Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet Johdatus tlastoteteesee Tlastolle rppuvuus ja korrelaato TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato: Mtä opmme? Pyrmme vastaamaa seuraav kysymyks: Mtä lsää tlastollsee aalyys tuo mukaaa kahde (ta useamma) muuttuja samaakae tarkastelu? Mte kahde (ta useamma) muuttuja tlastollsta aestoa kuvataa? Mllä tavalla muuttuje väle tlastolle rppuvuus eroaa eksaktsta rppuvuudesta? Mtä tarkotetaa kahde muuttuja korrelaatolla? Mkä o korrelaato ja rppuvuude suhde? Mte korrelaato estmodaa? Mte korrelaatota koskeva hypoteeseja testataa? Tlastolle rppuvuus ja korrelaato: Estedot Estedot: ks. seuraava lukuja: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Tlastollset testt Testt suhdeastekollslle muuttujlle Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Jakaume tuusluvut Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Moulottesa todeäkösyysjakauma TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 TKK (c) Ilkka Mell (4) 4 Tlastolle rppuvuus ja korrelaato: Lsätedot Johdatus regressoaalyys estetää luvussa Johdatus regressoaalyys Regressoaalyysa yhde selttäjä leaarse regressomall tapauksessa kästellää luvussa hde selttäjä leaare regressomall Ptemmälle meevä regressoaalyys kysymyksä kästellää luetosarja Tlastollse aalyys perusteet luvussa lee leaare mall Regressodagostkka Regressomall valta Regressoaalyys ertyskysymyksä Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 TKK (c) Ilkka Mell (4) 6

2 TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Avasaat Eksakt rppuvuus Korrelaato Korrelaatokerro Regressoaalyys Regressomall Testt korrelaatokertomlle Tlastolle rppuvuus Usea muuttuja havatoaesto kuvaame Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Muuttuje välset rppuvuudet tlastollse tutkmukse kohteea Teteellse tutkmukse tärkemmät ja melektosmmat kysymykset lttyvät tavallsest tutkmukse kohteea olevaa lmötä kuvaave muuttuje väls rppuvuuks. Jos tlastollse tutkmukse kohteea olevaa lmöö lttyy useampa ku yks muuttuja, yhde muuttuja tlastollset meetelmät atavat tavallsest va rajottuee kuva lmöstä. Sovelluste kaalta ehkä merkttäv osa tlastotedettä kästtelee kahde ta useamma muuttuja välste rppuvuukse kuvaamsta ja malltamsta. TKK (c) Ilkka Mell (4) 8 Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Esmerkkejä rppuvuustarkastelusta Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Eksakt vs tlastolle rppuvuus Mte työttömyysaste Suomessa (% työvomasta) rppuu BKT: (bruttokasatuottee) kasvuvauhdsta Suomessa, Suome ve volyymsta sekä BKT: kasvuvauhdsta mussa EUmassa ja USA:ssa? Mte alkohol kulutus (l per capta vuodessa) rppuu alkoholjuome htatasosta, hmste käytettävssä olevsta tulosta ja alkohol saatavuudesta? Mte todeäkösyys sarastua keuhkosyöpää (p) rppuu tupako määrästä ja kestosta? Mte vehä hehtaarsato (t/ha) rppuu kesä kesklämpötlasta ja sademäärästä sekä maa muokkauksesta, laotuksesta ja tuholaste torjuasta? Tarkastelemme tässä ykskertasuude vuoks kahde muuttuja välstä rppuvuutta: () Muuttuje väle rppuvuus o eksakta, jos tose arvot vodaa eustaa tarkast tose saame arvoje perusteella. () Muuttuje väle rppuvuus o tlastollsta, jos de välllä e ole eksakta rppuvuutta, mutta tose muuttuja arvoja vodaa käyttää apua tose muuttuja arvoje eustamsessa. TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Tlastolle rppuvuus ja regresso Kahde muuttuja välstä (leaarsta) tlastollsta rppuvuutta kutsutaa tlastoteteessä tavallsest korrelaatoks. Korrelaato el (leaarse) tlastollse rppuvuude vomakkuutta mttaava tlastollsa tuuslukuja kutsutaa korrelaatokertomks. Korrelaatot muodostavat perusta muuttuje välste rppuvuukse ymmärtämselle. Vakka korrelaatot muodostavat perusta muuttuje välste rppuvuukse ymmärtämselle, rppuvuuksa halutaa tavallsest aalysoda tarkemm. Regressoaalyys o tlastolle meetelmä, jok, s. seltettävä muuttuja tlastollsta rppuvuutta jostak tossta, s. selttävstä muuttujsta pyrtää malltamaa regressomallks kutsutulla tlastollsella malllla; ks. lukua Johdatus regressoaalyys. Huomautus: Tässä luvussa rajotutaa tarkastelemaa korrelaatode estmota ja testaamsta. TKK (c) Ilkka Mell (4) TKK (c) Ilkka Mell (4)

