Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:"

Transkriptio

1 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Ehdollinen varianssi, Jatkuva jakauma, Kaksiulotteinen normaalijakauma, Karteesinen tulo, Kertmäfunktio, Korrelaatio, Korreloimattomuus, Korreloituneisuus, Kovarianssi, Kulmakerroin, Multinomijakauma, Odotusarvo, Pistetodennäköissfunktio, Regressiofunktio, Regressiosuora, Reunajakauma, Riippumattomuus, Riippuvuus, Satunnaismuuttuja, Suora, Tihesfunktio, Varianssi, hteisjakauma, hteiskorrelaatiokerroin Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot ja satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin : S : R Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: {(,), } R S = r s r R s S Satunnaismuuttujien ja järjestett pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: (, ): S R Diskreetti kaksiulotteinen jakauma Olkoot ja diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestett pari (, ) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (, ) määrittelee diskreetin kaksiulotteisen todennäköissjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja hteisjakaumaksi. Reaaliarvoinen funktio f : R R määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f (, ) kaikille ja () f (, ) = (3) Pr( = ja = ) = f (, ) Ilkka Mellin (8) /39

2 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Jatkuva kaksiulotteinen jakauma Olkoot ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin järjestett pari (, ) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan. Jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja (, ) määrittelee jatkuvan kaksiulotteisen todennäköissjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja hteisjakaumaksi. Reaaliarvoinen funktio f : R R määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f (, ) kaikille ja + + () f (, ) dd = bd (3) Pr( a b ja c d) = f (, ) dd Kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio ac Olkoon (, ) satunnaismuuttujien ja muodostama järjestett pari. Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman kertmäfunktio F määritellään kaavalla F (, ) = Pr( ja ) Diskreetin kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio Olkoon f (, ) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköissfunktio. Jakauman kertmäfunktio saadaan kaavalla F (, ) Pr( ja ) f (, ) = = i i i i Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio Olkoon f (, ) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tihesfunktio. Jakauman kertmäfunktio saadaan kaavalla F (, ) = Pr( ja ) = f ( u, v) dvdu Olkoon F (, ) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman kertmäfunktio. Jos derivaatta F (, ) = f (, ) on olemassa ja on jatkuva, funktio f (, ) on satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio. Ilkka Mellin (8) /39

3 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (, ) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköissfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio on f ( ) = Pr( = ) = f(, ) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio on f( ) = Pr( = ) = f(, ) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat htvät satunnaismuuttujien ja todennäköissjakaumiin. Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (, ) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tihesfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio on + f ( ) = f(, ) d Satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio on + f( ) = f(, ) d Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat htvät satunnaismuuttujien ja todennäköissjakaumiin. Satunnaismuuttujien riippumattomuus Olkoon f (, ) satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio, f () satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio ja f () satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio. Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f (,) = f ()f () Diskreetin kaksiulotteisen jakauman leinen odotusarvo Olkoon f (, ) diskreettien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktio ja olkoon g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio E( g(, )) g(, ) f (, ) = Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman leinen odotusarvo Olkoon f (, ) jatkuvien satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio ja olkoon g : Ilkka Mellin (8) 3/39

4 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio + + E( g(, )) g(, ) f (, ) dd = Diskreetin kaksiulotteisen jakauman odotusarvot Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktio f (, ), satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f (). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) = f (, ) = f (, ) = f ( ) Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) = f (, ) = f (, ) = f ( ) Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman odotusarvot Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio f (, ), satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f (). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) = f (, ) dd = f (, ) dd = f ( ) d Satunnaismuuttujan odotusarvo E() = µ ht satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: Odotusarvon ominaisuudet E( ) = f ( dd, ) = f ( dd, ) = f ( d ) Satunnaismuuttujien ja odotusarvojen muodostama järjestett pari (µ,µ ) määrää satunnaismuuttujien ja hteisjakauman todennäköissmassan painopisteen. Satunnaismuuttujien ja summan + odotusarvo: E( + ) = E( ) + E( ) Satunnaismuuttujien ja erotuksen odotusarvo: E( ) = E( ) E( ) Ilkka Mellin (8) 4/39

5 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo: E( ) = E( ) E( ) = µ µ Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E( ) = E( ) E( ) = µ µ ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Kaksiulotteisen jakauman varianssit ja standardipoikkeamat Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) = µ E( ) = µ Satunnaismuuttujien ja varianssit htvät vastaavien reunajakaumien variansseihin: Var( ) = D ( ) = = E[( µ ) ] Var( ) = D ( ) = = E[( µ ) ] Satunnaismuuttujien ja varianssien kaavat voidaan kirjoittaa seuraaviin htäpitäviin muotoihin: D( ) = E[( µ )] = E( ) µ = E( ) [E( )] D( ) = E[( µ )] = E( ) µ = E( ) [E( )] Satunnaismuuttujien ja standardipoikkeamat htvät vastaavien reunajakaumien standardipoikkeamiin: D( ) = = E[( µ ) ] ( ) D = = E[( µ ) ] Diskreetin kaksiulotteisen jakauman varianssit Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköissfunktio f (). Tällöin satunnaismuuttujien ja varianssit ovat vakioita D( ) = ( µ ) f () D( ) = ( µ ) f( ) Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman varianssit Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f () ja satunnaismuuttujan reunajakauman tihesfunktio f (). + D( ) = ( µ ) () + D( ) = ( µ ) ( ) f d f d Ilkka Mellin (8) 5/39

6 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Kovarianssi Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) = µ E( ) = µ Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) = = E[( µ )( µ )] Eritisesti Cov(, ) = Var( ) = Cov(, ) = Var( ) = Satunnaismuuttujien ja kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin htäpitäviin muotoihin: Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = E( ) µ µ = E( ) E( ) E( ) Jos satunnaismuuttujat ja ovat diskreettejä, satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) = ( µ )( µ ) f (, ) Jos satunnaismuuttujat ja ovat jatkuvia, satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio + + Cov(, ) = ( µ )( µ ) f (, ) dd Kovarianssin ominaisuudet Jos Cov(, ) = = niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin ne ovat korreloimattomia, mutta käänteinen ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit Var( ) = Var( ) = ja kovarianssi Cov(, ) = Tällöin Jos Var( ± ) = Var( ) + Var( ) ± Cov(, ) = + ± Ilkka Mellin (8) 6/39

