Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Transkriptio

1 Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut Mkko Nordlud

2

3 Käytetyt merkät...6 Numerodut kaavat ja määrtelmät...7 Equato Chapter (Next) Secto Osa : Todeäkösyyslasketa.. Todeäkösyyslaskea peruskästteet..... Determstsyys ja satuasuus..... Todeäkösyyde määrtteleme Todeäkösyyde määrtteleme: Johdato Empre todeäkösyys Klasse todeäkösyys Todeäkösyyde perusomasuudet Tlastollset mallt Otosavaruudet Todeäkösyyde peruslat Äärellset otosavaruudet ja symmetrset alkestapahtumat Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt: Johdato Komplemetttapahtuma todeäkösyys Tosesa possulkevat tapahtumat ja yhteelaskusäätö Rppumattomuus ja tulosäätö Ylee yhteelaskusäätö ja erotustapahtuma todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys Rppumattomuus ja ehdolle todeäkösyys Ylee tulosäätö Klasse todeäkösyys ja kombatorkka Klasse todeäkösyys Kombatorka perusperaatteet ja perusogelmat Permutaatot Kombaatot ja bomkertomet Multomkerro Todeäkösyyde aksoomat Todeäkösyyde määrtteleme Todeäkösyyde aksoomat äärellsessä otosavaruudessa Todeäkösyyde aksoomat äärettömässä otosavaruudessa... 4

4 3. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava: Johdato Kokoastodeäkösyyde kaava Bayes kaava Verkot todeäkösyyslaskeassa Väärkästyksä todeäkösyyde luoteesta Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttujat Dskreett satuasmuuttujat Jatkuvat satuasmuuttujat Kertymäfukto Kertymäfukto määrtelmä Dskreet jakauma kertymäfukto Jatkuva jakauma kertymäfukto Jakaume tuusluvut Odotusarvo Dskreet jakauma odotusarvo Jatkuva jakauma odotusarvo Odotusarvo omasuuksa Varass Suurte lukuje lak Dskreettejä todeäkösyysjakauma Dskreett tasae jakauma Beroull-jakauma X ~ Beroull(p) Bomjakauma X ~ B(, p) Geometre jakauma X ~ Geom(p) Negatve bomjakauma X ~ NegB(r, p) Hypergeometre jakauma X ~ HyperGeom(N, r, ) Posso-jakauma X ~ Posso()...39

5 9. Jatkuva todeäkösyysjakauma Jatkuva tasae jakauma X ~ Uform(a, b) ta X ~ Tas(a, b) Ekspoettjakauma X ~ Exp() Normaaljakauma X ~ N(, ) Normaaljakaumasta johdettuja jakauma jakauma X ~ () Studet t-jakauma T ~ t() F-jakauma F ~ F(m, ) Yhtesjakaumat Kaksulotteset jakaumat Kaksulottese jakauma odotusarvo ja varass Kaksulottese jakauma kovarass ja korrelaato Ehdollset jakaumat ja odotusarvot Moulottesa jakauma Multomjakauma Kaksulottee ormaaljakauma

6 Equato Secto (Next)Osa : Tlastotede Tlastollse tutkmusaesto kerääme Tlastolle aesto Havatoaesto kuvalu Tlastolle aesto Havatoaesto kuvalu: frekvessjakauma ja luokteltu frekvessjakauma Havatoaesto kuvalu: yhde muuttuja tuusluvut Artmeette keskarvo, otosvarass ja otoskeskhajota Järjestystuusluvut Useampulottese havatoaesto kuvalu: pstedagramm Useampulottese havatoaesto kuvalu: kahde muuttuja tuusluvut Otos ja otosjakaumat Suhteellse frekvess otosjakauma Artmeettse keskarvo otosjakauma Estmot Pste-estmot Eräde tavallste jakaume parametre SU-estmot Beroull-jakauma parametr SU-estmot Ekspoettjakauma parametr SU-estmot Normaaljakauma parametre SU-estmot Välestmot Eräde tavallste jakaume parametre luottamusvälejä Beroull-jakauma parametr p luottamusväl Luottamusväl ormaaljakauma odotusarvoparametrlle Testaus Hypoteese testaus: hypoteest Hypoteese testaus: testsuure Hypoteese testaus: P-arvo Hypoteese testaus: merktsevyystaso ja hylkäysalue Hypoteese testaus: vrheet testauksessa Hypoteese testaus: test suortus

7 6. Testt odotusarvolle ja varasselle Testt perusjouko odotusarvolle Test perusjouko odotusarvolle, ku otos o ormaaljakaumasta Test perusjouko odotusarvolle, ku otos e ole ormaaljakaumasta Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma ja ormaaljakautueta Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma, ormaaljakautueta ja varasst ovat yhtä suura Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset evät ole rppumattoma el s. parvertalutest Testt perusjouko varasslle Perusjouko varassa koskeva test Kahde perusjouko varasse vertalutest Suhteellsa osuuksa koskevat testt Test todeäkösyydelle Todeäkösyykse vertalutest Yhteesopvuustest Homogeesuustest Rppumattomuustest Regressoaalyys Regressoaalyys dea Leaare regressomall Leaarse regressomall estmot Leaare regressomall, luottamusvält ja testt Yhde selttäjä leaare regressomall Eustame leaarsella regressomalllla Korrelaatokerrota koskevat testt... 0 Ltteet...3 5

8 Käytetyt merkät Alkode lukumäärä (tässä jouko A alkode lukumäärä): (A) Artmeette keskarvo (tässä arvoje x ): x Erotus (joukko-opssa): \ Estmaattor: ^ (esm. varass estmaattor ˆ ) Joukot: A, B,... (soja aakkosjärjestykse alkupää latalasa krjama) Kertymäfukto: F(x) Keskhajota: D(), Keskhajota otoksessa: s Komplemetttapahtuma (tässä tapahtuma A komplemetttapahtuma): A c Korrelaatokerro (tässä satuasmuuttuje X ja Y välllä): Cor(X, Y)= XY Korrelaatokerro otoksessa (tässä muuttuje x ja y arvoje välllä): r xy Kovarass (tässä satuasmuuttuje X ja Y välllä): Cov(X, Y)= XY Kovarass otoksessa (tässä muuttuje x ja y arvoje välllä): s xy Merktsevyystaso: Momett orgo suhtee (tässä k. momett orgo suhtee): k Normaaljakauma odotusarvolla ja varasslla : N(, ) Noudattaa jakaumaa: ~ Noudattaa jakaumaa approksmatvsest: ~ a Odotusarvo: E(), Otosavaruus: S Pstetodeäkösyysfukto: f(x) Regressokertomet: 0,,... Regressokertome PNS-estmaattort: b 0, b,... Resduaal havaolle j: e j Rppumattomuus (tässä tapahtume A ja B rppumattomuus): A B Satuasmuuttujat:,, W, X, Y, (peä krekkalasa krjama ja soja aakkosjärjestykse loppupää latalasa krjama) Seltysaste regressomalllle: R Sovte havaolle j: Yˆj Stadardpokkeama: D(), Stadardpokkeama otoksessa: s Stadardodu ormaaljakauma kertymäfukto: (z) Tapahtumat: A, B,... (soja aakkosjärjestykse alkupää latalasa krjama) Theysfukto: f(x) Todeäkösyys (tässä tapahtumalle A): Pr(A) Tyhjä joukko: Vakot: a, b,... (peä aakkosjärjestykse alkupää latalasa krjama) Varass: D (), Var(), Varass otoksessa: s Äärettömä moe tapahtuma A lekkaus: Äärettömä moe tapahtuma A yhdste: A A 6

