Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

Transkriptio

1 TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde rppumattoma otose t-test ylestetää tlateesee, ryhmä o useampa u as? Yssuutasessa varassaalyysssa perusjouo o jaettu ryhm yhde tejä suhtee ja tavotteea o testata ryhmstä pomttuh tosstaa rppumattom ysertas satuasotos perustue hypoteesa, joa muaa tarasteltava muuttuja ryhmäohtaset odotusarvot ovat yhtä suura. Kassuutasessa varassaalyysssa perusjouo o jaettu ryhm ahde tejä suhtee ja tavotteea o testata ryhmstä pomttuh tosstaa rppumattom ysertas satuasotos perustue hypoteesa, joa muaa tarasteltava muuttuja ryhmäohtaset odotusarvot ovat yhtä suura. Varassaalyys >> Varassaalyys: Johdato TKK (c Ila Mell (004 3 TKK (c Ila Mell (004 4 Varassaalyys: Johdato Varassaalyys: Johdato Kahde otose t-test Avasaat Kahde rppumattoma otose t-test m-suutae varassaalyys Odotusarvo Ryhmä Test Varass Suhdeasteollslle muuttujlle tarotettuja testejä ästelleessä appaleessa tarastelt ahde rppumattoma otose t-testä. Test testausasetelma o seuraava: ( Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä. ( Havaot oudattavat ummassa ryhmässä ormaaljaaumaa. ( Kummasta ryhmästä o pomttu tosstaa rppumattomat ysertaset satuasotoset. (v Tehtävää o testata ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruutta. TKK (c Ila Mell (004 5 TKK (c Ila Mell (004 6

2 TKK (c Ila Mell (004 7 Varassaalyys: Johdato Varassaalyys perusogelma Varassaalyys: Johdato Ryhm jao varassaalyysssa Varassaalyys vodaa ymmärtää ahde rppumattoma otose t-test ylestyses tlates, perusjouo oostuu useammasta u ahdesta ryhmästä: ( Perusjouo oostuu ahdesta ta useammasta ryhmästä. ( Havaot oudattavat joasessa ryhmässä ormaaljaaumaa. ( Joasesta ryhmästä pomtaa tosstaa rppumattomat ysertaset satuasotoset. (v Tehtävää o testata ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruutta. Perusjouo jao ryhm vodaa tehdä yhde ta useamma tejä perusteella. Jos perusjouo jao ryhm perustuu yhtee tejää, puhutaa yssuutasesta varassaalyyssta. Jos perusjouo jao ryhm perustuu m tejää, puhutaa m-suutasesta varassaalyyssta. Huomautus: Tässä estysessä ästellää aoastaa - ja -suutasta varassaalyysa. TKK (c Ila Mell (004 8 Varassaalyys: Johdato Varassaalyys m Varassaalyys Varassaalyys m o harhaajohtava. Varassaalyysssa testataa ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruutta tlateessa, perusjouo o jaettu ahtee ta useampaa ryhmää. Varassaalyys m johtuu stä, että ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruude testaame perustuu varasse yhtäsuuruude testaamsee F- testellä. Varassaalyys: Johdato >> TKK (c Ila Mell (004 9 TKK (c Ila Mell (004 0 Yssuutase varassaalyys perusasetelma /4 Avasaat Bartlett test Boferro meetelmä F-test Jääöselösumma χ -test Kooasesarvo Kooaselösumma Kooasvahtelu Luottamusväl Nelösumma Odotusarvo Odotusarvoje parvertalu Odotusarvoje smultaae vertalu Ryhme ssäe vahtelu Ryhme väle vahtelu Ryhmä Ryhmäesarvo Ryhmäelösumma Taso Test Vapausaste Varass Varassaalyyshajotelma Varassaalyystauluo Ylee leaare mall Oletetaa, että tutmuse ohteea oleva perusjouo vodaa jaaa ahtee ta useampaa ryhmää jo tejä (ta muuttuja suhtee. Oletetaa, että o. tejällä o tasoa, jollo jaossa sytyy ryhmä appaletta. Oletetaa, että joasesta ryhmästä =,,, o pomttu tosstaa rppumattomat ysertaset satuasotoset, jode oot ovat,,,. Oloo y j = j. havato ryhmässä, j =,,,, =,,, TKK (c Ila Mell (004 TKK (c Ila Mell (004

