Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
|
|
- Elisabet Heikkinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett jakauma Dskreett satuasmuuttuja Dskreett tasae jakauma Ekspoettjakauma Geometre jakauma Hupukkuus Hypergeometre jakauma Jatkuva jakauma Jatkuva tasae jakauma Jatkuva satuasmuuttuja Kertymäfukto Keskee raja-arvolause Keskusmomett Kvatl Kvartl Medaa Momett Mood Negatve bomjakauma Normaalapproksmaato Normaaljakauma Odotusarvo Orgomomett Otata Otata palauttae Otata palauttamatta Paopste Pste Pstetodeäkösyys Pstetodeäkösyysfukto Posso-jakauma Porrasfukto Prosettpste Rppumattomuus Satuasmuuttuja Satuasmuuttuje summa jakauma Stadardpokkeama Stadardot Taulukot Theysfukto Todeäkösyysjakauma Todeäkösyysmassa Tosesa possulkevuus Tuusluku Varass Vous Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttuja Olkoo fukto otosavaruudesta S reaallukuje joukkoo : : S Jos o mtalle, o satuasmuuttuja. Vodaa osottaa, että dskreett ja jatkuvat satuasmuuttujat jota tällä kursslla pelkästää kästellää ovat mtallsa fuktota. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
2 Todeäkösyysjakauma Satuasmuuttuja todeäkösyysjakaumalla tarkotetaa kuvaukse : S reaallukuje joukkoo dusomaa (välttämää) todeäkösyysmttaa. Dskreett satuasmuuttuja Olkoo : S satuasmuuttuja. Jos otosavaruus S o äärelle ta umerotuvast ääretö, jollo myös fukto arvoalue o äärelle ta umerotuvast ääretö, saotaa satuasmuuttujaa dskreetks. Dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja. Olkoo satuasmuuttuja arvoje joukko T = {x, x, x 3,, x } jos satuasmuuttuja arvoje lukumäärä o äärelle ja T = {x, x, x 3,, x, } jos arvoje lukumäärä o umerotuvast ääretö. Reaalarvoe fukto f määrttelee dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto, jos () f( x ) Pr( x ) kaklle x T () f( x ) 0 kaklle x T (3) f( x ) xt Todeäkösyys Pr( x) f( x) p,,,3, o satuasmuuttuja arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Dskreett todeäkösyysjakauma Jos f o dskreet satuasmuuttuja : S pstetodeäkösyysfukto, saomme, että satuasmuuttuja oudattaa dskreettä todeäkösyysjakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o f. Pstetodeäkösyysfukto ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
3 dskreett satuasmuuttuja ja f vastaava pstetodeäkösyysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Jatkuva satuasmuuttuja Olkoo Pr( a b) f( x) Pr( x) : S xa b x a b,, satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja o jatkuva, jos seuraavat kaks ehtoa pätevät: () Satuasmuuttuja saa kakk reaallukuarvot joltak reaalaksel välltä. () Todeäkösyys, että satuasmuuttuja saa mkä tahasa yksttäse arvo = 0. Jatkuva satuasmuuttuja theysfukto Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja. Reaalarvoe fukto f määrttelee satuasmuuttuja theysfukto, jos () f( x) o x: jatkuva fukto () f( x) 0 kaklle x (3) f( x) dx (4) Pr( a b) f( x) dx Jatkuva todeäkösyysjakauma Jos f o jatkuva satuasmuuttuja : S b a theysfukto, saomme, että satuasmuuttuja oudattaa jatkuvaa todeäkösyysjakaumaa, joka theysfukto o f. Theysfukto ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto. Tällö reaalaksel väl [a, b] todeäkösyys o Huomaa, että Pr( a b) f( x) dx b a Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
4 kaklle x. Pr( = x) = 0 Kertymäfukto Kertymäfukto Olkoo : S satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja kertymäfukto o reaalarvoe fukto Fukto Fx () Pr( x) F : [0,] o kertymäfukto, jos ja va jos Jos fukto () lm F( x) 0 x () lm F( x) x (3) F o e- väheevä: F( x ) F( x ), jos x x (4) F o jatkuva okealta: o kertymäfukto, lm F( xh) F( x) h0 F : [0,] (5) Pr( x) F( x) (6) Pr( a b) F( b) F( a) Dskreet jakauma kertymäfukto Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja ja f vastaava pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja kertymäfukto o ja käätäe Fx ( ) Pr( x) f( x) Pr( x) xx xx f( x) Pr( x) F( x) F( x ) Dskreet jakauma kertymäfukto o porrasfukto, jolla o hyppäys (epäjatkuvuuskohta) jokasessa psteessä x, jossa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
5 f( x) Pr( x) 0 Hyppäyskohte välllä dskreet jakauma kertymäfuktolla o vakoarvo. Dskreett jakaumat ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S dskreett satuasmuuttuja, f vastaava pstetodeäkösyysfukto ja F vastaava kertymäfukto. Tällö reaalaksel väl (a, b] todeäkösyys o Pr( a b) F( b) F( a) f( x) Pr( x) Jatkuva jakauma kertymäfukto Olkoo : S x a b x a b,, jatkuva satuasmuuttuja ja f vastaava theysfukto. Tällö satuasmuuttuja kertymäfukto o ja käätäe Fx ( ) Pr( x) ftdt ( ) x d f( x) F( x) F( x) dx Jatkuvat jakaumat ja reaalaksel väle todeäkösyydet Olkoo : S jatkuva satuasmuuttuja, f vastaava theysfukto ja F vastaava kertymäfukto. Tällö reaalaksel väl (a, b] todeäkösyys o Pr( a b) F( b) F( a) f( x) dx Huomaa, että jatkuvlle satuasmuuttujlle pätee: Pr( a b) Pr( a b) Pr( a b) Pr( a b) b a Jakaume tuusluvut Dskreet satuasmuuttuja odotusarvo Olkoo f( x) Pr( x) p,,,3, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
6 dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja ja stä vastaava todeäkösyysjakauma odotusarvo o e-satuae vako E( ) x f( x) x Pr( x) x p Jatkuva satuasmuuttuja odotusarvo Olkoo f( x ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Tällö satuasmuuttuja ja stä vastaava todeäkösyysjakauma odotusarvo o e-satuae vako Odotusarvo omasuuksa E( ) xf( x) dx Satuasmuuttuja odotusarvo o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Olkoo a vako. Tällö E( a) a Olkoot, =,,, satuasmuuttuja ja olkoot a, =,,, vakota. Tällö Ea ae( ) Dskreet satuasmuuttuja fukto odotusarvo Olkoo f( x) Pr( x) p,,,3, dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Olkoo g reaalarvoe fukto. Tällö satuasmuuttuja g() odotusarvo o e-satuae vako E( g ( )) gx ( ) f( x) gx ( ) Pr( x) gx ( ) p Jatkuva satuasmuuttuja fukto odotusarvo Olkoo f( x ) g( ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Olkoo g reaalarvoe fukto. Tällö satuasmuuttuja g() odotusarvo o e-satuae vako Varass g( ) E( g ( )) gxf ( ) ( xdx ) Olkoo satuasmuuttuja odotusarvo Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/58
7 E( ) Tällö satuasmuuttuja varass o e-satuae vako D( ) Var( ) E[( )] Varass vodaa laskea myös kaavalla jossa D( ) Var( ) E( ) E( ) = satuasmuuttuja. momett Dskreet satuasmuuttuja varass Olkoo f( x) Pr( x) p,,,3, dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Tällö satuasmuuttuja varass o D( ) Var( ) E[( )] ( x ) p Jatkuva satuasmuuttuja varass Olkoo f( x ) jatkuva satuasmuuttuja theysfukto. Tällö satuasmuuttuja varass o Stadardpokkeama D( ) Var( ) E[( )] ( ) () x f x dx Satuasmuuttuja stadardpokkeama o e-satuae vako Varass omasuuksa D( ) E[( ) ] Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee E( ) ympärllä. Olkoo a vako. Tällö D( a) Var( a) 0 Olkoot, =,,, rppumattoma satuasmuuttuja ja a, =,,, vakota. Tällö D a a D ( ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/58