9 Numerodut kaavat ja määrtelmät (.) Komplemetttapahtuma A c todeäkösyys (.) Yhteelaskusäätö tosesa possulkevlle tapahtumlle (.3) Ylestetty yhteelaskusäätö paretta tosesa possulkevlle tapahtumlle (.4) Tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle (.5) Ylestetty tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle (.6) Ylee yhteelaskusäätö (.7) Erotustapahtuma A\B todeäkösyys (.8) Erotustapahtuma todeäkösyys, ku B: tapahtumsesta seuraa A: tapahtume (.9) Yhdstee AB todeäkösyys (.0) Ehdolle todeäkösyys A B (.) Rppumattomuude yhtäptävät ehdot (.) Ylee tulosäätö (.3) Ylestetty ylee tulosäätö (.4) Permutaatode lukumäärä (.5) k-permutaatode lukumäärä (.6) Kombaatode lukumäärä (.7) Multomkertome lauseke (.8) Kokoastodeäkösyyde kaava (.9) Bayes kaava (.0) Dskreet jakauma kertymäfukto (.) Dskreet jakauma kertymäfukto ja pstetodeäkösyysfukto yhteys (.) Dskreet jakauma todeäkösyydet (.3) Jatkuva jakaumakertymäfukto (.4) Jatkuva jakauma kertymäfukto ja theysfukto yhteys (.5) Jatkuva jakauma todeäkösyydet (.6) Dskreet jakauma odotusarvo (.7) Jatkuva jakauma odotusarvo (.8) Vako odotusarvo (.9) Leaarmuuokse odotusarvo (.30) Satuasmuuttuje summa odotusarvo (.3) Satuasmuuttuje erotukse odotusarvo (.3) Satuasmuuttuje paotetu summa odotusarvo (.33) Dskreet satuasmuuttuja fukto odotusarvo (.34) Jatkuva satuasmuuttuja fukto odotusarvo (.35) Momett (.36) Varass määrtelmä (.37) Dskreet jakauma varass (.38) Jatkuva jakauma varass (.39) Stadardpokkeama määrtelmä (.40) Vako varass (.4) Leaarmuuokse varass (.4) Stadardot (.43) Summa varass rppumattomlle satuasmuuttujlle (.44) Erotukse varass rppumattomlle satuasmuuttujlle (.45) Paotetu summa varass rppumattomlle satuasmuuttujlle 7

10 (.46) Artmeette keskarvo rppumattomlle satuasmuuttujlle (.47) Artmeettse keskarvo odotusarvo ja varass rppumattomlle satuasmuuttujlle (.48) Beroull-jakauma pstetodeäkösyysfukto (.49) Bomjakauma pstetodeäkösyysfukto (.50) Geometrse jakauma pstetodeäkösyysfukto (.5) Geometrse jakauma kertymäfukto (.5) Negatvse bomjakauma pstetodeäkösyysfukto (.53) Hypergeometrse jakauma pstetodeäkösyysfukto (.54) Posso-jakauma pstetodeäkösyysfukto (.55) Jatkuva tasase jakauma theysfukto (.56) Ekspoettjakauma theysfukto (.57) Normaaljakauma theysfukto (.58) Todeäkösyykse määräämse ormaaljakaumasta (.59) Rppumattome ormaaljakautuede satuasmuuttuje summa jakauma (.60) Samaa ormaaljakaumaa oudattave rppumattome satuasmuuttuje summa jakauma (.6) Normaaljakautuede rppumattome satuasmuuttuje artmeettse keskarvo jakauma (.6) Keskee raja-arvolause (.63) De Movre ja Laplace raja-arvolause (.64) Posso-jakauma ja ormaaljakauma (.65) Kaksulottese dskreet jakauma pstetodeäkösyysfukto määrtelmä (.66) Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto määrtelmä (.67) Kaksulottese jakauma kertymäfukto määrtelmä (.68) Kaksulottese dskreet jakauma kertymäfukto (.69) Kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto (.70) Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto ja kertymäfukto yhteys (.7) Kaksulottese dskreet jakauma reuajakaumat (.7) Kaksulottese dskreet jakauma reuajakaumat (.73) Kaksulottese jatkuva jakauma reuajakaumat (.74) Kaksulottese jatkuva jakauma reuajakaumat (.75) Satuasmuuttuje rppumattomuus (.76) Satuasmuuttuje rppumattomuus (.77) Kaksulottese dskreet jakauma odotusarvo (.78) Kaksulottese dskreet jakauma odotusarvo (.79) Kaksulottese jatkuva jakauma odotusarvo (.80) Kaksulottese jatkuva jakauma odotusarvo (.8) Kovarass määrtelmä (.8) Kovarass dskreetelle satuasmuuttujlle (.83) Kovarass jatkuvlle satuasmuuttujlle (.84) Summa varass (.85) Korrelaatokertome määrtelmä (.86) Multomjakauma pstetodeäkösyysfukto (.87) Kaksulottese ormaaljakauma theysfukto (.88) Kaksulottese ormaaljakauma ehdollse jakauma odotusarvo ja 8

11 varass (.89) Kaksulottese ormaaljakauma ehdollse jakauma odotusarvo ja varass (.90) Kaksulottese ormaaljakauma ehdolle odotusarvo (.9) Kaksulottese ormaaljakauma ehdolle odotusarvo (.9) Regressosuorat kaksulottesessa ormaaljakaumassa (.93) Ehdolle varass kaksulottesessa ormaaljakaumassa (.94) Ehdolle varass kaksulottesessa ormaaljakaumassa (.) Artmeette keskarvo (.) Varass otoksessa (.3) Keskhajota otoksessa (.4) Varass estmaattor (.5) Kovarass otoksessa (.6) Korrelaatokerro otoksessa (.7) Suhteellse frekvess otosjakauma (.8) Artmeettse keskarvo otosjakauma (.9) Beroull-jakauma parametr SU-estmaattor (.0) Ekspoettjakauma parametr SU-estmaattor (.) Normaaljakauma odotusarvoparametr SU-estmaattor (.) Normaaljakauma varassparametr SU-estmaattor (.3) Symmetrse luottamusväl määrtelmä (.4) Beroull-jakauma parametr p luottamusväl (.5) Tarvttava otoskoko Beroull-jakauma parametr p luottamusväl määräämseks, ku luottamusväl ptuus o määrätty (.6) Tarvttava otoskoko Beroull-jakauma parametr p luottamusväl määräämseks, ku luottamusväl ptuus o määrätty ja p o tutemato (.7) Luottamusväl ormaaljakauma odotusarvoparametrlle, ku varass e ole tuettu (.8) Tarvttava otoskoko ormaaljakauma odotusarvoparametr luottamusväl määräämseks, ku luottamusväl ptuus o määrätty (.9) Test perusjouko odotusarvolle, ku otos o ormaaljakaumasta (.0) Test perusjouko odotusarvolle, ku otos e ole ormaaljakaumasta (.) Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma ja ormaaljakautueta (.) Yhdstetty varass (.3) Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset ovat rppumattoma, ormaaljakautueta ja varasst ovat yhtä suura (.4) Kahde perusjouko odotusarvoje vertalutest, ku otokset evät ole rppumattoma el s. parvertalutest (.5) Perusjouko varassa koskeva test (.6) Kahde perusjouko varasse vertalutest (.7) Test todeäkösyydelle (.8) Yhdstety otokse parametr p harhato estmaattor (.9) Todeäkösyykse vertalutest (.30) Yhteesopvuustest (.3) Homogeesuustest (.3) Rppumattomuustest (.33) Seltettävä muuttuja odotusarvo ktellä selttäjllä (.34) Seltettävä muuttuja ehdolle odotusarvo satuaslla selttäjllä 9

12 (.35) Resduaale elösumma (.36) Sovte leaarsessa regressomallssa (.37) Resduaal (.38) Jääösvarass estmaattor (.39) Kokoaselösumma SST (.40) Jääöselösumma SSE (.4) Jääöselösumma ja kokoaselösumma (.4) Mallelösumma SSM (.43) Kokoaselösumma, mallelösumma ja jääöselösumma (.45) Leaarse regressomall seltysaste (.46) Test regresso olemassaololle (.47) Test regresso olemassaololle (.48) Test regressokertomelle (.49) Yhde selttäjä leaare regressomall (.50) Yhde selttäjä leaarse regressomall otosvarasst (.5) Yhde selttäjä leaarse regressomall otoskovarass (.5) Yhde selttäjä leaarse regressomall otoskorrelaatokerro (.53) Yhde selttäjä leaarse regressomall kertome PNS-estmaattort (.54) Sovte yhde selttäjä leaarsessa regressomallssa (.55) Resduaal yhde selttäjä leaarsessa regressomallssa (.56) Jääösvarass harhato estmaattor (.57) t-test yhde selttäjä leaarse regressomall kulmakertomelle (.58) t-test yhde selttäjä leaarse regressomall vakolle (.59) Yhde selttäjä leaarse regressomall seltysaste (.60) Test korrelaatokertomelle (.6) t-test korrelomattomuude testaamseks 0

