F º È Ø ÐÐ Q R S Ñ Ö ØÒ ÐÐ Ô Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ ÐÐ BC CA AB Ó Ò ÑÙÓ¹ Ó Ø Ñ Ø Ò Ø Ô Ø Ò P Ò PQ PR PS ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò BC CA AB Ò Òº Æ Ø Ô Ø Ò P Ø ÝÝ ÓÐÑ ÓÒ ¹ ÚÙ Ò Ø ÚÙ Ò Ø Ò Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ h a h b h c º ÃÓÐÑ Ó Ò BCP APC ABP Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ x y z Ø Ò ØØ [BCP] = x [ACP] = y [ABP] = z. ÃÙÚ ½ ÌÙØ ÐÑ ÝØ ØØÚØ Ñ Ö ÒÒغ

7 ¾º¾ ÔÙØÙÐÓ Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ØÙØ ÐÑ ÑÝ ÑÑ Ò Ø ÖÚ ØØ Ú ÔÙØÙÐÓ º ¾º¾º½ ÂÓ ÒØÓ ÖÝ ÒØÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ì ÐÙÚÙ Ø ØÒ ØÙÐÓ ÓØ Ó ØØ Ð Ú Ø ÖÝ ÒØÖ Ò ÓÓÖ ¹ Ò ØØ Òº ÃÓÐÑ ÓÒ Ò Ð Ñ Ò ÙØ ÙØ Ò Ò Ó Ý Ø Óй Ñ ÓÒ Ö Ò Ú Ø Ò ÚÙÒ Ô Ø Òº Å Ò ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ñ ÙÖ Ú ÓÙÐÙ Ø Ò Ó ØÙØØÙ ØÙÐÓ Ä Ù ¾º½º ÃÓÐÑ ÓÒ ÓÐÑ Ñ Ò Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø G ÙÚ ¾µº È Ø G ÙÒ Ò Ñ Ò Ò Ù Ø 1 : 2 ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÐØ ÐÙ Òº Ä Ô Ø Ò G ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø Ò A B C ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÖÚÓÒ Ð G = A+B +C. 3 Ä Ù ¾º½ Ò Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÝÐ ÑÑ Ø ØÙÐÓ Ø Ð ÑÑ Ø ¾º º ÃÙÚ ¾ ÃÓÐÑ ÓÒ Ò Ø Ð Ú Ø Ñ Ô Ø ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ ¹ Ø º Å Ò Ò Ð Ù Ô Ø ØØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø Ø Ô Ò¹ ÓÔ Ø Ò º ÒØÖÓ µº ÌÙØ Ø Ò ÙÖ Ú ÝÐ ÑÔ Ø Ð ÒÒ ØØ Ó Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÒÓ AD BE CF Ñ Ô Ø Ø D E F ÚØ ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò Ô Ø Ø ÙÚ ½µº  ÒÓ AD BE CF ÙØ ÙØ Ò Ø ØÝ ÓÐÑ ÓÒ Ú Ò Ò º Ú Òµº

8 ÓÑ ØÖ Ú Ò ÙØ ÙØ Ò Ò Ó Ý Ø ÓÐÑ ÓÒ Ö¹ Ò Ò Ú Ø ÐÐ ÚÙÐÐ ÓÐ Ú Ò Ô Ø Òº Å Ò Ø ÓÖ Ù Ò Ø ÙÐÑ ÔÙÓÐ ØØ Ø ÓÚ Ø Ú Ò Ò Ö Ó Ø Ô Ù º Æ Ñ ØÝ Ú Ò ØÙÐ Ø ¹ Ð Ð Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÚ ÒÒ Ú Ò ½ ¹½ µ Ò Ñ Øº Ú ØÓ Ø Ú Ò Ó Ú Ò Ñ Ö ØØÚÒ ØÙÐÓ Ò Ú Ò Ð Ù Ò Ó ØÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú º ÌÓ Ò Ù Ò ÓÐÑ ÓÒ Ñ Ò Ò Ô ÒÓÔ Ø Ò Ø Ð ÒØ Ú Ò Ø ¹ ÚØ ÚÐØØÑØØ Ð Ñ Ô Ø º Ú Ò Ð Ù ÓÚ ÒÒ Ú ½ ÁØ Ð µ ÖØÓÓ ÚÐØØÑØØ ÑÒ Ö ØØÚÒ ÓÒ ÐÐ Ñ ÐÐÓ Ò Ò Ò Ø Ô ØÙÙº Å Ð ÓÐÑ Ú Ò Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø Ð Ù ¹ Ô Ø Ò Ø ØÝ Ù Ø º Ä Ð Ù Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò Ð Ù Ù Ý Ò ÖØ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÚÙÐÐ º Ì Ö ÑÑ Ò ÚÓ Ñ ÓÒ ÙÖ Ú ØÙÐÓ ¾º¾ Ú Ò Ð Ù º ÇÐ ÓÓØ Ô Ø Ø D E F ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ ÐÐ BC CA ABº Ú Ò Ø AD BE CF Ð Ú Ø Ñ Ô Ø Ó Ú Ò Ó BD DC CE EA AF FB = 1. ÌÑÒ ÓÒ ØÓØ ÙØÙ Ú Ò Ò Ð Ù Ô Ø P Ú Ò Ø ÙÖ ¹ Ú Ù Ø AP PD = 1 α α BP PE = 1 β β CP PF = 1 γ γ, BD Ñ = γ DC β CE = α EA γ AF = β α+β +γ = 1. FB α Ä P = αa+βb +γc. Ì ÓÖ Ñ Ò ØÓ ØÙ ØØ ÑÓÒØ Ú Ø ØØ º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓÐÑ ÓØ ABC Ò Ø Ú Ò AD BE ÓØ Ð Ú Ø Ô Ø P º Å Ö ØÒ BD = γ ÙÚ µ ÓÐ ÓÓÒ ÒÓ Ò CE DC β EA Ù CE = s º Ì ÚÓ Ò ÝÐ ÝÝØØ Ñ Ò ØØÑØØ ÓÐ ØØ ØØ EA t t = γ s+β +γ =: α+β +γ = 1º ÂÓ Ò Ò ÓÐ ÙÓÑ Ø Ò ØØ CE EA = s γs t = t γ =: α γ.

9 ÃÙÚ ÃÓÐÑ ÓÒ ABC Ú Ò Ø AD BE Ð Ú Ø Ô Ø P º ÇÐ ÓÓØ α,β,γ > 0 α+β+γ = 1º ÐÐ ÙÚ ØÙÐÐ Ø Ð ÒØ ÐÐ ÔØ ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ä ÑÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ð ÒÒ ÙØ Ò ÝÐÐ ÓÒ ÙÚ ØØÙº È Ø P Ú Ò Ø AD BE Ù Ø AP PD = 1 α α BP PE = 1 β β. ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ R Ô Ø Ó Ú Ò Ò AD Ù Ø AR = 1 α RD ÇÐ ÓÓÒ S Ô Ø Ó Ú Ò Ò BE Ù Ø BS = 1 β º È Ø Ò R SE β Ô Ú ØÓÖ Ò 1 α OR = OA+AR = OA+ (1 α)+α ( = OA+(1 α) AB + γ ) β +γ BC = OA+(1 α) ( OB OA ) +γ ( OC OB ) AD = OA+(1 α)ad α. = OA+(1 α)ab + (1 α)γ β +γ BC = αoa+(1 α γ)ob +γoc = αoa+βob +γoc. Ä Ù Ý ÝÒÒ ØØ Ò Ý ØÐ α+β +γ = 1º Ë Ñ ÒÐ Ò Ò Ð Ù Ó Ó ØØ ØØ Ô Ø Ò S Ô Ú ØÓÖ ÓÒ OS = αoa+βob + γocº Ë R = S = P. Ä ÑÑ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ F ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò CP Ò Ò AB Ð Ù Ô Ø º Ë ÐÐÓ Ò AF FB = β α CP PF = 1 γ. γ

10 ÌÓ ØÙ º ÌÓ Ø Ø Ò Ò Ò Ð ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó Ð ØØ AF FB = β α. ÃÙÚ ÒÑÙÓØÓ Ø ÓÐÑ ÓØ ABY AFP PDC YDBº ÇÐ ÓÓÒ Y ÔÙÓÐ ÙÓÖ Ò AP Ô Ø Ø Ò ØØ BY CF º ÃÓÐÑ ÓØ ABY AFP ÓÚ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ Ø ÐÐ BAD = BAY Ñ ÙÐÑ µ YBA = PFA AYB = APF Ñ Ò Ó Ø Ø ÙÐÑ Øµº ÅÝ PDC YDB ÐÐ CDP = BDY Ö Ø ÙÐÑ Øµ PCD = YBD DPC = DYB Ñ Ò Ó Ø Ø ÙÐÑ Øµº ÙÚ µ ÒÑÙÓØÓ Ø ÓÐÑ Ó Ø Ò AF +FB AF Æ Ø Ý ØÐ Ø Ò ÐÐ Ò FB AF = AD +DY AP = 1 1 α + AD +DY = FB AP AF DY DP = BD DC = γ β DY = γ β DP. 1 = AD + γ β DP AP 1 = = AD +DY AP AD DP + γ β AP DP γα β +α(1 β α) 1 = 1 β(1 α) β(1 α) = β(1 α)+α(1 α) β(1 α) β(1 α) = α β. 1 1 = 1 α + γ β 1 α α 1

11 Æ Ò ÓÒ ØÓ Ø ØØÙ Ð ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó º Ä ÑÑ Ò ØÓ Ò Ò Ó ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ð ÑÑ Ø ¾º º Ä ÑÑÓ Ø ¾º ¾º Ò ÚÐ ØØ Ñ Ø ÙÖ Ú ØÙÐÓ Ä ÑÑ ¾º º Ú Ò Ò Ð Ù Ô Ø Ò P ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ô ÒÓØ ØØÙ Ò ÖÚÓ Ò P = αa+βb +γc. ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÃÓÐÑ ÓÒ Ñ Ò Ò Ô ÒÓÔ Ø Ò Ø Ô Ù α = β = γ = 1 3 º ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º Î ÖØ Ú Ò Ð Ù Ò Ä ÑÑ Ò ¾º ÒÓ ÐÐ Ó Ú Ò ØAD BE CF Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø Ò Ò Ô Ø Ø D E F Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙØ Ù Ø BD γ β CE EA = α γ AF = β º ÀÙÓÑ Ø Ò ØØ FB α BD DC CE EA AF FB = γ β α γ β α = 1. Æ Ò ÓÒ Ú Ò Ð Ù Ò ØÓ Ò Ò ÚÐØØÑØ Ò ØÓ ØÓ Ø ØØÙº DC = Ä ÑÑ Ø ¾º ¾º Ø Ö Ó ØØ Ú Ø ØØ Ó ÓÐÑ Ú Ò Ð Ú Ø ¹ Ñ Ô Ø Ò Ò Ô Ø Ø D E F Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ Ú Ò Ø ÙÚ Ò Ù Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú ÒØ Ø Ø Ð ÒÒ ØØ º ÇÐ ÓÓØ AD BE CF ÓÐÑ ÓÒ ABC Ú Ò Ø ÓØ Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ ÙÚ Ò Ù Ø º Ìй Ð Ò Ú Ò Ø Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø º Ä ÑÑ ¾º º ÇÐ ÓÓØ α,β,γ > 0 ÐÐ Ø ØØ α + β + γ = 1º Ì Ö Ø Ð¹ Ð Ò Ø Ð ÒÒ ØØ Ó Ú Ò Ø AD BE CF Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙØ Ù Ø BD = γ DC β CE = α AF = β º ÌÐÐ Ò Ú Ò Ø AD BE CF EA γ FB α Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø P º ÙÚ µ ÃÙÚ Ú Ò Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ ÙÚ Ò Ù Ø º ½¼

