1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit

Transkriptio

1 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Tlastolle mall, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Yhtesjakauma.. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Odotusarvot ja varasst Artmeette keskarvo, Havato, Havatoarvo, Keskvrhe, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otoskeskhajota, Otostuusluku, Otosvarass, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Stadardot, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.3. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Otos ormaaljakaumasta Artmeette keskarvo, Havato, Havatoarvo, -jakauma, Momettemäfukto, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Otosvarass, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasmuuttuje muuokset, Satuasotos, Stadardot, t-jakauma, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.4. Artmeettse keskarvo otosjakauma: Suurte otoste tuloksa Approksmatve jakauma, Artmeette keskarvo, Asymptootte jakauma, Havato, Havatoarvo, Jakaumakovergess, Keskee raja-arvolause, Momettemäfukto, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Otosvarass, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasmuuttuje summa, Satuasotos, Stadardot, Stokaste kovergess, Suurte lukuje lak, Taylor sarja, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.5. Suhteellse frekvess otosjakauma Approksmatve jakauma, Artmeette keskarvo, Asymptootte jakauma, Beroulljakauma, Bomjakauma, Havato, Havatoarvo, Jakaumakovergess, Keskee raja-arvolause, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Stadardot, Stokaste kovergess, Suurte lukuje lak, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.6. Järjestystuusluvut Bomjakauma, Dskreett jakauma, Havato, Havatoarvo, Jatkuva jakauma, Järjestetty otos, Järjestystuusluku, Kertymäfukto, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Theysfukto, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Varass.7. Delta-meetelmä Approksmatve jakauma, Asymptootte jakauma, Delta-meetelmä, Havato, Havatoarvo, Jakaumakovergess, Keskee raja-arvolause, Muuos, Normaaljakauma, Odotusarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos, Slutsky lause, Stokaste kovergess, Suurte lukuje lak, Taylor sarja, Todeäkösyysjakauma, Tuusluku, Ilkka Mell (00) /36

2 Tlastolle päättely. Ilkka Mell (00) /36

3 Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Satuasotos Olkoot,,, rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o ss sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x) Tällö saomme, että satuasmuuttujat,,, muodostavat (ykskertase) satuasotokse jakaumasta f(x) ja kutsumme satuasmuuttuja,,, havaoks. Oletetaa, että satuasmuuttujat,,, saavat otaa tuloksea havatuks arvoksee havatoarvot x, x,, x Merktää tätä seuraavalla tavalla: Huomautuksa: () Jos satuasmuuttujat = x, = x,, = x,,, muodostavat satuasotokse jakaumasta f(x), de havatut arvot () () (v) x, x,, x o saatu tostamalla tosstaa rppumattoma arvotoja kertaa samo, jakaumasta f(x) saatav todeäkösyyks. Satuasmuuttuje,,, havatut arvot x, x,, x ovat ktetä el esatuasa, mutta e vahtelevat tosstaa rppumatta ja satuasest otoksesta tosee. Satuasuus otoksessa lttyy ss she, mte havatoarvot vahtelevat otoksesta tosee. Satuasuus e ss lty otaa tuloksea saatuh havatoarvoh (jotka ovat ktetä lukuja!), vaa otokse Ilkka Mell (00) 3/36

4 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Ykskertase satuasotokse tlastolle mall Olkoo,,, satuasotos satuasmuuttuja jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Tällö satuasmuuttuje,,, yhtesjakauma muodostaa tlastollse mall havatoarvoje satuaselle vahtelulle otoksesta tosee. Koska satuasmuuttujat,,, o tässä oletettu rppumattomks, satuasmuuttuje,,, yhtesjakauma saadaa satuasmuuttuje,,, reuajakaume tuloa: jossa f ( x, x,, x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ) f ( x ),,,, Otostuusluvut Olkoo,,, satuasotos satuasmuuttuja jakaumasta, joka pstetodeäkösyys- ta theysfukto o f(x). Tällö havaot,,, ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x): Olkoo,,, f ( x),,,, T = g(,,, ) jok satuasmuuttuje,,, (mtalle) fukto. Tällö satuasmuuttujaa T kutsutaa (otos-) tuusluvuks. Oletetaa, että satuasmuuttujat,,, saavat otaa tuloksea havatuks arvoksee havatoarvot x, x,, x : Tällö tuusluku = x, = x,, = x T = g(,,, ) saa havatuks arvoksee t fukto g arvo psteessä (x, x,, x ): t = g(x, x,, x ) Tuusluku T o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja. Tuusluvu T jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaks. Tuusluvu T otosjakauma muodostaa tlastollse mall tuusluvu T havattuje arvoje satuaselle vahtelulle otoksesta Ilkka Mell (00) 4/36