3 TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Kute yhde muuttuja havatoaestoje tapauksessa, lähtökohda kahde ta useamma muuttuja havatoaestoje kuvaamselle muodostaa tutustume havatoarvoje jakaumaa. Havatoarvoje jakaumaa vodaa kuvalla ja estellä tvstämällä havatoarvoh ssältyvä formaato sopvaa muotoo: Havatoarvoje jakaumaa kokoasuutea vodaa kuvata sopvast valtulla graafslla estyksllä. Havatoarvoje jakauma karakterstsa omasuuksa vodaa kuvata sopvast valtulla otostuusluvulla. Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame: Graafset meetelmät Koska useamp- ku kaksulotteste kuvode tekeme e ole käytäössä mahdollsta, kolme ta useamma muuttuja havatoaestoja havaollstetaa tavallsest, että muuttuja tarkastellaa paretta. Kahde järjestys-, välmatka-ta suhdeastekollse muuttuja havattuje arvoje pareja havaollstetaa tavallsest graafsella estyksellä, jota kutsutaa pstedagrammks. Huomautus: Momuuttujameetelmssä o kehtetty myös sellasa tlastografka meetelmä, jolla vodaa havaollstaa useamp- ku kaksulottesa aestoja. TKK (c) Ilkka Mell (4) 4 Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame: Tuusluvut Usea muuttuja havatoaestoje karakterstsa omasuuksa vodaa kuvata muuttujakohtaslla otostuusluvulla. Muuttujakohtaset otostuusluvut evät kutekaa vo ataa formaatota muuttuje välsstä rppuvuukssta. Muuttuje parettasa tlastollsa rppuvuuksa vodaa kuvata sopvast valtulla korrelaato mtalla. Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame: Korrelaato Tutkttave muuttuje mtta-astekollset omasuudet ohjaavat korrelaato mta valtaa: Välmatka- ja suhdeastekollslle muuttujlle käytetää tavallsest Pearso korrelaatokerrota. Järjestysastekollslle muuttujlle käytetää tavallsest Spearma ta Kedall järjestyskorrelaatokerrota. TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 TKK (c) Ilkka Mell (4) 6 Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Testt korrelaatolle Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Satuasmuuttuje välsee korrelaatoo vodaa kohdstaa erlasa tlastollsa testejä. Tässä estyksessä tarkastellaa seuraava Pearso korrelaatokertomelle sopva testejä: hde otokse test korrelaatokertomelle Korrelaatokertome vertalutest Test korrelomattomuudelle Tässä estyksessä tarkastellaa seuraava Spearma ja Kedall järjestyskorrelaatokertomlle sopva testejä: Testt korrelomattomuudelle Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso >> Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 TKK (c) Ilkka Mell (4) 8

4 TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm Avasaat Akasarjadagramm Artmeette keskarvo Keskhajota Korrelaato Otoskovarass Pearso otoskorrelaatokerro Pstedagramm Varass Tarkastellaa tlaetta, tutkmukse kohtea olevsta havatoyksköstä o mtattu kahde järjestys-, välmatka-ta suhdeastekollse muuttuja x ja y arvot. Muuttuje x ja y arvoje samaa havatoykskköö lttyve pare muodostamaa havatoaestoa vodaa kuvata graafsest pstedagrammlla. Pstedagramm sop ertysest kahde muuttuja välse rppuvuude havaollstamsee. Pstedagramm o keskee työväle korrelaato-ja regressoaalyysssa. TKK (c) Ilkka Mell (4) Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm: Määrtelmä Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm: Havaollstus Olkoot x ja yjärjestys-, välmatka-ta suhdeastekollsa muuttuja, jode havatut arvot ovat x, x,, x y, y,, y Oletetaa lsäks, että havatoarvot x ja y lttyvät samaa havatoykskköö kaklle,,,. Havatoarvoje x, x,, x ja y, y,, y pare pstedagramm saadaa esttämällä lukupart (x, y ),,,, psteä avaruudessa. Kuvo okealla esttää lukupare y (x, y ) ja y j (x j, y j ) määrtteleme pstede esttämstä tasokoordaatstossa. (x, y ) y x x j (x j, y j ) x TKK (c) Ilkka Mell (4) TKK (c) Ilkka Mell (4) Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm:. esmerkk / Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm:. esmerkk / Hooke la mukaa kerrejouse ptuus rppuu leaarsest jousee rpustetusta paosta. Okealla o tulokset kokeesta, Hooke la pätevyyttä tutktt rpustamalla kerrejousee 6 erkokosta paoa. Merktää: (x, y ),,, 3, 4, 5, 6 x pao y jouse ptuus, ku paoa o x Pao (kg) Ptuus (cm) Pstedagramm okealla havaollstaa koetuloksa graafsest. Ovatko havaot sopusoussa Hooke la kassa? Vastausta tarkastellaa luvussa Johdatus regressoaalyys ja hde selttäjä leaare regressomall. Jouse ptuus (cm) Kerrejouse ptuude rppuvuus jousee rpustetusta paosta Pao (kg) TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 TKK (c) Ilkka Mell (4) 4

5 TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm:. esmerkk / Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm:. esmerkk / Peröllsyystetee mukaa lapset pervät geeettset omasuutesa vahemmltaa. Perytyykö sä ptuus hedä pojllee? Havatoaesto koostuu 3: sä ja hedä pokesa ptuukse muodostamasta lukuparsta (x, y ),,,, 3 x sä ptuus y sä poja ptuus Ks. pstedagramma okealla. Poja ptuus (cm) Ise ja poke ptuudet Isä ptuus (cm) htä ptkllä sllä äyttää oleva moe mttasa poka. Mutta: Lyhyllä sllä äyttää oleva keskmäär lyhyempä poka ku ptkllä sllä ja ptkllä sllä äyttää oleva keskmäär ptempä poka ku lyhyllä sllä. Tällaste tlastollste rppuvuukse aalysomsta leaarste regressomalle avulla tarkastellaa luvussa Johdatus regressoaalyys ja hde selttäjä leaare regressomall. Poja ptuus (cm) Ise ja poke ptuudet Isä ptuus (cm) TKK (c) Ilkka Mell (4) 6 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm: 3. esmerkk / Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm: 3. esmerkk / Oko keuhkosyöpä ylesempää sellasssa massa, tupakodaa paljo? Okealla o tedot savukkede kulutuksesta ja keuhkosyövä ylesyydestä :ssä maassa. Havatoaesto koostuu :stä lukuparsta (x, y ),,,, x savukkede kulutus maassa 93 y sarastuvuus keuhkosyöpää maassa 95 Maa Savukkede kulutus (kpl) per capta 93 Keuhkosyöpätapauste lkm per mlj. heklöä 95 Islat 58 Norja 5 9 Ruots 3 5 Kaada 5 5 Taska Itävalta Hollat Svets 53 5 Suom 5 35 Eglat Pstedagramm okealla havaollstaa savukkede kulutukse ja keuhkosyövä ylesyyde välstä yhteyttä. Sarastuvuus keuhkosyöpää äyttää oleva keskmäär korkeampaa sellasssa massa, savukkede kulutus o ollut keskmäärästä suurempaa. Tällaste tlastollste rppuvuukse aalysomsta leaarste regressomalle avulla tarkastellaa luvussa hde selttäjä leaare regressomall. Keuhkosyöpätapauste lkm per mlj. heklöä 95 Savukkede kulutus ja sarastuvuus keuhkosyöpää 5 Eglat 4 3 Hollat Svets Taska Itävalta kaada Ruots Norja Islat Suom Savukkede kulutus (kpl) per capta 93 TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 TKK (c) Ilkka Mell (4) 8 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm: 4. esmerkk / Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pstedagramm: 4. esmerkk / Kokeessa tutktt beto vetolujuude rppuvuutta beto kuvumsajasta. Havatoaesto koostuu :stä lukuparsta (x, y ),,,, x betoharko kuvumsaka y betoharko vetolujuus Ks. pstedagramma okealla. Vetolujuus (kg/cm) Beto vetolujuude rppuvuus kuvumsajasta Kuvumsaka (vrk) Vetolujuus äyttää rppuva kuvumsajasta epäleaarsest. Tässä tapauksessa muuttuje väle epäleaare rppuvuus vodaa kutek learsoda; ks. lukua Johdatus regressoaalyys. Learso jälkee rppuvuutta vodaa aalysoda leaarste regressomalle avulla. Vetolujuus (kg/cm) Beto vetolujuude rppuvuus kuvumsajasta Kuvumsaka (vrk) TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 TKK (c) Ilkka Mell (4) 3

