Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

Transkriptio

1 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Aheet: Tlatolle rppuvuu ja korrelaato Yhde elttäjä leaare regreomall Avaaat: Artmeette kekarvo Etmot Harhattomuu Heterokedatuu Homokedatuu Hlkäalue Hväkmalue Jääöelöumma Jääöterm Jääövara Kakulottee ormaaljakauma Kokoaelöumma Korrelaato Korrelomattomuu Kovara Krtte arvo Leaare mall Mallelöumma Merktevtao Momettmeetelmä Nollahpotee Nelöumma Normaaljakauma Oto Parametr Pemmä elöumma meetelmä p-arvo Regreokerro Regreomall Regreomall rakeeoa Regreomall atuae oa Regreomall temaatte oa Regreouora Reduaal Rppumattomuu Rppuvuu Seltettävä muuttuja Selttäjä Selttävä muuttuja Seltouu Stadardoletuket Stadardpokkeama Sovte Suurmma ukottavuude meetelmä Tet t-jakauma t-tet t-tetuure Vahtoehtoe hpotee Vakoterm Vakoelttäjä Vapauate Vara Varaaalhajotelma Vrheterm Yhde elttäjä leaare regreomall Ylee hpotee Tlatolle rppuvuu, korrelaato ja regreo Kahde muuttuja vältä (leaarta) tlatollta rppuvuutta kututaa tlatoteteeä tavallet korrelaatok. Korrelaato el (leaare) tlatolle rppuvuude vomakkuutta mttaava tlatolla tuulukuja kututaa korrelaatokertomk. Korrelaatot muodotavat peruta muuttuje välte (leaarte) rppuvuuke mmärtämelle. Vakka korrelaatot muodotavat peruta muuttuje välte rppuvuuke mmärtämelle, rppuvuuka halutaa tavallet aaloda mö tarkemm. Regreoaal o tlatolle meetelmä, joa jok,. eltettävä muuttuja tlatollta rppuvuutta jotak tota,. elttävtä muuttujta prtää malltamaa regreomallk kututulla tlatollella malllla. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /34

2 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Kahde järjet-, välmatka- ta uhdeatekolle muuttuja havattuje arvoje pareja havaolltetaa tavallet graafella etkellä, jota kututaa ptedagrammk. Ptedagramm Tarkatellaa tlaetta, joa tutkmuke kohtea olevta havatokkötä o mtattu kahde järjet-, välmatka- ta uhdeatekolle muuttuja ja arvot. Olkoot ja,,,,,, välmatka- ta uhdeatekollte muuttuje ja havattuja arvoja. Oletetaa läk, että havatoarvot ja lttvät amaa havatokkköö kaklle =,,,. Tällö havatoarvoje,,, ja,,, pare ptedagramm aadaa ettämällä lukupart pteä avaruudea (, ), =,,,. Artmeettet kekarvot Olkoot ja,,,,,, välmatka- ta uhdeatekollte muuttuje ja havattuja arvoja. Oletetaa läk, että havatoarvot ja lttvät amaa havatokkköö kaklle =,,,. Havatoarvoje,,, artmeette kekarvo o Havatoarvoje,,, artmeette kekarvo o Otovarat ja otokekhajoat Havatoarvoje,,, (oto-) vara o joa o -havatoarvoje artmeette kekarvo ja havatoarvoje,,, (oto-) vara o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /34

3 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 joa o -havatoarvoje artmeette kekarvo. Havatoarvoje,,, (oto-) kekhajota o joa o -havatoarvoje artmeette kekarvo ja havatoarvoje,,, (oto-) kekhajota o joa o -havatoarvoje artmeette kekarvo. Otokovara Havatoarvoje pareta (, ), =,,, lakettu otokovara o joa Otokorrelaatokerro = -havatoarvoje artmeette kekarvo = -havatoarvoje artmeette kekarvo Havatoarvoje pareta (, ), =,,, lakettu Pearo otokorrelaatokerro o joa r = - ja -havatoarvoje otokovara = -havatoarvoje kekhajota = -havatoarvoje kekhajota Pearo otokorrelaatokertome kaava vodaa krjottaa mö muotoo r joa = -havatoarvoje artmeette kekarvo = -havatoarvoje artmeette kekarvo Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/34

