Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.
|
|
- Santeri Hakola
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser -uvo, Estmot, F-jaauma, F-test, F-testsuure, Idaattormuuttuja, Jääöselösumma, Kategore muuttuja, Kesarvodagramm, Kh -test, Kooasvahtelu, Kvaltatve muuttuja, Kvattatve muuttuja, Leaare regressomall, Mall parametrot, Mertsevstaso, p-arvo, Pemmä elösumma meetelmä, Rajotus, Rhme ssäe vahtelu, Rhme väle vahtelu, Rhmä, Rhmäesarvo, Sde-ehto, Test, Testsuure, Vapausaste, Varass, Varassaals, Varassaalshajotelma, Ylesesarvo Tehtävä 6.. Tehtaalla o testattu alumtaoje vetolujuutta. Neljämmetä alumtaoa jaett satuasest eljää htä suuree rhmää ja er rhm valtulle tagolle aett erlae lämpöästtel. Taoje vetolujuudet mtatt ästtel jälee. Tulosea saat seuraava havatoaesto (mttasö: 000 paua/tuuma ): Lämpöästtel K K K3 K Testaa oo lämpöästtelllä vautusta taoje esmääräsee vetolujuutee. Tehtävä 6.. Mtä opmme? Tehtävässä tarastellaa ssuutasta varassaalsa. Yssuutae varassaals Oletetaa, että tarastelu ohteea oleva perusjouo vodaa jaaa rhmää. Oletetaa, että joasesta rhmästä o pomttu tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset, jode oot ovat Oloo,,, j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Ila Mell (005) /4
2 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Oletetaa, että joasella havaolla j o rhmässä sama odotusarvo: E( j ) = µ, j =,,,, =,,, ja että alla havaolla j o (rhmäjaosta rppumatta) sama varass: D ( j ) = σ, j =,,,, =,,, Oletetaa lsäs, että a havaot j ovat ormaaljaautueta: j N(µ, σ ), j =,,,, =,,, Haluamme testata ollahpoteesa, että rhmäohtaset odotusarvot E( j ) = µ ovat htä suura: H 0 : µ = µ = = µ = µ Määrtellää havatoarvoje j rhmäesarvot aavolla =, =,,, j = j seä ae havatoarvoje j les- el ooasesarvo aavalla jossa = = N j = j= N = N = + + " + o havatoje ooasluumäärä. O odotettavssa, että rhmäesarvot x evät poea paljo tosstaa, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Oloo SST = ( ) = j= j havatoarvoje j ooasvahtelua uvaava ooaselösumma, ( ) ( ) = j= = SSG = = rhme välstä (sstemaattsta) vahtelua uvaava elösumma ja SSE = ( ) = j= rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma. Kae havatoarvoje j varass j s saadaa ooaselösummasta aavalla s SST N N N = = = = ( j ), = + + " + j Ila Mell (005) /4
3 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje j rhmäohtaset otosvarasst s saadaa aavolla s = ( ), =,,, j j = Ste rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSE vodaa rjottaa mös muotoo SSE = ( ) s = Yssuutasta varassaalsmalla vastaava varassaalshajotelma o SST = SSG + SSE O odotettavssa, että rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG osuus ooaselösummasta SST o pe verrattua rhme ssästä vahtelua uvaavaa elösummaa SSE, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Ste ollahpotees H 0 o stä asettaa epälsealases, jos rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG o suur verrattua rhme ssästä vahtelua uvaavaa elösummaa SSE. Määrtellää F-testsuure F N SSG N = = SSE = = j= ( ) ( ) j Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F- jaaumaa vapausaste ( ) ja (N ): F F(, N ) H 0 Testsuuree F ormaalarvo o suurssa otosssa, osa N E( F) = H 0 N Ste suuret testsuuree F arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä hlätä. Huomaa, että MSE = SSE = ( j ) N N = = j o havatoje varass σ harhato estmaattor rppumatta stä päteeö ollahpotees H 0 va e: E(MSE) = σ Ila Mell (005) 3/4
4 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Se sjaa estmaattor MSG = SSG = ( ) = o harhato varasslle σ va, jos ollahpotees H 0 pätee: E( MSG) = Η 0 σ Yssuutase varassaals F-testsuure vertaa jääösvarass σ estmaattoreta MSG ja MSE tossa. O odotettavssa, että estmaattorede MSG ja MSE arvot evät poea ov paljoa tosstaa, jos ollahpotees H 0 pätee. Tällö F-testsuure saa luuarvoa s lähellä oleva arvoja. Varassaals o saaut mesä tästä varasse vertaluu tarotetusta F-teststä: Vaa testause ohteea o rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruus, test perustuu er tavolla määrättje varass σ estmaattorede vertaluu. Varassaals tuloset o tapaa esttää s. varassaalstauluo muodossa: Vahtelu lähde Nelösumma SS Vapausasteet df Varassestmaattor MS F-testsuure Rhme väle vahtelu Rhme ssäe vahtelu SSG SSE N MSG = SSG MSE = SSE N F MSG = MSE N SSG = SSE Kooasvahtelu SST N Huomaa, että tauluo elösummat toteuttavat htälö SST = SSG + SSE ja tauluo vapausasteet toteuttavat htälö (N ) = ( ) + (N ) Ila Mell (005) 4/4