3 TKK (c Ila Mell (004 3 Yssuutase varassaalyys perusasetelma /4 Oletetaa, että E(y j = µ, j =,,,, =,,, Oletuse muaa alla ryhmä havaolla o sama odotusarvo. Yssuutase varassaalyys perusasetelma 3/4 Oletetaa, että D (y j = σ, j =,,,, =,,, Oletuse muaa alla havaolla o ryhmästä rppumatta sama varass. Huomautus: Oletusta varasse yhtäsuuruudesta vodaa testata Bartlett testllä. TKK (c Ila Mell (004 4 Yssuutase varassaalyys perusasetelma 4/4 Haluamme testata oletusta stä, että ryhmäohtaset odotusarvot E(y j = µ, j =,,,, =,,, ovat yhtä suura. Jos oletus ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruudesta pätee, ryhmät vodaa yhdstää assa havatoje esmääräsä arvoja osevssa tarastelussa. Yssuutase varassaalyys ollahypotees Muodostetaa ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ Nollahypotees H 0 muaa muuttuja y ryhmäohtaset odotusarvot ovat yhtä suura. Jos ollahypotees H 0 hylätää, tedetää, että muuttuja y ryhmäohtaset odotusarvot eroavat tosstaa aa ahdessa ryhmässä. Jos ollahypotees H 0 o hylätty, ryhmäohtasa odotusarvoja vodaa verrata paretta ta smultaasest tossa. TKK (c Ila Mell (004 5 TKK (c Ila Mell (004 6 : Määrtelmä tarottaa em. testausasetelma ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ testaamsta. Havaot Havaot y j, j =,,,, =,,, vodaa ryhmtellä seuraavalla tavalla: Ryhmä : y, y,, y Ryhmä : y, y,, y Ryhmä : y, y,, y TKK (c Ila Mell (004 7 TKK (c Ila Mell (004 8

4 TKK (c Ila Mell (004 9 Ryhmäesarvot Määrtellää havatoje y j ryhmäesarvot el ryhmäohtaset artmeettset esarvot : Ryhmä : y = yj j= Ryhmä : y = yj j= Ryhmä : y = yj j= Ryhmäesarvot ja varassaalyys ollahypotees Jos ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ pätee, o odotettavssa, että ryhmäesarvot y = y, =,,, j j = evät poea ov paljo tosstaa. TKK (c Ila Mell (004 0 Kooasesarvo Poeamat esarvosta Jos ryhmäohtaset otoset yhdstetää yhdes otoses, yhdstety otose yles- el ooasesarvo o y yj = j = = = o havatoje ooasluumäärä. Krjotetaa detteett yj y = ( y y + ( yj y yj y = havatoarvo yj poeama ooasesarvosta y y y = ryhmäesarvo y poeama ooasesarvosta y yj y = havatoarvo yj poeama ryhmäesarvosta y TKK (c Ila Mell (004 TKK (c Ila Mell (004 Poeamat ja -suutase varassaalyys test Kooaselösumma -suutasessa varassaalyysssa test ollahypoteeslle H 0 : µ = µ = = µ perustuu poeame ( y y,( yj y elösummlle. Jos ollahypotees H 0 pätee, o odotettavssa, että ryhmäesarvot y evät poea ov paljo ooasesarvosta y, jollo poeamat y y evät ole tsesarvoltaa ov suura. Määrtellää havatoje ooasavahtelua uvaava ooaselösumma: SST = ( y y = j= j Jos ryhmäohtaset otoset yhdstetää yhdes otoses, saadu yhdstety otose varass o sy = SST = ( yj y = j= TKK (c Ila Mell (004 3 TKK (c Ila Mell (004 4

