Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot"

Transkriptio

1 Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut Mkko Nordlud

2

3 Käytetyt merkät...6 Numerodut kaavat ja määrtelmät...7 Equato Chapter (Next) Secto Osa : Todeäkösyyslasketa.. Todeäkösyyslaskea peruskästteet..... Determstsyys ja satuasuus..... Todeäkösyyde määrtteleme Todeäkösyyde määrtteleme: Johdato Empre todeäkösyys Klasse todeäkösyys Todeäkösyyde perusomasuudet Tlastollset mallt Otosavaruudet Todeäkösyyde peruslat Äärellset otosavaruudet ja symmetrset alkestapahtumat Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt: Johdato Komplemetttapahtuma todeäkösyys Tosesa possulkevat tapahtumat ja yhteelaskusäätö Rppumattomuus ja tulosäätö Ylee yhteelaskusäätö ja erotustapahtuma todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys Rppumattomuus ja ehdolle todeäkösyys Ylee tulosäätö Klasse todeäkösyys ja kombatorkka Klasse todeäkösyys Kombatorka perusperaatteet ja perusogelmat Permutaatot Kombaatot ja bomkertomet Multomkerro Todeäkösyyde aksoomat Todeäkösyyde määrtteleme Todeäkösyyde aksoomat äärellsessä otosavaruudessa Todeäkösyyde aksoomat äärettömässä otosavaruudessa... 4

4 3. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava: Johdato Kokoastodeäkösyyde kaava Bayes kaava Verkot todeäkösyyslaskeassa Väärkästyksä todeäkösyyde luoteesta Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttujat Dskreett satuasmuuttujat Jatkuvat satuasmuuttujat Kertymäfukto Kertymäfukto määrtelmä Dskreet jakauma kertymäfukto Jatkuva jakauma kertymäfukto Jakaume tuusluvut Odotusarvo Dskreet jakauma odotusarvo Jatkuva jakauma odotusarvo Odotusarvo omasuuksa Varass Suurte lukuje lak Dskreettejä todeäkösyysjakauma Dskreett tasae jakauma Beroull-jakauma X ~ Beroull(p) Bomjakauma X ~ B(, p) Geometre jakauma X ~ Geom(p) Negatve bomjakauma X ~ NegB(r, p) Hypergeometre jakauma X ~ HyperGeom(N, r, ) Posso-jakauma X ~ Posso()...39

5 9. Jatkuva todeäkösyysjakauma Jatkuva tasae jakauma X ~ Uform(a, b) ta X ~ Tas(a, b) Ekspoettjakauma X ~ Exp() Normaaljakauma X ~ N(, ) Normaaljakaumasta johdettuja jakauma jakauma X ~ () Studet t-jakauma T ~ t() F-jakauma F ~ F(m, ) Yhtesjakaumat Kaksulotteset jakaumat Kaksulottese jakauma odotusarvo ja varass Kaksulottese jakauma kovarass ja korrelaato Ehdollset jakaumat ja odotusarvot Moulottesa jakauma Multomjakauma Kaksulottee ormaaljakauma

6 Equato Secto (Next)Osa : Tlastotede Tlastollse tutkmusaesto kerääme Tlastolle aesto Havatoaesto kuvalu Tlastolle aesto Havatoaesto kuvalu: frekvessjakauma ja luokteltu frekvessjakauma Havatoaesto kuvalu: yhde muuttuja tuusluvut Artmeette keskarvo, otosvarass ja otoskeskhajota Järjestystuusluvut Useampulottese havatoaesto kuvalu: pstedagramm Useampulottese havatoaesto kuvalu: kahde muuttuja tuusluvut Otos ja otosjakaumat Suhteellse frekvess otosjakauma Artmeettse keskarvo otosjakauma Estmot Pste-estmot Eräde tavallste jakaume parametre SU-estmot Beroull-jakauma parametr SU-estmot Ekspoettjakauma parametr SU-estmot Normaaljakauma parametre SU-estmot Välestmot Eräde tavallste jakaume parametre luottamusvälejä Beroull-jakauma parametr p luottamusväl Luottamusväl ormaaljakauma odotusarvoparametrlle Testaus Hypoteese testaus: hypoteest Hypoteese testaus: testsuure Hypoteese testaus: P-arvo Hypoteese testaus: merktsevyystaso ja hylkäysalue Hypoteese testaus: vrheet testauksessa Hypoteese testaus: test suortus

7 6. Testt odotusarvolle ja varasselle Testt perusjouko odotusarvolle Test perusjouko odotusarvolle, ku otos o ormaaljakaumasta Test perusjouko odotusarvolle, ku otos e ole ormaaljakaumasta Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma ja ormaaljakautueta Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma, ormaaljakautueta ja varasst ovat yhtä suura Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset evät ole rppumattoma el s. parvertalutest Testt perusjouko varasslle Perusjouko varassa koskeva test Kahde perusjouko varasse vertalutest Suhteellsa osuuksa koskevat testt Test todeäkösyydelle Todeäkösyykse vertalutest Yhteesopvuustest Homogeesuustest Rppumattomuustest Regressoaalyys Regressoaalyys dea Leaare regressomall Leaarse regressomall estmot Leaare regressomall, luottamusvält ja testt Yhde selttäjä leaare regressomall Eustame leaarsella regressomalllla Korrelaatokerrota koskevat testt... 0 Ltteet...3 5

8 Käytetyt merkät Alkode lukumäärä (tässä jouko A alkode lukumäärä): (A) Artmeette keskarvo (tässä arvoje x ): x Erotus (joukko-opssa): \ Estmaattor: ^ (esm. varass estmaattor ˆ ) Joukot: A, B,... (soja aakkosjärjestykse alkupää latalasa krjama) Kertymäfukto: F(x) Keskhajota: D(), Keskhajota otoksessa: s Komplemetttapahtuma (tässä tapahtuma A komplemetttapahtuma): A c Korrelaatokerro (tässä satuasmuuttuje X ja Y välllä): Cor(X, Y)= XY Korrelaatokerro otoksessa (tässä muuttuje x ja y arvoje välllä): r xy Kovarass (tässä satuasmuuttuje X ja Y välllä): Cov(X, Y)= XY Kovarass otoksessa (tässä muuttuje x ja y arvoje välllä): s xy Merktsevyystaso: Momett orgo suhtee (tässä k. momett orgo suhtee): k Normaaljakauma odotusarvolla ja varasslla : N(, ) Noudattaa jakaumaa: ~ Noudattaa jakaumaa approksmatvsest: ~ a Odotusarvo: E(), Otosavaruus: S Pstetodeäkösyysfukto: f(x) Regressokertomet: 0,,... Regressokertome PNS-estmaattort: b 0, b,... Resduaal havaolle j: e j Rppumattomuus (tässä tapahtume A ja B rppumattomuus): A B Satuasmuuttujat:,, W, X, Y, (peä krekkalasa krjama ja soja aakkosjärjestykse loppupää latalasa krjama) Seltysaste regressomalllle: R Sovte havaolle j: Yˆj Stadardpokkeama: D(), Stadardpokkeama otoksessa: s Stadardodu ormaaljakauma kertymäfukto: (z) Tapahtumat: A, B,... (soja aakkosjärjestykse alkupää latalasa krjama) Theysfukto: f(x) Todeäkösyys (tässä tapahtumalle A): Pr(A) Tyhjä joukko: Vakot: a, b,... (peä aakkosjärjestykse alkupää latalasa krjama) Varass: D (), Var(), Varass otoksessa: s Äärettömä moe tapahtuma A lekkaus: Äärettömä moe tapahtuma A yhdste: A A 6