12 ÌÓ ØÙ º ÌÙÐÓ ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø Ð ÑÑ Ò ¾º ØÓ ØÙ Ø ÂÓ R ÓÒ Ú Ò Ò AD Ô Ø Ó Ú Ò Ò Ù Ø AR = 1 α Ò Ò OR = RD α αoa+βob +γocº ÀÙÓÑ ÙØÙ ¾º º ÇÐ ÓÓÒ Ú Ò Ò Ð Ù Ô Ø Ò P ÓÓÖ Ò Ø ØP = αa+ βb + γcº ÌÐÐ Ò Ú Ò Ø AD BE CF Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙØ Ù Ø BD = γ CE = α AF = β º DC β EA γ FB α Æ Ò ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ¾º¾ ØÓ Ø ØØÙº Ä ÑÑ Ø ¾º ¾º ¾º ¾º Ó Ó ØØ Ú Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ØÓ º Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ó Ó ØØ ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Ò Ú Ò Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø Ò P ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò Ù Ø Ø Ô Ø Ò D E F ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ø ÚÙ Ò Ó Ù Ø Ø ÓÚ Ø ¹ Ñ Øº Ä ÑÑ ¾º½¼º ÇÐ ÓÓÒ P ÓÐÑ ÓÒ ABC Ú Ò Ò AD BE CF Ð ¹ BD Ù Ô Ø º  ÓÓØ Ú Ò Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ù Ø = γ, CE = DC β EA α AF = β. γ FB α ÌÐÐ Ò z y = γ β, x z = α γ y x = β α. ÌÓ ØÙ º ÃÓ ÓÐÑ Ó ÐÐ ABD ACD ÓÒ Ñ ÓÖ Ù Ò Ë ÑÓ Ò [BDP] z [ABD] [ACD] = BD DC = γ β. = DP PA [CDP] y = DP PA. È ÒØ ¹ Ð Ø [ABD] [ACD] ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÑÝ ( [ABD] = z +[BDP] = z 1+ [BDP] ) ( = z 1+ DP ) z PA ( [ACD] = y +[CDP] = y 1+ [CDP] ) ( = y 1+ DP ). y PA ÆÝØ Ò Î Ø Ú Ø Ò γ β = [ABD] [ACD] = z y. x z = α γ y x = β α. ½½

13 Ë ÙÖ Ú Ñ Ð Ò ÒØÓ Ò Ò ØÙÐÓ ÙÖ Ð ÑÑ Ò ¾º½¼ ÙÓÑ Ó Ø Ö Ó ¹ Ø Ô Ù Ò º Ä ÑÑ ¾º½½º ÃÓÐÑ ÓÒ Ò Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÙÙØ Ò Ô Ò ÑÔÒ Óй Ñ ÓÓÒ Ó ÐÐ ÐÐ ÓÒ Ñ Ô ÒØ ¹ Ð º ÃÙÚ ÃÓÐÑ ÓÒ Ò Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÙÙØ Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò ÓÐÑ ÓÓÒº ¾º¾º¾ ÃÓÒ Ù Ø Ó Ò Ð ØØÝÚ ÑÖ Ø ÐÑ Ë ÙÖ Ú ÑÖ Ø ÐÐÒ ÓÒ Ù Ø Ó Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ ØØ Ú Ø ØØ Ø ¹ Ú Ò ÓÐÑ Ó Ö Ø Ù ØÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓÖ º à ØØ Ø Ø ÖÚ Ø Ò ÐÙÚÙ º¾ ÙÒ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½¾º ÇÐ ÓÓÒ ABC ÓÐÑ Ó P Ú Ò Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø º È Ø Ø D E F ÑÙÓ Ó Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ò P Ú Ò ÓÐÑ Ó Ò º Ú Ò ØÖ Ò Ð µ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Ò ÙÚ µº ÃÙÚ È Ø Ò P Ú Ò ÓÐÑ Ó DEF ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº Ë ÒÓØ Ò ØØ ÓÐÑ ÓØ ABC DEF ÓÚ Ø ÒÒ Ô Ö Ô Ø Ú Ô ¹ Ø Ø P Ø ÓØØÙÒ Ò º Ô Ö Ô Ø Ú ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ P µº ½¾

14 ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÇÐ ÓÓØ Ô Ø Ø A B C D Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ º Æ Ò Ô Ø Ò Ö Ø Ù Ò º ÖÓ ¹Ö Ø Óµ ÓÒ ÐÙ Ù [A,B;C,D] := AC BD BC AD. Å Ö ØÒ Ò Ô Ö Ò (BC,EF) (CA,FD) (AB,DE) Ð Ù Ô Ø Ø Ö Ñ ÐÐ X Y Zº ÅÖ Ø ÐÑ ¾º½ º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø S ÓÐÑ ÓÒ ABC ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ø Óй ÓÓÒ DEF Ò Ú Ò ÓÐÑ Ó ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº È Ø Ò X Y Z ÑÙÓ Ó Ø Ñ ÙÓÖ ÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö ÙÓÖ Ò º ØÖ Ð Ò Ö ÔÓÐ Öµ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº ÙÚ µ ÃÙÚ È Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓÖ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº Ö Ù ³ Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÙÖ ÚÐ ØØ Ñ Ø ØØ Ô Ø Ø X Y Z ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ¾ ¾ º ÌÖ Ð Ò Ö Ò Ò ÙÓÖ ÓÒ ÓÐÑ Ó Ò ABC DEF Ô Ö Ô Ø Ú ÙÓÖ Ò º Ô Ö Ô Ø Ú Ð Ò µº Ö Ù ³ Ò Ø ÓÖ Ñ ÒÓÓ ØØ Ó ÓÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö Ô Ø Ú Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ò Ò ÓÚ Ø Ô Ö Ô Ø Ú ÙÓÖ Ò Ù Ø Òº ÈÖÓ Ø Ú Ø ÓÑ ØÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ù ÓÔÔ Ö Ó º à ÒÒÓ ØÙ¹ ÒÙØ ÐÙ ÚÓ ØÙØÙ ØÙ Ñ Ö Ö Ó Ò ÈÖÓ Ø Ú Ò Ö Ð Ø ÓÑ ØÖ ÈÖÓ Ø Ú ÓÑ ØÖÝ º ½

15 ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ì ÐÙÚÙ ÑÖ Ø ÐÐÒ Ñ Ø ØÖ Ð Ò Ö ÐÐ ÖÝ ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò ¹ Ø ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Òº º½ ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø ÓÐÑ Ø Ö Ø ØÝ Ø ÐÙÚÙ Ø Óع ÙÚ Ú Ø Ô Ø Ò Ù Ø ÐÐ Ó Ø ÙÓÖ Ø ÝÝ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò Ø Ò Ò Ø Òº ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÝØ ØÒ ÑÝ ÐÝ Ý ÑÔ Ò Ñ ØÝ Ø ØÖ Ð Ò Ö Øº ÅÖ Ø ÐÑ º½º È Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù ¹ Ø Ò ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø ÓÐÑ Ø Ö Ø ØÝ Ø ÐÙÚÙ Ø α β γ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÖ Ú Ø ÓØ α β = h a h b ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ P = (α : β : γ)º β γ = h b h c γ α = h c h a. ÌÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ØÙÑ Ö Ö ÔÔÙÙ Ø ÓÒ Ó Ô Ø ÓÐÑ ÓÒ ¹ Ú ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ º ÃÙÒ Ô Ø ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ ÓÚ Ø ÓÓÖ Ò ¹ Ø Ø ÔÓ Ø Ú º Å Ð Ý ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø ÓÒ Ò Ö Ú Ø ¹ Ú ÓÓÖ Ò ØØ ½ ÑÙÙØ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ú Ø ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ º È Ø Ò ÓÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø Ú ÒØÒ Ý ÑÙØØ ÓÖ ÒØ Ò ÓÚ Ø Ò Ø Ú º Å Ö ÒØ Ò Ô Ð Ø Ò Ø Ö ÑÑ Ò ÐÙÚÙ º º ÃÓÓÖ Ò ØØ Ñ Ö ØÒ Ö Ð ÐÐ Ö Ñ ÐÐ α β γ Ó Ø α ÐÑ Ô Ø Ò ÒØ Ù Ø Ö Ô Ø Ò A Ñ Ø ÙÙÖ ÑÔ α ÓÒ Ø Ð ÑÔÒ Ô Ø P ÓÒ Ö Aº Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÓÓÖ Ò ØØ β ÐÑ Ô Ø Ò ÒÒ Ò Ù Ø ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò B ÓÓÖ Ò ØØ γ Ù Ø Ö Ò Cº ÄÙ Ù ÓÐÑ Ó α β γ ÚØ ÚÐØØÑØØ ÖÖÓ ØÓ ÐÐ Ø ÝÝ Ú Ò Ø ÝÝ Ò Ù Ø Ø º ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø Ø Ò Ñ Ö ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò ØØ Ý Ø Ñ Øº ÌÑ Ø Ö Ó ØØ Ø ØØ Ô Ø Ò P Ø ÝÝ h a h b h c ÓÒ ÖÖÓØØÙ ÓÐÐ Ò Ú ÓÐÐ k Ð α = kh a β = kh b γ = kh c Ñ k R\{0}º ÃÓÓÖ Ò Ø Ø ÖÓØ ÐÐ Ò ØÓ Ø Ò Ó Ô Ø ÐÐ Ò Ø Ñ Ö ØÒ Ó Ó ÐÑ Ò ÙÐ Ù Ø ÙÐ Ù Ò Ò α : β : γ Ø (α : β : γ)º ÀÙÓÑ ÙØÙ º¾º à ÖÖÓ Ò k ÚÓ Ò ÓÑÓ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ Ú Ð Ø ÓÔ Ú Ø Ò Ò ØØ ØÖ Ð Ò Ö Ø ÐÑ Ú Ø Ô Ø ÒP ØÓ ÐÐ Ø ÝÝ ÓÐÑ ÓÒABC ÚÙ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ) h a h b h c Ô Ø Ò P Ø ÝÝ Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò a b cº Ø ØÒ ÖÖÓ Ò k ½

16 ÓÐÐ ÔØ h a = kα h b = kβ h c = kγº È Ø P ÑÙÓ Ó Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Ò Ò ÓÐÑ ÓÐÑ ÓØ PBC PCA PABº ÃÓÐÑ ÓÒ ABC Ô ÒØ ¹ Ð ÚÓ Ò ÐÑ Ø Ò Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò ÙÑÑ Ò [ABC] = [PBC]+[PCA]+[PAB] = 1 2 (ah a +bh y +ch c ) = 1 (akα+bkβ +ckγ). 2 Ì Ø Ò ÐÐ Ò k = 2[ABC] aα+bβ +cγ. Æ Ò ÓÐÐ Ò P = (kα : kβ : kγ) = (h a : h b : h c ) ÙÒ Ú Ð Ø Ò k = 2[ABC] aα+bβ+cγ º ÃÙÒ k = 1 ÓÓÖ Ò Ø Ø α β γ Ú Ø Ú Ø Ô Ø Ò ØÓ ÐÐ Ø ÝÝ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Òº º¾ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò ØØ Ñ Ö ØÒ ÓÐÑ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ò Ò Ù Ò ØÖ ¹ Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ØØ Òº ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÐÑ Ú Ø Óй Ñ ÓÒ ÚÙ Ò Ó Ù Ø Ø ÙØ Ò ÔÔ Ð ¾º¾º½ ÓÒ ÙÚ ÐØÙ ØØ ÑÝ Ú Ò Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÓÐÑ Ó ¹ Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò Ù Ø Ø ÙØ Ò ÙÖ Ú ÙÚ Ø Òº ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ¹ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ØÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ø Ô Ò ÓÑÓ Ò Ð ÓÓÖ ¹ Ò ØØ Ò ÖØÓÑ Ò Ò Ú ÓÐÐ ÑÙÙØ Ô Ø Ò Ô Ø º ÐÙ Ù º½µº Öݹ ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ÓÒ ÓÐ Ñ Ú Ú Ð ÒØØ ÑÖ Ø ÐÑ ÓØ Ø ØÒ ÙÖ Ú º ÅÖ Ø ÐÑ º º È Ø Ò P ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù ¹ Ø Ò ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø ÓÐÑ Ø Ö Ø ØÝ Ø ÐÙÚÙ Ø α β γ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÖ Ú Ø ÓØ BD DC = γ β CE EA = α γ AF FB = β α. ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ P = (α : β : γ). ÅÖ Ø ÐÑ º º È Ø Ò P ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù ¹ Ø Ò ÑÙÓ Ó ØÙÚ Ø ÓÐÑ Ø Ö Ø ØÝ Ø ÐÙÚÙ Ø α β γ ÓØ ØÓØ ÙØØ Ú Ø ÙÖ Ú Ø ÓØ z y = γ β x z = α γ ÌÐÐ Ò Ñ Ö ØÒ P = (α : β : γ) ÙÚ µº ½ y x = β α.

