Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Transkriptio

1 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko, Päätös, Test, Testsuure, Vahtoehtoe hypotees, Väte 4.. Teste kostruot Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Nollahypotees, Normaaljakauma, Osamäärätestsuure, Otos, Parametr, Parametravaruus, Päätös, Suurmma uskottavuude estmaattor, Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä, Test, Testsuure, Tyhjetävyys, Uskottavuusfukto, Uskottavuusosamäärä, Vahtoehtoe hypotees 4.3. Teste vertalu. laj vrhe,. laj vrhe, Harhato test, Hylkäysalue, Hylkäysvrhe, Hypotees, Hyväksymsalue, Hyväksymsvrhe, Kakssuutae hypotees, Karl ja Rub teoreema, Kelvolle p arvo, Merktsevyystaso, Mootoe uskottavuusosamäärä, Neyma ja Pearso lemma, Nollahypotees, Osamäärätestsuure, Otos, Parametr, Parametravaruus, p arvo, Päätös, Suurmma uskottavuude estmaattor, Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä, Tasasest vomakka test, Test, Test koko, Test taso, Testsuure, Tyhjetävyys, Uskottavuusfukto, Uskottavuusosamäärä, Vahtoehtoe hypotees, Vrheet testauksessa, Vrhetodeäkösyys, Vomakkuus, Vomakkuusfukto, Yhdstetty hypotees, Ykskertae hypotees, Ykssuutae hypotees Ilkka Mell (7) /6

2 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Ilkka Mell (7) /6

3 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hypotees Olkoo f( x; ) satuasmuuttuja X pstetodeäkösyys ta theysfukto, joka rppuu tutemattomasta parametrsta. Olkoo X, X,, X satuasotos satuasmuuttuja X jakaumasta, joka pstetodeäkösyys ta theysfukto f(x;) rppuu parametrsta. Tällö havaot X, X,, X ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys ta theysfukto f(x;): Olkoo X, X, K, X X f( x; ),,, K, X (X, X,, X ) satuasmuuttuje X, X,, X muodostama vektor. Olkoot satuasmuuttuje X, X,, X havatut arvot Merktää tätä: x, x,, x X x, X x,, X x Satuasmuuttuje X, X,, X havatut arvot x, x,, x määräävät havatopstee x (x, x,, x ) Jos f(x;) o satuasmuuttuja X pstetodeäkösyys ta theysfukto, joka rppuu parametrsta, ajattelemme, että fukto f(x;) määrttelemä todeäkösyysjakauma kuvaa satuasmuuttuja X arvoje vahtelua perusjoukossa ja o jotak perusjouko omasuutta kuvaava parametr. Tlastolle hypotees o perusjouko parametra koskeva väte. Hypoteese testaukse tavotteea o päättää kump kahdesta vastakkasesta perusjouko parametra koskevasta hypoteessta el vätteestä o tos perusjoukosta pomtu otokse perusteella. Hypotees testaukse vastakkasa hypoteeseja kutsutaa ollahypoteesks ja vahtoehtoseks hypoteesks. Merktää H : Nollahypotees H : Vahtoehtoe hypotees Olkoo perusjoukkoa kuvaava parametr ja olkoo Θ parametravaruus el mahdollste parametr arvoje joukko. Nollahypotees H ylee muoto o Ilkka Mell (7) 3/6

4 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus H : Θ Θ jossa Θ o jok parametravaruude Θ osajoukko. Tällö vahtoehtoe hypotees H ylee muoto o H: Θ Θ jossa Θ o ollahypotees H määrttelemä jouko Θ komplemett. Esmerkkejä: Olkoo ollahypotees H muotoa H : jossa o parametr jok mahdolle arvo. Tällö vahtoehtoe hypotees H o muotoa H: Olkoo ollahypotees H muotoa H : jossa o parametr jok mahdolle arvo. Tällö vahtoehtoe hypotees H o muotoa H: < Olkoo ollahypotees H muotoa H : jossa o parametr jok mahdolle arvo. Tällö vahtoehtoe hypotees H o muotoa H: > Test Hypotees testauksessa pyrtää päättämää otoksesta saadu formaato perusteella jätetääkö ollahypotees H vomaa (el hyväksytääkö ollahypotees H ) va hylätääkö ollahypotees H ja hyväksytää vahtoehtoe hypotees H. Test o päätössäätö, joka jakaa mahdollste havatoarvoje jouko kahtee osajoukkoo: () () Nde havatoarvoje joukko, jotka johtavat ollahypotees H hyväksymsee. Nde havatoarvoje joukko, jotka johtavat ollahypotees H hylkäämsee ja vahtoehtose hypotees H hyväksymsee. Stä otosavaruude osajoukkoa, joka johtaa ollahypotees H hylkäämsee kutsutaa test hylkäysalueeks ta krttseks alueeks. Stä otosavaruude osajoukkoa, joka johtaa ollahypotees H jäämsee vomaa kutsutaa test hyväksymsalueeks. Ste test o päätössäätö, joka jakaa otosavaruude hyväksymsalueesee ja hylkäysalueesee. Hylkäysalue pyrtää valtsemaa ste, että ollahypoteessta H vodaa ptää k, elle otoksesta saatu formaato ole kyll vahvaa ollahypotees H hylkäämseks. Ilkka Mell (7) 4/6