13 Equato Chapter (Next) Secto Osa : Todeäkösyyslasketa Esmmäe paos, syksy 00 Kommett tervetulleta

14 . Todeäkösyyslaskea peruskästteet.. Determstsyys ja satuasuus Determste lmö Reaalmaalma lmö o determste, jos lmö alkutla perusteella vodaa tarkast eustaa lmö lopputla el tulos. Determstse lmö alkuehdot määräävät tarkast lmö lopputla el tulokse. Determstsä lmötä kutsutaa use eksakteks ta kausaalsks. Satuaslmö Reaalmaalma lmö o stokaste lmö el satuaslmö, jos sllä o seuraavat omasuudet: () Ilmö vo päätyä alkutlastaa uses erlas lopputloh el lmöllä o useta erlasa vahtoehtosa tuloksa. () Ilmö alkutla perusteella e voda tarkast eustaa lmö lopputlaa el stä, mkä mahdollssta tulosvahtoehdosta realsotuu el toteutuu. () Vakka lmö lopputlaa e voda eustaa tarkast, tulosvahtoehtoje suhteellste frekvesse el osuukse ähdää lmö tostuessa käyttäytyvä sääömukasest. Tlastolle stablteett Satuaslmö tostuessa lmeevää sääömukasuutta kutsutaa tlastoteteessä tlastollseks stablteetks... Todeäkösyyde määrtteleme... Todeäkösyyde määrtteleme: Johdato Ks. luetokalvot Empre todeäkösyys Määrtelmä Tarkastellaa satuaskoetta, jota vodaa tostaa ste, että seuraavat ehdot pätevät: () () Satuaskokee olosuhteet sälyvät muuttumattoma koetostosta tosee. Koetostot ovat rppumattoma. Tarkkallaa kokee jok tulosvahtoehdo estymstä koetostoje akaa. Jos tulosvahtoehdo suhteelle frekvess lähestyy jotak kteätä lukua koetostoje lukumäärä rajatta kasvaessa, tuo luku o tulosvahtoehdo empre todeäkösyys.

15 Empre todeäkösyys ja todeäkösyyde frekvesstulkta Tostetaa satuaskoetta ja tarkkallaa kokee jok tulosvahtoehdo suhteellsta frekvessä koetostoje akaa. Todeäkösyyde frekvesstulka mukaa tulosvahtoehdo suhteelle frekvess vahtelee satuasest koetostosta tosee, mutta saa keskmäär tulosvahtoehdo todeäkösyyttä lähellä oleva arvoja...3. Klasse todeäkösyys Määrtelmä Tarkastellaa satuaslmötä, joho lttyy yhtä todeäköstä tulosvahtoehtoa. Tarkastellaa satuaslmö puttessa tapahtumaa, joho lttyy k yhtä todeäköstä tulosvahtoehtoa, jota saotaa ko. tapahtumalle suotusks. Ko. tapahtuma klasse todeäkösyys p o tapahtumalle suotuse tulosvahtoehtoje suhteelle frekvess el tapahtumalle suotuse tulosvahtoehtoje osuus satuaslmö kaksta tulosvahtoehdosta: k p.3. Todeäkösyyde perusomasuudet.3.. Tlastollset mallt Satuaslmöde tlastollset mallt Tlastotetee tehtävää o kehttää satuaslmölle tlastollsa malleja, jode avulla pyrtää tekemää satuaslmötä koskeva johtopäätöksä. Satuaslmöde tlastollset mallt perustuvat todeäkösyyslasketaa ja sks tä kutsutaa use myös todeäkösyysmalleks ta stokastsks malleks. Todeäkösyysmall tlastollsea malla Satuaslmö tlastollsessa mallssa el todeäkösyysmallssa ta stokastsessa mallssa o kaks osaa: () () Satuaslmö kakke mahdollste tulosvahtoehtoje kuvaus. Tulosvahtoehtoje todeäkösyykse kuvaus..3.. Otosavaruudet Joukko ja se alkot Joukko o jodek olode kokoelma. Joukko o hyv määrtelty, jos se alkot tuetaa. Merktää stä, että x o jouko A alko el kuuluu joukkoo A: x A Merktää stä, että x e ole jouko A alko el e kuulu joukkoo A: x A 3

16 Osajoukko Jos jokaselle jouko B alkolle s pätee, että s B sa saomme, että joukko B o jouko A osajoukko ta, että joukko B ssältyy joukkoo A ja merktää: Tyhjä joukko B A ta A B Joukko o tyhjä, jos she e kuulu yhtää alkota. Merktää tyhjää joukkoa symbollla Jos joukko o tyhjä, e ole olemassa olota s, jolle s Tyhjä joukko o jokase jouko osajoukko el melvaltaselle joukolle A pätee: A Otosavaruus ja alkestapahtumat Satuaslmöö lttyvä otosavaruus S o lmö kakke mahdollste tulosvahtoehtoje joukko. Otosavaruude S alkota s kutsutaa alkestapahtumks. Merkät: - Otosavaruutta (egl. sample space) merktää tavallsest solla krjamella S. - Otosavaruude S alkota merktää vastaavalla peellä krjamella s. - Jos ss alkestapahtuma s kuuluu otosavaruutee S, merktää: Tapahtumat s S Tapahtumat ovat otosavaruude S alkestapahtume muodostama joukkoja. Ste tapahtumat ovat otosavaruude S osajoukkoja. Olkoo A jok tapahtuma ja s A o tapahtumaa A kuuluva alkestapahtuma. Tällö ss el A S s A ss.3.3. Todeäkösyyde peruslat Varma tapahtuma Tapahtuma o varma, jos se estyy aa, ku satuaslmö tostuu. Otosavaruus S o varma tapahtuma. Mahdoto tapahtuma Tapahtuma o mahdoto, jos se e vo estyä koskaa, ku satuaslmö tostuu. Tyhjä joukko o mahdoto tapahtuma. 4

17 Todeäkösyyde perusomasuudet Olkoo S otosavaruus, jossa satuaslmötä tarkastellaa. Jokase tapahtuma A S todeäkösyys Pr(A) o reaalluku välllä [0, ]: 0 Pr( A) Varma tapahtuma S todeäkösyys o : Pr( S) Mahdottoma tapahtuma todeäkösyys o 0: Pr( ) Äärellset otosavaruudet ja symmetrset alkestapahtumat Äärellset otosavaruudet Olkoo otosavaruus S äärelle joukko ja olkoo ( S) otosavaruude S alkestapahtume el alkode lukumäärä. Merktää alkestapahtuma Tällö s,,,, S s, s,, s Äärellse otosavaruude alkestapahtume todeäkösyydet Äärellse otosavaruude S = {s, s,, s } alkestapahtume s S todeäkösyydet Pr(s ) = p, =,,, toteuttavat ehdo p Äärellse otosavaruude tapahtumat ja de todeäkösyydet Olkoo A äärellse otosavaruude S tapahtuma el A S. Tällö tapahtuma A todeäkösyys Pr(A) o Pr( A) p sa Summassa lasketaa yhtee kakk todeäkösyydet p = Pr(s ), jolle s A. 5

18 Symmetrset alkestapahtumat ja de todeäkösyydet Oletetaa, että äärellse otosavaruude S = {s, s,, s } alkestapahtume s todeäkösyykslle pätee, että Pr( s ),,,, Tällö saotaa, että alkestapahtumat ovat symmetrsä..4. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt.4.. Todeäkösyyslaskea peruslaskusääöt: Johdato Uuse tapahtume johtame ja joukko-op operaatot Olkoot A ja B otosavaruude S tapahtuma. Jokasta operaatota, jolla tapahtumsta A ja B johdetaa uusa tapahtuma, vastaa jok joukko-op operaato. Uude tapahtuma muodostamsoperaato Vastaava joukko-op operaato A e satu Komplemettjoukko: A c = s S s A A ta B sattuu ta Yhdste: molemmat sattuvat AB = s S s A ta s B A ja B sattuvat Lekkaus: AB = s S s A ja s B A sattuu, Erotus: mutta B e satu A\B = s S s A ja s B = AB c.4.. Komplemetttapahtuma todeäkösyys Komplemetttapahtuma A c todeäkösyys Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Tällö o tapahtuma A komplemetttapahtuma A c todeäkösyys: c (.) Pr( A ) Pr( A).4.3. Tosesa possulkevat tapahtumat ja yhteelaskusäätö Tosesa possulkevat tapahtumat Tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva, jos A ja B evät vo tapahtua samaakasest. Tapahtumat A ja B ovat tosesa possulkeva, jos e ovat otosavaruude S osajoukkoa psteverata el AB = Olkoot tapahtumat A ja B tosesa possulkeva. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B). Tällö o yhdstee 6

