ε i = jäännös- eli virhetermin ε satunnainen ja ei-havaittu arvo havaintoyksikössä i

Transkriptio

1 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket / Ratkaut Aheet: Yhde elttäjä leaare regreomall Avaaat: Ehdolle jakauma, Ehdolle odotuarvo, Ehdolle vara, Etmot, F-jakauma, F-tet, Homokedatuu, Jakaumaoletu, Jääöelöumma, Jääöterm, Jääövara, Kekhajota, Kakulottee ormaaljakauma, Kokoaelöumma, Korrelaato, Korrelomattomuu, Kovara, Krtte arvo, Kulmakerro, Leaare regreomall, Luottamukerro, Luottamutao, Luottamuväl, Mallelöumma, Merktevtao, Momettmeetelmä, Nollahpotee, Normaaljakauma, Oto, Paopte, Parametr, p-arvo, Pemmä elöumma meetelmä, Rakeeoa, Regreofukto, Regreokerro, Regreomall, Regreouora, Reduaal, Rppumattomuu, Rppuvuu, Satuae oa, Seltettävä muuttuja, Selttäjä, Selttävä muuttuja, Seltate, Sovte, Suurmma ukottavuude meetelmä, Stemaatte oa, t-jakauma, t-tet, Tet, Vakoterm, Vapauateet, Varaaalhajotelma Yhde elttäjä leaare regreomall Yhde elttäjä leaare regreomall Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall lee muoto o joa = β0 + β + ε, =,,, = eltettävä muuttuja atuae ja havattu arvo havatokköä = elttäjä (elttävä muuttuja) e-atuae ja havattu arvo havatokköä ε = jääö- el vrheterm ε atuae ja e-havattu arvo havatokköä β 0 = e-atuae ja tutemato vako (vakoelttäjä regreokerro) β = elttäjä e-atuae ja tutemato regreokerro Mall jääötermtä ε tehdää euraavat tokatet oletuket: () ε, ε,, ε ovat rppumattoma () ε σ = N(0, ),,,, Saomme, että jääöterme ε, =,,, vara σ o mall jääövara. Huomaa, että oletukta () ja () euraa, että kaklla jääötermellä ε, =,,, o ama vara el e ovat homokedata ja läk jääötermt ovat korrelomattoma. Ilkka Mell (006) /

2 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Jo mall = β0 + β + ε, =,,, ja e oat toteuttavat kakk em. oletuket, aomme että mall o tavaomae hde elttäjä leaare regreomall ta, että mall toteuttaa tavaomaet oletuket hde elttäjä leaarelle regreomalllle. Satuae elttäjä tapau Jo tavaomae hde elttäjä leaare regreomall = β0 + β + ε, =,,, elttäjä arvot ovat atuaa, mutta jääötermä ε kokeva oletu () llä vodaa korvata etetä. tadardoletuka oletukella () ε σ = N(0, ),,,, jatkoa etettävä teora pätee opvat modfotua. Oletu () tarkottaa tä, että atuamuuttuja ε ehdolle jakauma ehdolla o oletettu ormaalek. Yhde elttäjä leaare regreomall temaatte oa ja atuae oa Olkoo = β0 + β + ε, =,,, tavaomaet oletuket toteuttava hde elttäjä leaare regreomall. Tällö E( ) = β0 + β, =,,, Var( ) = σ, =,,, Saomme, että odotuarvo E( ) = β + β, =,,, 0 muodotaa mall temaatte oa el rakeeoa ja 0 ε = E( ) = β β, =,,, muodotaa mall atuae oa. Ilkka Mell (006) /

3 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Regreouora Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall = β0 + β + ε, =,,, temaatte oa määrttelee regreouora joa E( ) = β + β, =,,, 0 0 = β + β β 0 = uora vakoterm β = uora kulmakerro Regreouora kulmakertome tulkta Oletetaa, että elttäjä arvo kavaa hdellä kköllä: + Regreokerro β kertoo paljoko eltettävä muuttuja vataava odotettava oleva arvo muuttuu: E( ) = β + β 0 E( ) = β0 + β β0 + β( + ) = β0 + β + β = E( ) + β Regreokertome etmot Mall = β0 + β + ε, =,,, regreokertome (parametre) β 0 ja β pemmä elöumma (PNS-) etmaattort aadaa mmomalla elöumma 0 = j = j 0 j = = S( β, β ) ε ( β β ) regreokertome β 0 ja β uhtee. Regreokertome β 0 ja β PNS-etmaattorek aadaa b0 = b b = r = Ilkka Mell (006) 3/3