5 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Olkoo X (,,, ) X X K X perusjoukosta pomttu otos. Test perustetaa aa johok testsuureesee. Testsuure o otokse fukto; merktää testsuuretta ylesest: W X W X X K X ( ) (,,, ) Esmerkk.: Normaaljakauma Olkoo X (,,, ) X X K X otos ormaaljakaumasta N(µ,σ ) ja olkoo ollahypoteesa H :µ µ ja vahtoehtosea hypoteesa H:µ < µ Koska havatoje artmeette keskarvo X X o tyhjetävä ja paras harhato estmaattor parametrlle µ, o luotevaa perustaa test ollahypoteeslle H tuuslukuu X. O järkevää valta hylkäysalueeks joukko {( x, x, K, x ) x < } jollo hyväksymsalue saa muodo {( x, x, K, x ) x } Tarkastelemme myöhemm kappaleessa 4.3 stä, mte krtte raja ta arvo o valttava, jotta testsuuree todeäkösyys joutua hylkäysalueelle ollahypotees H pätessä el todeäkösyys ols halutu suurue. Pr {( x, x,, x ) x } K < Ilkka Mell (7) 5/6

6 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Teste kostruot Uskottavuusosamäärätest Uskottavuusosamäärämeetelmä o ylee meetelmä teste kostruomseks ja sllä o lähee kytketä suurmma uskottavuude estmotmeetelmää. Satuasotos Olkoo X, X,, X satuasotos satuasmuuttuja X jakaumasta, joka pstetodeäkösyys ta theysfukto f(x;) rppuu parametrsta. Tällö havaot X, X,, X ovat rppumattoma, dettsest jakautueta satuasmuuttuja, jolla o sama pstetodeäkösyys ta theysfukto f(x;): X, X, K, X X f( x; ),,, K, Uskottavuusfukto Koska havaot X, X,, X muodostavat satuasotokse jakaumasta f(x;), otokse X (,,, ) X X K X yhtesjakauma pstetodeäkösyys ta theysfukto o jossa f( x, x, K, x ; ) f( x ; ) f( x ; ) L f( x ; ) f( x; ),,, K, o yksttäsee havatoo X,,,, lttyvä pstetodeäkösyys ta theysfukto. Otokse X, X,, X uskottavuusfukto L( ; x, x, K, x ) f( x, x, K, x ; ) o havatoje X, X,, X yhtesjakauma pstetodeäkösyys ta theysfukto f arvo psteessä x, x,, x tulkttua parametr arvoje fuktoks. Uskottavuusperaattee mukaa uskottavuusfukto L ssältää kake (stokastse) formaato otoksesta. Osamäärätestsuure ja osamäärätest Olkoo jakaumaa f(x;) kuvaava parametr ja olkoo Θ parametravaruus el mahdollste parametr arvoje joukko. Olkoo ollahypotees H muotoa H : Θ Θ Ilkka Mell (7) 6/6

7 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus jossa Θ o jok parametravaruude Θ osajoukko ja olkoo vahtoehtoe hypotees H muotoa H: Θ Θ jossa Θ o jouko Θ komplemett. Osamäärätestsuure hypoteeslle H hypoteesa H vastaa o Koska ja ste sup L( ; x) Θ λ( x) sup L( ; x) Θ Θ Θ Θ sup L( ; x) sup L( ; x) λ(x) Θ Osamäärätest o päätössäätö, joka hylkäysalue el krtte alue o muotoa { x λ( x) } jossa o toteuttaa ehdo Tarkastelemme krttse raja el arvo valtsemsta kappaleessa 4.3. Jos osamäärätestsuure λ(x) saa pee (lähellä ollaa oleva) arvo, o vahtoehtose hypotees H rajottamassa parametravaruude Θ osajoukossa Θ sellasa parametr arvoja, jotka tekevät havatusta otoksesta uskottavamma ku mkää sellae parametr arvo, joka kuuluu ollahypotees H rajottamaa parametravaruude Θ osajoukkoo Θ. Ste peet (lähellä ollaa olevat) osamäärätestsuuree λ(x) arvot vttaavat she, että ollahypotees saattaa olla syytä hylätä. Jos osamäärätestsuure λ(x) saa suure (lähellä ykköstä oleva) arvo, o ollahypotees H rajottamassa parametravaruude Θ osajoukossa Θ sellasa parametr arvoja, jotka tekevät havatusta otoksesta lähes yhtä uskottava ku melvaltae parametr arvo, joka kuuluu vahtoehtose hypotees H rajottamaa parametravaruude Θ osajoukkoo Θ. Ste suuret (lähellä ykköstä olevat) osamäärätestsuuree λ(x) arvot vttaavat she, että ollahypoteesa e ole syytä hylätä. Olkoo ˆ ˆ( x) se parametr arvo, joka maksmo uskottavuusfukto L(;x) koko parametravaruudessa Θ ja olkoo ˆ ˆ( x ) Ilkka Mell (7) 7/6