8 Momett Olkoo satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuja k odotusarvo k E( ), k 0,,, k o satuasmuuttuja k. momett el k. momett orgo suhtee. Ertysest: 0 E( ) Olkoo satuasmuuttuja, joka odotusarvo o E( ) Tällö satuasmuuttuja ( ) k odotusarvo k E ( ) k, k 0,,, o satuasmuuttuja k. keskusmomett el k. momett paopstee suhtee. Ertysest: 0 Momette olemassaolo E ( ) Var( ) D ( ) Satuasmuuttuja k. orgomomett o olemassa, jos k E( ) Satuasmuuttuja k. keskusmomett o olemassa, jos vastaava orgomomett o olemassa. Vodaa osottaa, että jos jollek, E( ) k E( ) kaklle k <. Jos ss satuasmuuttuja. orgomomett o olemassa, sllä o myös kakk alempe kertalukuje momett. Vous Tuuslukua 3 3/ käytetää todeäkösyysjakaume voude mttaa. Jos todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto o ykshuppue, pätee seuraava: < 0: Jakauma o egatvsest vo el vo vasemmalle, jollo jakauma vase hätä o ptemp ku okea hätä. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/58
9 = 0: Jakauma o symmetre. > 0: Jakauma o postvsest vo el vo okealle, jollo jakauma okea hätä o ptemp ku vase hätä. Huomautus: Normaaljakaumalle = 0. Hupukkuus Tuuslukua 3 4 käytetää todeäkösyysjakaume hupukkuude mttaa. Jos todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto o ykshuppue, pätee seuraava: < 0: Jakauma o laakea (ormaaljakaumaa verrattua). = 0: Jakauma o yhtä hupukas ku ormaaljakauma. > 0: Jakauma o hupukas (ormaaljakaumaa verrattua). Huomautus: Normaaljakaumalle = 0. Kvatlt Olkoo satuasmuuttuja. Olkoo lsäks 0 < p < Jos luku x p toteuttaa ehdot Pr( x p ) p Pr( x p ) p saomme, että x p o satuasmuuttuja ja se jakauma kvatl kertalukua p. Ste kvatl x p toteuttaa epäyhtälöt Pr( < x p ) p Pr( x p ) Kvatlt vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole mometteja. Kvatlt evät välttämättä ole ykskästtesä: () () Olkoo Dskreette satuasmuuttuje kvatlt ovat use mokästtesä. Jatkuve satuasmuuttuje kvatlt ovat ykskästtesä. F(x) = Pr( x) jatkuva satuasmuuttuja kertymäfukto. Tällö satuasmuuttuja kvatl x p toteuttaa yhtälö F(x p ) = p Kvatl x p jakaa jatkuva satuasmuuttuja jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta p00 % Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/58
10 o kvatlsta x p vasemmalla ja ( p)00 % o kvatlsta x p okealla. Prosettpsteet Jos p o muotoa p = q/00, q =,,, 99 kvatla x p kutsutaa q. prosettpsteeks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. prosettpste jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta q % o q. prosettpsteestä vasemmalla ja (00 q) % o q. prosettpsteestä okealla. Deslt Jos p o muotoa p = 0q/00, q =,,, 9 kvatla x p kutsutaa q. deslks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. desl jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta 0q % o q. deslstä vasemmalla ja o q. deslstä okealla. Kvartlt Jos p o muotoa (00 0q) % p = 5q/00, q =,, 3 kvatla x p kutsutaa q. kvartlks. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa q. kvartl jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee osaa, että massasta 5q % o q. kvartlsta vasemmalla ja o q. kvartlsta okealla. (00 5q) % Kvartleja merktää tavallsest symbolella Q, Q, Q 3 ja saotaa, että Q = alakvartl Q = keskkvartl Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 0/58
11 Q 3 = yläkvartl Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa kvartlt jakavat jakauma todeäkösyysmassa eljää yhtä suuree osaa: Medaa Jos 5 % massasta o kvartlsta Q vasemmalle 5 % massasta o kvartle Q ja Q välssä 5 % massasta o kvartle Q ja Q 3 välssä 5 % massasta o kvartlsta Q 3 okealle p = 0.5 kvatla x p kutsutaa medaaks. Medaaa merktää tavallsest symbollla Me. Jatkuva satuasmuuttuja tapauksessa medaa Me jakaa jakauma todeäkösyysmassa kahtee yhtä suuree osaa, että massasta 50 % o medaasta vasemmalla ja 50 % o medaasta okealla. Jakauma medaa e välttämättä ole ykskästtee. Jakauma medaa o sama ku jakauma 50. prosettpste, 5. desl ja keskkvartl Q. Medaa vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Jos satuasmuuttuja jakauma o symmetre suora x = a suhtee, jakauma medaa yhtyy psteesee a: Me = a Jos symmetrsellä jakaumalla o odotusarvo E() = µ, jakauma medaa yhtyy psteesee µ: Mood Me = µ Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka pstetodeäkösyysfukto o f(x) = Pr( = x) Pste Mo o dskreet satuasmuuttuja ja se jakauma mood, jos pstetodeäkösyysfukto f(x) saavuttaa maksmsa psteessä x = Mo: f( Mo) max f( x) x Olkoo jatkuva satuasmuuttuja, joka theysfukto o f(x) Pste Mo o jatkuva satuasmuuttuja ja se jakauma mood, jos theysfukto f(x) saavuttaa maksmsa psteessä x = Mo: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
12 f( Mo) max f( x) x Jakauma mood e välttämättä ole ykskästtee. Mood vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Dskreettejä jakauma Dskreett tasae jakauma Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka mahdollset arvot ovat x, x,, x Oletetaa, että satuasmuuttuja mahdolls arvoh x, x,, x lttyvät todeäkösyydet ovat yhtä suura: Pr( x ),,,, Tällö satuasmuuttuja oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa, joka pstetodeäkösyysfukto o f( x) Pr( x) p,,,, Dskreet tasase jakauma tuusluvut Odotusarvo:. momett: Varass: E( ) x x E( ) Stadardpokkeama: x D( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] x x D( ) ( x x) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
13 Beroull-jakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (= tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Määrtellää dskreett satuasmuuttuja seuraavalla tavalla:, jos tapahtuma A sattuu 0, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja jakauma o Pr( ) p Pr( 0) pq ja satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o f x p q p q p x x x ( ), 0,, 0, Saomme, että satuasmuuttuja oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p ja käytämme tästä merktää: Beroull( p ) Beroull-jakauma tuusluvut Odotusarvo: Varass: E( ) Stadardpokkeama: p Var( ) D ( ) pq D( ) pq Beroull-kokeet ja eräät dskreett todeäkösyysjakaumat Tostetaa samaa Beroull-koetta, että tostot ovat tosstaa rppumattoma ja tarkastellaa tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. () () Bomjakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu x kertaa, ku koetta tostetaa kertaa. Geometre jakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu esmmäse kerra x:essä koetostossa. () Negatve bomjakauma saadaa määräämällä todeäkösyys slle, että tapahtuma A sattuu r. kerra x:essä koetostossa. (v) Posso-jakauma vodaa johtaa bomjakauma raja-arvoa, ku koetostoje lukumäärä aetaa tettyje ehtoje valltessa kasvaa rajatta. Posso-jakauma kuvaa harvaste tapahtume todeäkösyyksä ptkssä tostokoesarjossa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
14 Bomjakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (= tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kertaa, jossa o kteä (e-satuae), ee koetostoje tekemstä päätetty luku. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tapahtuma A estymskertoje lukumäärää koetostoje joukossa. Tällö satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p ) ja se pstetodeäkösyysfukto o Bomjakauma tuusluvut Odotusarvo: Varass: Stadardpokkeama: x x f( x) Pr( x) p q,0 p, q p, x0,,,, x E( ) p D( ) Var( ) pq D( ) pq Bomjakauma ja Beroull-jakauma Olkoot,,, rppumattoma, samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p) oudattava dskreettejä satuasmuuttuja:,,, Beroull( p),,,, Tällö dskreett satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: Olkoo B(, p ) B(, p ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
