MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

Transkriptio

1 MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset kau kuulemsee kuluva aja perusteella Tutkjat arvelevat, että keskmääräe tustusmatka ols yl 35 cm He keräsvät aesto mtate etäsyydet (cm), josta lepakot löysvät hyötesä Mtatut etäsyydet olvat 6, 5, 68, 3, 40 () Muuttuja keskarvo Etäsyykse keskarvo = ( )/ 5 = 49 () Muuttuja varass Vodaa merktä myös s s ( ) SS Etäsyykse varass 96/ 4 = 34 Nyt ss SS (=SS ) = 96, = 5 Tos = = 330 = 5 49 = 005 s =( )/ (5-) = 96/ 4 = 34 s ={ (6-49) +(5-49) +(68-49) +(3-49) + (40-49) }/4 = (3) Muuttuja keskhajota s s Etäsyykse keskhajota s = = 8

2 (4) Korrelaatokerro r SS ( ) SP y SS ( )( y y) y ( y y) y y y y Mttaa kahde muuttuja ja y välllä leaarse rppuvuude vomakkuutta, käs laskeme e oleasta, SPSS laskee Vodaa merktä myös r y Asasta kostuelle lsäesmerkk korrelaatokertome laskemse yhteydessä tarvttave summe ja elösumme laskusta / wwwssutaf/ tlasto/ tltp/ syksy003/ moste_5pdf Korrelaatokertomeks saadaa r = (5) Normaaljakauma X ~ N(, ), E( X ), Var ( X ), Z ~ N(0,), P( Z z) ( z) Satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa odotusarvoa µ ja varassa σ Satuasmuuttuja Z oudattaa ormaaljakaumaa, joka odotusarvo 0 ja varass, k stadardotu ormaaljakauma, joka kertymäfukto Φ(z) arvoja o taulukota Stadardodu ormaaljakauma taulukkoarvoja Z ~ N(0, ) z,6449,9600,364,5758 3,090 3,905 (z) = P(Z z) 0,9500 0,9750 0,9900 0,9950 0,9990 0,9995 P(Z z) = - P(Z z)=p(z -z) 0,0500 0,050 0,000 0,0050 0,000 0,0005 Esmerkks (,96) = P(Z,96) = 0,975, P(Z,96) = 0,05 el z =,96, P(Z -,96) = 0,05 (6) Otoskeskarvo odotusarvo ja varass E ( X ), Var ( X ) / Teoreette tulos, jolla pystytää arvomaa otoskeskarvo vahtelua Käytetää hyväks mm odotusarvo testauksessa ja odotusarvo luottamusväl määrtyksessä Varass ja ä myös keskhajota (=otoskeskarvo keskvrhe = σ/ ) joudutaa käytäössä estmomaa Estmotu keskvrhe o s/ X (7) Studet t-jakaumaa oudattava satuasmuuttuja t ~ t s / Käytetää mm odotusarvo luottamusväl määrttämsessä sekä odotusarvoje testauksessa, ks kaavat (9), (), (3) Jakauma taulukkoarvoja o käytettävssä (ks s 5)

3 3 (8) Arvodaa tetylaste alkode prosettosuutta populaatossa 00( )%: luottamusväl prosettosuudelle p z / p(00 p) / Kyseessä väl, jolla arvellaa kysese prosettluvu oleva Otoksesta laskettu prosettosuus o p, otoskoko, z / ormaaljakauma taulukkoarvo Erää puoluee kaatukse arvot Kyselyy vastas 00 heklöä, josta 40 puoluee kaattaja Nyt = 00, p = 00 40/ 00 = 0 Määrtettäessä 95%: luottamusvälä = 0,05, / = 0,05/ = 0,05, z 0,05 =,96 (ormaaljakauma taulukosta s ), luottamusväl alaraja 0,96 = 4,5, yläraja 0 +,96 = 5,5 Arvellaa ss todellse kaatusproset oleva tällä välllä (9) Arvodaa populaato keskarvoa el odotusarvoa 00( )%: luottamusväl odotusarvolle (varass tutemato) Kyseessä väl, jolla arvellaa odotusarvo oleva X t s / / ; Lepakode tustusmatka Määrtettäessä 95%: luottamusvälä = 0,05, / = 0,05/ = 0,05, t 0,05, 5- =,776 (Studet t-jakauma taulukosta, s 5), luottamusväl alaraja 49,776 8/ = 6,6, yläraja 49 +,776 8/ = 7,3 Arvellaa ss lepakode tustusmatka oleva keskmäär 7 cm 7 cm (0) Tutktaa, vosko populaatossa olla tetylasa alkota vätetty prosettosuus lkma p 0 : = 0, Z ~ N(0,), ku tos 00 ) / 0 ( 0 Eräs puolue vättää kaatuksesa oleva % Nyt : = % Tutkmuksessa kyselyy vastas 00 heklöä, josta 40 puoluee kaattaja 0 N yt = 00, p = 00 40/ 00 = 0, jote z havattu 0, 68 (00 ) / 00 Tämä ha tavaomae arvo ormaaljakaumasta, jote vodaa uskoa väte Harvaste arvoje raja esm 5 %: rsktasolla ykssuutasessa testssä -,6449 ta kakssuutasessa -,96 (z 0,05 =, 6449, z 0,05 =,96), laskettu arvo e kuulu harvaste arvoje joukkoo