5 Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Odotusarvot ja varasst Satuasotos Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Tällö havaot,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jode odotusarvo o ja varass o :,,, E( ),,,, Var( ),,,, Artmeette keskarvo Määrtellää havatoje,,, artmeette keskarvo kaavalla Artmeette keskarvo kuvaa havatoarvoje keskmäärästä arvoa. Artmeette keskarvo o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja, joka arvo vahtelee satuasest otoksesta tosee. Otosvarass Määrtellää havatoje,,, otosvarass kaavalla jossa s ( ) o havatoje,,, artmeette keskarvo. Otosvarass kuvaa havatoarvoje vahtelua de artmeettse keskarvo ympärllä. Otosvarass o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja, joka arvo vahtelee satuasest otoksesta tosee. Otosvarass kaava vodaa krjottaa myös muotoh Ilkka Mell (00) 5/36

6 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Perustelu: s ( ) ( ) Otoskeskhajota Määrtellää havatoje,,, (otos-) keskhajota kaavalla s ( ) Otoskeskhajota kuvaa havatoarvoje vahtelua de artmeettse keskarvo ympärllä. Otoskeskhajota o satuasmuuttuje,,, fuktoa satuasmuuttuja, joka arvo vahtelee satuasest otoksesta tosee. Huomaa, että havatoarvoje otoskeskhajota o mtattu samossa ykskössä ku de artmeette keskarvo tos ku havatoarvoje otosvarass, joka mttaykskköä o havatoarvoje mttaykskö elö. Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Tällö havatoje,,, artmeettse keskarvo odotusarvo o ja varass o E( ) Var( ) D ( Ilkka Mell (00) 6/36

7 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Perustelu: Olkoot,,, rppumattoma satuasmuuttuja, jolle Tällö ja Huomautuksa: () () Yhtälö E( ),,,, Var( ),,,, E( ) E E( ) Var( ) Var Var( ) Havatoje rppumattomuus E( ) pätee, vakka havaot,,, evät ols rppumattoma, koska summa odotusarvo o aa summa tekjöde odotusarvoje summa. Se sjaa yhtälö Var( ) todstamsessa joudutaa vetoamaa she, että rppumattomlle satuasmuuttujlle pätee se, että summa varass o summa tekjöde varasse summa. Artmeettse keskarvo stadardpokkeamaa D( Ilkka Mell (00) 7/36

8 Tlastolle päättely. Otosjakaumat kutsutaa use keskarvo keskvrheeks ja se kuvaa artmeettse keskarvo otosvahtelua oma odotusarvosa ympärllä. Stadardodu artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o, jollo havatoje,,, artmeettse keskarvo odotusarvo o ja varass o E( ) Var( ) D ( ) Tällö stadardodu satuasmuuttuja Z odotusarvo ja varass ovat E( ) D( ) E( Z) 0 Var( Z) Otosvarass odotusarvo ja varass Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o, varass o ja 4. keskusmomett o 4. Tällö havatoje,,, otosvarass odotusarvo o ja varass o s ( ) E( s ) 3 4 Var( s ) 4 Suurlle pätee approksmatvsest 4 Var( s ) a ( 4 Ilkka Mell (00) 8/36

9 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Jos lsäks vodaa olettaa, että havaot,,, ovat ormaaljakautueta, 4 Var( s ) Perustelu: Todstamme tässä va otosvarass odotusarvoa koskeva tulokse. Olkoot,,, rppumattoma satuasmuuttuja, jolle Todetaa es, että E( ),,,, Var( ),,,, koska ja Ste ( ) [( ) ( )] s ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) s ( ) ( ) 0 E( s ) E ( ) E ( ) E ( ) ( ) E( ) E( ) ( Ilkka Mell (00) 9/36

10 Tlastolle päättely. Otosjakaumat koska ja E( ) Var( ),,,, E( ) Var( ).3. Artmeettse keskarvo ja otosvarass otosjakaumat: Otos ormaaljakaumasta Artmeettse keskarvo otosjakauma, ku otos o ormaaljakautuut Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö havatoje,,, artmeette keskarvo oudattaa ormaaljakaumaa N(, /): Perustelu: N, Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( ),,,, Edellä o todettu, että lma ormaalsuusoletustak pätee E( ) Var( ) D ( ) Lausee todstamseks ptää ss äyttää, että satuasmuuttuje,,, artmeettse keskarvo jakauma o ormaaljakauma. Käytämme todstamsessa hyväks ormaaljakauma momettemäfuktota. Jos N(, ) satuasmuuttuja momettemäfukto o m t e t t t ( ) E( ) exp( Ilkka Mell (00) 0/36