8 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus se parametr arvo, joka maksmo uskottavuusfukto L(;x) ollahypotees H rajottamassa parametravaruude Θ osajoukossa Θ. Tällö Huomaa, että L( ˆ ; x) λ( x) L( ˆ; x) ˆ ˆ( X) o parametr rajottamato suurmma uskottavuude estmaattor, joka saadaa maksmomalla uskottavuusfukto L(;x) koko parametravaruudessa Θ ja ˆ ˆ( X ) o parametr rajotettu suurmma uskottavuude estmaattor, joka saadaa maksmomalla uskottavuusfukto L(;x) ollahypotees H rajottamassa parametravaruude Θ osajoukossa Θ. Esmerkk.: Osamäärätest ormaaljakauma odotusarvolle Tarkastelemme tässä uskottavuusosamäärätestä ormaaljakauma odotusarvolle, ku jakauma varass o tuettu; vrt. tehtävää.. Satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ E( X) σ Var( X) E[( X µ ) ] jos se theysfukto o / f( x; µ, σ ) ( πσ ) exp ( x µ ) σ < µ <+, σ >, < x<+ Parametr µ o ormaaljakauma odotusarvo ja parametr σ o ormaaljakauma varass. Oletetaa, että havaot X, X,, X muodostavat satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,). Tällö X, X, K, X X N( µ,),,, K, Olkoo ollahypotees H muotoa H :µ µ ja vahtoehtoe hypotees H muotoa H:µ µ Parametravaruus o tässä muotoa Θ { µ < µ < + } Ilkka Mell (7) 8/6

9 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Määrätää osamäärätest hypoteeslle H hypoteesa H vastaa. Osamäärätestsuure λ(x) o tässä max L( µ ; x) Θ λ( x) max L( µ ; x) Θ Koska ollahypotees H rajottama parametravaruude Θ osajoukko o muotoa Θ { µ } osamäärätestsuuree osottaja o L ( µ ; x) Osamäärätestsuuree mttäjä o L ( ˆ µ ; x) jossa ˆµ maksmo uskottavuusfukto L ( µ ; x ) parametr µ suhtee koko parametravaruudessa Θ. Luvussa 3 o äytetty, että parametr µ rajottamato suurmma uskottavuude estmaattor ˆµ o havatoje artmeette keskarvo X X Ste osamäärätestsuure λ(x) saa muodo L( µ ; x) λ( x) Lx ( ; x) / ( π ) exp ( x µ ) / ( π) exp ( x x) exp ( ) ( ) x µ x x Osamäärätestsuure λ(x) vodaa krjottaa ykskertasempaa muotoo, ku otetaa huomoo, että koska ( x µ ) ( x x + x µ ) ( x x) ( x x)( x µ ) ( x µ ) + ( x x) + x ( µ ) Ilkka Mell (7) 9/6

10 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus ( x x)( x µ ) ( x µ ) ( x x) ( x µ ) x x ( x µ ) x x Ste osamäärätestsuure λ(x) ollahypoteeslle H vahtoehtosta hypoteesa H vastaa vodaa esttää muodossa λ ( ) exp ( ) x µ x Osamäärätest o test, joka hylkää ollahypotees H pelle testsuuree λ(x) arvolle. Hylkäysalue { x λ( x) } vodaa esttää ekvvaletssa muodossa { x x µ log( ) / } Ku vahtelee välllä [,], log( ) / vahtelee välllä [, ). Ste osamäärätest hylkää ollahypotees H, jos havatoarvoje artmeette keskarvo x pokkeaa parametr µ ollahypotees H kttämästä arvosta µ eemmä ku jok ee test tekemstä ktetty lukuarvo. Olkoo tuusluku T(X) o tyhjetävä parametrlle ja olkoo se pstetodeäkösyys ta theysfukto g(t;). Tarkastellaa osamäärätestä, joka perustuu tuuslukuu T ja se uskottavuusfuktoo L (;t) g(t;) Olkoo tuuslukuu T perustuvaa osamäärätestsuure λ (t). Koska kakk otoksee ssältyvä formaato parametrsta ssältyy tuuslukuu T, tutus luotevalta, että tuuslukuu T perustuva test o yhtä hyvä ku otoksee X perustuva test. Itse asassa ämä testt ovat ekvvaletteja, kute seuraava lause osottaa. Lause: Todstus: Oletetaa, että tuusluku T(X) o tyhjetävä parametrlle. Olkoo λ (t) tuuslukuu T perustuva osamäärätest ja olkoo λ(x) otoksee X perustuva osamäärätest. Tällö λ ( T ( x)) λ( x) jokaselle havatopsteelle x. Koska tuusluku T o tyhjetävä parametrlle, faktorotteoreemasta (ks. lukua ) seuraa, että otokse X pstetodeäkösyys ta theysfukto f(x;) vodaa esttää muodossa Ilkka Mell (7) /6