17 ÃÙÚ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÑÝ ÓÐÑ ÓÒ Ö ¹ Ô Ø Ò Ô Ø Ò P ÑÙÓ Ó Ø Ñ Ò ÓÐÑ Ó Ò Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò ÚÙÐÐ º Ä ÑÑ Ò ¾º½¼ ÒÓ ÐÐ ÑÖ Ø ÐÑØ º º ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØØ º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÒÓÖÑ Ð Ó Ú Ð Ø Ñ Ð¹ Ð ÖÖÓ Ò k ÓÔ Ú Ø Ò Ò ØØ ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÙÑÑ Ò ½º ÆÓÖ¹ Ñ Ð Ó ÒØ ÚÓ Ò Ø Ñ ÐÐ Ó Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÓÐÑ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò ÙÑÑ ÐÐ Ð Ú Ð Ø Ñ ÐÐ k = α+β+γº ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø Ò P ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ)º ÆÓÖÑ Ð Ó ÒÒ Ò Ð Ò Ô Ø Ò P ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ( P = α α+β +γ : β α+β +γ : ) γ. α+β +γ º ÃÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ô Ø Ø ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÑÖ ØØ ÓÐÑ ÓÒ ÐÐ ØØ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ Ô Ø ÐÐ º Ë ÒÓÑÑ ØØ Ô Ø P ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ABC ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ö Ô Ø Ò A Ù Ø Ò Ó P BCAº È Ø P ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ò Ò Ý Ò Ö Ô Ø Ò Ù ¹ Ø Òº ÀÙÓÑ Ø Ò Ù Ø Ò Ò ØØ Ô Ø ÚÓ ÓÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÖ Ò¹ Ø Ò Ò Ö Ô Ø Ò Ù Ø Òº ÃÙÒ Ô Ø P ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÒ Ò Ö Ô Ø Ò Ù Ø Ò ÓÚ ¹ Ø Ò ØØ Ú Ø Ú ÖÝ ÒØÖ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ø Ú Ò ÖÚÓÒº ÂÓ Ñ Ö Ô Ø P ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ö Ô Ø Ò A Ù Ø Ò Ô Ø Ò P α¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ò Ø Ú Ò Òº ÃÓÐÑ ÓÒABC ÚÙ Ø Ø ØÙØ ÙÓÖ Ø AB BC AC Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ Ò ÐÙ Ò ÙÙØ Ò ÐÓ ÓÓÒº ÃÙÚ Ø ½¼ Ò Ò ØØ Ô Ø P ÚÓ ÓÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ Ú Ò Ò Ö Ô Ø Ò ½

18 Ù Ø Ò ÖÖ ÐÐ Ò ÓØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø α β γ Ú Ò ÚÓ ÓÐÐ ÖÖ Ð¹ Ð Ò Ò Ø Ú º ÂÓ ÓÐÑ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÚ Ø Ò Ú Ø ÚÓ Ò ÐÙ Ù 1 ÐÐÝØØ ÖØÓ Ñ Ò k ÓÐÐÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø α β γ Ò ÔÓ Ø Ú Ô Ø ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ Ðк ÃÙÚ ½¼ ÃÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò ÑÖÑØ ÙÓÖ Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÚÒ ÐÙ Ò ÙÙØ Ò ÐÓ ÓÓÒº ÃÙÚ ÓÒ Ø ØØÝ Ñ Ò ØÙÑ Ö Ò ÓÓÖ¹ Ò Ø Ø α β γ Ú Ø Ñ Ò ÐÓ Ó º ÀÙÓÑ ÙØÙ º º Ã Ö ÐÐ ÙÙ ÒØÝÝ ØÓ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ ØØ ÐÐ Ùй Ñ Ò ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ô Ø º È Ø Ò P ÒÓØ Ò ÓÐ Ú Ò ÙÐÑ Ò BAC ¹ ÔÙÓÐ ÐÐ Ó PC AB PB ACº ÌÐÐ ÑÖ Ø ÐÑÐÐ Ô Ø P ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ¹ ÔÙÓÐ ÐÐ Ó ÓÒ ÙÒ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ Ò ÔÙÓÐ ÐÐ º ÌÐÐ Ò ÙÐ ÓÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐ Ú Ø Ô Ø Ø ÓÚ Ø Ò Ø ÓØ ÚØ ÓÐ ÔÙÓÐ ÐÐ ÚØ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ ÐÐ º ½

19 º Ñ Ö ÃÙÒ Ô Ø P Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙÐÐ Ò Ò Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø Ú ÒØÒ Ý ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ º ÌÑ ÙÖ Ø ØØ Ô Ø Ò P ÓÐÐ Ñ Ö ÚÙÐÐ BC ÓÒ Ò Ø ÝÝ h a Ý Ò ÚÙÙÒ ÒÓÐÐ º ÌÐÐ Ò α = 0 P = (0 : β : γ)º ÖÝ ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ ØÑ ÚÓ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò ÔØ ÐÐ Ø ØØ ÑÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò Ô Ø P ÑÙÓ Ó Ø ÓÐÑ ÓÒABC Ö Ô Ø Ò Ò ÓÐÑ ÓÐÑ ÓØ PBC PCA PABº ÂÓ Ù Ø Ò Ò Ô Ø P ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ BC ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÒÓ Ø Ò ÓÐÑ ÓØ PBA PCAº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒØ ¹ Ð ÚÓ Ò Ñ Ö Ø ÒÓÐÐ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø (0 : β : γ)º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ØØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Øº ÃÖ Ô Ø A Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÐÐ AB ØØ AC ÓØ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø β γ Ú Ø ÖÚÓÒ ÒÓÐÐ º ÃÓÓÖ Ò ØØ α ÚÓ ÔÙÓÐ Ø Ò Ñ Ò Ø Ò ÖÚÓÒ ÑÙØØ ¹ Ø Ñ Ö ØÒ ÝÐ Ò ÐÙÚÙÐÐ Ý ÐÐ Ò ÖÚÓ ÚÓ Ò ÐÐÝØØ ÖØÓ ¹ Ñ Ò kº ÃÖ Ô Ø Ò A ØÖ Ð Ò Ö Ø ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø (1 : 0 : 0)º Î Ø Ú ÔØØ ÐÝ ÚÓ Ò Ø ÓÐÑ ÓÒ ÑÙ ÐÐ Ò Ö Ô Ø ÐÐ B = (0 : 1 : 0) C = (0 : 0 : 1)º º º½ Ì ÚÙ Ò Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ò ÓÐÑ Ó ÅÖØÒ ÙÖ Ú ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò Ö ØÝ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø ÐÐ º Ì ÚÙ Ò Ò ÓÐÑ Ó ABC ÓÒ ÓÐÑ Ó ÓÒ ÓÐÑ ÚÙ ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø º ÇÐ ÓÓØ AD BE CF Ø ÚÙ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ñ Ò Ô Ø G Ñ Ò Ò Ð Ù Ô Ø º ÃÓ Ô Ø Ø D E F Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ Ú٠й Ð Ô Ø Ò D α¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ô Ø Ò E β¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ Ô Ø Ò F γ¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º Å Ò Ø Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙØ Ý ØÔ Ø¹ Ò Ó Ò Ð BD DC = 1 1, CE EA = 1 1, AF FB = 1 1. È Ø Ò D E F ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÐ Ú Ø Ò Ò ÓÐÐ Ò ÑÖ Ø Ð¹ ÑÒ º ÑÙ Ò D = (0 : 1 : 1) E = (1 : 0 : 1) F = (1 : 1 : 0)º ÆÓÖÑ Ð Ó ¹ Ò Ù Ø Ò Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÐÐÓ Ò Ò D = ( 0 : 1 : ( 1 2 2) E = 1 : 0 : ) F = ( 1 : 1 : 0) º 2 2 Å Ò Ø AD BE CF Ð Ú Ø Ô Ø Ò G Ú Ò ÓÐÑ ÓÒ DEF ÚÙ Ô Ø Ó Ø Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ X Y Zº ÈÙÓÐ ÙÓÖ Ø AX AZ Ú Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙÒ BC ÓÐÑ Ò Ý Ø Ô Ø Ò Ó Ò ÔÙÓ¹ Ð ÙÓÖ Ø BX BY Ú Ø ÚÙÒ CA ÓÐÑ Ò Ñ ÒÔ ØÙ Ò Ó Òº ÆÝØ Ó γ = 2 β 1 α = 1 β = 1 γ 2 α 1 Ò Ò Ô Ø Ò X ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø Ò X = (1 : 1 : 2)º ÆÓÖÑ Ð Ó ØÙÒ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø X = ( 1 : 1 : ) º ½

20 Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ô Ø Ò Y Z ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø Ò Y = ( 1 : 1 : ( ) Z = 1 : 1 : ) º ÅÖ Ø ÐÑ Ø º Ò ÑÝ Ô ÒÓÔ Ø Ò G ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò ¹ Ø Ø ÓØ ÓÚ Ø Ø ÚÙ ÓÐÑ Ó ÒÓÖÑ Ð Ó ÒÒ Ò Ð Ò G = ( 1 : 1 : ) ÙÚ ½½µº ÀÙÓÑ ÙØÙ º º Ø ÝÚ Ò ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò ÐÑ Ø G = (1 : 1 : 1)º ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø Ñ Ø Ù Ò Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ¹ Ò Ø Øº Ä ÑÑ Ò ¾º½ ÒÓ ÐÐ Ô ÒÓÔ Ø Ò G Ó Ø ÙÓÖ Ø Ø ÝÝ Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ ÐÐ ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Ø ÓÐÐÓ Ò Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø P = (1 : 1 : 1)º ÆÓÖÑ ¹ Ð Ó ÒÒ Ò Ð Ò ØÖ Ð Ò Ö Ò P = ( 1 : 1 : ) º ÃÙÚ ½½ Ì ÚÙ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò Ô Ø Ò ÒÓÖÑ Ð Ó ÙØ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Øº Ì ÚÙ ÓÐÑ Ó ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù ¹ Ô Ø ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø ÓÖ Ù ÒÓ Ò Ð Ù Ô Ø ÓÚ Ø Ñ Ô Ø º Æ Ò ÓÐÐ Ò ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÐÐ Ô Ø ÐÐ ÓÚ Ø ÐÐ Ñ Ø ( 1 : 1 : ) º ÅÖ Ø ØÒ ØØ Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ØÓ ÐÐ Ö Ó Ø Ô Ù ÐÐ º ËÙÓÖ ÙÐÑ Ø ÝÐ ÓÐÑ Ó Ø Ø Ø ÓÚ Ø Ý Ø Ô Ø Óй ÐÓ Ò Ñ Ò Ø Ú Ø Ò Ý Ø Ô Ø Ò Ó Ò AF = FB = BD = DCº Ì ¹ ÚÙ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ô Ò ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ø ÝÐ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò ¹ Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ÒÓÖÑ Ð Ó ØÙÒ D = ( 0 : 1 : 1 2 2) ½

21 E = ( 1 : 0 : ( 1 2 2) F = 1 : 1 : 0) º Ë ÑÓ Ò Ô Ø Ò X Y Z ÓÓÖ Ò Ø Ø 2 2 ÓÚ Ø X = ( 1 : 1 : ( ) Y = 1 : 1 : ( ) Z = 1 : 1 : ) º ÅÝ Ô ÒÓÔ Ø Ò G ÖÝ ÒØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø Ø ÚÙ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ø Ô Ò G = ( 1 : 1 : ) º ÃÙÚ ½¾ ÓÒ Ø ØØÝ ÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ø ÝÐ ¹ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ó Ò Ò Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Øº ÃÙÚ ½¾ ËÙÓÖ ÙÐÑ Ò Ø ÝÐ Ò ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò Ô Ø Ò ÖÝ Òع Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Øº º º¾ ÃÓÐÑ ÓÒ Ð Ø Ñ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø ÃÓÐÑ ÓÒ Ð Ñ Ö ÐÐ Ô Ø Ø ÓÒ Ý Ø Ò Ò Ð º ÆÑ ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ Ñ Ò Ò Ð Ù Ô Ø ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø ÓÖ Ù ÒÓ Ò Ð Ù Ô Ø º Ø ØÒ ÙÖ Ú Ò Ò Ô Ø Ò ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Øº Å Ò Ò Ð Ù Ô Ø º ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø G ÓÒ Ø ÐØÝ ÑÑ Ò ÐÙÚÙ ¾º¾º½º ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø G = (1 : 1 : 1) Ø ÒÓÖÑ Ð Ó ØÙÒ G = ( 1 : 1 : ) º È ÒÓÔ Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø ÔÙÓÐ Ø Ò G = ( 1 : 1 : 1 a b c) º ¾¼