19 AB = A ta B tapahtuu todeäkösyys: (.) Pr( AB) Pr( A) Pr( B) Ylestetty yhteelaskusäätö paretta tosesa possulkevlle tapahtumlle Olkoot A, A,, A k paretta tosesa possulkeva. Tällö A A j =, ku j. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A ), =,,, k. Tällö o yhdstee A ta A ta ta A k tapahtuu todeäkösyys: (.3) Pr( AA Ak) Pr( A) Pr( A) Pr( Ak).4.4. Rppumattomuus ja tulosäätö Rppumattomuus Tapahtuma A o rppumato tapahtumasta B, jos B: tapahtume (ta tapahtumatta jääme) e vakuta A: tapahtumse todeäkösyytee. Rppumattomuus o symmetre omasuus: Jos A o rppumato B:stä, B o rppumato A:sta. Merktää tapahtume A ja B rppumattomuutta: A B Tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. AB = s S s A ja s B. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B). Tapahtumat A ja B ovat rppumattoma, jos ja va jos lekkaukse AB = A ja B tapahtuvat todeäkösyydelle pätee: (.4) Pr( AB) Pr( A) Pr( B) Ylestetty tulosäätö rppumattomlle tapahtumlle Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr( A),,,, k 7

20 Tapahtumat A, A,, A k ovat rppumattoma, jos ja va jos kaklle lekkaukslle jossa pätee: A A A m,,,,,, k m (.5) Pr( A A A ) Pr( A ) Pr( A ) Pr( A ) m m Merktää tapahtume A, A,, A k rppumattomuutta: A, A,, Ak.4.5. Ylee yhteelaskusäätö ja erotustapahtuma todeäkösyys Ylee yhteelaskusäätö Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. AB = s S s A ta s B AB = s S s A ja s B Olkoot tapahtume A, B, AB todeäkösyydet Pr(A), Pr(B), Pr(AB). Tällö o yhdstee AB = A ta B tapahtuu todeäkösyys: (.6) Pr( AB) Pr( A) Pr( B) Pr( AB) Erotustapahtuma A\B todeäkösyys Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Olkoo tapahtuma A todeäkösyys Pr(A). Olkoo tapahtuma AB todeäkösyys Pr(AB). Tällö o erotustapahtuma A\B = A tapahtuu, mutta B e tapahdu = AB c todeäkösyys: (.7) Pr( A\ B) Pr( AB c ) Pr( A) Pr( AB) 8

21 B: tapahtumsesta seuraa A: tapahtume Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Oletetaa, että jos B tapahtuu, A tapahtuu. Tällö B A. Olkoot tapahtume A ja B todeäkösyydet Pr(A) ja Pr(B). Tällö: Pr(A) Pr(B) Erotustapahtuma todeäkösyys, ku B: tapahtumsesta seuraa A: tapahtume Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Olkoo B A. Olkoot tapahtume A ja B todeäkösyydet Pr(A) ja Pr(B). Tällö o erotukse A\B = A tapahtuu, mutta B e tapahdu todeäkösyys: (.8) Pr( A\ B) Pr( A) Pr( B) Yhdstee AB todeäkösyys Olkoot A S ja B S otosavaruude S tapahtuma. Yhdstee AB = A ta B tapahtuu todeäkösyys vodaa aa esttää muodossa (.9) Pr( A B) Pr( A) Pr( B\ A) Pr( B) Pr( A\ B) Pr( A\ B) Pr( B\ A) Pr( AB).4.6. Ehdolle todeäkösyys Ehdolle todeäkösyys A B Olkoo tapahtuma A ja B tapahtuvat todeäkösyys Pr(AB). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B) 0. Tällö o tapahtuma A ehdolle todeäkösyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut: (.0) Pr( A B) Pr( AB) Pr( B) 9

22 .4.7. Rppumattomuus ja ehdolle todeäkösyys Rppumattomuude yhtäptävät ehdot Tapahtumat A ja B ovat rppumattoma, jos ja va jos mkä tahasa seuraavsta yhtäptävstä ehdosta pätee: (.) () Pr( AB) Pr( A) Pr( B) () Pr( AB) Pr( A) () Pr( BA) Pr( B).4.8. Ylee tulosäätö Ylee tulosäätö Olkoo tapahtuma A ehdolle todeäkösyys ehdolla, että tapahtuma B o sattuut Pr(AB). Olkoo tapahtuma B todeäkösyys Pr(B) 0. Tällö o lekkaukse AB = A ja B tapahtuvat todeäkösyys: (.) Pr( AB) Pr( B) Pr( A B) Pr( A) Pr( B A) Ylestetty ylee tulosäätö Tarkastellaa tapahtuma A, A,, A k. Tällö o lekkaukse A ja A ja ja A k tapahtuvat todeäkösyys: (.3) Pr( A A A ) Pr( A) Pr( A A) Pr( A A A ) k 3 Pr( Ak AA Ak ).5. Klasse todeäkösyys ja kombatorkka.5.. Klasse todeäkösyys Määrtelmä Olkoo S = s, s,, s äärelle otosavaruus. Oletetaa, että alkestapahtumat s ovat symmetrsä. Tällö 0 Pr( s ), kaklle =,,, Tarkastellaa tapahtumaa A S, joho kuuluu k alkestapahtumaa, jota kutsutaa tapahtumalle A suotusks. Tällö tapahtuma A klasse todeäkösyys o k Pr( A)

23 .5.. Kombatorka perusperaatteet ja perusogelmat Olkoo S = s, s,, s äärelle joukko, joka alkode lukumäärä o = S = (S), jossa S = (S) o lukumääräfukto, joka kertoo jouko S alkode lukumäärä. Joukko Joukko o täys määrätty, jos se alkot tuetaa. Olkoot äärellse jouko A alkot a, a,, a. Tällö merktää Joukkoje samuus Joo A = a, a,, a. Joukot A ja B ovat samat, jos ssä o täsmällee samat alkot: A = B, jos ja va jos x A x B. Joo o täys määrätty, jos se alkot ja de järjestys tuetaa. Olkoo a joo, joka. alko o a, =,,,. Tällö merktää Jooje samuus a = (a, a,, a ). Joot a = (a, a,, a ) ja b = (b, b,, b ) ovat samat, jos ssä o samat alkot samassa järjestyksessä: a = b, jos ja va jos a = b, =,,, Permutaatot Permutaato määrtelmä Mkä tahasa jouko S kakke alkode muodostama joo o jouko S alkode permutaato. Permutaatode lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S kakke alkode permutaatode lukumäärä o (.4)! ( )... jossa! o s. -kertoma. Määrtellää 0! =

24 k-permutaatot el varaatot Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Mkä tahasa jouko S alkode osajoo, jossa o k alkota, o jouko S alkode k-permutaato el varaato. Merktä: P(, k) = : alko jouko k-permutaatode lukumäärä Jos k =, saadaa jouko S kakke alkode permutaato. k-permutaatode lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S alkode k-permutaatode el varaatode lukumäärä o (.5)! P( k, ) ( k)!.5.4. Kombaatot ja bomkertomet Kombaatot Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Mkä tahasa jouko S osajoukko, jossa o k alkota, muodostaa jouko S alkode k alkota ssältävä kombaato. Merktä: C(, k) = Kombaatode lukumäärä : alko jouko k alkota ssältäve kombaatode lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Tällö jouko S alkode k alkota ssältäve kombaatode lukumäärä o (.6)! C( k, ) k!( k)! k jossa luku k o s. bomkerro ja se luetaa yl k:. Koska 0! =,!! 0 0!!!0! Bomkaava Bomkaava mukaa :s potess bomlle x + y vodaa esttää muodossa k k ( x y) x y k 0 k x x y x y xy y 0