15 Jos =, Ber( p ) Bomjakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoot,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat bomjakauma parametre (, p), (, p),, ( k, p):,,, k B(, p),,,, k Tällö dskreett satuasmuuttuja k oudattaa bomjakaumaa parametre = k ja p: B(, p ) Geometre jakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (= tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kues tapahtuma A havataa. kerra. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetostoje lukumäärää, ku tapahtuma A havataa. kerra. Tällö satuasmuuttuja oudattaa geometrsta jakaumaa parametrlla p: Geom( p ) ja se pstetodeäkösyysfukto o f x x q p p q p x x () Pr( ),0,,,,3, Satuasmuuttuja kertymäfukto o jossa Fx () Pr( x) ( p) x x = suur kokoasluku, joka x Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaava mukaa Pr( x) Pr( x) F( x) ( p) x Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
16 Geometrse jakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) p Varass: D( ) Var( ) Stadardpokkeama: q p D( ) Geometrse jakauma uohtamsomasuus q p Geometrsella jakaumalla o seuraava uohtamsomasuus: Se, että tapahtuma A sattumsta o jouduttu odottamaa a koetostoa, e vakuta todeäkösyytee joutua odottamaa b koetostoa lsää. Jos ss Geom(p) Pr( a + b a) = Pr( + b) Negatve bomjakauma Olkoo A otosavaruude S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Tällö tapahtuma A komplemetttapahtuma (tapahtuma A e satu) A c todeäkösyys o Pr(A c ) = p = q Tostetaa stä satuaskoetta, joka tulosvahtoehtoja otosavaruus S kuvaa kues tapahtuma A havataa r. kerra. Oletetaa lsäks, että koetostot ovat tosstaa rppumattoma. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa tehtyje koetostoje lukumäärää, ku tapahtuma A havataa r. kerra. Tällö satuasmuuttuja oudattaa egatvsta bomjakaumaa parametre r ja p: NegB( r, p ) ja se pstetodeäkösyysfukto o x xr r f( x) Pr( x) q p, 0 p, q p r r,, 3, ; xr, r, r, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/58
17 Negatvse bomjakauma tuusluvut Odotusarvo: r E( ) p Varass: rq D( ) Var( ) p Stadardpokkeama: D( ) rq p Hypergeometre jakauma Olkoo perusjouko S alkode lukumäärä (S) = N Tarkastellaa perusjouko S ostusta joukoks A ja jouko A komplemetks A c ja olkoo (A) = r (A c ) = N r Valtaa perusjoukosta S satuasest osajoukko B ja olkoo (B) = Perusjouko S ostus joukoks A ja A c duso jouko B ostukse joukoks BA ja BA c ; ks. kuvaa okealla. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka kuvaa joukossa B oleve jouko A (el jouko BA) alkode lukumäärää. Tällö satuasmuuttuja oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r ja : HyperGeom( N, r, ) ja se pstetodeäkösyysfukto o rn r x x f( x) Pr( x), max[0, ( N r)] xm(, r) N Hypergeometrse jakauma tuusluvut Odotusarvo: r E( ) N Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/58
18 Varass: Stadardpokkeama: r r N N N N D( ) Var( ) r r N D( ) N N N Hypergeometrse jakauma ja bomjakauma Jos perusjouko S koko N lähestyy ääretötä, hypergeometrse jakauma todeäkösyydet lähestyvät sellase bomjakauma todeäkösyyksä, jossa p = r/n Ste hypergeometrsta jakaumaa vodaa approksmoda bomjakaumalla, jos otatasuhde jossa /N = (B) = otoskoko N = (S) = perusjouko koko o kyll pe. Nä o käytäössä, jos /N < 0.05 Otata takaspaolla ja lma takaspaoa Pomtaa perusjoukosta satuasest otos (osajoukko) arpomalla alkot perusjoukosta otoksee yks kerrallaa. Otokse pomta vodaa toteuttaa joko palauttamalla (el takaspaolla) ta palauttamatta (lma takaspaoa): () () Otaassa palauttae perusjouko alkot arvotaa otoksee yks kerrallaa, että alkot palautetaa välttömäst jokase arpomse jälkee takas perusjoukkoo. Tällö sama alko vo tulla pomtuks otoksee useta kertoja. Otaassa palauttamatta alkot arvotaa otoksee yks kerrallaa, että alkota e palauteta arpomse jälkee takas perusjoukkoo. Tällö sama alko vo tulla pomtuks otoksee va kerra. Olkoo perusjouko S koko N = (S) Tarkastellaa perusjouko S osajoukkoa A, joka koko o r = (A) Pomtaa perusjoukosta S satuasest osajoukko B, joka koko o = (B) Määrtellää dskreett satuasmuuttuja = A-tyyppste alkode lukumäärä otoksessa B Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/58
19 Jos otos (= osajoukko B) pomtaa perusjoukosta palauttae, satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p ) Jos otos (= osajoukko B) pomtaa perusjoukosta palauttamatta, satuasmuuttuja oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r ja : HyperGeom( N, r, ) Posso-jakauma Tostetaa samaa satuaskoetta ja oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa jok tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. Oletetaa, että tapahtuma A tapahtumatesteett el keskmääräe lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde o. Määrtellää dskreett satuasmuuttuja : = Tapahtuma A estymste lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde Tety ehdo satuasmuuttuja oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla s: jossa Posso(s) s = ajajakso ptuus akaykskössä (tlavuusyksköde lukumäärä) = tapahtuma A estymste keskmääräe lukumäärä aka- (ta tlavuus-) ykskköä kohde ja se pstetodeäkösyysfukto o Posso-jakauma tuusluvut Odotusarvo: s x e ( s) f( x) Pr( x), x 0,,, x! E( ) s Varass: D( ) Var( ) s Stadardpokkeama: D( ) s Posso-jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoot,,, ovat rppumattoma satuasmuuttuja, jotka oudattavat Posso-jakauma parametre,,, k :,,, k Posso( ),,,, k Tällö dskreett satuasmuuttuja Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/58
20 k oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla = k : Posso( ) Posso-jakauma ja bomjakauma Jos bomjakaumassa otoskoko lähestyy ääretötä ja todeäkösyysparametr p lähestyy samaakasest ollaa, että p bomjakauma todeäkösyydet lähestyvät ovat lähellä sellase Posso-jakauma todeäkösyyksä, joka parametra o. Ste vomme saoa, että Posso-jakauma kuvaa harvaste tapahtume todeäkösyyksä ptkssä tostokoesarjossa. Jatkuva jakauma Jatkuva tasae jakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto 0, x a f( x), a xb b a 0, x a Tällö satuasmuuttuja oudattaa jatkuvaa tasasta jakaumaa parametreaa a ja b: Uform( a, b ) Jatkuva tasase jakauma tuusluvut Odotusarvo: a b E( ) Varass ja stadardpokkeama: ( b a) D( ) Var( ) b a D( ) 3 Jatkuva tasase jakauma kertymäfukto Jatkuva tasase jakauma kertymäfukto o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 0/58
21 0, x a x a F( x) Pr( x), a xb b a, x b Ekspoettjakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto f(x) = exp( x), > 0, x 0 Tällö satuasmuuttuja oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : Exp( ) Ekspoettjakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) Varass ja stadardpokkeama: D( ) Var( ) D( ) Ekspoettjakauma kertymäfukto Ekspoettjakauma kertymäfukto o Ste Fx () exp( x), 0, x 0 Pr( > x) = P( x) = F(x) = exp( x) jossa F(x) o ekspoettjakauma kertymäfukto. Ekspoettjakauma ja Posso-jakauma Olkoo Oletetaa, että ja olkoo = odotusaka. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) Exp() Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde Tällö Z o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : Z Posso() Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