9 Numerodut kaavat ja määrtelmät (.) Komplemetttapahtuma A c todeäkösyys (.) Yhteelaskusäätö tosesa possulkevlle tapahtumlle (.3) Ylestetty yhteelaskusäätö paretta tosesa possulkevlle tapahtumlle (.4) Tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle (.5) Ylestetty tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle (.6) Ylee yhteelaskusäätö (.7) Erotustapahtuma A\B todeäkösyys (.8) Erotustapahtuma todeäkösyys, ku B: tapahtumsesta seuraa A: tapahtume (.9) Yhdstee AB todeäkösyys (.0) Ehdolle todeäkösyys A B (.) Rppumattomuude yhtäptävät ehdot (.) Ylee tulosäätö (.3) Ylestetty ylee tulosäätö (.4) Permutaatode lukumäärä (.5) k-permutaatode lukumäärä (.6) Kombaatode lukumäärä (.7) Multomkertome lauseke (.8) Kokoastodeäkösyyde kaava (.9) Bayes kaava (.0) Dskreet jakauma kertymäfukto (.) Dskreet jakauma kertymäfukto ja pstetodeäkösyysfukto yhteys (.) Dskreet jakauma todeäkösyydet (.3) Jatkuva jakaumakertymäfukto (.4) Jatkuva jakauma kertymäfukto ja theysfukto yhteys (.5) Jatkuva jakauma todeäkösyydet (.6) Dskreet jakauma odotusarvo (.7) Jatkuva jakauma odotusarvo (.8) Vako odotusarvo (.9) Leaarmuuokse odotusarvo (.30) Satuasmuuttuje summa odotusarvo (.3) Satuasmuuttuje erotukse odotusarvo (.3) Satuasmuuttuje paotetu summa odotusarvo (.33) Dskreet satuasmuuttuja fukto odotusarvo (.34) Jatkuva satuasmuuttuja fukto odotusarvo (.35) Momett (.36) Varass määrtelmä (.37) Dskreet jakauma varass (.38) Jatkuva jakauma varass (.39) Stadardpokkeama määrtelmä (.40) Vako varass (.4) Leaarmuuokse varass (.4) Stadardot (.43) Summa varass rppumattomlle satuasmuuttujlle (.44) Erotukse varass rppumattomlle satuasmuuttujlle (.45) Paotetu summa varass rppumattomlle satuasmuuttujlle 7

10 (.46) Artmeette keskarvo rppumattomlle satuasmuuttujlle (.47) Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass rppumattomlle satuasmuuttujlle (.48) Beroull-jakauma pstetodeäkösyysfukto (.49) Bomjakauma pstetodeäkösyysfukto (.50) Geometrse jakauma pstetodeäkösyysfukto (.5) Geometrse jakauma kertymäfukto (.5) Negatvse bomjakauma pstetodeäkösyysfukto (.53) Hypergeometrse jakauma pstetodeäkösyysfukto (.54) Posso-jakauma pstetodeäkösyysfukto (.55) Jatkuva tasase jakauma theysfukto (.56) Ekspoettjakauma theysfukto (.57) Normaaljakauma theysfukto (.58) Todeäkösyykse määräämse ormaaljakaumasta (.59) Rppumattome ormaaljakautuede satuasmuuttuje summa jakauma (.60) Samaa ormaaljakaumaa oudattave rppumattome satuasmuuttuje summa jakauma (.6) Normaaljakautuede rppumattome satuasmuuttuje artmeettse keskarvo jakauma (.6) Keskee raja-arvolause (.63) De Movre ja Laplace raja-arvolause (.64) Posso-jakauma ja ormaaljakauma (.65) Kaksulottese dskreet jakauma pstetodeäkösyysfukto määrtelmä (.66) Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto määrtelmä (.67) Kaksulottese jakauma kertymäfukto määrtelmä (.68) Kaksulottese dskreet jakauma kertymäfukto (.69) Kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto (.70) Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto ja kertymäfukto yhteys (.7) Kaksulottese dskreet jakauma reuajakaumat (.7) Kaksulottese dskreet jakauma reuajakaumat (.73) Kaksulottese jatkuva jakauma reuajakaumat (.74) Kaksulottese jatkuva jakauma reuajakaumat (.75) Satuasmuuttuje rppumattomuus (.76) Satuasmuuttuje rppumattomuus (.77) Kaksulottese dskreet jakauma odotusarvo (.78) Kaksulottese dskreet jakauma odotusarvo (.79) Kaksulottese jatkuva jakauma odotusarvo (.80) Kaksulottese jatkuva jakauma odotusarvo (.8) Kovarass määrtelmä (.8) Kovarass dskreetelle satuasmuuttujlle (.83) Kovarass jatkuvlle satuasmuuttujlle (.84) Summa varass (.85) Korrelaatokertome määrtelmä (.86) Multomjakauma pstetodeäkösyysfukto (.87) Kaksulottese ormaaljakauma theysfukto (.88) Kaksulottese ormaaljakauma ehdollse jakauma odotusarvo ja 8

11 varass (.89) Kaksulottese ormaaljakauma ehdollse jakauma odotusarvo ja varass (.90) Kaksulottese ormaaljakauma ehdolle odotusarvo (.9) Kaksulottese ormaaljakauma ehdolle odotusarvo (.9) Regressosuorat kaksulottesessa ormaaljakaumassa (.93) Ehdolle varass kaksulottesessa ormaaljakaumassa (.94) Ehdolle varass kaksulottesessa ormaaljakaumassa (.) Artmeette keskarvo (.) Varass otoksessa (.3) Keskhajota otoksessa (.4) Varass estmaattor (.5) Kovarass otoksessa (.6) Korrelaatokerro otoksessa (.7) Suhteellse frekvess otosjakauma (.8) Artmeettse keskarvo otosjakauma (.9) Beroull-jakauma parametr SU-estmaattor (.0) Ekspoettjakauma parametr SU-estmaattor (.) Normaaljakauma odotusarvoparametr SU-estmaattor (.) Normaaljakauma varassparametr SU-estmaattor (.3) Symmetrse luottamusväl määrtelmä (.4) Beroull-jakauma parametr p luottamusväl (.5) Tarvttava otoskoko Beroull-jakauma parametr p luottamusväl määräämseks, ku luottamusväl ptuus o määrätty (.6) Tarvttava otoskoko Beroull-jakauma parametr p luottamusväl määräämseks, ku luottamusväl ptuus o määrätty ja p o tutemato (.7) Luottamusväl ormaaljakauma odotusarvoparametrlle, ku varass e ole tuettu (.8) Tarvttava otoskoko ormaaljakauma odotusarvoparametr luottamusväl määräämseks, ku luottamusväl ptuus o määrätty (.9) Test perusjouko odotusarvolle, ku otos o ormaaljakaumasta (.0) Test perusjouko odotusarvolle, ku otos e ole ormaaljakaumasta (.) Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma ja ormaaljakautueta (.) Yhdstetty varass (.3) Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma, ormaaljakautueta ja varasst ovat yhtä suura (.4) Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset evät ole rppumattoma el s. parvertalutest (.5) Perusjouko varassa koskeva test (.6) Kahde perusjouko varasse vertalutest (.7) Test todeäkösyydelle (.8) Yhdstety otokse parametr p harhato estmaattor (.9) Todeäkösyykse vertalutest (.30) Yhteesopvuustest (.3) Homogeesuustest (.3) Rppumattomuustest (.33) Seltettävä muuttuja odotusarvo ktellä selttäjllä (.34) Seltettävä muuttuja ehdolle odotusarvo satuaslla selttäjllä 9

12 (.35) Resduaale elösumma (.36) Sovte leaarsessa regressomallssa (.37) Resduaal (.38) Jääösvarass estmaattor (.39) Kokoaselösumma SST (.40) Jääöselösumma SSE (.4) Jääöselösumma ja kokoaselösumma (.4) Mallelösumma SSM (.43) Kokoaselösumma, mallelösumma ja jääöselösumma (.45) Leaarse regressomall seltysaste (.46) Test regresso olemassaololle (.47) Test regresso olemassaololle (.48) Test regressokertomelle (.49) Yhde selttäjä leaare regressomall (.50) Yhde selttäjä leaarse regressomall otosvarasst (.5) Yhde selttäjä leaarse regressomall otoskovarass (.5) Yhde selttäjä leaarse regressomall otoskorrelaatokerro (.53) Yhde selttäjä leaarse regressomall kertome PNS-estmaattort (.54) Sovte yhde selttäjä leaarsessa regressomallssa (.55) Resduaal yhde selttäjä leaarsessa regressomallssa (.56) Jääösvarass harhato estmaattor (.57) t-test yhde selttäjä leaarse regressomall kulmakertomelle (.58) t-test yhde selttäjä leaarse regressomall vakolle (.59) Yhde selttäjä leaarse regressomall seltysaste (.60) Test korrelaatokertomelle (.6) t-test korrelomattomuude testaamseks 0