5 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutase varassaals tlastolle mall ja se parametrot Yllä oleva ests ssuutasesta varassaalssta perustuu mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, j j joa jääös- el vrhetermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta satuasmuuttuja: ε σ = = j N(0, ), j,,,,,,, Yssuutase varassaals mall estetää use mös muodossa () = α + τ + ε, j =,,,, =,,, jossa o oletettu, että (3) ja = j j j τ = 0 ε σ = = N(0, ), j,,,,,,, Kaava () ja aavoje () ja (3) määrttelemät mallt ovat täs evvaletteja, mallt o va parametrotu er tavolla. Tämä ähdää seuraavalla tavalla: Määrtellää ja mertää α = µ jollo µ = µ, N = + + " + N = τ = µ µ, =,,, µ = α µ = α + τ, =,,, Mall () ollahpoteesa H 0 : µ = µ = = µ = µ vastaa aavoje () ja (3) määrttelemässä mallssa ollahpotees H 0 : τ = τ = = τ = 0 Mall () ttää huomo suoraa rhmäohtas odotusarvoh µ, =,,,, u taas aavoje () ja (3) määrttelemässä mallssa rhmäohtaset odotusarvot µ estetää lesodotusarvo α ja rhmttelevä tejä tasoo lttvä vautuse (efet) τ, =,,, summaa. Ila Mell (005) 5/4
6 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutase varassaals mall ja lee leaare mall Yssuutase varassaals mall o erostapaus lesestä leaarsesta mallsta. Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmädaattort I j, jos havato j uuluu rhmää = 0, jos havato j e uulu rhmää j =,,,, =,,, Tällö ssuutase varassaals mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, vodaa esttää muodossa j j (4) = µ I + µ I + " + µ I + ε, j =,,,, =,,, j j j j j Mall (4) o leaare regressomall, jossa seltettävää muuttujaa o ja selttävä muuttuja o rhmädaattora I, =,,,. Mall regressoertoma ovat rhmäohtaset odotusarvot µ, µ,, µ. Mall (4) o lese leaarse mall erostapaus, jossa seltettävä muuttuja o vattatve, mutta selttäjät I, =,,, ovat valtatvsa (ategorsa) muuttuja. Huomaa, että regressomallssa (4) e saa olla vaotermä, osa se lsääme mall los selttäve muuttuja arvoje vällle esat leaarse rppuvuude: I j+ I j + " + I j =, j =,,, sllä alle j täsmällee s rhmädaattoresta I, =,,, saa arvo = ja a muut saavat arvo = 0. Jos mall (4) regressoertomet µ, µ,, µ estmodaa pemmä elösumma meetelmällä, saadaa PNS-estmaattores ˆ µ ˆ ˆ, µ,, µ havatoarvoje j rhmäesarvot: ˆ µ = =, =,,, j j = Estmodu mall sovtteet saadaa aavolla ja resduaalt aavolla ˆ =, j =,,,, =,,, j e =, j =,,,, =,,, j j Jääöselösummas saadaa rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE = ( ) = j= j Ila Mell (005) 6/4
7 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ otetaa huomoo, mall () saa muodo (5) = µ + ε, j =,,,, =,,, j j Mall (5) o leaare regressomall, jossa seltettävää muuttujaa o ja aoaa selttävää muuttujaa o vaoterm. Mall regressoertomea o ollahpotees muasest rhme htee odotusarvo µ. Jos mall (5) regressoerro µ estmodaa pemmä elösumma meetelmällä, saadaa PNS-estmaattors ˆµ havatoarvoje j les- el ooasesarvo = =, N = + + N " + j = j= N = Estmodu mall sovtteet saadaa aavolla ja resduaalt aavolla ˆ =, j =,,,, =,,, j e =, j =,,,, =,,, j j Jääöselösummas saadaa havatoarvoje j ooasvahtelua uvaava ooaselösumma Nollahpotees SST = ( ) = j= H 0 : µ = µ = = µ = µ j mertsee ( ) rajotuse ta sde-ehdo esttämstä regressomall (4) ertomlle: (6) µ = µ µ = µ 3 $ µ = µ Ylese leaarse mall teora muaa sde-ehtoje (6) testaame vodaa perustaa F- testsuureesee N SST SSE F = SSE Jos sde-ehdot (6) pätevät, F F(, N ) H 0 Suuret testsuuree F arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä hlätä. Ila Mell (005) 7/4
8 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kosa ssuutasta varassaalsmalla vastaava varassaalshajotelma muaa SST = SSG + SSE äemme, että llä mattu sde-ehtoje (6) testaamsee tarotettu testsuure o sama u edellä ollahpotees H 0 testaamsee tarotettu testsuure: N SST SSE N SSG F = = SSE SSE Yssuutase varassaals mall matrsests Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Edellä todett, että ssuutase varassaals mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, vodaa esttää muodossa j j (4) = µ I + µ I + " + µ I + ε, j =,,,, =,,, jossa I j j j j j j, jos havato j uuluu rhmää = 0, jos havato j e uulu rhmää j =,,,, =,,, Yhtälöt (4) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: ε 00" 0 $ $ $ $ $ $ 00" 0 ε 00" 0 ε $ $ $ $ $ µ $ µ 00" 0 = µ ε 3 + $ $ $ $ " $ $ $ µ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ " $ $ 000" ε $ $ $ $ $ $ 000" ε Ila Mell (005) 8/4
9 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Estetää tämä matrshtälö muodossa = Xβ+ ε jossa o havatoarvoje j muodostama N-vetor, N = + + " +, X o olle ja öste muodostama täsastee N -matrs, β o regressoertome (= rhmäodotusarvoje) muodostama -vetor ja ε o jääösterme ε j muodostama N-vetor. Huomaa, että matrs X joasella rvllä o täsmällee s öe ja muut o. rv alot ovat olla. Regressoertome vetor β PNS-estmaattor o b= ( XX ) X Matrs X erose raetee taa ähdää helpost, että matrs X X o dagoaalmatrs: Lsäs 0 0 " " 0 = dag(,,, ) = " 0 XX Σ Σ X = Σ $ Σ j j j3 Kosa X X o dagoaalmatrs, j $ $ $ % $ " 0 0 " " 0 = = 0 0 " 0 3 $ $ $ % $ " ( XX) dag(/,/,,/ ) Ila Mell (005) 9/4
10 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Ste regressoertome vetor β PNS-estmaattors b saadaa rhmäesarvoje =, =,,, j = muodostama vetor: j Σ j Σ j b= ( XX ) X = = 3 Σ j3 3 $ $ Σ j Edellä todett, että jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ otetaa huomoo, mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, saa muodo j j (5) = µ + ε, j =,,,, =,,, j j Yhtälöt (5) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: ε $ $ $ ε ε $ $ $ ε = µ + $ $ $ $ $ $ $ $ $ ε $ $ $ ε Ila Mell (005) 0/4