4 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Havatoarvoje pareta (, ), =,,, laketulla Pearo otokorrelaatokertomella r o euraavat omauudet: () r + () r = jo ja va jo = +, =,,, joa ja 0 ovat reaala vakota: Läk kertomella ja otokorrelaatokertomella r o ama merkk. () Otokorrelaatokertomella r ja otokovaralla o aa ama merkk. Ototuulukuje lakeme Oletetaa, että haluamme lakea havatoarvoje pareta (, ), =,,, euraavat ototuuluvut kä ta kättämällä lakta: artmeettet kekarvot, otovarat, otokekhajoat, otokovara ja korrelaaato. Tällö tarvttavat lakutomtuket o mukavta järjetää alla etet kaavo muotoo. Määrätää e havatoarvoje ummat, elöummat ja tuloumma: Summa Em. ototuuluvut aadaa havatoarvoje ummta, elöummta ja tuloummata alla etetllä kaavolla: r Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/34

5 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Oto kakulotteeta ormaaljakaumata Oletetaa, että atuamuuttuje ja par (, ) oudattaa kakulotteta ormaaljakaumaa el (, ) N (,,,, ) joa E( ) E( ) Var( ) E[( ) ] Var( ) E[( ) ] Cov(, ) E[( )( )] Cor(, ) Olkoot,,, muuttuja havatut arvot ja,,, muuttuja havatut arvot ja oletetaa, että havatoarvoje ja part (, ), =,,, muodotavat atuaotoke kakulotteeta ormaaljakaumata N (,,,, ) Tällö (, ),(, ),,(, ) (, ) N (,,,, ),,,, Kakulottee ormaaljakauma parametre etmot Kakulottee ormaaljakauma parametre uurmma ukottavuude etmaattort ta momettetmaattort ovat joa ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( )( ) ˆ ˆ r ˆ ˆ Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/34

6 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 ( ) ( ) ( )( ) Korrelomattomuude tetaame Oletetaa, että havatoarvoje ja part (, ), =,,, muodotavat atuaotoke kakulotteta ormaaljakaumata N (,,,, ) Tällö (, ),(, ),,(, ) (, ) N (,,,, ),,,, Olkoo ollahpoteea H : 0 Määrtellää t-tetuure Jo ollahpotee 0 t r r H : 0 0 pätee, tetuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapauate ( ): t t( ) Tetuuree t ormaalarvo = 0, koka ollahpotee päteä E(t) = 0 Ste tearvoltaa uuret tetuuree t arvot vttaavat he, että ollahpotee H 0 e päde. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/34

7 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Yhde elttäjä leaare regreomall Yhde elttäjä leaare regreomall Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall lee muoto o joa,,,, = eltettävä muuttuja atuae ja havattu arvo havatokköä = elttäjä (elttävä muuttuja) e-atuae ja havattu arvo havatokköä = jääö- el vrheterm atuae ja e-havattu arvo havatokköä 0 = e-atuae ja tutemato vako (vakoelttäjä regreokerro) = elttäjä e-atuae ja tutemato regreokerro Mall jääöterm arvota tehdää euraavat tokatet oletuket: (),,, ovat rppumattoma () N(0, ),,,, Saomme, että jääöterme, =,,, vara o mall jääövara. Oletukta () ja () euraa, että kaklla jääötermellä, =,,, o ama vara el e ovat homokedata ja läk jääötermt ovat korrelomattoma. Jo mall,,,, ja e oat toteuttavat kakk em. oletuket, aomme että mall o tavaomae hde elttäjä leaare regreomall ta, että mall toteuttaa tavaomaet oletuket hde elttäjä leaarelle regreomalllle. Satuae elttäjä tapau Jo tavaomae hde elttäjä leaare regreomall,,,, elttäjä arvot ovat atuaa, mutta jääötermä kokeva oletu () llä vodaa korvata edellä etetä. tadardoletuka oletukella () N(0, ),,,, kakk jatkoa etettävä teora pätee opvat modfotua. Oletu () tarkottaa tä, että atuamuuttuja ehdolle jakauma, joa ehtoa o elttäjä havattu arvo, o oletettu ormaalek. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/34