4 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket PNS-etmaattorede kaavoa = = = = ovat -havatoje ja -havatoje artmeettet kekarvot, = ( ) = ( ) = = ovat -havatoje ja -havatoje otovarat, = ( )( ) = o -havatoje ja -havatoje otokovara ja läk r = o -havatoje ja -havatoje otokorrelaatokerro. Etmotu regreouora Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall = β0 + β + ε, =,,, regreokertome β 0 ja β PNS-etmaattort b 0 ja b ja määrttelevät uora = b0 + b Sovtteet ja reduaalt Etmodu mall ovtteet aadaa kaavalla ˆ = b + b, =,,, 0 Etmodu mall reduaalt aadaa kaavalla e = ˆ = b b, =,,, 0 Mall elttää tä paremm eltettävä muuttuja kättätmtä mtä lähempää ovtteet ovat eltettävä muuttuja havattuja arvoja el mtä peempä ovat etmodu mall reduaalt. Koka malla o mukaa vako, ovttede umma ht eltettävä muuttuja havattuje arvoje ummaa: ˆ = ( b + b) = b + b 0 0 = = = = = b + b = ( b ) + b = = 0 = Ilkka Mell (006) 4/4

5 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Läk koka malla o mukaa vako, reduaale umma = 0: Varaaalhajotelma Olkoo e = ( ˆ ) = ˆ = 0 = = = = SST = ( ) = ( ) = eltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma ja olkoo SSE = e = etmodu mall PNS-reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma. Vodaa oottaa, että mä Koka aa pätee = = SSE = e = ( r ) ( ) = ( r ) SST r = -havatoje ja -havatoje otokorrelaatokerro r < SSE SST Määrtellää etmodu mall mall- (el regreo-) elöumma kaavalla SSM = SST SSE Vodaa oottaa, että SSM = ( ˆ ) = Kokoaelöumma SST hajotelmaa SST = SSM + SSE elöumme SSM ja SSE ummak kututaa varaaalhajotelmak. Varaaalhajotelmaa eltettävä muuttuja kokoavahtelua kuvaava elöumma SST o hajotettu kahtee oaa, jota mallelöumma SSM kuvaa tä oaa kokoaelöummata, joka etmotu mall o elttät ja jääöelöumma SSE kuvaa tä oaa kokoaelöummata, jota etmotu mall e ole elttät. Ilkka Mell (006) 5/5

6 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Seltate Varaaalhajotelma motvo määrttelemää etmodu mall eltatee kaavalla SSE SSM R = = SST SST joa SST = eltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma SSE = etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma SSM = etmodu mall mall- (el regreo-) elöumma Varaaalhajotelmata euraa, että aa pätee 0 R Seltate mttaa etmodu regreomall hvttä: Mtä uuremp o eltate, tä uuremp o mallelöumma (el etmodu mall elttämä) ouu eltettävä muuttuja kokoavahtelua kuvaavata elöummata ja tä peemp o jääöelöumma (el etmodu mall elttämättä jättämä) ouu eltettävä muuttuja kokoavahtelua kuvaavata elöummata. Vodaa oottaa, että eltate ht eltettävä muuttuja havattuje arvoje ja etmodu mall ovttede otokorrelaatokertomee: R = [Cor(, ˆ)] Huomaa, että hde elttäjä leaare regreomall tapaukea pätee läk joa R = r r = -havatoje ja -havatoje otokorrelaatokerro Seltatee omauudet Seltateella R o euraavat omauudet: () 0 R () Seuraavat ehdot ovat htäptävä: () R = () Kakk reduaalt hävävät: e = 0, kaklle =,,, (3) Kakk havatopteet (, ), =,,, aettuvat amalle uoralle. (4) r = ± (5) Määrtelt mall elttää tädellet eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelu. Ilkka Mell (006) 6/6

7 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket () Seuraavat ehdot ovat htäptävä: () R = 0 () b = 0 (3) r = 0 (4) Määrtelt mall e ollekaa eltä eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua. Jääövara etmot Tavaomae hde elttäjä leaare regreomall jääöterme ε j, j =,,, vara σ harhato etmaattor o SSE = = e j j= joa e = ˆ = b b, j =,,, o etmodu mall reduaal. j j j j 0 j Lakutomtute järjetäme Jo regreokertomet joudutaa lakemaa kä ta lakmella, hde elttäjä leaare regreomall PNS-etmo vaatmat lakutomtuket kaattaa järjetää euraava tauluko muotoo: ˆ e e ˆ e e ˆ e e ˆ e e Summa = = = = = = = e = e Jo tarkotukea o lakea aoataa PNS-etmaatt regreokertomlle β 0 ja β, llä olevata taulukota tarvtaa va -havatoje umma Σ ja elöumma Σ, -havatoje umma Σ ekä - ja -havatoje tuloumma Σ. Jo tarkotukea o lakea läk etmodu mall eltate, tarvtaa edellä mattuje uurede läk mö -havatoje elöumma Σ ekä etmodu mall reduaale elöumma Σ e. Ilkka Mell (006) 7/7

