MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 6

Transkriptio

1 MS-A Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Vkko Tlatolle rppuvuu ja korrelaato; Yhde elttäjä leaare regreomall Rppuvuu, korrelaato ja regreoaal Tlatoteteeä kahde muuttuja väle rppuvuu vo olla Ekakta: toe muuttuja arvot vodaa eutaa tarkat toe muuttuja arvoje peruteella Vrt. atuamuuttuje fuktoaale rppuvuu ( Y=g(X) ) Tlatollta, jo toe muuttuja arvoja vodaa kättää apua toe muuttuja arvoje eutamea Vrt. atuamuuttujat evät ole rppumattoma ( f Y X ( )f Y () ) Leaarta tlatollta rppuvuutta kututaa korrelaatok. Vomakkuutta mttaava tuulukuja kututaa korrelaatokertomk. Regreoaal o tlatolle meetelmä, joa jok,. eltettävä muuttuja tlatollta rppuvuutta jotak tota,. elttävtä muuttujta malltamaa regreomalllla Matematka ja teemaal lato Kahde muuttuja havatoaeto kuvaame Oletetaa että :tä havatokkkötä o mtattu järjet-, välmatka- ta uhdeatekolla muuttujat ja Havatoarvot: (, ), =,,, Kute hde muuttuja havatoaetoje tapaukea, lähtökohda kahde ta ueamma muuttuja havatoaetoje kuvaamelle muodotaa tututume havatoarvoje jakaumaa. Jakaumaa kokoauutea vodaa kuvata graaflla etkllä (em. ptedagramm) Havatoarvoje jakauma karakterta omauuka vodaa kuvata ototuuluvulla (em. kekarvot; otovarat, otokekhajoat, otokovara ja otokorrelaatokerro) Kahde muuttuja havatoaeto kuvaame ptedagrammlla - Emerkk Hooke la mukaa kerrejoue ptuu rppuu leaaret jouee rputetuta paota. Mtataa veee joue ptuu erkokoella paolla Ovatko havaot opu-oua Hooke la kaa? Vatauta vodaa hakea regreomalllla Joue ptuu (cm) Havatoaeto: Pao (kg) Ptuu (cm) Ptedagramm: Kerrejoue ptuude rppuvuu jouee rputetuta paota - Pao (kg) Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Kahde muuttuja havatoaeto kuvaame ptedagrammlla - Emerkk Perölltetee mukaa lapet pervät geeettet omauutea vahemmltaa. Pertkö ä ptuu hedä pojllee? Havatoaeto kootuu =: ä ( ) ja poja ( ) ptuuke muodotamta lukuparta (, ), =,,, Yhtä ptkllä llä ättää oleva moe mttaa poka Mutta lhllä llä ättää oleva kekmäär lhempä poka ku ptkllä llä Poja ptuu (cm) Ie ja poke ptuudet Iä ptuu (cm) Tämä tppä tlatolla rppuvuuka aalodaa möhemm regreomalle avulla Kahde muuttuja havatoaeto tuuluvut: Kekarvot Havatoarvoje,,, artmeette kekarvo o Havatoarvoje,,, artmeette kekarvo o Pte ) o havatoarvoje pare (, ) muodotame ptejouko paopte Kuvaa havato-arvoje kekmäärätä jata. Ptedagramm (, ) (.,.) Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

2 Kahde muuttuja havatoaeto tuuluvut: Otovarat ja otokekhajoat Havatoarvoje,,, ja,,, otovarat ovat Vataavat otokekhajoat ovat Mttaavat havatoarvoje hajaatueuutta ta kekttettä havatoarvoje artmeette kekarvo uhtee. Kahde muuttuja havatoaeto tuuluvut: Otokovara Otokovara o Mttaa - ja -havatoarvoje htevahtelua de artmeettte kekarvoje muodotama ptee mpärllä. Mtä uuremp o otokovara tearvo tä vomakkaampaa htevahtelu Huomaa hte varaeh ja Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Otokovara: Potve va egatve? Tutktaa umma :tä termä ( )( ) Etumerkk määrät e peruteella me havato (, ) jottuu uhteea kekarvoo ) Suuruu määrät e uorakatee pta-alaa, joka muodotuu ptede ( )( ) (, ) ( )( ) (, ) ja )väl Jo potvet terme hteelakettu pta-ala o uuremp (peemp) ku egatvte, otokovara o potve (egatve). (, ) Sk :llä o tapumu olla potve (egatve), jo ptejoukko ättää ättää ouevalta (lakevalta) ( )( ) ( )( ) Kahde muuttuja havatoaeto tuuluvut: Pearo otokorrelaatokerro Pearo otokorrelaatokerro o r mkä uptuu muotoo r Mttaa - ja -havatoarvoje leaare tlatolle rppuvuude vomakkuutta Aa ama etumerkk ku kovaralla g = g r = jo ja va jo o olemaa, g = g te että kaklla =,, - ja -havatoarvoje välllä o tällö ekakt el fuktoaale leaare rppuvuu Havatoarvot aettuvat amalle uoralle Vakka r =, - ja -havatoarvoje välllä aattaa lt olla jopa ekakt epäleaare rppuvuu. Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Pearo otokorrelaatokerro: Havaolltu r =. r =. r =. r =. r =. r = Tädelle epäleaare rppuvuu = ( ) r = Tuulukuje lakemta helpottavat kaavat Summa r Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