11 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Momettemäfukto ylesstä omasuukssta seuraa, että rppumattome ja samo jakautuede satuasmuuttuje,,, artmeettse keskarvo momettemäfukto o muotoa m ( t) [ m( t / )] jossa m(t) o satuasmuuttuje,,, momettemäfukto. Ste rppumattome samaa ormaaljakaumaa N(, ) oudattave satuasmuuttuje momettemäfuktoks saadaa m ( t) [ m( t / )] [exp( ( t / ) ( t / ) )] [exp( ( t / ( t / ) ))] [exp( t ( / ) t )] mkä o ormaaljakauma N(, /) momettemäfukto. Ste N, Stadardodu artmeettse keskarvo otosjakauma, ku otos o ormaaljakautuut Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ), jollo havatoje,,, artmeette keskarvo oudattaa ormaaljakaumaa N(, /): N, Tällö stadardotu satuasmuuttuja Z E( ) D( ) oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Z N(0,) Otosvarass otosjakauma, ku otos o ormaaljakautuut Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttuja Ilkka Mell (00) /36

12 Tlastolle päättely. Otosjakaumat oudattaa -jakaumaa vapausaste : Perustelu: Y ( ) Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( ),,,, Määrtellää satuasmuuttuja Y kaavalla Y Koska havaot,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ), stadardodut satuasmuuttujat Y,,,, ovat rppumattoma ja oudattavat stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Y N(0,), 0,,,, Ste satuasmuuttuja Y o rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa N(0,) oudattave satuasmuuttuje Y, =,,, elösumma: Y Y Suoraa -jakauma määrtelmästä seuraa, että satuasmuuttuja Y oudattaa -jakaumaa vapausaste : Y ( ) Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttuja V ( ) s oudattaa -jakaumaa vapausaste ( ): Perustelu: V ( ) Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( Ilkka Mell (00) /36

13 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Määrtellää satuasmuuttuja V kaavalla V Satuasmuuttujat ( ) s U,,,, evät ole rppumattoma, koska U 0 Vodaa kutek osottaa, että satuasmuuttuja V vodaa esttää rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa N(0,) oudattave satuasmuuttuje V, =,,, elösummaa (ks. alla estettyä perustelua ormaaljakautuee otokse artmeettse keskarvo ja otosvarass rppumattomuudelle): V V Suoraa -jakauma määrtelmästä seuraa, että satuasmuuttuja V oudattaa -jakaumaa vapausaste ( ): Huomautuksa: () Satuasmuuttuja Y ( ) () () Y oudattaa -jakaumaa, joka vapausastede lukumäärä o sama ku havatoje lukumäärä. Ku satuasmuuttujasta Y srrytää satuasmuuttujaa V meetetää yks vapausaste. ( ) s Yhde vapausastee meetys o seurausta stä, että ku rppumattomsta satuasmuuttujsta Y,,,, srrytää Ilkka Mell (00) 3/36

14 Tlastolle päättely. Otosjakaumat U,,,, korvaamalla odotusarvoparametr estmaattorllaa, sytyy yks (leaare) sde-ehto (v) U 0 Oletukset havatoje rppumattomuudesta ja samasta jakaumasta ovat välttämättömä otosvarass eksakta el tarkkaa otosjakaumaa koskevalle tulokselle. Artmeettse keskarvo ja otosvarass rppumattomuus Olkoo,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ) ja olkoo havatoje,,, artmeette keskarvo ja otosvarass Tällö s ( ) N, V Lsäks ja s ovat rppumattoma ja Perustelu: t ( ) s t( ) s / ( ) Olkoot,,, rppumattoma ja samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja, jolle E( ),,,, Var( ),,,, Olkoot havatoje,,, artmeette keskarvo ja otosvarass s ( Ilkka Mell (00) 4/36

15 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Otokse,,, yhtesjakauma theysfukto vodaa krjottaa havatoje rppumattomuude ja ormaalsuude taka seuraavaa muotoo: f ( x, x,, x ) ( ) exp ( x ) Määrtellää leaarmuuos Y 3 Y Y Y ( ) ( ) ( ) 3 ( ) Muuos vodaa esttää matrse muodossa jossa ja -matrs Y B Y ( Y, Y,, Y ) (,,, ) B o ortogoaale: ( ) ( ) ( ) ( ) B B = BB = I Matrs B ähdää helpost ortogoaalseks seuraavalla päättelyllä: Määrtellää -matrs C ( ) 0 ( ) O helppo ähdä, että matrs C rvt ovat selväst kohtsuorassa tosaa vastaa. Matrs B saadaa matrssta C ormeeraamalla se rvt, että de ptuudeks Ilkka Mell (00) 5/36

