Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Transkriptio

1 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme? / Tarastelemme tässä luvussa todeäösyysjaaume uvaamsta erlaste tuusluuje avulla. Tuusluvusta täre o todeäösyysjaauma todeäösyysmassa paopstettä uvaava ja ss jaauma sjatparametra äytettävä odotusarvo. Jaauma todeäösyysmassa hajaatuesuutta (ta esttyesyyttä) se paopstee suhtee uvataa varasslla ta stadardpoeamalla. ja varass vodaa määrtellä todeäösyysjaauma. ja. momet avulla. Jaauma voude ta hupuuude tarastelu vaat oreampe momette määrttelemstä. Tarastelemme lsäs jaauma vatleja seä mooda. Jaaume tuusluvut: Mtä opmme? / Estämme tässä luvussa myös moäyttöset Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt. Marov ja Tshebyshev epäyhtälöde avulla vodaa arvoda todeäösyysjaauma todeäösyysmassa määrää jaauma hätäaluella. Estämme tässä luvussa myös usea rppumattoma satuasmuuttuja artmeettse esarvo asymptoottsta äyttäytymsestä oseva suurte luuje la. TKK (c) Ila Mell (4) 3 TKK (c) Ila Mell (4) 4 Jaaume tuusluvut: Estedot Estedot: s. seuraavaa luua: Satuasmuuttujat ja todeäösyysjaaumat Jaaume tuusluvut: Lsätedot Tässä luvussa tarastellaa myös satuasmuuttuje summa odotusarvoa ja varassa. Taraa ottae tämä vaat täsmeysesee moulotteste satuasmuuttuje tarastelua; s. luua Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäösyysjaaumat TKK (c) Ila Mell (4) 5 TKK (c) Ila Mell (4) 6

2 TKK (c) Ila Mell (4) 7 Jaaume tuusluvut >> Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la Avasaat Dsreet jaauma odotusarvo Jatuva jaauma odotusarvo Paopste Sjatparametr Satuasmuuttuje summa odotusarvo Todeäösyysmassa TKK (c) Ila Mell (4) 8 Johdatteleva esmer: Arpajaset /7 Oloo arpajasssa arpaa. Arpaumerot:,,,. Votojao: Votot (m) Vottoja (pl) Johdatteleva esmer: Arpajaset /7 Arvotaa vottoumerot seuraavalla tavalla: () Krjotetaa arpaumerot lpuelle. () Paaa lpueet uuraa. (3) Pomtaa uurasta satuasest arpaa: esmmästä saa vottoa m seuraavaa saa vottoa m Vmee saa vottoa m Votot yhteesä (m): + + = 4 Votto yhtä ostettua arpaa ohde el votto/arpa (m): 4/ = 4 TKK (c) Ila Mell (4) 9 TKK (c) Ila Mell (4) Johdatteleva esmer: Arpajaset 3/7 Votto/arpa vodaa lasea myös tosella tavalla. Arpaumerot:,,,. Votojao: Votot (m) Vottoja (pl) 889 Votto/arpa (m): = = 4 TKK (c) Ila Mell (4) Johdatteleva esmer: Arpajaset 4/7 Votto/arpa saadaa ss lasutomtusella = 4 jossa votto/arpa o lasettu vottoje paotettua summaa, jossa paoa o äytetty vottoje todeäösyysä: Pr(Votto = ) = =. Pr(Votto = ) = =. Pr(Votto = ) = =. 889 Pr(Votto = ) = =.889 TKK (c) Ila Mell (4)

3 TKK (c) Ila Mell (4) 3 Johdatteleva esmer: Arpajaset 5/7 Votto/arpa lasetaa ste aavalla xp jossa x = votto p = o voto x todeäösyys Luua votto/arpa utsutaa todeäösyyslaseassa voto odotusarvos. Voto odotusarvo o odotettavssa oleva votto, jos ostaa yhde arva. Voto odotusarvolle vodaa ataa seuraava tulta: Jos ostetaa useta arpoja, voto odotusarvo ertoo esmääräse voto yhtä arpaa ohde. Johdatteleva esmer: Arpajaset 6/7 Arpome o satuaslmö. Määrtellää satuasmuuttuja X = votto. Satuasmuuttuja X mahdollset arvot x (votot) ja de todeäösyydet p : x Pr(X = x ) = p / / / 889/ Huomautus: Huomaa, että tulosvahtoehto m ja se todeäösyys o otettava muaa! TKK (c) Ila Mell (4) 4 Johdatteleva esmer: Arpajaset 7/7 Satuasmuuttuja Xarvotx ja de todeäösyydet Pr(X = x ) = p määrttelevät dsreet todeäösyysjaauma. Lausee xp määrttelee dsreet satuasmuuttuja X odotusarvo. Huomautus: määrtellää seuraavassa ersee dsreetelle ja jatuvlle jaaumlle. Dsreet jaauma odotusarvo: Määrtelmä Oloo X dsreett satuasmuuttuja. Oloo {x, x, x 3, } satuasmuuttuja X tulosvahtoehtoje el arvoje jouo. Oloo satuasmuuttuja X pstetodeäösyysfuto f(x ) = Pr(X = x ) = p, =,, 3, Satuasmuuttuja X odotusarvo o vao E( X) = = x Pr( X = x ) = x f( x ) X Saomme, että satuasmuuttuja X odotusarvo E(X) o se jaauma odotusarvo, joa uvaa satuasmuuttujaa X lttyvä todeäösyysä. TKK (c) Ila Mell (4) 5 TKK (c) Ila Mell (4) 6 Dsreet jaauma odotusarvo: Kommetteja Dsreet jaauma odotusarvo: Esmer opahetosta Vaa satuasmuuttuja saama arvo vahtelee satuasest oetostosta tosee, satuasmuuttuja saa esmäär arvoja, jota vahtelevat se odotusarvo ympärllä. Jos jaaumalla o odotusarvo, se o jaauma todeäösyysmassa paopste. Dsreet jaauma odotusarvo e tarvtse uulua o. satuasmuuttuja tulosvahtoehtoje jouoo. Nopaheto tulose odotusarvo o 3.5 (s. >), mä e esy mahdollste tulosvahtoehtoje jouossa. Nopahettoo lttyvä dsreet tasase jaauma pstetodeäösyysfuto o muotoa Pr( X = ) =, =,,3,4,5,6 6 Satuasmuuttuja X odotusarvo: 6 6 E( X ) = Pr( X = ) = = = = = 6 6 = 3.5 Pstetodeäösyysfuto E(X) = 3.5 TKK (c) Ila Mell (4) 7 TKK (c) Ila Mell (4) 8