13 Equato Chapter (Next) Secto Osa : Todeäkösyyslasketa Esmmäe paos, syksy 00 Kommett tervetulleta

14 . Todeäkösyyslaskea peruskästteet.. Determstsyys ja satuasuus Determste lmö Reaalmaalma lmö o determste, jos lmö alkutla perusteella vodaa tarkast eustaa lmö lopputla el tulos. Determstse lmö alkuehdot määräävät tarkast lmö lopputla el tulokse. Determstsä lmötä kutsutaa use eksakteks ta kausaalsks. Satuaslmö Reaalmaalma lmö o stokaste lmö el satuaslmö, jos sllä o seuraavat omasuudet: () Ilmö vo päätyä alkutlastaa uses erlas lopputloh el lmöllä o useta erlasa vahtoehtosa tuloksa. () Ilmö alkutla perusteella e voda tarkast eustaa lmö lopputlaa el stä, mkä mahdollssta tulosvahtoehdosta realsotuu el toteutuu. () Vakka lmö lopputlaa e voda eustaa tarkast, tulosvahtoehtoje suhteellste frekvesse el osuukse ähdää lmö tostuessa käyttäytyvä sääömukasest. Tlastolle stablteett Satuaslmö tostuessa lmeevää sääömukasuutta kutsutaa tlastoteteessä tlastollseks stablteetks... Todeäkösyyde määrtteleme... Todeäkösyyde määrtteleme: Johdato Ks. luetokalvot Empre todeäkösyys Määrtelmä Tarkastellaa satuaskoetta, jota vodaa tostaa ste, että seuraavat ehdot pätevät: () () Satuaskokee olosuhteet sälyvät muuttumattoma koetostosta tosee. Koetostot ovat rppumattoma. Tarkkallaa kokee jok tulosvahtoehdo estymstä koetostoje akaa. Jos tulosvahtoehdo suhteelle frekvess lähestyy jotak kteätä lukua koetostoje lukumäärä rajatta kasvaessa, tuo luku o tulosvahtoehdo empre todeäkösyys.

15 Empre todeäkösyys ja todeäkösyyde frekvesstulkta Tostetaa satuaskoetta ja tarkkallaa kokee jok tulosvahtoehdo suhteellsta frekvessä koetostoje akaa. Todeäkösyyde frekvesstulka mukaa tulosvahtoehdo suhteelle frekvess vahtelee satuasest koetostosta tosee, mutta saa keskmäär tulosvahtoehdo todeäkösyyttä lähellä oleva arvoja...3. Klasse todeäkösyys Määrtelmä Tarkastellaa satuaslmötä, joho lttyy yhtä todeäköstä tulosvahtoehtoa. Tarkastellaa satuaslmö puttessa tapahtumaa, joho lttyy k yhtä todeäköstä tulosvahtoehtoa, jota saotaa ko. tapahtumalle suotusks. Ko. tapahtuma klasse todeäkösyys p o tapahtumalle suotuse tulosvahtoehtoje suhteelle frekvess el tapahtumalle suotuse tulosvahtoehtoje osuus satuaslmö kaksta tulosvahtoehdosta: k p.3. Todeäkösyyde perusomasuudet.3.. Tlastollset mallt Satuaslmöde tlastollset mallt Tlastotetee tehtävää o kehttää satuaslmölle tlastollsa malleja, jode avulla pyrtää tekemää satuaslmötä koskeva johtopäätöksä. Satuaslmöde tlastollset mallt perustuvat todeäkösyyslasketaa ja sks tä kutsutaa use myös todeäkösyysmalleks ta stokastsks malleks. Todeäkösyysmall tlastollsea malla Satuaslmö tlastollsessa mallssa el todeäkösyysmallssa ta stokastsessa mallssa o kaks osaa: () () Satuaslmö kakke mahdollste tulosvahtoehtoje kuvaus. Tulosvahtoehtoje todeäkösyykse kuvaus..3.. Otosavaruudet Joukko ja se alkot Joukko o jodek olode kokoelma. Joukko o hyv määrtelty, jos se alkot tuetaa. Merktää stä, että x o jouko A alko el kuuluu joukkoo A: x A Merktää stä, että x e ole jouko A alko el e kuulu joukkoo A: x A 3

16 Osajoukko Jos jokaselle jouko B alkolle s pätee, että s B sa saomme, että joukko B o jouko A osajoukko ta, että joukko B ssältyy joukkoo A ja merktää: Tyhjä joukko B A ta A B Joukko o tyhjä, jos she e kuulu yhtää alkota. Merktää tyhjää joukkoa symbollla Jos joukko o tyhjä, e ole olemassa olota s, jolle s Tyhjä joukko o jokase jouko osajoukko el melvaltaselle joukolle A pätee: A Otosavaruus ja alkestapahtumat Satuaslmöö lttyvä otosavaruus S o lmö kakke mahdollste tulosvahtoehtoje joukko. Otosavaruude S alkota s kutsutaa alkestapahtumks. Merkät: - Otosavaruutta (egl. sample space) merktää tavallsest solla krjamella S. - Otosavaruude S alkota merktää vastaavalla peellä krjamella s. - Jos ss alkestapahtuma s kuuluu otosavaruutee S, merktää: Tapahtumat s S Tapahtumat ovat otosavaruude S alkestapahtume muodostama joukkoja. Ste tapahtumat ovat otosavaruude S osajoukkoja. Olkoo A jok tapahtuma ja s A o tapahtumaa A kuuluva alkestapahtuma. Tällö ss el A S s A ss.3.3. Todeäkösyyde peruslat Varma tapahtuma Tapahtuma o varma, jos se estyy aa, ku satuaslmö tostuu. Otosavaruus S o varma tapahtuma. Mahdoto tapahtuma Tapahtuma o mahdoto, jos se e vo estyä koskaa, ku satuaslmö tostuu. Tyhjä joukko o mahdoto tapahtuma. 4

17 Todeäkösyyde perusomasuudet Olkoo S otosavaruus, jossa satuaslmötä tarkastellaa. Jokase tapahtuma A S todeäkösyys Pr(A) o reaalluku välllä [0, ]: 0 Pr( A) Varma tapahtuma S todeäkösyys o : Pr( S) Mahdottoma tapahtuma todeäkösyys o 0: Pr( ) Äärellset otosavaruudet ja symmetrset alkestapahtumat Äärellset otosavaruudet Olkoo otosavaruus S äärelle joukko ja olkoo ( S) otosavaruude S alkestapahtume el alkode lukumäärä. Merktää alkestapahtuma Tällö s,,,, S s, s,, s Äärellse otosavaruude alkestapahtume todeäkösyydet Äärellse otosavaruude S = {s, s,, s } alkestapahtume s S todeäkösyydet Pr(s ) = p, =,,, toteuttavat ehdo p Äärellse otosavaruude tapahtumat ja de todeäkösyydet Olkoo A äärellse otosavaruude S tapahtuma el A S. Tällö tapahtuma A todeäkösyys Pr(A) o Pr( A) p sa Summassa lasketaa yhtee kakk todeäkösyydet p = Pr(s ), jolle s A. 5

18 Symmetrset alkestapahtumat ja de todeäkösyydet Oletetaa, että äärellse otosavaruude S = {s, s,, s } alkestapahtume s todeäkösyykslle pätee, että Pr( s ),,,, Tällö saotaa, että alkestapahtumat ovat symmetrsä..4. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt.4.. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt: Johdato Uuse tapahtume johtame ja joukko-op operaatot Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtuma. Jokasta operaatota, jolla tapahtumsta A ja B johdetaa uusa tapahtuma, vastaa jok joukko-op operaato. Uude tapahtuma muodostamsoperaato Vastaava joukko-op operaato A e satu Komplemettjoukko: A c = s S s A A ta B sattuu ta Yhdste: molemmat sattuvat AB = s S s A ta s B A ja B sattuvat Lekkaus: AB = s S s A ja s B A sattuu, Erotus: mutta B e satu A\B = s S s A ja s B = AB c.4.. Komplemetttapahtuma todeäkösyys Komplemetttapahtuma A c todeäkösyys Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Tällö o tapahtuma A komplemetttapahtuma A c todeäkösyys: c (.) Pr( A ) Pr( A).4.3. Tosesa possulkevat tapahtumat ja yhteelaskusäätö Tosesa possulkevat tapahtumat Tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva, jos A ja B evät vo tapahtua samaakasest. Tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva, jos e ovat otosavaruude S osajoukkoa psteverata el AB = Olkoot tapahtumat A ja B tosesa possulkeva. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B). Tällö o yhdstee 6

19 AB = A ta B tapahtuu todeäkösyys: (.) Pr( AB) Pr( A) Pr( B) Ylestetty yhteelaskusäätö paretta tosesa possulkevlle tapahtumlle Olkoot A, A,, A k paretta tosesa possulkeva. Tällö A A j =, ku j. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A ), =,,, k. Tällö o yhdstee A ta A ta ta A k tapahtuu todeäkösyys: (.3) Pr( AA Ak) Pr( A) Pr( A) Pr( Ak).4.4. Rppumattomuus ja tulosäätö Rppumattomuus Tapahtuma A o rppumato tapahtumasta B, jos B: tapahtume (ta tapahtumatta jääme) e vakuta A: tapahtumse todeäkösyytee. Rppumattomuus o symmetre omasuus: Jos A o rppumato B:stä, B o rppumato A:sta. Merktää tapahtume A ja B rppumattomuutta: A B Tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. AB = s S s A ja s B. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B). Tapahtumat A ja B ovat rppumattoma, jos ja va jos lekkaukse AB = A ja B tapahtuvat todeäkösyydelle pätee: (.4) Pr( AB) Pr( A) Pr( B) Ylestetty tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr( A),,,, k 7