25 Osajoukkoje lukumäärä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Jouko S osajoukkoje lukumäärä o. Lukumäärässä o mukaa: - Tyhjä joukko - Kakk yhde alko osajoukot - Kakk kahde alko osajoukot - Kakk ( ): alko osajoukot - Joukko S.5.5. Multomkerro Multomkertome määrtelmä Olkoo jouko S alkode lukumäärä = (S). Oletetaa, että postvset kokoasluvut, =,,, k toteuttavat ehdo = k Ostetaa joukko S psteveras osajoukkoh A, =,,, k ste, että joukossa A o (A ) = alkota. Joukko S, jossa o = (S) alkota, vodaa osttaa (.7)! k!! k! tavalla psteveras osajoukkoh A, =,,, k, jode alkode lukumäärät toteuttavat ehdot: () (A ) =, =,,, k, () = k. Lukumäärä atavaa lauseketta kutsutaa multomkertomeks.. Todeäkösyyde aksoomat.. Todeäkösyyde määrtteleme Ks. luetokalvot 3

26 .. Todeäkösyyde aksoomat äärellsessä otosavaruudessa Boole algebra Olkoot S joukko ja F jok jouko S osajoukkoje muodostama joukkoperhe. Ss, jos joukko A o joukkoperhee F alko, A o jouko S osajoukko: A F A S Joukkoperhe F o Boole algebra, jos () () F AF c A F () AF, BF ABF Boole algebrat ja joukko-op operaatot Olkoot F joukossa S määrtelty Boole algebra ja AF ja BF Boole algebra aksoome mukaa c c, A, B, ABF Lsäks vodaa osottaa, että S, AB, A\ BF Todeäkösyyde aksoomat Olkoo S äärelle otosavaruus ja F se kakke osajoukkoje perhee muodostama Boole algebra. Olkoo Pr joukkofukto, joka lttää jokasee Boole algebraa F kuuluvaa otosavaruude S osajoukkoo A reaalluvu Pr(A). Jos ss AF, Pr( A). Joukkofukto Pr o todeäkösyys, jos () Pr( S) () 0 Pr( A) kaklle AF () AF, BF, AB Pr( AB) Pr( A) Pr( B).3. Todeäkösyyde aksoomat äärettömässä otosavaruudessa -algebra Olkoot S joukko ja F jok jouko S osajoukkoje muodostama joukkoperhe. Ss, jos joukko A o joukkoperhee F alko, A o jouko S osajoukko: A F A S 4

27 Joukkoperhe F o -algebra, jos () () F AF c A F () A, A, F A F -algebrat ja joukko-op operaatot Olkoot F joukossa S määrtelty -algebra ja A F,,, -algebra aksoome mukaa c A F,,, ja A F Lsäks vodaa osottaa, että A F Kolmogorov aksoomat todeäkösyydelle Olkoo S otosavaruus ja F jok jouko S osajoukkoje perhe, joka muodostaa -algebra ja olkoo Pr joukkofukto, joka lttää jokasee -algebraa F kuuluvaa otosavaruude S osajoukkoo A reaalluvu Pr(A). Jos ss AF, Pr( A). Joukkofukto Pr o todeäkösyys, jos () Pr( S) () 0 Pr( A) kaklle AF () A, A, F ja A Aj, j Pr( A) Pr( A) 3. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava 3.. Kokoastodeäkösyys ja Bayes kaava: Johdato Ks. luetokalvot 5

28 3.. Kokoastodeäkösyyde kaava Otosavaruude ostus Otosavaruude S epätyhjät osajoukot B, B,, B muodostavat otosavaruude S ostukse tosesa possulkev tapahtum, jos () B, =,,, () B B j =, j () S = B B B Otosavaruude ostukse dusoma ostus Olkoo A S otosavaruude S osajoukko. Olkoo B, B,, B otosavaruude S ostus. Ostus B, B,, B duso ostukse joukkoo A: ja Määrtelmä (AB )(AB j ) =, j A = (AB )(AB ) (AB ). Olkoo A S otosavaruude S osajoukko. Olkoo B, B,, B otosavaruude S ostus. Olkoo (AB ), (AB ),, (AB ) ostukse B, B,, B dusoma ostus joukkoo A. Tällö kokoastodeäkösyyde kaava mukaa (.8) Pr( A) Pr( B) Pr( A B) 3.3. Bayes kaava Määrtelmä Olkoo A S otosavaruude S osajoukko. Olkoo B, B,, B otosavaruude S ostus. Ehdollse todeäkösyyde määrtelmä mukaa Pr( A B) Pr( B) Pr( AB) Pr( B A) Pr( A) Pr( A) Soveltamalla mttäjää kokoastodeäkösyyde kaavaa saadaa Bayes kaava: (.9) Pr( B A) Pr( B) Pr( A B) j Pr( B ) Pr( A B ) j j 4. Verkot todeäkösyyslaskeassa Ks. luetokalvot 6

29 5. Väärkästyksä todeäkösyyde luoteesta Ks. luetokalvot 6. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 6.. Satuasmuuttujat 6... Dskreett satuasmuuttujat Satuasmuuttuja: määrtelmä Olkoo (mtalle) fukto otosavaruudesta S reaallukuje joukkoo: : S Tällö o satuasmuuttuja. Dskreett satuasmuuttujat Olkoo otosavaruus S äärelle ta umerotuvast ääretö. Tällö reaalarvoe fukto : S joka saa äärellse ta umerotuvast äärettömä määrä erllsä arvoja o dskreett satuasmuuttuja. Dskreet satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma: määrtelmä Olkoo otosavaruus S äärelle ta umerotuvast ääretö. Olkoot satuasmuuttuja : S arvot el umeerset tulosvahtoehdot ta x =,,,, jos S o äärelle x =,,, jos S o umerotuvast ääretö Tulosvahtoehdot x ja de todeäkösyydet Pr( = x ) = p muodostavat dskreet todeäkösyysjakauma (use: jakauma), jos todeäkösyydet p toteuttavat ehdot () 0 p kaklle () p S äärelle p S umerotuvast ääretö 7

30 Dskreet jakauma pstetodeäkösyysfukto Olkoo dskreett satuasmuuttuja, joka saa arvot x =,, todeäkösyyksllä Pr( = x ) = p Tällö lukupart (x, p ) =,, =,, muodostavat dskreet jakauma pstetodeäkösyysfukto. Satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto f vodaa määrtellä myös kaavalla p, xx, x, f( x) Pr( x) 0, xx, x, 6... Jatkuvat satuasmuuttujat Jatkuvat satuasmuuttujat Satuasmuuttuja o jatkuva, jos se saa kakk arvot joltak reaalaksel välltä ja todeäkösyys, että saa mkä tahasa yksttäse arvo o olla. Jatkuva todeäkösyysjakauma ja se theysfukto: määrtelmä Fukto f määrttelee satuasmuuttuja jatkuva todeäkösyysjakauma (use: jakauma), jos () f( x) o x: jatkuva fukto () f( x) 0 kaklle x (3) f( x) dx (4) Pr( a b) f( x) dx b a Fuktota f kutsutaa todeäkösyystheysfuktoks ta pelkästää theysfuktoks. 6.. Kertymäfukto 6... Kertymäfukto määrtelmä Kertymäfukto Satuasmuuttuja kertymäfukto F o reaalarvoe fukto F(x) = Pr( x) Kakk satuaslmöö lttyvät todeäkösyydet vodaa lmasta lmöö lttyvä satuasmuuttuja kertymäfukto F avulla. 8

31 Kertymäfukto omasuudet Fukto F: 0, o kertymäfukto, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: () lm F( x) 0 h () lm F( x) h (3) F o e-väheevä fukto: F( x ) F( x ), jos x x (4) F o jatkuva okealta: lm F( xh) F( x) h0 Jos fukto F: 0, o kertymäfukto, : (5) Pr( x) F( x) (6) Pr( a b) F( b) F( a) 6... Dskreet jakauma kertymäfukto Dskreet jakauma kertymäfukto Oletukset: - o dskreett satuasmuuttuja. - x, x, o : tulosvahtoehtoje el arvoje joukko. - f(x ) = p = Pr( = x ), =,, o : pstetodeäkösyysfukto. Määrtellää fukto F: 0, (.0) F( x) Pr( x) p x x F o satuasmuuttuja kertymäfukto. Dskreet jakauma kertymäfukto ja pstetodeäkösyysfukto yhteys (.) Pr( x ) p f( x ) F( x ) F( x ) Dskreet jakauma todeäkösyydet Dskreet jakauma tapauksessa väl (a, b todeäkösyys o (.) Pr( a b) F( b) F( a) p x a, b 9