8 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Havatoarvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat aadaa llä oleva tauluko arakeummta kaavolla = = ja ekä otokovara = = = = = = = = = = = = jota regreokertome etmaatt aadaa laketuk kaavolla b = b = b 0 Etmodu mall ovtteet aadaa kaavalla ˆ = b + b, =,,, 0 ja reduaalt kaavalla e = ˆ = b b, =,,, 0 Etmodu mall eltate vodaa lakea kaavalla R = SSE SST joa SSE = e = o etmodu mall jääöelöumma (reduaale elöumma) ja SST = ( ) = ( ) = o eltettävä muuttuja arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma. Huomaa, että hde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla o mukaa vako) pätee mö R = r Ilkka Mell (006) 8/8

9 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Regreokertome PNS-etmaattorede otojakaumat Jo tavaomaet hde elttäjä leaarta regreomalla kokevat oletuket pätevät, regreokertome β 0 ja β PNS-etmaattort b 0 ja b ovat ormaaljakautueta: σ b N β, ( ) σ j j= 0 N β0, ( ) b Ertet regreokertome β 0 ja β PNS-etmaattort b 0 ja b ovat harhattoma: E(b ) = β E(b 0 ) = β 0 Regreokertome luottamuvält Oletetaa, että tavaomaet hde elttäjä leaarta regreomalla kokevat oletuket pätevät. Regreokertome β el regreouora kulmakertome luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa b ± tα / joa t α/ ja + t α/ ovat luottamutaoo ( α) lttvät luottamukertomet Studet t-jakaumata, joka vapauatede luku o ( ) ja o jääövara σ harhato etmaattor. Regreokertome β 0 el regreouora vako luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa b ± t 0 α / j= j ( ) joa t α/ ja + t α/ ovat luottamutaoo ( α) lttvät luottamukertomet Studet t-jakaumata, joka vapauatede luku o ( ) ja o jääövara σ harhato etmaattor. Ilkka Mell (006) 9/9

10 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Regreokertoma kokevat tett Oletetaa, että tavaomaet hde elttäjä leaarta regreomalla kokevat oletuket pätevät. Olkoo ollahpoteea H :β = β Määrtellää t-tetuure b β t = /( ) Jo ollahpotee H 0 pätee, t t( ) Itearvoltaa uuret tetuuree t arvot vttaavat he, että ollahpotee H 0 e päde. Olkoo ollahpoteea H :β = β Määrtellää t-tetuure t b0 β0 = Jo ollahpotee H 00 pätee, j ( ( ) ) t0 t( ) Itearvoltaa uuret tetuuree t 0 arvot vttaavat he, että ollahpotee H 00 e päde. Merktevtaoa α vataava hlkäaluee (krttte arvoje) ta tetuurede havattuja arvoja vataave p-arvoje määrääme tapahtuu tämällee amalaella tekkalla ku ormaaljakauma odotuarvoa kokeva tavaomae t-tet tapaukea. Vodaa oottaa, että tet ollahpoteelle H :β = β 0 0 vodaa perutaa mö F-tetuureeee R F = ( ) R joa R o etmodu mall eltate. Huomaa, että koka malla o mukaa vako, R = r Jo ollahpotee H 0 pätee, F F(, ) Suuret tetuuree F arvot vttaavat he, että ollahpotee H 0 e päde. Ilkka Mell (006) 0/0

11 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tämä F-tet ollahpoteelle H 0 o ekvvalett edellä etet t-tet kaa: Vodaa oottaa, että F = t Kakulottee ormaaljakauma regreofuktode etmot Kakulottee ormaaljakauma ja e thefukto Oletetaa, että atuamuuttuje ja par (,) oudattaa kakulotteta ormaaljakaumaa el µ µ σ σ ρ (, ) N (,,,, ) joa µ = E( ) µ = E( ) σ = Var( ) = E[( µ ) ] σ = Var( ) = E[( µ ) ] ρ σ = Cor(, ) = σσ σ = Cov(, ) = E[( µ )( µ )] Kakulottee ormaaljakauma thefukto o muotoa f (, ) = ep Q (, ) πσ ( ρ ) σ ρ joa µ µ µ µ Q (, ) = + ρ σ σ σ σ Kakulottee ormaaljakauma ehdollet jakaumat Kakulottee ormaaljakauma ehdollet jakaumat ovat ormaala: ( )~ N( µ, σ ) ( )~ N( µ, σ ) joa σ µ = E( ) = µ + ρ ( µ ) σ σ = Var( ) = ( ρ ) σ σ µ = E( ) = µ + ρ ( µ ) σ σ = Var( ) = ( ρ ) σ Ilkka Mell (006) /