22 jollo E(Z) = Vodaa osottaa, että jakaume väle yhteys tom molemp suut: ts. jos dskreett satuasmuuttuja Z = tapahtume lukumäärä akaykskköä kohde oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla : satuasmuuttuja Z Posso() = odotusaka. tapahtumalle (ta tapahtume välaka) oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla : Exp() Ekspoettjakauma uohtamsomasuus Ekspoettjakaumalla o seuraava uohtamsomasuus: Se, että tapahtuma sattumsta o jouduttu odottamaa aja a, e vakuta todeäkösyytee joutua odottamaa aja b lsää. Jos ss Exp(). Pr( a + b a) = Pr( + b) Normaaljakauma Olkoo jatkuva satuasmuuttuja theysfukto x f( x) exp,, 0, x Tällö satuasmuuttuja oudattaa ormaaljakaumaa parametre ja : N(, ) Normaaljakauma theysfukto omasuuksa () () Normaaljakauma theysfukto f(x) o kakkalla postve: f(x) > 0, < x < + Theysfukto o ykshuppue. () Theysfukto saa maksmarvosa psteessä. (v) Theysfukto o symmetre pstee x = suhtee: f( x) = f( + x), < x < + Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) /58
23 Normaaljakauma tuusluvut Odotusarvo: E( ) Varass ja stadardpokkeama: D( ) Var( ) D( ) Stadardotu ormaaljakauma Jos N(0,) saomme, että satuasmuuttuja oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa. Stadardot Jos N(, ) E( ) Z D( ) N(0,) Normaaljakauma ja stadardotu ormaaljakauma Olkoo Tällö ja N(, ) E( ) Z D( ) N(0,) a b a b Pr( a b) Pr Pr Z Ste ormaaljakaumaa N(, ) lttyvät todeäkösyydet vodaa aa määrätä stadardodu ormaaljakauma N(0,) avulla. Esmerkk: Määrää todeäkösyys jossa Pr(.5 3) N, 4 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
24 jollo E( ) D( ) Var( ) Käytetää tehtävä ratkasemsessa stadardodu ormaaljakauma N(0, ) taulukota. Kursslla jaettavssa taulukossa o taulukotua stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto arvoja F(x) = Pr( x) ku x saa arvoja suljetulta välltä [ 3.59, +3.59] 0.0: ykskö väle: Edellä estety mukaa jossa Edellee Taulukode mukaa Ste x = 3.59 (0.0) Pr(.5 3) Pr Pr( Z ) / / / E( ) Z D( ) / Pr( Z ) Pr( Z ) Pr( Z ) Pr( Z ) Pr( Z ) N(0,) Pr(.5 3) Pr( Z ) Pr( Z ) Geometrsest todeäkösyyde Pr(.5 3) määrääme merktsee aluee A pta-ala määräämstä alla olevssa kuvossa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
25 Rppumattome ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa jakauma Olkoo, =,,, joo rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja: Olkoo N(, ),,,,,,, Y rppumattome satuasmuuttuje, =,,, summa. Tällö Y N(, ) Oletetaa, että rppumattomat satuasmuuttujat, =,,, oudattavat samaa ormaaljakaumaa: Tällö N(, ),,,,,,, Y N(, ) Rppumattome ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje artmeettse keskarvo jakauma Olkoo, =,,, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
26 joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja: Olkoo N(, ),,,,,,, satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo. Tällö N, Keskee raja-arvolause Olkoo, =,,, joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja, jode odotusarvo ja varass ovat Olkoo E( ),,,, D( ) Var( ),,,, Y rppumattome satuasmuuttuje, =,,, summa. Tällö E( Y ) D( Y ) Var( Y ) Stadardodaa satuasmuuttuja Y : Z Y Jos satuasmuuttuja Z jakauma lähestyy rajatta stadardotua ormaaljakaumaa N(0,): lm Pr z ( z) jossa (z) o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Merktä: Z a N(0,) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 6/58
27 Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että summamuuttuja Y jakaumaa vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla, jossa E( ) D( ) Var( ) Keskee raja-arvolause ja bomjakauma Keskese raja-arvolausee Beroull -jakautuede satuasmuuttuje summa jakaumaa koskevaa erkostapausta kutsutaa De Movre ja Laplace raja-arvolauseeks. De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa bomjakaumaa B(, p) vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla, jossa Jos ss suurlle E( ) p D( ) Var( ) pq, q ( p) B(, p) bp ap Pr( a b) pq pq jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b/p a/p Pr( a b) pq pq Keskee raja-arvolause ja hypergeometre jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että hypergeometrsta jakaumaa HyperGeom(N, r, ) vodaa suurlle N approksmoda ormaaljakaumalla, jossa r E( ) N r r D( ) Var( ) N N Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 7/58
28 Keskee raja-arvolause ja Posso-jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa, että Posso-jakaumaa Posso() vodaa suurlle approksmoda ormaaljakaumalla, jossa E( ) D( ) Var( ) Jos ss Posso() suurlle b a Pr( a b) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0,) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b/ a/ Pr( a b) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 8/58
29 Esmerkk 3.3. Hetetää vrheetötä rahaa 3 kertaa, jossa ss Pr(Kruua) = Pr(Klaava) = / ja olkoo satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa hetossa. (a) (b) (c) (d) Määrää todeäkösyydet tapahtumlle = 0,,, 3 ja määrttele de avulla satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto. Hahmottele fukto kuvaaja paperlle. Määrää satuasmuuttuja kertymäfukto. Hahmottele fukto kuvaaja paperlle. Mkä o tapahtuma =.5 todeäkösyys? Määrää tapahtuma > todeäkösyys sekä satuasmuuttuja pstetodeäkösyys- että kertymäfukto avulla. Esmerkk 3.3. Mtä opmme? Esmerkssä 3.3. tarkastellaa dskreet satuasmuuttuja määrttelemstä ykskertase esmerk tapauksessa sekä ko. satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto ja kertymäfukto kostruomsta. Satuasmuuttuja jakauma kostruossa käytetää apua puumasta verkkoa. Esmerkk 3.3. Ratkasu: (a) Merktää H = Kruua (egl. head) T = Klaava (egl. tal) Tehtävä satuaslmö tulosvahtoehdosta vodaa raketaa alla oleva puuverkko: / / H T / / / / H T H T / / / / / / / / H T H T H T H T Todeäkösyydet erlaslle kruue ja klaavoje kombaatolle vodaa laskea. Tehtävä tapauksessa mkä tahasa kolme kombaato todeäkösyys o 3, 8 koska hetot ovat tosstaa rppumattoma. Kombaatota, jossa o 0 kpl krjata H:ta, o kpl. Ste Pr(TTT). 8 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 9/58
30 Kombaatota, jossa o kpl krjata H, o 3 kpl. Ste 3 Pr(HTT ta THT ta TTH) 8 käyttämällä yhteelaskusäätöä tosesa possulkevlle tapahtumlle. Kombaatota, jossa o kpl krjata H, o 3 kpl. Ste 3 Pr(HHT ta HTH ta THH). 8 Kombaatota, jossa o 3 kpl krjata H, o kpl. Ste Ste vomme esttää satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa pstetodeäkösyysfukto f(x) = Pr( = x), x = 0,,, 3 Pr(HHH). 8 alla vasemmalla olevaa taulukkoa. Kuva alla okealla esttää satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto kuvaajaa. x f(x) = Pr( = x) 0 /8 3/8 3/8 3 /8 f(x) 3/8 /8 /8 0 3 x (b) Dskreet satuasmuuttuja kertymäfukto vodaa määrtellä kaavalla Fx ( ) Pr( x) x x Summassa lasketaa yhtee kakk pstetodeäkösyydet Pr( x ) jolle pätee x x. Ste vomme esttää satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa kertymäfukto alla vasemmalla olevaa taulukkoa. Kuva alla okealla esttää satuasmuuttuja satuasmuuttuja kertymäfukto kuvaajaa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 30/58