32 6..3. Jatkuva jakauma kertymäfukto Jatkuva jakauma kertymäfukto Oletukset: - o jatkuva satuasmuuttuja. - f o : theysfukto. Määrtellää fukto F: 0, (.3) F( x) Pr( x) f( t) dt x F o satuasmuuttuja kertymäfukto. Jatkuva jakauma kertymäfukto F(x) o jatkuva e-väheevä fukto. Jatkuva jakauma kertymäfukto ja theysfukto yhteys d (.4) f ( x) F( x) F( x) dx Jatkuva jakauma todeäkösyydet Jatkuva jakauma tapauksessa väl [a, b todeäkösyys o (.5) Pr( a b) F( b) F( a) f( x) dx b a 7. Jakaume tuusluvut 7.. Odotusarvo 7... Dskreet jakauma odotusarvo Dskreet jakauma odotusarvo Oletukset: - o dskreett satuasmuuttuja. - x, x, o : tulosvahtoehtoje el arvoje joukko. - f(x ) = p = Pr( = x ), =,, o : pstetodeäkösyysfukto. Tällö vako (.6) E( ) xp xf( x) o satuasmuuttuja odotusarvo. 30

33 7... Jatkuva jakauma odotusarvo Jatkuva jakauma odotusarvo Oletukset: - o jatkuva satuasmuuttuja. - f o : theysfukto Tällö vako (.7) E( ) xf( x) dx o satuasmuuttuja odotusarvo Odotusarvo omasuuksa Odotusarvo omasuuksa Vako a odotusarvo: (.8) E( a) a Satuasmuuttuja leaarmuuokse = a + b odotusarvo: (.9) E( ) abe( ) Satuasmuuttuje summa ja erotukse odotusarvo Satuasmuuttuje ja summa + odotusarvo: (.30) E( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuje ja erotukse odotusarvo: (.3) E( ) E( ) E( ) Satuasmuuttuje paotetu summa odotusarvo Olkoot, =,,, satuasmuuttuja ja a, =,,, vakota. Satuasmuuttuje, =,,, paotetu summa a odotusarvo o (.3) Ea a E( ) Kaava (.3) ssältää erkostapauksaa kaavat (.30) ja (.3). 3

34 Satuasmuuttuja fuktode odotusarvo Olkoo satuasmuuttuja ja g reaalarvoe fukto. Satuasmuuttuja g() odotusarvo o dskreet jakauma tapauksessa: (.33) E( g( )) ( ) g( x ) p g( x ) f( x ) ja jatkuva jakauma tapauksessa: g (.34) E( g( )) g ( ) gxf ( ) ( xdx ) Momett Olkoo satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuja k odotusarvo k (.35) E( ) k o satuasmuuttuja k. momett (orgo suhtee). Ertysest: 0 E( ) 7.. Varass Varass: määrtelmä Olkoo satuasmuuttuja odotusarvo E( ) Satuasmuuttuja varass o vako (.36) jossa D( ) Var( ) E ( ) E( ) E( ) = E( ) = : toe momett. Satuasmuuttuja varass: - Dskreett jakauma: (.37) D( ) Var( ) ( x ) p - Jatkuva jakauma: (.38) D( ) Var( ) ( x ) () f x dx 3

35 Stadardpokkeama: määrtelmä Satuasmuuttuja stadardpokkeama el keskhajota o varass elöjuur (.39) D( ) Var( ) E ( ) Varass omasuuksa Vako a varass: (.40) D() a Var( a) 0 Satuasmuuttuja leaarmuuokse = a + b varass: (.4) D( )=Var() b Var( ) Stadardot Olkoo satuasmuuttuja, joka odotusarvo E() = ja varass D () =. Tällö stadardodu muuttuja (.4) odotusarvo o ja varass E( ) 0 D() Var() Summa ja erotukse varass rppumattomlle satuasmuuttujlle Oletetaa, että satuasmuuttujat ja ovat rppumattoma. Satuasmuuttuje ja summa + varass: (.43) D( ) Var( ) D( ) D() Satuasmuuttuje ja erotukse varass: (.44) D( ) Var( ) D( ) D() Satuasmuuttuje summa varass ylesessä tapauksessa katso (.84). 33

36 Paotetu summa varass rppumattomlle satuasmuuttujlle Olkoot satuasmuuttujat, =,,, rppumattoma ja a, =,,, vakota. Rppumattome satuasmuuttuje, =,,, paotetu summa a varass o (.45) D avaraad ( ) Artmeette keskarvo ja varass rppumattomlle satuasmuuttujlle Olkoot, =,,, rppumattoma satuasmuuttuja. Olkoot satuasmuuttujlla, =,,, sama odotusarvo ja varass: Olkoo E( ) =, D ( ) = Var( ) =, =,,, (.46) satuasmuuttuje, =,,, artmeette keskarvo. Tällö E( ) (.47) D( ) Var( ) 7.3. Suurte lukuje lak Suurte lukuje lak Olkoot, =,,, rppumattoma samo jakautueta satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttujlla, =,,, o sama odotusarvo ja varass: E( ) =, D ( ) = Var( ) =, =,,, Olkoo Tällö lm Pr( ) 0 Kaava yllä o s. hekko suurte lukuje lak. 34

37 8. Dskreettejä todeäkösyysjakauma 8.. Dskreett tasae jakauma Määrtelmä Satuasmuuttuja X oudattaa dskreettä tasasta jakaumaa, jos () X o dskreett satuasmuuttuja () X saa arvot x, x,, x (3) Pr(X = x k ) = p k = /, k =,,, Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) x x k Varass ja stadardpokkeama: D( X) ( xk x) k D( X) ( xk x) k 8.. Beroull-jakauma X ~ Beroull(p) Määrtelmä Olkoo A S tapahtuma ja Pr(A) = p.tällö Pr(A c ) = Pr(A) = p = q. Määrtellää satuasmuuttuja X:, jos A tapahtuu X 0, jos A e tapahdu Tällö X: jakauma o Pr( X ) p Pr( X 0) p q Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa (.48) f x p p x x x ( ) ( ), 0, Satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametrlla p. Merktä: X ~ Beroull(p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) p 35

38 Varass ja stadardpokkeama: D( X) D( X) pq pq Beroull-kokeet Useat dskreett todeäkösyysjakaumat sytyvät tostamalla rppumattoma Beroull-koketa. - Bomjakauma: Tarkastellaa todeäkösyyttä, että tapahtuma A sattuu x kertaa tosto akaa. - Geometre jakauma: Tarkastellaa todeäkösyyttä, että tapahtuma A sattuu esmmäse kerra x:ellä tostolla. - Negatve bomjakauma: Tarkastellaa todeäkösyyttä, että tapahtuma A sattuu r:e kerra x:ellä tostolla Bomjakauma X ~ B(, p) Määrtelmä Tostetaa samaa Beroull-koetta kertaa, jossa o kteä, etukätee päätetty luku. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A S sattumsta koetostoje akaa. Oletetaa, että Pr( A) p c Pr( A ) Pr( A) p q Määrtellää satuasmuuttuja X: X = Tapahtuma A estymste lukumäärä -kertasessa Beroull-kokeessa Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa x x (.49) f ( x) p q, x0,,,, x Satuasmuuttuja X oudattaa bomjakaumaa parametre ja p. Merktä: X ~ B(, p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) p Varass ja stadardpokkeama: 36

39 D( X ) D( X ) pq pq 8.4. Geometre jakauma X ~ Geom(p) Määrtelmä Tostetaa samaa Beroull-koetta. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A S sattumsta koetostoje akaa. Oletetaa, että Pr( A) p c Pr( A ) Pr( A) p q Määrtellää satuasmuuttuja X: X = Tehtyje Beroull-kokede lukumäärä, ku A sattuu esmmäse kerra Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa (.50) x f( x) q p, x,, Satuasmuuttuja X oudattaa geometrsta jakaumaa parametrlla p. Merktä: X ~ Geom(p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X ) p Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Kertymäfukto q p Geometrse jakauma kertymäfukto o q p (.5) F( x) Pr( X x) ( p) q [ x] [ x] mssä [x] o suur kokoasluku, joka o peemp ta yhtä suur ku x. 37