11 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Krjotetaa tämä matrshtälö lhest muotoo = µ + δ jossa o havatoarvoje j muodostama N-vetor, N = + + " +, o öste muodostama N-vetor, µ o regressoerro ja δ o jääösterme δ j muodostama N- vetor. Regressoertome µ PNS-estmaattor o m = ( ) Helpost ähdää, että ja Ste = N =ΣΣ j ( ) = N ja regressoertome µ PNS-estmaattors m saadaa havatoarvoje lesesarvo : m= ( ) = ΣΣj = N Yssuutase varassaals lasutomtuste suorttame Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmä =,,, havatoarvoje j summa aavalla T =, =,,, j = j ja ae havatoarvoje j ooassumma aavalla Oloo lsäs T = = j = j= = T N = + + " + havatoje ooasluumäärä. Ila Mell (005) /4
12 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Ste havatoarvoje rhmäesarvot saadaa aavolla = T, =,,, ja havatoarvoje lesesarvo saadaa aavalla = T N Edellee ooaselösumma SST vodaa rjottaa muotoo SST = = T N ( j ) j = j= = j= ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG vodaa rjottaa muotoo SSG = = = T T N ( ) ( ) = j= = = Varassaalshajotelmasta seuraa, että rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE saadaa aavalla SSE = SST SSG F-testsuure ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ testaamses o muotoa N SSG F = SSE Bartlett testssä (s. alla) tarvttavat rhmäohtaset varasst saadaa aavolla s = ( j ) = j T, =,, j= j=, Ste ssuutase varassaals perustehtäve suorttamses rttää lasea seuraavat summat ja elösummat: T =, =,,, j = j T = = j= x j j = j, =,,, = j= j Ila Mell (005) /4
13 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Lasutomtuset vodaa järjestää esmers seuraava tauluo muotoo: Rhmä Rhmä " Rhmä " N = = " $ $ $ " j j " j= j= j= j T = T = T = T = T T " T j j j j " = = j= j = j= j T = Bartlett test Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Yssuutase varassaals F-test ojaa oletusee, joa muaa alla havaolla j o (rhmästä rppumatta) sama varass: Oloo D ( j ) = σ, j =,,,, =,,, D( ) = σ, =,,, j havatoje varass rhmässä ja asetetaa ollahpotees H : σ = σ = " = σ = σ 0 Havatoarvoje j rhmäohtaset otosvarasst s määrtelt edellä aavolla jossa s = ( ), =,,, j j = =, =,,, j = j o rhmä havatoarvoje artmeette esarvo. Ila Mell (005) 3/4
14 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Rhmäohtassta otosvarassesta s hdstett varass s = s = SSE = MSE N N P ( ) = jossa N = + + " +. Määrtellää s. Bartlett testsuure jossa ja Q B = h ( )log( P) ( )log( ) = Q = N s s h = + 3( ) = N 0 χ ( ) s P saadaa aavalla Jos ollahpotees H : σ = σ = " = σ = σ pätee, Bartlett testsuure B oudattaa suurssa otosssa approsmatvsest χ -jaaumaa vapausaste ( ): B a Testsuuree B ormaalarvo o suurssa otosssa approsmatvsest ( ), osa jossa χ = E( ) χ χ ( ) Ste suuret testsuuree χ arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä hlätä. Ila Mell (005) 4/4
15 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.. Ratasu: Tehtävä tapausessa havaot ja tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Lämpöästtel K K K3 K4 Summa T = Σ j T Σ j Rhme luumäärä: = 4 Havatoje luumäärät rhmssä: Rhmä : = 0 Rhmä : = 0 Rhmä 3: 3 = 0 Rhmä 4: 4 = 0 Havatoje ooasluumäärä: N = = 40 Havatoarvoje rhmäsummat: Rhmä : T = = 03.4 j = j Rhmä : T = = 83.4 j = 3 j Rhmä 3: T 3 = = 5.7 j = 4 j3 Rhmä 4: T 4 = = 73.5 j = j 4 Ila Mell (005) 5/4
16 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje ooassumma: T = T = 776 = Havatoarvoje rhmäesarvot: 03.4 Rhmä : = T 0.34 = 0 = 83.4 Rhmä : = T 8.34 = 0 = 5.7 Rhmä 3: = 3 T 3.57 = 0 = Rhmä 4: = 4 T = 0 = Havatoarvoje lesesarvo: 776 = T = = 9.4 N 40 Havatoarvoje rhmäelösummat: 4 Rhmä : Rhmä : Rhmä 3: j = j = 3 j = j j j3 = 445. = = Rhmä 4: 4 j = j 4 = 308. Havatoarvoje ooaselösumma: = j= j = 594. Havatoarvoje ooasvahtelua uvaava elösumma: SST = j T = = 39.7 N 40 = j= Ila Mell (005) 6/4
17 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: SSG = T T N = = = Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: SSE = SST SSG = = Testsuure ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ saa arvo N SSG F = = = SSE Testsuure F oudattaa ollahpotees H 0 pätessä Fsher F-jaaumaa vapausaste = 4 = 3 ja N = 40 4 = 36 el F F(3, 36) F-jaauma tauluode muaa Pr(F 4.50) = 0.0 jossa F F(3, 30) ja Pr(F 4.33) = 0.0 jossa F F(3, 40) Ste F-testsuuree arvoa vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo p = Pr(F ) < 0.0 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa vastaava p-arvo o p = Pr(F ) = Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 alla tavaomaslla mertsevstasolla. Johtopäätös: Lämpöästtelllä o vomaas vautus taoje esmääräsee vetolujuutee. Ila Mell (005) 7/4
18 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Statstx-ohjelma tuottaa tehtävä 6.. aestosta seuraava tulostuse: STATISTIX FOR WINDOWS ONE-WAY AOV FOR: K K K3 K4 SOURCE DF SS MS F P BETWEEN WITHIN TOTAL CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF EQUAL VARIANCES COCHRAN'S Q 0.67 LARGEST VAR / SMALLEST VAR.08 COMPONENT OF VARIANCE FOR BETWEEN GROUPS EFFECTIVE CELL SIZE 0.0 SAMPLE GROUP VARIABLE MEAN SIZE STD DEV K K K K TOTAL CASES INCLUDED 40 MISSING CASES 0 Huomaa, että Bartlett test muaa rhmävarasseja osevat edelltset ssuutase varassaals F-testlle toteutuvat: Rhmävarasst vodaa olettaa htä suurs. Ila Mell (005) 8/4