31 x F(x) x < x < /8 x < 4/8 x < 3 7/8 3 x F(x) 7/8 4/8 /8 0 3 x (c) Koska =.5 o tapahtumaa mahdoto, Pr( =.5) = 0 (d) Pstetodeäkösyysfuktosta: Pr( > ) = Pr( = ) + Pr( = 3) = 3/8 + /8 = 4/8 = / Kertymäfuktosta: Pr( > ) = Pr( ) = F() = 4/8 = 4/8 = / Esmerkk 3.4. Satuasmuuttuja theysfukto o muotoa (a) (b) (c) (d) xb, ku 0 x f( x) 0, muullo Määrää vako b arvo. Määrää tapahtuma = 0.5 todeäkösyys. Määrää tapahtuma todeäkösyys. Määrää satuasmuuttuja kertymäfukto. Esmerkk 3.4. Mtä opmme? Esmerkssä 3.4. tarkastellaa jatkuva satuasmuuttuja määrttelemstä ykskertase esmerk tapauksessa sekä ko. satuasmuuttuja theysfuktota ja kertymäfuktota. Esmerkk 3.4. Ratkasu: (a) Koska kaklle theysfuktolle f(x) pätee Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
32 f( x) dx ( ).5 saadaa vako b määrätyks yhtälöstä f x dx x b dx x bx b ( ) ( ) ja ratkasuks saadaa 0.5 b = / Kuva okealla esttää satuasmuuttuja theysfukto f(x) kuvaajaa välllä [0, ] x (b) Koska jatkuvlla jakaumlla jokase yksttäse pstee todeäkösyys o olla, Pr( = 0.5) = 0 (c) Jos satuasmuuttuja theysfukto o f(x), väl [a, b] todeäkösyys saadaa kaavalla b Pr( a b) f( x) dx a Ste väl 0, 0.5 todeäkösyydeks saadaa tehtävä tapauksessa: 0.5 x dx x x 3 Pr(0 0.5) (d) Jos satuasmuuttuja theysfukto o f(x), se kertymäfukto saadaa kaavalla x Fx ( ) ftdt ( ) Ste tehtävä satuasmuuttuja kertymäfuktoks saadaa välllä 0, : x x x ( ) ( ) ( ) ( ) F x f t dt t dt t t x x Tämä väl ulkopuolella: F(x) = 0, ku x 0 F(x) =, ku x 0 0 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 3/58
33 Esmerkk 3.5. Osallstut rahapel, jossa hetetää kolmea harhatota rahaa (ks. esmerkk 3.3.). Pel osallstumsesta ptää maksaa paos ja pelaaja saa vottoa kruue lukumäärä euroja. (a) (b) Mkä o korke paos mkä su kaattaa maksaa osallstumsesta pel? Ohje: Määrää satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa odotusarvo. Mkä o vottosumma stadardpokkeama? Esmerkk 3.5. Mtä opmme? Esmerkssä 3.5. tarkastellaa odotusarvo, varass ja stadardpokkeama määräämstä esmerk 3.3. dskreetlle satuasmuuttujalle. Esmerkk 3.5. Ratkasu: Esmerk 3.3. mukaa satuasmuuttuja = Kruue lukumäärä 3:ssa rahahetossa pstetodeäkösyysfukto f(x) = Pr( = x), x = 0,,, 3 vodaa esttää seuraavaa taulukkoa: x f(x) = Pr( = x) 0 /8 3/8 3/8 3 /8 (a) Jos satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o f(x), satuasmuuttuja odotusarvo E() saadaa kaavalla: E( ) x Pr( x) x f( x) Tehtävä tapauksessa x E( ) xpr( x) Ste su kaattaa maksaa pel osallstumsesta korketaa.5, koska se o odotettavssa oleva votto. Musta, että satuasmuuttuja odotusarvo E() o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Huomaa, että tässä tapauksessa Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 33/58
34 Pr( = E()) = 0 (b) Satuasmuuttuja stadardpokkeama o satuasmuuttuja varass elöjuur. Määrätää sks es satuasmuuttuja varass. Käytetää varass laskemsee kaavaa jossa D( ) E( ) E( ) E() = satuasmuuttuja odotusarvo E( ) = satuasmuuttuja. momett Satuasmuuttuja odotusarvoks saat (a)-kohdassa E() = 3/ Määrätää satuasmuuttuja. momett: Ste E( ) x Pr( x) x0 3 3 D( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuja stadardpokkeamaks saadaa lopulta 3 D( ) Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee suhtee. Esmerkk 3.6. Määrää esmerk 3.4. todeäkösyysjakauma odotusarvo ja stadardpokkeama. Esmerkk 3.6. Mtä opmme? Esmerkssä 3.6. tarkastellaa odotusarvo, varass ja stadardpokkeama määräämstä esmerk 3.4. jatkuvalle satuasmuuttujalle. Esmerkk 3.6. Ratkasu: Jos satuasmuuttuja theysfukto o f(x), satuasmuuttuja odotusarvo E() saadaa kaavalla: E( ) xf( x) dx Esmerk 3.4. theysfukto: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 34/58
35 Odotusarvo: x/, ku 0 x f( x) 0, muullo 3 7 E( ) xf( x) dx xx dx x x dx x x Musta, että satuasmuuttuja odotusarvo o satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa paopste. Satuasmuuttuja stadardpokkeama o satuasmuuttuja varass elöjuur. Määrätää sks es satuasmuuttuja varass. Käytetää varass laskemsee kaavaa jossa D( ) E( ) E( ) E() = satuasmuuttuja odotusarvo E( ) = satuasmuuttuja. momett Satuasmuuttuja odotusarvoks saat edellä E() = 7/ Määrätää satuasmuuttuja. momett: E( ) x f( x) dxx x dx x x dx x x Ste satuasmuuttuja varassks saadaa: 5 7 D( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuja stadardpokkeamaks saadaa lopulta D( ) Satuasmuuttuja varass ja stadardpokkeama kuvaavat satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma todeäkösyysmassa hajaatuesuutta todeäkösyysmassa paopstee suhtee. 0 0 Esmerkk 3.8. Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka pstetodeäkösyysfukto o f( x) Pr( x) p,,,, Satuasmuuttuja oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa. (a) Määrää satuasmuuttuja odotusarvo. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 35/58
36 (b) Määrää satuasmuuttuja varass. Esmerkk 3.8. Mtä opmme? Esmerkssä 3.8. johdetaa dskreet tasase jakauma odotusarvo ja varass. Esmerkk 3.8. Ratkasu: Suoraa dskreet jakauma odotusarvo määrtelmä mukaa E( ) x f( x) x x x mkä o lukuje x, x,, x artmeette keskarvo. Suoraa dskreet jakauma varass määrtelmä mukaa Var( ) D ( ) ( x ) f( x) ( x x) ( x x) mkä o lukuje x, x,, x otovarass. Huomautus: Artmeette keskarvo ja otosvarass ovat tärkemmät välmatka- ja suhdeastekollste muuttuje havattuje arvoje jakauma kuvaava (otos-) tuuslukuja. Esmerkk 3.9. Olkoo jatkuva satuasmuuttuja, joka theysfukto o x f( x) e, 0, x 0 Satuasmuuttuja oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla /. Määrää satuasmuuttuja odotusarvo ojate suoraa odotusarvo määrtelmää. Opastus: Itegroessa kaattaa käyttää osttastegrota. Esmerkk 3.9. Mtä opmme? Esmerkssä 3.9. johdetaa ekspoettjakauma odotusarvo. Esmerkk 3.9. Ratkasu: Todetaa es, että fukto x f( x) e, 0, x 0 kelpaa theysfuktoks, koska se o jatkuva ja x x f( x) dx e dxe 0 0 Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 36/58
37 Suoraa jatkuva jakauma odotusarvo määrtelmästä seuraa soveltamalla osttastegrota: x x x x E( ) xf( x) dx x e dxxe e dxe Esmerkk 4.. Pelaaja hettää vrheetötä tetraedr (= sääölle motahokas, jolla o 4 tasasvuse kolmo muotosta tahkoa) muotosta oppaa kertaa. Oletetaa, että tetraedr tahkot o merktty slmäluvulla,, 3 ja 4. Koska oppa o oletettu vrheettömäks, vomme olettaa, että jokasella slmäluvulla o sama todeäkösyys tulla tulokseks. (a) (b) Laske slmälukuje summa odotusarvo, varass ja stadardpokkeama. Pelaaja saa vottoaa slmälukuje summa euroa kymmekertasea. Mkä o voto odotusarvo ja stadardpokkeama? Kaattaako pel osallstua, jos osallstume maksaa 400 euroa? Esmerkk 4.. Mtä opmme? Esmerkssä 4.. sovelletaa dskreettä tasasta jakaumaa. Esmerkk 4.. Ratkasu: Pelaaja hettää vrheetötä tetraedr muotosta oppaa, joka tahkot o merktty slmäluvulla,, 3, 4. Koska oppa o oletettu vrheettömäks, vodaa olettaa, että opaheto tulos o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto: f(x) = Pr( = x) = /4, x =,, 3, 4 Satuasmuuttuja odotusarvo: E( ) xpr( x) x Satuasmuuttuja. momett: 4 E( ) x Pr( x) x Satuasmuuttuja varass: D( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuja stadardpokkeama: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 37/58