5 TKK (c Ila Mell (004 5 Ryhmäelösumma ja jääöselösumma Jääöselösumma tulta Määrtellää ryhme välstä (systemaattsta vahtelua uvaava ryhmäelösumma: SSG = ( y y = j= = = ( y y Määrtellää ryhme ssästä vahtelua uvaava jääöselösumma: = ( y y = j= j Havatoje y j ryhmävarasst el ryhmäohtaset varasst saadaa lauseesta s = ( yj y, =,,, j= Ste jääöselösumma lausee vodaa esttää myös muodossa = ( s = TKK (c Ila Mell (004 6 Varassaalyyshajotelma Varassaalyyshajotelma tulta Korottamalla detteett yj y = ( y y + ( yj y potess as ja lasemalla yhtee saadaa varassaalyyshajotelma ( y y = ( y y + ( y y j j = j= = j= = j= joa vodaa edellä estettyje mertöje avulla rjottaa lyhyest muotoo SST = SSG + Varassaalyyshajotelmassa SST = SSG + ooaselösumma SST = ( y y = j= o hajotettu ahde osatejä summas, osatejä SSG = ( y y = uvaa ryhme välstä vahtelua ja osatejä = ( y y = j= uvaa ryhme ssästä vahtelua. j j TKK (c Ila Mell (004 7 TKK (c Ila Mell (004 8 Test odotusarvoje yhtäsuuruudelle Testsuure Jos ryhme välstä vahtelua uvaava ryhmäelösumma SSG = ( y y = o suur verrattua ryhme ssästä vahtelua uvaavaa jääöselösummaa = ( y y = j= ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ o syytä asettaa yseealases. j Määrtellää F-testsuure SSG F = = = = j= ( y y ( y y j TKK (c Ila Mell (004 9 TKK (c Ila Mell (004 30

6 TKK (c Ila Mell (004 3 Testsuuree jaauma Testsuuree tulta / Jos havaot ovat ormaaljaautueta ja ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ pätee, testsuure F o jaautuut Fsher F-jaauma muaa vapausaste ( ja ( : F F (, H 0 Testsuuree F ormaalarvo o (suurlle E( F = H 0 Suuret testsuuree F arvot johtavat ollahypotees H 0 hyläämsee. Testsuure SSG F = vodaa tulta varasse vertalutestsuurees, ryhme välstä varassa SSG = ( y y = verrataa ryhme ssäsee varass = ( y j y = = j TKK (c Ila Mell (004 3 Testsuuree tulta / Varassaalyystauluo / Kooasvarass sy = SST = ( y j y = j= o aa havatoje y j varass σ harhato estmaattor, mutta ryhme välstä vahtelua uvaava estmaattor SSG = ( y y = o harhato havatoje y j varasslle σ va, jos ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ pätee. Vahtelu Nelö- Vapaus- Varass- F-testsuure lähde summa asteet estmaattor Ryhme väle SSG vahtelu Ryhme ssäe vahtelu Kooasvahtelu SST SSG SST SSG F = TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Varassaalyystauluo / Varassaalyys ja ylee leaare mall /3 Varassaalyystauluo elösummat toteuttavat yhtälö SST = SSG + Yhtälö o varassaalyyshajotelma. Varassaalyystauluo elösumme vapausasteet toteuttavat yhtälö = ( + ( Yssuutase varassaalyys mall o ylese leaarse mall erostapaus. Yssuutase varassaalyys mall o muotoa yj = µ + ε j, j =,,,, =,,, y j = y-muuttuja j. havatoarvo ryhmässä µ = y-muuttuja odotusarvo ryhmässä ε j = jääösterm Oletetaa lsäs, että a jääöstermt ε j ovat orrelomattoma ja ε j N(0, σ alle j ja TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (004 36