4 TKK (c) Ila Mell (4) 9 Dsreet jaauma odotusarvo: Esmer oepyörästä / Dsreet jaauma odotusarvo: Esmer oepyörästä / Oloo dsreet satuasmuuttuja X pstetodeäösyysfuto muotoa Pr(X = ) =.3 Pr(X = ) =.5 Pr(X = 3) =. Pr(X = 4) =.5 Pr(X = 5) =. Pstetodeäösyysfuto lttyy luvussa Satuasmuuttujat ja todeäösyysjaaumat ästeltyy esmer oepyörästä Pstetodeäösyysfuto Satuasmuuttuja X odotusarvo: 5 E( X) = Pr( X = ) = = = Pstetodeäösyysfuto E(X) =.5 TKK (c) Ila Mell (4) Jatuva jaauma odotusarvo: Määrtelmä Oloo X o jatuva satuasmuuttuja. Oloo satuasmuuttuja X theysfuto f(x). Satuasmuuttuja X odotusarvo o vao + E( X) = X = xf( x) dx Saomme, että satuasmuuttuja X odotusarvo E(X) o se jaauma odotusarvo, joa uvaa satuasmuuttujaa X lttyvä todeäösyysä. Jatuva jaauma odotusarvo: Kommetteja Vaa satuasmuuttuja saama arvo vahtelee satuasest oetostosta tosee, satuasmuuttuja saa esmäär arvoja, jota vahtelevat se odotusarvo ympärllä. Jos jaaumalla o odotusarvo, se o jaauma todeäösyysmassa paopste. Jatuva jaauma odotusarvo uuluu aa o. satuasmuuttuja tulosvahtoehtoje jouoo. TKK (c) Ila Mell (4) TKK (c) Ila Mell (4) Jatuva jaauma odotusarvo: Esmer tasasesta jaaumasta Jatuva jaauma odotusarvo: Esmer olmojaaumasta Jatuva tasase jaauma theysfuto o, a x b f( x) = b a, muullo Jaauma odotusarvo o + E( X) = xf( x) dx Jatuva tasae jaauma /(b-a) Erää olmojaauma theysfuto o x+, x f( x) =, muullo Jaauma odotusarvo o + E( X) = xf( x) dx Kolmojaauma b = x dx b a a b = x b a a = ( b+ a)/ = a+ ( b a)/ a b E(X) = a + (b a)/ = x( x+ ) dx 3 = 6x + x = 3-3 E(X) = /3 TKK (c) Ila Mell (4) 3 TKK (c) Ila Mell (4) 4

5 TKK (c) Ila Mell (4) 5 Jatuva jaauma odotusarvo: Esmer ormaaljaaumasta Normaaljaauma theysfuto o x f( x) = exp σ π σ Normaaljaauma theysfuto o symmetre suora x = suhtee. Vodaa osottaa, että ormaaljaauma odotusarvo E(x) = s. luua Jatuva jaauma. Normaaljaauma E(X) = olemassaolo Jaaumalla e välttämättä ole odotusarvoa. olemassaololla tarotetaa dsreet jaauma tapausessa stä, että x f( x ) < ja jatuva jaauma tapausessa stä, että + x f( x) dx< TKK (c) Ila Mell (4) 6 ja todeäösyysmassa paopste Vao odotusarvo Jos jaaumalla o odotusarvo, se yhtyy aa o. jaauma todeäösyysmassa paopsteesee. Oloo E(X) = satuasmuuttuja X odotusarvo. Jos satuasmuuttuja X jaauma o symmetre suora x = a suhtee, E(X) = = a Oloo a e-satuae vao. Vao odotusarvo o vao tse: E( a) = a Kommett: Vao e vahtele oetostosta tosee. TKK (c) Ila Mell (4) 7 TKK (c) Ila Mell (4) 8 Vao odotusarvo: Perustelu Väte: Vaolle a pätee E(a) = a Perustelu jatuva jaauma tapausessa: + + E( a) = af( x) dx = a f( x) dx = a = a Leaarmuuose odotusarvo Oloo satuasmuuttuja X odotusarvo E(X). Satuasmuuttuja X leaarmuuose Y = a + bx (a ja b vaota) odotusarvo E(Y) saadaa soveltamalla o. leaarmuuosta odotusarvoo E(X): E( Y) = a+ be( X) TKK (c) Ila Mell (4) 9 TKK (c) Ila Mell (4) 3