22 ÃÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø º ÃÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ùع ÙØ Ò ÙÓÖ Ó ÙÐ ÙÐÑ Ú Ø Ú Ò Ö Ò ÙØØ Ò ÙÐÑ Ò Ø Ò Ý Ø ÙÙÖ Ò ÙÐÑ Òº ÃÓÐÑ ÓÒ ÓÐÑ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø I ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓ¹ Ð ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò º Ò ÒØ Öµº ÃÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø ÓÒ ÑÝ ÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø º ÃÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø I = (a : b : c) ØÖ Ð Ò Ö Ø I = (1 : 1 : 1) º à ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø º ÃÓÐÑ ÓÒ ÒÓÖÑ Ð ÐÐ Ø Ö Ó Ø ¹ Ø Ò ÙÓÖ Ó ÙÐ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÒ Ô Ø Ò ÙØØ ÑÙÓ Ó Ø Ò Ø¹ ÑÒ Ò ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Òº ÃÓÐÑ ÓÒ ÓÐÑ ÒÓÖÑ Ð Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø Oº à ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ò º ÖÙÑ Ò¹ Ø Öµ ÓÒ ÑÝ ÓÐÑ ÓÒ ÝÑÔÖ Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ Ô Ø º à ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ØÖ Ð Ò Ö Ø O = (sin2 BAC : sin2 CBA : sin2 ACB), O = (cos BAC : cos CBA : cos ACB) Ø O = ( a ( a 2 +b 2 +c 2) : b ( a 2 b 2 +c 2) : c ( a 2 +b 2 c 2)) [ ]. ÃÓÖ Ù ÒÓ Ò Ð Ù Ô Ø º ÃÓÐÑ ÓÒ ÓÖ Ù Ò ÙØ ÙØ Ò ¹ Ò Ó ÙÐ ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø Ø Ú Ø ÐÐ ÚÙÐÐ ÑÙÓ Ó Ø Ò ØÑÒ Ò ÙÓÖ Ò ÙÐÑ Òº ÃÓÐÑ ÓÒ ÓÐÑ ÓÖ Ù Ò Ð ¹ Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø H ÓØ ÙØ ÙØ Ò ÑÝ ÓÖØÓ Ù Ò º ÓÖØ Ó ÒØ Öµº ÃÓÖ Ù ÒÓ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø H = (tan BAC : tan CBA : tan ACB) ØÖ Ð Ò Ö Ø H = (sec BAC : sec CBA : sec ACB) º º º Ú Ò ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ Ò ÙÙÒØ ÐÐ ÒÓ ÐÐ Ð Ù¹ Ñ Ò Ò ÈÓ Ø Ò ÙÖ Ú Ñ Ø Ò Ô Ø Ò P Ð ÙÑ Ò Ò Ú Ò ÐÐ AD Ú Ùع Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø Ò P ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ)º Ä ÑÑ Ø ¾º½¼ Ò z y = [PAB] [PCA] = BD DC = γ β. ÃÙÒ Ô Ø P Ð ÙÙ Ú Ò ÐÐ AD ÓÓÖ Ò ØØ Ò β γ Ù ÔÝ ÝÝ Ñ Ò ÐÐ Ô Ø D ÚÙÒ BC ÐÐ Ò Ù Ø BD = γ º Æ Ò ÓÐÐ Ò DC β ÑÝ ÓÐÑ Ó Ò PAB PCA Ô ÒØ ¹ ÐÓ Ò Ù Ø Ø ÔÝ ÝÚØ Ñ Ò º ÃÙÒ ¾½

23 Ô Ø P Ð ÙÙ Ú Ò ÐÐ Ó Ø Ô Ø ØØ D ÓÐÑ Ó Ò PAB PCA Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ú Ú Øº ÌÐÐ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò ÓÐÑ ÓÒ PBC Ô ÒØ ¹ Ð Ô Ò Ò Ù Ø ÑÙ Ò ÓÐÑ ÒÒ Ò ÓÓÖ Ò Ø Ò α ÓÒ ÑÙÙØÙØØ Ú º ÃÓÓÖ Ò ØØ α ÑÙÙع ØÙÙ ÑÝ ÙÒ Ô Ø P Ð ÙÙ Ú Ò AD Ô Ø Ò Ó Ø Ö Ô Ø ØØ Aº È Ø ÒP Ð Ù Ú Ò ÐÐ AD ÓÓÖ Ò Ø Øβ γ ÑÙÙØÙÚ Ø Ñ Ù Ø º Î Ø Ú Ø ÙÒ Ô Ø P Ð ÙÙ Ú Ò BE Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø α γ ÑÙÙØØÙÚ Ø Ñ Ù Ø ÙÒ Ð ÙÑ Ò Ò Ø Ô ØÙÙ Ú Ò ÐÐ CF ÓÓÖ Ò Ø Ø α β ÑÙÙØØÙÚ Ø Ñ Ù Ø º Ë ÙÒ Ô Ø P Ð ÙÙ ÓØ Ò Ú Ò Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò ØØ ÑÙÙØØÙÚ Ø Ñ Ù Ø º Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ô Ø Ò P Ð ÙÑ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò ÙÙÒØ ÒÓ Ô Ø Ò ÔÓ Ø Ò Ñ Ø Ò ØÑ Ú ÙØØ Ô Ø Ò Öݹ ÒØÖ Ò ÓÓÖ Ò ØØ Òº ÃÙÚ ½ ÃÓÐÑ ÓÒ ÚÙÒ ÙÙÒØ ÐÐ Ò ÐÐ Ð ÙÑ Ò Ò Ô Ø Ý Ò ÓÓÖ¹ Ò Ø Ò Ñ Ò º ÇÐ ÓÓÒ ABC ÓÐÑ Ó Ô Ø Ø B C ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ ÐÐ AB CA Ø Ò ØØ Ò B C ÓÒ Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÒ BC Ò º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø P Ò ÐÐ B C Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ)º È Ø P ÑÙÓ Ó Ø ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø Ò Ò ÓÐÑ ÓÐÑ ÓØ º Å Ö ØÒ ÓÐÑ ÓÒ PBC ÓÖ ÙØØ Ö Ñ ÐÐ hº ÃÓÐÑ ÓÒ PBC Ô ÒØ ¹ Ð Ò Ð ØØÙ ÖØÓÑ ÐÐ ÚÙÒ BC Ô ØÙÙØØ a ÓÐÑ ÓÒ ÓÖ Ù ÐÐ h Ñ ÐÐ ÐÐ ÓÐÐÓ Ò [PBC] = ah 2 º ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò [PBC] = ah 2 = αº Ä ÙØ Ò ØØ Ò Ò ÐÐ B C ÙÙØ Ò Ô Ø Ò R ÓÒ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø R = (α : β : γ )º ÅÝ Ô Ø R ÑÙÓ Ó Ø ÓÐÑ ÓÒ Ö ¹ ¾¾

24 Ô Ø Ò Ò ÓÐÑ ÓÐÑ ÓØ º ÃÓÐÑ ÓÒ RBC ÓÖ Ù ÓÒ Ñ Ù Ò Óй Ñ ÓÒ PBC ÐÐ Ò B C ÓÒ Ý Ò ÙÙÒØ Ò Ò Ò Ò BC Ò Ò Ò ÓÐÐ Ò ÒÓ Ò ÚÐ Ò Ò Ø ÝÝ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ñ Ø Ò Ô Ø º ÃÓ ÓÐÑ Ó Ò ÒØ ÓÒ ÑÝ Ñ Ò ÓÐÑ ÓÒ RBC Ô ÒØ ¹ Ð ÑÝ [RBC] = ah 2 º ÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò [RBC] = ah 2 = α º Æ Ò Óй Ð Ò α = α Ô Ø Ò P R Ò ÑÑ Ò Ò ÖÝ ÒØÖ Ò Ò ÓÓÖ Ò ØØ ÓÒ Ñ ÙÚ ½ µº ÃÙÒ Ô Ø Ð ÙÙ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÒ BC ÙÙÒØ Ø Ò Ô Ø Ò Ô Ø Ò α¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÔÝ ÝÝ Ñ Ò º Î Ø Ú Ø ÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÒ AC ÙÙÒØ ÐÐ Ò ÐÐ Ô Ø Ò β¹ ÓÓÖ Ò ØØ ÔÝ ÝÝ Ñ Ò ÚÙÒ AB ÙÙÒ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÐ Ð ÙÑ Ò Ò Ô Ø γ¹ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ñ Ò º ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓØ Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙÒ ÙÙÒØ Ø Ò Ô Ø Ò Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ¹ Ò Ø Ø Ý ÔÝ ÝÝ Ñ Ò º ¾

25 ÅÙÙÒÒÓ Ú Ø Ì ÐÙÚÙ Ø ØÒ Ù Ò ØÖ Ð Ò Ö ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò ØØ ¹ ÚÓ Ò ÑÙÙÒØ ØÓ Ò ÐÔÓÐÐ ÑÙÙÒÒÓ Ú ÐÐ º ÄÙÚÙ Ø ØÒ ÑÝ Ù Ò ÝÐ ÑÑ Ò ÝØ ØØÝ ÖØ ÓÓÖ Ò ØØ ÚÓ Ò ÑÙÙع Ø ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø º ÄÙÚÙÒ ÐÓÔÙ Ø ØÒ Ú Ð ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò ÝØ Øº º½ ÌÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ú ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú ØÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÙÙÒØ Ñ ØÓ Òº ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º ÑÙ Ò Ø ÐÐ Ô Ø Ò P ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Ò ÑÙÓ Ó Ø ¹ Ñ Ò ÓÐÑ Ó Ò PBC PCA PAB Ô ÒØ ¹ ÐÓ º ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ÔÙÓÐ Ø Ò Ô Ø Ò P Ó Ø ÙÓÖ Ø Ø ÝÝ Ø h a h b h c ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò Ø Ø Òµº Â Ò Ø h a h b h c ÓÚ Ø ÑÝ ÓÐÑ Ó Ò PBC PCA PAB ÓÖ Ù ÒÓ º ÃÓÐÑ Ó Ò PBC PCA PAB Ô ÒØ ¹ Ð Ø Ò Ð ØØÙ ÖØÓÑ ÐÐ ÒÓ h a h b h c ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò Ô ¹ ØÙÙ ÐÐ a b c ÖØÓÑ ÐÐ Ú Ð ÐÙÚÙÐÐ 1º ÄÙ Ù 1 ÚÓ Ò Ù Ø Ò Ò 2 2 ÐÐÝØØ ÖØÓ Ñ Ò kº ÌÐÐ Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ò ÖØÓ¹ Ñ ÐÐ ØÖ Ð Ò Ö ÓÓÖ Ò ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò Ô ØÙÙ ÐÐ a b cº Æ Ò ÓÐÐ Ò ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò ÅÙÙÒÒÓ Ú º½º (α : β : γ) = (aα : bβ : cγ ), Ñ α β γ ÓÚ Ø ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø α β γ ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø a b c ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò Ô ØÙÙ º º¾ ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÖØ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÙÙÒ¹ ÒÓ Ú ÅÙÓ Ó Ø Ø Ò ÙÖ Ú ÑÙÙÒÒÓ Ú ÓÒ ÚÙÐÐ ÖØ Ø ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ø ÚÓ Ò ÑÙÙØØ ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø ØÓ ÒÔ Òº ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø P ÓÐÑ ÓÒ ABC ÐÐк Å Ö ØÒ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô ¹ Ø Ø Ú ØÓÖ ÐÐ A = (a 1,a 2 ) B = (b 1,b 2 ) C = (c 1,c 2 ). Ì ØÒ ØØ Ô Ø Ò P ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (x,y) Ò Ö Ô Ø Ò A B C ÓÓÖ Ò Ø Ø ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ) P = αa+βb +γc. ¾

26 ÇÐ Ø Ø Ò ÑÝ ØØ α+β +γ = 1 γ = 1 α β. Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò 0. { { x = αa1 +βb 1 +γc 1 α(a1 c 1 )+β(b 1 c 1 ) = x c 1 y = αa 2 +βb 2 +γc 2 α(a 2 c 2 )+β(b 2 c 2 ) = y c 2 ( ) ( ) ( ) α a1 c 1 b 1 c 1 x c1 =. β a 2 c 2 b 2 c 2 y c 2 ( ) a1 c Å Ö ØÒ 1 b 1 c 1 = T. a 2 c 2 b 2 c 2 ÌÐÐ Ò ( ) ( ) α α T = (P C) = T 1 (P C). β β Å ØÖ T ÓÒ ÒØÝÚ Ó Ò Ø ÖÑ Ò ØØ (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ø ÖÑ Ò ØØ ÓÒ ÒÓÐÐ ÓÐÐÓ Ò (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) = (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) a 1 c 1 a 2 c 2 = b 2 c 2 b 1 c 1 a 1 c 1 a 2 c 2 = b 2 c 2 b 1 c 1. ÌÑ Ø Ö Ó ØØ ØØ ÙÓÖ Ò AC CB ÙÐÑ ÖØÓ Ñ Ø ÓÚ Ø Ñ Ø ÓÐÐÓ Ò Ô Ø Ø A B C ÓÚ Ø Ñ ÐÐ ÙÓÖ ÐÐ ÚØ Ò Ò ÓÐÐ Ò ÑÙÓ Ó Ø ÓÐÑ ÓØ º Ì Ø ÝÒØÝÝ Ö Ø Ö Ø ÐÐ Ô Ø Ø A B C ÓÒ ÓÐ Ø ØØÙ ÐÙ ÓÐÑ ÓÒ Ö Ô Ø º Æ Ò ÓÐÐ Ò (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) 0. ÆÝØ ÒØ Ñ ØÖ T 1 Ò ( ) T 1 1 b2 c = 2 c 1 b 1. (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) c 2 a 2 a 1 c 1 ÆÝØ Ò ( ) α β ( )( ) 1 b2 c = 2 c 1 b 1 x c1 (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) c 2 a 2 a 1 c 1 y c 2 ( ) 1 (b2 c = 2 )(x c 1 )+(c 1 b 1 )(y c 2 ) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) (c 2 a 2 )(x c 1 )+(a 1 c 1 )(y c 2 ) ) = ( (b2 c 2 )(x c 1 )+(c 1 b 1 )(y c 2 ) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) (c 2 a 2 )(x c 1 )+(a 1 c 1 )(y c 2 ) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) ÃÓ γ = 1 α β ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò. ¾