6 TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Akasarjadagramm: Määrtelmä Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Akasarjadgaramm: Havaollstus Oletetaa, että järjestys-, välmatka-ta suhdeastekollse muuttuja x havatut arvot x, x,, x muodostavat akasarja. Tällä tarkotetaa stä, että havatoarvot x, x,, x o deksotu, että e ovat akajärjestyksessä. Akasarjadagramm o pstedagramm, lukupart (t, x t ), t,,, estetää psteä avaruudessa. Tavallsest peräkkäs ajahetk lttyvät psteet (t, x t ), (t, x t ), t, 3,, yhdstetää akasarjadagrammssa tossa jaolla. Kuvo okealla esttää akasarja x t, t,,, peräkkäste havatoarvoje x t, x t, x t+ määrtteleme pstede esttämstä tasokoordaatstossa. x x (t, x t ) t (t+, x t+ ) x t+ x t (t, x t t t t t+ TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Akasarjadagramm: Esmerkk Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuusluvut Akasarjadagramm okealla esttää erää tukkukaupa kkmyy arvo vahtelua. Havatoaesto koostuu 44:stä lukuparsta (t, x t ) t aka (97/-98/) x t kk-myy arvoa kuvaava deks (96/ ) Huomaa, että kk-myyssä o ollut ouseva tred ja selvää kausvahtelua. Myyt (deks) Myyt 97/-98/ Kahde välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havatoarvoje pare muodostamaa jakaumaa vodaa karaktersoda seuraavlla tuusluvulla: Havatoarvoje keskmäärästä sjata kuvataa artmeettslla keskarvolla. Havatoarvoje hajaatuesuutta ta keskttyesyyttä kuvataa keskhajoolla ta (otos-) varassella. Havatoarvoje (leaarsta) rppuvuutta kuvataa otoskovarasslla ja otoskorrelaatokertomella. TKK (c) Ilkka Mell (4) 33 TKK (c) Ilkka Mell (4) 34 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Havaot Olkoot x, x,, x ja y, y,, y välmatka-ta suhdeastekollste muuttuje x ja y havattuja arvoja. Oletetaa lsäks, että havatoarvot x ja y lttyvät samaa havatoykskköö kaklle,,,. Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Artmeettset keskarvot: Määrtelmät Havatoarvoje x, x,, x artmeette keskarvo o x+ x + + x x x Havatoarvoje y, y,, y artmeette keskarvo o y+ y + + y y y TKK (c) Ilkka Mell (4) 35 TKK (c) Ilkka Mell (4) 36

7 TKK (c) Ilkka Mell (4) 37 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Artmeettset keskarvot: Tulkat Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, laskettuje artmeettste keskarvoje x ja y muodostama lukupar ( x, y) o havatoarvoje pare muodostame pstede paopste. Havatoarvoje artmeette keskarvo kuvaa havatoarvoje keskmäärästä sjata. Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Varasst: Määrtelmät Havatoarvoje x, x,, x (otos-) varass o s ( ) x x x x o x-havatoarvoje artmeette keskarvo. Havatoarvoje y, y,, y (otos-) varass o s ( ) y y y y o y-havatoarvoje artmeette keskarvo. Havatoarvoje varass mttaa havatoarvoje hajaatuesuutta ta keskttyesyyttä havatoarvoje artmeettse keskarvo suhtee. TKK (c) Ilkka Mell (4) 38 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Keskhajoat: Määrtelmät Havatoarvoje x, x,, x keskhajota o s ( ) x x x x o x-havatoarvoje artmeette keskarvo. Havatoarvoje y, y,, y keskhajota o s ( ) y y y y o y-havatoarvoje artmeette keskarvo. Havatoarvoje keskhajota mttaa havatoarvoje hajaatuesuutta ta keskttyesyyttä havatoarvoje artmeettse keskarvo suhtee. Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass: Määrtelmä Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, laskettu otoskovarass o sxy ( x x)( y y) x x-havatoarvoje artmeette keskarvo y y-havatoarvoje artmeette keskarvo Huomaa, että x-ja y-havatoarvoje otoskovarasst de tsesä kassa ovat de varasseja: sxx sx s s yy y TKK (c) Ilkka Mell (4) 39 TKK (c) Ilkka Mell (4) 4 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass: Merk määräytyme /4 Otoskovarass s xy merk määrää summalauseke () ( x x)( y y) Summalausekkee (). term ( x x)( y y) tsesarvo x x y y o sellase suorakatee pta-ala, joka svuje ptuudet ovat x x ja y y Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass: Merk määräytyme /4 Summalausekkee (). term ( x x)( y y) merkk määräytyy seuraavalla tavalla: jos x x ja y y ( x x)( y y) jos x x ja y y jos x x ja y y ( x x)( y y) jos x x ja y y Merk määräytymstä vodaa havaollstaa geometrsest seuraavalla tavalla (ks. kuvota seuraavalla kalvolla): () Jaetaa xy-taso eljää osaa el eljäeksee pstee ( x, y) kautta prretyllä koordaattakselede suutaslla suorlla. () Term ( x x)( y y) merk määrää se, mh eljäeksee havatopste (x, y ) sjottuu. TKK (c) Ilkka Mell (4) 4 TKK (c) Ilkka Mell (4) 4