11 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus f( x; ) g( T( x); ) h( x) jossa g(t;) o tuusluvu T pstetodeäkösyys ta theysfukto ja h(x) e rpu parametrsta. Ste sup L( ; x) Θ λ( x) sup L( ; x) Θ sup f ( x; ) Θ sup f ( x; ) Θ sup g( T( x); ) h( x) Θ sup g( T( x); ) h( x) Θ sup gt ( ( x); ) Θ sup gt ( ( x); ) Θ sup L ( ; T( x)) Θ sup L ( ; T( x)) Θ λ ( T( x)) Esmerkk.: Osamäärätest ormaaljakauma odotusarvolle Tarkastelemme tässä uskottavuusosamäärätestä ormaaljakauma odotusarvolle, ku jakauma varass e ole tuettu; vrt. tehtävää.. Satuasmuuttuja X oudattaa ormaaljakaumaa parametre µ E( X) σ Var( X) E[( X µ ) ] jos se theysfukto o muotoa / f( x; µ, σ ) ( πσ ) exp ( x µ ) σ < µ <+, σ >, < x<+ Parametr µ o ormaaljakauma odotusarvo ja parametr σ o ormaaljakauma varass. Oletetaa, että havaot X, X,, X muodostavat satuasotokse ormaaljakaumasta N(µ,σ ). Tällö X, X, K, X X N( µσ, ),,, K, Ilkka Mell (7) /6

12 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Olkoo ollahypotees H muotoa H :µ µ ja vahtoehtoe hypotees H muotoa H:µ > µ Parametravaruutea o tässä Θ < <+ { µ, σ µ, σ } Nollahypotees H rajottama parametravaruude Θ osajoukko o Θ { µ, σ µ µ, σ } Määrätää osamäärätestsuure hypoteeslle H hypoteesa H vastaa. Parametr σ o tässä kusaparametr: σ o kyllä mall lttyvä tutemato parametr, mutta se arvosta e olla säsä kostueta. Osamäärätestsuure λ(x) o tässä muotoa max L( µσ, ; x) Θ λ( x) max L( µσ, ; x) Testsuuree mttäjä o Θ L ( ˆˆ µσ, ; x) jossa ˆµ ja σ ˆ maksmovat uskottavuusfukto L ( µσ, ; x ) koko parametravaruudessa Θ parametre µ ja σ suhtee. Luvussa 3 o äytetty, että parametr µ rajottamato suurmma uskottavuude estmaattor ˆµ o havatoje artmeette keskarvo X X ja parametr σ rajottamato suurmma uskottavuude estmaattor σ ˆ o havatoje (harhae) otosvarass σˆ ( ) X X Jos ˆ µ x µ, uskottavuusfukto L ( µσ, ; x ) rajotettu maksm o sama ku se rajottamato maksm, mutta jos ˆ µ x > µ, se rajotettu maksm o jossa L µ σˆ (, ; x) σ ˆ ( µ ) X Ilkka Mell (7) /6

13 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Ste osamäärätestsuure λ(x) saa muodo, jos x µ λ ( x) L( µ ˆ, σ; x), jos x > µ Lx (, σˆ ; x) Tarkastellaa osamäärätestsuuretta λ(x) lähemm tapauksessa x > µ. Tällö koska ja L( µ, σˆ ; x) λ( x) Lx (, σˆ; x) / ( πσ ˆ) exp ( ) ˆ x µ σ / ( πσˆ) exp ( x ) x σˆ σˆ σˆ / ( x µ ) σˆ ( x x) σˆ Ste osamäärätestsuure λ(x) saa muodo σˆ λ( x) σˆ / / ( x µ ) ( x x) Ottamalla huomoo se, että (ks. esmerkkä 4.) sekä lsäks se, että ( x µ ) ( x x) + x ( µ ) s x x ( ) osamäärätestsuure λ(x) vodaa krjottaa muotoo Ilkka Mell (7) 3/6

14 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus jossa λ( x) / ( x µ ) ( x x) / ( x x) + x ( µ ) ( x x) + + x µ t s/ x ( µ ) ( ) / t + / ( x x) ( x µ ) s / / o tavaomae t testsuure ollahypoteeslle H vahtoehtosta hypoteesa H vastaa. Luvussa o äytetty, että t t ( ) jos ollahypotees H pätee. Osamäärätest hylkää ollahypotees H pelle testsuuree λ(x) arvolle. Hylkäysalue { x λ( x) } vodaa krjottaa ekvvalett muotoo / { x t ( )( ) } / Ku vahtelee välllä [,], ( )( ) vahtelee välllä [, ). Ste osamäärätest hylkää ollahypotees H, jos tavaomae t testsuure saa suuremma arvo ku jok ee test tekemstä ktetty lukuarvo. Ilkka Mell (7) 4/6