38 D( ) Ku tetraedr muotosta oppaa hetetää kertaa, jokase heto tulos, =,,, o satuasmuuttuja, joka oudattaa edellä määrteltyä dskreettä tasasta jakaumaa. Lsäks vomme olettaa, että hettoje tulokset ovat tosstaa rppumattoma. (a) Hettotuloste summa Z o dskreett satuasmuuttuja, joka o rppumattome, samaa (edellä määrteltyä) dskreettä tasasta jakaumaa oudattave satuasmuuttuje, =,,, summa. Summa Z odotusarvo: E( Z ) E E( ).5 30 k Huomaa, että satuasmuuttuje summa odotusarvo o aa satuasmuuttuje odotusarvoje summa ss myös, ku ko. satuasmuuttujat evät ole rppumattoma. Summa Z varass: D( Z ) D D( ).5 5 Huomaa, että satuasmuuttuje summa varass o satuasmuuttuje varasse summa va, ku ko. satuasmuuttujat ovat rppumattoma. Summa Z stadardpokkeama: D( Z) Huomaa, että D(Z) D( ) ts. satuasmuuttuje summa stadardpokkeama e ole satuasmuuttuje stadardpokkeame summa. Tämä johtuu tetyst stä, että (postvste lukuje) summa elöjuur e ole ko. lukuje elöjuure summa. (b) Pelaaja saama votto Y = 0Z o dskreett satuasmuuttuja. Voto Y odotusarvo: E(Y) = 0E(Z) = 300 Voto Y varass: D (Y) = 0 D (Z) = 500 Voto Y stadardpokkeama: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 38/58
39 Esmerkk 4.. D(Y) = Koska pel osallstume maksaa 400, pelaajat kärsvät jokasessa pelssä keskmäär tappo, joka suuruus o 400 E(Y) = = 00 Ruuveja valmstava koe tekee vallsa ruuveja todeäkösyydellä /0. Pomtaa koee valmstame ruuve joukosta 0 ruuva tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. Oletetaa, että koee valmstame ruuve lukumäärä o suur otoskokoo 0 verrattua, että vomme approksmoda vallste ruuve lukumäärä jakaumaa otoksessa bomjakaumalla. (a) (b) (c) Mkä o todeäkösyys, että vallsa ruuveja löydetää täsmällee kpl? Mkä o todeäkösyys, että vallsa ruuveja löydetää vähtää kpl? Mkä o odotusarvo vallste ruuve lukumäärälle? Esmerkk 4.. Mtä opmme? Esmerkssä 4.. sovelletaa bomjakaumaa. Esmerkk 4.. Ratkasu: Ruuveja valmstava koe tekee vallsa ruuveja todeäkösyydellä /0. Pomtaa satuasest 0 ruuva tarkastettavaks yks kerrallaa. Oletetaa, että koee valmstame ruuve lukumäärä o hyv suur otoskokoo 0 verrattua. Tällö vallste ruuve lukumäärä tarkastettavaks pomttuje 0 ruuv joukossa o dskreett satuasmuuttuja, joka jakaumaa vodaa approksmoda bomjakaumalla: jossa a B(, p) = 0 p = 0. Tämä perustuu seuraavaa: Tarkastettavaks pomttuje 0 ruuv joukko muodostaa ykskertase satuasotokse valmstettuje ruuve joukosta. Otosta pomttaessa o käytetty otataa lma takaspaoa el palauttamatta. Tällö vallste ruuve lukumäärä otoksessa oudattaa hypergeomersta jakaumaa. Koska valmstettuje ruuve lukumäärä o oletettu hyv suureks otoskokoo 0 verrattua, o otatasuhde pe, että vomme approksmoda hypergeometrsta jakaumaa bomjakaumalla. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o (approksmatvsest) 0 f x x p p p x x x 0x ( ) Pr( ) ( ), 0., 0,,,,0 (a) Todeäkösyys, että vallsa ruuveja löydetää täsmällee kpl, o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 39/58
40 0 Pr( ) (b) (c) Se, että vallsa ruuveja löydetää vähtää kpl, vodaa esttää tapahtumaa seuraavassa muodossa: { 0} { } { } { 0} Määrätää todeäkösyys tälle tapahtumalle soveltamalla komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavaa: Pr( 0) Pr( 0) Odotusarvo vallste ruuve lukumäärälle o E() = p = 00. = Esmerkk 4.3. Tehdas valmstaa tuotetta, jolla o erttä korkeat laatukrteert. Keskmäär va 60 % tuottesta täyttää krteert. Pomtaa tuotteta tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. (a) (b) (c) (d) Mkä o todeäkösyys slle, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta esmmäse vallse tuottee löytämseks? Oletetaa, että olemme tarkastaeet 3 tuotetta löytämättä yhtää vallsta tuotetta. Mkä o todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta lsää esmmäse vallse tuottee löytämseks? Mkä o odotettavssa oleva lukumäärä tuottelle, jotka joudumme tarkastamaa esmmäse vallse tuottee löytämseks? Mkä o todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa aak 5 tuotetta kolmae vallse tuottee löytämseks? Esmerkk 4.3. Mtä opmme? Esmerkssä 4.3. sovelletaa geometrsta jakaumaa ja egatvsta bomjakaumaa. Esmerkk 4.3. Ratkasu: Pomtaa tuotteta tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. Esmmäse vallse tuottee järjestysumero o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa geometrsta jakaumaa: jossa Geom(p) p = 0.6 = 0.4 o todeäkösyys löytää valle tuote. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 40/58
41 f x x q p p q p x x () Pr( ), 0.4, 0.6,,,3, Satuasmuuttuja kertymäfukto o Fx () Pr( x) ( p) x jossa x = suur kokoasluku, joka x (a) Todeäkösyys slle, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta esmmäse vallse tuottee löytämseks, o Pr( 4) Pr( 3) Pr( 3) F(3) 3 [ ( p) ] ( p) (b) Jatkoa kohdalle (a). Oletetaa, että olemme tarkastaeet 3 tuotetta löytämättä yhtää vallsta tuotetta. Tällö esmmäse vallse tuottee järjestysumero o oltava 4 ta suuremp. Se, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta lsää esmmäse vallse tuottee löytämseks, merktsee stä, että joudumme kakkaa tarkastamaa vähtää 7 tuotetta. Ste kysytty todeäkösyys o ehdolle todeäkösyys Pr( 7 ja 4) Pr( 7 4) Pr( 4) Pr( 7) Pr( 4) Pr( 6) Pr( 3) F(6) F(3) Tosaalta todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa vähtää 4 tuotetta esmmäse vallse tuottee löytämseks, o (a)-kohda mukaa 3 Pr( 4) F(3) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
42 Se, että olemme saaeet (a)- ja (b)-kohdassa sama tulokse e ole sattumaa, vaa tulos vodaa ylestää seuraavaa muotoo: Jos satuasmuuttuja oudattaa geometrsta jakaumaa, aa pätee Pr( ab a) Pr( b), a,,3,, b 0,,,3, Tulos merktsee stä, että geometrsella jakaumalla o s. uohtamsomasuus: Todeäkösyys joutua tarkastamaa vähtää b tuotetta lsää esmmäse vallse tuottee löytämseks e rpu stä, kuka mota tuotetta o akasemm jouduttu tarkastamaa löytämättä yhtää vallsta. Vomme lmasta tämä saomalla, että tarkastusprosess uohtaa oma hstorasa. (c) Jatkoa kohdalle (a). Odotettavssa oleva lukumäärä tuottelle, jotka joudumme tarkastamaa kues löydämme esmmäse vallse tuottee, o E() = /p = /0.4 =.5 Pomtaa tuotteta tarkastettavaks satuasest yks kerrallaa. Kolmae vallse tuottee järjestysumero o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa egatvsta bomjakaumaa: jossa NegB(r, p) r = 3 p = 0.4 Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o x f x x q p p q p x x3 3 ( ) Pr( ), 0.4, 0.6, 3,4,5, (d) Todeäkösyys, että joudumme tarkastamaa aak 5 tuotetta kolmae vallse tuottee löytämseks, o Pr( 4) Pr( 4) Pr( 3) Pr( 4) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 4/58