8 TKK (c) Ilkka Mell (4) 43 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass: Merk määräytyme 3/4 ( x x)( y y) ( x x)( y y) ( x, y ) ( x, y) ( x, y) ( x, y ) ( x, y ) Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass: Merk määräytyme 4/4 Jos postvset termt summalausekkeesee () ( x x)( y y) tuottave suorakatede yhteelaskettu pta-ala o suuremp (peemp) ku egatvset termt tuottave suorakatede yhteelaskettu pta-ala, otoskovarass s xy merkk o postve (egatve). Ste otoskovarasslla o tapumus saada postvsa (egatvsa) arvoja, jos havatopstede muodostama psteplv ta -parv äyttää ousevalta (laskevalta) okealle metäessä; ks. pstedagramm lmee ja Pearso otoskorrelaatokertome yhteyttä kuvaava havaollstuksa tässä kappaleessa. ( x x)( y y) ( x x)( y y) TKK (c) Ilkka Mell (4) 44 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass: Tulkta Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, laskettu otoskovarass s xy mttaa x-ja y-havatoarvoje yhtesvahtelua de artmeettste keskarvoje ympärllä. Mtä suuremp o otoskovarass s xy tsesarvo s xy stä vomakkaampaa o x-ja y-havatoarvoje yhtesvahtelu. Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Otoskovarass ja Pearso otoskorrelaatokerro Otoskovarass s xy avulla vodaa määrtellä x-ja y- havatoarvoje leaarse tlastollse rppuvuude vomakkuude mttar, jota kutsutaa Pearso otoskorrelaatokertomeks. Pearso otoskorrelaatokerro r xy saadaa otoskovarasssta s xy ormeerausoperaatolla, x-ja y- havatoarvoje otoskovarass s xy jaetaa x-ja y- havatoarvoje keskhajoolla s x ja s y. TKK (c) Ilkka Mell (4) 45 TKK (c) Ilkka Mell (4) 46 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso otoskorrelaatokerro: Määrtelmä / Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, laskettu Pearso otoskorrelaatokerro o sxy rxy sxsy s xy x-ja y-havatoarvoje otoskovarass s x x-havatoarvoje keskhajota s y y-havatoarvoje keskhajota Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso otoskorrelaatokerro: Määrtelmä / Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, laskettu Pearso otoskorrelaatokerro vodaa krjottaa myös muotoo r xy ( x x)( y y) ( x x) ( y y) x x-havatoarvoje artmeette keskarvo y y-havatoarvoje artmeette keskarvo TKK (c) Ilkka Mell (4) 47 TKK (c) Ilkka Mell (4) 48

9 TKK (c) Ilkka Mell (4) 49 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso otoskorrelaatokerro: Omasuuksa Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, lasketulla Pearso otoskorrelaatokertomella r xy o seuraavat omasuudet: () rxy + () rxy ±, jos ja va jos y α + βx α ja β ovat reaalsa vakota ja β. () Korrelaatokertomella rxy ja kovarasslla sxy o aa sama merkk. Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso otoskorrelaatokerro: Tulkta Havatoarvoje paresta (x, y ),,,, laskettu Pearso otoskorrelaatokerro r xy mttaa x-ja y-havatoarvoje leaarse tlastollse rppuvuude vomakkuutta. Jos r xy ±, x-ja y-havatoarvoje välllä o eksakt el fuktoaale leaare rppuvuus, mkä merktsee stä, että kakk havatopsteet (x, y ) asettuvat samalle suoralle. Jos r xy, x-ja y-havatoarvoje välllä e vo olla eksakta leaarsta rppuvuutta. Vakka r xy, x-ja y-havatoarvoje välllä saattaa slt olla jopa eksakt epäleaare rppuvuus. TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso otoskorrelaatokerro: Havaollstus Kuvot alla havaollstavat kahde muuttuja havattuje arvoje ( 3) pstedagramm lmee ja korrelaato välstä yhteyttä. r xy.8 r xy.6 r xy.48 r xy.43 r xy.83 r xy Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme /4 Oletetaa, että haluamme laskea havatoarvoje paresta (x, y ),,,, seuraavat otostuusluvut käs ta käyttämällä laskta: () Artmeettset keskarvot: x, y () Varasst: sx, sy () Keskhajoat: sx, sy (v) Kovarass: s xy (v) Korrelaaato: r xy Tällö tarvttavat laskutomtukset o mukavta järjestää seuraavalla kalvolla estettävä kaavo muotoo. TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme /4 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme 3/4 Määrätää es havatoarvoje summat, elösummat ja tulosumma: x y x y x y Summa x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y xy Havatoarvoje artmeettset keskarvot, varasst ja kovarass saadaa havatoarvoje summsta, elösummsta ja tulosummasta alla estetyllä kaavolla: x x sx x x y y sy y y sxy xy x y TKK (c) Ilkka Mell (4) 53 TKK (c) Ilkka Mell (4) 54