3 Otokorrelaatokerro etmaattora Olkoo tlatolle mall (X,Y )~N( X, Y, X, Y, XY ) Parametrt tutemattoma, jote e o etmotava. Etmaattort odotuarvolle:. =, = Etmaattort tadardpokkeamlle: = ), = ) SU-meetelmällä vodaa johtaa Pearo korrelaatokertomelle XY etmaattork otokorrelaatokerro =, mä = )( ) Luottamuvält ja tett XY :lle vodaa johtaa amaa tapaa ku odotuarvolle f XY (,) - - Korrelomattomuude tetaame: Tetauaetelma Moa tutkmutlatea ollaa kotueta tä ovatko atuamuuttujat X ja Y korrelomattoma va e Ue te aaa tovotaa, että korrelomattomuuoletu tulee tetä hlätk Vrt. ettää uua rppuvuuka, mahdolla eurauuhteta je. Huomautuka: Satuamuuttuje X ja Y korrelomattomuudeta e välttämättä euraa de rppumattomuu, vakka atuamuuttuje X ja Y rppumattomuudeta euraa aa de korrelomattomuu. Jo atuamuuttujat X ja Y oudattavat kakulotteta ormaaljakaumaa, atuamuuttuje X ja Y korrelomattomuudeta euraa de rppumattomuu. Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Tet korrelomattomuudelle Ylee hpotee H: Rppumattomat havaot (X,Y )~N( X, Y, X, Y, XY ) Nollahpotee H : = Vahtoehtoe hpotee: H : >ta H : <ta H : Tetuure = ) ) Nollahpotee päteä oudattaa Studet t-jakaumaa vapauate, jote ormaalarvo o E(t) = ja täte tearvoltaa uuret tetuuree arvot vttaavat he, että H e päde Hlkäalueet ja p-arvot t-jakaumata Yhde elttäjä leaare regreomall Oletetaa, että eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelu halutaa elttää elttävä muuttuja el elttäjä havattuje arvoje vahtelu avulla. Tehdää euraavat oletuket: Seltettävä muuttuja o uhdeatekolle atuamuuttuja. Selttävä muuttuja o kteä el eatuae muuttuja. Satuae elttäjä tapauta kätellää möhemm Ptedagramm Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Yhde elttäjä leaare regreomall =, Tulkta: Ajatellaa että eltettävä muuttuja arvo rppuu leaaret elttävätä muuttujata, mutta he vakuttaa atuae vrhe o elttävä muuttuja arvo havatokköä Tämä arvo tedetää Satuamuuttujat: Havatokkköö lttvä vrhe malletaa atuamuuttujaa Selttävä muuttuja arvo o atuamuuttuja Y Tutemattoma parametreja: vakoelttäjä regreokerro elttäjä regreokerro Nämä vakot ovat evät rpu havatokkötä Yhde elttäjä leaare regreomall: Vrheterm tadardoletuket. Odotuarvoe vrhe o olla: =, =,,. Vrhe termellä o vakovara el e ovat homokedata: Var =,,. Jääötermt ovat korrelomattoma: Cor( )=, Läk jääö- el vrhetermetä tehdää ue. Normaaluuoletu:, =,, Huomautu: Oletu () ältää oletuket () ja (). Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