27 ÅÙÙÒÒÓ Ú º¾º α = (b 2 c 2 )(x c 1 )+(c 1 b 1 )(y c 2 ) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) β = (c 2 a 2 )(x c 1 )+(a 1 c 1 )(y c 2 ) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) γ = 1 α β, Ñ x y ÓÚ Ø Ô Ø Ò P ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø α β γ Ò ÖÝ Òع Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Ò ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Øº º Ñ Ö Ø ØÒ ØØ Ò Ó Ø Ò Ñ Ö ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ Ò Ý ÝÒØÑ Øº Ä Ø Ò Ñ Ò Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù ¹ Ô Ø Ò ÓÑÓ Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ý ÝÒØ Ò Ò Ò ÖØ ÓÓÖ Ò Ø¹ Ø ÑÙÙÒÒÓ ÚÓ º½ º¾º ÃÓÓÖ Ò ØØ Ð ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ö Ô Ø Ò ÖØ ÓÓÖ Ò ØØ Ñ Ö ØÒ ÙÖ Ú Ø A = (a 1,a 2 ) B = (b 1,b 2 ) C = (c 1,c 2 )º ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø GÓÒ Ø ÐØÝ ÑÑ Ò ÐÙÚÙ ¾º¾º½ º º¾º ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓ Ô Ø Ò ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ( 1 G = 3 (a 1 +b 1 +c 1 ), 1 ) 3 (a 2 +b 2 +c 2 ). Ë Ó Ø Ø Ò ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò º¾ ÓÐÐÓ Ò Ò α = (b 2 c 2 )( 1 3 (a 1+b 1 +c 1 ) c 1)+(c 1 b 1 )( 1 3 (a 2+b 2 +c 2 ) c 2) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) G = β = (c 2 a 2 )( 1 3 (a 1+b 1 +c 1 ) c 1)+(a 1 c 1 )( 1 3 (a 2+b 2 +c 2 ) c 2) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) γ = 1 α β α = 1 a1b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 3 a 1 b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 G = β = 1 3 a1b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 a 1 b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 γ = 1 2 a1b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 3 a 1 b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 α = 1 3 G = β = 1 3 γ = 1 3 ( ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø Ò Ò ÓÐÐ Ò G = 1 : 1 : ) º Ø Ð ÐÐ ÚÓ Ò ÓÑÓ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ 1 ÐÐÝØØ Ö¹ 3 ØÓ Ñ Òk ÓÐÐÓ Ò Ô ÒÓÔ Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ÒG = (1 : 1 : 1)º È ÒÓÔ ¹ Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø Ò ÔÙÓÐ Ø Ò ÑÙÙÒÓ Ú Ò º½ ÚÙÐÐ G = ( 1 : 1 : 1 a b c) º ¾

28 ÃÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø ÓÒ Ø ÐØÝ ÑÑ Ò ÐÙÚÙ º º¾º ÃÓй Ñ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÖØ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ( aa1 +bb 1 +cc 1 I =, aa ) 2 +bb 2 +cc 2. a+b+c a+b+c Ä Ø Ò Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø Ó ØØ Ñ ÐÐ ÖØ Ø ÓÓÖ ¹ Ò Ø Ø ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò º¾ ÓÐÐÓ Ò Ò α = (b 2 c 2 )( aa 1+bb 1+cc 1 c a+b+c 1)+(c 1 b 1 )( aa 2 +bb 2 +cc 2 c a+b+c 2) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) I = β = (c 2 a 2 )( aa 1+bb 1+cc 1 c a+b+c 1)+(a 1 c 1 )( aa 2 +bb 2 +cc 2 c a+b+c 2) (a 1 c 1 )(b 2 c 2 ) (b 1 c 1 )(a 2 c 2 ) γ = 1 α β α = a a1b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 a+b+c a 1 b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 I = β = b a+b+c a1b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 a 1 b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 γ = 1 a+b a1b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 a+b+c a 1 b 2 a 1 c 2 b 2 c 1 a 2 b 1 +b 1 c 2 +a 2 c 1 α = a a+b+c I = β = b a+b+c γ = c. a+b+c ÀÓÑÓ Ò ÙÙ Ò ÒÓ ÐÐ 1 a+b+c ÚÓ Ò ÐÐÝØØ ÖØÓ Ñ Ò k Óй ÐÓ Ò ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø I = (a : b : c)º È Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø ÑÙÙÒÒÓ Ú Ò º½ ÒÓ ÐÐ I = (1 : 1 : 1)º ¾

29 È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó Óй Ñ ÓÒ Ù Ø Ò Ì ÐÙÚÙ Ø ÐÐÒ ØØ Ø Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò Ö Ó Ø Ô Ù ¹ Ò Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ù Ø Òº ÄÙÚÙ ØÝØÒ Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÓØ ÓÚ Ø ØÑÒ ØÝ Ò ÒÒ ÐØ ÒÒÓ Ø ¹ Ú º º½ È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ë ÙÖ Ú Ø ÐÐÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø º ÌÑ ÐÙ Ù Ô ÖÙ ØÙÙ Ø Ó ¹ Ò ÈÖÓ Ø Ú Ò Ö Ð Ø ÓÑ ØÖ º È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÙÚ Ù Ø Ó ÙÚ ÒÒ ØÙÒ Ô Ø ÓÙ ÓÒ Ô Ø Ø Ó Ó Ñ Ò Ø ÓÒ Ò ØÓ Ò Ô Ø ÓÙ ÓÒ Ô Ø º ÇØ ¹ Ø Ò Ñ Ö Ø Ú ÐÐ Ò Ò Ø Ó ÓÒ Ô Ø Ø Ñ Ö ØÒ ÖØ ÐÐ ÓÓÖ¹ Ò Ø ÐÐ º ÇÐ ÓÓÒ P Ó Ò Ø ÓÒ Ô Ø ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø P = (x,y). ÇØ Ø Ò ØØ Ò Ô Ø P = (x,y ) ÓÒ ÓÓÖ Ò Ø Ø Ö ÔÔÙÚ Ø Ô Ø Ò P ÓÓÖ Ò Ø Ø ÙÖ Ú Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÑÙ Ø x = x+5, y = y 3. º½µ ÇØ Ø Ò Ñ Ö Ô Ø A = (3,2)º Ê Ð Ø Ó º½ ÑÖ ØØ Ð Ô Ø Ò A ÓÓÖ Ò Ø A = (8,8)º Ê Ð Ø ÓØ º½ ÒÓØ Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙÚ Ô Ø Ø P A Ô Ø P A º È Ø Ø P A ÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ò P A ÙÚ º ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ Ω Ô Ø ÓÙ Óº È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó τ : Ω Ω ÙÚ Ô Ø ÓÙ ÓÒ Ω Ó Ò Ô Ø Ò P Ô Ø ÓÙ ÓÒ Ω Ô Ø P º È Ø ÓÙ Ó Ω ÓÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø Ò ÙØ ÙØ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó º È Ø ÓÙ Ó Ω Ó ÐØ ÓÙ ÓÒ Ω Ô Ø Ò ÙÚ Ù Ø ÙØ ÙØ Ò ÔÙÓÐ Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÚ ÓÙ Ó º È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ ÓÐÐ Ø Ó Ò º ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ µ Ö ÔÔÙ Ò Ø Ñ ¹ Ø Ò Ô Ø Ø ÙÚ ÙØÙÚ Ø ØÓ Òº ÇÐ ÓÓÒP ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÚ ÓÙ ÓÒ Ô ¹ Ø º ÂÓ ÓÒ ÓÐ Ñ Ý Ú Ò Ý Ô Ø Ø P Ö ÔÔÙÚ Ô Ø Q ÓÒ ÙÚ P ÓÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ ÒÓØ Ò Ø Ú º Ñ Ö ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó º½ ÓÒ Ø Ú Ò Òº ÇÐ ÓÓÒ (x,y) Ø ÓÒ Ô Ø º ØÐ Ø x = f (x,y) y = g(x,y) º µ ØØÚØ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ÓÒ ÙÒ Ø Ó Ò f g ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ÓÒ ÙÚ ÓÙ Ó ÓÒ Ó Ó Ó Ó Ø Ó Ø Ó Ò Ò Ó ¹ ÓÙ Óº ÂÓ Ý ØÐ ÐÐ º µ ÓÒ Ý ØØ Ò Ò Ö Ø Ù (x,y) ÐÐ (x,y ) ¾

30 Ò Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ Ø Óº ÌÓ Ò ÒÓ Ò Ó τ ÓÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó Ø Ó ÓÒ ÓÐ Ñ ÙÒ Ø ÓØ f g Ø Ò ØØ Ý ØÐ Ø º µ ØØÚØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ τº ÂÓ τ ÓÒ Ø Ó Ý ØÐ Ò º µ ÓÒ Ú Ò Ý Ö Ø Ù x = F (x,y ) y = G(x,y ), Ó ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÐÐ (x,y ) Ó ÐÐ P = (x,y ) ÙÙÐÙÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ ÙÚ ÓÙ ÓÓÒº ÂÓ τ ÓÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ ÓÒ Ô Ø ÓÙ Ó Ω ÒÓØ Ò ØØ τ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÙ Ó Ø Ω ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ ÙÚ ÓÙ ¹ ÓÓÒº ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÙ Ó Ø Ω ÓÙ ÓÓÒ Ω Ø Ö Ó ØØ ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ τ ÙÚ ÓÙ Ó ÐØÝÝ ÓÙ ÓÓÒ Ω ÑÙØØ ÚÐØØÑØØ ØÓ ÒÔ Òº Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ ÑÙÙØ Ñ Ñ Ö ÒØ º ÂÓ P ÓÒ Ô Ø Ò ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ Ö ØÒ τp º ÂÓ Ω ÓÒ Ó Ò Ô Ø ÓÙ Ó Ó ÙÙÐÙÙ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ τ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÓÒ Ò Ò Ñ Ö ÒØ τω Ø Ö Ó ØØ Ò ÓÙ ÓÒ Ω Ô Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÙ Ó º Å Ö ÒØ τω ÙØ ÙØ Ò Ô Ø ÓÙ ÓÒ Ω ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÙÚ Ù º È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø ÚÓ Ò Ø ÑÝ Ù ÑÔ Ô Ö Òº È Ø ÓÙ¹ ÓÐÐ ΩÚÓ Ò Ø Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Óτ Ø Ø ÑÙÓ Ó ØÙÚ ÐÐ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó ÓÙ ÓÐÐ τω ØÓ Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó σº ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÚÓ Ò ÙÓÖ Ø¹ Ø ÑÝ ÐÑ Ò ÚÐ Ú Ø ÙÐ Ñ ÐÐ ÙÓÖ Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ô Ø ÓÙ Ó Ø Ú Ñ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÙ ÓÓÒ ÙÚ ½ µº ÃÙÚ ½ Ã Ô Ö Ø Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ º ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÙÐÓº ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ τ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ÓÒ Ô Ø ÓÙ Ó Ωº ÇÐ ÓÓÒ σ ÐÐ Ò Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ¾