8 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Yhde elttäjä leaare regreomall temaatte oa ja atuae oa Olkoo,,,, tavaomaet oletuket toteuttava hde elttäjä leaare regreomall. Tällö Saomme, että odotuarvo E( ),,,, Var( ),,,, E( ),,,, o mall temaatte oa el rakeeoa ja o mall atuae oa. Regreouora E( ),,,, Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall temaatte oa määrttelee regreouora joa,,,, E( ),,,, 0 = uora vakoterm = uora kulmakerro Regreouora kulmakertome tulkta Oletetaa, että elttäjä arvo kavaa hdellä kköllä: Regreokerro kertoo paljoko eltettävä muuttuja vataava odotettava oleva arvo muuttuu: E( ) E( ) ( ) E( ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/34

9 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Regreokertome etmot Mall 0,,,, regreokertome (parametre) 0 ja pemmä elöumma (PNS-) etmaattort aadaa mmomalla elöumma j j 0 j S(, ) ( ) regreokertome 0 ja uhtee. Regreokertome 0 ja PNS-etmaattorek aadaa b b b r PNS-etmaattorede kaavoa ovat -havatoje ja -havatoje artmeettet kekarvot, ( ) ( ) ovat -havatoje ja -havatoje otovarat, ( )( ) o -havatoje ja -havatoje otokovara ja läk r o -havatoje ja -havatoje otokorrelaatokerro. Etmotu regreouora Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall,,,, regreokertome 0 ja PNS-etmaattort b 0 ja b ja määrttelevät uora b0 b Sovtteet ja reduaalt Etmodu mall ovtteet aadaa kaavalla ˆ b b,,,, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/34

10 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Etmodu mall reduaalt aadaa kaavalla e ˆ b b,,,, Mall elttää tä paremm eltettävä muuttuja kättätmtä mtä lähempää ovtteet ovat eltettävä muuttuja havattuja arvoja el mtä peempä ovat etmodu mall reduaalt. Koka malla o mukaa vako, ovttede umma ht eltettävä muuttuja havattuje arvoje ummaa: ˆ Läk koka malla o mukaa vako, reduaale umma = 0: e 0 Varaaalhajotelma Olkoo SST ( ) ( ) eltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma ja olkoo SSE e etmodu mall PNS-reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma. Vodaa oottaa, että mä Koka aa pätee SSE e ( r ) ( ) ( r ) SST r = -havatoje ja -havatoje otokorrelaatokerro r SSE SST Määrtellää etmodu mall mall- (el regreo-) elöumma kaavalla Vodaa oottaa, että SSM SST SSE SSM ( ˆ ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 0/34

11 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Kokoaelöumma SST hajotelmaa SST = SSM + SSE elöumme SSM ja SSE ummak kututaa varaaalhajotelmak. Varaaalhajotelmaa eltettävä muuttuja havattuje arvoje kokoavahtelua kuvaava elöumma SST o hajotettu kahtee oaa, jota mallelöumma SSM kuvaa tä oaa kokoaelöummata SST, joka etmotu mall o elttät ja jääöelöumma SSE kuvaa tä oaa kokoaelöummata SST, jota etmotu mall e ole elttät. Seltate Varaaalhajotelma motvo määrttelemää etmodu mall eltatee kaavalla joa R SSE SSM SST SST SST = eltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma SSE = etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma SSM = etmodu mall mall- (el regreo-) elöumma Varaaalhajotelmata euraa, että aa pätee 0R Seltate mttaa etmodu regreomall hvttä: Mtä uuremp o eltate, tä uuremp o mallelöumma (el etmodu mall elttämä) ouu eltettävä muuttuja kokoavahtelua kuvaavata elöummata ja tä peemp o jääöelöumma (el etmodu mall elttämättä jättämä) ouu eltettävä muuttuja kokoavahtelua kuvaavata elöummata. Vodaa oottaa, että eltate ht eltettävä muuttuja havattuje arvoje ja etmodu mall ovttede otokorrelaatokertomee: R [Cor(, ˆ )] Huomaa, että tää kätellä hde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla o mukaa vako) pätee mö R r joa r = -havatoje ja -havatoje otokorrelaatokerro Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /34