7 TKK (c Ila Mell ( Varassaalyys ja ylee leaare mall /3 Varassaalyys ja ylee leaare mall 3/3 Yssuutase varassaalyys mall yj = µ + ε j, j =,,,, =,,, o evvalett regressomall yj = µ I j+ µ I j + + µ I j + ε j j =,,,, =,,, assa. Mall selttäjät I ovat daattormuuttuja, jota lmasevat uuluuo havato y j ryhmää va e:, jos havato yj uuluu ryhmää I j = 0, jos havato yj e uulu ryhmää Regressomall yj = µ I j+ µ I j + + µ I j + ε j j =,,,, =,,, regressoertome µ, =,,, PNS-estmaattores ˆ µ,,,, saadaa ryhmäohtaset artmeettset = esarvot ˆ µ = yj = y j= Lsäs F-test ollahypoteeslle H 0 : µ = µ = = µ o evvalett edellä estety F-test assa. TKK (c Ila Mell ( Odotusarvoje vertalu Jos ollahypotees H 0 : µ = µ = = µ hylätää tedetää, että aa as odotusarvosta µ, =,,, eroaa tlastollsest mertseväst tosstaa. Jos ollahypotees H 0 hylätää, varassaalyysa vodaa jataa ryhmttelyllä, selvtetää mssä ryhmssä odotusarvoje erot ovat tlastollsest mertsevä. Odotusarvoje vertalu: Parvertalut / Odotusarvoje µ ja µ l erotuse luottamusväl luottamustasolla ( α o muotoa ( y yl ± tα sp + sp = ( s = o s. yhdstetty varass, s = ( yj y j= l TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Odotusarvoje vertalu: Parvertalut / Odotusarvoje µ ja µ l vertalu tapahtuu, että tuttaa oo olla luottamusväl ssäpuolella va e. Tämä meettely vastaa stä, että testataa ollahypoteesa H 0 : µ µ l = 0 assuutasta vahtoehtosta hypoteesa vastaa, u mertsevyystasoa o α. Nä ostruodut luottamusvält evät uteaa ole smultaasa, vaa osevat va ryhme ja l odotusarvoja. Huomautus: Tehtäve parvertaluje luumäärä o ( /. Odotusarvoje vertalu: Smultaaset luottamusvält Smultaaste luottamusväle ostruomsee o useta erlasa meetelmä. Smultaaset luottamusvält ovat aa approsmatvsa. Boferro meetelmässä äytetää parvertalu luottamusvälejä, mutta rstaso α luottamustasossa ( α orvataa peemmällä rstasolla α/c c o tehtäve parvertaluje luumäärä: ( c = TKK (c Ila Mell (004 4 TKK (c Ila Mell (004 4

8 TKK (c Ila Mell ( Bartlett test varasse yhtäsuuruudelle: Nollahypotees Yssuutasessa varassaalyysssa oletetaa, että havatoje y j ryhmäohtaset varasst ovat yhtä suura. Oloot havaot y j ormaalsa: yj N( µ, σ, j =,,,, =,,, Oletetaa lsäs, että a havaot y j ovat orrelomattoma. Oloo ollahypotees H : σ = σ = = σ 0 Bartlett test varasse yhtäsuuruudelle: Testsuure / Määrätää havatoje y j ryhmäohtaset varasst s, =,,, : s = ( yj y j= yj j = y = o havatoje y j ryhmäohtae esarvo. Oloo otosvarassesta lasettu yhdstetty varass sp = ( s = TKK (c Ila Mell ( Bartlett test varasse yhtäsuuruudelle: Testsuure / Määrtellää Bartlett testsuure Q B = h (logartmt luoollsa Q= ( log( s ( log( s ja P = h = + 3( = TKK (c Ila Mell ( Bartlett test varasse yhtäsuuruudelle: Testsuuree jaauma Jos ollahypotees H 0 : σ = σ = = σ pätee, Bartlett testsuure B o jaautuut suurssa otosssa approsmatvsest (el asymptoottsest χ - jaauma muaa vapausaste ( : B χ ( a H0 Testsuuree B ormaalarvo o E( B = H 0 Suuret testsuuree B arvot johtavat ollahypotees H 0 hyläämsee. TKK (c Ila Mell ( Varassaalyys Varassaalyys: Johdato >> Avasaat F-test Iterato Jääöselösumma Kassuutae varassaalyys χ -test Kooasesarvo Kooaselösumma Kooasvahtelu Margaalesarvo Nelösumma Odotusarvo Päävautus Reuaesarvo Ryhme ssäe vahtelu Ryhme väle vahtelu Ryhmä Ryhmäesarvo Ryhmäelösumma Taso Test Vapausaste Varass Varassaalyyshajotelma Varassaalyystauluo Yhdysvautus TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (004 48