31 τ ÙÚ ÓÙ Ó ÙÙÐÙÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ σ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÓÒº ÌÖ Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ σ ØÙÐÓ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ Ò ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó ÙÚ Ô Ø Ò P Ô Ø σ(τp) ÐÐ P Ωº È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ σ ØÙÐÓ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ Ò Ñ Ö ØÒ στº Å Ö ÒØ Ø Ö Ó ØØ ØØ Ô Ø ÓÙ ÓÒ Ω Ô Ø ÐÐ Ø Ò Ò ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø Ó τ Ò Ò ÑÙÓ Ó ØÙÚ ÐÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÓÙ ÓÐÐ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó σº Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÙÖ Ú Ñ Ö Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÙÐÓ ¹ Ø º Ñ Ö º º ÇÐ ÓÓØ a,b,θ Rº ÇÐ ÓÓØ τ 1 τ 2 Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø Ø Ó ÓØ ÓÒ ÑÖ Ø ÐØÝ ÙÖ Ú Ø τ 1 : x = x+a y = by τ 2 : x = xsinθ +ysinθ y = xcosθ+ycosθ. Ø ØÒ ØÙÐÓ τ 2 τ 1 º ÇÐ ÓÓÒ Ω ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ 1 ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó Ô Ø P Ωº Å Ö ØÒ Ô Ø Ò P = (x,y) Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ τ 1 ÙÖ Ú Ø τ 1 P = P = (x,y )º ÌÐÐ Ò x = x+a y = by. Ë Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÐ ÚÓ Ò Ñ Ö Ø P = (x,y ) = τ 2 P ÓÐÐÓ Ò x = x sinθ+y sinθ, y = x cosθ+y cosθ. Ë Ó Ø Ø Ò Ø Ò ÖÚÓØ x y Ð ÙÔ Ö Ò Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ x y ÓÐÐÓ Ò Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó τ 2 τ 1 : x = (x+a)sinθ+bysinθ, y = (x+a)cosθ+bycosθ. ÂÓ Ò Ò Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ù Ö ØÝ Ø ÑÙÙØ Ø Ò Ð Ò Ò Ø Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó τ 2 ØØ Ò τ 1 Ò ØÙÐÓ τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 : x = xsinθ+ysinθ +a y = bxcosθ+bycosθ. Æ Ò ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò ØÙÐÓ τ 1 τ 2 ÓÐ Ñ Ù Ò τ 2 τ 1 ÓØ Ò Ô ¹ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò ÖØÓÐ ÙÐÐ ÓÒ Ñ Ö ØÝ Øº ¼

32 Ð ÑÑ Ò ÓÐ ÓÓÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó τ ÑÖ Ø ÐØÝ Ý ØÐ ÐÐ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó σ Ý ØÐ ÐÐ ÌÐÐ Ò ØÙÐÓ στ ÓÒ ÙÒ Ø ØÙÐÓ τσ ÓÒ τ : x = f (x,y) y = g(x,y), σ : x = h(x y) y = i(x,y). στ : x = h(f (x,y),g(x,y)) y = i(f (x,y),g(x,y)), τσ x = f (h(x,y),i(x,y)) y = g(h(x,y),i(x,y)). ÃÙÒ P P ÓÚ Ø Ô Ø Ø Ò Ò Ò Ò ÚÐ Ò Ò Ö Ð Ø Ó P = P Ø Ö Ó ØØ ØØ Ò ÓÚ Ø Ñ Ô Ø º ÃÙÒ Ω Ω ÓÚ Ø Ô Ø ÓÙ Ó Ò Ò Ö Ð Ø Ó Ω = Ω Ø Ö Ó ØØ ØØ Ó Ò Ò ÓÙ ÓÒ Ω Ô Ø ÙÙÐÙÙ ÑÝ ÓÙ ÓÓÒ Ω º Ã Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ τ ÚÐ Ò Ò Ö Ð Ø Ó τ = τ Ø Ö Ó ØØ ÔÙÓÐ Ø Ò ØØ Ò ÐÐ ÓÒ Ñ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Ó ØØ Ý Ø ÙÙÖÙÙ τp = τ P ÔØ ÐÐ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ô Ø ÐÐ P º ÃÙØ Ò ÐÐ ØÓ ØØ Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò ÖØÓÐ Ù ÓÐ ÚÐØع ÑØØ Ú ÒÒ Ò Ò Ð στ = τσ ÝÐ Ø Ô º à ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ù Ø Ò Ò Ò Ð ØÒÒ Ò Ò Ñ ØÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º º È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò ÖØÓÐ Ù ÓÒ Ð ØÒÒ Ò Ò Ð (τ 3 τ 2 )τ 1 = τ 3 (τ 2 τ 1 ) Ñ τ 1 τ 2 τ 3 ÓÚ Ø Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø Ó Ò ØÙÐÓØ ÓÚ Ø Ñ¹ Ö Ø ÐØÝ º ÌÓ ØÙ º ÇÐ ÓÓÒ P Ó Ò Ô Ø º Å Ö ØÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ò ØÙÐÓ ÙÖ Ú Ø ÆÝØ Ò ÐÐ Ò τ 1 P = P 1 τ 2 τ 1 P = τ 2 P 1 = P 2 τ 3 τ 2 τ 1 P = τ 3 P 2 = P 3. Æ Ò ÓÐÐ Ò τ 3 (τ 2 τ 1 ) = (τ 3 τ 2 )τ 1. τ 3 (τ 2 τ 1 )P = P 3 P 3 = τ 3 P 2 = τ 3 τ 2 P 1 = (τ 3 τ 2 )τ 1 P, τ 3 (τ 2 τ 1 )P = (τ 3 τ 2 )τ 1 P, ÐРȺ ½

33 È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ø Ñ Ò ØØ ÓÓÒ Ú Ð Ö Ó Ø Ô Ù Ò Ñ ÐØ ÒØ ¹ Ø ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Óº Á ÒØ Ø ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó ÙØ ÙØ Ò Ô Ø ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓØ Ó ÙÚ Ó Ò ÒÒ ØÙÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ô Ø Ò Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ω Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ Óº Á ÒØ ¹ Ø ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó I ÙÚ Ó Ò ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ô Ø Ò P Ø Ò Ð IP = P ÐÐ P Ωº ÅÖ Ø ÐÑÒ º ÒÓ ÐÐ Ó ÐÐ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÐÐ τ ÔØ τi = Iτ = τº È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÐÐ Ø Ó ÒØ Ø ØØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó I ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø x = x, y = y, Ñ (x,y) ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÖ ØØ ÐÝ ÓÙ ÓÒ Ô Ø (x,y ) ÙÚ ÓÙ ÓÒ Ô Ø º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ τ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Óº È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó σ ÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó Ò Ò ØÙÐÓ ÓÒ ÒØ Ø ØØ Ø¹ Ö Ò ÓÖÑ Ø Ó Ð στ = Iº È Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ τ ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓØ Ñ Ö ØÒ τ 1 º ÅÖ Ø ÐÑ Ø º ÙÖ ØØ Ó Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó τ ÓÒ Ø Ú Ò Ò Ò Ò ÒØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Óτ 1 ÓÒ Ò ÓÐ Ñ º Ä Ó τ ÙÚ Ô Ø Ò P Ô Ø P Ò Ò τ 1 ÙÚ Ô Ø Ò P Ô Ø P º º¾ È Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÑÖ Ø ÐÑØ È Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ù Ø Ò ÓÒ Ô Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ó Ó ÙÚ Ô ¹ Ø Ò ØÓ Ô Ø Ø ØÝÒ Ý Ð ØØ Ò ÒÒ Ò ÑÙ Òº Ë ÙÖ Ú ¹ Ø ØÒ Ñ Ø ÒÑ Óغ ÅÖ Ø ÐÑ ÓÒ ÐÐ Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÚÓ ¹ Ò Ø ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø Ò Ù Ø Ò ØØ ÓÐÑ ÓÒ ÙÓÖ Ò Ù Ø Òº ÄÙ Ò ÓÒ ÝÚ Ô Ð ÙØØ Ñ Ð Ò ÑÖ Ø ÐÑØ ¾º½¾ ¾º½ ¾º½ º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓØ ÒÒ ØØÙ ÓÐÑ Ó ABC Ô Ø Sº ÇÐ ÓÓÒ DEF Ô Ø ÒS Ú Ò ÓÐÑ Ó ÓÐÑ ÓÒABC Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓØP Ñ Ø Ò Ô Ø A B C Ò Ú Ò ÓÐÑ Óº Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø A B C ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ ÐØ Ø Ò ØØ Ö Ø Ù Ø Ø ÓÚ Ø [A,C ;B,F] = [B,C ;A,F], [B,A ;C,D] = [C,A ;B,D], [C,B ;A,E] = [A,B ;C,E]. Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø ØØ P ÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ò P ÓÒ¹ Ù ØØ Ô Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC Ô Ø Ò S Ù Ø Ò ÙÚ ½ µº ¾

34 ÃÙÚ ½ È Ø Ò P ÓÒ Ù ØØ Ô Ø P ÓÐÑ ÓÒ ABC Ô Ø Ò S Ù Ø Òº ÃÙÒ Ô Ø S ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ô ÒÓÔ Ø G ÓÒ Ù Ø ÓØ ÙØ ÙØ Ò Ó¹ ØÓÑ ÓÒ Ù Ø Ó º ÃÙÒ S ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ABC ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð ¹ Ù Ô Ø I ÝØ ØÒ Ò Ñ ØÝ Ø Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Óº ÄÙÚÙ ØÙØÙ ¹ ØÙØ Ò Ø Ö ÑÑ Ò Ò Ò Ö Ó Ø Ô Ù Òº ÅÖ Ø ÐÑ º Ô Ø Ø D E F ÚÓ Ò ÓÖÚ Ø Ô Ø ÐÐ X Y Z ÓØ ÓÚ Ø Ô Ø Ò S ØÖ Ð Ò Ö Ò ÙÓÖ Ò Ô Ø Øº Ì Ö ÑÑ Ò ØÑ ÓÒ ÑÙÓØÓ ÐØÙ ÑÖ Ø ÐÑ º½¼ ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º½¼º ÇÐ ÓÓØ ÒÒ ØØÙ ÓÐÑ Ó ABC Ô Ø S Ñ Ö ØÒ Ö Ñ ÐÐ s Ô Ø Ò S ØÖ Ð Ò Ö Ø ÙÓÖ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº ÇÐ ÓÓØ Ô Ø Ø X Y Z ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ò ÙÓÖ Ò s Ð Ù Ô Ø Øº ÇÐ ÓÓØ P Ñ Ø Ò Ô Ø A B C Ò Ú Ò ÓÐÑ Óº Î Ð Ø Ò Ô Ø Ø A B C ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ ÐØ Ø Ò ØØ Ö Ø Ù ¹ Ø Ø ÓÚ Ø [A,C ;B,Z] = [B,C ;A,Z], [B,A ;C,X] = [C,A ;B,X], [C,B ;A,Y] = [A,B ;C,Y]. Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø ØØ P ÙØ ÙØ Ò Ô Ø Ò P ÓÒ¹ Ù ØØ Ô Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÙÓÖ Ò s Ù Ø Ò ÙÚ ½ µº

35 ÃÙÚ ½ È Ø Ò P ÓÒ Ù ØØ Ô Ø P ÓÐÑ ÓÒ ABC ÙÓÖ Ò s Ù Ø Òº ÅÖ Ø ÐÑØ º º½¼ Ó Ø Ú Ø Ñ Ò ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÓÒº ÌÑ ÙÖ ØÙÐÓ Ø ÓÒ ÑÙ Ò Ö Ø Ù ÓÒ ÒÚ Ö ÒØØ ÔÖÓ Ø Ú Ø Ò ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø Ó Ò Ù Ø Ò ¾ ¾¾ º Ì ØÙØ ÐÑ Ù Ø Ò Ò ÝÚ ÒÒÝØ ÔÖÓ Ø Ú Ò ÓÑ ØÖ Ò ØÙÐÓ Ò ØÓ ØÙ ÚÙÙØ Ø Òº ÌØ Ù Ø Ò¹ Ò Ø ÖÚ Ø Ø Ö ÑÑ Ò Ø ÐÐ Ø ØÙØ ÐÑ º

36 Á ÓØÓÑ Ò Ò Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÐÐ ÐÙÚÙ Ø ÐØ Ò Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÝÐ Ò Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ù¹ Ú Ù Ò Ø Ô ØÙ ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø Ò Ù Ø Òº ÌÙØÙ ØÙØ Ò ÙÖ Ú Ý Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ò ÓØÓÑ Ò Ó ÓÒ Ð Ò ÓÒ Ù¹ Ø ÓÓÒº ÄÙ Ù Ô ÖÙ ØÙÙ Ð Ý Ø Ð Ø Ò º º½ Á ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó È Ø Ò ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÐÑ ÓÒ Ô Ø Ò Ù Ø Ò Ò Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÝÐ Ø ÑÖ Ø ÐÑ Ø º ÙÒ Ú Ð Ø Ò ØØ Ô Ø S ÓÒ Óй Ñ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø º ÌÑÒ Ð ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÑ ØÖ Ø ØØ ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÚÙÐÐ º ÓÑ ØÖ Ø ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÙÓÖ Ø Ø Ò Ô Ð Ñ ÐÐ Ô Ø Ò P ÑÖÑØ ÙÐÑ Ò Ø Ú Ò Øµ ÓÐÑ ÓÒ ÒÓ Ò Ù Ø Òº È Ð ¹ ØÙØ Ò Ø Ð Ú Ø ØÓ Ò ÓØÓÑ Ô Ø P º ÌÑ ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÑÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÑ º½ ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º½º ÇÐ ÓÓÒ ABC ÓÐÑ Ó Ô Ø G Ñ Ò Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø º ÂÓ A D = DA B E = EB C F = FC Ò Ò Ô Ø Ø P P ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓØÓÑ ÓÒ Ù ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Ò ÙÚ ½ µº ÃÙÚ ½ Á ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Óº ÅÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ ¹ Ò ØØ Ò ÚÙÐÐ º