12 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Seltatee omauudet Seltateella R o euraavat omauudet: () 0 R () () Seuraavat ehdot ovat htäptävä: () R = () Kakk reduaalt hävävät: e = 0, kaklle =,,, (3) Kakk havatopteet (, ), =,,, aettuvat amalle uoralle. (4) r = (5) Määrtelt mall elttää tädellet eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelu. Seuraavat ehdot ovat htäptävä: () R = 0 () b = 0 (3) r = 0 (4) Määrtelt mall e ollekaa eltä eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua. Jääövara etmot Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall jääöterme j, j =,,, vara harhato etmaattor o joa SSE etmodu mall reduaal. ej j e ˆ b b, j,,, o j j j j j Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /34

13 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Lakutomtute järjetäme Jo regreokertomet joudutaa lakemaa kä ta lakmella, hde elttäjä leaare regreomall PNS-etmo vaatmat lakutomtuket kaattaa järjetää euraava tauluko muotoo: ˆ e e ˆ e e ˆ e e ˆ e e Summa e e Jo aoaa tarkotukea o lakea PNS-etmaatt regreokertomlle 0 ja, llä olevata taulukota tarvtaa aoataa -havatoje umma ja elöumma, -havatoje umma. ekä - ja -havatoje tuloumma Jo tarkotukea o lakea mö etmodu mall eltate, tarvtaa edellä mattuje uurede läk mö -havatoje elöumma ekä etmodu mall reduaale elöumma e. Havatoarvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat aadaa llä oleva tauluko arakeummta kaavolla ja ekä otokovara jota regreokertome etmaatt aadaa laketuk kaavolla b b b Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/34

14 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Etmodu mall ovtteet aadaa kaavalla ja reduaalt kaavalla ˆ b b,,,, e ˆ b b,,,, Etmodu mall eltate vodaa lakea kaavalla joa R SSE SST SSE e o etmodu mall jääöelöumma (reduaale elöumma) ja SST ( ) ( ) o eltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma. Huomaa, että tää kätellä hde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla o mukaa vako) pätee mö R r Seltettävä muuttuja odotettava oleva arvo eutame Oletetaa, että eltettävä muuttuja aa arvo ku elttäjä aa arvo. Mkä o para eute eltettävä muuttuja odotettava olevalle arvolle E( ) jo elttäjä aa arvo? Seltettävä muuttuja ehdolle odotuarvo E( ) kuvaa eltettävä muuttuja kekmäärää arvoja elttäjä aame arvoje fuktoa. Valtaa eltettävä muuttuja ehdolle odotuarvo E( ) euteek (etmaattork) laueke b b joa b 0 ja b ovat regreokertome 0 ja PNS-etmaattort. Vodaa oottaa, että o (eutevrhee kekelövrhee meleä) para leaare ja harhato eute ehdollelle odotuarvolle E( ). Seltettävä muuttuja odotettava oleva arvo luottamuväl Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/34

15 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Oletetaa, että hde elttäjä leaare regreomall jääö- el vrhetermä kokeve tadardoletuke ()-() läk ormaaluuoletu (v) pätee. Tällö eutee b b luottamuväl luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) b0 b t / ( ) joa t / ja + t / ovat luottamutaoo ( ) lttvät luottamukertomet t-jakaumata, joka vapauatede luku o ( ) ja o jääövara harhato etmaattor. Väl muodotaa elttäjä arvoje fuktoa luottamuvö etmodu regreouora mpärlle. = b 0 + b Seltettävä muuttuja arvo eutame Oletetaa, että eltettävä muuttuja aa arvo ku elttäjä aa arvo. Mkä o para eute eltettävä muuttuja arvolle, ku elttäjä aa arvo? Valtaa eltettävä muuttuja arvo euteek (etmaattork) laueke b b joa b 0 ja b ovat regreokertome 0 ja PNS-etmaattort. Vodaa oottaa, että o (eutevrhee kekelövrhee meleä) para leaare ja harhato eute ehdollelle odotuarvolle E( ). Seltettävä muuttuja arvo luottamuväl Oletetaa, että hde elttäjä leaare regreomall jääö- el vrhetermä kokevat tadardoletuke ()-() läk ormaaluuoletu (v) pätee. Tällö eltettävä muuttuja arvo luottamuväl luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) b0 b t / ( ) joa t / ja + t / ovat luottamutaoo ( ) lttvät luottamukertomet t-jakaumata, joka vapauatede luku o ( ) ja o jääövara harhato etmaattor. Väl muodotaa elttäjä arvoje fuktoa luottamuvö etmodu regreouora mpärlle. = b 0 + b Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/34