7 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Cov(, ) = = niin Var( ± ) = Var( ) + Var( ) = + Korrelaatiokerroin Olkoon satunnaismuuttujilla ja on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) = µ Var( ) = D ( ) = E( ) = µ Var( ) = D ( ) = Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on vakio Cov(, ) Cor(, ) = ρ = Var( ) Var( ) Cov(, ) = D( ) D( ) = Korrelaatiokertoimen ominaisuudet Huomaa, että Cor(, ) = ρ = täsmälleen silloin, kun Cov(, ) = = Jos siis Cor(, ) = ρ = niin satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin ne ovat korreloimattomia, mutta käänteinen ei päde: Siitä, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Tällöin (i) Cor(, ) + (ii) Jos ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) = (iii) Cor(, ) =±, jos ja vain, jos = α + β, jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β Ilkka Mellin (8) 7/39

8 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Lineaarimuunnokset ja -ulotteisen jakauman tunnusluvut Olkoot satunnaismuuttujilla ja seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) = µ Var( ) = E( ) = µ Var( ) = Cov(, ) = E[( µ )( µ )] = Olkoot W = a+ b Z = c+ d jossa a, b, c, d R ovat reaalisia vakioita. Tällöin E( W) = a+ be( ) = a+ bµ E( Z) = c+ de( ) = c+ dµ Var( W) = b Var( ) = b Var( Z) = d Var( ) = d Cov( W, Z) = bd Cov(, ) = bd Cor( W, Z) = sgn( bd)cor(, ) = sgn( bd) ρ Ehdolliset jakaumat Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköiss- tai tihesfunktio f (, ) ja satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköiss- tai tihesfunktiot f () ja f (). Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = ) on f (, ) f ( ) =, jos f ( ) f ( ) > Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla = ) on f (, ) f ( ) =, jos f ( ) f ( ) > Ehdolliset jakaumat ja riippumattomuus Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ht satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( ) = f ( ), jos f ( ) > Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ht satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( ) = f ( ), jos f ( ) > Diskreetin kaksiulotteisen jakauman ehdolliset odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujat ja diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: Ilkka Mellin (8) 8/39

9 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B E( ) f ( ) = = Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( ) f ( ) = = Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman ehdolliset odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujat ja jatkuvia. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( = ) = f ( d ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnais muuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( = ) = f ( d ) Ehdolliset odotusarvot ja riippumattomuus Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, ehdolliset odotusarvot htvät niiden reunajakaumien odotusarvoihin. Jos siis ja ovat riippumattomia, niin E( ) = E( ) E( ) = E( ) Iteroidun odotusarvon laki Ehdolliset odotusarvot voidaan tulkita satunnaismuuttujiksi ehtomuuttujan suhteen. Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvo (satunnaismuuttujan suhteen) on E E( ) = E( ) Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvo (satunnaismuuttujan suhteen) on Regressiofunktiot E E( ) = E( ) Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( = ) ehtomuuttujan arvojen funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen määrittelee regressiokärän Ilkka Mellin (8) 9/39

10 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B = g ( ) = E( = ) Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( = ) ehtomuuttujan arvojen funktiona. Tätä funktiota kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen määrittelee regressiokärän = g ( ) = E( = ) Moniulotteisia jakaumia Multinomijakauma Multinomijakauma on binomijakauman leists useamman toisensa poissulkevan tapahtuman tilanteeseen. Olkoon A, A,, A k otosavaruuden S ositus. Tällöin A i A j =, i j S = A A A k Olkoot tapahtumien A, A,, A k todennäköisdet: Pr(A i ) = p i, i =,,, k p + p + + p k = Määritellään satunnaismuuttujat i, i =,,, k: Tällöin jossa Lisäksi i = Tapahtuman A i esiintmisten lukumäärä n-kertaisessa toistokokeessa ~Bin( n, p ), i =,,, k i p i = Pr(A i ), i =,,, k k = n Multinomijakaumalla tarkoitetaan satunnaismuuttujien i hteisjakaumaa.,,, k Ilkka Mellin (8) /39

11 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Huomautus: Satunnaismuuttuja i eivät ole riippumattomia, koska niitä sitoo toisiinsa ehto k = n jossa toistokokeiden lukumäärä n on kiinteä luku. Satunnaismuuttujat,,, k noudattavat (k )-ulotteista multinomijakaumaa, jos niiden hteisjakauman pistetodennäköissfunktio on muotoa jossa n! Pr( = n ja = n ja ja = n ) = p p p n n n k k k k n! n! nk! p+ p + + pk = n + n + + n = n k Merkintä: (,,, k ) Multinom(p, p,, p k ; n) Jos k =, niin multinomijakauma ht binomijakaumaan: Pr ( = n ja = n n ) = Pr ( = n ) Multinom Bin Multinomijakauman ksiulotteiset reunajakaumat ovat binomijakaumia. Multinomitodennäköisdet saadaan korottamalla multinomi (p + p + + p k ) potenssiin n: n! ( p + p + + p ) = p p p n n n k n! n! nk! jossa summa lasketaan li kaikkien lukujen n, n,, n k, joille pätee ehto n + n + + n k = n n k k -ulotteinen normaalijakauma Satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa -ulotteista normaalijakaumaa, jos sen tihesfunktio on () f (, ) = ep Q (, ) π ρ ( ρ ) jossa ja µ µ µ µ Q (, ) = ρ + < µ <+ > < µ <+ > ρ + Ilkka Mellin (8) /39