12 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Ehdollte odotuarvoje E( ) ja E( ) kaavota ähdää: () Satuamuuttuja ehdolle odotuarvo atuamuuttuja uhtee el atuamuuttuja regreofukto atuamuuttuja uhtee rppuu leaaret ehtomuuttuja arvota el o muotoa: () E( ) = α + α 0 Satuamuuttuja ehdolle odotuarvo atuamuuttuja uhtee el atuamuuttuja regreofukto atuamuuttuja uhtee rppuu leaaret ehtomuuttuja arvota el o muotoa: E( ) = β + β 0 Ehdollte varae Var( ) ja Var( ) kaavota ähdää: () Satuamuuttuja ehdolle vara atuamuuttuja uhtee e rpu ehtomuuttuja arvota. () Satuamuuttuja ehdolle vara atuamuuttuja uhtee e rpu ehtomuuttuja arvota. Ehdollte odotuarvoje kaavota ähdää edellee, että ekä atuamuuttuja regreofukto atuamuuttuja uhtee että atuamuuttuja regreofukto atuamuuttuja uhtee kulkevat atuamuuttuje ja todeäköjakauma todeäkömaa paoptee ( µ, µ ) kautta. Oto kakulotteeta ormaaljakaumata Oletetaa, että atuamuuttuje ja par (,) oudattaa kakulotteta ormaaljakaumaa el Olkoot,,, muuttuja havatut arvot ja (, ) N ( µ, µ, σ, σ, ρ),,, muuttuja havatut arvot ja oletetaa, että havatoarvoje ja part (, ), =,,, muodotavat kkertae atuaotoke kakulotteta ormaaljakaumata N ( µ, µ, σ, σ, ρ ) Tällö (, ),(, ),,(, ) (, ) N ( µ, µ, σ, σ, ρ), =,,, Ilkka Mell (006) /

13 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Kakulottee ormaaljakauma regreofuktode PNS-etmot Oletetaa, että havatoarvoje ja part (, ), =,,, muodotavat kkertae atuaotoke kakulotteta ormaaljakaumata N ( µ, µ, σ, σ, ρ ). Kakulottee ormaaljakauma regreofuktot ovat muotoa E( ) = β0 + β E( ) = α + α 0 Etmodaa regreofuktot pemmä elöumma meetelmällä. Määrtellää hde elttäjä leaaret regreomallt () = β0 + β + ε, =,,, () = α0 + α + δ, =,,, Muuttuja PNS-uora htälö muuttuja uhtee o joa (3) = b0 + b b = b b = r = 0 Muuttuja PNS-uora htälö muuttuja uhtee o (4) = a0 + a joa a = a a = r = 0 Malle () ja () regreokertome β 0, β, α 0, α PNS-etmaattorede b 0, b, a 0, a lauekkea = = = = = ( ) = ( ) = = = ( )( ) r = = Ilkka Mell (006) 3/3

14 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Muuttuja PNS-uora htälö muuttuja uhtee vodaa krjottaa muotoo (3) = r ( ) Muuttuja PNS-uora htälö muuttuja uhtee vodaa krjottaa muotoo (4) = r ( ) Yhtälötä (3) ja (4) ähdää välttömät, että molemmat PNS-uorat kulkevat havatoaeto paoptee (, ) kautta. Yhtälötä (3) ja (4) ähdää edellee, että PNS-uore kulmakertome tulo o muuttuje ja korrelaatokertome elö: ab = r r = r Vodaa oottaa, että molemp PNS-uor ltt ama eltate R ja e ht muuttuje ja havattuje arvoje korrelaatokertome elöö: R = r PNS-uoraa (3) lttvä jääövara (harhato) etmaattor o joa (3) Vodaa oottaa, että joa SSE = SSE = PNS-uoraa (3) lttvä jääöelöumma SSE r SST = ( ) = ( ) = ( ) = SST PNS-uoraa (4) lttvä jääövara (harhato) etmaattor o joa (4) SSE = SSE = PNS-uoraa (4) lttvä jääöelöumma Ilkka Mell (006) 4/4