43 Esmerkk 4.4. Pakkauksessa o 00 tuotetta, josta 0 o vallsa. (a) (b) Pomtaa pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaks otaalla lma takaspaoa. Mkä o todeäkösyys, että otoksee tulee täsmällee valle tuote? Mkä o odotettavssa oleve vallste tuottede lukumäärä otoksessa? Pomtaa pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaks otaalla takaspaolla. Mkä o todeäkösyys, että otoksee tulee täsmällee valle tuote? Mkä o odotettavssa oleve vallste tuottede lukumäärä otoksessa? Esmerkk 4.4. Mtä opmme? Esmerkssä 4.4. sovelletaa bomjakaumaa ja hypergeometrsta jakaumaa otataa takaspaolla (palauttae) ja lma takaspaoa (palauttamatta). Esmerkk 4.4. Ratkasu: Tehtävä tapauksessa perusjouko S koko o N = (S) = 00 vallste tuottede jouko A S koko o r = (A) = 0 ja otokse B S koko o = (B) = 5 Määrtellää dskreett satuasmuuttuja = Vallste tuottede lukumäärä otoksessa Satuasmuuttuja jakauma rppuu stä pomtaako otos lma takaspaoa (palauttamatta) ta takaspaolla (palauttae): Jos otos pomtaa lma takaspaoa, oudattaa hypergeometrsta jakaumaa. Jos otos pomtaa takaspaolla, oudattaa bomjakaumaa. Huomaa, että tehtävä tapauksessa otatasuhde /N = 0.05 jote bomjakauma ptäs melko hyv approksmoda hypergeometrsta jakaumaa. (a) Jos otokse pomta tapahtuu lma takaspaoa, HyperGeom(N, r, ) jossa N = 00 r = 0 = 5 Ste todeäkösyys, että otoksee pomttuje joukossa o valle, o Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 43/58
44 f() Pr( ) Satuasmuuttuja odotusarvo o r 0 E( ) 5 N 00 Vertaa saatuja tuloksa (b)-kohda tuloks. (b) Jos otos pomtaa takaspaolla, vallste lukumäärä tarkastettuje joukossa o B(, p) jossa = 5 p = r/n = 0. Ste todeäkösyys, että otoksee pomttuje joukossa o valle, o f 5 4 () Pr( ) Satuasmuuttuja odotusarvo o E( ) p50. Vertaa saatuja tuloksa (a)-kohda tuloks. Esmerkk 4.5. Oletetaa, että aetussa akaykskössä palvelujooo tuleve asakkade lukumäärä oudattaa Posso-jakaumaa, että keskmäär jooo tulee 4 asakasta muutssa. (a) (b) (c) (d) (e) Mkä o todeäkösyys, että 30 sekussa e tule yhtää asakasta? Mkä o todeäkösyys, että muutssa tulee korketaa 4 asakasta? Mkä o todeäkösyys, että seuraava muut akaa e tule yhtää asakasta, jos edellseä muutta asakkata ol 4? Mkä o odotettavssa oleve asakkade lukumäärä tu akaa? Mkä o odotettavssa oleva odotusaka. asakkaa tulolle jooo? Esmerkk 4.5. Mtä opmme? Esmerkssä 4.5. sovelletaa Posso-jakaumaa. Esmerkk 4.5. Ratkasu: Oletetaa, että ajajaksoa, joka ptuus o s muutta, jooo tuleve asakkade lukumäärä o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso-jakaumaa: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 44/58
45 Posso(s) jossa s = ajajakso ptuus muuttea = muutssa jooo tuleve asakkade keskmääräe lukumäärä = 4 Ste satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto o 4 s x e (4 s) f( x) Pr( x), x 0,,, x! (a) Nyt s = 0.5 m jote s = 40.5 = Ste todeäkösyys, että /:ssa muutssa e tule yhtää asakasta, o 0 e () Pr( 0) ! (b) Nyt s = m jote s = 4 = 4 Ste todeäkösyys, että :ssä muutssa tulee korketaa 4 asakasta, o Pr( 4) Pr( x) 4 x0 4 x0 e s ( s) x! x e 0!!! 3! 4! ( ) (c) Olkoo = muut akaa tullede puhelude lukumäärä, =,. Satuasmuuttuja ja vodaa ptää rppumattoma ja lsäks kumpk oudattaa Posso-jakaumaa: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 45/58
46 Posso(s) jossa s = m = 4 Rppumattomuude ojalla e 4 0! Pr( 0 4) Pr( 0) e (d) Nyt s = 60 m jote s = 460 = 40 Ste odotettavssa oleva puhelude määrä tu akaa o E() = s = 40 (e) Olkoo = jooo tuleve asakkade lukumäärä muutssa Oletuste mukaa Posso() jossa = 4. Olkoo Y = odotusaka. asakkaa tulolle jooo Tällö Y Exp() ja odotettavssa oleva odotusaka. asakkaa tulolle jooo o E(Y) = / = /4 m = 5 s Esmerkk 4.7. Bomjakauma pstetodeäkösyysfukto o x x f( x) Pr( x) p q,0 p, q p, x0,,,, x (a) Todsta, että Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 46/58
47 (b) x0 Todsta, että E( ) f( x) p Esmerkk 4.7. Mtä opmme? Esmerkssä 4.7. tarkastellaa bomjakauma omasuuksa. Esmerkk 4.7. Ratkasu: (a) Suoraa bomkaava mukaa x x f( x) p q ( pq) x x0 x0 (b) Suoraa laskemalla saadaa! x E( ) xf( x) x p ( p) x!( x)! x0 x0 x x! x x p ( p) x!( x)!! x p ( p) ( x)!( x)! x ( )! ( x)!( x)! x x x x x p p ( p) p jossa vmee yhtälö perustuu she, että x ( )! p ( x)!( x)! x x ( p) Tämä seuraa stä, että summassa lasketaa yhtee kakk bomjakauma B(, p) pstetodeäkösyydet ( )! f x p p x x!( x)! x x ( ) ( ), 0,,,, Bomjakauma odotusarvo saadaa myös helpost johdetuks käyttämällä hyväks stä, että rppumattome, samaa Beroull-jakaumaa oudattave satuasmuuttuje summa oudattaa bomjakaumaa: Olkoot,,, rppumattoma, samaa Beroull-jakaumaa Beroull(p) oudattava dskreettejä satuasmuuttuja: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 47/58
48 ,,, Beroull( p),,,, Tällö dskreett satuasmuuttuja oudattaa bomjakaumaa parametre ja p: B(, p ) Odotusarvo omasuukse perusteella E( ) E( ) pp koska Beroull-jakauma omasuukse perusteella E( ) p,,,, Esmerkk 5.. Sähkölampu elkä (ykskköä 000 h) oudattaa jakaumaa, joka theysfukto o f(x) = c/x 3, x mssä c o vako. (a) Määrää vako c arvo. (b) Mllä todeäkösyydellä lamppu kestää yl 5000 h? (c) Mkä o lampu keskmääräe elkä? (d) Määrää lampu elä medaa el määrää aka x, jolla Pr( x) = 0.5. Esmerkk 5.. Mtä opmme? Esmerkssä 5.. tarkastellaa erää jatkuva jakauma omasuuksa. Esmerkk 5.. Ratkasu: (a) Jatkuva satuasmuuttuja theysfukto f(x) toteuttaa aa ehdo f( x) dx Ste vako c saadaa määrätyks yhtälöstä jote c = c f( x) dxc dxc c 0 3 x x Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 48/58
49 (b) Tapahtuma Lampu elkä > 5000 h todeäkösyys saadaa tegromalla satuasmuuttuja theysfukto välllä (5, ): Pr( 5) f( x) dx dx x x (c) Lampu keskmääräe elkä o lampu elä odotusarvo E( ) xf( x) dxx dx dx 0 x x x 3 Ste lampu keskmäääräe elkä o tutea 000 h. (d) Lampu elä medaa saadaa ehdosta x x Pr( x) f( t) dt dt 0.5 t t x jote medaaks saadaa x.4 3 Ste lampu elä medaa o tutea. 4 h. x Esmerkk 5.. Eräässä latteessa o kompoett, joka elkä (ykskköä kuukaus) oudattaa ekspoettjakaumaa parametraa /4. (a) Mkä o kompoet keskmääräe elkä? (b) Määrää kompoet elä medaa el määrää kä x ste, että Pr( x) = 0.5. (c) (d) (e) (f) Määrää todeäkösyys, että kompoett kestää kauemm ku 6 kuukautta. Mllä todeäkösyydellä kompoett tom velä vähtää yhde kuukaude, jos se o jo tomut kuukaude? Mllä todeäkösyydellä kompoett tom velä vähtää yhde kuukaude, jos se o jo tomut kaks kuukautta? Mkä o rkkoutuede kompoette odotettavssa oleva lukumäärä 6: kuukaude akaa? Esmerkk 5.. Mtä opmme? Esmerkssä 5.. sovelletaa ekspoettjakaumaa. Esmerkk 5.. Ratkasu: Tehtävä satuasmuuttuja Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 49/58
50 = kompoet elkä kuukausa oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla = /4: Exp(/4) (a) Kompoet keskmääräe elkä o kompoet elä odotusarvo E() = / = 4 kuukautta (b) (c) Ekspoettjakautueelle satuasmuuttujalle pätee Pr( > x) = P( x) = F(x) = exp( x) jossa F(x) o ekspoettjakauma kertymäfukto. Ste Pr( > x) = 0.5 exp( x) = 0.5 x = log()/ = 4log().773 Satuasmuuttuja medaa o ste..773 kuukautta. Kohdassa (b) matusta aputuloksesta seuraa, että Pr( > 6) = exp( 6) = exp( 3/) 0.3 (d) ja (e) Koska espoettjakaumalla o s. uohtamsomasuus, kohdssa (d) ja (e) saadaa sama vastaus: Pr( Tom vähtää velä kuukaude O tomut jo a kuukautta ) = Pr( > a + > a) = Pr( > a + )/Pr( > a) = exp( (a + ))/exp( a) = exp( ) = Pr( > ) = Pr( Tom vähtää velä kuukaude ) Ste kohdassa (b) matusta aputuloksesta seuraa, että Pr( > ) = exp( ) = exp( /4) (f) Olkoo = kompoet elkä kuukausa Oletuste mukaa Exp() jossa = /4. Olkoo Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 50/58