16 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Koska muuos Y B o ortogoaale, muuosta vastaava Jacob determat tsesarvo =. Koska ja Koska Y ( ) Y Y Y YY BB ( ) ( ) ( ) Y Y s ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y Y ( Y ) satuasmuuttuje Y, Y,, Y yhtesjakauma theysfuktoks saadaa f ( y, y,, y ) e ( ) Edellä estetystä seuraa, että satuasmuuttujat Y, Y,, Y ovat rppumattoma ja ormaaljakautueta: Lsäks Y, Y,, Y Y ( Y ) Y Y ( Y ) Y Y e e e N(, ) Y N(0, ),,, jossa Y ( Y ) s Y Ilkka Mell (00) 6/36

17 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Y N(0,),,, Ste olemme todstaeet, että s N, ( ) s Todstetaa velä, että t ( ) t( ) s / Edellä todstetusta artmeettsta keskarvoa koskevasta jakaumatuloksesta seuraa, että Lsäks ja N(0,) / ( ) s s ( ) Suoraa Studet t-jakauma määrtelmästä seuraa, että t / t( ) s / ( ) s.4. Artmeettse keskarvo otosjakauma: Suurte otoste tuloksa Suurte lukuje lak Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Määrtellää havatoje,,, artmeette keskarvo kaavalla Heko suurte lukuje la mukaa satuasmuuttuje,,, artmeettste keskarvoje muodostama joo kovergo havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta stokastsest koht satuasmuuttuje yhtestä odotusarvoa Ilkka Mell (00) 7/36

18 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Perustelu: P Olkoo, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass o : Olkoo,,, 3 E( ),,,3, Var( ),,,3, satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo. Tshebyshev epäyhtälö mukaa Pr Koska epäyhtälö okea puol 0, ku, Huomautuksa: () () () P Hekko suurte lukuje lak vodaa lmasta sao seuraavast: Samo jakautuede satuasmuuttuje artmeette keskarvo lähestyy muuttuje lukumäärä kasvaessa muuttuje yhtestä odotusarvoa sellasella tavalla, että (suurte) pokkeame todeäkösyys satuasmuuttuje yhtesestä odotusarvosta tulee yhä peemmäks el (suuret) pokkeamat tulevat yhä harvasemmks. Suurte lukuje lakeja vodaa ptää matemaattsea formulota emprse todeäkösyyde kästteesee lttyvälle tlastollse stablteet kästteelle. Suurte lukuje laesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojakautuesuus- ja rppumattomuusoletuksa. Keskee raja-arvolause Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Olkoo Y havatoje,,, summa. Summa Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) D ( Y Ilkka Mell (00) 8/36

19 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Stadardodaa summa Y : Z Y E( Y ) Y D( Y ) Aetaa havatoje lukumäärä kasvaa rajatta. Tällö satuasmuuttuja Z jakauma kovergo (jakaumakovergess melessä) koht stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Y lm Pr z ( z) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Merktsemme tätä Z Y a N(0,) ja saomme: Stadardotu satuasmuuttuja Z oudattaa asymptoottsest stadardotua ormaaljakaumaa N(0,). Perustelu: Olkoo,, 3, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo o ja varass o :,,, 3 E( ),,,3, Var( ),,,3, Oletetaa, että satuasmuuttuje, =,, 3, momettemäfukto t m( t) E( e ),,,3, o olemassa jossak orgo ympärstössä. Olkoo Y satuasmuuttuje, =,,, summa. Summamuuttuja Y odotusarvo ja varass ovat E( Y ) D ( Y ) Stadardodaa summa Y : Z Y E( Y ) Y D( Y ) Stadardodu satuasmuuttuja Z odotusarvo ja varass ovat E( Z ) 0 Var( Z Ilkka Mell (00) 9/36

20 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Srrytää tarkastelemaa keskstettyjä satuasmuuttuja T,,,3 Satuasmuuttuje T odotusarvo ja varass ovat E( T ) 0,,,3, D ( T ),,,3, Keskstettyje muuttuje T avulla stadardotu muuttuja Z vodaa krjottaa muotoo Y Z ( T T T ) Koska satuasmuuttuje, =,, 3, momettemäfukto o olemassa jossak orgo ympärstössä myös kesktettyje muuttuje T,,,3 momettemäfukto o olemassa jossak orgo ympärstössä. Olkoo m( t) E( e tt ) satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto. Koska rppumattome satuasmuuttuje summa momettemäfukto o summa tekjöde momettemäfuktode tulo, satuasmuuttuja Y Z ( T T T ) momettemäfukto m (t) vodaa esttää muodossa t m ( t) m jossa m(t) o satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto. Satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto m(t) vodaa kehttää jossak pstee t = 0 ympärstössä Taylor sarjaks jossa m t t t t t ( ) ( ) k E( T ), k,,3, k o satuasmuuttuje T, =,, 3, k. orgomomett ja (t) 0, ku t Ilkka Mell (00) 0/36