6 TKK (c) Ila Mell (4) 3 Leaarmuuose odotusarvo: Perustelu Väte: Leaarmuuoselle Y = a + bx pätee E(Y) = a + be(x). Perustelu jatuva jaauma tapausessa: E( Y) = E( a+ bx) = ( a+ bx) f( x) dx = a f( xdx ) + b xf( xdx ) = a+ be( X) Leaarmuuose odotusarvo: Kommetteja Satuasmuuttuja X ertome vaolla b mertsee satuasmuuttuja X saame arvoje mttaaava muuttamsta. Satuasmuuttuja X saame arvoje mttaaava muuttame verraollsuusertomella b muuttaa satuasmuuttuja X jaauma todeäösyysmassa paopstettä samalla ertomella. Vao a lsääme satuasmuuttujaa X mertsee satuasmuuttuja X jaauma todeäösyysmassa srtoa. Todeäösyysmassa srtäme vao a verra srtää todeäösyysmassa paopstettä sama verra. TKK (c) Ila Mell (4) 3 jaauma sjatparametra / jaauma sjatparametra / Kosa odotusarvolla o fysaale tulta todeäösyysmassa paopsteeä, odotusarvo vodaa utsua jaauma sjatparametrs. Oletetaa, että satuasmuuttuje X ja Y theysfutot yshuppusa ja symmetrsä paopsteesä suhtee. Tällö satuasmuuttuja X todeäösyysmassa pääosa sjatsee vasemmalla satuasmuuttuja Y todeäösyysmassa pääosasta, jos ja va jos E(X) < E(Y) s. havaollstusta >. Myös jos jaauma o yshuppue, mutta vo, odotusarvo uvaa luotevalla tavalla jaauma todeäösyysmassa pääosa sjata; s. havaollstusta >. Se sjaa, jos jaauma o mohuppue, jaauma todeäösyysmassa pääose e tarvtse olla lähellä odotusarvoa; s. havaollstusta 3 >. TKK (c) Ila Mell (4) 33 TKK (c) Ila Mell (4) 34 jaauma sjatparametra: Havaollstus jaauma sjatparametra: Havaollstus Kuva oealla esttää olme ormaaljaauma N, N ja N 3 theysfutota f, f ja f 3. Theysfutot f, f ja f 3 ovat yshuppusa ja symmetrsä suore x =, x = ja x = 3 suhtee. Jaaumat N ja N 3 o saatu srtämällä jaauma N todeäösyysmassaa oealle. Jaaume N, N ja N 3 odotusarvot, ja 3 toteuttavat epäyhtälöt < < 3 Jaaume N, N ja N 3 theysfutot f f f 3 3 Kuva oealla esttää ahde espoettjaauma E ja E theysfutota f ja f. Theysfutot f ja f ovat yshuppusa ja epäsymmetrsä. Jaauma E todeäösyysmassa o esttyyt jaauma E todeäösyysmassaa vomaaamm orgo lähelle. Jaaume E ja E odotusarvot ja toteuttavat epäyhtälö < Jaaume E ja E theysfutot f f TKK (c) Ila Mell (4) 35 TKK (c) Ila Mell (4) 36

7 TKK (c) Ila Mell (4) 37 jaauma sjatparametra: Havaollstus 3 Summa ja erotuse odotusarvo Kuva oealla esttää erää seotetu ormaaljaauma N theysfutota f. Theysfuto f o ashuppue ja symmetre suora x = suhtee. Jaauma N todeäösyysmassalla o vaaa-asellla as esttymää. Jaauma N odotusarvo o todeäösyysmassoje esttyme välssä. Jaauma N theysfuto Satuasmuuttuje X ja Y summa X + Y odotusarvo o E( X + Y) = E( X) + E( Y) Satuasmuuttuje X ja Y erotuse X Y odotusarvo o E( X Y) = E( X) E( Y) Tämä mertsee stä, että odotusarvo o leaare operaattor. Huomautus: Todstus vaat asulotteste satuasmuuttuje määrttelemstä ja estetää luvussa Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäösyysjaaumat. TKK (c) Ila Mell (4) 38 Summa odotusarvo: Ylestys Oloot X, =,,, satuasmuuttuja ja a, =,,, vaota. Satuasmuuttuje X, =,,, paotetu summa a X odotusarvo o E ax = ae( X) = = Dsreet satuasmuuttuja futo odotusarvo: Määrtelmä Oloo X dsreett satuasmuuttuja, joa pstetodeäösyysfuto o f(x ) = Pr(X = x ) = p, =,, 3, Oloo g reaalarvoe futo. Satuasmuuttuja g(x) odotusarvo o vao E( g( X)) = g( X) = g( x) f( x) TKK (c) Ila Mell (4) 39 TKK (c) Ila Mell (4) 4 Jatuva satuasmuuttuja futo odotusarvo: Määrtelmä Oloo X jatuva satuasmuuttuja, joa theysfuto o f(x) Oloo g reaalarvoe futo. Satuasmuuttuja g(x) odotusarvo o vao + = g( X) = E( g( X)) g( x) f( x) dx Jaaume tuusluvut >> Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) 4 TKK (c) Ila Mell (4) 4

8 TKK (c) Ila Mell (4) 43 Avasaat Dsreet jaauma varass Empre jaauma Hajotaparametr Jatuva jaauma varass Paopste Satuasmuuttuje summa varass Sjatparametr Stadardpoeama Todeäösyysmassa hajaatuesuus Todeäösyysmassa esttyesyys : Ylee määrtelmä Oloo satuasmuuttuja X odotusarvo E( X ) = X Satuasmuuttuja X varass o vao D( X) = Var( X) = σ = E( X ) X X Satuasmuuttuja X varass o satuasmuuttuja X omasta odotusarvostaa X määräty poeama elö odotusarvo. TKK (c) Ila Mell (4) 44 Dsreet jaauma varass Jatuva jaauma varass Oloo X dsreett satuasmuuttuja. Oloo {x, x, } satuasmuuttuja X tulosvahtoehtoje el arvoje jouo. Oloo satuasmuuttuja X pstetodeäösyysfuto f(x ) = Pr(X = x ) = p, =,, Tällö satuasmuuttuja X varass o vao D( X) = Var( X) = σ = ( x ) p X X Oloo X o jatuva satuasmuuttuja. Oloo satuasmuuttuja X theysfuto f(x). Tällö satuasmuuttuja X varass o vao + D( ) = Var( ) = σ X = ( X) ( ) X X x f x dx TKK (c) Ila Mell (4) 45 TKK (c) Ila Mell (4) 46 olemassaolo Jaaumalla e välttämättä ole varassa. olemassaololla tarotetaa stä, että varass määrttelevä summa (dsreet jaauma tapausessa) ta tegraal (jatuva jaauma tapausessa) o äärelle. TKK (c) Ila Mell (4) 47 määrtelmä: Kommetteja uvaa todeäösyysmassa hajaatuesuutta ta mä o sama asa esttyesyyttä jaauma paopstee suhtee. Jos Var(X) > Var(Y) satuasmuuttuja X todeäösyysmassa o hajaatuut vomaaamm oma paopsteeseesä suhtee u satuasmuuttuja Y todeäösyysmassa oma paopsteeseesä suhtee. Kosa varass uvaa todeäösyysmassa hajaatuesuutta, stä vodaa utsua hajotaparametrs. TKK (c) Ila Mell (4) 48