9 TKK (c Ila Mell ( Kassuutase varassaalyys perusasetelma /4 Oletetaa, että tutmuse ohteea oleva perusjouo vodaa jaaa ryhm ahde tejä (ta muuttuja A ja B suhtee. Oletetaa, että tejällä A o I tasoa ja tejällä B o J tasoa, jollo jaossa sytyy ryhmä I J appaletta. Oletetaa, että joasesta ryhmästä o pomttu tosstaa rppumattomat ysertaset satuasotoset, jode oo o K. Oloo y j =. havato tejä A taso ja tejä B taso j määräämässä ryhmässä, =,,, K ; =,,, I ; j =,,, J Kassuutase varassaalyys perusasetelma /4 Oletetaa, että E(y j = µ j, =,,, K ; =,,, I ; j =,,, J Oletuse muaa alla tejä A taso ja tejä B taso j määräämä ryhmä havaolla o sama odotusarvo. Oletetaa, että D (y j = σ, =,,, K =,,, I ; j =,,, J Oletuse muaa alla havaolla o ryhmästä rppumatta sama varass. TKK (c Ila Mell ( Kassuutase varassaalyys perusasetelma 3/4 Kassuutasessa varassaalyysssa halutaa testata oletusta ryhmäohtaste odotusarvoje E(y j = µ j, =,,, K ; =,,, I ; j =,,, J yhtäsuuruudesta. Jos oletus ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruudesta pätee, ryhmät vodaa yhdstää assa havatoje esmääräsä arvoja osevssa tarastelussa. Kassuutase varassaalyys perusasetelma 4/4 Kassuutasessa varassaalyysssa ryhmäohtaste odotusarvoje yhtäsuuruutta oseva testausogelma o momutasemp u yssuutasessa varassaalyysssa. Tämä johtuu stä, että ryhmtysä tejöde A ja B suhtee e voda tarastella erllsä, jos tejöde välllä o s. teratota el yhdysvautusta. TKK (c Ila Mell (004 5 TKK (c Ila Mell (004 5 Kassuutase varassaalyys ollahypoteest / Kassuutasessa varassaalyysssa testattava ollahypoteeseja o 3 appaletta. Kassuutasessa varassaalyysssa o syytä es testata tejöde A ja B yhdysvautusta osevaa ollahypoteesa H AB : E yhdysvautusta Jos ollahypotees H AB jää vomaa, ryhmtysä tejöde A ja B suhtee vodaa tarastella erllsä. Kassuutase varassaalyys ollahypoteest / Jos tejöde A ja B yhdysvautusta osevaa ollahypotees H AB o jääyt vomaa, vodaa testata tejä A vautusta osevaa ollahypoteesa H A : E A-vautusta Jos tejöde A ja B yhdysvautusta osevaa ollahypotees H AB o jääyt vomaa, vodaa testata tejä B vautusta osevaa ollahypoteesa: H B : E B-vautusta Huomautus: Nollahypoteest H A ja H B ovat yssuutase varassaalyys ollahypoteeseja. TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (004 54

10 TKK (c Ila Mell ( : Määrtelmä tarottaa em. testausasetelma ollahypoteese H AB : E yhdysvautusta H A : E A-vautusta H B : E B-vautusta testaamsta. Ryhmäesarvot Määrtellää ryhmäesarvot el ryhmäohtaset artmeettset esarvot havatoje y j tejä A taso ja tejä B taso j määräämässä ryhmässä: K y = y, =,,, I, j =,,, J j j K = Jos a ollahypoteest H AB, H A ja H B pätevät, o odotettavssa, että ryhmäesarvot evät poea ov paljo tosstaa. TKK (c Ila Mell ( Kooasesarvo Reuaesarvot Jos ryhmäohtaset otoset yhdstetää yhdes otoses, yhdstety otose yles- el ooasesarvo o y K I J yj N = = j = = N = KIJ o havatoje ooasluumäärä. Määrtellää margaal- el reuaesarvot K J y = yj, =,,, I KJ = j= K I y j = yj, j =,,, J KI = = Reuaesarvo y o havatoje y j esarvo tejä A määrämässä ryhmässä, u B-ryhmtystä e oteta huomoo. Reuaesarvo y j o havatoje y j esarvo tejä B määrämässä ryhmässä j, u A-ryhmtystä e oteta huomoo. TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Ryhmäesarvot, ooasesarvo ja reuaesarvot Kooasesarvo o ryhmäesarvoje esarvo: y I J yj IJ = j = = Myös reuaesarvot vodaa määrtellä ryhmäesarvoje avulla: J y = yj, =,,, I J j= I y j = yj, j =,,, J I = Poeamat esarvosta Krjotetaa detteett yj y = ( y y + ( y j y + ( yj y y j + y + ( yj yj -suutase varassaalyys testt ollahypoteeselle H AB, H A ja H B perustuvat poeame ( y y,( y j y, ( yj y y j + y, ( yj yj elösummlle. TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (004 60