21 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Koska E( T ) 0,,,3, E( T ) D ( T ),,,3, m t t t t t t t t ( ) ( ) ( ) Sjotetaa satuasmuuttuje T, =,, 3, momettemäfukto m(t) sarjakehtelmä m t t t t ( ) ( ) satuasmuuttuja Y Z ( T T T ) momettemäfukto lausekkeesee t m ( t) m Saamme sjotukse tuloksea lausekkee t t t m ( t) t t t jossa t lm 0 jokaselle kteälle t. Ekspoettfukto omasuukse perusteella Koska t t t m ( t) e t / t / e o stadardodu ormaaljakauma N(0,) momettemäfukto, äemme, että satuasmuuttuje Y Ilkka Mell (00) /36

22 Tlastolle päättely. Otosjakaumat muodostama joo kovergo jakaumaltaa el hekost koht stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): Z Z L N(0,) Huomautuksa: () () () Keskese raja-arvolausee mukaa usea samo jakautuee satuasmuuttuja summa o (tety ehdo) approksmatvsest ormaale (lähes) rppumatta yhteelaskettave jakaumasta. Yhteelaskettave e tarvtse olla edes jatkuva, vaa e vovat olla jopa dskreettejä. Approksmaato hyvyys rppuu yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärästä, de jakaumasta ja ertysest de jakauma voudesta: Approksmaato hyvyys paraee, ku yhteelaskettave satuasmuuttuje lukumäärä kasvaa. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o symmetre (ta lähellä symmetrstä) approksmaato o suhteellse hyvä jo melko pellä yhteelaskettave lukumäärllä. Jos yhteelaskettave satuasmuuttuje jakauma o epäsymmetre, hyvä approksmaato vaat selväst eemmä yhteelaskettava. Keskesestä raja-arvolauseesta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojakautuesuus- ja rppumattomuusoletuksa. Stadardodu artmeettse keskarvo asymptootte jakauma Olkoo,,, satuasotos jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o. Olkoo Y havatoje,,, summa, jollo havatoje,,, artmeette keskarvo saadaa kaavalla Y Stadardodaa satuasmuuttuja Koska Z Z : E( ) D( ) / Y / keskese raja-arvolausee tulos lmastaa use seuraavassa muodossa: Stadardodu artmeettse keskarvo jakauma kovergo havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta koht stadardotua ormaaljakaumaa Ilkka Mell (00) /36

23 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Artmeettse keskarvo approksmatve jakauma Keskese raja-arvolauseesta seuraa, että rppumattome, samo jakautuede satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo o suurlle (mutta äärellslle) havatoje lukumäärlle approksmatvsest ormaale parametre ja /: a N, Huomaa, että tarkast ottae emme sas saoa (kute use tehdää), että artmeette keskarvo o asymptoottsest ormaale parametre ja /, koska artmeettse keskarvo otosjakauma N, lähestyy havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta yhde pstee jakaumaa Pr( ).5. Suhteellse frekvess otosjakauma Frekvess ja suhteelle frekvess Olkoo P jok otosavaruude S alkode omasuus. Jos otosavaruude S alkolla x o omasuus P, merktää Olkoo P(x) A x S P( x) de otosavaruude S alkode osajoukko, jolla o omasuus P. Oletetaa, että tapahtuma A todeäkösyys o Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo f de havatoyksköde frekvess, jolla o omasuus P. Tällö f pˆ o vastaava suhteelle frekvess. Frekvess f kuvaa A-tyyppste alkode lukumäärää otoksessa ja vastaava suhteelle frekvess pˆ f / kuvaa A-tyyppste alkode suhteellsta osuutta otoksessa. Sekä frekvess f että vastaava suhteelle frekvess pˆ f / ovat satuasmuuttuja, jode saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta Ilkka Mell (00) 3/36

24 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Frekvess jakauma Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: ja olkoo A S Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo f A-tyyppste alkode lukumäärä el frekvess otoksessa. Tällö tapahtuma A frekvess f oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: f B(, p) Bomjakauma omasuukse perusteella satuasmuuttuja f odotusarvo ja varass ovat jossa q = p. Perustelu: E( f ) p Var( ) D ( ) f f pq Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma A c (tapahtuma A e satu) todeäkösyys o Pr(A c ) = Pr(A) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja :, jos tapahtuma A sattuu 0, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja jakauma o Pr( ) p Pr( 0) p q Määrtelmä mukaa satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p: Beroull( p) O helppo ähdä, että E( ) p Var( ) D ( ) pq Tostetaa samaa Beroull-koetta kertaa, jossa o kteä, etukätee päätetty luku. Oletetaa, että koetostot ovat rppumattoma ja tarkkallaa tapahtuma A sattumsta koetostoje Ilkka Mell (00) 4/36