9 TKK (c) Ila Mell (4) 49 jaauma hajaatuesuude mttaa: Esmer ormaaljaaumsta / jaauma hajaatuesuude mttaa: Esmer ormaaljaaumsta / Kuva oealla esttää olme ormaaljaauma N, N ja N 3 theysfutota f, f ja f 3. Kalla jaaumlla o sama odotusarvo. Theysfutot f, f ja f 3 ovat yshuppusa ja symmetrsä suora x = suhtee. Jaaume N, N ja N 3 theysfutot f f f 3 Jaauma N todeäösyysmassa o esttye, u taas jaauma N 3 todeäösyysmassa o hajaatue. Jaaume varasst toteuttavat epäyhtälöt: Var(X ) < Var(X ) < Var(X 3 ) Jaaume N, N ja N 3 theysfutot f f f 3 TKK (c) Ila Mell (4) 5 : Toe lasuaava Oloo satuasmuuttuja X odotusarvo E( X ) = Satuasmuuttuja X varass vodaa lasea myös aavalla Var( X ) = α jossa α = E( X ) o satuasmuuttuja X toe (orgo-) momett. toe lasuaava: Perustelu Oloot satuasmuuttuja X odotusarvo E( X ) = ja toe momett E( X ) = α Satuasmuuttuja X varass o Var( X) = E( X ) = E( X X + ) = E( X ) E( X) + E( ) = α + = α TKK (c) Ila Mell (4) 5 TKK (c) Ila Mell (4) 5 Stadardpoeama: Määrtelmä Oloo satuasmuuttuja X odotusarvo E( X ) = X Satuasmuuttuja X stadardpoeama o vao D( X) = σ = E( X ) X X Stadardpoeamaa äytetää samaa tapaa u varassa todeäösyysmassa hajaatuesuude (esttyesyyde) mttaa. Stadardpoeama o tos u varass samossa mttaysössä u odotusarvo. Dsreet jaauma varass: Esmer opahetosta / Nopaheto tulosta satuaslmöä uvaava dsreet tasase jaauma pstetodeäösyysfuto: P( X = ) =, =,,3,4,5,6 6 Satuasmuuttuja X odotusarvo: 6 6 E( X) = = Pr( X = ) = = = 3.5 = = 6 6 Satuasmuuttuja X toe momett: 6 6 E( X ) = α = Pr( X = ) = = = = = 6 6 TKK (c) Ila Mell (4) 53 TKK (c) Ila Mell (4) 54

10 TKK (c) Ila Mell (4) 55 Dsreet jaauma varass: Esmer opahetosta / Satuasmuuttuja X varass: 9 35 Var( X) = D ( X) = σ = α = = Satuasmuuttuja X stadardpoeama el eshajota: D( X ) = σ = Dsreet jaauma odotusarvo ja varass: Lasuje järjestäme /5 Nopaheto tulosta satuaslmöä uvaava dsreet tasase jaauma odotusarvo ja varass määräämstä varte tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Kesarvo x p xp x x p x (x ) (x ) p /6 /6 / /4 /6 /6 4 4/ /4 3 3 /6 3/6 9 9/6.5.5 /4 4 4 /6 4/6 6 6/ /4 5 5 /6 5/6 5 5/ /4 6 6 /6 6/ / /4 Σ /6 9 9/ /4 TKK (c) Ila Mell (4) 56 Dsreet jaauma odotusarvo ja varass: Lasuje järjestäme /5 Tauluo rvllä Σ o saraesummat rveltä -6: Sarae : x = Sarae 3: p = Sarae 4: xp = = / 6 = 3.5 Sarae 5: x = 9 Sarae 6: x p = α = 9/ 6 = 5.67 Sarae 7: Sarae 8: ( x ) = ( x ) = 7.5 Sarae 9: x p = σ = 7/ 4 =.97 ( ) Dsreet jaauma odotusarvo ja varass: Lasuje järjestäme 3/5 Satuasmuuttuja X odotusarvo määräämstä varte tarvttavat lasutomtuset o suortettu saraessa -4. saadaa rv Σ saraeesta 4: E( X) = = x p = / 6 = 3.5 TKK (c) Ila Mell (4) 57 TKK (c) Ila Mell (4) 58 Dsreet jaauma odotusarvo ja varass: Lasuje järjestäme 4/5 Satuasmuuttuja X varass vodaa määrätä ahdella er tavalla: Kaava : Var( X ) = α jossa α = E( X ) = x p = E( X ) = xp Kaava : Var( X ) = E( X ) = σ = ( x ) p jossa o ute aavassa. Dsreet jaauma odotusarvo ja varass: Lasuje järjestäme 5/5 Kaava vaatmat lasutomtuset o tehty saraessa -4 ja 5-6: E( X) = = xp = / 6 = 3.5 E( X ) = α = x p = 9/ 6 = 5.67 Kaava muaa 9 35 Var( X ) = α = = = Kaava vaatmat lasutomtuset o tehty saraessa -4 ja 7-9: Var( X) = E( X ) = σ = ( x ) p = =.97 4 Kaava soveltame o sä melessä momutasempaa u aava soveltame, että aavassa o erotuse (x ) määräämses es määrättävä odotusarvo. 7 TKK (c) Ila Mell (4) 59 TKK (c) Ila Mell (4) 6