20 Tapahtumat A, A,, A k ovat rppumattoma, jos ja va jos kaklle lekkaukslle jossa pätee: A A A m,,,,,, k m (.5) Pr( A A A ) Pr( A ) Pr( A ) Pr( A ) m m Merktää tapahtume A, A,, A k rppumattomuutta: A, A,, Ak.4.5. Ylee yhteelaskusäätö ja erotustapahtuma todeäkösyys Ylee yhteelaskusäätö Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. AB = s S s A ta s B AB = s S s A ja s B Olkoot tapahtume A, B, AB todeäkösyydet Pr(A), Pr(B), Pr(AB). Tällö o yhdstee AB = A ta B tapahtuu todeäkösyys: (.6) Pr( AB) Pr( A) Pr( B) Pr( AB) Erotustapahtuma A\B todeäkösyys Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Olkoo tapahtuma AB todeäkösyys Pr(AB). Tällö o erotustapahtuma A\B = A tapahtuu, mutta B e tapahdu = AB c todeäkösyys: (.7) Pr( A\ B) Pr( AB c ) Pr( A) Pr( AB) 8

21 B: tapahtumsesta seuraa A: tapahtume Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Oletetaa, että jos B tapahtuu, A tapahtuu. Tällö B A. Olkoot tapahtume A ja B todeäkösyydet Pr(A) ja Pr(B). Tällö: Pr(A) Pr(B) Erotustapahtuma todeäkösyys, ku B: tapahtumsesta seuraa A: tapahtume Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Olkoo B A. Olkoot tapahtume A ja B todeäkösyydet Pr(A) ja Pr(B). Tällö o erotukse A\B = A tapahtuu, mutta B e tapahdu todeäkösyys: (.8) Pr( A\ B) Pr( A) Pr( B) Yhdstee AB todeäkösyys Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Yhdstee AB = A ta B tapahtuu todeäkösyys vodaa aa esttää muodossa (.9) Pr( A B) Pr( A) Pr( B\ A) Pr( B) Pr( A\ B) Pr( A\ B) Pr( B\ A) Pr( AB).4.6. Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys A B Olkoo tapahtuma A ja B tapahtuvat todeäkösyys Pr(AB). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B) 0. Tällö o tapahtuma A ehdolle todeäkösyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut: (.0) Pr( A B) Pr( AB) Pr( B) 9

22 .4.7. Rppumattomuus ja ehdolle todeäkösyys Rppumattomuude yhtäptävät ehdot Tapahtumat A ja B ovat rppumattoma, jos ja va jos mkä tahasa seuraavsta yhtäptävstä ehdosta pätee: (.) () Pr( AB) Pr( A) Pr( B) () Pr( AB) Pr( A) () Pr( BA) Pr( B).4.8. Ylee tulosäätö Ylee tulosäätö Olkoo tapahtuma A ehdolle todeäkösyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut Pr(AB). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B) 0. Tällö o lekkaukse AB = A ja B tapahtuvat todeäkösyys: (.) Pr( AB) Pr( B) Pr( A B) Pr( A) Pr( B A) Ylestetty ylee tulosäätö Tarkastellaa tapahtuma A, A,, A k. Tällö o lekkaukse A ja A ja ja A k tapahtuvat todeäkösyys: (.3) Pr( A A A ) Pr( A) Pr( A A) Pr( A A A ) k 3 Pr( Ak AA Ak ).5. Klasse todeäkösyys ja kombatorkka.5.. Klasse todeäkösyys Määrtelmä Olkoo S = s, s,, s äärelle otosavaruus. Oletetaa, että alkestapahtumat s ovat symmetrsä. Tällö 0 Pr( s ), kaklle =,,, Tarkastellaa tapahtumaa A S, joho kuuluu k alkestapahtumaa, jota kutsutaa tapahtumalle A suotusks. Tällö tapahtuma A klasse todeäkösyys o k Pr( A)

23 .5.. Kombatorka perusperaatteet ja perusogelmat Olkoo S = s, s,, s äärelle joukko, joka alkode lukumäärä o = S = (S), jossa S = (S) o lukumääräfukto, joka kertoo jouko S alkode lukumäärä. Joukko Joukko o täys määrätty, jos se alkot tuetaa. Olkoot äärellse jouko A alkot a, a,, a. Tällö merktää Joukkoje samuus Joo A = a, a,, a. Joukot A ja B ovat samat, jos ssä o täsmällee samat alkot: A = B, jos ja va jos x A x B. Joo o täys määrätty, jos se alkot ja de järjestys tuetaa. Olkoo a joo, joka. alko o a, =,,,. Tällö merktää Jooje samuus a = (a, a,, a ). Joot a = (a, a,, a ) ja b = (b, b,, b ) ovat samat, jos ssä o samat alkot samassa järjestyksessä: a = b, jos ja va jos a = b, =,,, Permutaatot Permutaato määrtelmä Mkä tahasa jouko S kakke alkode muodostama joo o jouko S alkode permutaato. Permutaatode lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S kakke alkode permutaatode lukumäärä o (.4)! ( )... jossa! o s. -kertoma. Määrtellää 0! =

24 k-permutaatot el varaatot Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Mkä tahasa jouko S alkode osajoo, jossa o k alkota, o jouko S alkode k-permutaato el varaato. Merktä: P(, k) = : alko jouko k-permutaatode lukumäärä Jos k =, saadaa jouko S kakke alkode permutaato. k-permutaatode lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S alkode k-permutaatode el varaatode lukumäärä o (.5)! P( k, ) ( k)!.5.4. Kombaatot ja bomkertomet Kombaatot Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Mkä tahasa jouko S osajoukko, jossa o k alkota, muodostaa jouko S alkode k alkota ssältävä kombaato. Merktä: C(, k) = Kombaatode lukumäärä : alko jouko k alkota ssältäve kombaatode lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S alkode k alkota ssältäve kombaatode lukumäärä o (.6)! C( k, ) k!( k)! k jossa luku k o s. bomkerro ja se luetaa yl k:. Koska 0! =,!! 0 0!!!0! Bomkaava Bomkaava mukaa :s potess bomlle x + y vodaa esttää muodossa k k ( x y) x y k 0 k x x y x y xy y 0

25 Osajoukkoje lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Jouko S osajoukkoje lukumäärä o. Lukumäärässä o mukaa: - Tyhjä joukko - Kakk yhde alko osajoukot - Kakk kahde alko osajoukot - Kakk ( ): alko osajoukot - Joukko S.5.5. Multomkerro Multomkertome määrtelmä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Oletetaa, että postvset kokoasluvut, =,,, k toteuttavat ehdo = k Ostetaa joukko S psteveras osajoukkoh A, =,,, k ste, että joukossa A o (A ) = alkota. Joukko S, jossa o = (S) alkota, vodaa osttaa (.7)! k!! k! tavalla psteveras osajoukkoh A, =,,, k, jode alkode lukumäärät toteuttavat ehdot: () (A ) =, =,,, k, () = k. Lukumäärä atavaa lauseketta kutsutaa multomkertomeks.. Todeäkösyyde aksoomat.. Todeäkösyyde määrtteleme Ks. luetokalvot 3

26 .. Todeäkösyyde aksoomat äärellsessä otosavaruudessa Boole algebra Olkoot S joukko ja F jok jouko S osajoukkoje muodostama joukkoperhe. Ss, jos joukko A o joukkoperhee F alko, A o jouko S osajoukko: A F A S Joukkoperhe F o Boole algebra, jos () () F AF c A F () AF, BF ABF Boole algebrat ja joukko-op operaatot Olkoot F joukossa S määrtelty Boole algebra ja AF ja BF Boole algebra aksoome mukaa c c, A, B, ABF Lsäks vodaa osottaa, että S, AB, A\ BF Todeäkösyyde aksoomat Olkoo S äärelle otosavaruus ja F se kakke osajoukkoje perhee muodostama Boole algebra. Olkoo Pr joukkofukto, joka lttää jokasee Boole algebraa F kuuluvaa otosavaruude S osajoukkoo A reaalluvu Pr(A). Jos ss AF, Pr( A). Joukkofukto Pr o todeäkösyys, jos () Pr( S) () 0 Pr( A) kaklle AF () AF, BF, AB Pr( AB) Pr( A) Pr( B).3. Todeäkösyyde aksoomat äärettömässä otosavaruudessa -algebra Olkoot S joukko ja F jok jouko S osajoukkoje muodostama joukkoperhe. Ss, jos joukko A o joukkoperhee F alko, A o jouko S osajoukko: A F A S 4