25 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Oletetaa, että Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttujat, =,,, : Tällö, jos tapahtuma A sattuu kokeessa 0, jos tapahtuma A e satu kokeessa Beroull( p),,,, Lsäks satuasmuuttujat, =,,, ovat rppumattoma:,,, Määrtellää dskreett satuasmuuttuja f : f = Tapahtuma A frekvess -kertasessa Beroull-kokeessa Suoraa bomjakauma määrtelmä mukaa frekvess f oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: Selväst f B(, p) f koska luku estyy summassa f = täsmällee yhtä mota kertaa ku tapahtuma A sattuu koetostoje akaa. Tämä merktsee stä, että bomjakautuut satuasmuuttuja vodaa aa esttää rppumattome Beroull-jakautuede satuasmuuttuje summaa. Koska satuasmuuttuje summa odotusarvo o aa satuasmuuttuje odotusarvoje summa, frekvess f = odotusarvo o E( f ) E E( ) p p Koska rppumattome satuasmuuttuje summa varass o satuasmuuttuje varasse summa, frekvess f = varass o pq pq D ( ) D D ( ) Suhteellse frekvess odotusarvo ja varass Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: A Ilkka Mell (00) 5/36

26 Tlastolle päättely. Otosjakaumat ja olkoo Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo f A-tyyppste alkode lukumäärä el frekvess otoksessa. Tällö tapahtuma A suhteellse frekvess pˆ f / odotusarvo ja varass ovat jossa q = p. Perustelu: E( pˆ ) p ˆ Var( p) D ( p) ˆ pq Suhteellse frekvess pˆ f / odotusarvo ja varass saadaa suoraa frekvess f odotusarvoa ja varassa koskevsta tulokssta satuasmuuttuja odotusarvo ja varass yleste omasuukse perusteella: Suhteellse frekvess pˆ f / f E( pˆ ) E E( f ) p p f pq Var( pˆ ) Var Var( f ) pq D( pˆ ) pq stadardpokkeamaa kutsutaa tavallsest suhteellse frekvess keskvrheeks ja se kuvaa suhteellse frekvess otosvahtelua oma odotusarvosa p ympärllä. Koska suhteellse frekvess pˆ f / ja varass o E( pˆ ) p pq Var( pˆ ) odotusarvo suhteellse frekvess otosjakauma keskttyy yhä vomakkaamm tapahtuma A todeäkösyyde p ympärlle, ku otoskoko kasvaa. Suhteelle frekvess ja suurte lukuje lak Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: ja olkoo A Ilkka Mell (00) 6/36

27 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo pˆ f / A-tyyppste alkode suhteelle lukumäärä el suhteelle frekvess otoksessa. Heko suurte lukuje la mukaa suhteellste frekvesse pˆ f / muodostama joo kovergo havatoje lukumäärä kasvaessa rajatta stokastsest koht tapahtuma A todeäkösyyttä p: Perustelu: pˆ p P Suhteellse frekvess asymptoottsta raja-arvoa koskeva tulos seuraa artmeettse keskarvo asymptoottsta käyttäytymstä koskevasta hekosta suurte lukuje lasta, ku huomataa, että jossa jollo pˆ f,,, Beroull( p) E( ) p,,,, Var( ) D ( ),,,, pq Suhteellse frekvess asymptootte jakauma Olkoo A jok otosavaruude S tapahtuma: ja olkoo A S Pr(A) = p Pomtaa otosavaruudesta S satuasotos, joka koko o ja olkoo pˆ f / A-tyyppste alkode suhteelle lukumäärä el suhteelle frekvess otoksessa. Suhteelle frekvess pˆ f / oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: f pq pˆ ~ a N Ilkka Mell (00) 7/36

28 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Ste stadardotu satuasmuuttuja Z ˆp p pq oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Perustelu: Z ~ a N(0,) Suhteellse frekvess otosjakaumaa koskeva asymptootte tulos seuraa keskesestä rajaarvolauseesta, ku huomataa, että jossa jollo f pˆ,,, Beroull( p) E( ) p,,,,.6. Järjestystuusluvut Var( ) D ( ),,,, pq Järjestystuusluvut: määrtelmä Olkoo,,, satuasotos. Tällö havaot,,, ovat rppumattoma, samaa jakaumaa oudattava satuasmuuttuja. Jos satuasmuuttuje,,, havatut arvot järjestetää suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa, saamme järjestystuusluvut ja saomme, että (), (),, () (j), j =,,, o j. järjetystuusluku. Järjestystuusluvut (), (),, () toteuttavat ehdot Ertysest () () () () = mm () = Ilkka Mell (00) 8/36