10 TKK (c) Ilkka Mell (4) 55 y y Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme 4/4 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme: Havaollstava esmerkk /5 Havatoarvoje keskhajoat ja Pearso otoskorrelaatokerro saadaa havatoarvoje varassesta ja kovarasssta alla estetyllä kaavolla: s x s x sy sy sxy rxy s s x y Taulukossa okealla o keotekose kahde muuttuja aesto havatoarvot ( 6). Aestoa kuvaava pstedagramm o okealla alhaalla. x y Pstedagramm x TKK (c) Ilkka Mell (4) 56 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme: Havaollstava esmerkk /5 Alla olevassa taulukossa o laskettu muuttuje x ja y havattuje arvoje summat, elösummat ja tulosumma. x y x y xy Summa Muuttuje x ja y havattuje arvoje artmeettset keskarvot, otosvarasst, keskhajoat, otoskovarass ja otoskorrelaato vodaa laskea ästä vdestä summasta; ks. seuraavaa kalvoa. TKK (c) Ilkka Mell (4) 57 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme: Havaollstava esmerkk 3/5 Keskarvot, otosvarasst ja otoskovarass: x x sx x x y y sy y y sxy x y x y TKK (c) Ilkka Mell (4) 58 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme: Havaollstava esmerkk 4/5 Otoskeskhajoat ja otoskorrelaato: sx sx sy sy sxy rxy.9 ss x y TKK (c) Ilkka Mell (4) 59 Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Tuuslukuje laskeme: Havaollstava esmerkk 5/5 Kuvoo okealla o lsätty havatopstede paopste ( x, y ) (4.833,5.333) Lsäks kuvoo o prretty paopstee kautta kulkevat koordaattakselede suutaset suorat sekä kovarass ja korrelaato merk määräytymstä havaollstavat suorakateet. Kovarass (ja ste myös korrelaato) o postve, koska I ja III eljäekse suorakatede yhteelaskettu pta-ala o suuremp ku II ja IV eljäekse suorakatede yhteelaskettu pta-ala; ks. tässä kappaleessa estettyä seltystä kovarass merk määräytymsestä. Pstedagramm TKK (c) Ilkka Mell (4) II III ( x, y) x I IV

11 TKK (c) Ilkka Mell (4) 6 Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame >> Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet Avasaat Fsher -muuos Korrelaato Korrelaatokertome testaame Korrelaatokertome vertalutest Korrelomattomuude testaame Pearso korrelaatokerro Pearso korrelaatokertome estmot Pearso korrelaatokertome luottamusväl Pearso otoskorrelaatokerro TKK (c) Ilkka Mell (4) 6 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaato estmot ja testaus Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Satuasmuuttuje kovarass ja korrelaato / Tarkastellaa välmatka-ta suhdeastekollste satuasmuuttuje ja Pearso (tulomomett-) korrelaatokertome estmota sekä seuraava testejä korrelaatokertomelle : hde otokse test korrelaatokertomelle Korrelaatokertome vertalutest Korrelomattomuude testaame Lsätetoja moulottessta satuasmuuttujsta: ks. lukua Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat. Olkoo (, ) satuasmuuttuje ja muodostama järjestetty par. Olkoot E( ) E( ) satuasmuuttuje ja odotusarvot ja Var( ) D ( ) E[( ) ] Var( ) D ( ) E[( ) ] satuasmuuttuje ja varasst. TKK (c) Ilkka Mell (4) 63 TKK (c) Ilkka Mell (4) 64 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Satuasmuuttuje kovarass ja korrelaato / Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Satuasmuuttuje korrelaato Määrtellää satuasmuuttuje ja kovarass kaavalla Cov(, ) E[( )( )] Määrtellää satuasmuuttuje ja korrelaato kaavalla Cor(, ) D( ) D( ) Satuasmuuttuje ja korrelaatota Cor(, ) kutsutaa tavallsest Pearso (tulomomett-) korrelaatokertomeks. Pearso korrelaatokerro mttaa satuasmuuttuje ja leaarse rppuvuude vomakkuutta. TKK (c) Ilkka Mell (4) 65 TKK (c) Ilkka Mell (4) 66

12 TKK (c) Ilkka Mell (4) 67 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Pearso korrelaatokertome estmot /3 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Pearso korrelaatokertome estmot /3 Oletetaa, että satuasmuuttuje ja muodostama järjestetty par (, ) oudattaa -ulottesta ormaaljakaumaa N (,,,, ), E( ) E( ) Var( ) Var( ) Cor(, ) ks. lukua Moulottesa todeäkösyysjakauma. Olkoo (, ),,,, rppumato satuasotos satuasmuuttuje ja muodostama par (, ) jakaumasta. Olkoot ( ( s s s ( ( ) s r ss tavaomaset havatoarvoje paresta lasketut otostuusluvut. (, ),,,, TKK (c) Ilkka Mell (4) 68 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Pearso korrelaatokertome estmot 3/3 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Fsher -muuos Satuasmuuttuje ja Pearso (tulomomett-) korrelaatokerro Cor(, ) vodaa estmoda vastaavalla Pearso otoskorrelaatokertomella s r s s Huomautus: Estmaattor r vodaa johtaa sekä momettmeetelmällä että suurmma uskottavuude meetelmällä. Määrtellää Fsher -muuos kaavalla + u f( u) log u Fsher -muuosta soveltamalla luottamusvält ja testt Pearso tulomomettkorrelaatokertomelle vodaa kostruoda samalasella tekkalla ku luottamusvält ja testt kostruodaa ormaaljakauma odotusarvolle; ks. lukua Testt suhdeastekollslle muuttujlle. TKK (c) Ilkka Mell (4) 69 TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Oletukset Oletetaa, että satuasmuuttuje ja muodostama järjestetty par (, ) oudattaa -ulottesta ormaaljakaumaa N (,,,, ), E( ) E( ) Var( ) Var( ) Cor(, ) Olkoo (, ),,,, rppumato satuasotos satuasmuuttuje ja muodostama par (, ) jakaumasta. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Parametre estmot Estmodaa -ulottese ormaaljakauma parametrt tavaomaslla estmaattorellaa: ( ( ( ( s ss s s s r TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 TKK (c) Ilkka Mell (4) 7