16 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Emerkk.. Alla olevaa taulukoa o aettu muuttuje ja havatut arvot (a) (b) (c) Prrä havatoarvoje pareta (, ), =,, 3, 4, 5 ptedagramm. Arvo ptedagramm peruteella muuttuje ja havattuje arvoje korrelaatokertome merkk ja uuruuluokka. Lake muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot, otokekhajoat ekä otokorrelaato. Emerkk.. Mtä opmme? Emerkä.. tarkatellaa ptedagramm prtämtä, korrelaatokertome arvota ptedagramm peruteella ekä (välmatka- ta uhdeatekollte muuttuje) kakulottea havatoaetoja kuvaave ototuulukuje (= artmeettet kekarvot, otovarat, otokekhajoat, otokovara ja otokorrelaato) lakemta. Emerkk.. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa ratkau lopua. (a) Havatoptede (, ), =,, 3, 4, 5 ptedagramm: Ptedagramm Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/34

17 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 (b) Kohdaa (a) prret ptedagramm peruteella o lmetä, että muuttuje ja otokorrelaato o merkltää potve (koka havatoptede muodotama pteparv ouee okealle rrttäeä). Läk korrelaato o melko vomakata (uuruuluokaltaa 0.9), koka havatopteet ovat melko lähellä uoraa vvaa. (c) Määrätää muuttuje ja havattuje arvoje ummat, elöummat ja tuloumma: Muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat ja, otokekhajoat ja, otokovara ja otokorrelaato r aadaa muuttuje ja havattuje arvoje ummta, elöummta ja tuloummata: r Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/34

18 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Tehtävä lakutomtuket Mcrooft Ecel -ohjelmalla: Summa M( ) = 0.4 M( ) =. = 8.3 = =.7 = = 4.65 r = Emerkk.. Alla olevaa taulukoa o aettu muuttuje ja havatut arvot (a) (b) (c) Prrä havatoarvoje pareta (, ), =,, 3, 4, 5 ptedagramm. Arvo ptedagramm peruteella muuttuje ja havattuje arvoje korrelaatokertome merkk ja uuruuluokka. Lake muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot, otokekhajoat ekä otokorrelaato. Emerkk.. Mtä opmme? Emerkä.. tarkatellaa ptedagramm prtämtä, korrelaatokertome arvota ptedagramm peruteella ekä (välmatka- ta uhdeatekollte muuttuje) kakulottea havatoaetoja kuvaave ototuulukuje (= artmeettet kekarvot, otovarat, otokekhajoat, otokovara ja otokorrelaato) lakemta. Emerkk.. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa ratkau lopua. (a) Havatoptede (, ), =,, 3, 4, 5 ptedagramm: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/34

19 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Ptedagramm (b) Kohdaa (a) prret ptedagramm peruteella o lmetä, että muuttuje ja otokorrelaato o merkltää egatve (koka havatoptede muodotama pteparv lakee okealle rrttäeä). Läk korrelaato o melko vomakata (uuruuluokaltaa 0.9), koka havatopteet ovat melko lähellä uoraa vvaa. Korrelaato e kutekaa ole ava htä vomakata ku tehtävä.. aeto korrelaato. (c) Määrätää e muuttuje ja havattuje arvoje ummat, elöummat ja tuloumma: Muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat ja, otokekhajoat ja, otokovara ja otokorrelaato r aadaa muuttuje ja havattuje arvoje ummta, elöummta ja tuloummata: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/34

20 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma r Tehtävä lakutomtuket Mcrooft Ecel -ohjelmalla: Summa M( ) = 0.6 M( ) =.4 = 7.3 =.7085 =.3 = = r = Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 0/34