15 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Edellee vodaa oottaa, että joa SSE r SST = ( ) = ( ) = ( ) = SST Kakulottee ormaaljakauma regreofuktode etmot momettmeetelmällä ja uurmma ukottavuude meetelmällä Vertaamalla edellä etettjä kakulottee ormaaljakauma regreofuktode PNSetmaattorede kaavoja kakulottee ormaaljakauma regreofuktode lauekke ähdää välttömät, että regreofuktode PNS-etmaattort htvät de momettetmaattoreh. Edellee vodaa oottaa, että regreofuktode PNS-etmaattort htvät mö de uurmma ukottavuude etmaattoreh. Ilkka Mell (006) 5/5

16 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.. Muuttuje ja havatut arvot ovat: (a) (b) Määrää tavaomae hde elttäjä leaare regreomall = β0 + β + ε, ε N(0, σ ), =,,, regreokertome β 0 ja β pemmä elöumma (PNS-) etmaatt. Määrää etmodu mall ovtteet ja reduaalt. (c) Määrää etmodu mall jääövara σ harhato etmaatt. (d) Määrää etmodu mall eltate. Tehtävä.. Mtä opmme? Tehtävää tarkatellaa hde elttäjä leaare regreomall etmota. Tehtävä.. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa ratkau lopua. (a) Yhde elttäjä leaare regreomall = β 0 + β + ε regreokertome α ja β PNS-etmaatt aadaa laketuk euraavaa etettävällä tavalla. Määrätää e muuttuje ja havattuje arvoje ummat, elöummat ja tuloumma: = = = = = = 56 = 40 = 54 = 56 Y = 364 Muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat ja, otokekhajoat ja, otokovara ja otokorrelaato r aadaa muuttuje ja havattuje arvoje ummta, elöummta ja tuloummata: Ilkka Mell (006) 6/6

17 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket = = 56 = 7 8 = = = 40 = 5 8 = = = = = = = = = 8 = = 8 8 = = = 4.34 = = 8 =.88 = = = = = = 8 8 r = = = Etmodu PNS-uora htälö o muotoa = b 0 + b joa b 0 ja b ovat mall regreokertome β 0 ja β PNS-etmaattort. Etmaattorede b 0 ja b arvot aadaa llä määrättä ototuuluvuta:.88 b = r = = b = b = = Etmodu PNS-uora htälök aadaa te = (b) Etmodu mall ovtteet ˆ ja reduaalt e aadaa euraavlla kaavolla: Sovtteet: Reduaalt: ˆ = b + b, =,,, 0 e = ˆ, =,,, Sovtteet ja reduaalt o aettu alla olevaa Ecel-taulukoa. Ilkka Mell (006) 7/7

18 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket (c) Mall jääövara σ harhattoma etmaattor arvok aadaa = SSE =.545 = joa SSE = e =.545 = o etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma. (d) Etmodu mall eltate R vodaa lakea uealla er tavalla. Olkoot etmodu mall ovtteet ˆ = b + b, =,,, ja reduaalt 0 e = ˆ, =,,, Seltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma o ( ) = = = 8 SST = ( ) = = = = 56 Etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma o SSE = e =.545 = Etmodu mall elttämää ouutta eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahteluta kuvaava mallelöumma o = ( ) SSM = ˆ = SST SSE = = Seltate R o (k. alla olevaa Ecel-taulukkoa) SSE SSM R = SST = SST = 56 = 56 = Yhde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla ol mukaa vako) pätee mö R = r = = Ilkka Mell (006) 8/8

19 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel ohjelmalla; k. alla olevaa taulukkoa. hat re re Summa Mea() = 7 = = 4.34 Mea() = 5 = 8 =.88 = r = b = b 0 = SST = 56 SSE =.545 SSM = R = := - SSE /SST R = := SSM /SST R = := r = 0.44 = 0.65 t (b )=.5 (/)*l-väl ptuu = 0.39 (l-taolla 0.95) Ilkka Mell (006) 9/9

20 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.. Jatkoa tehtävälle.. Prrä tehtävää.. etmotu regreouora havatoja (, ), =,,, ettävää ptedagramm. Merkte kuvoo ovtteta vataavat pteet (, ˆ ), =,,, Prrä amaa kuvoo mö reduaaleja kuvaavat jaat. Tehtävä.. Mtä opmme? Tehtävää havaolltetaa etmodu PNS-uora prtämtä havatoaetoa kuvaavaa ptedgramm ekä etmodu mall reduaaleja. Tehtävä.. Ratkau: Ao. kuvo o tuotettu Statt-ohjelmalla: 0 X v Y 7.5 Y X Ilkka Mell (006) 0/0