15 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.3. Teste vertalu Hylätessää ta hyväksyessää ollahypotees test tekjä vo aa tehdä myös vrheellse päätökse. Tavallsest testejä vertallaa vertalemalla vrhede todeäkösyyksä. Vrheet testauksessa, vrhetodeäkösyydet ja test vomakkuus Hylkäysvrhe ja hyväksymsvrhe Olkoo perusjoukkoa kuvaava parametr ja olkoo Θ parametravaruus el mahdollste parametr arvoje joukko. Olkoo ollahypotees H muotoa H : Θ Θ jossa Θ o jok parametravaruude Θ osajoukko. Tällö vahtoehtoe hypotees H vodaa esttää muodossa H: Θ Θ jossa Θ o jouko Θ komplemett. Jos ollahypotees H hylätää sllo, ku se o tos tehdää. laj vrhe el hylkäysvrhe. Jos ollahypotees H hyväksytää sllo, ku se o epätos tehdää. laj vrhe el hyväksymsvrhe. Vrheet testauksessa Nollahypotees H o tos Maalma tla Nollahypotees H o epätos Test tulos Nollahypotees H hylätää Nollahypotees H hyväksytää. laj vrhe el hylkäysvrhe Okea päätös Okea päätös. laj vrhe el hyväksymsvrhe Olkoo test hylkäysalue el se otosavaruude osajoukko, joka johtaa ollahypotees hylkäämsee R. Olkoo x havatopste. Oletetaa, että ollahypotees H : Θ Θ pätee. Tällö test johtaa ollahypotees H vrheellsee hylkäämsee el.laj vrheesee, jos x R Ste. laj vrhee el hylkäysvrhee todeäkösyys o Pr ( X R) Vastaavast. laj vrhee el hyväksymsvrhee todeäkösyys o Ilkka Mell (7) 5/6

16 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Huomaa, että Ste todeäkösyys Pr ( X R ) Pr ( X R ) Pr ( X R) Pr ( X R) ssältää parametr fuktoa kake formaato teststä, joka hylkäysalue o R. Nyt Test vomakkuus. laj vrhee todeäkösyys, jos Θ Pr ( X R) (. laj vrhee todeäkösyys), jos Θ Olkoo test hylkäysalue R. Tällö todeäkösyyttä Pr ( X R) kutsutaa parametr fuktoa test vomakkuusfuktoks. Merktää: β ( ) Pr ( X R) Hyvä test o vomakas, koska se. laj vrhee todeäkösyys o pe. Ideaalse test vomakkuusfukto ols muotoa, Θ β ( ), Θ Tällasta tlaetta e kutekaa saavuteta ku trvaalessa erkostapauksssa. Vomme kutek todeta, että hyvällä testllä β() usemmlle Θ ja β() usemmlle Θ. Osamäärätest tapauksessa test vomakkuusfukto o muotoa Test koko ja test taso β( ) Pr ( λ( X) ) Kteälle otoskoolle. ja. laj vrhede todeäkösyyksä e voda yleesä tehdä samaakasest melvaltase peks. Sks test kostruodaa tavallsest, että es ktetää. laj vrhee todeäkösyys ja stte de teste joukosta, jolla sama. laj vrhee todeäkösyys valtaa test, jolla. laj vrhee todeäkösyys o mahdollsmma pe. Olkoo α ja olkoo β() test vomakkuusfukto. Tällö saomme, että test koko o α, jos Ilkka Mell (7) 6/6

17 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus sup β( ) α Θ ja saomme, että test taso o α, jos sup β( ) α Θ Kakk evät tee eroa terme koko ja taso välllä. Lsäks test tasoa kutsutaa use merktsevyystasoks. O syytä huomata, että kokoa α olevat testt muodostavat osajouko tasoa α oleve teste joukossa. Kokoa α olevaa testä e välttämättä ole olemassa, mutta saattaa olla mahdollsta löytää jok tasoa α oleva test. Soveltajat valtsevat use test taso ee test tekemstä. Tavaomasa valtoja ovat α.,.5,.,. O syytä huomata, että valtsemalla test taso kotrollodaa va. laj vrhee el hylkäysvrhee todeäkösyyttä. Osamäärätest tapauksessa test tasoks tulee α, jos vako valtaa ste, että Harhattomat testt sup β( ) sup Pr ( λ( X) ) α Θ Θ Test taso lsäks saatamme olla kostueta myös musta test omasuukssta. O järkevää tovoa, että o todeäkösempää, että ollahypotees H tulee hylätyks sllo, ku Θ ku sllo, ku Θ. Tätä omasuutta kutsutaa test harhattomuudeks. Saomme, että test o harhato, jos β ( ) β ( ) kaklle Θ ja kaklle Θ. Tasasest vomakkammat testt Tarkastellaa sellaste teste luokkaa, jode taso o α. Edellsessä kappaleessa todett, että kaklla tähä luokkaa kuuluvlla testellä. laj vrhee el hylkäysvrhee todeäkösyys o korketaa α kaklle Θ. Optmaalsea testä de teste joukossa, jode taso o α, vodaa ptää sellasta testä, jolla o mahdollsmma pe. laj vrhee el hyväksymsvrhee todeäkösyys el mahdollsmma suur vomakkuus kaklle Θ. Olkoo C jok sellaste teste luokka, jolla testataa ollahypoteesa H : Θ vahtoehtosta hypoteesa vastaa. H: Θ Ilkka Mell (7) 7/6

