MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
|
|
- Annemari Aho
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o? Tlastotede kehttää ja soveltaa meetelmä ja malleja, jode avulla reaalmaalma lmöstä vodaa tehdä johtopäätöksä tlatessa, jossa lmötä koskev tetoh lttyy epävarmuutta ja satuasuutta. Mallt ja meetelmät perustuvat todeäkösyyslasketaa. Tlastotedettä vodaa soveltaa kakkalla mssä tuotetaa reaalmaalma lmötä kuvaavaa kvattatvsta tetoa. Jokae emprse tutkmukse havatoaesto o tlastotetee tutkmukse mahdolle kohde. Tlastolle aesto Tlastollse tutkmukse kakk mahdollset kohteet muodostavat tutkmukse (kohde-) perusjouko. Tutkmukse kohteks valttuja perusjouko alkota kutsutaa havatoyksköks. Tlastolle aesto koostuu havatoykskötä kuvaave muuttuje havatusta arvosta. Tlastollse kuvalu meetelmä: Tlastografkka, tlastollset tuusluvut, tlastollset mallt Tlastollse päättely meetelmä: Tlastollset mallt, tlastolle estmot, tlastolle testaus Aesto kerääme ja kotrollodut kokeet Jos tutkmukse kohteea o koko perusjoukko, tutkmusta kutsutaa kokoastutkmukseks Muute kyseessä o otatatutkmus. Tutkmus o koe, jos tutktaa olosuhtede aktvse muuttamse vakutusta tutkmukse kohtes. Muute saomme, että tutkmus perustuu suor havatoh. Va kotrollodusta kokeessa vodaa tehdä luetettava johtopäätöksä Vertallaa vähtää kahde erlase kästtely vakutuksa. Kästtelyje kohdstamsessa o käytettävä satuastusta. Kokeessa tehdää rttäväst koetostoja. Mttaame ja tlastollset mtta-astekot Tutkmukse kohdetta kuvaavat kvaltatvset (laadullset) ja kvattatvset (umeerset) tedot saadaa mttaamalla: Nomaal- el laatueroasteko: Kertoo mh luokkaa mttaukse kohde kuuluu. Esm. sukupuol, asupakka. Ordaal- el järjestysastekko: Jakaa tlastoyksköt luokk, jode välllä o järjestys. Esm. opparvot: ylopplas, kaddaatt, d/master, lsesaatt, tohtor. Itervall- el välmatka-astekko: Kertoo kuka paljo kahde mtattava kohtee omasuudet eroavat tosstaa. Esm. lämpötla Celsus-astea. Suhdeasteko: Kertoo kuka mota kertaa eemmä ta vähemmä mttaukse kohteella o mtattavaa omasuutta ku jollak tosella kohteella. Esm. ptuus, opeus, lämpötla Kelvastekolla. Havatoarvot Tutktaa : havatoykskö omasuutta x Havatoarvot x, x,, x saadaa mttaamalla muuttuja x arvo havatoykskölle. Havatoarvoje jakaumaa havatoyksköde joukossa vodaa kuvalla graafsella estyksellä ta jakauma tuusluvulla Frekvess Nämä o estelty ltteessä Tlastollste aestoje kuvaame (ks Noppa, Vkko ) f Pstede jakauma x s x x m Pstemäärä k Medaa Frekvess Ruuve ptuukse luokteltu frekvessjakauma Ptuus (cm)