11 TKK (c) Ila Mell (4) 6 Jatuva jaauma odotusarvo ja varass: Esmer tasasesta jaaumasta / Erää jatuva tasase jaauma theysfuto:, x b f( x) = b, muullo Satuasmuuttuja X odotusarvo: + b b b E( X) = = xf( x) dx= x dx= x b = b Satuasmuuttuja X toe momett: + b 3 b x b = α = = = b 3b = 3 E( X ) x f( x) dx x dx Jatuva jaauma odotusarvo ja varass: Esmer tasasesta jaaumasta / Satuasmuuttuja X varass: b b b Var( X) = D ( X) = σ = α = = 3 Satuasmuuttuja X stadardpoeama: b b D( X ) = σ = = 3 TKK (c) Ila Mell (4) 6 Vao varass Oloo a e-satuae vao. Vao varass o olla: Var( a ) = Tulta: Vao e vahtele satuasoeesta tosee. Vao varass: Perustelu Väte: Vaolle a pätee Var(a) = Perustelu: Var( a) = E( a E( a) ) = E( a a) = E() = osa vaolle a pätee: E(a) = a TKK (c) Ila Mell (4) 63 TKK (c) Ila Mell (4) 64 Leaarmuuose varass Oloo satuasmuuttuja X varass Var(X). Satuasmuuttuja X leaarmuuose Y = a + bx (a ja b vaota) varass o Var( Y) = b Var( X) Leaarmuuose varass: Perustelu Väte: Leaarmuuoselle Y = a + bx pätee Var(Y) = b Var(X). Perustelu: Var( Y ) = Var( a + bx ) = E ( a + bx ) E( a + bx ) = E[ a+ bx a be( X) ] = E[ bx be( X )] = b E[ X E( X) ] = b Var( X) TKK (c) Ila Mell (4) 65 TKK (c) Ila Mell (4) 66

12 TKK (c) Ila Mell (4) 67 Leaarmuuose varass: Kommetteja Satuasmuuttuja X ertome vaolla b mertsee satuasmuuttuja X saame arvoje mttaaava muuttamsta. Satuasmuuttuja X saame arvoje mttaaava muuttame verraollsuusertomella b muuttaa satuasmuuttuja X varassa ertomella b. Vao a lsääme satuasmuuttujaa X mertsee satuasmuuttuja X jaauma todeäösyysmassa srtoa. Todeäösyysmassa srtäme e muuta todeäösyysmassa hajaatuesuutta. Stadardot Oloo X satuasmuuttuja, joa odotusarvo E(X) = ja varass D (X) = σ. Tällö stadardodu satuasmuuttuja X Z = σ odotusarvo E( Z ) = ja varass D( Z ) = TKK (c) Ila Mell (4) 68 Stadardot: Perustelu Oloot E(X) = ja D (X) = σ. Stadardodaa satuasmuuttuja X: X Z = σ Tällö E( Z) = E X = E( X) = = σ σ σ σ σ σ D( Z) = D X = D( X) = σ = σ σ σ σ Summa ja erotuse varass / Oletetaa, että satuasmuuttujat X ja Y ovat rppumattoma. Tarastellaa satuasmuuttuje X ja Y summa X + Y ja erotuse X Y varassa. Huomautus: Satuasmuuttuje X ja Y rppumattomuudella tarotetaa seuraavaa: Se, mtä arvoja satuasmuuttuja X saa, e saa rppua stä, mtä arvoja satuasmuuttuja Y saa ja äätäe, se, mtä arvoja satuasmuuttuja Y saa, e saa rppua stä, mtä arvoja satuasmuuttuja X saa; äste täsmeetää luvussa Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäösyysjaaumat. TKK (c) Ila Mell (4) 69 TKK (c) Ila Mell (4) 7 Summa ja erotuse varass / Rppumattome satuasmuuttuje X ja Y summa X + Y varass o Var( X + Y) = Var( X) + Var( Y) Rppumattome satuasmuuttuje X ja Y erotuse X Y varass o Var( X Y) = Var( X) + Var( Y) Huomautus: Todstus vaat asulottese satuasmuuttuja määrttelemstä ja estetää luvussa Moulotteset satuasmuuttujat ja todeäösyysjaaumat. Summa ja erotuse varass: Kommetteja Oletetaa, että satuasmuuttujat X ja Y ovat rppumattoma. Tällö satuasmuuttuje X ja Y summa ja erotuse varasslle pätee Var( X ± Y) = Var( X) + Var( Y) Huomaa: Var( X Y) Var( X) Var( Y) D( X + Y) D( X) + D( Y) D( X Y) D( X) D( Y) TKK (c) Ila Mell (4) 7 TKK (c) Ila Mell (4) 7

13 TKK (c) Ila Mell (4) 73 Summa varass: Ylestys Oloot satuasmuuttujat X, =,,, rppumattoma ja a, =,,, vaota. Tällö satuasmuuttuje X, =,,, paotetu summa a X varass o = Var ax a Var( X) = = Empre jaauma /3 Oletetaa, että dsreet satuasmuuttuja X mahdollset arvot ovat x, =,,, Ltetää satuasmuuttuja X arvoh symmetrset todeäösyydet Pr( X = x) = p =, =,,, Otaa perustyypssä, ysertasessa satuasotaassa, havatoarvot x oudattavat tätä, s. emprstä jaaumaa. TKK (c) Ila Mell (4) 74 Empre jaauma /3 Empre jaauma 3/3 Suoraa dsreet satuasmuuttuja odotusarvo ja varass määrtelmstä saadaa: E( X) = = xp = x = x = = E( X ) = α = x p = x = = Var( X) = D ( X) = σ = ( x ) p = ( x x) = = Huomaa, että odotusarvo E( X) = = x = x = o luuje x artmeette esarvo ja Var( X) = D ( X) = = ( x x) o luuje x otosvarass. σ = TKK (c) Ila Mell (4) 75 TKK (c) Ila Mell (4) 76 Artmeettse esarvo odotusarvo ja varass / Oloot X, =,,, rppumattoma satuasmuuttuja. Oletetaa lsäs, että satuasmuuttujlla X, =,,, o sama odotusarvo ja varass: E( ) =, D ( ) = σ, =,,, Oloo X = X X X = satuasmuuttuje X, =,,, artmeette esarvo. Artmeettse esarvo odotusarvo ja varass / Tällö E( X ) = D( X ) σ = Huomautusa: Satuasmuuttuje X artmeettse esarvo odotusarvo o sama u ysttäste muuttuje yhtee odotusarvo. Satuasmuuttuje X artmeette esarvo vahtelee varasslla mtattua vähemmä u muuttujat tse. TKK (c) Ila Mell (4) 77 TKK (c) Ila Mell (4) 78