11 TKK (c Ila Mell (004 6 Poeamat ja varassaalyys testt /3 Poeamat ja varassaalyys testt /3 -suutasessa varassaalyysssa test ollahypoteeslle H AB : E yhdysvautusta perustuu poeame ( yj y y j + y,( yj yj elösummlle. Jos ollahypotees H AB pätee, o odotettavssa, että erotuset ( yj y y j + y evät ole tsesarvoltaa ov suura. -suutasessa varassaalyysssa test ollahypoteeslle H A : E A-vautusta perustuu poeame ( y y,( yj yj elösummlle. Jos ollahypotees H A pätee, o odotettavssa, että erotuset ( y y evät ole tsesarvoltaa ov suura. TKK (c Ila Mell (004 6 Poeamat ja varassaalyys testt 3/3 Kooaselösumma -suutasessa varassaalyysssa test ollahypoteeslle H A : E B-vautusta perustuu poeame ( y j y,( yj yj elösummlle. Jos ollahypotees H B pätee, o odotettavssa, että erotuset ( y j y evät ole tsesarvoltaa ov suura. Määrtellää havatoje ooasavahtelua uvaava ooaselösumma: K I J SST = ( y y = = j= Jos ryhmäohtaset otoset yhdstetää yhdes otoses, saadu yhdstety otose varass o s y = SST N N = KIJ o havatoje ooasluumäärä. j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Päävautuste elösumma Määrtellää tejä A päävautusta uvaava elösumma: I SSA = KJ ( y y = Määrtellää tejä B päävautusta uvaava elösumma: J SSB = KI ( y y j j= Yhdysvautuse elösumma ja jääöselösumma Määrtellää tejöde A ja B yhdysvautusta uvaava elösumma: I J SSAB = K ( y y y + y j j = j= Määrtellää ryhme ssästä vahtelua uvaava jääöselösumma: K I J = ( y y = = j= j j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (004 66

12 TKK (c Ila Mell ( Jääöselösumma tulta Varassaalyyshajotelma / Havatoje y j ryhmävarasst el ryhmäohtaset varasst saadaa lauseesta K s = j ( yj y j K = =,,, I ; j =,,, J Ste jääöselösumma lausee vodaa esttää myös muodossa I J = ( K sj = j= Korottamalla detteett yj y = ( y y + ( y j y + ( yj y y j + y + ( yj yj potess as ja lasemalla yhtee saadaa varassaalyyshajotelma ( y y = ( y y + ( y y + ( yj y y j + y + ( y y j j j j TKK (c Ila Mell ( Varassaalyyshajotelma / Varassaalyyshajotelma tulta Edellä estettyje elösumme määrtelme perusteella varassaalyyshajotelma ( y y = ( y y + ( y y + ( yj y y j + y + ( y y j j vodaa esttää muodossa SST = SSA + SSB + SSAB + j TKK (c Ila Mell ( j Varassaalyyshajotelmassa SST = SSA + SSB + SSAB + ooaselösumma SST = ( yj y o hajotettu eljä osatejä summas, osatejä SSAB = K ( yj y y j + y uvaa tejöde A ja B yhdysvautusta, osatejät SSA = KJ ( y y SSB = KI ( y j y uvaavat tejöde A ja B päävautusa ja osatejä = ( yj y j uvaa ryhme ssästä vahtelua. TKK (c Ila Mell ( Test yhdysvautuselle Testsuure yhdysvautuselle ja se jaauma / Jos tejöde A ja B yhdysvautusta uvaava elösumma SSAB = K ( y y y + y j j o suur verrattua ryhme ssästä vahtelua uvaavaa jääöselösummaa = ( y y j j ollahypotees H AB : E yhdysvautusta o asetettava yseealases. Määrtellää F-testsuure F AB N IJ SSAB = ( I ( J SSAB = K ( y y y + y o tejöde A ja B yhdysvautusta uvaava elösumma ja = ( y y j o jääöselösumma. j j j TKK (c Ila Mell (004 7 TKK (c Ila Mell (004 7