27 Joukkoperhe F o -algebra, jos () () F AF c A F () A, A, F A F -algebrat ja joukko-op operaatot Olkoot F joukossa S määrtelty -algebra ja A F,,, -algebra aksoome mukaa c A F,,, ja A F Lsäks vodaa osottaa, että A F Kolmogorov aksoomat todeäkösyydelle Olkoo S otosavaruus ja F jok jouko S osajoukkoje perhe, joka muodostaa -algebra ja olkoo Pr joukkofukto, joka lttää jokasee -algebraa F kuuluvaa otosavaruude S osajoukkoo A reaalluvu Pr(A). Jos ss AF, Pr( A). Joukkofukto Pr o todeäkösyys, jos () Pr( S) () 0 Pr( A) kaklle AF () A, A, F ja A Aj, j Pr( A) Pr( A) 3. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava 3.. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava: Johdato Ks. luetokalvot 5

28 3.. Kokoastodeäkösyyde kaava Otosavaruude ostus Otosavaruude S epätyhjät osajoukot B, B,, B muodostavat otosavaruude S ostukse tosesa possulkev tapahtum, jos () B, =,,, () B B j =, j () S = B B B Otosavaruude ostukse dusoma ostus Olkoo A S otosavaruude S osajoukko. Olkoo B, B,, B otosavaruude S ostus. Ostus B, B,, B duso ostukse joukkoo A: ja Määrtelmä (AB )(AB j ) =, j A = (AB )(AB ) (AB ). Olkoo A S otosavaruude S osajoukko. Olkoo B, B,, B otosavaruude S ostus. Olkoo (AB ), (AB ),, (AB ) ostukse B, B,, B dusoma ostus joukkoo A. Tällö kokoastodeäkösyyde kaava mukaa (.8) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) 3.3. Bayes kaava Määrtelmä Olkoo A S otosavaruude S osajoukko. Olkoo B, B,, B otosavaruude S ostus. Ehdollse todeäkösyyde määrtelmä mukaa Pr( A B) Pr( B) Pr( AB) Pr( B A) Pr( A) Pr( A) Soveltamalla mttäjää kokoastodeäkösyyde kaavaa saadaa Bayes kaava: (.9) Pr( B A) Pr( B) Pr( A B) j Pr( B ) Pr( A B ) j j 4. Verkot todeäkösyyslaskeassa Ks. luetokalvot 6

29 5. Väärkästyksä todeäkösyyde luoteesta Ks. luetokalvot 6. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 6.. Satuasmuuttujat 6... Dskreett satuasmuuttujat Satuasmuuttuja: määrtelmä Olkoo (mtalle) fukto otosavaruudesta S reaallukuje joukkoo: : S Tällö o satuasmuuttuja. Dskreett satuasmuuttujat Olkoo otosavaruus S äärelle ta umerotuvast ääretö. Tällö reaalarvoe fukto : S joka saa äärellse ta umerotuvast äärettömä määrä erllsä arvoja o dskreett satuasmuuttuja. Dskreet satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma: määrtelmä Olkoo otosavaruus S äärelle ta umerotuvast ääretö. Olkoot satuasmuuttuja : S arvot el umeerset tulosvahtoehdot ta x =,,,, jos S o äärelle x =,,, jos S o umerotuvast ääretö Tulosvahtoehdot x ja de todeäkösyydet Pr( = x ) = p muodostavat dskreet todeäkösyysjakauma (use: jakauma), jos todeäkösyydet p toteuttavat ehdot () 0 p kaklle () p S äärelle p S umerotuvast ääretö 7

30 Dskreet jakauma pstetodeäkösyysfukto Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka saa arvot x =,, todeäkösyyksllä Pr( = x ) = p Tällö lukupart (x, p ) =,, =,, muodostavat dskreet jakauma pstetodeäkösyysfukto. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto f vodaa määrtellä myös kaavalla p, xx, x, f( x) Pr( x) 0, xx, x, 6... Jatkuvat satuasmuuttujat Jatkuvat satuasmuuttujat Satuasmuuttuja o jatkuva, jos se saa kakk arvot joltak reaalaksel välltä ja todeäkösyys, että saa mkä tahasa yksttäse arvo o olla. Jatkuva todeäkösyysjakauma ja se theysfukto: määrtelmä Fukto f määrttelee satuasmuuttuja jatkuva todeäkösyysjakauma (use: jakauma), jos () f( x) o x: jatkuva fukto () f( x) 0 kaklle x (3) f( x) dx (4) Pr( a b) f( x) dx b a Fuktota f kutsutaa todeäkösyystheysfuktoks ta pelkästää theysfuktoks. 6.. Kertymäfukto 6... Kertymäfukto määrtelmä Kertymäfukto Satuasmuuttuja kertymäfukto F o reaalarvoe fukto F(x) = Pr( x) Kakk satuaslmöö lttyvät todeäkösyydet vodaa lmasta lmöö lttyvä satuasmuuttuja kertymäfukto F avulla. 8

31 Kertymäfukto omasuudet Fukto F: 0, o kertymäfukto, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: () lm F( x) 0 h () lm F( x) h (3) F o e-väheevä fukto: F( x ) F( x ), jos x x (4) F o jatkuva okealta: lm F( xh) F( x) h0 Jos fukto F: 0, o kertymäfukto, : (5) Pr( x) F( x) (6) Pr( a b) F( b) F( a) 6... Dskreet jakauma kertymäfukto Dskreet jakauma kertymäfukto Oletukset: - o dskreett satuasmuuttuja. - x, x, o : tulosvahtoehtoje el arvoje joukko. - f(x ) = p = Pr( = x ), =,, o : pstetodeäkösyysfukto. Määrtellää fukto F: 0, (.0) F( x) Pr( x) p x x F o satuasmuuttuja kertymäfukto. Dskreet jakauma kertymäfukto ja pstetodeäkösyysfukto yhteys (.) Pr( x ) p f( x ) F( x ) F( x ) Dskreet jakauma todeäkösyydet Dskreet jakauma tapauksessa väl (a, b todeäkösyys o (.) Pr( a b) F( b) F( a) p x a, b 9

32 6..3. Jatkuva jakauma kertymäfukto Jatkuva jakauma kertymäfukto Oletukset: - o jatkuva satuasmuuttuja. - f o : theysfukto. Määrtellää fukto F: 0, (.3) F( x) Pr( x) f( t) dt x F o satuasmuuttuja kertymäfukto. Jatkuva jakauma kertymäfukto F(x) o jatkuva e-väheevä fukto. Jatkuva jakauma kertymäfukto ja theysfukto yhteys d (.4) f ( x) F( x) F( x) dx Jatkuva jakauma todeäkösyydet Jatkuva jakauma tapauksessa väl [a, b todeäkösyys o (.5) Pr( a b) F( b) F( a) f( x) dx b a 7. Jakaume tuusluvut 7.. Odotusarvo 7... Dskreet jakauma odotusarvo Dskreet jakauma odotusarvo Oletukset: - o dskreett satuasmuuttuja. - x, x, o : tulosvahtoehtoje el arvoje joukko. - f(x ) = p = Pr( = x ), =,, o : pstetodeäkösyysfukto. Tällö vako (.6) E( ) xp xf( x) o satuasmuuttuja odotusarvo. 30

33 7... Jatkuva jakauma odotusarvo Jatkuva jakauma odotusarvo Oletukset: - o jatkuva satuasmuuttuja. - f o : theysfukto Tällö vako (.7) E( ) xf( x) dx o satuasmuuttuja odotusarvo Odotusarvo omasuuksa Odotusarvo omasuuksa Vako a odotusarvo: (.8) E( a) a Satuasmuuttuja leaarmuuokse = a + b odotusarvo: (.9) E( ) abe( ) Satuasmuuttuje summa ja erotukse odotusarvo Satuasmuuttuje ja summa + odotusarvo: (.30) E( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuje ja erotukse odotusarvo: (.3) E( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuje paotetu summa odotusarvo Olkoot, =,,, satuasmuuttuja ja a, =,,, vakota. Satuasmuuttuje, =,,, paotetu summa a odotusarvo o (.3) Ea a E( ) Kaava (.3) ssältää erkostapauksaa kaavat (.30) ja (.3). 3