2 Tlastolle mall Tlastotetee keskee oletus o, että tlastollse aesto o geerout jok satuaslmö. Tutkmukse kohteta kuvaavat muuttujat tulktaa satuasmuuttujks. Havatoarvot tulktaa äde satuasmuuttuje realsaatoks Tlastollsella malllla tarkotetaa äde satuasmuuttuje todeäkösyysjakaumaa Rppuu tavallsest parametresta, jode arvoja e yleesä tueta. Parametrt o estmotava el arvotava havatoaestosta. Use parametre arvosta o estetty oletuksa ta vättetä, jota halutaa testata aestosta saatava formaato valossa Satuasotata ja satuasotokset Satuasotos: Ne perusjouko alkot, jotka o arpomalla pomttu havatoyksköks (el tutkmuksekohteks) Sattuma määrää mtkä alkosta tulevat pomtuks otoksee. Havatoykskötä kuvaave muuttuje havatut arvot ovat satuasa sä melessä, että e vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Kakk havatusta arvosta lasketut tuusluvut ovat satuasa sä melessä, että e vahtelevat satuasest otoksesta tosee. 8 Ykskertae satuasotata Olkoot X, X,, X rppumattoma ja dettsest jakautueta satuasmuuttuja Nllä o ss sama pstetodeäkösyys- ta theysfukto f(x) Saomme, että satuasmuuttujat X, X,, X muodostavat (ykskertase) satuasotokse jakaumasta f(x). Satuasmuuttuja X, X,, X kutsutaa tavallsest havaoks. Otokse pommse jälkee satuasmuuttujat saavat havatuks arvoksee havatoarvot x, x,, x Merktää: X = x, X = x,, X = x Satuasuus e ss lty otaa tuloksea saatuh havatoarvoh, vaa pomassa sovellettuu arvotaa Tlastolle mall ykskertaselle satuasotaalle Satuasmuuttuje X, X,, X yhtesjakauma muodostaa tlastollse mall havatoarvoje satuaselle vahtelulle otoksesta tosee. Koska satuasmuuttujat X, X,, X o oletettu rppumattomks, satuasmuuttuje X, X,, X yhtesjakauma o muotoa f( x, x,, x ) f( x ) f ( x ) f( x ) mssä. Vrt. Rppumattome satuasmuuttuje yhteysjakauma tehysfukto o reuajakaume theysfuktode tulo (Vkko ) Koska X, X,, X ovat samo jakautueta, vodaa reuajakaumat merktä ) =) kaklla 9 Otostuusluvut Olkoo jok fukto. Kutsumme satuasmuuttujaa T = g(x, X,, X ) (otos-) tuusluvuks. T: jakaumaa kutsutaa tuusluvu T otosjakaumaks. T: otosjakauma muodostaa tlastollse mall tuusluvu arvoje satuaselle vahtelulle otoksesta tosee. Esmerkkejä tuusluvusta Artmeette keskarvo (vrt.,, = ) Otosvarass Frekvess Suhteelle frekvess Artmeette keskarvo Havatoje X, X,, X artmeette keskarvo: X X X X X o satuasmuuttuja, joka saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Odotusarvo: = ( ) = ) = Varass: Var = Var( ) = = Perustelut: Rppumattome satuasmuuttuje summa varass (Vkko ) Stadardpokkeamaa D = kutsutaa tavallsest keskarvo keskvrheeks Otosjakauma keskttyy odotusarvo ympärlle, ku kasvaa.