19 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutasessa varassaalsssa vertalu ohteea oleva rhmäesarvoja aattaa havaollstaa esarvodagrammlla (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): Error Bar Chart wth SE K K K3 K4 40 cases Rhmäesarvoja vastaavat psteet o mertt uvoo mpröllä ja vereäset psteet o hdstett tossa jaolla. Lsäs joasee psteesee vodaa prtää (o. pste espsteeä) pstsuora jaa, joa ptuus vastaa o. rhmä havatoje eshajotaa. Ila Mell (005) 9/4
20 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutase varassaalsssa vertalu ohteea oleve rhme havatoje jaautumsta aattaa havaollstaa mös Box ad Whser -uvolla (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 3 Box ad Whser Plot K K K3 K4 40 cases Box ad Whser -uvossa laato alareua määrää alavartl Q ja laato läreua määrää lävartl Q 3. Ste esmmäset 50 % havatoarvosta ovat laato ssällä. Havatoarvoje medaa Me = Q mertää laatoo povvalla. Jos aestossa o poeava havatoarvoja, e mertää uvoo tähdllä ta mpröllä. Kuvo tultaa seuraavalla tavalla: Laato ssää jäävät havatoarvot ovat ae tavallsmpa. Vse alueelle jäävät havatoarvot ovat tavallsa. Tähdllä ja mpröllä mertt havaot ovat poeusellsa. Ila Mell (005) 0/4
21 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.. Kemst tut atalt määrä vautusta luose erää ompoet osetraatoo. Koeessa atalt määrälle valtt 4 er tasoa. Tavotteea ol valmstaa 5 luosätettä ulla atalt tasolla, mutta osa ättestä pääs tuhoutumaa. Yhteeveto oetulossta (o. ompoet osetraatoprosette artmeettset esarvot ja otoseshajoat ättessä) o aettu alla olevassa tauluossa. Katalt määrä taso Nättede luumäärä Kosetraatode esarvo (%) Kosetraatode eshajota (%) Testaa %: mertsevstasoa ättäe ollahpoteesa, joa muaa atalt määrällä e ole vautusta o. ompoet osetraatoo luosessa. Huomautus: Rhmäohtaset eshajoat o lasettu aavalla, joa teee vastaavasta varasssta harhattoma. Tehtävä 6.. Mtä opmme? Tehtävässä havaollstetaa stä, että a tarvttava formaato ssuutase varassaals suorttamses ssält rhmäohtas otosooh seä havatoarvoje rhmäohtas artmeetts esarvoh ja varasseh (ta hajotoh). Kaavat: s. mös tehtävää 6.. Tehtävä o selväst ssuutase varassaals tehtävä, jossa testataa rhmäohtasa odotusarvoja µ, µ,, µ osevaa ollahpoteesa H 0 : µ = µ = = µ = µ Testsuure ollahpoteeslle H 0 o N SSG F = SSE jossa o rhme luumäärä, N = + + " + o havatoje ooasluumäärä,,,, ovat rhmäohtaset otosoot, Ila Mell (005) /4
22 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset ( ) ( ) = j= = SSG = = o rhme välstä (sstemaattsta) vahtelua uvaava elösumma ja ( j ) ( ) = j= = SSE = = s o rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma. Nelösumma SSG aavassa =, =,,, j = j o havatoarvoje artmeette esarvo rhmässä ja N = = o havatoarvoje ooasesarvo. Nelösumma SSE aavassa s = ( ), =,,, j j= o havatoarvoje varass rhmässä. Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F- jaaumaa vapausaste ( ) ja (N ): F F (, N ) H 0 Tehtävä 6.. Ratasu: Tehtävä tapausessa rhme luumäärä o = 4 ja havatoje ooasluumäärä o Rhmäesarvot: N = = = 6 = = 68.9 = 66.8 = 63.7 Ila Mell (005) /4
23 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kooasesarvo: = N = = ( ) 6 = Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: Rhmävarasst: SSG = ( ) s = = 5 ( ) + 4 ( ) = =.06 s s s =.8 =.67 3 = ( ) + 4 ( ) Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: F-testsuuree arvo: Jos ollahpotees SSE = ( ) s = = (5 ).06 + (4 ).8 = (3 ).67 + (4 ). N SSG F = = = 9.38 SSE H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F-jaaumaa vapausaste ja el = 4 = 3 N = 6 4 = F F(3,) H 0 Ila Mell (005) 3/4
24 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset F-jaauma tauluode muaa Pr(F 5.953) = 0.0 jossa F F(3, ) Kosa F = 9.38 > vomme hlätä ollahpotees H 0 %: mertsevstasolla. F-testsuuree arvoa vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo p = Pr(F 9.38) < 0.0 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa 9.38 vastaava p-arvo o p = Pr(F 9.38) = Johtopäätös: Katalt määrä vauttaa o. ompoet osetraatoo luosessa. Ila Mell (005) 4/4
25 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.3. Joee, joa johtaa täreälle alastusalueelle, o joutuut erästä mpärstömrä. Te- ja vesraeussöört haluavat selvttää, mte saastuut ves levää alastusalueelle mttaamalla mrptosuudet olmesta er paasta alueelta pdstetstä osteresta. Tulosea saat seuraava havatoaesto (mttasö: osa per mljooa): (a) (b) Pdstspaa P P P Tut ssuutasta varassaalsa ättäe ovato er pdstspaosta saatuje osterede esmääräset mrptosuudet samat. Estä (a)-ohda varassaalsmalla vastaava regressomall, jossa selttävä muuttuja ätetää sopvast määrteltjä rhmädaattoreta. Tehtävä 6.3. Mtä opmme? Tehtävässä sovelletaa ssuutasta varassaalsa. Tarastelu ohteea o ertsest ssuutase varassaals mall htes lesee leaarsee mall ja mall matrsests. Kaavat: s. tehtävää 6.. Ila Mell (005) 5/4