14 TKK (c) Ila Mell (4) 79 Artmeettse esarvo odotusarvo ja varass: Perustelu Oloot X, =,,, rppumattoma satuasmuuttuja, jolle Tällö E( ) =, D ( ) = σ, =,,, X X E( X) = E X E X E( X) = = = = = D( X ) = D X D X D ( X) = = σ = σ = σ = Jaaume tuusluvut >> Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) 8 Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Marov epäyhtälö Avasaat Marov epäyhtälö Tshebyshev epäyhtälö Oloo g(x) satuasmuuttuja X postve reaalarvoe futo, joa odotusarvo o E(g(X)) Tällö joaselle reaalselle vaolle a > pätee Marov epäyhtälö ( g X a) Pr ( ) E( g( X )) a TKK (c) Ila Mell (4) 8 TKK (c) Ila Mell (4) 8 Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Marov epäyhtälö: Todstus Todstamme Marov epäyhtälö jatuve satuasmuuttuje tapausessa. Oloo g(x) satuasmuuttuja X postve reaalarvoe futo, joa odotusarvo o E(g(X)). Oloo satuasmuuttuja X theysfuto f(x) ja oloo a > vao. Marov epäyhtälö saadaa epäyhtälöetjusta + E( g( X)) = g( x) f( x) dx a f( x) dx S = apr( g( X) a) jossa S = x g( x) a { } Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Marov epäyhtälö: Kommetteja / Marov epäyhtälö E( g( X )) Pr ( g( X) a) a muaa todeäösyys slle, että melvaltase satuasmuuttuja X (jolle odotusarvo E(g(X)) o olemassa) postve futo g(x) saa suurempa arvoja u a >, o oretaa E( ( )) g X a TKK (c) Ila Mell (4) 83 TKK (c) Ila Mell (4) 84

15 TKK (c) Ila Mell (4) 85 Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Marov epäyhtälö: Kommetteja / Marov epäyhtälö erostapausea saadaa postvslle satuasmuuttujlle X epäyhtälö E( X ) Pr( X a) a jossa a >. Ste melvaltase postvse satuasmuuttuja (jolle odotusarvo E(X) o olemassa) todeäösyysjaauma todeäösyysmassasta oretaa E( X ) % a o etäsyyttä a > auempaa orgosta. Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Tshebyshev epäyhtälö Oloo X satuasmuuttuja, joa odotusarvo o E(X) = ja varass o Var(X) = σ Tällö pätee Tshebyshev epäyhtälö ( σ) Pr X TKK (c) Ila Mell (4) 86 Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Tshebyshev epäyhtälö: Todstus Todstamme Tshebyshev epäyhtälö jatuve satuasmuuttuje tapausessa. Oloo X jatuva satuasmuuttuja. Oloo satuasmuuttuja X theysfuto f(x), se odotusarvo E(X) = ja varass Var(X) = σ seä oloo > vao. Tshebyshev epäyhtälö seuraa Marov epäyhtälöstä E( g( X)) Pr ( g( X) a) a valtsemalla gx ( ) = ( x ) ; = E( X) a= σ ; σ = Var( X) = E[ g( X)] Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Tshebyshev epäyhtälö: Kommetteja /3 Tshebyshev epäyhtälö Pr( X σ) muaa melvaltase satuasmuuttuja X (jolla odotusarvo E(X) = ja varass Var(X) = σ ovat olemassa) todeäösyysmassasta oretaa % o etäsyyttä σ auempaa jaauma paopsteestä. TKK (c) Ila Mell (4) 87 TKK (c) Ila Mell (4) 88 Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Tshebyshev epäyhtälö: Kommetteja /3 Jos X o melvaltae satuasmuuttuja, jolla o odotusarvo ja varass, Tshebyshev epäyhtälö ataa absoluuttse yläraja satuasmuuttuja X todeäösyysjaauma hätäaluede todeäösyysmassa osuudelle. Jos satuasmuuttuja X jaauma spesfodaa taremm, hätäaluede todeäösyysmassa osuudesta vodaa ataa tarempa arvota. Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Tshebyshev epäyhtälö: Kommetteja 3/3 Esmer: Tshebyshev epäyhtälö muaa alle satuasmuuttujlle X, jolla o odotusarvo E(X) = ja varass Var(X) = σ, pätee Pr( X 3σ) 9 Jos tedämme, että X oudattaa ormaaljaaumaa (s. luua Jatuva jaauma), saadaa (esmers ormaaljaaume tauluode avulla) taremp tulos: ( X σ) Pr 3.3 % TKK (c) Ila Mell (4) 89 TKK (c) Ila Mell (4) 9

16 TKK (c) Ila Mell (4) 9 Jaaume tuusluvut Momett Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt >> Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la Avasaat Kesusmomett Momett Orgomomett TKK (c) Ila Mell (4) 9 Momett Orgomomett Oloo X satuasmuuttuja. Tällö satuasmuuttuja X odotusarvo E( X ) = α o satuasmuuttuja X. momett el. momett orgo suhtee. Momett Orgomomett: Erostapausa Oloo E( X ) = α satuasmuuttuja X. momett Ertysest: α = α = E( X ) = Ste satuasmuuttuja X. momett o satuasmuuttuja X odotusarvo. TKK (c) Ila Mell (4) 93 TKK (c) Ila Mell (4) 94 Momett Kesusmomett Oloo X satuasmuuttuja, joa odotusarvo o E( X ) = Tällö satuasmuuttuja ( X ) odotusarvo E ( X ) = o satuasmuuttuja X. esusmomett el. momett paopstee suhtee. Momett Kesusmomett: Erostapausa Oloo E ( X ) = satuasmuuttuja X. esusmomett el. momett paopstee suhtee. Ertysest: = = E ( X ) = σ = Var( X) = D ( X) Ste satuasmuuttuja X. esusmomett hävää aa ja. esusmomett o satuasmuuttuja X varass. TKK (c) Ila Mell (4) 95 TKK (c) Ila Mell (4) 96