13 TKK (c) Ilkka Mell (4) 73 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Fsher -muuos / Sovelletaa Fsher -muuosta f (u) otoskorrelaatokertomee r : + r f( r ) log r Vodaa osottaa, että satuasmuuttuja oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: a N(, ) + log ja 3 Approksmaato o käytäössä rttävä hyvä, ku > 5. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Fsher -muuos / Pearso korrelaatokertomelle vodaa kostruoda approksmatve luottamusväl Fsher -muuokse avulla. Olkoo + log ja 3 Tällö stadardotu satuasmuuttuja v oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): v a N(,) TKK (c) Ilkka Mell (4) 74 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Luottamustaso Määrätää approksmatve luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle. Valtaa luottamustasoks α Luottamustaso valta kttää todeäkösyyde, jolla kostruotava luottamusväl pettää korrelaatokertome okea arvo. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Luottamuskertomet / Olkoo luottamustasoa ( α). Valtaa luottamuskerro el pste + α/ ste, että se erottaa stadardodu ormaaljakauma N(, ) okealle häälle todeäkösyysmassa α/. Koska ormaaljakauma o symmetre, luottamuskerro el pste α/ erottaa stadardodu ormaaljakauma vasemmalle häälle todeäkösyysmassa α/. TKK (c) Ilkka Mell (4) 75 TKK (c) Ilkka Mell (4) 76 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Luottamuskertomet / Ste luottamuskertomet + α/ ja α/ valtaa ste, että α Pr( + α /) α Pr( α /) satuasmuuttuja oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa: N(,) Huomaa, että Pr( + ) α / α / α Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Parametr luottamusväl / Parametr + log approksmatve luottamusväl luottamustasolla ( α) o edellä estety ojalla muotoa α/, + α/ 3 3 TKK (c) Ilkka Mell (4) 77 TKK (c) Ilkka Mell (4) 78

14 TKK (c) Ilkka Mell (4) 79 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Parametr luottamusväl / Parametr approksmatvse luottamusväl α/, + α/ 3 3 kaavassa + r f( r ) log r havatoje lukumäärä α/, + α/ luottamustasoo ( α) lttyvät luottamuskertomet stadardodusta ormaaljakaumasta N(, ) Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Parametr luottamusväl tulkta Parametr approksmatvse luottamusväl α/, + α/ 3 3 kostruktosta seuraa, että Pr α/ + α/ a α 3 3 Ste kostruotu luottamusväl pettää parametr okea arvo approksmatvsest todeäkösyydellä ( α)ja se e petä parametr okeata arvoa approksmatvsest todeäkösyydellä α. TKK (c) Ilkka Mell (4) 8 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Korrelaatokertome luottamusväl / Pearso korrelaatokertome approksmatve luottamusväl saadaa parametr luottamusvälstä ratkasemalla epäyhtälöketjusta + r α/ log α/ 3 r 3 + log + r + α/ log + α/ 3 r 3 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Korrelaatokertome luottamusväl / Pearso korrelaatokertome approksmatvseks luottamusvälks saadaa (lb, ub) ( + r ) ( r ) exp ( + α / 3 ) lb ( + r ) + ( r ) exp ( + α / 3 ) o luottamusväl alaraja ja ( + r ) ( r ) exp ( α / 3 ) ub ( + r ) + ( r ) exp ( α / 3 ) o luottamusväl yläraja. TKK (c) Ilkka Mell (4) 8 TKK (c) Ilkka Mell (4) 8 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Luottamusväl Pearso korrelaatokertomelle: Korrelaatokertome luottamusväl tulkta Pearso korrelaatokertome approksmatvse luottamusväl (lb, ub) kostruktosta seuraa, että Pr( lb ub) a α Ste kostruotu luottamusväl pettää korrelaatokertome okea arvo approksmatvsest todeäkösyydellä ( α)ja se e petä korrelaatokertome okeata arvoa approksmatvsest todeäkösyydellä α. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Testausasetelma Tarkastellaa yhde otokse testä Pearso korrelaatokertomelle. Fsher -muuokse avulla test vodaa pukea tavaomase t-test muotoo. TKK (c) Ilkka Mell (4) 83 TKK (c) Ilkka Mell (4) 84

15 TKK (c) Ilkka Mell (4) 85 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: lee hypotees lee hypotees H : () Oletetaa, että satuasmuuttuje ja muodostama järjestetty par (, ) oudattaa - ulottesta ormaaljakaumaa, joka parametrt ovat E( ) E( ) Var( ) Var( ) Cor(, ) () Olkoo (, ),,,, rppumato satuasotos satuasmuuttuje ja muodostama par (, ) jakaumasta. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Nollahypotees ja vahtoehtoe hypotees Nollahypotees H : H : Vahtoehtoe hypotees H : H: > -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: < H : -suutae vahtoehtoe hypotees TKK (c) Ilkka Mell (4) 86 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Parametre estmot Estmodaa -ulottese ormaaljakauma parametrt tavaomaslla estmaattorellaa: ( ( ( ( s ss s s s r Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Fsher -muuos / Sovelletaa Fsher -muuosta f (u) otoskorrelaatokertomee r : + r f( r ) log r Satuasmuuttuja oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa: a N(, ) + log ja 3 Approksmaato o rttävä hyvä, ku > 5. TKK (c) Ilkka Mell (4) 87 TKK (c) Ilkka Mell (4) 88 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Fsher -muuos / Test ollahypoteeslle H : vodaa perustaa Fsher -muuokse käyttöö. Jos ollahypotees H pätee, + E( ) log Ste satuasmuuttuja v oudattaa ollahypotees H pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Testsuure ja se jakauma Määrtellää testsuure + r + log log r v 3 Jos ollahypotees H : pätee, testsuure v oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: v a N(,) TKK (c) Ilkka Mell (4) 89 TKK (c) Ilkka Mell (4) 9