12 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B -ulotteisen normaalijakauman tihesfunktion määrittelevän htälön () hakasulkulauseke [ ] määrää tihesfunktion tasa-arvokärät. Kaikki tasa-arvokärät ovat ellipsejä, joiden htälöt voidaan ilmaista muodossa µ µ µ µ ρ Q (, ) = + = c missä c on vakio. -ulotteinen normaalijakauman tihesfunktio () on parametroitu niin, että sen parametreina ovat satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja korrelaatio. Satunnaismuuttujien ja odotusarvot ovat µ = E( ) µ = E( ) Satunnaismuuttujien ja varianssit ovat = Var( ) = E ( µ ) = Var( ) = E ( µ ) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on ρ = Cor(, ) = jossa [ ] = Cov(, ) = E ( µ )( µ ) on satunnaismuuttujien ja kovarianssi. -ulotteista normaalijakaumaa noudattavan satunnaismuuttujien ja parin (, ) odotusarvovektori on µ µ = µ ja kovarianssimatriisi on ρ Σ = = ρ -ulotteisen normaalijakauman reunajakaumat ovat -ulotteisia normaalijakaumia: N( µ, ) N( µ, ) -ulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja korreloimattomuudesta seuraa niiden riippumattomuus. Muista, että aina pätee se, että riippumattomuudesta seuraa korreloimattomuus. Ilkka Mellin (8) /39

13 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B -ulotteisen normaalijakauman ehdolliset jakaumat ovat -ulotteisia normaalijakaumia: ( ) N( µ + β ( µ ), ( ρ)), β = ρ ( ) N( µ + β ( µ ), ( ρ)), β = ρ Ehdollinen odotusarvo E( ) = µ + β ( µ ) on muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen. Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran = µ + β ( µ ) Suoran kulmakerroin on β = ρ ja se kulkee pisteen (µ,µ ) kautta. Ehdollinen odotusarvo E( ) = µ + β ( µ ) on muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen. Ehdollinen odotusarvo E( ) määrää suoran = µ + β ( µ ) Suoran kulmakerroin on β ρ = ja se kulkee pisteen (µ,µ ) kautta. Huomaa, että regressiosuorien kulmakertoimet β ja β toteuttavat htälön β β = ρ -ulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujien ja hteiskorrelaatiokerroin on R ja ehdolliset varianssit ovat ρ = = = = = ( ρ ) = ( ρ ) -ulotteisen normaalijakauman tihesfunktiota muodon määräävien tasa-arvoellipsien R µ µ µ µ Q (, ) = ρ + = c pääakseleiden pituudet (oik. pituuksien suhteet) ja suunnat saadaan määräämällä kovarianssimatriisin Ilkka Mellin (8) 3/39

14 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B ρ Σ = = ρ ominaisarvot ja ominaisvektorit. Matriisin Σ ominaisarvot saadaan määräämällä determinanttihtälön λ Σ λi = = λ + λ+ = λ ( ) nollakohdat muuttujan λ suhteen. htälöllä on (aina) kaksi reaalista ja ei-negatiivista nollakohtaa, jotka ovat siis matriisin Σ ominaisarvot. Matriisin Σ ominaisarvoja λ ja λ vastaavat ominaisvektorit q = (q, q ) q = (q, q ) saadaan htälöistä Σq = λ q, =, i i i i ottamalla huomioon ehdot qq i i = q i + qi =, i =, Tasa-arvoellipsien Q(,) = c pääakseleiden pituudet suhtautuvat toisiinsa kuten ominaisarvojen λ ja λ neliöjuuret ja pääakseleiden suunnat htvät vastaavien ominaisvektoreiden suuntiin. Ilkka Mellin (8) 4/39

15 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Tehtävä 6.. Heitetään kahta virheetöntä noppaa (nopan virheettömdellä tarkoitetaan sitä, että silmälukujen,, 3, 4, 5, 6 todennäköisdet ovat htä suuria). Määritellään satunnaismuuttujat = tulos. nopan heitosta = tulos. nopan heitosta U = min(,) V = ma(,) Määrää: (a) Satunnaismuuttujan U jakauma. (b) Satunnaismuuttujan V jakauma. (c) Satunnaismuuttujien U ja V hteisjakauma. (d) E(U) (e) E(V) (f) Satunnaismuuttujan U ehdollinen jakauma ehdolla V = 4. (g) Satunnaismuuttujan V ehdollinen jakauma ehdolla U = 4. (h) E(U V = 4) (i) E(V U = 4) Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reunajakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.. Ratkaisu: Koska nopat oletettiin virheettömiksi, satunnaismuuttujien ja pistetodennäköissfunktiot f (i) = Pr( = i), i =,, 3, 4, 5, 6 f (i) = Pr( = i), i =,, 3, 4, 5, 6 voidaan esittää seuraavana taulukkona: i f (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 f (i) /6 /6 /6 /6 /6 /6 Ilkka Mellin (8) 5/39

16 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (a) Muodostetaan heittotulosten minimille U = min(, ) jossa =. nopan heiton tulos =. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: U = min(, ). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Satunnaismuuttujan U = min(, ) pistetodennäköissfunktio f U (i) = Pr(U = i), i =,, 3, 4, 5, 6 voidaan lukea tästä aputaulukosta. Pistetodennäköissfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: i f U (i) /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Esimerkiksi silmäluku 5 voi tulla minimiksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos U = min(, ) Ilkka Mellin (8) 6/39

17 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (b) Muodostetaan heittotulosten maksimille V = ma(, ) jossa =. nopan heiton tulos =. nopan heiton tulos seuraava aputaulukko: V = ma(, ). nopan heiton tulos. nopan heiton tulos Satunnaismuuttujan V = ma(, ) pistetodennäköissfunktio f V (i) = Pr(V = i), i =,, 3, 4, 5, 6 voidaan lukea tästä aputaulukosta. Pistetodennäköissfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: i f V (i) /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 Esimerkiksi silmäluku voi tulla maksimiksi täsmälleen kolmella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos V = ma(, ) Ilkka Mellin (8) 7/39