18 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Luokkaa C kuuluva test, joka vomakkuusfukto o β(), o tasasest vomakka (UMP, uformly most powerful) luokassa C, jos β( ) β ( ) kaklle Θ ja kaklle luokkaa C kuuluve teste vomakkuusfuktolle β (). Tässä kappaleessa tarkastelu kohteea oleva teste luokka o kakke de teste luokka C, jode taso o α. Tällö vomme puhua tasasest vomakkammasta tasoa α olevasta teststä. Tällasta testä e ole aa olemassa, mutta jos sellae o olemassa, stä vodaa ptää parhampaa tasoa α oleve teste luokassa. Neyma ja Pearso lemma: Olkoo ollahypoteesa H : ja vahtoehtosea hypoteesa ja olkoo H: f( x; ),, otokse X (X, X,, X ) yhtesjakauma pstetodeäkösyys ta theysfukto, ku parametr saa arvo,,. Tarkastellaa testä, joka hylkäysaluee R määrttelee seuraavat ehdot: O olemassa k ste, että () ja () x R, jos f ( x; ) > kf ( x; ) x R, jos f ( x; ) < kf ( x; ) Pr ( X R) α Tällö pätee seuraava: (a) (b) Todstus: Ehtoje () ja () rttävyys: Jos test toteuttaa ehdot () ja (), se o tasasest vomakka tasoa α oleva test. Ehtoje () ja () välttämättömyys: Jos o olemassa test, joka toteuttaa ehdot () ja () jollek k >, jokae tasasest vomakka tasoa α oleva test o kokoa α el test toteuttaa ehdo (). Lsäks jokae tasasest vomakka tasoa α oleva test toteuttaa ehdo () mahdollsest lukuu ottamatta ollamttasta joukkoa A el joukko A toteuttaa ehdot Pr ( X A) Pr ( X A) Todstamme lausee va jatkuve jakaume tapauksessa. Todstus dskreette jakaume tapauksessa saadaa korvaamalla todstukse tegraalt summlla. Ilkka Mell (7) 8/6

19 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Toteamme es, että jokae test, joka toteuttaa ehdo () Pr ( X R) α o kokoa α ja ste myös tasoa α, koska ollahypotees H määrttelemässä parametravaruude Θ osajoukossa Θ o va yks pste, jollo sup Pr ( X R) Pr ( X R) α Θ Määrtellää merktöje ykskertastamseks testfukto φ(x) seuraavalla tavalla:, x R φ( x), x R Ste testfukto o dkaattorfukto hylkäysalueelle R. Olkoo φ(x) testfukto testlle, joka toteuttaa ehdot () ja () ja olkoo φ (x) testfukto melvaltaselle tasoa α olevalle testlle. Olkoot β() ja β () vastaavat vomakkuusfuktot. Koska φ ( x) ehdosta () ja stä, että ja seuraa, että Ste φ( x), jos f ( x; ) > kf ( x; ) φ( x), jos f ( x; ) < kf ( x; ) [ φ( x) φ ( x)][ f ( x; ) kf ( x; )] ( ) (a) φ x φ x f x kf x dx [ ( ) ( )][ ( ; ) ( ; )] β( ) β ( ) k[ β( ) β ( )] Ehtoje () ja () rttävyys. Todetaa es, että β( ) β ( ) α β ( ) koska φ o tasoa α oleva test ja φ o kokoa α oleva test. Ste epäyhtälöstä ( ) ja stä, että k että seuraa, että jote β( ) β ( ) k[ β( ) β ( )] β( ) β ( ) β( ) β ( ) Ilkka Mell (7) 9/6

20 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus (b) Ste test φ o vomakkaamp ku test φ. Koska φ ol melvaltae tasoa α oleva test ja vahtoehtose hypotees H määrttelemässä parametravaruude Θ osajoukossa Θ o va yks pste, φ o tasasest vomakka tasoa α oleva test. Ehtoje () ja () välttämättömyys. Olkoo φ (x) testfukto melvaltaselle tasasest vomakkammalle tasoa α olevalle testlle. Kohda (a) mukaa jokae test φ, joka toteuttaa ehdot () ja () o myös tasasest vomakka tasoa α oleva test. Ste β( ) β ( ) Koska k >, epäyhtälöstä ( ) seuraa, että α β ( ) β( ) β ( ) Koska φ o tasoa α oleva test, jote β ( ) α β ( ) α ja ste φ o kokoa α oleva test. Lsäks epäyhtälössä ( ) o vomassa yhtäsuuruus. Epäyhtälö ( ) e egatvse tegrotava [ φ( x) φ ( x)][ f ( x; ) kf ( x; )] tegraal vo olla olla va, jos test φ toteuttaa ehdo () mahdollsest lukuu ottamatta ollamttasta joukkoa A, joka ste toteuttaa ehdo f( x; ) dx,, A Ste myös kohda (b) väte o todstettu. Seuraava korollaar lttää tyhjetävyyde Neyma ja Pearso lemmassa tarkasteltuu testausasetelmaa. Korollaar: Olkoo testausasetelma sama ku Neyma ja Pearso lemmassa. Olkoo T(X) parametr tyhjetävä tuusluku ja olkoo g(t; ),, tuusluvu T pstetodeäkösyys ta theysfukto, ku parametr saa arvo,,. Tarkastellaa tuuslukuu T perustuvaa testä, joka hylkäysaluee S määrttelee seuraavat ehdot: O olemassa k ste, että () x S, jos gt (; ) > kgt (; ) x S, jos gt (; ) < kgt (; ) Ilkka Mell (7) /6