16 TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus hde otokse test korrelaatokertomelle: Test Testsuuree v ormaalarvo, koska ollahypotees H : pätessä E(v) Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree v arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Nollahypotees H hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Testausasetelma Tarkastellaa vertalutestä Pearso korrelaatokertomlle. Fsher -muuokse avulla test vodaa pukea tavaomase rppumattome otoste t-test muotoo. TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Hypoteest lee hypotees H : Oletetaa, että käytössä o kaks tosstaa rppumatota ykskertasta satuasotosta perusjoukosta, jotka oudattavat -ulottesa ormaaljakauma, jode korrelaatokertomet ovat ja. Nollahypotees H : H : Vahtoehtoe hypotees H : H: > -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: < H : -suutae vahtoehtoe hypotees TKK (c) Ilkka Mell (4) 93 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Parametre estmot Olkoot ja otoskoot otokssta ja. Olkoot r ja r otokssta ja lasketut Pearso otoskorrelaatokertomet. TKK (c) Ilkka Mell (4) 94 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Fsher -muuokset Olkoo + rk k f( rk) log r k Fsher -muuos otoksesta k lasketulle otoskorrelaatokertomelle r k, k,. Jos ollahypotees H : pätee, satuasmuuttuja k, k, oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest ormaaljakaumaa N(, k ), + log ja k k 3 Approksmaato o rttävä hyvä, ku > 5 ja > 5. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Testsuure ja se jakauma / Koska satuasmuuttujat ja ovat rppumattoma, satuasmuuttuja v oudattaa ollahypotees H : pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: v ~ a N(,) TKK (c) Ilkka Mell (4) 95 TKK (c) Ilkka Mell (4) 96

17 TKK (c) Ilkka Mell (4) 97 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Testsuure ja se jakauma / Määrtellää testsuure + r + r log log r r v Jos ollahypotees H : pätee, testsuure v oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: v a N(,) Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelaatokertome vertalutest: Test Testsuuree v ormaalarvo, koska ollahypotees H : pätessä E(v) Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree v arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Nollahypotees H hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. TKK (c) Ilkka Mell (4) 98 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelomattomuude testaame: Testausasetelma Mossa tutkmustlatessa ollaa kostueta stä ovatko satuasmuuttujat ja korrelomattoma va e. Huomautuksa: Satuasmuuttuje ja korrelomattomuudesta e välttämättä seuraa de rppumattomuus, vakka satuasmuuttuje ja rppumattomuudesta seuraa aa de korrelomattomuus. Jos satuasmuuttujat ja oudattavat -ulottesta ormaaljakaumaa, satuasmuuttuje ja korrelomattomuudesta seuraa de rppumattomuus. Mossa tutkmusasetelmssa tovotaa, että korrelomattomuusoletus tulee testssä hylätyks. Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelomattomuude testaame: lee hypotees lee hypotees H : () Oletetaa, että satuasmuuttuje ja järjestetty par (, ) oudattaa -ulottesta ormaaljakaumaa, joka parametrt ovat E( ) E( ) Var( ) Var( ) Cor(, ) () Olkoo (, ),,,, rppumato satuasotos satuasmuuttuje ja muodostama par (, ) jakaumasta. TKK (c) Ilkka Mell (4) 99 TKK (c) Ilkka Mell (4) Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelomattomuude testaame: Nollahypotees ja vahtoehtoe hypotees Nollahypotees H : H : Vahtoehtoe hypotees H : H: > -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: < H : -suutae vahtoehtoe hypotees Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelomattomuude testaame: Parametre estmot Estmodaa -ulottese ormaaljakauma parametrt tavaomaslla estmaattorellaa: ( ( ( ( s ss s s s r TKK (c) Ilkka Mell (4) TKK (c) Ilkka Mell (4)

18 TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelomattomuude testaame: Testsuure ja se jakauma Määrtellää t-testsuure r t r Jos ollahypotees H : pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa, joka vapausasteluku o : t t( Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Korrelomattomuude testaame: Test Testsuuree t ormaalarvo, koska ollahypotees H : pätessä E(t) Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Nollahypotees H hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. TKK (c) Ilkka Mell (4) 4 Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Järjestyskorrelaatokertomet Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus >> Järjestyskorrelaatokertomet Avasaat Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro Korrelaato Korrelomattomuude testaame Spearma järjestyskorrelaatokerro TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 TKK (c) Ilkka Mell (4) 6 Järjestyskorrelaatokertomet Korrelomattomuude testaame järjestysastekollslla muuttujlla Tarkastellaa korrelaatokertome määrttelemstä ja korrelomattomuude testaamsta järjestysastekollslle muuttujlle. Tarkastelu kohteea ovat seuraavat järjestyskorrelaatokertomet: Spearma järjestyskorrelaatokerro Kedall järjestyskorrelaatokerro Tarkasteltavat järjestyskorrelaatokertomet ja testt sopvat myös välmatka-ja suhdeastekollslle muuttujlle. Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Kertome dea Spearma järjestyskorrelaatokerro S mttaa kahde muuttuja havatoarvoje suuruusjärjestykse yhteesopvuutta. Spearma järjestyskorrelaatokerro sop järjestys-, välmatka-ja suhdeastekollslle muuttujlle. Spearma järjestyskorrelaatokertomella o samatapaset omasuudet ku Pearso otoskorrelaatokertomella. TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 TKK (c) Ilkka Mell (4) 8