18 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (c) Satunnaismuuttujien U = min(, ) ja V = ma(, ) hteisjakauman pistetodennäköissfunktio f UV (i, j) = Pr(U = i ja V = j) voidaan esittää seuraavana taulukkona: f UV (i,j) V = ma(, ) = j U = min(, ) = i ht. /36 /36 /36 /36 3/36 3 /36 /36 /36 5/36 4 /36 /36 /36 /36 7/36 5 /36 /36 /36 /36 /36 9/36 6 /36 /36 /36 /36 /36 /36 /36 ht. /36 9/36 7/36 5/36 3/36 /36 Esimerkiksi: f UV (5,3) = Pr(U = 5 ja V = 3) = koska kahden luvun minimi ei voi olla maksimia suurempi. Esimerkiksi: f UV (3,5) = Pr(U = 3 ja V = 5) = /36 koska tulos {U = 3 ja V = 5} voi sntä täsmälleen kahdella eri tavalla:. nopan heiton tulos. nopan heiton tulos U = min(,) V = ma(,) (d) Satunnaismuuttujan U odotusarvo on 6 6 E( U) = if ( i) = ipr( U = i) U i= i= = = = Ilkka Mellin (8) 8/39

19 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (e) Satunnaismuuttujan V odotusarvo on 6 6 E( V) = jf ( j) = jpr( V = j) V j= j= = = = (f) Satunnaismuuttujan U ehdolliset pistetodennäköissfunktiot, ehdolla V saadaan kaavasta fuv (, i j) fuv ( i j) =, i,,,6, j,,,6 f ( j) = = V Tuloksena saadaan ao. taulukko, jossa ehdolliset jakaumat ovat riveinä: V = j f U V (i j) U = i V = j ht. /3 /3 3 /5 /5 /5 4 /7 /7 /7 /7 5 /9 /9 /9 /9 /9 6 / / / / / / Taulukko saadaan jakamalla (c)-kohdan taulukon solutodennäköisdet f UV (i,j) = Pr(U = i ja V = j) satunnaismuuttujan V reunajakauman todennäköisksillä f V (j) = Pr(V = j) jotka ovat (c)-kohdan taulukossa rivisummina. Kstt ehdollinen jakauma f U V (i j = 4) on merkitt taulukkoon lihavoituna. Ilkka Mellin (8) 9/39

20 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (g) Satunnaismuuttujan V ehdolliset pistetodennäköissfunktiot, ehdolla U saadaan kaavasta fuv (, i j) f ( j i) =, i,,,6, j,,,6 VU f () i = = U Tuloksena saadaan ao. taulukko, jossa ehdolliset jakaumat ovat sarakkeina: V = j U = i f V U (j i) U = i / /9 3 / /9 /7 4 / /9 /7 /5 5 / /9 /7 /5 /3 6 / /9 /7 /5 /3 ht. Taulukko saadaan jakamalla (c)-kohdan taulukon solutodennäköisdet f UV (i,j) = Pr(U = i ja V = j) satunnaismuuttujan U reunajakauman todennäköisksillä f U (i) = Pr(U = i) jotka ovat (c)-kohdan taulukossa sarakesummina. Kstt ehdollinen jakauma f U V (i j = 4) on merkitt taulukkoon lihavoituna. (h) Ehdollinen odotusarvo E(U V = 4) saadaan (f)-kohdan taulukosta: E( U V = 4) = if ( i j = 4) 6 i= UV 6 = = = Ilkka Mellin (8) /39

21 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (i) Ehdollinen odotusarvo E(V U = 4) saadaan (g)-kohdan taulukosta: E( V U = 4) = jf ( j i = 4) 6 j = V U 6 = = = Tehtävä 6.. Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktio Pr( = = 3) = Pr( = = ) = Pr( = = ) = Pr( = = ) = /4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (b) Cov(, ) (c) Cor(, ) (d) Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat. (e) E( ) Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan diskreettien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reunajakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.. Ratkaisu: (a) Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman f (, ) = Pr( = ja = ) pistetodennäköissfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: f (, ) 3 /4 /4 /4 /4 Reunajakaumien f () = Pr( = ) = f (, ) f () = Pr( = ) = f (, ) pistetodennäköissfunktiot saadaan tästä taulukosta rivi- ja sarakesummina: Ilkka Mellin (8) /39

22 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B f (, ) f () 3 /4 /4 /4 /4 /4 /4 / f () /4 / /4 (b) Lasketaan satunnaismuuttujien ja kovarianssi kaavalla Cov(, ) = E() E()E() Lasketaan ensin satunnaismuuttujien ja odotusarvot: 3 E( ) = i Pr( = i) = + + = = i= Edelleen 3 E( ) = i Pr( = i) = = 4 4 i= 3 3 E( ) = Pr( =, = ) i= j= i j i j 7 = ( ) 3 + ( ) + + ( ) = = Siten satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ) = E[( E( ))( E( ))] = E( ) E( ) E( ) 7 7 = = = (c) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio on Cov(, ) Cor(, ) = D( ) D( ) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on laskettu (b)-kohdassa, mutta joudumme laskemaan vielä satunnaismuuttujien ja standardipoikkeamat. Lasketaan ensin satunnaismuuttujille ja. origomomentit: 3 5 E( ) = i Pr( = i) = ( ) + + = = i= Ilkka Mellin (8) /39