21 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.3. Jatkoa tehtävälle.. (a) Tetaa tehtävä.. regreomall kerrota β kokevaa ollahpoteea H 0 : β = 0 Kätä kakuutata vahtoehtota hpoteea ja 5 %: merktevtaoa. (b) Muodota kertomelle β 95%: luottamuväl. Tehtävä.3. Mtä opmme? Tehtävää tarkatellaa tlatollta päättelä hde elttäjä leaarea regreomalla. Tehtävä.3. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa tehtävä.. ratkau lopua. (a) t-tetuure ollahpoteelle H 0 : β = 0 o muotoa b t = / joa b o regreokertome β PNS-etmaattor, o mall jääövara σ harhato etmaattor ja o muuttuja havattuje arvoje otovara. Jo ollahpotee H 0 pätee, tetuure t o jakautuut Studet t-jakauma mukaa vapauate ( ): t t( ) Tehtävä tapaukea: t b = = = / 0.65/ ja tetuuree jakauma vapauateet ovat.5 df = = 6 5 %: merktevtaoa vataavk krttk arvok t 0.05 ja +t 0.05 aadaa Studet t-jakauma taulukota -uutae vahtoehtoe hpotee tapaukea (df = = 6): t 0.05 =.447 +t 0.05 = Ilkka Mell (006) /

22 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Koka t =.5 > ollahpotee H 0 hlätää. (b) Regreokertome β luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa b± t α / joa b o regreokertome β PNS-etmaattor, o mall jääövara σ harhato etmaattor, o muuttuja havattuje arvoje otovara ekä t α/ ja + t α/ ovat luottamutaoo ( α) lttvät luottamukertomet Studet t-jakaumata, joka vapauatede luku o ( ). Luottamutaoa 0.95 vataavk luottamukertomk t 0.05 ja +t 0.05 aadaa Studet t-jakauma taulukota (df = = 6): t 0.05 =.447 +t 0.05 = Ste luottamuvälk aadaa 0.65 b± tα / = ± = ± 0.39 = (0.497, 0.775) Huomautu: Luottamutaoo 95 % lttvät luottamukertomet t 0.05 ja +t 0.05 ovat amat ku (a)- kohda kakuutae tet krttet rajat. Ilkka Mell (006) /

23 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.4. Meetme opoa aattaa vakuttaa vatavalmtuee alkupalkkaa. Aaa tutktt eräää USA: loptoa pommalla vatavalmtuede joukota kkertae atuaoto, joka koko ol 5. Otokee pomtulta opkeljolta ktt hedä arvoaaptedeä kekarvoa (muuttuja ) ja alkupalkkaa (muuttuja ; kkköä 000 $). Otota kuvaavat perutuuluvut olvat: = 3.04 = 8.05 = = 5.8 (a) (b) (c) (d) r = Määrää regreokertome etmaatt leaareta regreomallta = β 0 + β + ε, =,,, joa alkupalkkaa eltetää arvoaaptede kekarvolla. Määrää regreokertome etmaatt leaareta regreomallta = α 0 + α + δ, =,,, joa arvoaaptede kekarvoa eltetää alkupalkalla (. kääteregreo). Määrää etmotuje regreomalle eltateet. Määrää kohda (a) ja (b) etmotuje regreouore lekkaupte. Vertaa tulota - ja -havatoarvoje artmeett kekarvoh. Oko tulo attuma? Tehtävä.4. Mtä opmme? Tehtävää tarkatellaa kakulottee ormaaljakauma regreofuktode etmota. Tehtävä.4. Ratkau: Otota kuvaavat perutuuluvut olvat: = 3.04 = 8.05 = = 5.8 r = Ilkka Mell (006) 3/3

24 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket (a) Mall = β0 + β + ε, =,,, regreokertome β 0 ja β PNS-etmaatek aadaa 5.8 b = r = = b = b = = (b) Mall = α0 + α + δ, =,,, regreokertome α 0 ja α PNS-etmaatek aadaa a = r = = a = a = =.45 0 (c) Koka kohte (a) ja (b) regreomallt ovat hde elttäjä leaara regreomalleja, molemmlle regreomallelle pätee: R = r XY = = 0.79 Huomaa, että r XY = b a = = 0.79 (e) Ko. regreouorat lekkaavat aa (artmeettte kekarvoje määräämää) havatoarvoje paopteeä, jo uora o mukaa vakoterm. Ste uore lekkaupte o (, ) = (3.04,8.05) Ilkka Mell (006) 4/4