40 8.5. Negatve bomjakauma X ~ NegB(r, p) Määrtelmä Tostetaa samaa Beroull-koetta. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa tapahtuma A S sattumsta koetostoje akaa. Oletetaa, että Pr( A) p c Pr( A ) Pr( A) p q Määrtellää satuasmuuttuja X: X = tehtyje Beroull-kokede lukumäärä, ku A sattuu r:e kerra Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa (.5) x xr r f( x) q p, xr, r, r, r Satuasmuuttuja X oudattaa egatvsta bomjakaumaa parametrlla p. Merktä: X ~ NegB(r, p). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: r E( X ) p Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) rq p 8.6. Hypergeometre jakauma X ~ HyperGeom(N, r, ) Määrtelmä rq p Olkoo perusjouko S koko (S) = N. Tarkastellaa perusjouko ostusta tapahtum A ja A c ja oletetaa, että A ( ) r A ( c ) Nr Pomtaa perusjoukosta osajoukko B, joka koko o (B) = Määrtellää satuasmuuttuja X: 38

41 X = Osajoukkoo B tullede A: alkode lukumäärä Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa rn r x x (.53) f ( x), max[0, ( N r)] xm(, r) N Satuasmuuttuja X oudattaa hypergeometrsta jakaumaa parametre N, r,. Merktä: X ~ HyperGeom(N, r, ). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: r E( X) N Varass ja stadardpokkeama: r r N D( X) N N N r r N D( X) N N N 8.7. Posso-jakauma X ~ Posso() Määrtelmä Tostetaa samaa satuaskoetta. Oletetaa, että tostot ovat tosstaa rppumattoma. Tarkastellaa jok tapahtuma A sattumsta tostoje akaa. Oletetaa, että tapahtumat sattuvat vakoopeudella ajassa ta tlassa (avaruudessa). Määrtellää satuasmuuttuja X: X = Tapahtuma A estymste lukumäärä aka- ta tlaykskköä kohde Satuasmuuttuja X pstetodeäkösyysfukto o muotoa x e (.54) f( x), x0,,, x! Satuasmuuttuja X oudattaa Posso-jakaumaa parametrlla. Merktä: X ~ Posso(). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X ) 39

42 Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Posso-prosess Tarkastellaa jok tapahtuma sattumsta jatkuvalla akavälllä, joka ptuus o t. Olkoo satuasmuuttuja X = de tapahtume lukumäärä, jotka sattuvat akavälllä t Sopv oletuks X ~ Posso(t) Parametr kuvaa tapahtumatesteettä el tapahtume keskmäärästä lukumäärää akaykskköä kohde. E(X) = D (X) = t 9. Jatkuva todeäkösyysjakauma 9.. Jatkuva tasae jakauma X ~ Uform(a, b) ta X ~ Tas(a, b) Määrtelmä Satuasmuuttuja X oudattaa jatkuvaa tasasta jakaumaa parametre a, b, jos se theysfukto o muotoa (.55) f ( x), a x b b a Merktä: X ~ Uform(a, b) ta X ~ Tas(a, b). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: a b E( X ) Varass ja stadardpokkeama: ( b a) D( X ) b a D( X ) 3 40

43 9.. Ekspoettjakauma X ~ Exp() Määrtelmä Satuasmuuttuja X oudattaa ekspoettjakaumaa parametrlla, jos se theysfukto o muotoa x (.56) f( x) e exp( x), x0, 0 Merktä: X ~ Exp(). Odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X ) Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Ekspoettjakauma ja Posso-prosess Tarkastellaa jok tapahtuma sattumsta jatkuvalla akavälllä, joka ptuus o w. Olkoo satuasmuuttuja X = Nde tapahtume lukumäärä, jotka sattuvat akavälllä w Sopv oletuks X ~ Posso(w) Posso-jakauma parametr kuvaa tapahtumatesteettä el tapahtume keskmäärästä lukumäärää akaykskköä kohde. Olkoo satuasmuuttuja Tällö W = Esmmäse tapahtuma sattumsaka W ~ Exp() 9.3. Normaaljakauma X ~ N(, ) Määrtelmä Satuasmuuttuja oudattaa ormaaljakaumaa parametre (, ), jos se theysfukto o muotoa (.57) x f( x) exp 4

44 Merktä: X ~ N(, ). Saota: satuasmuuttuja X o ormaale parametre ja. Normaaljakaumaa kutsutaa use keksjäsä mukaa Gauss jakaumaks ja se theysfukto kuvaajaa Gauss käyräks ta kellokäyräks (egl. bell curve). Odotusarvo ja varass Olkoo X ~ N(, ). Odotusarvo: E( X ) Varass ja stadardpokkeama: D( X ) D( X ) Stadardotu ormaaljakauma Olkoo X ~ N(0, ), jollo ss E( X ) 0 D( X ) Tällö X oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa. Stadardot Oletukset: X ~ N(, ). Stadardodaa satuasmuuttuja X: Z X Tällö stadardotu satuasmuuttuja Z oudattaa stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ): Z ~N(0,) Todeäkösyykse määrääme ormaaljakaumasta Todeäkösyydet mstä tahasa ormaaljakaumasta N(, ) vodaa määrätä stadardodu ormaaljakauma N(0, ) avulla. Olkoo X ~ N(, ) ja Z ~ N(0, ). Tällö a b (.58) Pr( a X b) Pr Z Leaarmuuokse jakauma Oletukset: X ~ N(, ) Y = a + bx, jossa a ja b ovat (e-satuasa) vakota 4

45 Tällö satuasmuuttuja Y o ormaale: Y a b b ~N(, ) Kahde rppumattoma ormaaljakautuee satuasmuuttuja summa jakauma Oletukset: - X ~ N( X, X ) - Y ~ N( Y, Y ) - X ja Y ovat rppumattoma. - W = X + Y Tällö summa W = X + Y o ormaale: W ~N( X Y, X Y) Rppumattome ormaaljakautuede satuasmuuttuje summa jakauma Oletukset: Olkoo X, =,,, joo rppumattoma ormaaljakautueta satuasmuuttuja. Ste Olkoo X ~N(, ),,,, X, X,, X Y X satuasmuuttuje X, =,,, summa. Tällö summa Y o ormaale: (.59) Y ~N(, ) Samaa ormaaljakaumaa oudattave rppumattome satuasmuuttuje summa jakauma Oletukset: Olkoo X, =,,, joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja. Ste X ~N(, ),,,, X, X,, X 43

46 Olkoo Y X satuasmuuttuje X, =,,, summa. Tällö summa Y o ormaale: (.60) Y X ~N(, ) Normaaljakautuede rppumattome satuasmuuttuje artmeettse keskarvo jakauma Oletukset: Olkoo X, =,,, joo rppumattoma, samaa ormaaljakaumaa oudattava satuasmuuttuja. Ste Olkoo X ~N(, ),,,, X, X,, X X X satuasmuuttuje X, =,,, artmeette keskarvo. Tällö artmeette keskarvo o ormaale: (.6) X ~N(, ) Ste rppumattome, samaa ormaaljakaumaa oudattave satuasmuuttuje artmeette keskarvo o ormaale. Keskee raja-arvolause Oletukset: Olkoo X, =,, o joo rppumattoma, samo jakautueta satuasmuuttuja. Ste E( X ),,, D( X ),,, Olkoo Y X satuasmuuttuje X, =,,, summa. Summa Y odotusarvo ja varass ovat 44

47 E( Y ) D( Y ) Stadardodaa summa Y : Z Y Aetaa +. Tällö satuasmuuttuja Z jakauma lähestyy stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ). Z Y a N(0,), jossa ~ a tarkottaa asymptoottsta jakaumaa el approksmatvsta jakaumaa suurlla : arvolla. Keskese raja-arvolausee mukaa ss X (.6) lm Pr z ( z) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Keskee raja-arvolause ja artmeettse keskarvo asymptootte jakauma Keskesestä raja-arvolauseesta seuraa: Rppumattome samo jakautuede satuasmuuttuje X, =,,, artmeette keskarvo X X N, a o suurlle (mutta äärellslle) approksmatvsest ormaale parametre, /. De Movre ja Laplace raja-arvolause Olkoo X ~ B(, p) ja q = p. Tällö X a N p, pq (.63) X p lm Pr z ( z) pq jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. 45