29 Tlastolle päättely. Otosjakaumat ( (), () ) = vahteluväl () () = vahteluväl ptuus Järjestystuuslukuje jakaumat: Otos dskreetstä jakaumasta Olkoo,,, satuasotos dskreetstä jakaumasta, joka pstetodeäkösyysfukto o f ( x ) p jossa x x x 3 ovat satuasmuuttuja mahdollset arvot kasvavassa järjestyksessä. Olkoot P 0 = 0 P = p P = p + p Olkoot P = p + p + + p (), (),, () otosta,,, vastaavat järjestystuusluvut. Tällö k Pr( ( j) x ) P ( P ) k j k ja k k k k Pr( ( j) x ) P ( P ) P ( P ) k j k Perustelu: Ktetää ja määrtellää satuasmuuttuja Y seuraavalla tavalla: Y = de havatoje,,, lukumäärä, jotka ovat peempä ku x Kutsutaa jokaselle,,, tapahtumaa { j x }, j =,,, ostumseks ja tapahtumaa { j > x } = { j x } c, j =,,, Ilkka Mell (00) 9/36

30 Tlastolle päättely. Otosjakaumat epäostumseks. Ste satuasmuuttuja Y kuvaa ostumste lukumäärää otoksessa,,,. Ostumse todeäkösyys P = Pr( j x ) o sama kaklle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat samo jakautueta. Lsäks ostumset (ja epäostumset) ovat tapahtuma rppumattoma jokaselle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat rppumattoma. Ste jollo Tapahtumat ja Y B(, P ) Pr( Y j) P ( P ) j { (j) x } {Y j} j j ovat ekvvaletteja, koska tällö aak j havaosta,,, o peempä ta yhtä suura ku x. Ste satuasmuuttuja (j) kertymäfukto o muotoa k Pr( ( j) x ) Pr( Y j) P ( P ) k j k ja satuasmuuttuja (j) pstetodeäkösyysfukto o muotoa k Pr( x ) Pr( x ) Pr( x ) ( j) ( j) ( j) k k k k P ( P ) P ( P ) k j k mkä pätee myös, ku =, koska P 0 = 0. Järjestystuuslukuje jakaumat: Otos jatkuvasta jakaumasta Olkoo,,, satuasotos jatkuvasta jakaumasta, joka kertymäfukto o F (x) ja theysfukto o f Ilkka Mell (00) 30/36

31 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tällö j. järjestystuusluvu (j) theysfukto o Perustelu:! f ( x) [ F ( x)] f ( x)[ F ( x)] ( j )!( j)! j j ( j ) Olkoo x. Määrtellää satuasmuuttuja Y seuraavalla tavalla: Y = de havatoje,,, lukumäärä, jotka ovat peempä ku x Kutsutaa jokaselle,,, tapahtumaa { j x}, j =,,, ostumseks ja tapahtumaa { j > x} = { j x} c, j =,,, epäostumseks. Ste satuasmuuttuja Y kuvaa ostumste lukumäärää otoksessa,,,. Ostumse todeäkösyys Pr( j x) = F (x) o sama kaklle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat samo jakautueta. Lsäks ostumset (ja epäostumset) ovat tapahtuma rppumattoma jokaselle j, koska satuasmuuttujat,,, ovat rppumattoma. Ste jollo Tapahtumat ja Y B(, F ( x)) Pr( Y j) [ F ( x)] [ F ( x)] j { (j) x} {Y j} j j ovat ekvvaletteja, koska tällö aak j havaosta,,, o peempä ta yhtä suura ku x. Ste satuasmuuttuja (j) kertymäfukto o muotoa k F ( x) Pr( ( ) ( ) ) Pr( ) [ ( )] [ ( )] j j x Y j F x F x k j k Ilkka Mell (00) 3/36

32 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Satuasmuuttuja (j) theysfuktoks saadaa d f ( x) F ( ) ( j ) x ( j ) dx k F k j k x f x F x k k [ ( )] ( )[ ( )] k ( k)[ F ( x)] f ( x)][ F ( x)] k j [ F j j ( x )] f ( x )[ F ( x )] j k k k [ F ( x )] f ( x )[ F ( x )] k j k k ( k )[ F ( x )] f ( x)][ F ( x)] k j k! j j [ F ( x)] f ( x)[ F ( x)] ( j )!( j)! k k ( k )[ F ( x)] f ( x)[ F ( x)] k j k k ( k )[ F ( x )] f ( x )][ F ( x )] k j k! j [ F ( x)] f ( x)[ ( )] F j x ( j )!( j)! k k Vmee yhtälö perustuu she, että! ( k ) ( k) k k!( k )! k.7. Delta-meetelmä Taylor sarjakehtelmä Oletetaa, että fuktolla g(x) o r. dervaatta r ( r d g ) ( x) g( x) r dx psteessä x = a. Tällö r ( ) g ( a) Tr ( x) ( x a), a! 0 o fukto g(x) Taylor polyom astetta Ilkka Mell (00) 3/36