26 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.3. Ratasu: (a) Tehtävä tapausessa havaot ja tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Pdstspaa P P P3 Summa T = Σ j T Σ j Rhme luumäärä: = Havatoje luumäärät rhmssä: Rhmä : = 8 Rhmä : = 9 Rhmä 3: 3 = 7 Havatoje ooasluumäärä: N = = 4 Havatoarvoje rhmäsummat: Rhmä : T = = 85 j = j Rhmä : T = = 47 j = 3 j Rhmä 3: T 3 = = 54 j = j3 Havatoarvoje ooassumma: T = T = 486 = Ila Mell (005) 6/4
27 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje rhmäesarvot: 85 Rhmä : = T 3.5 = 8 = 47 Rhmä : = T = 9 = 54 Rhmä 3: = 3 T 3 = 7 = Havatoarvoje lesesarvo: 486 = T = = 0.5 N 4 Havatoarvoje rhmäelösummat: 3 Rhmä : Rhmä : j = j = j j = 4443 = 60 Rhmä 3: 3 j = j3 = 350 Havatoarvoje ooaselösumma: = j= j = 0546 Havatoarvoje ooasvahtelua uvaava elösumma: SST = j T = = N 4 = j= Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: SSG = T T = = 5.65 N = Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: SSE = SST SSG = = Testsuure ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = µ 3 = µ saa arvo N SSG F = = = SSE Ila Mell (005) 7/4
28 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Testsuure F oudattaa ollahpotees H 0 pätessä Fsher F-jaaumaa vapausaste ja el = 3 = N = 4 3 = F F(, ) F-jaauma tauluode muaa ja jossa Pr(F 3.467) = 0.05 Pr(F 5.780) = 0.0 F F(, ) Ste F-testsuuree arvoa vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo 0.0 < p = Pr(F ) < 0.05 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa vastaava p-arvo o p = Pr(F ) = Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 mertsevstasolla 0.05, mutta emme mertsevstasolla 0.0. Johtopäätös: Er pdstspaosta pdstetde osterede esmääräset mrptosuudet eroavat mele mertseväst tosstaa. Ila Mell (005) 8/4
29 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Statstx-ohjelma tuottaa tehtävä 6.3. aestosta seuraava tulostuse: STATISTIX FOR WINDOWS ONE-WAY AOV FOR: P P P3 SOURCE DF SS MS F P BETWEEN WITHIN TOTAL CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF EQUAL VARIANCES COCHRAN'S Q LARGEST VAR / SMALLEST VAR.358 COMPONENT OF VARIANCE FOR BETWEEN GROUPS.300 EFFECTIVE CELL SIZE 8.0 SAMPLE GROUP VARIABLE MEAN SIZE STD DEV P P P TOTAL CASES INCLUDED 4 MISSING CASES 3 Huomaa, että Bartlett test muaa rhmävarasseja osevat edelltset ssuutase varassaals F-testlle toteutuvat: Rhmävarasst vodaa olettaa htä suurs. Ila Mell (005) 9/4
30 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kesarvodagramm (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 6 Error Bar Chart wth SE 8 4 P P P3 4 cases 3 mssg cases Box ad Whser -uvo (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 30 Box ad Whser Plot P P P3 4 cases 3 mssg cases Ila Mell (005) 30/4
31 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset (b) Tehtävä tapausessa mall (4) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: β = β β Tämä matrshtälö vodaa rjottaa lhest muodossa = Xβ+ ε ε jossa ja ε ovat 4-vetoreta, X o täsastee 4 3-matrs ja β o 3-vetor. Regressoertome vetor β PNS-estmaattor o b= ( XX ) X Tässä = dag(,, 3) = dag(8,9,7) = XX ja Σ j 85 X = Σ j = Σ j3 Ila Mell (005) 3/4
32 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kosa X X o dagoaalmatrs, Ste = = ( XX ) dag(/,/,,/ ) 0 0 Σ 85 j ( ) j b= XX X = = Σ = = 54 Σ j3 7 3 ute edellä. Tehtävä tapausessa mall (5) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: = γ + δ Ila Mell (005) 3/4
33 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tämä matrshtälö vodaa rjottaa lhest muodossa = Zγ + δ jossa, Z ja δ ovat 4-vetoreta ja γ = µ o salaar. Regressoertome γ PNS-estmaattor o c = ( ZZ) Z Helpost ähdää, että ja Ste ja ZZ = 4 Z =ΣΣ j = ( ZZ ) = c = ( ZZ ) Z = = ΣΣ j = = 0.5 N 4 ute edellä. Ila Mell (005) 33/4
34 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.4. Tehtaa emst tut polmeera, jota haluttas ättää eräde mpärstömrje suodattamsee tehtaa jätevedestä. Koeessa ätetää vttä er lämpötlaa ja joasessa lämpötlassa tuttaa uus vesätettä. Vesättestä mtataa polmeer avulla suodatettuje epäpuhtause osuus. Tulosea saadaa seuraava havatoaesto (mttasö: %): Lämpötla L L L3 L4 L (a) (b) Tut ssuutasta varassaalsa ättäe oo lämpötlalla vautusta polmeer esmääräsee suodatus. Tee Bartlett test rhmäohtaslle varasselle. Tehtävä 6.4. Mtä opmme? Tehtävässä sovelletaa ssuutasta varassaalsa. Tarastelu ohteea o ertsest Bartlett test rhmäohtaste varasse htäsuuruudelle. Kaavat: s. tehtävää 6.. Tehtävä 6.4. Ratasu: (a) Tehtävä tapausessa havaot ja tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Lämpötla L L L3 L4 L5 Summa T = Σ j T Σ j Rhme luumäärä: = 5 Ila Mell (005) 34/4