23 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B 8 9 E( ) = Pr( = ) = ( ) = = = i i i= Satunnaismuuttujien ja varianssit ovat: Siten 5 9 Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = Var( ) = D ( ) = E[ E( )] = E( ) [E( )] = = = Cov(, ) 4 7 Cor(, ) = = = =.757 D( ) D( ) (d) Muodostetaan satunnaismuuttujan ehdollisten jakaumien pistetodennäköissfunktiot, kun ehtomuuttujana on : f (, ) f ( ) = f ( ) = : 3 f () = : 3 f () / / = : 3 f () Ehdollisten jakaumien pistetodennäköisdet saadaan jakamalla (a)-kohdassa esitetn satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköissfunktiota kuvaavan taulukon solutodennäköisdet satunnaismuuttujan reunajakauman todennäköisksillä. Ilkka Mellin (8) 3/39

24 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (e) Ehdolliset odotusarvot E( = ) = f () saadaan kohdasta (d): E( = ) 3 / Esimerkiksi: 3 E( = ) = Pr( = = ) = = j= j j Tehtävä 6.3. Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio f(, ) = C( + ),, jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Pr( ) (c) Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman kertmäfunktio. (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ovatko ja riippumattomia? (e) Tihesfunktio satunnaismuuttujan ehdolliselle jakaumalle ehdolla. (f) Ehdollinen odotusarvo E( ). Tehtävä 6.3. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reuna-jakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.3. Ratkaisu: (a) Vakio C saadaan määrätksi integroimalla satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio sen määrittelalueen A li: (,) A (,) Ilkka Mellin (8) 4/39

25 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Saamme siten seuraavan htälön vakion C määräämiseksi: + + f (, ) dd = C ( + ) dd = C + d C d = = C = C = 6 3 Ratkaisuksi saadaan C = 3 Siten satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio on muotoa f(, ) = 3( + ),, 3 = C 6 z (b) Todennäköiss Pr( ) saadaan integroimalla hteisjakauman tihesfunktio alueen B li: (,) (/,/) B (,) Siten ( ) / Pr = 3 ( + ) dd + 3 ( + ) dd / / / / 3 / / 3 3 / = 3 + d+ 3 + d = 3 d+ 3 d 3 = = 6 Ilkka Mellin (8) 5/39

26 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (c) Satunnaismuuttujien ja hteisjakauman kertmäfunktioksi saadaan F (, ) = f ( u, v) dvdu = 3 ( u + v) dvdu uv v du = 3 + = 3 + u du = 3 u+ u 3 3 = + Kertmäfunktio on määritelt alueella A = {(,), } (d) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat saadaan integroimalla niiden hteisjakauman tihesfunktio vuorotellen kummankin muuttujan suhteen: 3 f ( ) = 3 ( + ) d = 3 + = ( ) 3 f ( ) = 3 ( + ) d= 3 + = ( ) Satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia, koska 9 9 f f = = + + = f 4 4 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3( ) (, ) (e) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on f f (, ) 3( + ) ( + ) ( ) = = = f ( ) 3 ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ehdolla = riippuu :stä, jolloin esimerkiksi mös sen odotusarvo ja varianssi riippuvat :stä. Tämä on mmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. Ilkka Mellin (8) 6/39

27 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (f) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo, kun ehtomuuttujana on, on + E( ) = f ( d ) = ( + ) d ( ) = + d 3 = + 3 ( )( + ) = 3 + Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo ehdolla = eli satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen riippuu :stä. Tämä on mmärrettävää, koska satunnaismuuttujat ja eivät ole riippumattomia. Tehtävä 6.4. Olkoon satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio f(, ) = Ce +,, jossa C on vakio. Määrää: (a) Vakio C. (b) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. (c) Ovatko ja riippumattomia? Tehtävä 6.4. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan jatkuvien satunnaismuuttujien hteisjakaumaa, reuna-jakaumia ja ehdollisia jakaumia sekä tunnuslukuja. Tehtävä 6.4. Ratkaisu: (a) Vakio C saadaan määrätksi integroimalla satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio sen määrittelalueen li, koska aina pätee, että + + f (, ) dd Ilkka Mellin (8) 7/39

28 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Saamme siten seuraavan htälön vakion C määräämiseksi: + C e dd = C e e dd C e d = = Ce ( ) ed = Ce ( ) e = Ce = ( ) Ratkaisuksi saadaan C = /(e ) Siten satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio on + f (, ) = e,, ( e ) (b) Koska satunnaismuuttujien ja hteisjakauman tihesfunktio faktoroituu muotoon f(, ) = ( e ) e + = e e e e niin satunnaismuuttujien ja reunajakaumien tihesfunktiot ovat f ( ) = e e f ( ) = e e (c) Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, koska f ( ) f ( ) = f (, ) Ilkka Mellin (8) 8/39

29 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Tehtävä 6.5. Alla olevassa taulukossa on annettu satunnaismuuttujien ja reunajakaumat: f (, ) f () 3 /4 /4 / f () /4 / /4 niin, Tätä taulukon solut satunnaismuuttujien ja hteisjakauman pistetodennäköisksillä että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Tehtävä 6.5. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan riippumattomuuden käsitettä. Tehtävä 6.5. Ratkaisu: Diskreetit satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden hteisjakauman pistetodennäköissfunktio voidaan esittää sen reunajakauman pistetodennäköissfunktioiden tulona: f (, ) = Pr( = ja = ) = Pr( = )Pr( = ) = f ()f () Siten saamme hteisjakauman pistetodennäköisksiksi seuraavan taulukon luvut: f (, ) f () 3 /6 /8 /6 /4 /6 /8 /6 /4 /8 /4 /8 / f () /4 / /4 Tehtävä 6.6. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E( ) =+ Var( ) = 9 E( ) = Var( ) = 4 Cov(, ) = 5 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. Ilkka Mellin (8) 9/39