25 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.5. Muuttuje ja havatut arvot ovat: (a) (b) Määrää tavaomae hde elttäjä leaare regreomall = β0 + β + ε, ε N(0, σ ), =,,, regreokertome β 0 ja β pemmä elöumma (PNS-) etmaatt. Määrää etmodu mall ovtteet ja reduaalt. (c) Määrää etmodu mall jääövara σ harhato etmaatt. (d) Määrää etmodu mall eltate. Tehtävä.5. Mtä opmme? Tehtävää tarkatellaa hde elttäjä leaare regreomall etmota. Tehtävä.5. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa ratkau lopua. (a) Yhde elttäjä leaare regreomall = β 0 + β + ε regreokertome α ja β PNS-etmaatt aadaa laketuk euraavaa etettävällä tavalla. Määrätää e muuttuje ja havattuje arvoje ummat, elöummat ja tuloumma: = = = = = = 4 = 35 = 30 = 59 = 37 Muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ja, otovarat ja, otokekhajoat ja, otokovara ja otokorrelaato r aadaa muuttuje ja havattuje arvoje ummta, elöummta ja tuloummata: Ilkka Mell (006) 5/5

26 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket = = 4 = 6 7 = = = 35 = 5 7 = = = 30 4 =.333 = = 7 7 = = = 4 = = 7 7 = =.333 = = = 4 = 3.74 = = = = = = r = = = Etmodu PNS-uora htälö o muotoa = b 0 + b joa b 0 ja b ovat mall regreokertome β 0 ja β PNS-etmaattort. Etmaattorede b 0 ja b arvot aadaa llä määrättä ototuuluvuta: 3.74 b = r = = b = b = =.44 0 Etmodu PNS-uora htälök aadaa te = (b) Etmodu mall ovtteet ˆ ja reduaalt e aadaa euraavlla kaavolla: Sovtteet: Reduaalt: ˆ = b + b, =,,, 0 e = ˆ, =,,, Sovtteet ja reduaalt o aettu alla olevaa Ecel-taulukoa. Ilkka Mell (006) 6/6

27 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket (c) Mall jääövara σ harhattoma etmaattor arvok aadaa = SSE = 5.63 =.6 7 joa SSE = e = 5.63 = o etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma. (d) Etmodu mall eltate R vodaa lakea uealla er tavalla. Olkoot etmodu mall ovtteet ˆ = b + b, =,,, ja reduaalt 0 e = ˆ, =,,, Seltettävä muuttuja havattuje arvoje vahtelua kuvaava kokoaelöumma o ( ) = = = 7 SST = ( ) = = = = 84 Etmodu mall reduaale vahtelua kuvaava jääöelöumma o SSE = e = 5.63 = Etmodu mall elttämää ouutta eltettävä muuttuja havattuje arvoje vahteluta kuvaava mallelöumma o = ( ) SSM = ˆ = SST SSE = = Seltate R o (k. alla olevaa Ecel-taulukkoa) SSE SSM R = SST = SST = 84 = 84 = Yhde elttäjä leaare regreomall tapaukea (koka malla ol mukaa vako) pätee mö R = r = ( 0.965) = Ilkka Mell (006) 7/7

28 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel ohjelmalla; k. alla olevaa taulukkoa. hat re re Summa E Lakutomtuket Ecel taulukkolaketaomauuke avulla: Mea() = 6 = = = Mea() = 5 = 4 = r = b = Std Error(b ) = t(b ) = b 0 =.448 p-value = =.647 = SST = 84 SSE = SSM = R = r = alpha = 0.99 alpha/ = df = 5 t(alpha/) = lb(b) = ub(b) = Ilkka Mell (006) 8/8

29 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Lakutomtuket Ecel Data Aal Tool -tökaluje avulla: Decrptce Stattc -tökalu: Mea 6 Mea 5 Std Error.748 Std Error.444 Std Dev Std Dev Var Var 4 Correlato -tökalu: Regreo -tökalu: SUMMARY OUTPUT Regreo Stattc Multple R R Square Std Error Cout 7 ANOVA df SS MS F p-value Regreo Redual Total 6 84 Coeff Std Error t Stat p-value Lower 95% Upper 95% Lower 99% Upper 99% Itercept E RESIDUAL OUTPUT Ob Pred Re Ilkka Mell (006) 9/9

30 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.6. Jatkoa tehtävälle.5. Prrä tehtävää.5. etmotu regreouora havatoja (, ), =,,, ettävää ptedagramm. Merkte kuvoo ovtteta vataavat pteet (, ˆ ), =,,, Prrä amaa kuvoo mö reduaaleja kuvaavat jaat. Tehtävä.6. Mtä opmme? Tehtävää havaolltetaa etmodu PNS-uora prtämtä havatoaetoa kuvaavaa ptedgramm ekä etmodu mall reduaaleja. Tehtävä.6. Ratkau: Ao. kuvo o tuotettu Statt-ohjelmalla ja he o lätt Word prtotökaluja kättäe reduaaleja kuvaavta jaota e kolme, jotka o mahdollta erottaa kuvota (eljä havatoptetä o lähellä regreouoraa, että tä vataavat reduaalt ovat la peä erottuakee kuvota): 0 Scatter Plot of Y v X 8 6 Y X Ilkka Mell (006) 30/30