48 De Movre ja Laplace raja-arvolause ja bomtodeäkösyydet Jos X ~ B(, p) ja q = p, De Movre ja Laplace raja-arvolausee mukaa suurlle bp ap Pr( a X b) pq pq jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa b/p a/p Pr( a X b) pq pq Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b/p Pr( X b) FX ( b) pq jossa F X o bomjakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a/p a/p Pr( X a) fx ( a) pq pq jossa f X o bomjakauma pstetodeäkösyysfukto. Posso-jakauma ja ormaaljakauma Olkoo X ~ Posso(). Tällö X a N, (.64) X lm Pr z ( z) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Posso-todeäkösyydet ja ormaaljakauma Jos X ~ Posso(), suurlle b a Pr( a X b) jossa o stadardodu ormaaljakauma N(0, ) kertymäfukto. Jos a ja b ovat kokoaslukuja, approksmaato o hema paremp, jos käytetää kaavaa 46

49 b/ a/ Pr( a X b) Jos aetaa a, saadaa approksmaatotulos b / Pr( X b) FX ( b) jossa F X o Posso-jakauma kertymäfukto. Jos a = b, saadaa approksmaatotulos a/ a/ Pr( X a) fx ( a) jossa f X o Posso-jakauma pstetodeäkösyysfukto Normaaljakaumasta johdettuja jakauma jakauma X ~ () -jakauma: määrtelmä Oletukset: Olkoot Z, =,,, rppumattoma, stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö Z ~N(0,),,,, Z, Z,, Z Olkoo X Z N(0, )-jakautuede, rppumattome satuasmuuttuje Z, =,,, elösumma. Tällö satuasmuuttuja X oudattaa -jakaumaa (Kh -jakaumaa) :llä vapausasteella. Merktä: X ~ (). -jakauma: vapausasteet -jakauma vapausastede lukumäärä vttaa rppumattome yhteelaskettave lukumäärää -jakauma määrttelevässä elösummassa. Vapausastede lukumäärä o -jakauma muodo määräävä parametr. -jakauma odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( X) 47

50 Varass ja stadardpokkeama: D( X) D( X) Studet t-jakauma T ~ t() Studet t-jakauma: määrtelmä Oletukset: Olkoot Y ja X, =,,, rppumattoma, stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö Y ~N(0,) ja X ~N(0,),,,, Y, X, X,, X X X ~ ( ) Y X Olkoo Y T X jossa ss Y ~ N(0,), X ~ ( ), Y X Tällö satuasmuuttuja T oudattaa (Studet) t-jakaumaa :llä vapausasteella. Merktä: T ~ t(). t-jakauma odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( T) 0, Varass ja stadardpokkeama: D( T), D( T), t-jakauma ja ormaaljakauma t-jakauma lähestyy stadardotua ormaaljakaumaa, ku vapausastede lukumäärä kasvaa. 48

51 Koska t-jakauma lähestyy vapausastede lukumäärä kasvaessa stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ), vodaa t-jakaumaa lttyvät todeäkösyydet määrätä suurlla vapausastede luvulla stadardodusta ormaaljakauma avulla. Normaaljakauma-approksmaato t-jakaumalle o kohtuulle jo, ku = 30, ja rttävä usemp tarkotuks, ku > F-jakauma F ~ F(m, ) F-jakauma: määrtelmä Oletukset: Olkoot Y, =,,, m ja X, =,,, rppumattoma, stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattava satuasmuuttuja. Tällö Y ~ N(0,),,,, m ja X ~ N(0,),,,, Y, Y,, Y, X, X,, X m m Y Y ~ ( m), X X ~ ( ) Y X Olkoo Y F m X jossa ss Y ~ ( m), X ~ ( ), Y X Tällö satuasmuuttuja F oudattaa (Fsher) F-jakaumaa m:llä ja :llä vapausasteella. Merktä: F ~ F(m, ). F-jakauma: vapausasteet F-jakauma vapausastede lukumäärstä esmmäe (m) vttaa rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa oudattave yhteelaskettave lukumäärää F-jakauma määrttelevä lausekkee osottajassa. F-jakauma vapausastede lukumäärstä toe () vttaa rppumattome, stadardotua ormaaljakaumaa oudattave yhteelaskettave lukumäärää F-jakauma määrttelevä lausekkee mttäjässä. F-jakauma odotusarvo ja varass Odotusarvo: E( F), 49

52 Varass ja stadardpokkeama: m ( ) ( 4) (m 4) D( F), 4 (m4) D( F), 4 m ( ) ( 4) F-jakauma: omasuuksa Olkoo F ~ F(m, ) Tällö ~ F( m, ) F F-jakauma ja t-jakauma Olkoo T ~ t(). Tällö T ~ F(, ) Olkoo F ~ F(, ). Tällö F t ( ) 0. Yhtesjakaumat 0.. Kaksulotteset jakaumat Kaksulotteset satuasmuuttujat Olkoot X ja Y satuasmuuttuja, jode otosavaruudet ovat R ja S. Olkoo RS otosavaruukse R ja S karteese tulo. Satuasmuuttuje X ja Y järjestetty par (X, Y) määrttelee kaksulottese satuasmuuttuja (X, Y): RS Kaksulottee dskreett jakauma Olkoot X ja Y dskreettejä satuasmuuttuja. Tällö järjestetty par (X, Y) määrttelee -ulottese dskreet satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja (X, Y) määrttelee -ulottese dskreet todeäkösyysjakauma, jota kutsutaa satuasmuuttuje X ja Y yhtesjakaumaks. Olkoot x, x, satuasmuuttuja X saamat arvot ja vastaavast y, y, satuasmuuttuja Y saamat arvot. Kaksulottee dskreett jakauma: pstetodeäkösyysfukto Reaalarvoe fukto f XY : määrttelee -ulottese dskreet satuasmuuttuja (X, Y) yhtesjakauma pstetodeäkösyysfukto, jos 50

53 (.65) () f ( x, y ) 0, kaklla, kaklla j XY j () f ( x, y ) j XY j (3) Pr( X x, Y y ) f ( x, y ) j XY j Kaksulottee dskreett jakauma: tapahtuma todeäkösyys Olkoo A Tällö Pr ( X, Y) A f ( x, y ) ( x, y) A XY j Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto Reaalarvoe jatkuva fukto f XY : määrttelee kaksulottese jatkuva satuasmuuttuja (X, Y) yhtesjakauma theysfukto, jos (.66) () f ( x, y) 0, kaklla x, kaklla y XY () f ( x, y) dydx XY (3) Pr( a X b, cy d) f ( x, y) dydx bd ac XY Olkoo Tällö A Pr ( X, Y ) A f ( x, y) dydx Kaksulottese jakauma kertymäfukto Kaksulottese jakauma kertymäfukto F XY o (.67) F ( x, y) Pr( X x, Y y) XY A XY Kaksulottese dskreet jakauma kertymäfukto Olkoot x, x, ja y, y, vastaavast satuasmuuttuje X ja Y tulosvahtoehtoje el arvoje joukot. Kaksulottese dskreet jakauma kertymäfukto o (.68) FXY ( x, y) Pr( X x, Y y) fxy ( x, yj ) xx yjy 5

54 Kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto Kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto o x y (.69) FXY ( x, y) Pr( X x, Y y) fxy ( u, v) dvdu Kaksulottese jatkuva jakauma theysfukto ja kertymäfukto Olkoo (X, Y) jatkuva kaksulottee satuasmuuttuja. Olkoo F XY (x, y) kaksulottese jatkuva jakauma kertymäfukto. Jos dervaatta (.70) FXY ( x, y) xy f XY ( x, y) o olemassa ja o jatkuva, fukto f XY (x, y) o satuasmuuttuja (X, Y) yhtesjakauma theysfukto. Kaksulottese dskreet jakauma reuajakaumat Olkoo f XY (x, y j ) dskreet kaksulottese jakauma pstetodeäkösyysfukto. Satuasmuuttuja X reuajakauma pstetodeäkösyysfukto o (.7) f ( x ) Pr( X x ) f ( x, y ) X XY j j Satuasmuuttuja Y reuajakauma pstetodeäkösyysfukto o (.7) f ( y ) Pr( Y y ) f ( x, y ) Y j j XY j Kaksulottese jatkuva jakauma reuajakaumat Olkoo f XY (x, y) jatkuva -ulottese jakauma theysfukto. Satuasmuuttuja X reuajakauma theysfukto o (.73) f X( x) fxy( x, y) dy Satuasmuuttuja Y reuajakauma theysfukto o (.74) fy( y) fxy( x, y) dx Satuasmuuttuje rppumattomuus Oletukset: - Olkoo satuasmuuttuje X ja Y yhtesjakauma pstetodeäkösyys- ta theysfukto f XY (x, y). 5