21 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus ja () Todstus: Pr ( T S) α Tällö pätee seuraava: Jos test toteuttaa ehdot () ja (), se o tasasest vomakka tasoa α oleva test. Otokse X suhtee, tuuslukuu T perustuva test hylkäysalue o R { x T( x) S} Koska tuusluku T o tyhjetävä parametrlle, faktorotteoreemasta (ks. lukua ) seuraa, että otokse X yhtesjakauma pstetodeäkösyys ta theysfukto f(x; ),, vodaa esttää muodossa f( x; ) g( T( x); ) h( x),, jollek e egatvselle fuktolle h(x). Kertomalla ehdo () epäyhtälöt fuktolla h(x) ähdää, että x R, jos f ( x; ) g( T ( x); ) h( x) > kg( T ( x); ) h( x) kf ( x; ) x R, jos f( x; ) gt ( ( x); ) h( x) < kgt ( ( x); ) h( x) kf( x; ) Lsäks ehdosta () seuraa, että Pr ( X R) Pr ( T( X) S) α Ste Neyma ja Pearso lausee kohdasta (a) seuraa, että tuuslukuu T perustuva test o tasasest vomakka tasoa α oleva test. Kutsumme Neyma ja Pearso lemma hypoteeseja H ja H ykskertasks, koska e kumpk kttävät va yhde todeäkösyysjakauma otokselle X. Tavallsest olemme kutek halukkata ataa kostukse kohteea oleve hypoteese kttää useampa todeäkösyysjakauma otokselle. Tällasa hypoteeseja kutsutaa yhdstetyks. Esmerkkejä yhdstetystä hypoteesesta ovat ykssuutaset hypoteest H: tah: > H: tah: < sekä kakssuutae hypotees H: Koska tasasest vomakkamma test määrtelmässä vaadtaa, että test o oltava vomakka kaklle Θ, Neyma ja Pearso lemmaa vodaa soveltaa use soveltaa myös tlatessa, jossa hypoteest H ja H ovat yhdstettyjä. Teste luokka, jossa ykssuutaslle hypoteeselle vodaa kostruoda tasasest vomakka tasoa α oleva test, o sellaste teste luokka, jotka perustuvat mootosee uskottavuusosamäärää. Ilkka Mell (7) /6

22 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Olkoo { gt ( ; ); Θ} yksulottese satuasmuuttuja T pstetodeäkösyys ta theysfuktode perhe, joka rppuu parametrsta. Perheellä o mootoe uskottavuusosamäärä, jos osamäärä gt ( ; ) gt ( ; ) o kaklle > muuttuja t mootoe (e kasvava ta e väheevä) fukto joukossa Lsäks sovmme, että { t gt ( ; ) > ta gt ( ; ) > } /, jos > Molla tavallslla jakaumlla o mootoe uskottavuusosamäärä. Tällasa jakauma ovat esmerkks ormaaljakauma, jossa odotusarvoparametr o tutemato ja varass o tuettu, Posso ja bomjakauma. Vodaa osottaa, että kaklla sääöllsee ekspoettperheesee g(; t ) h()exp[ t w( )] t kuuluvlla jakaumlla o mootoe uskottavuusosamäärä, jos w() o parametr e väheevä fukto. Karl ja Rub teoreema: Todstus: Olkoo ollahypoteesa H : ja vahtoehtosea hypoteesa H: > Olkoo tuusluku T tyhjetävä parametrlle ja oletetaa lsäks, että tuusluvu T jakaume perheellä { gt ( ; ) Θ} o mootoe uskottavuusosamäärä. Valtaa t. Jokae test, joka hylkää ollahypotees H, jos ja va jos T > t o tasasest vomakka tasoa α oleva test, jossa Olkoo α Pr ( T > t ) β ( ) Pr ( T > t ) test vomakkuusfukto. Valtaa > ja tarkastellaa testä, jossa testataa ollahypoteesa H : vahtoehtosta hypoteesa Ilkka Mell (7) /6

23 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus vastaa. H: Koska tuusluvu T jakaume perheellä o mootoe uskottavuusosamäärä, vomakkuusfukto β() o e väheevä. Tästä seuraa: () () sup β ( ) β ( ) α ja test taso o α. Jos määrttelemme suuree jossa gt ( ; ) k f t I gt ( ; ) I { t t> t ja joko gt ( ; ) > ta gt ( ; ) > } gt ( ; ) T t > k gt ( ; ) Ste kohdsta () ja () seuraa Neyma ja Pearso lausee korollaar ojalla, että β( ) β ( ) jossa β () o melvaltase tose tasoa α oleva ollahypotees H test vomakkuusfukto el sellase test vomakkuusfukto, jolle β( ) α Tosaalta melvaltase tasoa α oleva ollahypotees H test vomakkuusfukto toteuttaa ehdo Ste β ( ) sup β ( ) α Θ β( ) β ( ) melvaltaselle tasoa α oleva ollahypotees H testlle. Koska ol melvaltae, test o tasasest vomakka tasoa α oleva test. Vastaavast, jos ollahypotees o muotoa H : ja vahtoehtoe hypotees o muotoa H: > Ilkka Mell (7) 3/6