30 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (b) Cor(, ) (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on. Tehtävä 6.6. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Tehtävä 6.6. Ratkaisu: Oletuksen mukaan µ E( ) = =+ Var( ) = D ( ) = = 9 µ E( ) = = Var( ) = D ( ) = = 4 Cov(, ) = = 5 (a) Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat ovat normaalisia: ~ N(+, 9) jossa µ E( ) = =+ Var( ) = D ( ) = = 9 ja ~ N(, 4) jossa µ E( ) = = Var( ) = D ( ) = = 4 (b) Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ Cov(, ) 5 5 = Cor(, ) = = = = =.8333 D( ) D( ) 3 6 (c) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: ~ N(E( ), Var( )) Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) odotusarvo eli satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo (ehdolla ) on E( = ) = µ + ρ ( µ ) = ( + ) = Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen funktiona lineaarinen. Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) varianssi eli satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) on Ilkka Mellin (8) 3/39

31 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Var( = ) = ( ρ ) = 9 = 9 =.75 < 9 = Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (d) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma, kun ehtomuuttujana on, on normaalinen: ~ N(E( ), Var( )) Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) odotusarvo eli satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo (ehdolla ) on E( = ) = µ + ρ ( µ ) = ( ) = Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo on ehtomuuttujan arvojen funktiona lineaarinen. Satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman (ehdolla ) varianssi eli satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) on Var( = ) = ( ρ ) = 4 = 4 = =. < 9 = Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi (ehdolla ) ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Tehtävä 6.7. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E( ) = µ =+ Var( ) = D ( ) = = 4 E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 9 Cor(, ) = ρ =.9 Määrää Cov(, ) Tehtävä 6.7. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ominaisuuksia. Tehtävä 6.7. Ratkaisu: Määritelmän mukaan satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on Cov(, ) ρ = Cor(, ) = = D( ) D( ) Ilkka Mellin (8) 3/39

32 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Siten Tässä joten = Cov(, ) = Cor(, ) D( ) D( ) = ρ D( ) = = D( ) = = 3 Cor(, ) = ρ =.9 Cov(, ) = ρ =.9 3 = 5.4 Tehtävä 6.8. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on 4 E( = ) = 5 5 satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on 5 E( = ) = 4 4 Määrää: (a) Satunnaismuuttujien ja odotusarvot. (b) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio. Tehtävä 6.8. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.8. Ratkaisu: Kaksiulotteisen normaalijakauman tapauksessa satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on muotoa = µ + ρ ( µ ) ja satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on muotoa = µ + ρ ( µ ) jossa µ = = = µ = = = ρ = Cor(, ) E( ) D ( ) Var( ) E( ) D ( ) Var( ) Ilkka Mellin (8) 3/39

33 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Koska kaksiulotteisen normaalijakauman regressiofunktiot ovat lineaarisia ehtomuuttujien arvojen suhteen niitä kutsutaan regressiosuoriksi. (a) Regressiosuorien htälöistä näk, että kumpikin suora kulkee satunnaismuuttujien ja hteisjakauman todennäköissmassan painopisteen (µ, µ ) kautta. Siten satunnaismuuttujien ja odotusarvot saadaan määräämällä suorien leikkauspiste. Siten leikkauspiste saadaan määräämällä lineaarisen htälörhmän 4 = = 4 4 ratkaisu. Sijoittamalla ensimmäinen htälö toiseen htälöön saadaan htälö = = josta saadaan ratkaisuksi = Sijoittamalla tämä ensimmäiseen htälöön saadaan 4 = = 5 5 Siten satunnaismuuttujien ja odotusarvot ovat E() = E() = + (b) Kaksiulotteisen normaalijakauman regressiosuorien leisistä lausekkeista näk, että suorien kulmakertoimet ρ ja ρ toteuttavat htälön Siten ρ ρ = ρ 5 = = ρ Ilkka Mellin (8) 33/39

34 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B joten satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on ρ = koska regressiosuorien kulmakertoimet ovat negatiivisia. Tehtävä 6.9. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E() = E() = Var() = D () = 9 Var() = D () = 4 Cor(, ) =.5 (a) Määrää muuttujien ja kovarianssi. (b) Määrää muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. (c) Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien ja odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset? Tehtävä 6.9. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.9. Ratkaisu: Oletuksen mukaan E( ) = µ =+ Var( ) = D ( ) = = 9 E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 4 Cor(, ) = ρ =.5 Lasketaan ensin muuttujien ja standardipoikkeamat: D() = 3 D() = (a) Satunnaismuuttujien ja kovarianssi: Cov(, ) = Cor(, ) D() D() =.5 3 = 3 (b) Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 3/ =.75 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen Ilkka Mellin (8) 34/39

35 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (E(), E()) = (+, ) kautta, suoran htälö on muotoa =.75 ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 9 = 6.75 < D () Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 /3 = /3 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (+, ) kautta, suoran htälö on muotoa + = (/3) ( ) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen on ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 4 = 3 < D () (c) Koska kumpikin regressiosuorista kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen kautta, suorien leikkauspisteenä on piste (E(), E()) = (+, ) Tehtävä 6.. (a) Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E() = E() = Var() = D () = Var() = D () = 4 Cov(, ) = Määrää muuttujien ja korrelaatio ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. (b) Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Ilkka Mellin (8) 35/39

36 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Olkoon satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen 8 4 = ja satunnaismuuttujan regressiosuora satunnaismuuttujan suhteen 3 7 = + Määrää muuttujien ja odotusarvot. Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.. Ratkaisu: Oletuksen mukaan E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 4 Cov(, ) = ρ = Lasketaan ensin muuttujien ja standardipoikkeamat: D() = D() = (a) Satunnaismuuttujien ja korrelaatio: Cor(, ) = Cov(, )/(D() D()) = /( ) =.5 Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 / = /4 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa = ( /4) ( ) Vastaava ehdollinen varianssi: ( Cor(, ) ) D () = ( (.5) ) =.75 < D () Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 / = Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen Ilkka Mellin (8) 36/39