35 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoje luumäärät rhmssä: Rhmä : = 6 Rhmä : = 6 Rhmä 3: 3 = 6 Rhmä 4: 4 = 6 Rhmä 5: 5 = 6 Havatoje ooasluumäärä: N = = 30 Havatoarvoje rhmäohtaset summat: Rhmä : T = = 66 j = j Rhmä : T = = 3 j = 3 j Rhmä 3: T 3 = = 308 j = 4 j3 Rhmä 4: T 4 = = 300 j = 5 j 4 Rhmä 5: T 5 = = 360 j = j5 Havatoarvoje ooassumma: T = T = 466 = Havatoarvoje rhmäesarvot: 66 Rhmä : = T = = Rhmä : = T = = Rhmä 3: 3 = T 3 = = Rhmä 4: 4 = T 4 = = Rhmä 5: 5 = T 5 = = Ila Mell (005) 35/4
36 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje lesesarvo: 466 = T = = N 30 Havatoarvoje rhmäelösummat: Rhmä : Rhmä : Rhmä 3: Rhmä 4: j = j = 3 j = 4 j = j j j3 j 4 = 994 = 8994 = 584 = 506 Rhmä 5: 5 j = j5 = 640 Havatoarvoje ooaselösumma: = j= j = Havatoarvoje ooasvahtelua uvaava elösumma: SST = j T = = N 30 = j= Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: SSG = T T N = = = Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: SSE = SST SSG = = 94 Testsuure ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 = µ saa arvo N SSG F = = = SSE 5 94 Ila Mell (005) 36/4
37 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Testsuure F oudattaa ollahpotees H 0 pätessä Fsher F-jaaumaa vapausaste = 5 = 4 ja N = 30 5 = 5 el F F(4, 5) F-jaauma tauluode muaa Pr(F 4.77) = 0.0 jossa F F(4, 5) Ste F-testsuuree arvoa vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo p = Pr(F 3.647) < 0.0 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa vastaava p-arvo o p = Pr(F 3.467) = Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 alla tavaomaslla mertsevstasolla. Johtopäätös: Lämpötlalla o vomaas vautus polmeer esmääräsee suodatus. Ila Mell (005) 37/4
38 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Statstx-ohjelma tuottaa tehtävä 6.4. aestosta seuraava tulostuse: STATISTIX FOR WINDOWS ONE-WAY AOV FOR: L L L3 L4 L5 SOURCE DF SS MS F P BETWEEN WITHIN TOTAL CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF EQUAL VARIANCES COCHRAN'S Q LARGEST VAR / SMALLEST VAR 5.00 COMPONENT OF VARIANCE FOR BETWEEN GROUPS EFFECTIVE CELL SIZE 6.0 SAMPLE GROUP VARIABLE MEAN SIZE STD DEV L L L L L TOTAL CASES INCLUDED 30 MISSING CASES 0 Tulostusesta ähdää, että Bartlett test muaa rhmäohtasa varasseja osevat edelltset ssuutase varassaals F-testlle evät ava tät (s. taremm (b)- ohtaa). Ste rhmäohtasa varasseja e voda olettaa htä suurs ja varassaals F-test tulosee o suhtauduttava jo verra varaus. Bartlett test tulos johtuu suurmmas osas stä, että rhmä L varass o mude rhme varasseh ähde poeusellse suur; s. o. Statstx-tulostusta ja olla oleva uvota. Ila Mell (005) 38/4
39 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kesarvodagramm (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 6 Error Bar Chart wth SE L L L3 L4 L5 30 cases Box ad Whser -uvo (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 63 Box ad Whser Plot L L L3 L4 L5 30 cases Ila Mell (005) 39/4
40 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset (b) Yssuutase varassaals F-test ojaa oletusee, joa muaa alla havaolla j o (rhmästä rppumatta) sama varass: Oloo D ( j ) = σ, j =,,,, =,,, = σ = D( j),,,, havatoje varass rhmässä ja asetetaa ollahpotees H : σ = σ = " = σ = σ 0 Havatoarvoje rhmäohtaset otosvarasst s saadaa aavalla: jossa s = ( j ) j = = j T, =,,, j = T = =, =,,, j j = Tehtävä tapausessa s = j T = = j = 6 6 s = j T = = j = s3 = j3 T3 = = j = s4 = j 4 T4 = = 3. 4 j = s5 = j5 T5 = = 8 5 j = Rhmäohtassta otosvarassesta s hdstett varass P = s P saadaa aavalla s = ( ) s = SSE = MSE = 94 =.76 N N 30 5 Ila Mell (005) 40/4
41 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Lasetaa Bartlett testsuuree arvo määräämstä varte suureet ja ( )log( P) ( )log( ) = Q = N s s = (30 5)log(.76) = (6 )[log(40.667) + log( ) h = + 3( ) = N = + 5 3(5 ) =.08 Bartlett testsuuree arvos saadaa ste Q B = = = h.08 + log(.66667) + log(3.) + log(8)] Testsuure B oudattaa ollahpotees H 0 pätessä suurssa otosssa approsmatvsest χ -jaaumaa vapausaste el = 5 = 4 B a χ (4) χ -jaauma tauluode muaa ja jossa Pr(χ 9.488) = 0.05 Pr(χ 3.77) = 0.0 χ χ (4) Ste testsuuree B arvoa vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta approsmatve arvo 0.0 < p Pr(χ 3.598) < 0.05 Excel-ohjelma muaa testsuuree B arvoa vastaava p-arvo o approsmatvsest p Pr(χ 3.598) = Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 mertsevstasolla 0.05, mutta e eää mertsevstasolla 0.0. Ila Mell (005) 4/4
42 Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtäve 6., 6.3, 6.4 lasutomtuste suorttame Mcrosoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 6.. Tehtävä 6.3. Tehtävä 6.4. Tedosto KsHt6.xls > Ht6.. KsHt6.xls > Ht6.3. KsHt6.xls > Ht6.4. Tehtäve 6., 6.3, 6.4 lasutomtuste suorttame Statstx-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 6.. Tehtävä 6.3. Tehtävä 6.4. Tedosto Sxdata6.sx Sxdata63.sx Sxdata64.sx Ila Mell (005) 4/4
Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto
TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:
Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,
Lisätiedoton tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi. Yksisuuntainen varianssianalyysi. Yksisuuntainen varianssianalyysi. Yksisuuntainen varianssianalyysi: Mitä opimme?