34 Satuasmuuttuja fuktode odotusarvo Olkoo satuasmuuttuja ja g reaalarvoe fukto. Satuasmuuttuja g() odotusarvo o dskreet jakauma tapauksessa: (.33) E( g( )) ( ) g( x ) p g( x ) f( x ) ja jatkuva jakauma tapauksessa: g (.34) E( g( )) g ( ) gxf ( ) ( xdx ) Momett Olkoo satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuja k odotusarvo k (.35) E( ) k o satuasmuuttuja k. momett (orgo suhtee). Ertysest: 0 E( ) 7.. Varass Varass: määrtelmä Olkoo satuasmuuttuja odotusarvo E( ) Satuasmuuttuja varass o vako (.36) jossa D( ) Var( ) E ( ) E( ) E( ) = E( ) = : toe momett. Satuasmuuttuja varass: - Dskreett jakauma: (.37) D( ) Var( ) ( x ) p - Jatkuva jakauma: (.38) D( ) Var( ) ( x ) () f x dx 3

35 Stadardpokkeama: määrtelmä Satuasmuuttuja stadardpokkeama el keskhajota o varass elöjuur (.39) D( ) Var( ) E ( ) Varass omasuuksa Vako a varass: (.40) D() a Var( a) 0 Satuasmuuttuja leaarmuuokse = a + b varass: (.4) D( )=Var() b Var( ) Stadardot Olkoo satuasmuuttuja, joka odotusarvo E() = ja varass D () =. Tällö stadardodu muuttuja (.4) odotusarvo o ja varass E( ) 0 D() Var() Summa ja erotukse varass rppumattomlle satuasmuuttujlle Oletetaa, että satuasmuuttujat ja ovat rppumattoma. Satuasmuuttuje ja summa + varass: (.43) D( ) Var( ) D( ) D() Satuasmuuttuje ja erotukse varass: (.44) D( ) Var( ) D( ) D() Satuasmuuttuje summa varass ylesessä tapauksessa katso (.84). 33

36 Paotetu summa varass rppumattomlle satuasmuuttujlle Olkoot satuasmuuttujat, =,,, rppumattoma ja a, =,,, vakota. Rppumattome satuasmuuttuje, =,,, paotetu summa a varass o (.45) D avaraad ( ) Artmeette keskarvo ja varass rppumattomlle satuasmuuttujlle Olkoot, =,,, rppumattoma satuasmuuttuja. Olkoot satuasmuuttujlla, =,,, sama odotusarvo ja varass: Olkoo E( ) =, D ( ) = Var( ) =, =,,, (.46) satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo. Tällö E( ) (.47) D( ) Var( ) 7.3. Suurte lukuje lak Suurte lukuje lak Olkoot, =,,, rppumattoma samo jakautueta satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttujlla, =,,, o sama odotusarvo ja varass: E( ) =, D ( ) = Var( ) =, =,,, Olkoo Tällö lm Pr( ) 0 Kaava yllä o s. hekko suurte lukuje lak. 34

37 8. Dskreettejä todeäkösyysjakauma 8.. Dskreett tasae jakauma Määrtelmä Satuasmuuttuja X oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa, jos () X o dskreett satuasmuuttuja () X saa arvot x, x,, x (3) Pr(X = x k ) = p k = /, k =,,, Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) x x k Varass ja stadardpokkeama: D( X) ( xk x) k D( X) ( xk x) k 8.. Beroull-jakauma X ~ Beroull(p) Määrtelmä Olkoo A S tapahtuma ja Pr(A) = p.tällö Pr(A c ) = Pr(A) = p = q. Määrtellää satuasmuuttuja X:, jos A tapahtuu X 0, jos A e tapahdu Tällö X: jakauma o Pr( X ) p Pr( X 0) p q Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa (.48) f x p p x x x ( ) ( ), 0, Satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p. Merktä: X ~ Beroull(p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) p 35

38 Varass ja stadardpokkeama: D( X) D( X) pq pq Beroull-kokeet Useat dskreett todeäkösyysjakaumat sytyvät tostamalla rppumattoma Beroull-koketa. - Bomjakauma: Tarkastellaa todeäkösyyttä, että tapahtuma A sattuu x kertaa tosto akaa. - Geometre jakauma: Tarkastellaa todeäkösyyttä, että tapahtuma A sattuu esmmäse kerra x:ellä tostolla. - Negatve bomjakauma: Tarkastellaa todeäkösyyttä, että tapahtuma A sattuu r:e kerra x:ellä tostolla Bomjakauma X ~ B(, p) Määrtelmä Tostetaa samaa Beroull-koetta kertaa, jossa o kteä, etukätee päätetty luku. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A S sattumsta koetostoje akaa. Oletetaa, että Pr( A) p c Pr( A ) Pr( A) p q Määrtellää satuasmuuttuja X: X = Tapahtuma A estymste lukumäärä -kertasessa Beroull-kokeessa Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa x x (.49) f ( x) p q, x0,,,, x Satuasmuuttuja X oudattaa bomjakaumaa parametre ja p. Merktä: X ~ B(, p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) p Varass ja stadardpokkeama: 36

39 D( X ) D( X ) pq pq 8.4. Geometre jakauma X ~ Geom(p) Määrtelmä Tostetaa samaa Beroull-koetta. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A S sattumsta koetostoje akaa. Oletetaa, että Pr( A) p c Pr( A ) Pr( A) p q Määrtellää satuasmuuttuja X: X = Tehtyje Beroull-kokede lukumäärä, ku A sattuu esmmäse kerra Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa (.50) x f( x) q p, x,, Satuasmuuttuja X oudattaa geometrsta jakaumaa parametrlla p. Merktä: X ~ Geom(p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X ) p Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Kertymäfukto q p Geometrse jakauma kertymäfukto o q p (.5) F( x) Pr( X x) ( p) q [ x] [ x] mssä [x] o suur kokoasluku, joka o peemp ta yhtä suur ku x. 37

40 8.5. Negatve bomjakauma X ~ NegB(r, p) Määrtelmä Tostetaa samaa Beroull-koetta. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A S sattumsta koetostoje akaa. Oletetaa, että Pr( A) p c Pr( A ) Pr( A) p q Määrtellää satuasmuuttuja X: X = tehtyje Beroull-kokede lukumäärä, ku A sattuu r:e kerra Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa (.5) x xr r f( x) q p, xr, r, r, r Satuasmuuttuja X oudattaa egatvsta bomjakaumaa parametrlla p. Merktä: X ~ NegB(r, p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: r E( X ) p Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) rq p 8.6. Hypergeometre jakauma X ~ HyperGeom(N, r, ) Määrtelmä rq p Olkoo perusjouko S koko (S) = N. Tarkastellaa perusjouko ostusta tapahtum A ja A c ja oletetaa, että A ( ) r A ( c ) Nr Pomtaa perusjoukosta osajoukko B, joka koko o (B) = Määrtellää satuasmuuttuja X: 38

41 X = Osajoukkoo B tullede A: alkode lukumäärä Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa rn r x x (.53) f ( x), max[0, ( N r)] xm(, r) N Satuasmuuttuja X oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r,. Merktä: X ~ HyperGeom(N, r, ). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: r E( X) N Varass ja stadardpokkeama: r r N D( X) N N N r r N D( X) N N N 8.7. Posso-jakauma X ~ Posso() Määrtelmä Tostetaa samaa satuaskoetta. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa jok tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. Oletetaa, että tapahtumat sattuvat vakoopeudella ajassa ta tlassa (avaruudessa). Määrtellää satuasmuuttuja X: X = Tapahtuma A estymste lukumäärä aka- ta tlaykskköä kohde Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa x e (.54) f( x), x0,,, x! Satuasmuuttuja X oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla. Merktä: X ~ Posso(). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X ) 39

42 Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Posso-prosess Tarkastellaa jok tapahtuma sattumsta jatkuvalla akavälllä, joka ptuus o t. Olkoo satuasmuuttuja X = de tapahtume lukumäärä, jotka sattuvat akavälllä t Sopv oletuks X ~ Posso(t) Parametr kuvaa tapahtumatesteettä el tapahtume keskmäärästä lukumäärää akaykskköä kohde. E(X) = D (X) = t 9. Jatkuva todeäkösyysjakauma 9.. Jatkuva tasae jakauma X ~ Uform(a, b) ta X ~ Tas(a, b) Määrtelmä Satuasmuuttuja X oudattaa jatkuvaa tasasta jakaumaa parametre a, b, jos se theysfukto o muotoa (.55) f ( x), a x b b a Merktä: X ~ Uform(a, b) ta X ~ Tas(a, b). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: a b E( X ) Varass ja stadardpokkeama: ( b a) D( X ) b a D( X ) 3 40