33 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Lauseketta g( x) T ( x) R ( x) r r saotaa Taylor polyom jääöstermks. Vodaa osottaa, että jääöstermllä R r (x) o seuraava omasuus: Jos x lähestyy rajatta pstettä a, jääösterm R r (x) lähestyy rajatta ollaa opeamm ku Taylor polyom korkemma astee term: g( x) Tr ( x) lm 0 xa r ( x a) Jos fukto g(x) (r+). dervaatta g (r+) (x) o olemassa psteessä a, jääösterm o muotoa ( r g ) ( x) r Rr ( x) g( x) Tr ( x) ( x t) dt r! Ste saamme fukto g(x) Taylor sarjakehtelmäks pstee a ympärstössä jossa R 0, ku x a. r ( ) g ( a) g( x) ( x a) R! 0 Tarvtsemme jatkossa lähä va. ta. astee Taylor polyomeja. Tuusluvu fukto odotusarvo ja varass Olkoot T, =,,, k satuasmuuttuja, jode odotusarvot ovat Määrtellää vektort ja E(T ) =, =,,, k T = (T, T,, T k ) = (,,, k ) x a Olkoo g(t) satuasmuuttuja T dervotuva fukto. Haluamme määrätä approksmatvse varass satuasmuuttujalle g(t). Olkoo g ( θ) g( t) t t,, tk k fukto g(t). dervaatta muuttuja t suhtee psteessä t =,, t k = k. Fukto g Taylor sarjakehtelmä pstee ympärstössä o muotoa k g( t) g( θ) g( θ)( t ) R jossa R 0, ku t,, t k Ilkka Mell (00) 33/36

34 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Ste (approksmatvsest) g( t) g( θ) g( θ)( t ) k Ottamalla tästä odotusarvo saadaa k E( g( T)) E( g( θ)) g( θ) E( T ) g( θ) koska E(T ) =, =,,, k Vomme ste approksmoda fukto g(t) varassa lausekkeella Var( g( T)) E [ g( T) g( θ)] k E g ( θ)( T ) k [ g ( θ)] Var( T ) g ( θ) gj ( θ)cov( T, Tj ) j Ertysest, jos satuasmuuttujat T, =,,, k ovat korrelomattoma, k Var( g( T)) [ g ( θ)] Var( T ) Delta-meetelmä Käyttämällä edellä johdettuja approksmaatota fukto g(t) odotusarvolla ja varasslle, saamme seuraava ylestykse keskeselle raja-arvolauseelle: Olkoo Y, Y, Y 3, satuasmuuttuje joo, jolle Y ( ) N(0, ) jakaumakovergess melessä. Olkoo g fukto, jolle g () 0 jokaselle kteälle. Tällö jakaumakovergess melessä. Perustelu: g Y g g ( ( ) ( )) N(0, [ ( )] ) Fukto g(y ) Taylor sarjakehtelmä pstee Y = ympärstössä o muotoa g( Y ) g( ) g( )( Y ) Ilkka Mell (00) 34/36

35 Tlastolle päättely. Otosjakaumat jossa jääösterm R 0, ku Y. Vodaa osottaa, että Y stokastsest, koska Y jakaumakovergess melessä. Ste R 0 stokastsest. Soveltamalla s. Slutsky lausetta (ks. alla) todetaa, että g Y g g Y g ( ( ) ( )) ( ) ( ) N(0, [ ( )] ) Tose kertaluvu delta-meetelmä Jos delta-meetelmässä g () = 0 ottamalla fukto g Taylor sarjakehtelmää mukaa myös. astee term, saadaa kehtelmä g( ) g( Y ) g( ) g ( )( Y ) ( Y ) R jossa jääösterm R 0, ku Y. Ste koska oletukse mukaa g () = 0. g( ) g( Y ) g( ) ( Y ) R Koska stadardotua ormaaljakaumaa N(0,) oudattava satuasmuuttuja elö oudattaa ()-jakaumaa -jakauma määrtelmä mukaa, ( Y ) jakaumakovergess melessä. () Soveltamalla s. Slutsky lausetta (ks. alla) saadaa tästä seuraava tulos: Olkoo Y, Y, Y 3, satuasmuuttuje joo, jolle Y ( ) N(0, ) jakaumakovergess melessä. Olkoo g fukto, jolle mutta g () = 0 g () 0 jokaselle kteälle. Tällö g Y jakaumakovergess melessä. g ( ) ( ( ) g( )) Ilkka Mell (00) 35/36

36 Tlastolle päättely. Otosjakaumat Slutsky lause Oletetaa, että jakaumakovergess melessä ja Y a stokastsest. Tällö () Y a () Y + a + jakaumakovergess Ilkka Mell (00) 36/36