TKK (c Ila Mell (005 Yssuutae varassaals Johdatus tlastoteteesee Yssuutae varassaals Varassaals: Johdato Yssuutae varassaals ja se suorttame Yssuutase varassaals mall ja se parametrot Yssuutase varassaals
Lisätiedot1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI
Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio
Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame
LisätiedotJakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2
TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,
LisätiedotTodennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6
Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:
Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi- a useampisuutaie variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Ila Melli 44 Variassiaalsi Sisälls
Lisätiedot1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT
imat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Tehtävät Aiheet: Avainsanat: Ysisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Koonaisesiarvo,
Lisätiedot2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi
Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 24: Usean vapausasteen vaimenematon ominaisvärähtely osa 2
/ ÄRÄHELYMEKANIIKKA SESSIO : Usea vapausastee vaeeato oasvärähtely osa MONINKERAISE OMINAISAAJUUDE Sesso MS oreeratu oasuodo { lasetaeetelässä oletett, että o ysertae oasulataauus. arastellaa velä tapausta,
LisätiedotYhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen
TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude
Lisätiedot7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä
Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,
LisätiedotKaksisuuntaisen varianssianalyysin tilastollisessa malli voidaan esittää seuraavassa muodossa:
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Aritmeettinen keskiarvo, Estimointi, F-testi,
LisätiedotMat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit
Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,
Lisätiedot1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:
MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Varianssianalyysi
Variassiaalsi Tilastolliset meetelmät: Variassiaalsi 0. Ysisuutaie variassiaalsi. asisuutaie variassiaalsi. olmi a useampisuutaie variassiaalsi T @ Ila Melli (006) 433 Variassiaalsi T @ Ila Melli (006)
LisätiedotTilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot
TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi. Kaksisuuntainen varianssianalyysi
T (c lkka Melln (005 akssuuntanen varanssanals Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont ohdatus tlastoteteeseen akssuuntanen varanssanals T (c lkka Melln (005 akssuuntanen
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotGeneroidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)
Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees,
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaals Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaals 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaals 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare mall
LisätiedotMS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4
MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 6A Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 2018 Harjoitus 6A Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Moistee tehtävä 5.4) Kauppias myy mäysiemeiä, joide itävyyde väitetää oleva
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslasku A
TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest
LisätiedotJohdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.
Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset
LisätiedotMTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN
MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotTilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet
Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,
LisätiedotMuuttujien välisten riippuvuuksien analysointi
Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus
Lisätiedot1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit
Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,
LisätiedotMat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,
LisätiedotBernoullijakauma. Binomijakauma
Beroulljaauma Beroull oe o ahde mahdollse ulostulo oe, jossa taahtumsta äytetää mtysä ostume ja eäostume. Esmerejä: rahahetto (ruua ta laava), lase sytymä (tyttö ta oa), helö verryhmä ( ta c ), oselja
LisätiedotTKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24
Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,
Lisätiedot4.7 Todennäköisyysjakaumia
MAB5: Todeäöisyyde lähtöohdat.7 Todeäöisyysjaaumia Luvussa 3 Tuusluvut perehdyimme jo jaauma äsitteesee yleesä ja ormaalijaaumaa vähä taremmi. Lähdetää yt tutustumaa biomijaaumaa ja otetaa se jälee ormaalijaauma
LisätiedotUseampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi. Useampisuuntainen varianssianalyysi
(c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi ohdatus tilastotieteeseen Useampisuuntainen varianssianalsi (c) lkka Mellin (005) Useampisuuntainen varianssianalsi: Mitä opimme? arkastelemme tässä
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus diskreettiin matematiikkaan (Syksy 2008) 4. harjoitus Ratkaisuja (Jussi Martin)
Matematan ja tlastoteteen latos Johdatus dsreettn matemataan (Sysy 28 4. harjotus Ratasuja (Juss Martn 1. Kertomus Hotell Kosmosesta jatuu: Hotellyhtymän johdolta tul määräys laata luettelo asta mahdollssta
LisätiedotJ1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6
MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
Lisätiedotanalyysin perusteet Mat Ti lastol I isen Tentti /Mellin
Mat-2.1 04 Ti lastol Tentti 7.5.2005/Mellin I isen analyysin perusteet Kirjoita selvdsti jokaiseen koepaperii n alla mainitussa jdirjestyksessd: - Mat-2.104 Tap 7.5.2005 - opiskelijanumero + kirjain -
Lisätiedotε i = jäännös- eli virhetermin ε satunnainen ja ei-havaittu arvo havaintoyksikössä i
Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket / Ratkaut Aheet: Yhde elttäjä leaare regreomall Avaaat: Ehdolle jakauma, Ehdolle odotuarvo, Ehdolle vara, Etmot,
LisätiedotKUNTIEN ELÄKEVAKUUTUS 30.10.2008 VARHAISELÄKEMENOPERUSTEISESSA MAKSUSSA 1.1.2009 LÄHTIEN NOUDATETTAVAT LASKUPERUSTEET
KUNTIN LÄKVKUUTU 328 VRHILÄKMNORUTI MKU 29 LÄHTIN NOUDTTTVT LKURUTT Valtuusuta ahstaa arhaseläemeoperustese masu eaode yhtesmäärä uodelle euromääräsest Tämä ahstettu masu o samalla lopullste masue yhtesmäärä
LisätiedotKonvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?
TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet
LisätiedotLisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?
MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo
Lisätiedot4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman
4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma Jaetaan perusjoukko rhmiin kahden tekän A ja B suhteen
Lisätiedot. C. C Kirjoitetaan sitten auki lineaarisuuden määritelmän oikea puoli: αt{i c1 } + βt{i c2 } = α
SMG-00 Pranals II Ehdotuset harjotusen s ratasus Jotta järjestelmän lneaarsuutta psttään tarastelemaan, on ensn muodostettava htes järjestelmän ssäänmenon ja ulostulon vällle Tällä ertaa tuo htes saadaan
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet
/ Mat-2.21 04 Tilastollisen analyysin perusteet Tentti 24.5.2013/Virtanen Kirjoita selvasti jokaiseen koepaperiin alia mainitussa jarjestyksessa: Mat-2.2104 Tap 24.5.2013 opiskelijanumero kirjain TEKSTATEN
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Lisätiedot( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH Ratasut LHSf-* ohesen uvan esttämää systeemä Systeemssä on 5 huasta joden yhtenen energa on U = 6ε Kunn energatason degeneraatotejä on Olettaen, että systeem noudattaa
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Mat-.04 Tilastollisen analsin perusteet, kevät 007. luento: Kaksisuuntainen varianssianalsi Kai Virtanen Kaksisuuntaisen varianssianalsin perusasetelma aetaan perusoukko rhmiin kahden tekän A a B suhteen
Lisätiedot3. Datan käsittely lyhyt katsaus
3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus
LisätiedotFrégier'n lause. Simo K. Kivelä, P B Q A
Smo K. Kvelä, 13.7.004 Fréger'n lause Tosen asteen ärllä ellpsellä, paraaelella, hperelellä ja nden erostapauslla on melonen määrä snertasa säännöllssomnasuusa. Eräs tällanen on Fréger'n lause: Oloon P
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotMoniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot
Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.
LisätiedotLatinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt
TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi
LisätiedotOdotusarvoparien vertailu. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Odotusarvoparien vertailu Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Viime luennolta: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan nollahypoteesia H 0 : μ 1 = μ 2 = = μ k = μ Jos H 0 hylätään, tiedetään, että
LisätiedotSovellettu todennäköisyyslaskenta B
Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 15. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 15. marraskuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollisia testejä (jatkoa) Yhden otoksen χ 2 -testi varianssille Kahden riippumattoman
LisätiedotYksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1
Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Kuusinen/Heliövaara 1 Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään, tiedetään, että ainakin
LisätiedotTilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi
Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare
LisätiedotYleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme? 2/4. Yleinen lineaarinen malli: Mitä opimme?
TKK (c) Ila Melli (004) Yleie lieaarie malli Johdatus tilastotieteesee Yleie lieaarie malli Usea selittää lieaarie regressiomalli Yleise lieaarise malli matriisisesitys Yleise lieaarise malli estimoiti
Lisätiedot7. Menetysjärjestelmät
lueto7.ppt S-38.45 Leeteora perusteet Kevät 25 Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot1. (Jatkoa Harjoitus 5A tehtävään 4). Monisteen esimerkin mukaan momenttimenetelmän. n ne(y i Y (n) ) = 2E(Y 1 Y (n) ).
HY, MTO / Matemaattiste tieteide adiohjelma Tilastollie päättely II, evät 019 Harjoitus 5B Rataisuehdotusia Tehtäväsarja I 1. (Jatoa Harjoitus 5A tehtävää 4). Moistee esimeri 3.3.3. muaa momettimeetelmä
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Heliövaara 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Heliövaara 1 Kaksi- tai useampisuuntainen varianssianalyysi Kaksi- tai useampisuuntaisessa varianssianalyysissa perusjoukko on jaettu ryhmiin kahden tai useamman tekijän
LisätiedotIlkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot
Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
LisätiedotTilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus
Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,
LisätiedotAltistusaika 1 kk 2 kk 3 kk 1.35 1.53 1.38 1.35 1.63 1.51 1.60 1.40 2.18 1.77 1.66 1.98 1.73 1.76 1.60 1.72
Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit / Ratkaisut iheet: vainsanat: Kaksisuuntainen varianssianalsi Lohkoasetelmat Latinalaiset neliöt ritmeettinen
LisätiedotPerusnäkymä yksisuuntaiseen ANOVAaan
Metsämuuronen 2006. TTP Tutkimuksen tekemisen perusteet ihmistieteissä Taulukko.51.1 Analyysiin mukaan tulevat muuttujat Mja selite Merkitys mallissa F1 Ensimmäinen faktoripistemuuttuja Selitettävä muuttuja
LisätiedotJohdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
Lisätiedot8 USEAN VAPAUSASTEEN SYSTEEMIN VAIMENEMATON PAKKOVÄRÄHTELY
Värähelymeaa 8. 8 USEAN VAPAUSASEEN SYSEEMIN VAIMENEMAON PAKKOVÄRÄHELY 8. Normaalmuoomeeelmä Usea vapausasee syseem leyhälöde (7.) raaseme vaa aava (7.7) a (7.8) homogeese yhälö ylese raasu { } lsäs paovomaveora
LisätiedotTilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot
Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset
LisätiedotKaksisuuntainen varianssianalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Kaksisuuntainen varianssianalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luennot 6 ja 7: yksisuuntaisella varianssianalyysilla testataan ryhmäkohtaisten odotusarvojen yhtäsuuruutta, kun perusjoukko on jaettu
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotTerveytemme Termisanasto ja tilastolliset menetelmät
Terveytemme Termsaasto a tlastollset meetelmät Termsaasto Tlastollset meetelmät Lädevtteet Termsaasto Elaaodote Estyvyys Ilmaatuvuus Iävaot Koortt Luottamusväl Mallvaot PYLL el potetaalsest meetetyt elvuodet
LisätiedotEsim Brand lkm keskiarvo keskihajonta A ,28 5,977 B ,06 3,866 C ,95 4,501
Esim. 2.1.1. Brand lkm keskiarvo keskihajonta A 10 251,28 5,977 B 10 261,06 3,866 C 10 269,95 4,501 y = 260, 76, n = 30 SS 1 = (n 1 1)s 2 1 = (10 1)5, 977 2 321, 52 SS 2 = (n 2 1)s 2 2 = (10 1)3, 8662
LisätiedotTilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu
Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,
LisätiedotMat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007
Usea selittää lieaarie regressiomalli Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet, evät 007 8. lueto: Usea selittää lieaarie regressiomalli Selitettävä muuttua havaittue arvoe vaihtelu halutaa selittää selittävie
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotSuoran sovittaminen pistejoukkoon
Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja
LisätiedotMTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä
23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A
Lisätiedot