13 TKK (c Ila Mell ( Testsuure yhdysvautuselle ja se jaauma / Test A-vautuselle Jos havaot ovat ormaaljaautueta ja ollahypotees H AB : E yhdysvautusta pätee, testsuure F AB o jaautuut Fsher F-jaauma muaa vapausaste (I (J ja (N IJ: FAB F(( I ( J,( N IJ H AB Testsuuree F AB ormaalarvo o (suurlle N N IJ E( FAB = H AB N IJ Suuret testsuuree F AB arvot johtavat ollahypotees H AB hyläämsee. Jos tejä A päävautusta uvaava elösumma SSA = KJ ( y y o suur verrattua ryhme ssästä vahtelua uvaavaa jääöselösummaa = ( y y ollahypotees H A : E A-vautusta o asetettava yseealases. j j TKK (c Ila Mell ( Testsuure A-vautuselle ja se jaauma / Testsuure A-vautuselle ja se jaauma / Määrtellää F-testsuure N IJ SSA FA = I SSA = KJ ( y y o tejä A päävautusta uvaava elösumma ja o ryhme ssästä vahtelua uvaava jääöselösumma. = ( y y j j Jos havaot ovat ormaaljaautueta ja ollahypotees H A : E A-vautusta pätee, testsuure F A o jaautuut Fsher F-jaauma muaa vapausaste (I ja (N IJ: FA F(( I,( N IJ H A Testsuuree F A ormaalarvo o (suurlle N N IJ E( FA = H A N IJ Suuret testsuuree F A arvot johtavat ollahypotees H A hyläämsee. TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell ( Test B-vautuselle Testsuure B-vautuselle ja se jaauma / Jos tejä B päävautusta uvaava elösumma SSB = KI ( y y j o suur verrattua ryhme ssästä vahtelua uvaavaa jääöselösummaa ollahypotees H B : E B-vautusta o asetettava yseealases. = ( y y j j Määrtellää testsuure N IJ SSB FB = J SSB = KI ( y y j o tejä B päävautusta uvaava elösumma ja o jääöselösumma. = ( y y j j TKK (c Ila Mell ( TKK (c Ila Mell (004 78

14 TKK (c Ila Mell ( Testsuure B-vautuselle ja se jaauma / Testsuurede tulat / Jos havaot ovat ormaaljaautueta ja ollahypotees H B : E B-vautusta pätee, testsuure F B o jaautuut Fsher F-jaauma muaa vapausaste (J ja (N IJ: FB F(( J,( N IJ HB Testsuuree F B ormaalarvo o (suurlle N N IJ E( FB = HB N IJ Suuret testsuuree F B arvot johtavat ollahypotees H B hyläämsee. Testsuureet F AB, F A, F B vodaa tulta varasse vertalutestsuures, varasseja SSAB, SSA, SSB ( I ( J ( I ( J verrataa ryhme ssäsee varass N IJ TKK (c Ila Mell ( Testsuurede tulat / Varassaalyystauluo / Kooasvarass K I J sy = SST = ( yj y N N = = j= o aa havatoje y j varass σ harhato estmaattor, mutta estmaattort SSAB, SSA, SSB ( I ( J ( I ( J ovat harhattoma havatoje y j varasslle σ va, jos ollahypoteest H AB, H A, H B pätevät. Vahtelu Nelö- Vapaus- Varass- F-testsuure lähde summa asteet estmaattor A SSA I B SSB J AB SSAB (I (J Jääös N IJ Kooas- SST N vahtelu SSA N IJ SSA FA = I I SSB N IJ SSB FB = J J SSAB N IJ FAB = ( I ( J ( I ( J SSAB N IJ SST N TKK (c Ila Mell (004 8 TKK (c Ila Mell (004 8 Varassaalyystauluo / Varassaalyystauluo elösummat toteuttavat yhtälö SST = SSA + SSB + SSAB + Yhtälö o varassaalyyshajotelma. Varassaalyystauluo elösumme vapausasteet toteuttavat yhtälö N = KIJ =(I + (J + (I (J + IJ(K TKK (c Ila Mell (004 83