3 Artmeettse keskarvo otosjakauma Jos X, X,, X muodostavat satuasotokse ormaaljakaumasta, el ), oudattaa ormaal-jakaumaa:, ) Perustelu: Normaaljakautuede satuasmuuttuje summa o ormaaljakautuut Jos havaot X, X,, X muodostavat satuasotokse jakaumasta, joka odotusarvo o ja varass o, oudattaa approksmatvsest ormaaljakaumaa: ~, Perustelu: keskee raja-arvolause Tulos pätee tety lsäehdo myös mossa sellasssa tlatessa, jossa havatoje rppumattomuutta ja samaa jakaumaa koskevat oletukset evät päde. Otosvarass Havatoje X, X,, X otosvarass S X X ( ) o satuasmuuttuja, joka saamat arvot vahtelevat satuasest otoksesta tosee. Kuvaa havatoarvoje vahtelua artmeettse keskarvo ympärllä. Odotusarvo: E( S ) Jos havaot ), =,, Otosvarass S varass: Otosvarass S stadardpokkeama Var( S ) D ( S ) D( S ) Frekvess Määrtellää dkaattorsatuasmuuttuja X X =, jos :e havatoyksköllä o jok tetty ealta määrätty omasuus A, muute X = X : pstelodeäkösyysfukto: f()=p=pr(a), f()=q=-p Frekvess = o satuasmuuttuja Kuvaa de havatoyksköde lukumäärää : kokosessa otoksessa, jolla o tetty omasuus A Odotusarvo ja varass: E( f ) p Var( f) pq Noudattaa bomjakaumaa parametre ja p: f ~B(, p) Suhteelle frekvess Suhteelle frekvess o satuasmuuttuja Kuvaa de havatoyksköde suhteellsta osuutta otoksessa, jolla o jok omasuus A Odotusarvo ja varass E( pˆ ) p ˆ Var( p) D ( p) ˆ pq Stadardpokkeamaa D = kutsutaa tavallsest suhteellse frekvess kesk-vrheeks D kuvaa otosvahtelua odotusarvosa p ympärllä Otosjakauma keskttyy yhä vomakkaamm p: ympärlle, ku otoskoko kasvaa Suhteellse frekvess asymptootte jakauma Suhteelle frekvess p =f/oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: pq pˆ~ a N p, Perustelu: keskese raja-arvolause Ste stadardotu satuasmuuttuja ˆp p Z pq oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Z ~ a N(,) Estmaattort ja estmaatt Oletetaa, että X, X,, X muodostavat satuasotokse jakaumasta f(x;) Merktää: ), : jakauma parametrt vrt. ), ~Beroull( ). Koska parametr arvoa e yleesä tueta, se täytyy estmoda otoksesta X, X,, X Parametr estmomsee käytetää jotak tuuslukua T Satuasmuuttujaa T = g(x, X,, X ) kutsutaa parametr estmaattorks Havatoarvosta x, x,, x laskettua arvoa t = g(x,x,,x ) kutsutaa parametr estmaatks 8
4 Hyvä estmaattor Todeäkösyysjakauma parametrelle o tavallsest tarjolla useta vahtoehtosa estmaattoreta Estmaattoreta vodaa raketaa esm. suurmmauskottavuude meetelmällä ta momettmeetelmällä Estmaattor valtaa ohjaavat hyvyyskrteert, jolla pyrtää takamaa se, että valttu estmaattor tuottaa järkevä arvoja estmotavalle parametrlle. Harhattomuus Tehokkuus Tarketuvuus Estmaattor harhattomuus ja harha Estmaattor T o harhato parametrlle, jos se odotusarvo yhtyy parametr arvoo:,, )= Harhato estmaattor tuottaa keskmäär okea kokosa arvoja parametrlle. Estmaattor T harha o Bas T = ) Jos estmaattor T o harhato parametrlle, Bas T = = Esm. Suhteelle frekvess o harhato estmaattor todeäkösyydelle p: E = = 9 Estmaattor keskelövrhe ja tehokkuus Parametr estmaattor T keskelövrhe o MSE ( ) Nelövrhe vodaa tulkta koostuva varasssta ja harhasta, sllä MSE =Var +Bas() Tod. MSE Bas() ( ) ) ( ) ) =Var =Var Jos T o harhato parametrlle MSE =Var Estmaattor o tehokkaamp ku estmaattor, jos Var( )<Var Estmaattor o täystehokas, jos se varass o peemp ku mkä tahasa muu parametr estmaattor. (Täys)tehokkuudesta järkevää puhua va jok estmaattorluoka ssällä (esm. harhattomat estmaattort) Vrt. estmaattor T= Var(T)= Harhattomuus ja tehokkuus: Esmerkk Olkoo X, X,, X satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Estmodaa odotusarvoa kahdella estmaattorlla. Havatoje artmeette keskarvo:. Havatoje medaa (el keskmmäe havato): Me Molemmat ovat harhattoma: E( X) E( Me) Kutek: Var( X) Var( Me) Artmeette keskarvo o ormaaljakauma odotusarvo estmaattora tehokkaamp ku medaa Vodaa osottaa, että havatoarvoje artmeette keskarvo o ormaaljakauma odotusarvoparametr estmaattora täystehokas. Tarketuvuus Olkoo,, parametr estmaattor, otoskoolle Estmaattor o tarketuva parametrlle, jos se kovergo melke varmast koht parametr okeata arvoa, ku otoskoo aetaa kasvaa rajatta: P lm = Mks tällae määrtelmä? O helppo keksä jooja, jossa estmaattor e kovergodu koht okeaa arvoa (esm. +, +, ) Sks määrtelmä e kellä tällaste realsaatode olemassa oloa, vaa aoastaa että de todeäkösyys o olla. Suurmma uskottavuude meetelmä: Uskottavuusfukto Olkoo X, X,, X ykskertae satuasotos jakaumasta f(x;), joka parametra o : X ~f(x;). Määrtelmä: Havatoje uskottavuusfukto o L( ; x, x,, x) f ( x, x,, x ; ) el havatoje yhtesjakauma pstelodeäkösyys- ta theysfukto tulkttua parametr fuktoks. Eglaks: Lkelyhood fucto Koska havaot X, X,, X oletetaa rppumattomks, vodaa krjottaa L( ; x, x,, x ) f ( x, x,, x ; ) f( x ; ) f( x ; ) f( x ; )
5 Suurmma uskottavuude meetelmä: Estmaattor Olkoo t=g(x,,x ) se parametr arvo, joka maksmo uskottavuusfukto, el L(g(x,x,,x );x,,x ) L( ;x,,x ) kaklla (käyvllä) Idea: Etstää parametrelle sellaset arvot, jotka tekevät saadu havatoaesto x,x,,x mahdollsmma todeäköseks SU-meetelmä: Esmerkk tasajakaumasta X tasajakautuut vällle [, ]. Parametr tutemato Havaot (x,,x )= (,,,) Uskottavuusfukto: / f(x;) x Määrtelmä: Parametr suurmma uskottavuude estmaattor (SU-estmaattor) o satuasmuuttuja ˆ g( X, X,, X ) L: maksm parametr suhtee atavaa lausekkeessa o ss sjotettu satuasmuuttujat X,,X L Maksmodaa L SU-estmaatt = Ylestys: : SU-estmaattor o satuasmuuttuja max(x,,x ) SU-estmaattor määrääme: Hyödyllsä tekkota Parametr käyvä arvoaluee reuat; L: epäjatkuvuuskohdat vrt. tasajakauma esmerkk Dervaata ollakohdat Ratkase ste, että,, = Logartme uskottavuusfukto ) =log,, =log = log( ) Saavuttaa äärarvosa samassa psteessä ku L, koska logartm o adost mootoe fukto Use ykskertasemp muodoltaa ku L Summa dervot helpompaa ku tulo SU-estmaattor omasuudet SU-estmaattor e välttämättä täytä yhtäkää hyvä estmaattor krteerestä harhattomuus, tehokkuus ta tarketuvuus Suurmma uskottavuude meetelmää käytettäessä o aa erksee varmstettava tuloksea saadu estmaattor hyvyys. SU-estmaattor käyttöä vodaa perustella se ylesllä asymptoottslla omasuukslla. Hyv yles ehdo pätee että SU-estmaattor o tarketuva ja asymptoottsest ormaale. 8 Normaaljakautuma parametre SU-estmaattort Olkoo X,, X ~ N(, ): N(, ) Uskottavuusfukto: L(, ; x, x,, x ) f( x ;, ) f( x ;, ) f( x ;, ) ( ) exp ( x ) Log-uskottavuusfukto: l(, ; x, x,, x ) x f( x;, ) exp, log L(, ; x, x,, x) log log( ) ( ) x N(,.9) N(,) N(, ) Normaaljakautuma parametre SU-estmaattort l(, ) log log( ) ( x ). Dervodaa parametr suhtee ja merktää dervaatta ollaks: l(, ) ( x ) ˆ x x o aoa ollakohta ja ataa : maksm parametr suhtee.. Sjotetaa ratkasu logartmsee uskottavuusfuktoo: lx (, ) log log( ) ( x ) x. Dervodaa parametr suhtee ja merktää dervaatta ollaks: l(, ) ( ) x x ˆ ( x x) aoa ollakohta ja ataa maksm parametr suhtee 9
6 Normaaljakautuma parametre SU-estmaattort Normaaljakauma odotusarvo SU-estmaattor o havatoje artmeette keskarvo = Harhato, tehokas (mmvarasse harhattome estmaattore joukossa), tarketuva ja oudattaa ormaaljakaumaa, ) Normaaljakauma varass harhato estmaattor o otosvarass = ) SU-estmaattor = ) o ss harhae, sllä = = ( ) S / oudattaa -jakaumaa parametrlla - Merktä: ( )S / ~ (-) Beroull-jakauma parametr SU-estmaattor Olkoo X,,X havatoja Beroull-jakaumasta: X ~Ber(p) Pstetodeäkösyysfukto: Beroull(.8) x x f( x; p) p ( p), x,; p.8 Uskottavuusfukto:. L( p; x, x,, x ). f( x ; p) f( x ; p) f( x ; p) x x p ( p) Logartme uskottavuusfukto: l( p; x, x,, x ) log L( p; x, x,, x ) x log( p) ( x )log( p). E(X ) =.8 Beroull-jakauma parametr SU-estmaattor l( p) x log( p) ( x )log( p) Dervodaa parametr p suhtee ja merktää dervaatta ollaks: l( p) x x = p p p o aoa ollakohta ja ataa uskottavuusfukto maksm. Beroull-jakauma Ber(p) parametr p SU-estmaattor o suhteelle frekvess = Harhato, tehokas, tarketuva ja oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa p( p) pˆ~ a N p, Välestmot Välestmossa todeäkösyysjakauma f(x ; ) tutemattomalle parametrlle pyrtää määräämää luottamusväl havatoje perusteella Vrt. parametr arvo pste-estmot edellä Estmaat arvo vahtelee otoksesta tosee E ole järkevää yrttää ataa rajoja, jode ssällä : arvo o täys varmast. Se sjaa vodaa yrttää määrttää luottamusväl, joka uskotaa pettävä allee parametr arvo tetyllä todeäkösyydellä. Esm. 99% luottamusväl, 9% luottamusväl, Välestmot: Luottamusväl määrääme Olkoo X,,X satuasotos jakaumasta f(x;), mssä o tutemato parametr Valtaa luottamustaso ( ) ste, että < < Määrätää satuasmuuttujat L(X,, X ) ja U(X,, X ) ste että Pr =. [L, U] o parametr luottamusväl luottamustasolla (). Päätepsteet L ja U rppuvat yleesä sekä havaosta että valtusta luottamustasosta Käytäössä : arvo o tutemato ekä ole tetoa, oko se arvo saadu luottamusväl ssällä. Käytettäessä esm. 9%: luottamusvälä keskmäär kertaa sadasta käy, että tarkka arvo jää väl ulkopuolelle Luottamustaso kasvattame johtaa luottamusvälpteemsee Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl (ku varass tuetaa) Olkoo X ~N(, ) : harhato estmaattor o artmeette keskarvo = Tedetää estmaattor jakauma: X ~ N(, / ) Stadardodaa ja käytetää tlastollsa taulukko: X P(.9).9 Tämä vo muokata muotoo PX (.9 X.9 ).9 : 9%: luottamusväl: X.9, X.9 Otoksesta x,, x vodaa laskea luottamusväl arvoks x.9, x.9
7 Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl (ku myös varass ptää estmoda havaosta) Olkoo X,,X ~N(, ) : harhato estmaattor o artmeette keskarvo = t-jakauma theysfukto : harhato estmaattor o otosvarass = ) Vodaa osottaa että satuasmuuttuja t= oudattaa Studet t-jakaumaa, / t t~t(-) ( vapausaste - ) / +t / Määrätää t(-)-jakaumasta pste t / ste, että Pr(tt / )=/ Symmetra perusteella: Pr(t -t / )= / ja Pr(-t / t t / )=- =Pr / =Pr Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl (ku myös varass ptää estmoda havaosta) Normaaljakauma odotusarvoparametr luottamusväl luottamustasolla (- ) o Otoksesta x,, x lasketaa es, stte = ) ja lopulta luottamusväl päätepsteet Luottamustaso (-) kasvattame pdetää luottamusvälä ( kasvaa) Otoskoo kasvattame (keskmäär) lyhetää luottamusvälä t s / / t s 8 Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl: Esmerkk Koe tekee ruuveja, jode vahtelevat satuasest oudattae ormaaljakaumaa X ~N(, ) Ruuve joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joho kuuluvat ruuvt mtataa Otokse koko: = Ptuukse keskarvo: =.9cm Ptuukse otosvarass: = ) =.8 Otoskeskhajota: = =.8cm Mkä o luottamusväl ruuve todellselle keskptuudelle luottamustasolla.9? Luokkavält Luokkafrekvesst (9.8,9.9] (9.9,9.9] (9.9,.] (.,.] (.,.] (.,.] (.,.] (.,.] (.,.] Frekvess Ruuve ptuukse luokteltu frekvessjakauma Ptuus (cm) Normaaljakauma odotusarvo luottamusväl: Esmerkk Luottamustaso.9 =. /=. Studet t-jakauma parametrlla df=- Degrees of Freedom, vapausasteet Nyt df= =9, jollo taulukosta ähdää, että Pr(t +.) =. t. =. Sjotetaa lukuarvot Luottamusväl kaavaa: s.8 x t / (.,.) Ruuve todelle keskptuus o 9% todeäkösyydellä välllä [.cm,.c] t(9)-jakauma theysfukto..... Frekvess. Ruuve ptuukse luokteltu frekvessjakauma Ptuus (cm) +. 9 Normaaljakauma varass luottamusväl Normaaljakauma varass luottamusväl Olkoo X,,X ~N(, ) harhato estmaattor o otosvarass = ), mssä = Vodaa osottaa, että El satuasmuuttuja ) / oudattaa -jakaumaa vapausaste - Määrätää psteet Pr )=/ ja / -jakauma theysfukto / / / ste että Pr )= Normaaljakauma varassparametr luottamusväl luottamustasolla (- ) o ( ) S ( ) S, / / Otoksesta x,, x lasketaa es, stte = ) ja lopulta luottamusväl päätepsteet, Luottamustaso (-) kasvattame pdetää luottamusvälä kasvaa, peeee Otoskoo kasvattame (keskmäär) lyhetää luottamusvälä =Pr =Pr
8 Beroull-jakauma parametr luottamusväl Beroull(.8) Olkoo X,,X ~Beroull(p).8 p: harhato estmaattor o suhteelle. frekvess =. Vodaa osottaa että satuasmuuttuja. = ( )/ E(X ) =.8 o asymptoottsest ormaaljakautuut: z~n(,). Määrätää psteet ste, että N(,)-jakauma theysfukto. Pr( /. Symmetrsyys Pr( / Pr Pr =... z / +z / Beroull-jakauma parametr luottamusväl Beroull-jakauma parametr p approksmatve luottamusväl luottamustasolla (- ) o ˆ ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) ˆ p p /, ˆ p p pz pz/ Otoksesta x,, x lasketaa es suhteellse frekvess estmaatt = ja stte luottomusväl päätepstede umeerset arvot Luottamustaso (-) kasvattame pdetää luottamusvälä Luottamusväl (keskmäär) lyheee ku havatoje lukumäärää kasvaa Luottamusväl o lyhmmllää =,ja psmmllää ku =. Perustelu: Luottamusväl ptuus o o alaspä aukeava paraabel, mssä 8
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
Lisätiedot1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
Lisätiedot1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotIlkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotIlkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
LisätiedotEstimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
Lisätiedot1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI
Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess,
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2007) Estimoitimeetelmät >> Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Suurimma uskottavuude
LisätiedotVarianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Otos- ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi. Avainsanat:
Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Otos- ja otosjakaumat Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma,
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Estimointimenetelmät. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Estimoitimeetelmät TKK (c) Ilkka Melli (2005) 1 Estimoitimeetelmät Todeäköisyysjakaumie parametrie estimoiti Momettimeetelmä Normaalijakauma parametrie estimoiti Ekspoettijakauma
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi
MS-A0501 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi 4A Satuaisotata ja parametrie estimoiti Lasse Leskelä Matematiika ja systeemiaalyysi laitos Perustieteide korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,