19 TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Määrtelmä /3 Olkoot,,, ja,,, järjestys-, välmatka-ta suhdeastekollste satuasmuuttuje ja havattuja arvoja. Oletetaa lsäks, että havaot ja lttyvät samaa havatoykskköö kaklle,,,. Järjestetää sekä - että -muuttuja havatut arvot suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Määrtelmä /3 Ltetää sekä -että -muuttuja havattuh arvoh de suuruusjärjestykse mukaset järjestysumerot: R( ) havao järjestysumero parssa R( ) havao järjestysumero parssa sekä määrtellää erotukset D R( ) R( ) Muuttuje ja havatulle arvolle vodaa määrtellä järjestyskorrelaatokerro erotukse D avulla. TKK (c) Ilkka Mell (4) Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Määrtelmä 3/3 Määrtellää Spearma järjestyskorrelaatokerro S el Spearma rho kaavalla 6 S 3 D Spearma järjestyskorrelaatokerro S vodaa laskea myös soveltamalla Pearso otoskorrelaatokertome kaavaa muuttuje ja havattuje arvoje pareja (, ) vastaav järjestyslukuje el rake pareh (R( ), R( )) Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Omasuudet / Spearma järjestyskorrelaatokertomella S o kakk hyvältä korrelaato mtalta vaadttavat omasuudet: () S + () Jos muuttuje ja havattuje arvoje järjestysumerot ovat jokasessa havatoparssa samat, S + () Jos muuttuje ja havattuje arvoje järjestysumerot lttyvät tossa täys satuasest, S Jos S, saotaa, että muuttujat ja ovat korrelomattoma. TKK (c) Ilkka Mell (4) TKK (c) Ilkka Mell (4) Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Omasuudet / (v) Jos sekä suuret muuttuje ja järjestysumerot että peet muuttuje ja järjestysumerot lttyvät havatoparessa (, ) tossa, kertomella S o tapumus saada postvsa arvoja. (v) Jos suuret ja peet muuttuje ja järjestysumerot lttyvät havatoparessa (, ) tossa, kertomella S o tapumus saada egatvsa arvoja. Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Korrelomattomuude testaame / Määrtellää t-testsuure S S Jos ollahypotees H :Cor(, ) pätee, testsuure oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: a N(,) TKK (c) Ilkka Mell (4) 3 TKK (c) Ilkka Mell (4) 4

20 TKK (c) Ilkka Mell (4) 5 Järjestyskorrelaatokertomet Spearma järjestyskorrelaatokerro: Korrelomattomuude testaame / Testsuure oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(, ), jos ollahypotees H pätee. Approksmaato o melko hyvä jo, ku > ja rttävä lähes kakk tarkotuks, ku > 3. Testsuuree ormaalarvo, koska ollahypotees H pätessä E() Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Nollahypotees H hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Kertome dea Kedall järjestyskorrelaatokerro τ mttaa kahde muuttuja havatoarvoje suuruusjärjestykse yhteesopvuutta. Kedall järjestyskorrelaatokerro sop järjestys-, välmatka-ja suhdeastekollslle muuttujlle. Kedall järjestyskorrelaatokertomella o samatapaset omasuudet ku Pearso otoskorrelaatokertomella. TKK (c) Ilkka Mell (4) 6 Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Määrtelmä /3 Olkoot,,, ja,,, järjestys-, välmatka-ta suhdeastekollste satuasmuuttuje ja havattuja arvoja. Oletetaa lsäks, että havaot ja lttyvät samaa havatoykskköö kaklle,,,. Järjestetää part (, ) muuttuja havattuje arvoje mukaa suuruusjärjestyksee pemmästä suurmpaa. Kedall järjestyskorrelaatokerro perustuu tuuslukuu, joka mttaa muuttuja arvoje epäjärjestystä muuttuja arvoh ähde. Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Määrtelmä /3 Järjestetää part (, ),,,, muuttuja havattuje arvoje mukaa ste, että esmmäseks tulee par, muuttuja arvo o pe ja vmeseks par, muuttuja arvo o suur. Olkoo ( k, k ) järjestetyksee asetetusta paresta umero k. Määrtellää havatoarvoo k lttyvät epäjärjestyspsteet S kl, l k +, k +,,, k,,, seuraavalla tavalla: S kl +, jos l > k S kl, jos l < k TKK (c) Ilkka Mell (4) 7 TKK (c) Ilkka Mell (4) 8 Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Määrtelmä 3/3 Muuttuja arvoje epäjärjestysmtta S muuttuja arvoje suhtee määrtellää kaavalla S Skl k l k+ Määrtellää Kedall järjestyskorrelaatokerro τ el Kedall tau kaavalla S τ ( ) Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Omasuudet / Kedall järjestyskorrelaatokertomella τ o kakk hyvältä korrelaato mtalta vaadttavat omasuudet: () τ + () Jos muuttuje ja havattuje arvoje järjestysumerot ovat jokasessa havatoparssa samat, τ + () Jos muuttuje ja havattuje arvoje järjestysumerot lttyvät tossa täys satuasest, τ Jos τ, saotaa, että muuttujat ja ovat korrelomattoma. TKK (c) Ilkka Mell (4) 9 TKK (c) Ilkka Mell (4)

21 TKK (c) Ilkka Mell (4) Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Omasuudet / (v) Jos sekä suuret muuttuje ja järjestysumerot että peet muuttuje ja järjestysumerot lttyvät havatoparessa (, ) tossa, kertomella τ o tapumus saada postvsa arvoja. (v) Jos suuret ja peet muuttuje ja järjestysumerot lttyvät havatoparessa (, ) tossa, kertomella τ o tapumus saada egatvsa arvoja. Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Korrelomattomuude testaame / Määrtellää testsuure τ ( + 5) 9 ( + ) Jos ollahypotees H :Cor(, ) pätee, testsuure oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: a N(,) TKK (c) Ilkka Mell (4) Järjestyskorrelaatokertomet Kedall järjestyskorrelaatokerro: Korrelomattomuude testaame / Testsuure oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(, ), jos ollahypotees H pätee. Approksmaato o melko hyvä jo, ku > ja rttävä lähes kakk tarkotuks, ku > 3. Testsuuree ormaalarvo, koska ollahypotees H pätessä E() Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Nollahypotees H hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. TKK (c) Ilkka Mell (4) 3