51 Z = rkkoutumste lukumäärä 6:ssa kuukaudessa Tällö Z Posso(s) ja odotettavssa oleva rkkoutumste lukumäärä 6:ssa kuukaudessa o E(Z) = s = (/4)6 =.5 kpl Esmerkessä tutustutaa ormaaljakaumaa ja harjotellaa ormaaljakauma taulukode käyttöä. Esmerkk 5.3. Olkoo satuasmuuttuja Z N(0,). (a) Määrää satuasmuuttuja Z medaa el pste z ste, että Pr(Z z) = 0.5. (b) Määrää Pr(Z >.85). (c) Määrää Pr(Z.85). (d) Määrää z ste, että Pr(Z z) = 0.. (e) Määrää z ste, että Pr(Z z) = 0.8. (f) Määrää Pr(Z ). (g) Määrää z ste, että Pr(Z z) = 0.. Olkoo satuasmuuttuja N( 3,9). (h) Määrää Pr( ). () Määrää x ste, että Pr( x) = Esmerkk 5.3. Mtä opmme? Esmerkssä 5.3. tarkastellaa ormaaljakaumaa ja todeäkösyykse määräämstä ormaaljakaumasta. Esmerkk 5.3. Ratkasu: (a) Koska satuasmuuttuja Z jakauma o symmetre jakauma paopstee 0 suhtee, Pr(Z 0) = 0.5 = Pr(Z 0) Tämä äkyy myös stadardodu ormaaljakauma taulukossa. (b) Komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavasta ja taulukosta ähdää, että Pr(Z >.85) = Pr(Z.85) = = 0.03 (c) Taulukosta: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
52 Pr(Z.85) = 0.03 Tulos saadaa myös (b)-kohdasta, koska stadardotu ormaaljakauma N(0,) o symmetre paopsteesä 0 suhtee: Pr(Z.85) = Pr(Z.85) = Pr(Z >.85) = 0.03 (d) (e) Taulukosta: Pr(Z z) = 0. z 0.84 Todetaa es, että komplemetttapahtuma todeäkösyyde kaavasta seuraa, että Pr(Z z) = 0.8 Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.8 = 0. Ste (d)-kohda mukaa Pr(Z z) = 0. z 0.84 (f) Todetaa es, että stadardodu ormaaljakauma N(0,) symmetra taka Pr(Z ) = Pr( Z +) = Pr(Z +) Pr(Z ) = Pr(Z +) ( Pr(Z +)) = Pr(Z +) Taulukosta: Pr(Z +) = Ste Pr(Z ) = Pr(Z +) = = (g) Todetaa es, että stadardodu ormaaljakauma N(0,) symmetra taka Pr(Z z) = Pr(Z z) Ste Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0. Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 Taulukosta: z.64 Olkoo satuasmuuttuja N( 3,9), jollo E() = = 3 D () = Var() = = 9 D() = = 3 Tällö stadardotu satuasmuuttuja Mlla Kbble ja Ilkka Mell (03) 5/58
Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan kertausta
Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
Lisätiedot1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
Lisätiedot1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotKokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotTodennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?
TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
LisätiedotSatunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat
Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
Lisätiedot4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on
Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
Lisätiedot9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli
Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja
LisätiedotTILASTOMATEMATIIKKA I
TILASTOMATEMATIIKKA I Srkku Parvae 1. JOHDANTO MIHIN TILASTOTIEDETTÄ TARVITAAN? suure havatomäärä (data) keräämsee, tetoje tvstämsee ja kuvaluu (deskrptvset meetelmät, data-aalyys) johtopäätöste tekemsee
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
LisätiedotIlkka Mellin (2006) 1/1
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotD ( ) E( ) E( ) 2.917
Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotD ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]
Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotAB TEKNILLINEN KORKEAKOULU
B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
Lisätiedot5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma
Lisätiedot4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut
4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen
LisätiedotLisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia
Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
LisätiedotBaltian Tie 2001 ratkaisuja
Balta Te 001 ratkasuja 1. Olkoot tehtävät T, = 1,,..., 8. Eräs mahdollsuus jakaa tehtävät kahdeksalle opskeljalle O j, j =1,,..., 8 o ohesessa taulukossa T 1 T T T 4 T T 6 T 7 T 8 O 1 O O O 4 O O 6 O 7
LisätiedotKynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto
Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat
Lisätiedot5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa
Lisätiedot10.5 Jaksolliset suoritukset
4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia
Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia
LisätiedotMat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:
Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
Lisätiedot8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut
Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse
LisätiedotHarjoituksen pituus: 90min 3.10 klo 10 12
Pallollse puolustae: Sokea ja ta käspallo/ Lppupallo Tavote: aalteo estäe sjottue puolustavalle puolelle, potku ta heto estäe, syöttäse estäe rstäe taklaus, pae tla vottase estäe sjottue puolustavalle
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2
Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Diskreetit jakaumat Jatkuvat jakaumat. Avainsanat:
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Diskeetit jakaumat Jatkuvat jakaumat Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Ketymäfuktio, Mediaai, Negatiivie biomijakauma,
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotBernoullijakauma. Binomijakauma
Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 5. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avainsanat: Jatkuvia jakaumia
Mat-.60 Sovellettu todeäköisyyslasketa B / Ratkaisut Aiheet: Jatkuvia jakaumia Avaisaat: Biomijakauma, Ekspoettijakauma, Jatkuva tasaie jakauma, Kertymäfuktio, Keskeie raja-arvolause, Mediaai, Normaaliapproksimaatio,
Lisätiedot3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut
Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa
LisätiedotOsa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi
Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 21. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 21. syyskuuta 2007 1 / 19 1 Satunnaismuuttujien riippumattomuus 2 Jakauman tunnusluvut Odotusarvo Odotusarvon ominaisuuksia
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A Mat-2.090 Sovellettu todeäköisyyslasku A / Pistetehtävät 2, 4, 6, 8, 0 Aiheet: Avaisaat: Momettiemäfuktio Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Kovergessikäsitteet
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
LisätiedotVerkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa
Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotOsa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet
Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket 8. hrjotukset Mt-1.60 Sovellettu todeäkösyyslsket B 8. hrjotukset / Rtksut Aheet: Otos j otosjkumt Avst: Artmeette keskrvo, Beroull-jkum, Beroull-koe, χ -jkum, Frekvess,
LisätiedotMAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen
MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan
LisätiedotMat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat
Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien
Lisätiedot