24 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus ja Karl ja Rub lausee ehdot pätevät, jokae test, joka hylkää ollahypotees H, jos ja va jos T < t o tasasest vomakka tasoa α oleva test, jossa α Pr ( T < t ) Test p arvo Test jälkee test tuloksesta ptää kertoa jollak tlastollsest merktsevällä tavalla. Eräs mahdollssta tavosta o kertoa test koko α ja se hylättkö va hyväksyttkö ollahypotees H. Jos test koko α ol pe, päätös hylätä ollahypotees H perustuu suhteellse vahvoh todstes ollahypoteesa vastaa. Se sjaa, jos test koko α ol suur, päätös hylätä ollahypotees H e perustu kov vahvoh todstes ollahypoteesa vastaa. Toe mahdolle tapa kertoa test tuloksesta o lmottaa tuusluku, jota kutsutaa test p arvoks. Test p arvo p(x) o tuusluku, joka toteuttaa ehdo p( x) jokaselle havatopsteelle x. Pe p arvo vttaa she, että vahtoehtoe hypotees H o tos. Saomme, että p arvo o kelvolle, jos Pr ( p( X) α) α kaklle Θ ja kaklle α, α. Jos p(x) o kelvolle p arvo, vodaa helpost kostruoda tasoa α oleva test. Test, joka hylkää ollahypotees H, jos ja va jos o tasoa α. p( x) α Test p arvo p(x) kertome ssältää aa eemmä formaatota ku se, että kerrotaa va test taso α ja se hylättkö va hyväksyttkö ollahypotees H. Lähes kakk modert tlastollset ohjelmstot kertovat teste p arvot. Seuraavaa lauseesee ssältyy yles tapa määrtellä kelvolle p arvo. Lause: Todstus: Olkoo W(X) testsuure, joka suuret arvot vttaavat she, että vahtoehtoe hypotees H pätee. Olkoo p( x) sup Pr ( W( X) W( x)) Θ Tällö p(x) o kelvolle p arvo. Valtaa Θ. Olkoo F ( w) tuusluvu W(X) kertymäfukto ja olkoo p ( x) Pr ( W( X) W( x)) Pr ( W( X) W( x)) F ( W( x)) Ilkka Mell (7) 4/6

25 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Ste satuasmuuttuja p ( x ) jakauma o stokastsest suuremp ta yhtä suur ku jatkuva tasae jakauma Uform(,). Jos satuasmuuttuja p ( x ) o jatkuva tämä seuraa stä, että aa pätee seuraava: Olkoo X jatkuva satuasmuuttuja, joka kertymäfukto o F X ja olkoo Tällö Y F X (X) Y Uform(,) ts. Pr( Y y) y kaklle y, < y <. Väte vodaa perustella myös sllo, ku satuasmuuttuja p ( x ) o dskreett. Stokaste suuremmuus: Olkoo X F X ja Y F Y. Satuasmuuttuja X o stokastsest suuremp ta yhtä suur ku satuasmuuttuja Y, jos F () t F () t X kaklle t. Tällö Y Pr( X > t) Pr( Y > t) kaklle t. Jos ss X o stokastsest suuremp ku Y, satuasmuuttujalla o tapumus saada suurempa arvoja ku satuasmuuttuja Y. Edellä todetusta seuraa, että Koska kaklle, Pr ( p( X) α) α p( x) sup p ( x) p ( x) Θ Pr ( p( X) α) Pr ( p ( X) α) α mkä pätee kaklle Θ ja kaklle α, α. Ste p(x) o kelvolle p arvo. Toe tapa määrtellä kelvolle p arvo perustuu ehdollstamsee tyhjetävä tuusluvu suhtee. Olkoo tuusluku S(X) tyhjetävä ollahypotees H määrttelemälle malllle { f ( x; ) Θ } Jos ollahypotees H o tos, otokse X ehdolle jakauma ehdolla S s e rpu parametrsta. Olkoo W(X) testsuure, joka suuret arvot vttaavat she, että vahtoehtoe hypotees H pätee. Ilkka Mell (7) 5/6

26 Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Olkoo p( x) Pr( W( X) W( x) S S( x)) Samatapasella argumetlla ku edellsessä lauseessa vodaa todstaa, että Pr( p( X) α S s) α kaklle α, α. Jos S o dskreett satuasmuuttuja, Pr ( p( X) α) Pr( p( X) α S s)pr ( S s) α Pr ( S s) α s s jote p(x) o kelvolle p arvo. Jos S o jatkuva satuasmuuttuja, o summalausekkeet yllä olevssa kaavossa korvattava tegraalella. Ilkka Mell (7) 6/6