31 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.7. Jatkoa tehtävälle.5. (a) Tetaa tehtävä.5. regreomall kerrota β kokevaa ollahpoteea H 0 : β = 0 Kätä kakuutata vahtoehtota hpoteea ja %: merktevtaoa. (b) Muodota kertomelle β 99%: luottamuväl. Tehtävä.7. Mtä opmme? Tehtävää tarkatellaa tlatollta päättelä hde elttäjä leaarea regreomalla. Tehtävä.7. Ratkau: Kakk tehtävä lakutomtuket o teht Mcrooft Ecel -ohjelmalla; k. Ecel-taulukkoa tehtävä.5. ratkau lopua. (a) t-tetuure ollahpoteelle H 0 : β = 0 o muotoa b t = / joa b o regreokertome β PNS-etmaattor, o mall jääövara σ harhato etmaattor ja o muuttuja havattuje arvoje otovara. Jo ollahpotee H 0 pätee, tetuure t o jakautuut Studet t-jakauma mukaa vapauate ( ): t t( ) Tehtävä tapaukea: t b.074 = = = /.06/ ja tetuuree jakauma vapauateet ovat 8.34 df = = 5 %: merktevtaoa vataavk krttk arvok t ja +t aadaa Studet t-jakauma taulukota -uutae vahtoehtoe hpotee tapaukea (df = = 5): t = t 0.05 = Ilkka Mell (006) 3/3

32 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Koka t = 8.34 < 4.03 ollahpotee H 0 hlätää. (b) Regreokertome β luottamuväl luottamutaolla ( α) o muotoa b ± t α / joa b o regreokertome β PNS-etmaattor, o mall jääövara σ harhato etmaattor, o muuttuja havattuje arvoje otovara ekä t α/ ja + t α/ ovat luottamutaoo ( α) lttvät luottamukertomet Studet t-jakaumata, joka vapauatede luku o ( ). Luottamutaoa 0.99 vataavk luottamukertomk t ja +t aadaa Studet t-jakauma taulukota (df = = 5): t = t 0.05 = Ste luottamuvälk aadaa.06 b ± tα / =.074 ± =.074 ± 0.59 = (.593, 0.555) Huomautu: Luottamutaoo 99 % lttvät luottamukertomet t ja +t ovat amat ku (a)- kohda kakuutae tet krttet rajat. Ilkka Mell (006) 3/3

33 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket Tehtävä.8. Olkoo 5= muuttuja (etmodu) regreouora htälö muuttuja uhtee 4 = 9+ ja muuttuja (etmodu) regreouora htälö muuttuja uhteea. (a) Määrää muuttuje ja artmeettet kekarvot. (b) Määrää muuttuje ja väle korrelaato. (c) Määrää molempe malle eltateet. Tehtävä.8. Mtä opmme? Tehtävää ähdää, että muuttuja regreouora htälö muuttuja uhtee ja muuttuja regreouora htälö muuttuja uhtee hdeä ältävät tedo ekä muuttuje ja artmeettta kekarvota että de väletä korrelaatota ja te mö molempe malle eltateta. Tehtävä.8. Ratkau: Muuttuja PNS-uora htälö muuttuja uhtee o () = r ( ) ja muuttuja PNS-uora htälö muuttuja uhtee o () = r ( ) Ste PNS-uorat lekkaavat aa havatoaeto paopteeä (, ) Edellee htälötä () ja () ähdää, että muuttuje ja havattuje arvoje väle korrelaatokertome elö aadaa uore kulmakertome tuloa: r r = r Läk vodaa oottaa, että molemmlla regreomallella o ama eltate, joka ht muuttuje ja korrelaatokertome elöö: R = r Ilkka Mell (006) 33/33

34 Mat-.60 Sovellettu todeäkölaketa B. harjotuket (a) Suore 9 = ja 4 = 9+ lekkaupte o (, ) = (,) jote muuttuje ja havattuje arvoje artmeettet kekarvot ovat = = (b) Suore 9 59 = ja 9 = Kulmakertome tulo o = = = r Ste muuttuje ja havattuje arvoje korrelaato o r = 0.9 koka korrelaatokertomella ja molempe regreouore kulmakertomlla o aa ama merkk. (c) Molempe regreomalle eltate o R = r = 0.8 Ilkka Mell (006) 34/34