37 ÅÖ Ø ÐÑ º¾º ÇÐ ÓÓÒ ABC ÓÐÑ Ó P Ô Ø ÓÒ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ¹ Ò Ø Ø ÓÚ Ø P = (α : β : γ)º È Ø Ø P P ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓØÓÑ ÓÒ¹ Ù ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Ò Ó Ò Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù Ð P = ( 1 α : 1 β : 1 γ ÀÙÓÑ ÙØÙ º º Á ÓØÓÑ Ø ÓÒ Ù ØØ ÚÓ Ø Ò Ñ Ö Ø ÑÝ ØÖ Ð Ò ¹ Ö ÐÐ º ÌÐÐ Ò Ó Ô Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ( ÓÚ Ø P = (α) : β : γ) ÓÚ Ø Ò ÓØÓÑ Ò ÓÒ Ù Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø P 1 = : 1 : 1, Ñ a 2 α b 2 β c 2 γ a b c ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ Ò Ô ØÙÙ º Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ó Ó ØØ ØØ ÑÖ Ø ÐÑØ º½ º¾ ÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØØ ¹ º ÇÐ Ø Ø Ò ØØ ABC ÓÒ ÓÐÑ Ó Ô Ø G Ñ Ò Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ÑÝ ØØ Ô Ø P ÓÒ Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø Ñ Ô Ø Ø A B C A B C ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ ÐÐ º Ä ÑÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ð ÒÒ ÙØ Ò ÝÐÐ ÓÒ ÙÚ ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø Ò P ¹ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ)º ÇÐ ÓÓØ P P ÓØÓÑ ÓÒ Ù¹ ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº È Ø Ò P ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø P = ( 1 α : 1 β : 1 γ ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ Ô Ø ÒP ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ ØP = ÌÐÐ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º Ò ) º ) Ó Ú Ò Ó A D = DA B E = EB C F = FC º ( 1 : 1 : 1 α β γ BA 1 A C = γ 1 β = β γ = A C BA. ÌÑ Ý Ø ÙÙÖÙÙ ÔØ Ø ÑÐÐ Ò ÐÐÓ Ò ÙÒ A C = k BA BA = k A C, Ñ k R + A C,BA,BA,A C > 0. Ì ØÒ ØØ BA + A C = BC = BA + A Cº Ë Ó Ø Ø Ò Ø Ò Ý ØÐ Ò A C = k BA BA = k A C ÓÐÐÓ Ò Ò k BA +k A C = BA +A C k = BA +A C BA +A C = 1. ÃÓ k = 1 Ò BA = A Cº Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò CB = B A AC = C Bº ÆÝØ Ð ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ÓÒ ØÓ Ø ØØÙº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ A D = DA B E = EB C F = FC º ÌÐÐ Ò ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø º Ò BA A C = A C BA = β γ = 1 γ 1 β. ) º

38 Î Ø Ú Ø Ò CB B A = B A CB = γ α = 1 α 1 γ AC C B = C B AC = α β = 1 β Æ Ò ÓÐÐ Ò Ô Ø ÒP ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø ÒP = Ð ÑÑ Ò ØÓ Ò Ò Ó ÓÒ ÑÝ ØÓ Ø ØØÙº 1 α. ( ) 1 : 1 : 1 α β γ Ë ÙÖ Ú Ð ÑÑ Ó Ó ØØ ØØ Ó ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ABC ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ Ô Ø ÐÐ P ÚÓ Ò Ð ÝØ ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù ØØ Ô Ø º Ä ÑÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø G ÓÐÑ ÓÒ ABC Ñ Ò Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø º ÇÐ ÓÓØ Ô Ø Ø A B C ÐÐ Ô Ø Ø ØØ A D = DA B E = EB C F = FC º ÌÐÐ Ò Ú Ò Ø AA BB CC Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ ¹ Ô Ø P º ÌÓ ØÙ º Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÔØ BA A C CB B A AC C B = 1. ÃÓ A D = DA B E = EB C F = FC Ò Ò BA = A C CB = B A AC = C Bº ÌÐÐ Ò Ò A C A D +DC A C A D +DB A C BA B A CB B A B E +EA B A B E +EC AC = 1 CB BA A C CB B A AC C B = 1. AF +FC AC = 1 BF +FC AC = 1 ÆÝØ Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ú Ò Ø AA BB CC Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø P º º½º½ Ñ Ö Ë ÙÖ Ú Ø ØÒ Ñ Ö Ò Ó Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ Ñ Ö ÐÐ Ô Ø Ø ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓØÓÑ ÓÒ Ù ØØ º Ò ÖØ Ò Ñ Ö ÓØÓÑ Ø ÓÒ Ù Ø Ó Ø ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ Ô Ò¹ ÓÔ Ø Ó ÓÒ ÓØÓÑ Ò Ò ÓÒ Ù ØØ Ø Ò Ò º È ÒÓÔ Ø Ò ÖÝ Òع Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø P = (1 : 1 : 1) Ó Ò Ò ÒØ ÐÙÚÙØ ÒØ Ú Ø

39 Ñ Ò Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÒ Ô Ø ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾ ÒÓ ÐÐ Ø Ò ÓØÓ¹ Ñ Ò Ò ÓÒ Ù ØØ º ÃÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø Ò ÓÐÐ Ò ØÙØÙ ØÙØØÙ Ó ÑÑ Ò ÐÙÚÙ ¾º¾º½ º º¾º ÌÓ Ò Ñ Ö Ò ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø Ö ÓÒÒ Ò Ô Ø Γ Ò º Ö¹ ÓÒÒ ÔÓ Òص Æ Ð Ò Ô Ø N Ò º Æ Ð ÔÓ Òصº Ö ÓÒÒ Ò Ô Ø Γ ÑÙÓ¹ Ó ØÙÙ ÙÒ ÓÐÑ ÓÒ Ò Ô ÖÖ ØÝÒ ÝÑÔÝÖÒ ÚÙ Ñ Ô Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ¹ ÚÙ ÐÐ Ý Ø ØÒ Ú Ò ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò ÓÐÐÓ Ò ÒÑ ÓÐÑ Ú Ò Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø Γº Æ Ð Ò Ô Ø N ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÔÙÓÐ ¹ Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ ÚÙÒ Ø Ø ÚÙ Ú Ò ÝÑÔÝÖ Ò ÚÙÐÐ º ÃÙÒ Ýѹ ÔÝÖ Ò ÚÙ Ñ Ô Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ ÐÐ Ý Ø ØÒ Ú Ò ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ Ö Ò Ð Ú Ø ÒÑ ÓÐÑ Ú Ò ØÓ Ò Ñ Ô Ø N ÓØ ÙØ ÙØ Ò Æ Ð Ò Ô Ø º ÙÚ ½ µ Ö ÓÒÒ Ò Æ Ð Ò Ô Ø Ò ¹ ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù ÓØ Ò ÑÖ Ø ÐÑÒ º¾ ÒÓ ÐÐ Ò ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓØÓÑ ÓÒ Ù ØØ Γ = ( 1 : 1 : ) 1 b+c a c+a b a+b c N = (b+c a : c+a b : a+b c)º ÃÙÚ ½ Ö ÓÒÒ Ò Ô Ø Γ Æ Ð Ò Ô Ø N ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÓØÓÑ ÓÒ Ù ØØ º Ñ Ö Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø Ô Ö Ò Ð Ö Ã Ñ¹ ÖÐ Ò Ò Ø Ó Ø ÒÝÐÓÔ Ó ÌÖ Ò Ð ÒØ Ö º Ì Ó ÓÒ Ø Ð¹ ØÝÒ ÑÝ ÓÐÑ ÓÒ ÑÙ Ò Ñ Ö ÐÐ Ø Ò Ô Ø Ò ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò ØØ ¹ ÓØÓÑ ÓÒ Ù ØØ Ô Ö º

40 º¾ Á Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÅÝ Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÓÒ Ö Ó Ø Ô Ù Ô Ø Ò ÓÒ Ù Ø Ó Ø Óй Ñ ÓÒ Ô Ø Ò Ù Ø Òº ÃÙÒ ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÝÐ ÑÖ Ø ÐÑ º Ú Ð ¹ Ø Ò ØØ Ô Ø S ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò Ó¹ ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Óº Ä Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÚÓ Ò ÑÖ Ø ÐÐ ÓÑ ØÖ Ø ØØ ÓÑÓ Ò Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò ÚÙÐÐ º Á Ó ÓÒ Ð Ò ÓÒ Ù Ø ÓÒ Ý Ø Ý ÝØ ØÒ ÝÐ ÑÑ Ò ØÖ Ð Ò Ö ÖÝ ÒØÖ Ø Ò ÓÓÖ Ò ØØ Ò Ø º ÓÑ ØÖ Ø Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Ó ÙÓÖ Ø Ø Ò Ô Ð Ñ ÐÐ Ô Ø Ò P ÑÖÑØ ÙÐÑ Ò Ò Ø ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ù Ø Òº È ¹ Ð ØÙØ Ò Ø Ð Ú Ø ØÓ Ò Ó ÓÒ Ð Ô Ø P º ÌÑ ÓÒ Ø ØØÝ Ø ÑÐÐ Ø ÑÖ Ø ÐÑ º ÐÐ º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ ABC ÓÐÑ Ó Ô Ø I ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø ÓÐ ÓÓØ Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð ¹ Ù Ô Ø Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø º È Ø Ø P P ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ó ÓÒ Ð ÓÒ Ù ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Ò Ó A AD = DAA B BE = EBB FCC = C CF ÙÚ ½ µº ÃÙÚ ½ Á Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù Ø Óº ÅÖ ØØ ÐÝÒ ÚÓ Ø ÑÝ ØÖ Ð Ò Ö Ò ÚÙÐÐ º ÌÑ ÑÖ Ø ÐÑ Ø ØÒ ÙÖ Ú º ÅÖ Ø ÐÑ º º ÇÐ ÓÓÒ ABC ÓÐÑ Ó P Ô Ø ÓÒ ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ¹ Ò Ø Ø ÓÚ Ø P = (α : β : γ)º È Ø Ø P P ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ó ÓÒ Ð

41 ÓÒ Ù ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC ( Ù Ø Ò ) Ó Ò Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù Ð P 1 = : 1 : 1 º α β γ ÀÙÓÑ ÙØÙ º º ÖÝ ÒØÖ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÐÐ Ø ØØÝÒ Ó ÓÒ Ð Ò ÓÒ¹ Ù ØØ Ô Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø Ñ Ò ÑÓÒ ÑÙØ ÑÑ Ø Ù Ò ÝØ Ø¹ Ø ØÖ Ð Ò Ö º ÂÓ Ô Ø ÒP ÖÝ ÒØÖ Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ ØP = (α : β : γ) ÓÚ Ø Ò Ó ÓÒ Ð Ò ÓÒ Ù Ø Ò ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (a 2 βγ : b 2 αγ : c 2 αβ), Ñ a b c ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙÒ Ô ØÙÙ º ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ ÑÖ Ø ÐÑØ º º ÓÚ Ø ÒÒ Ú ¹ Ú Ð ÒØØ º ÌØ Ú ÖØ Ò ÓÐ Ø Ø Ò ØØ ABC ÓÒ ÓÐÑ Ó Ô Ø I ÙÐÑ Ò¹ ÔÙÓÐ ØØ Ò AD BE CF Ð Ù Ô Ø º ÇÐ Ø Ø Ò ÑÝ ØØ Ô Ø P ÓÒ Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø º Ä ÓÐ ÓÓØ Q R S Ô Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ ÐÐ Ø Ò ØØ Ò Ø PQ PR PS ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ BC CA AB Ú Ø Òº Î Ø Ú Ø Ô Ø Ø Q R S ÓÚ Ø ÓÐÑ ÓÒ ABC ÚÙ ÐÐ ¹ Ø Ò ØØ P Q P R P S ÓÚ Ø Ó Ø ÙÓÖ ÓÐÑ ÓÒ ÚÙ BC CA AB Ú Ø Òº ÙÚ ¾¼µ ÃÙÚ ¾¼ Á Ó ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ø P P º Ä ÑÑ º º ÇÐ ÓÓÒ Ø Ð ÒÒ ÙØ Ò ÝÐÐ ÓÒ ÙÚ ØØÙº ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø Ò P ØÖ ¹ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø P = (α : β : γ)º ÇÐ ÓÓØ P P ÓØÓÑ ÓÒ Ù¹ ØØ ÓÐÑ ÓÒ ABC Ù Ø Òº È Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ( P 1 = : 1 : 1 α β γ FCC = C CF º ) Ó Ú Ò Ó A AD = DAA B BE = EBB ¼