4 Yhde elttäjä leaare regreomall: Seltettävä muuttuja omauudet =, Stadardoletute (.-.) eurauket: =E : Var = Var = Var : Cor = Cov( ) = Cov( ) = Cor = Jo läk jääö- el vrhetermejä kokeva ormaaluuoletu (.) pätee, ~N Yhde elttäjä leaare regreomall: Stemaatte oa ja regreouora =,, Mall vodaa ajatella kootuva kahdeta oata: )+ Stemaatte oa E(Y ) = + el rakeeoa rppuu elttäjälle aetuta arvota Satuae oa e rpu elttäjälle aetuta arvota. Stemaatte oa määrttelee regreouora = + = regreouora ja -akel lekkaupte = regreouora kulmakerro Vrheterm vara kuvaa havato-ptede (, ) hajotaa regreouora mpärllä Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Yhde elttäjä leaare regreomall etmot =,, Regreokertomet ja o etmotava havaota: Selttävä muuttuja tuetut arvot,, Nätä vataavat eltettävä muuttuja Y,,Y havatut arvot,, Pemmä elöumma (PNS) -meetelmää: Ratkataa etmaatt vrhetermelle parametre ja fuktoa ) Regreokertome ja etmaatt määrätää, te että e mmovat vrheterme elöumma: m = m Yhde elttäjä leaare regreomall etmot m = m Mm löt (*) pteetä b b b r Nätä kututaa parametre ja PNS etmaatek Vataavat PNS etmaattort ovat atuamuuttujat ja = Ptedagramm =. +. R =. PNS: dea: Määrä uora (=muta) te että katkovvalla merkttje jaoje (=vrheterme) ptuuke elöde umma mmotuu Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato (*) Tämä tulo johdetaa möhemm PNS-etmaattorede johto / m = m ) Dervodaa : ja : uhtee ja ettää ollakohdat S(, ) () ( ) S(, ) () ( ) Krjotetaa. ormaalhtälöt () ja () muotoh () () PNS-etmaattorede johto / () () Parametr PNS-etmaatk aadaa htälötä (): () b r j Sjottamalla b htälöö () aadaa parametr PNS-etmaatk () b b Svuutamme e oottame, että aatu äärarvo o todellak mm. () () Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

5 Yhde elttäjä leaare regreomall: Emerkk (/) b b b Ptedagramm r Summa... b. b b.... Yhde elttäjä leaare regreomall: Emerkk (/) Yhde elttäjä leaare regreomall =, regreokertome ja PNS-etmaatek aat b =. b =. Etmodu regreouora htälö o.. Ptedagramm =. +. R =. Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Yhde elttäjä leaare regreomall: Etmotu regreouora Sjotetaa regreokertome ja PNS-etmaatte lauekkeet ja etmodu regreouora lauekkeeee : r ( ) Suora kulkee havatoptede paoptee )kautta Jo >, uora o oueva. Jo <, uora o lakeva. Jo =, uora o vaakauoraa. Suora jrkkeee, jo korrelaato tearvo kavaa, otokekhajota kavaa ta otokekhajota peeee Yhde elttäjä leaare regreomall: Sovtteet ja reduaalt =,, Olkoot b ja b regreokertome ja PNS-etmaatt. Etmodu mall ovtteet: ˆ b b,,,, Etmodu regreouora atama arvo eltettävälle muuttujalle havatopteeä. Etmodu mall reduaalt: e ˆ b b,,,, Seltettävä muuttuja havatu arvo ja ovttee erotu. e ˆ ˆ e,,,, (, ) b b (, ˆ ) Huom! Pätee: Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Yhde elttäjä leaare regreomall: Sovttee ja reduaale tulkta Mall elttää muuttuja havattuje arvoje vahtelu tä paremm mtä lähempää etmodu mall ovtteet ovat eltettävä muuttuja havattuja arvoja, ta htäptävät, mtä peempä ovat etmodu mall reduaalt e. e ˆ (, ) (, ˆ ) Sovtteet ja reduaalt - Emerkk Etmotu mall Sovte Reduaal Summa.. Emerkk, ku =, ˆ..... e ˆ.... Ptedagramm =. +. R =. Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

6 Yhde elttäjä leaare regreomall: Jääövara etmot Jo tavalle hde elttäjä leaare regreomall jääö- el vrhetermejä kokevat tadardoletuket ()-(.) pätevät, jääövara Var( ) = harhato etmaattor o joa e e ˆ b b,,,, etmodu mall reduaal havatoje lukumäärä Jääövara etmot: Emerkk Alla olevaa taulukoa o lakettu etmodu mall ovtteet, reduaalt e, ja reduaale elöt e. Sovte Reduaal Re Summa... Jääövara harhato etmaattor o.. e Ptedagramm =. +. R =. Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Varaaalhajotelma: Idea Yhde elttäjä regreomall tehtävää o elttää eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelu elttävä muuttuja havattuje arvoje vahtelulla. Otumta tää tehtävää vodaa kuvata. varaaalhajotelma avulla Varaaalhajotelmaa eltettävä muuttuja havattuje arvoje kokoavahtelua kuvaava. kokoaelöumma (SST) jaetaa kahde oatekjä ummak: SSM kuvaa etmodu mall elttämää oaa SST:tä SSE kuvaa malllla elttämättä jäättä oaa SST:tä Varaaalhajotelma: Määrtelmä Kokoaelöumma SST Kuvaa eltettävä muuttuja havattuje arvoje j vahtelua : otovaralle pätee /( ) Jääöelöumma SSE kuvaa reduaale e vahtelua e : otovaralle pätee /( ) Mallelöumma SSM kuvaa tä oaa eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahteluta, joka etmotu mall o elttät Pätee: SST ( ) SSE e SSM ( ˆ ) Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Varaaalhajotelma: Omauudet Vodaa oottaa, että Seurauket: ja SSE e ( r ) ( ) ( r ) SST Perutelu: - r = = =,, = ± El kätett leaare regreomall elttää tädellet eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelu =,, = El eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua e voda elttää kätet leaare regreomall avulla Seltate: Määrtelmä Varaaalhajotelma kertoo etmodu regreomall hvdetä Mtä uuremp o mallelöumma SSM (el mtä peemp jääöelöumma SSE) ouu kokoaelöummata SST, tä paremm etmotu mall elttää eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelu. Tämä motvo eltatee SSE SSM R SST SST kätö regreomall hvde mttara. Mttaa regreomall elttämää ouutta eltettävä muuttuja havattuje arvoje kokoavahteluta. Ilmataa tavallet proettea: R % Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