37 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa = Vastaava ehdollinen varianssi: ( Cor(, ) ) D () = ( (.5) ) 4 = 3 < D () (b) Suorat leikkaavat pisteessä (,), joten E() = E() = Tehtävä 6.. Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja muodostama pari (, ) noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa seuraavin parametrein: E() = E() = 5 Var() = D () = 6 Var() = D () = 9 Cov(, ) = 6 (a) Määrää muuttujien ja korrelaatio. (b) Määrää muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen ja muuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen sekä vastaavat ehdolliset varianssit. (c) Kerro (b)-kohdassa määräämiesi regressiosuorien kulmakertoimet keskenään ja vertaa saatua tulosta (a)-kohdassa määräämäsi korrelaatiokertoimen neliöön. Mitä havaitset? (d) Määrää kohdan (b) regressiofunktioita vastaavien suorien leikkauspiste ja vertaa sitä muuttujien ja odotusarvojen vastaavaan pisteeseen. Mitä havaitset? Tehtävä 6.. Mitä opimme? Tehtävässä tarkastellaan -ulotteisen normaalijakauman ja sen regressiofunktioiden ominaisuuksia. Tehtävä 6.. Ratkaisu: Oletuksen mukaan E( ) = µ = Var( ) = D ( ) = = 6 E( ) = µ = 5 Var( ) = D ( ) = = 9 Cov(, ) = = 6 Lasketaan ensin muuttujien ja standardipoikkeamat: D() = 4 D() = 3 (a) Muuttujien ja korrelaatio: Ilkka Mellin (8) 37/39

38 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Cor(, ) = Cov(, )/(D() D()) = 6/(4 3) = / =.5 (b) Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 4/3 = /3.667 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa + = (/3) ( 5) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi satunnaismuuttujan suhteen: ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 6 = < D () Satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on suora, jonka kulmakerroin on Cor(, ) D()/D() =.5 3/4 = 3/8 =.375 Koska regressiosuora kulkee kaksiulotteisen normaalijakauman todennäköissmassan painopisteen (E(), E()) = (,) kautta, suoran htälö on muotoa 5 = (3/8) ( + ) Satunnaismuuttujan ehdollinen varianssi muuttujan suhteen: ( Cor(, ) ) D () = (.5 ) 9 = 7/4 = 6.75 < D () (c) Muuttujan regressiosuorassa muuttujan suhteen kulmakerroin on D( ) Cor(, ) D( ) Muuttujan regressiosuorassa muuttujan suhteen kulmakerroin on D( ) Cor(, ) D( ) Siten kulmakertoimien tuloksi saadaan D( ) D( ) Cor(, ) Cor(, ) = [Cor(, )] D( ) D( ) Ilkka Mellin (8) 38/39

39 Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Tehtävässä D( ) D( ) 3 Cor(, ) Cor(, ) = = = [Cor(, )] D( ) D( ) = Ilkka Mellin (8) 39/39

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A. Moniulotteiset jakaumat. Avainsanat: Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Moniulotteiset jakaumat Diskreetti jakauma, Ehdollinen jakauma, Ehdollinen odotusarvo, Jatkuva

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisslaskenta B 1. välikoe 08.03.2011 / Kibble Kirjoita selvästi jokaiseen koepaperiin seuraavat tiedot: Mat-1.2620 SovTnB 1. vk 08.03.2011 opiskelijanumero + kirjain TEKSTATEN

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

D ( ) E( ) E( ) 2.917

D ( ) E( ) E( ) 2.917 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku 4. harjoitukset/ratkaisut Aiheet: Diskreetit jakaumat Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen jakauma, Kertymäfunktio,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus regressioanalyysiin Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet Deterministiset mallit ja regressioanalyysi

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012

Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Johdatus tn-laskentaan perjantai 17.2.2012 Kahden diskreetin muuttujan yhteisjakauma On olemassa myös monen muuttujan yhteisjakauma, ja jatkuvien muuttujien yhteisjakauma (jota ei käsitellä tällä kurssilla;

Lisätiedot

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7

031021P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 0302P Tilastomatematiikka (5 op) viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Yhteisjakauma Edellä on tarkasteltu yksiulotteista satunnaismuuttujaa. Sovelluksissa joudutaan usein tarkastelemaan samanaikaisesti

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1,

Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu. f(x, y) = k x y, kun 0 < y < x < 1, Todennäköisyyslaskenta, 2. kurssikoe 7.2.22 Sallitut apuvälineet: MAOL-taulukot, kirjoitusvälineet, laskin sekä itse laadittu, A4-kokoinen lunttilappu.. Satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktio on

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x

1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X Y Bin(Y, θ) Y Poi(λ) λ y. f X (x) (λθ)x HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 017 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Jatketaan luentojen esimerkkiä 8.3. Oletetaan kuten esimerkissä X

Lisätiedot

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko

Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen Yhden faktorin malli: n kpl sijoituskohteita, joiden tuotot ovat r i, i =, 2,..., n. Olkoon f satunnaismuuttuja ja oletetaan, että tuotot voidaan selittää yhtälön r i = a i + b i f + e i avulla, missä

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle

Lisätiedot

2. Multinormaalijakauma

2. Multinormaalijakauma Multinormaalijakauma 15 2. Multinormaalijakauma 2.1 Alustavaa johdattelua Monimuuttujamenetelmissä multinormaalijakaumalla on ehkä vielä keskeisempi asema kuin normaalijakaumalla yhden muuttujan tilastollisissa

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut

1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut 1. laskuharjoituskierros, vko 4, ratkaisut D1. Heitetään kahta virheetöntä noppaa, joiden kuudella tahkolla on silmäluvut 1, 2, 3, 4, 5 ja 6. Tällöin heittotuloksiin liittyvä otosavaruus on S = {(x, y)

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

8.1 Ehdolliset jakaumat

8.1 Ehdolliset jakaumat 8 Ehdollinen jakauma Tämän kappaleen tärkeitä käsitteitä: Ehdollinen jakauma; ehdollinen ptnf/tf. Kertolaskusääntö eli ketjusääntö yhteisjakauman esittämiseksi. Ehdollinen odotusarvo ja ehdollinen varianssi.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista

Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista 6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida

Lisätiedot

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt

Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt. Latinalaiset neliöt: Mitä opimme? Latinalaiset neliöt TKK (c) Ilkka Mellin (005) Koesuunnittelu TKK (c) Ilkka Mellin (005) : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Miten varianssianalyysissa tutkitaan yhden tekijän vaikutusta vastemuuttujaan,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku. Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku Aiheet: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys, Erotustapahtuma,

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polnomifunktio Yhtälön f = a+ b, a 0 määrittelemää funktiota sanotaan ensimmäisen asteen polnomifunktioksi. Esimerkki. Ensimmäisen asteen polnomifuktioita ovat esimerkiksi f = 3 7, v()

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Todennäköisyyden ominaisuuksia

Todennäköisyyden ominaisuuksia Todennäköisyyden ominaisuuksia 0 P(A) 1 (1) P(S) = 1 (2) A B = P(A B) = P(A) + P(B) (3) P(A) = 1 P(A) (4) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) (5) Tapahtuman todennäköisyys S = {e 1,..., e N }. N A = A. Kun alkeistapaukset

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Satunnaismuuttujien summa ja keskihajonta Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

(x, y) 2. heiton tulos y

(x, y) 2. heiton tulos y Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 2, 4, 6, 8, 11 Pistetehtävät: 3, 5, 9, 12 Ylimääräiset tehtävät: 7, 10, 13 Aiheet: Joukko-oppi Todennäköisyys ja sen määritteleminen

Lisätiedot

3. Teoriaharjoitukset

3. Teoriaharjoitukset 3. Teoriaharjoitukset Demotehtävät 3.1 a Olkoot u ja v satunnaumuuttujia, joilla on seuraavat ominaisuudet: E(u = E(v = 0 Var(u = Var(v = σ 2 Cov(u, v = E(uv = 0 Näytä että deterministinen prosessi. x

Lisätiedot

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4.

1. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden heittojen lukumäärä, joilla tuli 1, 2, 3 tai 4. HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 206 Kurssikoe 28.0.206 Ratkaisuehdotuksia. Kuusisivuista noppaa heitetään, kunnes saadaan silmäluku 5 tai 6. Olkoon X niiden

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P

r = r f + r M r f (Todistus kirjassa sivulla 177 tai luennon 6 kalvoissa sivulla 6.) yhtälöön saadaan ns. CAPM:n hinnoittelun peruskaava Q P Markkinaportfolio on koostuu kaikista markkinoilla olevista riskipitoisista sijoituskohteista siten, että sijoituskohteiden osuudet (so. painot) markkinaportfoliossa vastaavat kohteiden markkina-arvojen

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1

Regressioanalyysi. Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysi Kuusinen/Heliövaara 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Oletetaan, että haluamme selittää jonkin selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelun joidenkin

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut

11. laskuharjoituskierros, vko 15, ratkaisut 11. laskuharjoituskierros vko 15 ratkaisut D1. Geiger-mittari laskee radioaktiivisen aineen emissioiden lukumääriä. Emissioiden lukumäärä on lyhyellä aikavälillä satunnaismuuttuja jonka voidaan olettaa

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1

Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Väliestimointi (jatkoa) Heliövaara 1 Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli 1/2 Olkoon havainnot X 1,..., X n yksinkertainen satunnaisotos Bernoulli-jakaumasta parametrilla p. Eli X Bernoulli(p).

Lisätiedot

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu < X 170 VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 4.6.2013 Ratkaisut ja arvostelu 1.1 Satunnaismuuttuja X noudattaa normaalijakaumaa a) b) c) d) N(170, 10 2 ). Tällöin P (165 < X < 175) on likimain

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut

3. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät - eliövaara, Palo, Mellin. laskuharjoituskierros, vko 6, ratkaisut D. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.104 Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 007 8. luento: Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Kai Virtanen 1 Usean selittäjän lineaarinen regressiomalli Selitettävän muuttujan havaittujen

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä

TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Todennäköisyyslaskenta 1 TODENNÄKÖISYYSLASKUN KERTAUS Peruskäsitteitä Otosavaruus S S on satunnaiskokeen E kaikkien mahdollisten alkeistapahtumien e joukko. Esim. 1. Noppaa

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä.

102 Käyrä. Piste ( 3,0 ) on käyrällä, jos ja vain jos sen koordinaatit. Siis piste ( 1, 2) Siis piste ( 3,0 ) ei ole käyrällä. Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 Päivitett 19..6 11 Todistus 1 Kärä x + = x + 4 5 3 31 = x x+ 4, jos ja vain jos pisteen 3,7 koordinaatit toteuttavat kärän htälön. Kun x = 3 ja

Lisätiedot

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on

Suoran yhtälöt. Suoran ratkaistu ja yleinen muoto: Suoran yhtälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on Suoran htälöt Suoran ratkaistu ja leinen muoto: Suoran htälö ratkaistussa, eli eksplisiittisessä muodossa, on ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 = k + b, tai = a missä vakiotermi b ilmoittaa suoran ja -akselin

Lisätiedot

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan

Jos nollahypoteesi pitää paikkansa on F-testisuuren jakautunut Fisherin F-jakauman mukaan 17.11.2006 1. Kahdesta kohteesta (A ja K) kerättiin maanäytteitä ja näistä mitattiin SiO -pitoisuus. Tulokset (otoskoot ja otosten tunnusluvut): A K 10 16 Ü 64.94 57.06 9.0 7.29 Oletetaan mittaustulosten

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: 1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 30. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 30. lokakuuta 2007 1 / 23 1 Otos ja otosjakaumat (jatkoa) Frekvenssi ja suhteellinen frekvenssi Frekvenssien odotusarvo

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x

B. Siten A B, jos ja vain jos x A x Mat-1.2600 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Johdanto Joukko-opin peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Avainsanat: Alkeistapahtuma,

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot