1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

Transkriptio

1 HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla joka theysfukto o fy; β λ λβy β 1 exp λy β y > 0 ja jossa β ja λ ovat postvsa parametreja Halutaa testata hypoteesa H 0 : β 1 el tutka vosko kestoa kuvata ekspoettjakaumalla Pomtaa 3 laaker otos ja mtataa otosyksköde kestot: Suorta test käyttämällä uskottavuusosamäärä testsuuretta ja χ -approksmaatota Aputulos: Vapaa mall su-estmaatteja e vo lausua suljetussa muodossa mutta uskottavuusyhtälöt umeersest ratkasemalla ähdää että ˆβ 101 ja ˆλ Ratkasu: Mall parametr θ β λ Tlastollse mall lauseke el yhtestheysfukto o f Y y; β λ f Y y ; β λ λβy β 1 exp λy β 1{y > 0} λ β y β 1 exp λ y β 1{y > 0 kaklla } Koska β ja λ ovat postvsa parametreja parametravaruus o 0 0 Uskottavuusfuktoks saadaa Lβ λ; y λ β y β 1 exp λ y β Mall log-uskottavuusfukto o ste lβ λ; y log λ + log β + β 1 log y λ y β Koska ollahypotees o H 0 : β 1 rajotettu su-estmaatt o ˆθ 0 1 ˆλ 0 mssä ˆλ 0 saadaa maksmomalla log-uskottavuusfukto l1 λ log λ λ y log λ λȳ

2 muuttuja λ suhtee Tämä o tse asassa ekspoettjakaumamall log-uskottavuusfukto joka harjotukse a tehtävä ojalla maksmotuu λ: arvolla 1 ȳ Uskottavuusosamäärä testsuure o ste ry [lˆθ; y lˆθ 0 ; y] [ log ˆλ + log ˆβ + ˆβ 1 log y ˆλ y ˆβ log 1ȳ 1ȳ ] ȳ Tehtäväaossa o todettu että vapaa su-estmaatt havatulla aestolla o ˆθ ˆβ ˆλ Sjottamalla havattua aestoa vastaavat lukuarvot ˆβ 101 ˆλ log y y ˆβ ja ȳ 7435 uskottavuusosamäärä testsuuree lausekkeesee saadaa testsuuree arvoks ry Koska ry as χ 1 ku β 1 p-arvoks saadaa lkma p P {χ 1 ry} Nä olle ollahypotees joka mukaa kestoa vos kuvata ekspoettjakaumalla hylätää Pearso kh elö testsuure ta yhteesopvuustestsuure eglaks goodessof-ft o X p y; p p ku aesto y 1 { 0 1 } ja parametr p p 1 p 0 1 Lukuje summa ja p 1 Olkoo Y Mult p multomjakautuut satuasvektor joka yptf o f Y y; p y 1 y p y 1 1 p y Määrtellää parametr θ p 1 p d Ω 0 1 d R d el tputetaa p 1 p p d turhaa pos : Olkoo H 0 : θ θ 0 ku θ q 1 q d a Mtä ehtoja ätä o yhteesä ja e ovat epäyhtälötä parametrt toteuttavat? Ku d prrä suurmma mahdollse avome parametravaruude kuva b Laske tämä mall uskottavuusosamäärä testsuure ry Huom yt kusaparametra e varsasest ole jote vot ajatella että rajotettu su-estmaatt o θ 0 Ratkasu:

3 a Multomjakauma parametrvektor p p 1 p d p toteuttaa ehdot p 0 1 ja p p 1 1 Nämä ehdot ovat yhtäptävät tlastollse mall parametra θ p 1 p d koskeve d + 1 epäyhtälö p 1 > 0 p d > 0 p p d < 1 kassa: Ehdosta p 0 1 {1 d + 1} ja p p 1 seuraa suoraa että p > 0 {1 d} ja p p d p p p 1 p < 1 Vastaavast ehdosta p > 0 {1 d} ja p p d < 1 seuraa että myös p 1 p 1 + +p d > p 1 p 1 + +p d < p < p p d < 1 {1 d} Tapauksessa d ehdot p 1 > 0 p > 0 ja p 1 + p < 1 rajaavat p 1 p - koordaatstossa pstede ja 0 1 väl jäävä avome kolmo p p 1 b Uskottavuusfuktoks vodaa valta Lθ; y 1 f Y y; θ p y1 1 p y d d 1 p p d y y 1 y jollo log-uskottavuusfukto o lθ; y y 1 log p y d log p d + y log1 p p d Log-uskottavuusfukto gradett lθ; y lθ; y p 1 y1 p 1 Tämä o ollavektor jos ja va jos lθ; y p d y 1 p p d y d p d y 1 p p d p y y 1 p p d { d} 1 Multomjakaumassa vos salla myös arvot p 0 ja p 1 kuha yhtespstetodeäkösyyde lausekkeessa käyttää sopmusta 0 0 1

4 Yhtälöstä p p d y 1 1 p p d + + y d 1 p p d y y saadaa ratkastua että ja ste Lsäks Hesse matrs H : lθ; y p p j y y d y 1 p p d p p d y1 + +y d y 1 + y 1+ +y d y lθ; y 0 0 p y y1 + +y d y 1 y 1 + y 1+ +y d y y 1 y 1 + y 1+ +y d y y j {1d} y y y d + y {1 d} o egatvsest semdeftt: kaklla v R d pätee y y 1{ j} p 1 p p d j {1d} v T Hv v H j v j j1 y y 1{ j} v j1 p 1 p p d v j y v y p + v j1 1 p p d v j y v y v p 1 p p d v j j1 y v y v p 1 p p d 0 sllä y 0 {1 d + 1} ja v v j j1 v v j j1 y 1 v j j1 v 0 Täte su-estmaatt o y1 ˆθ y d

5 Merktää θ 0 q 1 q d Uskottavuusosamäärä testsuure o yt ry lˆθ; y lˆθ 0 ; y lˆθ; y lθ 0 ; y y log y + y y log 1 y log y + y log y y log y 3 Jatkoa tehtävää y log q + y log1 q q d y log q + y log1 q q d y log q + y log1 q q d a Laske tehtävä tlateessa Rao pstemäärätestsuure b Näytä että saatu Rao testsuure o ekvvalett Pearso yhteesopvuustestsuuree kassa Tämä e ole ha helppo jote päättele tämä kohte c-e avulla c Laske Fsher formaatomatrs ja se käätesmatrs: käätesmatrs laskemsee vo käyttää esmerkks Sherma Morrso kaavaa wkpedaorg/wk/sherma%e%80%93morrso_formula kaava kohdassa Statemet d Päättele että jos kuvaus g o g y q y q ku 1 d d + 1 ja dskreet satuasmuuttuja K ptf o PK q ku 1 d d + 1 Rao testsuure vodaa esttää muodossa uy 1 EgK EgK e Päättele että jos kuvaus g ja satuasmuuttuja K ovat ku kohdassa d Ratkasu: a Rao pstemäärä määrtellää kaavalla X y; q 1 var gk uy lˆθ 0 ; y T ˆθ 0 1 lˆθ 0 ; y Olkoo yt θ 0 q 1 q d ˆθ 0 sllä yt e ole varsasa kusaparametrejä ja käytetää lyheysmerktää q 1 q q d Koska y q y q 0 jote huomataa että seuraavassa laskussa vodaa summa d korvata summalla sllä yhteelaskettava deksllä d + 1 o olla Rao pstemäärä o yt

6 uy lˆθ 0 ; y T ˆθ 0 1 lˆθ 0 ; y lˆθ 0 ; y ˆθ 0 1 j p j1 j1 y q y q ˆθ0 1 j lˆθ 0 ; y p j y j q j y q Rao testsuuree laskemsessa e päästä pdemmälle laskematta Fsher formaatomatrsa jote srrytää seuraavaa koht c Fsher formaatomatrs o θ E p lθ; Y p p j j {1d} Y Y E p 1{ j} + p 1 p p d j {1d} Ep Y E p Y 1{ j} + p 1 p p d j {1d} p 1{ j} + p p p j {1d} 1{ j} + p p j {1d} mssä p 1 p p d Edellä käytett tetoa että multomjakautuee satuasvektor Y odotusarvolle pätee EY p Fsher formaatomatrs käätesmatrs saadaa määrtettyä esmerkks Sherma-Morrso kaava avulla: Merktää D p 1{ j} ja j {1d} T R d 1 Nyt ss θ D + p 11 T Dagoaalmatrs D käätesmatrs o dagoaalmatrs D 1 p 1{ j} j {1d} Nyt Sherma-Morrso kaava mukasest Fsher fromaato käätesmat-

7 rs o 1 θ 1 D + 11 T p D D 1 11 T D 1 p 1 T D 1 1 p D 1 1{ j} 1 j {1d} 1 + d p D 1 p 1{ j} 1 p p j 1 + d p p p j {1d} p 1{ j} 1 d p p + p p p 1{ j} 1 p p j 1 p p p 1{ j} p p j d Olkoo kuvaus j {1d} p p j p j {1d} j {1d} g y q y q ku 1 d d + 1 ja dskreet satuuasmuuttuja K ptf PK q ku 1 d d + 1 Tällö a ja c kohda ojalla Rao testsuure o uy 1 1 j1 y y q q q q y q y q g 1 q 1{ j} q q j 1 j1 D 1 D 1 jj p y j q j y q q j y q y q q yj q j y q q g 1 E gk EgK j {1d} e Lasketaa es että gk odotusarvo o EgK q g y y q q y q y q y q sllä tedämme että y y d + y ja q q d + q 1 Nyt vodaa krjottaa uy 1 E gk EgK 1 var gk jote

8 varass määrtelmä ja tedostamattoma tlastoteteljä -laka soveltae 1 var gk 1 E gk EgK 1 q g EgK 1 1 q y q y q y q y q q 1 y q q X y; q 1 q y q Ss satuasmuuttuja gk varass o 1/ skaalattua Pearso yhteesopvuustestsuure parametrllä q b Ss kohte c-e avulla saat äytettyä että ollahypoteesa H 0 : θ θ 0 q 1 q d vastaava Pearso yhteesopvuustestsuure X y; q d1 q q mssä q q 1 q d q o täys sama ku Rao testsuure uy Tällö e luoollsestkk määräävät samat p-arvot ja krttset alueet jote e ovat keskeää ekvvalett Tämä tehtävä kästtelee lukua 61 4 Mostee teht 6 Olkoot Y 1 Y ja Y 1 Nµ 1 1 sekä Y Nµ 1 Ets luvut a b > 0 ste että P Y 1 µ 1 a Y µ a 095 PY 1 µ 1 + Y µ b 095 Aesto o y 1 y 1 05 Mtkä kaks 95 %: luottamusjoukkoa saadaa yo yhtälöde perusteella parametrparlle µ 1 µ? Prrä kuva Kump luottamusjoukosta o melestäs paremp? Ohje Tarvtset jakaume N0 1 ja χ taulukota Ratkasu: Stadardodaa satuasmuuttujat Y : merktää kaklle 1 Z Y µ jollo Z N0 1 Nyt rppumattomuude ojalla 095 P Y 1 µ 1 a Y µ a P Y 1 µ 1 ap Y µ a P Z 1 ap Z a P a Z 1 ap a Z a Φa 1 Tästä vodaa ratkasta helpost pste a: a Φ Sjottamalla a tehtäväao yhtälöö saamme luottamusjoukoks Ay {µ 1 µ : y 1 µ 1 a y µ a} {µ 1 µ : y 1 a µ 1 y 1 + a y a µ y + } [ 14 34] [ ]

9 Merktää X Z1 + Z muotoo χ Nyt ss tehtäväao alemp yhtälö redusotuu PX b mstä vodaa ratkasta b käyttämällä χ -jakauma kvatlfuktota F 1 χ PX b 095 b F χ b F 1 χ Nyt sjottamalla b tehtäväao yhtälöö saamme toseks luottamusjoukoks By { µ 1 µ : y 1 µ 1 + y µ b } B mssä B o aestokeskee säteellä 45 varustettu suljettu kuula R :ssa Nelömuotose luottamusjouko A pta-ala o 4a 00 ja ympyrämuotose B ala o πb 188 Ss luottamusjoukko B ataa tarkemma arvo parametrparsta µ 1 µ vakka tosaalta elömuotosta luottamusjoukkoa o helpomp kästellä ja esttää µ y 1 y µ 1