7 Seltate: Omauudet SSE SSM R SST SST Yhte otokorrelaatokertomee: Seuraavat ehdot ovat htäptävä:. R =. e = kaklle =,,,. r = Seuraavat ehdot ovat htäptävä:. R =. b =. r = Varaaalhajotelma ja eltate: Emerkk Sovte Reduaal Re Summa... e. SST.. SSE SSE. R. SST. Ste etmotu mall o elttät. % eltettävä muuttuja arvoje vahteluta. Ptedagramm =. +. R =. Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Yhde elttäjä leaare regreomall: Eutee luottamuväl (/) Oletetaa että vrheterme ormaaluuoletu (.) pätee Etmodu mall eute eltettävällä muuttujalle ku tuetaa o E, mutta mkä o e luottamuväl? Luottamuväl johtoo tarvtaa jakauma eutee etmaattorlle + + )( ) Satuauu tulee termetä ~N llä,, tuetaa Vodaa oottaa, että + Perutelu: Keeä o leaarkombaato ormaaljakautueta atuamuuttujta Y Yhde elttäjä leaare regreomall: Eutee luottamuväl (/) )~ + Kätäöä vrheterme varaa e tueta vaa e tät etmoda havaota Luottamuväl muodotamea kätetää t-jakaumaa vrt. ormaaljakauma odotuarvo luottamuväl määrttäme ku varaa e tueta Eutee luottamuväl luottamutaolla ( ) o + t / o luottamukerro Studet t-jakaumata vapauate ( ) = /( ) Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato Yhde elttäjä leaare regreomall: Eutee luottamuväl (/) + Muodotaa fuktoa luottamuvö etmodu regreouora mpärlle Vö kavetuu, jo havatoje lukumäärä ta elttäjä otovara kavaa Vö o tä leveämp, mtä kauempaa o havattuje arvoje kekarvota Eerga kulutu Havatoaeto Regreouora % luottamuväl euteelle % luottamuväl havaolle - Varalluu Tätä vodaa johtaa luottamuväl kttäelle havaolle + + Tämä luottamuväl o leveämp ku eutee luottamuväl Kekmääräe arvo eutame helpompaa ku kttäe arvo Yhde elttäjä leaare regreomall: Satuae elttäjä (/) Oletetaa että mö elttävä muuttuja o atuae: =, PNS-meetelmä e välttämättä tuota harhattoma ta ede tarketuva etmaattoreta regreokertomlle. Nä kä emerkk ellaa tapauka, joa vrheterm ja elttäjä korrelovat. Km: Mllo kteälle, e-atuaelle elttäjälle etettä teoraa aa oveltaa mö atuaelle elttäjälle? Vatau: Aak llo, ku vrhetermt toteuttavat tadardoletuket ehdollet elttäjä havattuje arvoje uhtee Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato

8 Yhde elttäjä leaare regreomall: Satuae elttäjä (/) Modfodut tadardoletuket malllle =,. =,=,,. Var =,,. Cor( )=, Ue tehtävä ormaaluuoletu vataavat. f = ep (ältää oletuket. ja.) Oletuket melko rajottava Etek akaarjoje regreomallea kohdataa ellaa tlateta, joa evät ede modfodut oletuket päde. Tällaa tlatea PNS-meetelmää e pdä kättää mall parametre etmot Mte tätä eteepä? Todeäkölakea ja tlatotetee perukur Stokatet proet Itroducto to Stochatc Large radom tem Browa moto ad Stochatc aal Tlatolle aal peruteet Koeuuttelu ja tlatollet mallt Eutame ja akaarja-aal Momuuttujameetelmät Matemaatte tlatotede Specal coure Stochatc, Stattc ad Mathematcal phc Itroducto to Baea Stattc Baea Modellg Lääketeteelle tekka ja lakealle tetee lato Stokate = atuae Matematka ja teemaal lato Matematka ja teemaal lato