LisätiedotBernoullijakauma. Binomijakauma
Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan kertausta
Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,
LisätiedotVäliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1
Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
LisätiedotSuoran sovittaminen pistejoukkoon
Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja
LisätiedotTestit laatueroasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin
Lisätiedottilastotieteen kertaus
tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla
LisätiedotEstimointi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Estimointi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Tilastollisessa tutkimuksessa oletetaan jonkin jakauman generoineen tutkimuksen kohteena olevaa ilmiötä koskevat havainnot Tämän mallina käytettävän todennäköisyysjakauman
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Väliestimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Väliestimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Väliestimointi Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaals Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaals 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaals 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare mall
LisätiedotTilastolliset menetelmät. Osa 1: Johdanto. Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1
Tilastolliset menetelmät Osa 1: Johdanto Johdanto tilastotieteeseen KE (2014) 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä ja malleja, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mitä tilastotiede o? Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, kevät 007. lueto: Johdato Tilastotiede kehittää ja soveltaa meetelmiä: reaalimaailma ilmiöistä johtopäätökset ilmiöitä kuvaavie tietoje perusteella
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle
LisätiedotTilastotieteen kertaus. Kuusinen/Heliövaara 1
Tilastotieteen kertaus Kuusinen/Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla reaalimaailman ilmiöistä voidaan tehdä johtopäätöksiä tilanteissa, joissa
LisätiedotBiostatistiikka (3 opintopistettä)
Bostatstkka (3 optopstettä) Opettaja lehtor Kar Maurae, sähköpost maurae@uef.f URL: http://cs.uef.f/~maurae Kurss kotsvu: http://cs.uef.f/~maurae/bostatstkka/ LUENNOT: (4 tuta) lueot evät ole pakollsa.
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Estimoiti Estimoitimeetelmät Väliestimoiti Avaisaat: Aritmeettie keskiarvo, Beroulli-jakauma, Beroulli-koe,
LisätiedotTestaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotOtantajakauman käyttö päättelyssä
Keskiarvo otatajakauma Toisistaa tietämättä kaksi tutkijaa tutkii samaa ilmiötä, jossa perusjoukko koostuu kuudesta tutkittavasta ja tarkoituksea o laskea keskiarvo A: Kokoaistutkimus B: Otatatutkimus
LisätiedotMTTTP5, luento Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu)
21.11.2017/1 MTTTP5, luento 21.11.2017 Otossuureita ja niiden jakaumia (jatkuu) 4) Olkoot X 1, X 2,..., X n satunnaisotos (, ):sta ja Y 1, Y 2,..., Y m satunnaisotos (, ):sta sekä otokset riippumattomia.
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY / Matematiika ja tilastotietee laitos Tilastollie päättely II, kevät 018 Harjoitus 5B Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävää ). Moistee esimerki 3.3.3. mukaa momettimeetelmä
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
Lisätiedot5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten
Lisätiedot