17 TKK (c) Ila Mell (4) 97 Momett Momette olemassaolo Jaaume tuusluvut Satuasmuuttuja X. orgomomett o olemassa, jos E( X ) < Satuasmuuttuja X. esusmomett o olemassa, jos vastaava orgomomett o olemassa. Vodaa osottaa, että jos E( X ) < jolle, E( X ) < alle < Jos ss satuasmuuttujalla o. orgomomett, sllä o myös a alempe ertaluuje momett. Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett >> Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) 98 Vous ja hupuuus Vous ja hupuuus Momett Avasaat Hupuuus Kesusmomett Orgomomett Vous Oloo o α = E( X ), =,,3, satuasmuuttuja X. orgomomett. Oloo = E ( X α), =,,3, satuasmuuttuja X. esusmomett. Huomaa: α = E( X ) = = E ( X ) = Var( X) TKK (c) Ila Mell (4) 99 TKK (c) Ila Mell (4) Vous ja hupuuus Vous Vous ja hupuuus Todeäösyysjaaume vous Tuusluua 3 γ = 3 äytetää todeäösyysjaaume voude mttaa. Jos todeäösyysjaauma pstetodeäösyys- ta theysfuto o yshuppue, pätee seuraava: γ < : Jaauma o egatvsest vo el vo vasemmalle, jollo jaauma vase hätä o ptemp u oea hätä. γ = : Jaauma o symmetre. γ > : Jaauma o postvsest vo el vo oealle, jollo jaauma oea hätä o ptemp u vase hätä. Huomautus: Normaaljaaumalle γ =. TKK (c) Ila Mell (4) TKK (c) Ila Mell (4)

18 TKK (c) Ila Mell (4) 3 Vous ja hupuuus Todeäösyysjaaume vous: Havaollstus Alla o uvattua olme yshuppusta theysfutota. χ (5) N(,) χ (5) Vous ja hupuuus Hupuuus Tuusluua 4 γ = 3 äytetää todeäösyysjaaume hupuuude mttaa. γ < : Jaauma o egatvsest vo el vo vasemmalle. γ = : Jaauma o symmetre. γ > : Jaauma o postvsest vo el vo oealle. TKK (c) Ila Mell (4) 4 Vous ja hupuuus Todeäösyysjaaume hupuuus Jaaume tuusluvut Jos todeäösyysjaauma pstetodeäösyys- ta theysfuto o yshuppue, pätee seuraava: γ > : Jaauma o hupuas (ormaaljaaumaa verrattua). γ < : Jaauma o laaea (ormaaljaaumaa verrattua). Huomautus: Normaaljaaumalle γ =. Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus >> Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) 5 TKK (c) Ila Mell (4) 6 Kvatl määrtelmä Avasaat Desl Kvatl Kvartl Medaa Prosettpste Oloo X satuasmuuttuja. Oloo lsäs < p < Jos luu x p toteuttaa ehdot Pr(X x p ) p Pr(X x p ) p saomme, että x p o satuasmuuttuja X ja se jaauma vatl ertaluua p. Kvatl x p toteuttaa ss epäyhtälöt Pr(X < x p ) p Pr(X x p ) TKK (c) Ila Mell (4) 7 TKK (c) Ila Mell (4) 8

19 TKK (c) Ila Mell (4) 9 Kvatl määrtelmä: Kommetteja vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole mometteja. evät välttämättä ole ysästtesä: () Dsreette satuasmuuttuje vatlt ovat use moästtesä. () Jatuve satuasmuuttuje vatlt ovat ysästtesä; s. seuraavaa alvoa. Jatuva satuasmuuttuja vatlt Oloo F(x) = Pr(X x) jatuva satuasmuuttuja X ertymäfuto. Tällö satuasmuuttuja X vatl x p toteuttaa yhtälö F(x p ) = p Kvatl x p jaaa satuasmuuttuja X jaauma todeäösyysmassa ahtee osaa, että massasta p % o vatlsta x p vasemmalla ja ( p) % o vatlsta x p oealla. TKK (c) Ila Mell (4) Jatuva satuasmuuttuja vatlt: Esmer / Jatuva satuasmuuttuja vatlt: Esmer / Kuva oealla esttää stadardodu ormaaljaauma N(, ) ertymäfutota Φ(z). Stadardodu ormaaljaauma N(, ) tauluode muaa: Φ (.5) = Pr( Z.5).7 Ste x.7.5 N(, )-jaauma ertymäfuto Kuva oealla esttää stadardodu ormaaljaauma N(, ) theysfutota. Stadardodu ormaaljaauma N(, ) tauluode muaa: Aluee A pta-ala.5 = fz ( z) dz = Pr( Z.5).7 Ste x.7.5 N(, )-jaauma theysfuto A TKK (c) Ila Mell (4) TKK (c) Ila Mell (4) ja tlastollset tauluot Prosettpsteet Usemmssa todeäösyyslasea ja tlastotetee opprjossa o tauluotua eseste tlastollsessa päättelyssä äytettäve jatuve jaaume vatleja x p ja tä vastaava todeäösyysä p. Usemmssa tlastollsssa tetooeohjelmssa o alohjelma, jota lasevat tavallsmpe jatuve jaaume vatleja x p ja tä vastaava todeäösyysä p. Lsätetoja: s. luua Normaaljaaumasta johdettuja jaauma. Jos p o muotoa p = q/, q =,,, 99 vatla x p utsutaa q. prosettpstees. Jatuva satuasmuuttuja tapausessa q. prosettpste jaaa jaauma todeäösyysmassa ahtee osaa, että massasta q % o q. prosettpsteestä vasemmalla ja ( q)% o q. prosettpsteestä oealla. TKK (c) Ila Mell (4) 3 TKK (c) Ila Mell (4) 4

20 TKK (c) Ila Mell (4) 5 Deslt Kvartlt / Jos p o muotoa p = q/, q =,,, 9 vatla x p utsutaa q. desls. Jatuva satuasmuuttuja tapausessa q. desl jaaa jaauma todeäösyysmassa ahtee osaa, että massasta q % o q. deslstä vasemmalla ja ( q)% o q. deslstä oealla. Jos p o muotoa p = 5 q/, q =,, 3 vatla x p utsutaa q. vartls. Jatuva satuasmuuttuja tapausessa q. vartl jaaa satuasmuuttuja X jaauma todeäösyysmassa ahtee osaa, että massasta 5 q % o q. vartlsta vasemmalla ja ( 5 q)% o q. vartlsta oealla. TKK (c) Ila Mell (4) 6 Kvartlt / Medaa Kvartleja mertää tavallsest symbolella Q, Q, Q 3 ja saotaa, että Q = alavartl Q = esvartl Q 3 = ylävartl Jatuva satuasmuuttuja tapausessa vartlt jaavat jaauma todeäösyysmassa eljää yhtä suuree osaa: 5 % massasta o vartlsta Q vasemmalle 5 % massasta o vartle Q ja Q välssä 5 % massasta o vartle Q ja Q 3 välssä 5 % massasta o vartlsta Q 3 oealle Jos p =.5 vatla x p utsutaa medaas. Medaaa mertää tavallsest symbollla Me. Jatuva satuasmuuttuja tapausessa medaa Me jaaa jaauma todeäösyysmassa ahtee osaa, että massasta 5 % o medaasta vasemmalla ja 5 % o medaasta oealla. TKK (c) Ila Mell (4) 7 TKK (c) Ila Mell (4) 8 Medaa: Kommetteja Medaa: Esmer Jaauma medaa e välttämättä ole ysästtee. Jaauma medaa yhtyy jaauma 5. prosettpsteesee, 5. desl ja esvartl Q. Medaa vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Jos satuasmuuttuja X jaauma o symmetre suora x = a suhtee, jaauma medaa yhtyy psteesee a: Me = a Jos symmetrsellä jaaumalla o odotusarvo E(X) =, jaauma medaa yhtyy psteesee : Me = Kuva oealla esttää espoettjaauma Exp() theysfutota x f ( x) = e, x välllä [, 4]. Jaauma medaa saadaa ratasemalla yhtälö x t e dt x = e =.5 x: suhtee. Ste Me = x = log().69 x t = e Exp()-jaauma theysfuto..8 5 % %. 3 4 Me TKK (c) Ila Mell (4) 9 TKK (c) Ila Mell (4)

21 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus >> Suurte luuje la Avasaat Masm TKK (c) Ila Mell (4) Dsreet satuasmuuttuja mood Dsreet satuasmuuttuja mood: Esmer Oloo X dsreett satuasmuuttuja, joa pstetodeäösyysfuto o f(x) = Pr(X = x) Pste Mo o dsreet satuasmuuttuja X ja se jaauma mood, jos pstetodeäösyysfuto f(x) saavuttaa masmsa psteessä x = Mo: f( Mo) = max f( x) x Kuva oealla esttää bomjaauma B(, /3) pstetodeäösyysfutota x x f( x) = x 3 3 Jaauma mood Mo o psteessä x=4 B(,/3)-jaauma theysfuto Mo TKK (c) Ila Mell (4) 3 TKK (c) Ila Mell (4) 4 Jatuva satuasmuuttuja mood Jatuva satuasmuuttuja mood: Esmer Oloo X jatuva satuasmuuttuja, joa theysfuto o f(x) Pste Mo o jatuva satuasmuuttuja X ja se jaauma mood, jos theysfuto f(x) saavuttaa masmsa psteessä x = Mo: f( Mo) = max f( x) x Kuva oealla esttää erää seotetu ormaaljaauma N theysfutota f. Theysfuto f o ashuppue ja symmetre suora x = suhtee. Jaaumalla N o as loaala mooda Mo ja Mo. Jaauma N theysfuto Mo Mo TKK (c) Ila Mell (4) 5 TKK (c) Ila Mell (4) 6

22 TKK (c) Ila Mell (4) 7 Satuasmuuttuja mood: Kommetteja Jaauma mood e välttämättä ole ysästtee; s. edellstä alvoa. vodaa määrätä myös sellaslle satuasmuuttujlle, jolla e ole odotusarvoa. Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus >> Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) 8 Suurte luuje la Avasaat Asymptootte äyttäytyme Artmeette esarvo Stoaste overgess Suurte luuje la Tlastolle stablteett Suurte luuje la Suurte luuje la: Formulot Oloo X, =,, 3, joo rppumattoma satuasmuuttuja, jolla o sama odotusarvo ja varass: E(X ) =, D (X ) = σ, =,, 3, Määrtellää satuasmuuttuje X, =,,, artmeette esarvo: X Tällö pätee (heo) suurte luuje la: lm Pr X > ε = + = = X ( ) TKK (c) Ila Mell (4) 9 TKK (c) Ila Mell (4) 3 Suurte luuje la Suurte luuje la: Kommetteja / Suurte luuje lalle estetää todstus luvussa Kovergessästteet ja raja-arvolauseet. Suurte luuje la lmastaa use sao seuraavast: Samo jaautuede satuasmuuttuje artmeette esarvo lähestyy muuttuje luumäärä asvaessa muuttuje yhtestä odotusarvoa sellasella tavalla, että poeame todeäösyys satuasmuuttuje yhtesestä odotusarvosta lähestyy luua olla el poeamat tulevat yhä harvasemms. Suurte luuje laa vodaa ptää matemaattsea formulota tlastollse stablteet ästteelle. Suurte luuje la Suurte luuje la: Kommetteja / Tässä formulotua suurte luuje laa utsutaa heos suurte luuje las. Suurte luuje la osee satuasmuuttuje asymptoottsta äyttäytymstä samaa tapaa u luvussa Jatuva jaauma estettävä esee rajaarvolause. Suurte luuje lassa estyvä rajaäyttäytymse muoto o esmer stoasta overgessästtestä; s. luua Kovergessästteet ja raja-arvolauseet. Suurte luuje lasta o olemassa ylesempä muotoja, jossa vodaa levetää samojaautuesuus-ja rppumattomuusoletusa. TKK (c) Ila Mell (4) 3 TKK (c) Ila Mell (4) 3