21 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Emerkk.3. Yhtekutateteljä halu elvttää oko kua aukathede (muuttuja ; aukata per km ) ja rkolluude (muuttuja ; rkoka per 000 aukata) välllä korrelaatota Suomea. Suome kute joukota pomtt kkertae atuaoto, joka koko ol 4 ja muuttuje ja välek Pearo otokorrelaatokertome arvok aat Tetaa 5 %: merktevtaoa kättäe ollahpoteea, että muuttujat ja ovat korrelomattoma, ku vahtoehtoek hpoteek valtaa kakuutae vahtoehto. Vomme olettaa, että havatopart (, ), =,,, joa dek vttaa kutaa, oudattavat kakulotteta ormaaljakaumaa N (,,,, ) Emerkk.3. Mtä opmme? Emerkä.3. tarkatellaa korrelomattomuude tetaamta. Emerkk.3. Ratkau: t-tetuure ollahpoteelle H : 0 0 o muotoa t r r joa r o muuttuje ja havatuta arvota määrätt Pearokorrelaatokerro ja o otokoko. Jo ollahpotee H 0 pätee, tetuure t o jakautuut Studet t-jakauma mukaa vapauate ( ): t t( ) Tehtävä tapaukea tetuuree arvok aadaa r 0.57 t r 0.57 Vapauatede lukumääräk aadaa df = = 4 = 40 Koka vahtoehtoek hpoteek o valttu kakuutae vahtoehto H : 0 5 %: merktevtaoa vataavak krttk arvok t 0.05 ja +t 0.05 aadaa Studet t-jakauma taulukota t 0.05 =.0 +t 0.05 = +.0 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /34

22 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Koka t 0.05 =.0 < t =.0 < +.0 = +t 0.05 tetuuree t arvo o jäät hväkmalueelle ja ollahpotee H 0 vodaa jättää vomaa 5 %: merktevtaolla. Johtopäätö: Otoketa aatuje tetoje peruteella kua aukaluvu ja uhteelle rkolluude välllä e ole (tlatollet merktevää) korrelaatota Suome oloa. Emerkk.5. Muuttuje ja havatut arvot ovat: (a) (b) Määrää tavaomae hde elttäjä leaare regreomall, N(0, ),,,, regreokertome 0 ja pemmä elöumma (PNS-) etmaatt. Määrää etmodu mall ovtteet ja reduaalt. (c) Määrää harhato etmaatt jääövaralle. (d) (e) Määrää etmodu mall eltate. Prrä tehtävää etmotu regreouora havatoja (, ), =,,, ettävää ptedagramm. Prrä kuvoo mö reduaaleja kuvaavat jaat. Emerkk.5. Mtä opmme? Emerkä.5. tarkatellaa hde elttäjä leaare regreomall etmota. Emerkk.5. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa ratkau lopua. (a) Yhde elttäjä leaare regreomall = regreokertome 0 ja PNS-etmaatt aadaa laketuk euraavaa etettävällä tavalla. Määrätää e muuttuje ja havattuje arvoje ummat, elöummat ja tuloumma: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /34

23 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma Muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat ja, otokekhajoat ja, otokovara ja otokorrelaato r aadaa muuttuje ja havattuje arvoje ummta, elöummta ja tuloummata: r Etmodu PNS-uora htälö o muotoa = b 0 + b joa b 0 ja b ovat mall regreokertome 0 ja PNS-etmaattort. Etmaattorede b 0 ja b arvot aadaa llä määrättä ototuuluvuta:.88 b r b b Etmodu PNS-uora htälök aadaa te = (b) Etmodu mall ovtteet ˆ ja reduaalt e aadaa euraavlla kaavolla: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/34

24 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Sovtteet: Reduaalt: ˆ b b,,,, e ˆ,,,, Mö ovtteet ja reduaalt o aettu alla olevaa Ecel-taulukoa. (c) Mall jääövara harhattoma etmaattor arvok aadaa SSE joa SSE e.545 o etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma. (d) Etmodu mall eltate R vodaa lakea uealla er tavalla. Olkoot etmodu mall ovtteet ˆ b b,,,, ja reduaalt e ˆ,,,, Seltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma o 8 SST ( ) Etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma o SSE e.545 Etmodu mall elttämää ouutta eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahteluta kuvaava mallelöumma o SSM ˆ SST SSE Seltate R o (k. alla olevaa Ecel-taulukkoa) SSE SSM R SST SST Yhde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla ol mukaa vako) pätee mö Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/34

25 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 R r (e) Tehtävää etmodu regreouora htälö o = Ao. kuvoo o prrett havatoptede läk etmotu regreouora ekä reduaaleja vataavat jaat. Kuvo o tuotettu Mcrooft Ecel -ohjelmalla. Regreouora 0 8 = R = Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/34

26 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Tehtävä lakutomtuket Mcrooft Ecel -ohjelmalla: hat re re Summa M( ) = 7 M( ) = 5 = = 4.34 = 8 =.88 = r = b = b 0 = SST = 56 SSE =.545 SSM = = 0.44 R = R = Emerkk.6. Muuttuje ja havatut arvot ovat: (a) Määrää tavaomae hde elttäjä leaare regreomall, N(0, ),,,, regreokertome 0 ja pemmä elöumma (PNS-) etmaatt. (b) Määrää etmodu mall ovtteet ja reduaalt. (c) Määrää harhato etmaatt jääövaralle. (d) Määrää etmodu mall eltate. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/34

27 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 (e) Prrä tehtävää etmotu regreouora havatoja (, ), =,,, ettävää ptedagramm. Prrä kuvoo mö reduaaleja kuvaavat jaat. Emerkk.6. Mtä opmme? Emerkä.6. tarkatellaa hde elttäjä leaare regreomall etmota. Emerkk.6. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa ratkau lopua. (a) Yhde elttäjä leaare regreomall = regreokertome 0 ja PNS-etmaatt aadaa laketuk euraavaa etettävällä tavalla. Määrätää e muuttuje ja havattuje arvoje ummat, elöummat ja tuloumma: Muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat ja, otokekhajoat ja, otokovara ja otokorrelaato r aadaa muuttuje ja havattuje arvoje ummta, elöummta ja tuloummata: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/34

28 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma r Etmodu PNS-uora htälö o muotoa = b 0 + b joa b 0 ja b ovat mall regreokertome 0 ja PNS-etmaattort. Etmaattorede b 0 ja b arvot aadaa llä määrättä ototuuluvuta:.57 b r b b.5 ( 0.47) Etmodu PNS-uora htälök aadaa te = (b) Etmodu mall ovtteet ˆ ja reduaalt e aadaa euraavlla kaavolla: Sovtteet: Reduaalt: ˆ b b,,,, e ˆ,,,, Mö ovtteet ja reduaalt o aettu alla olevaa Ecel-taulukoa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/34

29 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 (c) Mall jääövara harhattoma etmaattor arvok aadaa SSE joa SSE e 6.34 o etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma. (d) Etmodu mall eltate R vodaa lakea uealla er tavalla. Olkoot etmodu mall ovtteet ˆ b b,,,, ja reduaalt e ˆ,,,, Seltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma o 6 SST ( ) Etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma o SSE e 6.34 Etmodu mall elttämää ouutta eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahteluta kuvaava mallelöumma o SSM ˆ SST SSE Seltate R o (k. alla olevaa Ecel-taulukkoa) SSE SSM R 0.45 SST SST.5.5 Yhde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla ol mukaa vako) pätee mö R r ( 0.67) 0.45 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/34

30 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 (e) Tehtävää etmodu regreouora htälö o = Ao. kuvoo o prrett havatoptede läk etmotu regreouora ekä reduaaleja vataavat jaat. Kuvo o tuotettu Mcrooft Ecel -ohjelmalla. Regreouora 5 4 = R = Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 30/34