43 9.. Ekspoettjakauma X ~ Exp() Määrtelmä Satuasmuuttuja X oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla, jos se theysfukto o muotoa x (.56) f( x) e exp( x), x0, 0 Merktä: X ~ Exp(). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X ) Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Ekspoettjakauma ja Posso-prosess Tarkastellaa jok tapahtuma sattumsta jatkuvalla akavälllä, joka ptuus o w. Olkoo satuasmuuttuja X = Nde tapahtume lukumäärä, jotka sattuvat akavälllä w Sopv oletuks X ~ Posso(w) Posso-jakauma parametr kuvaa tapahtumatesteettä el tapahtume keskmäärästä lukumäärää akaykskköä kohde. Olkoo satuasmuuttuja Tällö W = Esmmäse tapahtuma sattumsaka W ~ Exp() 9.3. Normaaljakauma X ~ N(, ) Määrtelmä Satuasmuuttuja oudattaa ormaaljakaumaa parametre (, ), jos se theysfukto o muotoa (.57) x f( x) exp 4

44 Merktä: X ~ N(, ). Saota: satuasmuuttuja X o ormaale parametre ja. Normaaljakaumaa kutsutaa use keksjäsä mukaa Gauss jakaumaks ja se theysfukto kuvaajaa Gauss käyräks ta kellokäyräks (egl. bell curve). Odotusarvo ja varass Olkoo X ~ N(, ). Odotusarvo: E( X ) Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Stadardotu ormaaljakauma Olkoo X ~ N(0, ), jollo ss E( X ) 0 D( X ) Tällö X oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa. Stadardot Oletukset: X ~ N(, ). Stadardodaa satuasmuuttuja X: Z X Tällö stadardotu satuasmuuttuja Z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ): Z ~N(0,) Todeäkösyykse määrääme ormaaljakaumasta Todeäkösyydet mstä tahasa ormaaljakaumasta N(, ) vodaa määrätä stadardodu ormaaljakauma N(0, ) avulla. Olkoo X ~ N(, ) ja Z ~ N(0, ). Tällö a b (.58) Pr( a X b) Pr Z Leaarmuuokse jakauma Oletukset: X ~ N(, ) Y = a + bx, jossa a ja b ovat (e-satuasa) vakota 4

45 Tällö satuasmuuttuja Y o ormaale: Y a b b ~N(, ) Kahde rppumattoma ormaaljakautuee satuasmuuttuja summa jakauma Oletukset: - X ~ N( X, X ) - Y ~ N( Y, Y ) - X ja Y ovat rppumattoma. - W = X + Y Tällö summa W = X + Y o ormaale: W ~N( X Y, X Y) Rppumattome ormaaljakautuede satuasmuuttuje summa jakauma Oletukset: Olkoo X, =,,, joo rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja. Ste Olkoo X ~N(, ),,,, X, X,, X Y X satuasmuuttuje X, =,,, summa. Tällö summa Y o ormaale: (.59) Y ~N(, ) Samaa ormaaljakaumaa oudattave rppumattome satuasmuuttuje summa jakauma Oletukset: Olkoo X, =,,, joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja. Ste X ~N(, ),,,, X, X,, X 43

46 Olkoo Y X satuasmuuttuje X, =,,, summa. Tällö summa Y o ormaale: (.60) Y X ~N(, ) Normaaljakautuede rppumattome satuasmuuttuje artmeettse keskarvo jakauma Oletukset: Olkoo X, =,,, joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja. Ste Olkoo X ~N(, ),,,, X, X,, X X X satuasmuuttuje X, =,,, artmeette keskarvo. Tällö artmeette keskarvo o ormaale: (.6) X ~N(, ) Ste rppumattome, samaa ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje artmeette keskarvo o ormaale. Keskee raja-arvolause Oletukset: Olkoo X, =,, o joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja. Ste E( X ),,, D( X ),,, Olkoo Y X satuasmuuttuje X, =,,, summa. Summa Y odotusarvo ja varass ovat 44

47 E( Y ) D( Y ) Stadardodaa summa Y : Z Y Aetaa +. Tällö satuasmuuttuja Z jakauma lähestyy stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ). Z Y a N(0,), jossa ~ a tarkottaa asymptoottsta jakaumaa el approksmatvsta jakaumaa suurlla : arvolla. Keskese raja-arvolausee mukaa ss X (.6) lm Pr z ( z) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Keskee raja-arvolause ja artmeettse keskarvo asymptootte jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa: Rppumattome samo jakautuede satuasmuuttuje X, =,,, artmeette keskarvo X X N, a o suurlle (mutta äärellslle) approksmatvsest ormaale parametre, /. De Movre ja Laplace raja-arvolause Olkoo X ~ B(, p) ja q = p. Tällö X a N p, pq (.63) X p lm Pr z ( z) pq jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. 45

48 De Movre ja Laplace raja-arvolause ja bomtodeäkösyydet Jos X ~ B(, p) ja q = p, De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa suurlle bp ap Pr( a X b) pq pq jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b/p a/p Pr( a X b) pq pq Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b/p Pr( X b) FX ( b) pq jossa F X o bomjakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a/p a/p Pr( X a) fx ( a) pq pq jossa f X o bomjakauma pstetodeäkösyysfukto. Posso-jakauma ja ormaaljakauma Olkoo X ~ Posso(). Tällö X a N, (.64) X lm Pr z ( z) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Posso-todeäkösyydet ja ormaaljakauma Jos X ~ Posso(), suurlle b a Pr( a X b) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa 46

49 b/ a/ Pr( a X b) Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b / Pr( X b) FX ( b) jossa F X o Posso-jakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a/ a/ Pr( X a) fx ( a) jossa f X o Posso-jakauma pstetodeäkösyysfukto Normaaljakaumasta johdettuja jakauma jakauma X ~ () -jakauma: määrtelmä Oletukset: Olkoot Z, =,,, rppumattoma, stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö Z ~N(0,),,,, Z, Z,, Z Olkoo X Z N(0, )-jakautuede, rppumattome satuasmuuttuje Z, =,,, elösumma. Tällö satuasmuuttuja X oudattaa -jakaumaa (Kh -jakaumaa) :llä vapausasteella. Merktä: X ~ (). -jakauma: vapausasteet -jakauma vapausastede lukumäärä vttaa rppumattome yhteelaskettave lukumäärää -jakauma määrttelevässä elösummassa. Vapausastede lukumäärä o -jakauma muodo määräävä parametr. -jakauma odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) 47

50 Varass ja stadardpokkeama: D( X) D( X) Studet t-jakauma T ~ t() Studet t-jakauma: määrtelmä Oletukset: Olkoot Y ja X, =,,, rppumattoma, stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö Y ~N(0,) ja X ~N(0,),,,, Y, X, X,, X X X ~ ( ) Y X Olkoo Y T X jossa ss Y ~ N(0,), X ~ ( ), Y X Tällö satuasmuuttuja T oudattaa (Studet) t-jakaumaa :llä vapausasteella. Merktä: T ~ t(). t-jakauma odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( T) 0, Varass ja stadardpokkeama: D( T), D( T), t-jakauma ja ormaaljakauma t-jakauma lähestyy stadardotua ormaaljakaumaa, ku vapausastede lukumäärä kasvaa. 48

51 Koska t-jakauma lähestyy vapausastede lukumäärä kasvaessa stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ), vodaa t-jakaumaa lttyvät todeäkösyydet määrätä suurlla vapausastede luvulla stadardodusta ormaaljakauma avulla. Normaaljakauma-approksmaato t-jakaumalle o kohtuulle jo, ku = 30, ja rttävä usemp tarkotuks, ku > F-jakauma F ~ F(m, ) F-jakauma: määrtelmä Oletukset: Olkoot Y, =,,, m ja X, =,,, rppumattoma, stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö Y ~ N(0,),,,, m ja X ~ N(0,),,,, Y, Y,, Y, X, X,, X m m Y Y ~ ( m), X X ~ ( ) Y X Olkoo Y F m X jossa ss Y ~ ( m), X ~ ( ), Y X Tällö satuasmuuttuja F oudattaa (Fsher) F-jakaumaa m:llä ja :llä vapausasteella. Merktä: F ~ F(m, ). F-jakauma: vapausasteet F-jakauma vapausastede lukumäärstä esmmäe (m) vttaa rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa oudattave yhteelaskettave lukumäärää F-jakauma määrttelevä lausekkee osottajassa. F-jakauma vapausastede lukumäärstä toe () vttaa rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa oudattave yhteelaskettave lukumäärää F-jakauma määrttelevä lausekkee mttäjässä. F-jakauma odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( F), 49