4 4 () Tutktaa, vosko populaato odotusarvo olla vätetty luku X : = 0 0, t ~ t, ku tos s / Lepakode tustusmatka Tutktaa vosko keskmääräe matka olla 35 cm va olsko se pdemp : = 35, H : > Nyt t havattu, 74 < t 0,05, 5- =,3, jote 5 %: rsktasolla tarkastelua 8/ 5 e harvaste arvoje joukkoo kuuluva Uskotaa vättämä, että keskmääräe tustusmatka o 35 cm Otos e ss tue tutkjode arvelua () Tutktaa kahde muuttuja välstä rppumattomuutta rsttauluko avulla Rsttaulukosta rppumattomuude testaus: ~ (I )(J ), ku e rppuvuutta SPSS-laskee testsuuree ja p-arvo, joka avulla tehdää päättely Nollahypotees o: e rppuvuutta Pe p-arvo (esm peemp ku 0,05) johtaa ollahypotees hylkäämsee Tällö päätellää rppuvuutta oleva (3) Tutktaa kahde populaato odotusarvoje yhtäsuuruutta : =, t ~ t, ku tos H +m 0 (oletetaa rppumattomat otokset ja populaatode varasst yhtä suurks, mutta tutemattomks) SPSS-laskee testsuuree ja p-arvo, joka avulla tehdää päättely Pe p-arvo (esm peemp ku 0,05) johtaa ollahypotees hylkäämsee Tällö päätellää, että odotusarvot evät samoja Tarkastellaa ss muuttuja keskarvoja kahdessa ryhmässä (4) Tutktaa, oko kahde muuttuja välllä leaarsta rppuvuutta :populaatossa kahde muuttuja korrelaatokerro (ρ) o olla, ry t ~ t, ku tos ( r ) /( ) y SPSS ataa korrelaatode lasku yhteydessä p-arvo, joka avulla tehdää päättely Pe p-arvo (esm peemp ku 0,05) johtaa ollahypotees hylkäämsee Tällö päätellää leaarsta rppuvuutta oleva

5 5 Studet t jakauma taulukkoarvoja t ;df, jolle P(t df t ;df ) = df = 0,05 = 0,05 = 0,0 = 0,005 6,34,706 3,8 63,656,90 4,303 6,965 9,95 3,353 3,8 4,54 5,84 4,3,776 3,747 4,604 5,05,57 3,365 4,03 6,943,447 3,43 3,707 7,895,365,998 3,499 8,860,306,896 3,355 9,833,6,8 3,50 0,8,8,764 3,69,796,0,78 3,06,78,79,68 3,055 3,77,60,650 3,0 4,76,45,64,977 5,753,3,60,947 6,746,0,583,9 7,740,0,567,898 8,734,0,55,878 9,79,093,539,86 0,75,086,58,845,7,080,58,83,77,074,508,89 3,74,069,500,807 4,7,064,49,797 5,708,060,485,787 6,706,056,479,779 7,703,05,473,77 8,70,048,467,763 9,699,045,46,756 30,697,04,457,750 40,684,0,43,704 60,67,000,390,660 0,658,980,358,67,645,960,36,576 Esmerkks t ;0 =,8, ss P(t 0,8) = 0,05 P(t 0 -,8) = 0,05