31 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Tehtävä lakutomtuket Mcrooft Ecel -ohjelmalla: hat re re Summa M( ) = M( ) =.5 = =.6047 =.3 = = -. r = b = b 0 = = SST =.5 SSE = SSM = R = R = Emerkk.3. Alla olevaa taulukoa o aettu muuttuje ja havatut arvot: Emerkä.5. tätä aetota etmot PNS-meetelmällä tavaomae hde elttäjä leaare regreomall, N(0, ),,,, 8 parametrt. Regreokertome 0 ja PNS-etmaatek aat b b ja jääövara harhattomak etmaatk aat 0.44 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/34

32 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 Etmodu mall eltate ol R Aetoa kuvaavat ototuuluvut olvat: r (a) Euta muuttuja kekmääräe arvo, ku = 7 ja = 30. Määrää mö 95 %: luottamuvält kummallek euteelle. (b) Euta muuttuja arvo, ku = 7 ja = 30. Määrää mö 95 %: luottamuvält kummallek euteelle. Emerkk.3. Mtä opmme? Emerkä.3. tarkatellaa hde elttäjä leaare regreomall eltettävä muuttuja kekmääräe arvo ja eltettävä muuttuja arvo eutamta ekä eutee luottamuväl määräämtä. Emerkk.3. Ratkau: (a) Ku elttävällä muuttujalla o arvo, para eute eltettävä muuttuja kekmääräelle arvolle o (leaarte ja harhattome eutede joukoa) b b joa b 0 ja b ovat regreokertome 0 ja PNS-etmaattort. Eutee luottamuväl luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) b0 b t / ( ) joa t / ja + t / ovat luottamutaoo ( ) lttvät luottamukertomet t- jakaumata, joka vapauatede luku o ( ), o jääövara harhato etmaattor, o elttävä muuttuja aame arvoje artmeette kekarvo ja ( ) ( ) Tehtävä tapaukea b b Ku 7 euteek aadaa ( 7) Määrätää euraavak 95 %: luottamuväl euteelle. Koka vapauatede lukumäärä o = 8 = 6 luottamutaoa 0.95 vataavak luottamukertomk t 0.05 ja +t 0.05 aadaa t- jakauma taulukota: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/34

33 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 t 0.05 =.447 +t 0.05 = Eutee luottamuväl o ( ) b0 b t / ( ) (7 7) (8 ) (4.434,5.560) Ku 30 euteek aadaa ( 30) Eutee luottamuväl o ( ) b0 b t / ( ) (30 7) (8 ) (6.386,.864) (b) Ku elttävällä muuttujalla o arvo, para eute eltettävä muuttuja arvolle o (leaarte ja harhattome eutede joukoa) b b joa b 0 ja b ovat regreokertome 0 ja PNS-etmaattort. Eutee luottamuväl luottamutaolla ( ) o muotoa ( ) b0 b t / ( ) joa t / ja + t / ovat luottamutaoo ( ) lttvät luottamukertomet t- jakaumata, joka vapauatede luku o ( ), o jääövara harhato etmaattor, o elttävä muuttuja aame arvoje artmeette kekarvo ja ( ) ( ) Tehtävä tapaukea b b Ku 7 euteek aadaa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 33/34

34 Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Emerkkkokoelma 6 ( 7) Määrätää euraavak 95 %: luottamuväl euteelle. Koka vapauatede lukumäärä o = 8 = 6 luottamutaoa 0.95 vataavak luottamukertomk t 0.05 ja +t 0.05 aadaa t- jakauma taulukota: t 0.05 =.447 +t 0.05 = Eutee luottamuväl o ( ) b0 b t / ( ) (7 7) (8 ) (3.307, 6.687) Ku 30 euteek aadaa ( 30) Eutee luottamuväl o Huomautuka: () () ( ) b0 b t / ( ) (30 7) (8 ) (6.05, 3.35) Euteet eltettävä muuttuja kekmääräelle arvolle ja arvolle ovat amat. Luottamuväl eltettävä muuttuja kekmääräelle arvolle o kapeamp ku eltettävä muuttuja arvolle. () Eutede luottamuvält ovat kapemmllaa, ku 7. (v) Koka pte = 30 o kauempaa elttävä muuttuja aame arvoje artmeetteta kekarvota 7 ku pte = 7, euteeee ( 30) 9.65 lttvät luottamuvält ovat leveämpä ku euteeee ( 7) lttvät luottamuvält. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 34/34