42 ( ) 1 ÌÓ ØÙ º ÇÐ Ø Ø Ò Ò Ò ØØ P = (α : β : γ) P = : 1 : 1 º Å Ö ¹ α β γ ØÒ ÒÓ BQ BS Ö Ñ ÐÐ x yº ÌÓ Ø Ø Ò ØØ ÓÐÑ ÓØ BQP BS P ÓÚ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ ÓÐÐÓ Ò ÙÐÑ Ø B BE EBB ÓÚ Ø Ý Ø Ò ¹ Ú º ÃÙÐÑ Ø SPQ S P Q ÓÚ Ø Ý Ø Ò Ú ÐÐ SPQ = CBA = S P Q º Æ Ò ÓÐÐ Ò Ò Ð ÙÐÑ ÓØ BQPS BS P Q ÓÚ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ º ÒÑÙÓØÓ ÙÙ Ø Ò α 1 γ = x y. º½¼µ Ç Ó Ø Ø Ò Ú Ð ØØ ÓÐÑ Ó Ò BQP BS P ÝÔÓØ ÒÙÙ Ò Ù BP BP ÓÒ Ñ Ù Ò ÑÙ Ò ÚÙ Ò Ù º ØÐ Ø º½¼ Òα = x 1 γ º ÌÐÐ Ò y Ò x 2 x (1+ 2 y = 2 y (1+ 2 ) 1 γ 2 y 2 ) = 1 γ 2 y 2 x 2 + ( ) 2 x 1 γ y y γ 2 = x2 +α2 y = BP2 γ BP 2. 2 Æ Ò ÓÐÐ Ò BP BP = x y = α 1, γ ÓÐÐÓ Ò ÓÐÑ ÓØBQP BS P ÓÚ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ º ÌÐÐ Ò QBP = P BS ÐÐ Ò B BE = EBB º Î Ø Ú Ø Ò A AD = DAA FCC = C CF º Æ Ò ÓÒ Ð ÑÑ Ò Ò ÑÑ Ò Ò Ó ØÓ Ø ØØÙº ÇÐ Ø Ø Ò ØØ Ò ØØ A AD = DAA B BE = EBB FCC = C CF º Å Ö ØÒ Ô Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö P = (h a : h b : h c )º ÇÐ ØÙ Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ý ÒÑÙÓØÓ Ø ÓÐÑ ÓØ CQP CQ P CRP CQ P BQP BS P BSP BQ P ARP AS P CRP CQ P º Æ Ø Ý ÒÑÙÓØÓ Ø ÓÐÑ Ó Ø Ò ÙÖ Ú Ø Ý ØÐ Ø α h b β h c γ h a = CP = β CP h a = AP = γ AP h b = BP = α BP h c. Ì Ø Ò ÐÐ Ò αh a = βh b = γh c = CP CP. ½

43 Å Ö ØÒ CP CP = k Ñ k Rº ÆÝØ Ò h a = k α h b = k β h c = k γ. à ÖÖÓ Ò k ÚÓ Ò ÓÑÓ Ò ÙÙ Ò ( ÒÓ ÐÐ ) ÙÔ Ø ÔÓ ÓÐÐÓ Ò Ô Ø Ò P ØÖ Ð Ò Ö Ò P 1 = : 1 : 1 Ò Ò ÓÒ Ð ÑÑ Ò ØÓ Ò Ò Ó ÑÝ α β γ ØÓ Ø ØØÙº ÌÓ Ø Ø Ò ÙÖ Ú ØØ Ó ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ABC ÐÐ ÓÐ Ú ÐÐ Ô ¹ Ø ÐÐ P Ð ÝØÝÝ Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù ØØ Ô Ø º Ä ÑÑ º½½º ÇÐ ÓÓÒ Ô Ø I ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò AD BE CF Ð Ù ¹ Ô Ø P Ú Ò Ò AA BB CC Ð Ù Ô Ø º ÇÐ ÓÓØ Ô Ø Ø A B C ÐÐ Ô Ø Ø ØØ A AD = DAA B BE = EBB FCC = C CF º ÌÐÐ Ò Ú Ò Ø AA BB CC Ð Ú Ø ØÓ Ò Ñ Ô Ø P º ÌÓ ØÙ º Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ ÔØ Ë Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ò BA = ABsin BAA sin AA B BA A C CB B A AC C B = 1. A C = CAsin A AC sin CA A. º½¾µ ÃÓ AA B CA A ÓÚ Ø Ú ÖÙ ÙÐÑ Ò Ò sin AA B = sin CA A. Æ Ò ÓÐÐ Ò BA ABsin BAA A C = sin AA B = ABsin BAA CAsin A AC ACsin A AC. Î Ø Ú ÐÐ Ø Ú ÐÐ Ò sin CA A CB B A = BCsin CBB ABsin B BA AC C B = CAsin ACC BCsin C CB. Ë Ó Ø Ø Ò Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò º½¾ BA A C CB B A AC C B = 1 ABsin BAA ACsin A AC BCsin CBB ABsin B BA CAsin ACC BCsin C CB = 1.  ÐÐ Ò Ú ÒÒ ØØÝÒ sin BAA sin A AC sin CBB sin B BA sin ACC sin C CB = 1. ¾ º½ µ

44 Ø ØÒ ØØ Ò Ù Ø Ø BA Ù Ò ÐÐ CB A C B A AC C B Ñ Ò Ø Ô Ò Ò Ð Ù Ò ÚÙÐÐ BA A C = ABsin BAA CAsin A AC AC C B = CAsin ACC BCsin C CB. Ë Ñ Ò ÙÙÖÙ Ø ÙÐÑ Ø Ò ÐÐ Ò CB B A = BCsin CBB ABsin B BA BA A C = ABsin BAA CAsin A AC = ABsin A AC sin A AC = BA CA CAsin BAA sin BAA A C AB, CB B A = BCsin CBB ABsin B BA = BCsin B BA sin B BA = CB AB ABsin CBB sin CBB B A BC AC C B = CAsin ACC BCsin C CB = CAsin C CB sin C CB = AC BC BCsin ACC sin ACC C B CA. Ë Ó Ø Ø Ò ÙØ Ð Ù Ø Ý ØÐ Ò º½ A C AB BA CA B A BC CB AB C B CA AC BC = 1 BA A C CB B A AC C B = 1. ÆÝØ Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓ ÐÐ Ú Ò Ø AA BB CC Ð Ú Ø Ñ Ô Ø º º¾º½ Ñ Ö ÌÙØ ÐÑ Ò ÐÓÔÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ó Ø Ò ÓÐÑ ÓÒ Ñ Ö ÐÐ Ô Ø Ø ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ó ÓÒ Ð ÓÒ Ù ØØ º ÖØ ÑÔ Ò Ñ Ö Ò ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù ¹ Ô Ø I ÓÒ Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù ØØ ÓÒ Ý Ò Ò Ô Ø Ø º ÃÙÐÑ ÒÔÙÓ¹ Ð ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø I = (1 : 1 : 1) ÓÐÐÓ Ò ÒØ ÐÙ¹ ÚÙØ ÓÓÖ Ò Ø Ø ØÙÓØØ Ú Ø Ñ Ò Ô Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Øº ÃÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØÙ ÑÑ Ò ÐÙÚÙ º º¾º ÄÙÚÙ º º¾ ÓÒ ÑÝ Ø ÐØÝ Ð Ø ÓÐÑ ÓÒ Ñ Ö ÐÐ Ø Ô Ø Ø ¹ ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø O ÓÖ Ù ÒÓ Ò Ð Ù Ô Ø H ÓØ ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ó ÓÒ Ð ÓÒ Ù ØØ º à ÒÓÖÑ Ð Ò Ð Ù Ô Ø Ò ØÖ ¹ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø O = (cos BAC : cos CBA : cos ACB) ÓÖ Ù ÒÓ Ò Ð Ù Ô Ø Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÚ Ø Ò Ò ÒØ ÐÙÚÙØ H = (sec BAC : sec CBA : sec ACB) 1 = cos BAC : 1 cos CBA : 1 cos ACB.

45 ÃÓÐÑ ÒØ Ò Ñ Ö Ò Ñ Ò ØØ ÓÓÒ Ó ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ù Ø Ø ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø G ËÝÑÑ Ò Ò Ò Ô Ø K Ò º ÝÑÑ Ò ÔÓ Òص Ó ØÙÒÒ Ø Ò ÑÝ Ò Ñ ÐÐ Ä ÑÓ Ò Ò Ô Ø Ö Ò Ô Ø º ËÝÑÑ Ò Ò Ò Ô Ø K ÑÙÓ Ó ØÙÙ ÓÐÑ ÓÒ ÝÑÑ Ò Ò Ð Ø ØÓ Ò Ñ Ô ¹ Ø º ËÝÑÑ Ò ÓÒ Ú Ò ÓÒ Ð ÙÔ Ø Ò ÓÒ Ñ ÓÐÑ ÓÒ Ö ¹ Ô Ø Ù Ò Ø Ú Ø Ú ÐÐ Ñ Ò ÐÐ º ËÝÑÑ Ò Ø Ú Ø Ú Ñ ¹ Ò ÓÚ Ø Ö ÔÙÓÐ ÐÐ ÓÐÑ ÓÒ ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ø Ò ØØ ÝÑÑ Ò Ò ÙÐÑ ÒÔÙÓÐ ØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ ÓÒ Ý Ø ÙÙÖ Ù Ò Ñ Ò Ò ÙÐÑ Ò¹ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÚÐ Ò Ò ÙÐÑ º ËÝÑÑ Ò Ò Ò Ô Ø K ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø G ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò Ó ÓÒ Ð ÓÒ Ù ØØ Ô Ø Ø ÐÐ Ò Ò ØÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Ø ÓÚ Ø ØÓ Ø Ò ÒØ ÐÙ Ù G = ( 1 a : 1 b : 1 c) K = (a : b : c)º ÃÙÚ ¾½ ËÝÑÑ Ò Ò Ò Ô Ø K ÓÐÑ ÓÒ Ô ÒÓÔ Ø Gº Ä Ñ Ö Ñ Ö ÐÐ Ø Ò Ô Ø Ò Ó ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ù ØØ Ô Ö ¹ Ø Ð ÝØÝÝ Ã Ñ ÖÐ Ò Ò Ø Ó Ø Ó Ø ÑÝ Ó Ñ Ö Ò ØÖ Ð Ò Ö ¹ Ø ÓÒ Ô Ö Òº

46 Î ØØ Ø ½ º ÓÝ Öº Ì Ø Ò ÙÒ Ò Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ò ØÓÖ º Ç ¾º ÖØ ÀÓÙ º ½ º ¾ º Ç Ø ÖÑ ÒÒ ² º Ï ÒÒ Öº ÓÑ ØÖÝ Ý ÁØ À ØÓÖݺ ËÔÖ Ò Öº ¾¼½¾º Àº Ä Úݺ ÈÖÓ Ø Ú Ò Ö Ð Ø ÓÑ ØÖ º Å Ñ ÐÐ Òº ½ º ÀºËºÅº ÓÜ Ø Öº ÈÖÓ Ø ÓÑ ØÖݺ ËÔÖ Ò Öº ¾¼¼ º Ⱥ ÃÓ ÚÙÐ Ø º ÌÖ Ð Ò Ö Ø ÓÓÖ Ò Ø Øº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ÂÝÚ Ý¹ ÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓº Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ º ¾¼½¾º ØØÔ»» ºÛ Ô ºÓÖ»Û»Á Ó ÓÒ Ð Ò Ò ÓÒ Ù ØØ º ÐÙ ØØÙ ½ º º¾¼½ µº º Ã Ñ ÖÐ Ò º ÒÝÐÓÔ Ó ÌÖ Ò Ð ÒØ Ö º ØØÔ»» ÙÐØݺ Ú Ò Ú ÐÐ º Ù»» ÒÝÐÓÔ» Ì º ØÑк ÐÙ ØØÙ ¾ º½¼º¾¼½ µº