52 Varass ja stadardpokkeama: m ( ) ( 4) (m 4) D( F), 4 (m4) D( F), 4 m ( ) ( 4) F-jakauma: omasuuksa Olkoo F ~ F(m, ) Tällö ~ F( m, ) F F-jakauma ja t-jakauma Olkoo T ~ t(). Tällö T ~ F(, ) Olkoo F ~ F(, ). Tällö F t ( ) 0. Yhtesjakaumat 0.. Kaksulotteset jakaumat Kaksulotteset satuasmuuttujat Olkoot X ja Y satuasmuuttuja, jode otosavaruudet ovat R ja S. Olkoo RS otosavaruukse R ja S karteese tulo. Satuasmuuttuje X ja Y järjestetty par (X, Y) määrttelee kaksulottese satuasmuuttuja (X, Y): RS Kaksulottee dskreett jakauma Olkoot X ja Y dskreettejä satuasmuuttuja. Tällö järjestetty par (X, Y) määrttelee -ulottese dskreet satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja (X, Y) määrttelee -ulottese dskreet todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa satuasmuuttuje X ja Y yhtesjakaumaks. Olkoot x, x, satuasmuuttuja X saamat arvot ja vastaavast y, y, satuasmuuttuja Y saamat arvot. Kaksulottee dskreett jakauma: pstetodeäkösyysfukto Reaalarvoe fukto f XY : määrttelee -ulottese dskreet satuasmuuttuja (X, Y) yhtesjakauma pstetodeäkösyysfukto, jos 50

53 (.65) () f ( x, y ) 0, kaklla, kaklla j XY j () f ( x, y ) j XY j (3) Pr( X x, Y y ) f ( x, y ) j XY j Kaksulottee dskreett jakauma: tapahtuma todeäkösyys Olkoo A Tällö Pr ( X, Y) A f ( x, y ) ( x, y) A XY j Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto Reaalarvoe jatkuva fukto f XY : määrttelee kaksulottese jatkuva satuasmuuttuja (X, Y) yhtesjakauma theysfukto, jos (.66) () f ( x, y) 0, kaklla x, kaklla y XY () f ( x, y) dydx XY (3) Pr( a X b, cy d) f ( x, y) dydx bd ac XY Olkoo Tällö A Pr ( X, Y ) A f ( x, y) dydx Kaksulottese jakauma kertymäfukto Kaksulottese jakauma kertymäfukto F XY o (.67) F ( x, y) Pr( X x, Y y) XY A XY Kaksulottese dskreet jakauma kertymäfukto Olkoot x, x, ja y, y, vastaavast satuasmuuttuje X ja Y tulosvahtoehtoje el arvoje joukot. Kaksulottese dskreet jakauma kertymäfukto o (.68) FXY ( x, y) Pr( X x, Y y) fxy ( x, yj ) xx yjy 5

54 Kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto Kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto o x y (.69) FXY ( x, y) Pr( X x, Y y) fxy ( u, v) dvdu Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto ja kertymäfukto Olkoo (X, Y) jatkuva kaksulottee satuasmuuttuja. Olkoo F XY (x, y) kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto. Jos dervaatta (.70) FXY ( x, y) xy f XY ( x, y) o olemassa ja o jatkuva, fukto f XY (x, y) o satuasmuuttuja (X, Y) yhtesjakauma theysfukto. Kaksulottese dskreet jakauma reuajakaumat Olkoo f XY (x, y j ) dskreet kaksulottese jakauma pstetodeäkösyysfukto. Satuasmuuttuja X reuajakauma pstetodeäkösyysfukto o (.7) f ( x ) Pr( X x ) f ( x, y ) X XY j j Satuasmuuttuja Y reuajakauma pstetodeäkösyysfukto o (.7) f ( y ) Pr( Y y ) f ( x, y ) Y j j XY j Kaksulottese jatkuva jakauma reuajakaumat Olkoo f XY (x, y) jatkuva -ulottese jakauma theysfukto. Satuasmuuttuja X reuajakauma theysfukto o (.73) f X( x) fxy( x, y) dy Satuasmuuttuja Y reuajakauma theysfukto o (.74) fy( y) fxy( x, y) dx Satuasmuuttuje rppumattomuus Oletukset: - Olkoo satuasmuuttuje X ja Y yhtesjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto f XY (x, y). 5

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare

Lisätiedot

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan kertausta

Todennäköisyyslaskennan kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta Todeäkösyyslaskea kertausta 1. Joukko-opp Alko, Erotus, Joukko, Komplemett, Lekkaus, Perusjoukko, Psteveraus, Tyhjä joukko, Uo, Yhdste. Todeäkösyys ja se määrtteleme Alkestapahtuma,

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila Kalvoissa käytetään materiaalia P. Palon vuoden 2005 kurssista. 07.09.2007 Antti Rasila () SovTodB 07.09.2007 07.09.2007 1 / 24 1 Todennäköisyyslaskennan

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 27. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 27. syyskuuta 2007 1 / 15 1 Diskreetit jakaumat Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat: MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet

Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Konvergenssikäsitteet ja raja arvolauseet Ilkka Melli Todeäköisyyslasketa Osa 2: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2006) 1 Kovergessikäsitteet ja raja arvolauseet >> Kovergessikäsitteitä

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todeäköisyyslasketaa Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet TKK (c) Ilkka Melli (2004) 1 Kovergessikäsitteet ja raja-arvolauseet Kovergessikäsitteitä Suurte lukuje lait Keskeie raja-arvolause

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut

8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todeäköisyyslasku, kevät -05 Heliövaara, Palo, Melli 8. laskuharjoituskierros, vko 11, ratkaisut D1. Oletetaa, että havaiot X i, i = 1, 2,..., 100 muodostavat yksikertaise satuaisotokse

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden peruslaskusäännöt Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden peruslaskusäännöt TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden peruslaskusäännöt >> Uusien tapahtumien muodostaminen

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7. Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (005) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo ja otosvariassi otosjakaumat

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset

Lisätiedot

Hanna-Kaisa Hurme Teräksen tilastollinen rakenneanalyysi Diplomityö

Hanna-Kaisa Hurme Teräksen tilastollinen rakenneanalyysi Diplomityö Hanna-Kasa Hurme Teräksen tlastollnen rakenneanalyys Dplomtyö Tarkastajat: professor Kejo Ruohonen (TUT) ja dosentt Esko Turunen (TUT) Tarkastajat ja ahe hyväksytty Luonnonteteden ja ympärstöteknkan tedekuntaneuvoston

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat

Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 5. harjoitukset/ratkaisut. Jatkuvat jakaumat Mat-2.09 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Jatkuvat jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Eksponenttijakauma, Jatkuva tasainen jakauma, Kertymäfunktio, Mediaani, Normaaliapproksimaatio, Normaalijakauma,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.

r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät

Lisätiedot

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

Näytteenoton virhelähteet, luotettavuuden estimointi ja näytteenottoketjun optimointi

Näytteenoton virhelähteet, luotettavuuden estimointi ja näytteenottoketjun optimointi FIAS S5/000 Opas äytteeoto tekste vaatmuste täyttämseks akkredtota varte 5 (9) Lte äytteeoto vrhelähteet, luotettavuude estmot ja äytteeottoketju optmot Pett Mkke äytteeoto vrhelähteet, luotettavuude estmot

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia

Todennäköisyyslaskenta: Todennäköisyysjakaumia Todeäköisyysjakaumia Todeäköisyyslasketa: Todeäköisyysjakaumia 6. Diskreettejä jakaumia 7. Jatkuvia jakaumia 8. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia 9. Moiulotteisia jakaumia Ilkka Melli 35 Todeäköisyysjakaumia

Lisätiedot

7. Menetysjärjestelmät

7. Menetysjärjestelmät lueto7.ppt S-38.45 Leeteora perusteet Kevät 25 Ssältö Kertausta: ysertae leeteoreette mall Posso-mall asaata, palvelota Sovellus vrtaava dataletee malltamsee vuotasolla Erlag-mall asaata, palvelota < Sovellus

Lisätiedot

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt - Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat - Todennäköisyyden määritteleminen KE (2014) 1 Satunnaiskokeet, otosavaruudet ja tapahtumat

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot