Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat"

Transkriptio

1 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat ja jakaumat 3. Momettemäfukto ja karakterste fukto 4. Satuasmuuttuje muuoste jakaumat 5. Stokastka kovergesskästteet ja raja arvolauseet TKK Ilkka Mell 09

2 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat TKK Ilkka Mell 0

3 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Ssällys 9. SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: JOHDATTELEVIA ESIMERKKEJÄ SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT: MÄÄRITELMÄT SATUNNAISMUUTTUJA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT TILASTOLLISINA MALLEINA 3 SATUNNAISMUUTTUJIEN TYYPPEJÄ DISKREETIT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 4 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 4 DISKREETTI SATUNNAISMUUUTTUJA 6 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO 7 DISKREETTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA 8 PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTION KUVAAJA 8 DISKREETTI TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 9 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 30 DISKREETTIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PARAMETROINTI 30 HAVAINNOLLISTUS: GEOMETRINEN JAKAUMA 30 DISKREETTEJÄ TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA JATKUVAT SATUNNAISMUUTTUJAT JA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAT 35 JOHDATTELEVA ESIMERKKI. 35 JATKUVA SATUNNAISMUUTTUJA 36 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN TIHEYSFUNKTIO 37 TIHEYSFUNKTION KUVAAJA 37 JATKUVA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 37 TODENNÄKÖISYYKSIEN VERTAILU 39 JATKUVIEN TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIEN PARAMETROINTI 39 HAVAINNOLLISTUS: EKSPONENTTIJAKAUMA 40 JATKUVIA TODENNÄKÖISYYSJAKAUMIA DISKREETIT JAKAUMAT VS JATKUVAT JAKAUMAT KERTYMÄFUNKTIO KERTYMÄFUNKTIO JA SEN OMINAISUUDET DISKREETIN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 48 DISKREETIN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTION JA KERTYMÄFUNKTION YHTEYS 49 DISKREETIN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTION KUVAAJA 49 DISKREETTI JAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 49 DISKREETIN JAKAUMAN PISTETODENNÄKÖISYYSFUNKTIO JA KERTYMÄFUNKTIO: HAVAINNOLLISTUS _ JATKUVAN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 5 JATKUVAN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTION JA KERTYMÄFUNKTION YHTEYS 5 JATKUVAN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTION KUVAAJA 5 JATKUVA JAKAUMA JA REAALIAKSELIN VÄLIEN TODENNÄKÖISYYDET 5 JATKUVAN JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO JA KERTYMÄFUNKTIO: HAVAINNOLLISTUS 5. JAKAUMIEN TUNNUSLUVUT 54 TKK Ilkka Mell

4 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. ODOTUSARVO 55 JOHDATTELEVA ESIMERKKI 55 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN ODOTUSARVO 57 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN ODOTUSARVO 58.. ODOTUSARVON OMINAISUUDET 6 ODOTUSARVON OLEMASSAOLO 6 ODOTUSARVO TODENNÄKÖISYYSJAKAUMAN TODENNÄKÖISYYSMASSAN PAINOPISTEENÄ 6 VAKION ODOTUSARVO 6 LINEAARIMUUNNOKSEN ODOTUSARVO 6 ODOTUSARVON TULKINTA JAKAUMAN SIJAINTIPARAMETRINA 6 SUMMAN JA EROTUKSEN ODOTUSARVOT 64 LINEAARIKOMBINAATION ODOTUSARVO YLEINEN ODOTUSARVO 64 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN FUNKTION ODOTUSARVO 64 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN FUNKTION ODOTUSARVO VARIANSSI JA STANDARDIPOIKKEAMA 65 VARIANSSI 65 VARIANSSIN VAIHTOEHTOINEN LASKUKAAVA 65 STANDARDIPOIKKEAMA 66 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN DIMENSIOT 66 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN TULKINTA 66 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN VARIANSSI 67 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN VARIANSSI VARIANSSIN OMINAISUUDET 69 VARIANSSIN OLEMASSAOLO 69 VAKION VARIANSSI 70 LINEAARIMUUNNOKSEN VARIANSSI 70 STANDARDOINTI 7 SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSI 7 LINEAARIKOMBINAATION VARIANSSI 7 EMPIIRISEN JAKAUMAN ODOTUSARVO JA VARIANSSI 73 ARITMEETTISEN KESKIARVON ODOTUSARVO JA VARIANSSI MARKOVIN JA TSHEBYSHEVIN EPÄYHTÄLÖT 74 MARKOVIN EPÄYHTÄLÖ 74 TSHEBYSHEVIN EPÄYHTÄLÖ MOMENTIT 77 MOMENTTIEN OLEMASSAOLO VINOUS JA HUIPUKKUUS 78 VINOUS 78 HUIPUKKUUS KVANTIILIT 80 KVANTIILIN MÄÄRITELMÄ 80 KVANTIILIEN OMINAISUUKSIA 80 KVANTIILIT JA TILASTOLLISET TAULUKOT 80 PROSENTTIPISTEET 8 DESIILIT 8 KVARTILIT 8 MEDIAANI 8.0. MOODI 83.. SUURTEN LUKUJEN LAKI 84. MONIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT JA JAKAUMAT 87 TKK Ilkka Mell

5 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. JOHDANTO 88.. KAKSIULOTTEISET SATUNNAISMUUTTUJAT DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT 88 DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN 89 DISKREETIT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA SYMMETRISET TODENNÄKÖISYYSKENTÄT JATKUVAT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT 94 JATKUVAT KAKSIULOTTEISET JAKAUMAT JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYKSIEN MÄÄRÄÄMINEN KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN KERTYMÄFUNKTIOT 95 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO 95 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KERTYMÄFUNKTIO KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN REUNAJAKAUMAT JA RIIPPUMATTOMUUS 96 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 96 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMAT 99 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS 99 USEAMMAN SATUNNAISMUUTTUJAN RIIPPUMATTOMUUS 00 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA TAPAHTUMIEN TODENNÄKÖISYYS 0.7. KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN ODOTUSARVOT 03 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN YLEINEN ODOTUSARVO 03 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN YLEINEN ODOTUSARVO 03 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN REUNAJAKAUMIEN ODOTUSARVOT ODOTUSARVON OMINAISUUDET 04 ODOTUSARVO PAINOPISTEENÄ 04 SUMMAN JA EROTUKSEN ODOTUSARVOT 04 LINEAARIKOMBINAATION ODOTUSARVO 05 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA TULON ODOTUSARVO KAKSIULOTTEISTEN JAKAUMIEN VARIANSSIT JA STANDARDIPOIKKEAMAT 07 REUNAJAKAUMIEN VARIANSSIT 07 VAIHTOEHTOISET LASKUKAAVAT VARIANSSEILLE 07 STANDARDIPOIKKEAMAT 07 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN TULKINTA 07 VARIANSSIN JA STANDARDIPOIKKEAMAN DIMENSIOT 08 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN VARIANSSIT 08 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN VARIANSSIT 0.0. KOVARIANSSI 0 VAIHTOEHTOINEN LASKUKAAVA KOVARIANSSILLE KOVARIANSSIN TULKINTA DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KOVARIANSSI JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN KOVARIANSSI.. KOVARIANSSIN OMINAISUUDET SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIMUUNNOSTEN KOVARIANSSI SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSIT KORRELOIMATTOMUUS 3 SATUNNAISMUUTTUJIEN RIIPPUMATTOMUUS JA KOVARIANSSI 4 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JA EROTUKSEN VARIANSSI 4.. KORRELAATIO 4 KORRELAATIOKERTOIMEN DIMENSIO 5.3. KORRELAATIOKERTOIMEN OMINAISUUDET 5 KORRELAATIO JA KOVARIANSSI 5 SATUNNAISMUUTTUJIEN LINEAARIMUUNNOSTEN KORRELAATIO 5 KORRELAATIOKERTOIMEN TULKINTA KORRELOIMATTOMUUS.4. EHDOLLISET JAKAUMAT 4 TKK Ilkka Mell 3

6 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat EHDOLLINEN TODENNÄKÖISYYS 4 EHDOLLISET JAKAUMAT 4 EHDOLLISET JAKAUMAT JA EHTOMUUTTUJA 4 EHDOLLISET JAKAUMAT JA RIIPPUMATTOMUUS 4.5. EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA VARIANSSIT 5 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 5 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET ODOTUSARVOT 5 EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA EHTOMUUTTUJAT 5 EHDOLLISET ODOTUSARVOT JA RIIPPUMATTOMUUS 6 DISKREETIN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 6 JATKUVAN KAKSIULOTTEISEN JAKAUMAN EHDOLLISET VARIANSSIT 6 EHDOLLISET VARIANSSIT JA EHTOMUUTTUJAT 6 EHDOLLISET VARIANSSIT JA RIIPPUMATTOMUUS 7 ITEROIDUN ODOTUSARVON LAIT 7 REGRESSIOFUNKTIOT JA KÄYRÄT 8 REGRESSIOFUNKTIOT JA ENNUSTAMINEN 8 HAVAINNOLLISTUKSIA 9 3. MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA KARAKTERISTINEN FUNKTIO MOMENTTIEMÄFUNKTIO 4 MOMENTTIEMÄFUNKTION OLEMASSAOLO 4 DISKREETIN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 4 JATKUVAN JAKAUMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 43 MOMENTTIEMÄFUNKTION YKSIKÄSITTEISYYS 43 MOMENTTIEMÄFUNKTIO JA SATUNNAISMUUTTUJAN MOMENTIT 43 MOMENTTIEMÄFUNKTION TAYLORIN SARJAKEHITELMÄ 44 SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 45 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN MOMENTTIEMÄFUNKTIO 46 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON MOMENTTIEMÄFUNKTIO 47 MOMENTTIEMÄFUNKTIOIDEN KONVERGENSSI KARAKTERISTINEN FUNKTIO 50 KARAKTERISTISEN FUNKTION OLEMASSAOLO 50 INVERSIOTEOREEMA 50 DISKREETIN SATUNNAISMUUTTUJAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 50 JATKUVAN SATUNNAISMUUTTUJAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 5 KARAKTERISTISEN FUNKTION YKSIKÄSITTEISYYS 5 KARAKTERISTINEN FUNKTIO JA MOMENTTIEMÄFUNKTIO 5 KARAKTERISTISEN FUNKTION OMINAISUUDET 5 KARAKTERISTINEN FUNKTIO JA SATUNNAISMUUTTUJAN MOMENTIT 5 KARATERISTISEN FUNKTION TAYLORIN SARJAKEHITELMÄ 53 SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 53 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 54 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN KARAKTERISTINEN FUNKTIO 54 RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISEN KESKIARVON KARAKTERISTINEN FUNKTIO 54 KARAKTERISTISTEN FUNKTIOIDEN KONVERGENSSI 55 TKK Ilkka Mell 4

7 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 4. SATUNNAISMUUTTUJIEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT SATUNNAISMUUTTUJAN LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA SATUNNAISMUUTTUJAN MONOTONISEN MUUNNOKSEN JAKAUMA 59 LINEAARIMUUNNOKSEN JAKAUMA 6 CAUCHY JAKAUMA SATUNNAISMUUTTUJAN EI MONOTONISTEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 63 χ () JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO KAKSIULOTTEISTEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MUUNNOSTEN JAKAUMAT 65 NORMAALIJAKAUTUNEIDEN SATUNNAISLUKUJEN GENEROINTI RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN SUMMAN JAKAUMA 68 χ (N) JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN OSAMÄÄRÄN JAKAUMA 73 F JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO 74 T JAKAUMAN TIHEYSFUNKTIO RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MINIMIN JA MAKSIMIN JAKAUMAT 80 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MINIMIN JAKAUMA 80 RIIPPUMATTOMIEN SATUNNAISMUUTTUJIEN MAKSIMIN JAKAUMA 8 5. STOKASTIIKAN KONVERGENSSIKÄSITTEET JA RAJA ARVOLAUSEET SATUNNAISMUUTTUJIEN JONOT VARMA KONVERGENSSI MELKEIN VARMA KONVERGENSSI KVADRAATTINEN KONVERGENSSI 87 SOVELLUS: RIIPPUMATTOMIEN SAMOIN JAKAUTUNEIDEN SATUNNAISMUUTTUJIEN ARITMEETTISTEN KESKIARVOJEN MUODOSTAMAN JONON KVADRAATTINEN KONVERGENSSI STOKASTINEN KONVERGENSSI 88 SOVELLUS: RIIPPUMATTOMIEN SAMAA NORMAALIJAKAUMAA NOUDATTAVIEN SATUNNAIS MUUTTUJIEN ARITMEETTISTEN KESKIARVOJEN MUODOSTAMAN JONON STOKASTINEN KONVERGENSSI JAKAUMAKONVERGENSSI 90 MOMENTTIEMÄFUNKTIOIDEN KONVERGENSSI JA JAKAUMAKONVERGENSSI 9 KARAKTERISTISTEN FUNKTIOIDEN KONVERGENSSI JA JAKAUMAKONVERGENSSI STOKASTIIKAN KONVERGENSSIKÄSITTEIDEN YHTEYDET SUURTEN LUKUJEN LAIT 94 VAHVA SUURTEN LUKUJEN LAKI 94 HEIKKO SUURTEN LUKUJEN LAKI 94 SUURTEN LUKUJEN LAIT: KOMMENTTEJA 95 SUURTEN LUKUJEN LAKI: SUHTEELLISEN FREKVENSSIN ASYMPTOOTTINEN KÄYTTÄYTYMINEN KESKEINEN RAJA ARVOLAUSE 97 LINDEBERGIN JA LEVYN LAUSE 98 LINDEBERGIN JA LEVYN LAUSE: KOMMENTTEJA 30 LIAPUNOVIN LAUSE 30 LIAPUNOVIN LAUSE: KOMMENTTEJA 304 LINDEBERGIN JA FELLERIN LAUSE 304 KESKEINEN RAJA ARVOLAUSE: KOMMENTTEJA 305 KESKEINEN RAJA ARVOLAUSE SEKÄ BINOMIJAKAUMAN, HYPERGEOMETRISEN JAKAUMAN JA POISSON JAKAUMAN ASYMPTOOTTISET JAKAUMAT 306 TKK Ilkka Mell 5

8 Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat TKK Ilkka Mell 6

9 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Johdatteleva esmerkkejä 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Määrtelmät 9.3. Dskreett satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.4. Jatkuvat satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.5. Dskreett jakaumat vs jatkuvat jakaumat Jos satuaslmötä halutaa malltaa matemaattsest, lmö tulosvahtoehdot o osattava kuvata ja lmö tulosvahtoehtoh o osattava lttää todeäkösyydet umeersessa (matemaattste kaavoje) muodossa. Tämä vaatmukse täyttäme johtaa satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma kästtes. Tämä luvu tavotteea o esttää satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma määrtelmät ja perusomasuudet. Rajotumme tässä estyksessä pelkästää dskreette ja jatkuve satuasmuuttuje kästtelyy. Toteamme, että dskreett jakaumat vodaa määrtellä atamalla de pstetodeäkösyysfuktot, ku taas jatkuvat jakaumat vodaa määrtellä atamalla de theysfuktot. Avasaat: Dskreett jakauma, Dskreett satuasmuuttuja, Ekspoettjakauma, Fukto, Geometre jakauma, Jatkuva jakauma, Jatkuva satuasmuuttuja, Otosavaruus, Perusjoukko, Pkkfukto, Pstetodeäkösyysfukto, Satuasmuuttuja, Tapahtuma, Theysfukto, Todeäkösyys, Todeäkösyysjakauma, Todeäkösyyskettä, Todeäkösyysmall, Todeäkösyysmtta, Tulosvahtoehto TKK Ilkka Mell 7

10 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Johdatteleva esmerkkejä Jos satuaslmötä halutaa malltaa matemaattsest, lmö tulosvahtoehdot o osattava kuvata umeersessa muodossa. Tämä tapahtuu lttämällä tulosvahtoehtoh reaalarvoe fukto, jota kutsutaa satuasmuuttujaks. Tulosvahtoehtoje todeäkösyydet kuvataa lttämällä todeäkösyydet tulosvahtoehtoja vastaav satuasmuuttuja arvoh. Satuasmuuttuja arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa määrttelevät satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma. Todeäkösyysjakauma kuvaa stä, mte satuaslmö tulosvahtoehtoh lttyvä todeäkösyysmassa jakautuu tulosvahtoehtoh lttyvä satuasmuuttuja arvoalueelle. Jos satuaslmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa kuvaava satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma tuetaa, halltaa kakke ko. satuaslmöö lttyve tapahtume todeäkösyydet. Esmerkk. Rahahetto satuaslmöä. Tarkastellaa rahahettoa satuaslmöä. Alkestapahtumat: Otosavaruus: Kruua, Klaava S = {Kruua, Klaava} Otosavaruus o tässä äärelle joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood seuraavalla tavalla: ξ(kruua) = ξ(klaava) = 0 Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku rahaa hetetää. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos raha o vrheetö, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Pr( ξ = ) = Pr( ξ = 0) = Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall rahahetolle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa Beroull jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk. Lapse sukupuole määräytyme satuaslmöä. Tarkastellaa lapse sukupuole määräytymstä satuaslmöä. TKK Ilkka Mell 8

11 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Alkestapahtumat: Otosavaruus: Tyttö, Poka S = {Tyttö, Poka} Otosavaruus o tässä äärelle joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood seuraavalla tavalla: ξ(tyttö) = ξ(poka) = 0 Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku lapse sukupuol määräytyy sukusoluje yhtyessä. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Tehdää seuraava, Suome väklukutlastoh vuoslta perustuva oletus stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Pr(ξ = ) = Pr(ξ = 0) = Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall lapse sukupuole määräytymselle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa Beroull jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 3. Nopahetto satuaslmöä. Tarkastellaa opahettoa satuaslmöä. Alkestapahtumat: Slmäluvut,, 3, 4, 5, 6 Otosavaruus: S = {Slmäluku =,, 3, 4, 5, 6} Otosavaruus o tässä äärelle joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee slmälukuu ltetää vastaava kokoasluku: ξ(slmäluku ) =, =,, 3, 4, 5, 6 Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku oppaa hetetää. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos oppa o vrheetö, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Pr( ξ = ) =, =,,3, 4,5,6 6 Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyys TKK Ilkka Mell 9

12 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat jakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall opahetolle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa dskreetks tasaseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 4. Tostuva opahetto. Hetetää oppaa tostuvast ja tarkastellaa satuaslmöä se heto järjestysumeroa, jolla saadaa esmmäse kuutoe. Alkestapahtumat: Nde hettoje järjestysumerot, jolla vodaa saada. kuutoe:,, 3, Otosavaruus: S = {Heto järjestysumero =,, 3, } Otosavaruus o tässä umerotuvast ääretö joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee järjestysumeroo ltetää vastaava kokoasluku: ξ(heto järjestysumero ) =, =,, 3, Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku oppaa hetetää tostuvast. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos oppa o vrheetö ja hetot ovat tosstaa rppumattoma, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: 5 Pr( ξ = ) =, =,,3, K 6 6 Oletus perustuu seuraavaa päättelyketjuu (ks. tarkemm esmerkkä tämä luvu kappaleessa Dskreett satuasmuuttujat ja de todeäkösyysjakaumat): () Jos kuutoe saadaa esmmäse kerra. hetossa, stä ee o täytyyt tapahtua ( ) hettoa, jossa e ole saatu kuutosta. () Jos oppa o vrheetö, jokase slmäluvu todeäkösyys o /6, jollo todeäkösyys slle, että e saada kuutosta o 5/6. () Koska hetot oletett tosstaa rppumattomks, todeäkösyys slle, että saadaa es ( ) e kuutosta ja vasta. hetto ataa kuutose o rppumattome tapahtume tulosääö ojalla Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall tostuvalle opahetolle, ku satuaslmöä tarkastellaa esmmäse kuutose järjestysumeroa. TKK Ilkka Mell 0

13 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Koska satuasmuuttuja ξ saa va erllsä arvoja, stä saotaa dskreetks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä jakaumaa, jota kutsutaa geometrseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 5. Oepyörä pyöräytys satuaslmöä. Tarkastellaa oepyörä pyöräytystä satuaslmöä. Oletetaa, että oepyörä keskpsteesee o asetettu vapaast pyörvä osot, jota pyöräytetää pelssä ja tarkastellaa satuaslmöä kulmaa, joka osot pysähdyttyää muodostaa lähtöasetoosa verrattua. Alkestapahtumat: Kulmat välllä [0, 360 ) Otosavaruus: S = {Kulma x x [0, 360 )} Otosavaruus o tässä ylumerotuvast ääretö joukko. Määrtellää reaalarvoe fukto ξ, joka lttää otosavaruude S alkoh umeerse kood ste, että jokasee kulmaa x ltetää vastaava reaalluku x: ξ(kulma x) = x Fuktota ξ kutsutaa satuasmuuttujaks, koska sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu, ku osotta pyöräytetää. Huomaa, että ξ o kutek fuktoa täys määrätty. Jos oepyörä tom vrheettömäst, vomme tehdä seuraava oletukse stä todeäkösyyksstä, jolla ξ saa arvosa: Jos [ ab, ] [0,360) b a Pr( ξ [ ab, ]) = 360 Tämä perustuu vaatmuksee (ks. tarkemm esmerkkä kappaleessa Jatkuvat satuasmuuttujat ja de todeäkösyysjakaumat), joka mukaa todeäkösyys slle, että osot pysähtyy vällle [a, b] e saa rppua väl sjasta oepyörä kehällä, vaa aoastaa väl ptuudesta. Satuasmuuttuja ξ arvot yhdessä h ltettyje todeäkösyykse kassa muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Satuasmuuttuja ξ ja se todeäkösyysjakauma muodostavat tlastollse mall el todeäkösyysmall oepyörä pyöräytykselle satuaslmöä. Koska satuasmuuttuja ξ saa kakk reaallukuarvot välllä [0, 360), stä saotaa jatkuvaks. Satuasmuuttuja ξ oudattaa jatkuvaa jakaumaa, jota kutsutaa jatkuvaks tasaseks jakaumaks; lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma. TKK Ilkka Mell

14 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat: Määrtelmät Satuasmuuttuja Olkoo ( S, F,Pr) todeäkösyyskettä, jossa ss S =otosavaruus (perusjoukko) F = otosvaruude S osajoukkoje joukossa määrtelty σ algebra Pr = σ algebra F alkolle määrtelty todeäkösyysmtta Jos ξ o otosavaruude S reaalarvoe (ja mtalle) fukto el ξ : S ξ o satuasmuuttuja. Satuasmuuttuja ξ määrtelmästä seuraa, että jos Ks. kuvaa okealla. s S ξ() s Satuasmuuttuja lttää satuaslmö tulosvahtoehtoh reaalluvut ta umeerset koodt. Ste satuasmuuttuja kuvaa satuaslmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa. O syytä huomata, että satuasmuuttuja o fuktoa täys määrätty, mutta sattuma määrää mkä fukto arvosta realsotuu. Huomautus: Saa satuasmuuttuja o termä sä melessä epäostuut, että se e kerro stä oleasta asaa, että satuasmuuttuja o fukto. Jotta reaalarvoe fukto kelpas satuasmuuttujaks, se o oltava mtalle. Ste mkä tahasa otosavaruude reaalarvoe fukto e kelpaa satuasmuuttujaks. Vodaa osottaa, että s. dskreett ja jatkuvat satuasmuuttujat jota tässä estyksessä pelkästää kästellää ovat mtallsa fuktota. Emme täsmeä mtallsuude kästettä tässä estyksessä. Todeäkösyysjakauma Satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakaumalla tarkotetaa kuvaukse ξ : S S reaallukuje joukkoo dusomaa todeäkösyysmttaa. Todeäkösyysjakauma kuvaa koko otosavaruude S todeäkösyysmassa (= ) jakautumsta otosavaruudessa S määrtelly satuasmuuttuja ξ arvoalueella. Todeäkösyysjakauma merktys satuaslmö tlastollsea malla o sä, että kakke satuaslmö tapahtume todeäkösyydet halltaa täydellsest, jos satuaslmö tulosvahtoehtoja kuvaava satuasmuuttuja ja se todeäkösyysjakauma tuetaa. s ξ R ξ(s) TKK Ilkka Mell

15 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyysjakaumat tlastollsa mallea Tlastotetee kehttää ja soveltaa matemaattsa meetelmä ja malleja, jode avulla jostak reaalmaalma lmöstä pyrtää tekemää johtopäätöksä lmötä kuvaave umeerste tetoje perusteella sellasssa tlatessa, jossa lmöh (ta tä kuvaav tetoh) lttyy epävarmuutta ja satuasuutta. Tlastollste meetelme ja malle avulla pyrtää erottamaa ja kuvaamaa lmöde (ta okeamm: lmötä kuvaave tetoje) sääömukaset ja satuaset prteet. Koska tlastotetee tutkm lmöh (ta tä kuvaav tetoh) lttyy epävarmuutta ja satuasuutta, tlastollset meetelmät ja mallt perustuvat todeäkösyyslasketaa. Satuaslmöde tlastollset mallt kuvaavat lmöde tulosvahtoehdot ja de todeäkösyydet matemaattsessa muodossa. Satuaslmö tlastollsessa mallssa el todeäkösyysmallssa o oltava seuraavat osat: () () Ilmö tulosvahtoehtoja umeersessa muodossa kuvaava satuasmuuttuja. Todeäkösyysmassa jakautumsta satuasmuuttuja arvoalueelle kuvaava todeäkösyysjakauma. Ku satuaslmölle kostruodaa tlastollsa malleja, vaadtaa tlastotetee ja todeäkösyyslaskea tetoje lsäks hyvä tetoja lmötä selttävästä taustateorasta. Taustateora tuottaa se teteeala, joka alueesee lmö kuuluu. Esmerkk: Taloudellste lmöde tlastollsessa aalyysssa el ekoometrassa taustateoraa o taloustede. Tlastolle tutkmus o parhammllaa tlastotetee, todeäkösyyslaskea ja tutkmukse kohteea olevaa lmötä selttävä taustateora yhtespelä. Teoreettse tlastotetee tehtävää o kostruoda tutkmukse kohteea olevlle satuas lmölle tlastollsa malleja, jotka selttävät lmöstä saatuje havatoje käyttäytymse. Emprse tlastotetee tehtävää o selvttää, ovatko kostruodut tlastollset mallt sopu soussa havatoje kassa. Huomaa, että tlastolle mall o teoreette oletus, joka ptää asettaa test havatoje tutkmukse kohteea olevasta lmöstä tuottamaa formaatota vastaa; lsätetoja tlastollssta mallesta: ks. mostetta Tlastollset meetelmät. Satuasmuuttuje tyyppejä Satuasmuuttuja määrtelt edellä mtallsea fuktoa otosavaruudesta reaallukuje joukkoo. Mtallset fuktot vovat olla fuktoa hyv momutkasa. Kakssa tlastotetee tavaomasssa sovelluksssa tullaa kutek yleesä hyv tomee seuraave satuasmuuttuje tyyppe kassa: () () Dskreett satuasmuuttujat. Jatkuvat satuasmuuttujat. Satuasmuuttujaa o dskreett, jos se arvoalue o dskreett joukko el se arvoalue muodostuu erllsstä reaalaksel pstestä. Dskreet satuasmuuttuja arvoalue o aa joko äärelle ta korketaa umerotuvast ääretö. Dskreet satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma määrttelee alkestapahtume todeäkösyydet. Kakke mude tapahtume todeäkösyydet saadaa alkestapahtume todeäkösyyksstä todeäkösyyde laskusäätöje avulla. TKK Ilkka Mell 3

16 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Satuasmuuttujaa o jatkuva, jos se arvoalue o jok reaalaksel osaväl. Jatkuva satuasmuuttuja arvoalue o reaallukuje jouko osavälä ylumerotuva. Jatkuva satuasmuuttuja todeäkösyysjakauma määrttelee satuasmuuttuja arvoalueesee kuuluve reaalaksel väle todeäkösyydet. Kakke mude tapahtume todeäkösyydet saadaa väle todeäkösyyksstä todeäkösyyde laskusäätöje avulla. Rajotumme jatkossa pelkästää dskreette ja jatkuve satuasmuuttuje kästtelyy Dskreett satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Johdatteleva esmerkk Kuva okealla esttää oepyörää, joka pta o jaettu vtee sektor A, B, C, D, E Alla olevassa taulukossa o estetty sektorede ptaaloje osuudet oepyörä kokoaspta alasta: Sektor % A 30 B 5 C 0 D 5 E 0 Summa 00 D 5 % C 0 % E 0 % B 5 % A 30 % Oepyörä keskpsteesee o ktetty vapaast pyörvä osot. Tarkastellaa pelä, jossa osotta pyöräytetää ja pelaaja yrttää arvata mh sektoresta A, B, C, D, E osot pysähtyy. Pel o satuaslmö, joho lttyvä otosavaruus el mahdollste tulosvahtoehtoje joukko o S = {Sektort A, B, C, D, E} Oletetaa, että todeäkösyydet, jolla osot pysähtyy sektoreh A, B, C, D, E suhtautuvat tossa kute sektorede pta alat. Tällö vomme asettaa: Pr(A) = 0.30 Pr(B) = 0.5 Pr(C) = 0.0 Pr(D) = 0.5 Pr(E) = 0.0 Määrtellää satuasmuuttuja ξ, joka lttää tulosvahtoehtoh A, B, C, D, E reaalluvut seuraavalla tavalla: A B TKK Ilkka Mell 4

17 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat C 3 D 4 E 5 Satuasmuuttuja ξ saa arvosa seuraavlla todeäkösyyksllä: Pr(ξ = ) = 0.30 = Pr(A) Pr(ξ = ) = 0.5 = Pr(B) Pr(ξ = 3) = 0.0 = Pr(C) Pr(ξ = 4) = 0.5 = Pr(D) Pr(ξ = 5) = 0.0 = Pr(E) Saomme, että satuasmuuttuja ξ o dskreett, koska ξ saa va erllsä arvoja. Kutsumme satuasmuuttuja ξ arvoh lttyvä todeäkösyyksä pstetodeäkösyyksks, koska e lttyvät erlls pstes reaalaksellla. Dskreet satuasmuuttuja ξ arvot ja h lttyvät pstetodeäkösyydet muodostavat satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma. Dskreet satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakaumaa vodaa kuvata se pstetodeäkösyysfuktolla. Dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto kertoo mte koko otosavaruude todeäkösyysmassa (= ) jakautuu satuasmuuttuja ξ mahdollslle arvolle. O helppo ähdä, että pstetodeäkösyysfukto f o fuktoa epäjatkuva ja saa postvsa arvoja va erllsssä pstessä. Esmerk tapauksessa satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto f vodaa määrtellä seuraavalla tavalla: f() = Pr(ξ = ) = 0.30 = Pr(A) f() = Pr(ξ = ) = 0.5 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.0 = Pr(C) f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.5 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.0 = Pr(E) Olkoo x o dskreet satuasmuuttuja ξ mahdolle arvo ja Pr( ξ = x) = px olkoo vastaava pstetodeäkösyys. Satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfuktota vodaa kuvata graafsest pkkfuktolla, joka saadaa yhdstämällä psteet ja tossa jaolla. (x, 0) (x, p x ) Alla oleva kuva esttää esmerkssä määrtelly dskreet satuasmuuttuja ξ todeäkösyysjakauma pstetodeäkösyysfuktota vastaavaa pkkfuktota. TKK Ilkka Mell 5

18 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Pkke ptuudet kuvassa vastaavat ss tä todeäkösyyksä, jolla satuasmuuttuja ξ saa arvosa: p = f() = Pr(ξ = ) = 0.30 = Pr(A) p = f() = Pr(ξ = ) = 0.5 = Pr(B) p 3 = f(3) = Pr(ξ = 3) = 0.0 = Pr(C) p 4 = f(4) = Pr(ξ = 4) = 0.5 = Pr(D) p 5 = f(5) = Pr(ξ = 5) = 0.0 = Pr(E) Pstetotodeäkösyysfukto (, p ) (, p ) (3, p 3 ) (4, p 4 ) (5, p 5 ) Dskreett satuasmuuuttuja Olkoo otosavaruus S äärelle ta umerotuvast ääretö. Tällö vomme merktä jos S o äärelle ja S = s s K s {,,, } S = { s, s, s, K} 3 jos S o umerotuvast ääretö. Olkoo ξ : S satuasmuuttuja el otosavaruude (mtalle) kuvaus reaallukuje joukkoo. Jos otosavaruus S o äärelle ta umerotuvast ääretö, jollo myös fukto ξ arvoalue o äärelle ta umerotuvast ääretö, saomme, että satuasmuuttuja ξ o dskreett. Dskreett satuasmuuttujat lttyvät sellas todeäkösyyslaskea sovelluks, jossa tarkastellaa dskreettejä suureta. Dskreettejä suureta ovat esmerkks seuraavat: Laatuerot (koodattua umeersks) Luokttelut ja ryhmttelyt (koodattua umeersks) Järjestysluvut Lukumäärät Esmerkk. Laaduvalvota. Koe tekee erästä tuotetta sarjatuotatoa kpl pävässä. Oletetaa, että osa tuottesta o vallsa ja vallset tuotteet sytyvät valmstusprosess akaa täys sattumavarasest. Oletetaa edellee, että vallste tuottede suhteelle osuus valmstetusta tuottesta o keskmäär p. Tällö vomme ataa luvulle p todeäkösyystulka: p = todeäkösyys, että satuasest valttu tuote o valle Vodaa osottaa, että vallste tuottede lukumäärä pävä akaa tehtyje tuottede joukossa o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa bomjakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma TKK Ilkka Mell 6

19 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Esmerkk. Laaduvalvota. Koe tekee erästä tuotetta sarjatuotatoa kpl pävässä. Oletetaa, että osa tuottesta o vallsa ja vallset tuotteet sytyvät valmstusprosess akaa täys sattumavarasest. Oletetaa edellee, että vallste tuottede suhteelle osuus valmstetusta tuottesta o keskmäär p. Tällö vomme ataa luvulle p todeäkösyystulka: p = todeäkösyys, että satuasest valttu tuote o valle Pomtaa tuotteta tarkastettavaks, kues löydetää esmmäe valle. Vodaa osottaa, että esmmäse vallse tuottee järjestysumero tarkastettuje tuottede joukossa o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa geometrsta jakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Esmerkk 3. Joo. Oletetaa, että palvelujooo tulee asakkata keskmäär k kappaletta akaykskköä kohde. Vodaa osottaa, että tety edellytyks jollak akavälllä jooo tuleve asakkade lukumäärä o dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa Posso jakaumaa; lsätetoja: ks. luvu Dskreettejä jakauma. Huomautus: Jos jollak akavälllä jooo tuleve asakkade lukumäärä oudattaa Possojakaumaa, aka, joka seuraava asakkaa tuloa jooo joudutaa odottamaa o jatkuva satuasmuuttuja, joka oudattaa ekspoettjakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Jatkuva jakauma. Esmerkk 4. Järve kalakaa koo laskeme. Pyydystetää järvestä joukko kaloja elävä, merktää pyydystetyt kalat ja lasketaa e takas järvee. Pyydystetää järvestä jok aja kuluttua uus joukko kaloja. Vodaa osottaa, että merkttyje kaloje lukumäärä uudessa pyyssä o tety edellytyks dskreett satuasmuuttuja, joka oudattaa hypergeometrsta jakaumaa; lsätetoja: ks. lukua Dskreettejä jakauma. Huomautus: Kuvattua merktä takaspyyt meetelmää sovelletaa todellak (sopvast modfotua) rsta ja kalakatoje laskemsee. Dskreet satuasmuuttuja pstetodeäkösyysfukto Olkoo ξ : S dskreett satuasmuuttuja ja olkoo T satuasmuuttuja ξ saame äärelle ta umerotuvast ääretö arvoje joukko. Jos satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko T o äärelle, vomme krjottaa T = {x, x,, x } Jos satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko T o umerotuvast ääretö, krjotamme T = {x, x, x 3, } TKK Ilkka Mell 7

20 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Reaalarvoe fukto f määrttelee dskreet satuasmuuttujaξ pstetodeäkösyysfukto, jos seuraavat kolme ehtoa pätevät: () f( x ) 0 kaklle x T () f( x ) = Pr( ξ = x ) kaklle x T (3) f( x ) = x T Saomme, että todeäkösyys Pr( ξ = x ) = f( x ) = p, x T o satuasmuuttuja ξ arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Ehdo () mukaa pstetodeäkösyysfukto f o kakkalla e egatve. Ehdo () mukaa pstetodeäkösyysfukto f arvot pstessä x ovat todeäkösyyksä. Ehdo (3) mukaa kakke pstetodeäkösyykse summa =. Olkoo f dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto, T satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko ja Pr( ξ = x ) = f( x ) = p, x T satuasmuuttuja ξ arvoa x vastaava pstetodeäkösyys. Satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto vodaa määrtellä kaklle reaalluvulle kaavalla p, x T f( x) = Pr( ξ = x) = 0, x T Nä määrteltyä pstetodeäkösyysfukto f o epäjatkuva fukto, jossa o epäjatkuvuuskohta jokaselle x T. Dskreett todeäkösyysjakauma Jos f o dskreet satuasmuuttuja ξ : S pstetodeäkösyysfukto, saomme, että satuasmuuttuja ξ oudattaa dskreettä todeäkösyysjakaumaa, joka pstetodeäkösyysfuktoa o f. Dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto f kertoo mte koko otosavaruude S todeäkösyysmassa (= ) jakautuu satuasmuuttuja ξ saamlle arvolle. Pstetodeäkösyysfukto avulla vodaa määrätä kakk ko. satuaslmöö lttyvät todeäkösyydet. Pstetodeäkösyysfukto kuvaaja Olkoo f dskreet satuasmuuttuja ξ pstetodeäkösyysfukto, T satuasmuuttuja ξ saame arvoje joukko ja f( x ) = Pr( ξ = x ) = p, x T TKK Ilkka Mell 8

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kertymäfunktio >> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Todeäkösyyslasketa: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 9. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat 0. Kertymäfukto. Jakaume tuusluvut. Moulotteset satuasmuuttujat

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kertymäfunktio TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kertymäfunktio Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot TKK (c)

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I

Todennäköisyyslaskenta. β versio. Todennäköisyyslaskenta. Ilkka Mellin. Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio. Ilkka Mellin (2006) I β versio Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin Teknillinen korkeakoulu, Matematiikan laboratorio TKK @ Ilkka Mellin (2006) I TKK @ Ilkka Mellin (2006) II Esipuhe Tämä moniste antaa perustiedot todennäköisyyslaskennasta.

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 20. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 20. syyskuuta 2007 1 / 17 1 Kolmogorovin aksioomat σ-algebra Tapahtuman todennäköisyys 2 Satunnaismuuttujat Todennäköisyysjakauma

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox

Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Harjoitus 2: Matlab - Statistical Toolbox Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen tavoitteet Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Jakaumien tunnusluvut >> Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme?

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (4) Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia: Mitä

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskenta

Todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta Ilkka Mellin 1. korjattu painos Ilkka Mellin I Ilkka Mellin II Esipuhe Tämä moniste pyrkii antamaan perustiedot todennäköisyyslaskennasta. Monisteen ensisijaisena tavoitteena on

Lisätiedot

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Lisää Diskreettejä jakaumia Lisää Jatkuvia jakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia KE (2014) 1 Hypergeometrinen jakauma Hypergeometrinen jakauma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Multinomijakauma Kaksiulotteinen normaalijakauma TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on

4.1. Olkoon X mielivaltainen positiivinen satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Otanta Poisson- Jakaumien tunnusluvut Diskreetit jakaumat Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jakaumien tunnusluvut Odotusarvo Varianssi Markovin ja Tshebyshevin epäyhtälöt Momentit Vinous ja huipukkuus Kvantiilit

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa

Verkot ja todennäköisyyslaskenta Verkko Verkko eli graafi muodostuu pisteiden joukosta V, särmien joukosta A ja insidenssikuvauksesta : A V V jossa Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Jakaumien

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma t-jakauma TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Todennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen raja-arvolause TKK (c) Ilkka Mellin

Lisätiedot

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3

5/11 6/11 Vaihe 1. 6/10 4/10 6/10 4/10 Vaihe 2. 5/11 6/11 4/11 7/11 6/11 5/11 5/11 6/11 Vaihe 3 Mat-.9 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Verkot todennäköisyyslaskennassa Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo,

Lisätiedot

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kertymäfunktio KE (2014) 1 Satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujat

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Jatkuvia jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Jatkuvia jakaumia >> Jatkuva tasainen jakauma Eksponenttijakauma Normaalijakauma Keskeinen

Lisätiedot

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 3 Aiheet: Satunnaisvektorit ja moniulotteiset jakaumat Tilastollinen riippuvuus ja lineaarinen korrelaatio Satunnaisvektorit ja moniulotteiset

Lisätiedot

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan:

Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: Satunnaismuuttujien X ja Y järjestetty pari (X, Y) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B Mat-.6 Sovellettu todennäköisslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköissjakaumat Moniulotteisia jakaumia Avainsanat: Diskreetti

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia >> Johdanto χ 2 -jakauma F-jakauma

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-25 Todennäköisyyslaskenta Tentti 12.4.216 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu. Palauta kaavakokoelma 1. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A050 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi B Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi. Viikko 3. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat .9. Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat MS-A Todennäköisslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko Moniulotteiset satunnaismuuttujat sekä niiden jakaumat ja tunnusluvut; Moniulotteisia jakaumia Usein

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 3: Todennäköisyysjakaumia. Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Diskreettejä jakaumia >> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare

Lisätiedot

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella:

Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: 8.1 Satunnaismuuttuja Käytetään satunnaismuuttujaa samoin kuin tilastotieteen puolella: Esim. Nopanheitossa (d6) satunnaismuuttuja X kertoo silmäluvun arvon. a) listaa kaikki satunnaismuuttujan arvot b)

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 4. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 4. lokakuuta 2007 1 / 17 1 Moniulotteiset todennäköisyysjakaumat Johdanto Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Kaksiulotteisen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Diskreettejä jakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen

Lisätiedot

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )]

D ( ) Var( ) ( ) E( ) [E( )] Mat-.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Ratkaisut Aiheet: Diskreettejä jakaumia Avainsanat: Binomijakauma, Diskreetti tasainen jakauma, Eksponenttijakauma, Geometrinen jakauma, Hypergeometrinen

Lisätiedot

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut

7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X,

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Estimointi Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin ominaisuudet TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 2 Estimointi:

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö

Varma tapahtuma, Yhdiste, Yhdistetty tapahtuma, Yhteenlaskusääntö Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Unioni, Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennan peruslaskusäännöt Alkeistapahtuma, Ehdollinen todennäköisyys,

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 18. lokakuuta 2007 Antti Rasila () TodB 18. lokakuuta 2007 1 / 19 1 Tilastollinen aineisto 2 Tilastollinen malli Yksinkertainen satunnaisotos 3 Otostunnusluvut

Lisätiedot

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016,

Lisätiedot

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut

5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa

Lisätiedot

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Testit laatueroasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit laatueroasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille >> Laatueroasteikollisten

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto

Matemaattinen tilastotiede. Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Matemaattinen tilastotiede Erkki Liski Matematiikan, Tilastotieteen ja Filosofian Laitos Tampereen Yliopisto Alkusanat Tämä moniste perustuu vuosina 2002-2004 pitämiini matemaattisen tilastotieteen luentoihin

Lisätiedot

tilastotieteen kertaus

tilastotieteen kertaus tilastotieteen kertaus Keskiviikon 24.1. harjoitukset pidetään poikkeuksellisesti klo 14-16 luokassa Y228. Heliövaara 1 Mitä tilastotiede on? Tilastotiede kehittää ja soveltaa menetelmiä, joiden avulla

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 2A Satunnaismuuttujan odotusarvo Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi

Lisätiedot

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja

Luento KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 1 Luento 23.9.2014 KERTAUSTA Kaksiulotteinen jakauma Pisteparvi, Toyota Avensis -farmariautoja 2 Ristiintaulukko Esim. Toyota Avensis farmariautoja, nelikenttä (2x2-taulukko) 3 Esim. 5.2.6. Markkinointisuunnitelma

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Todennäköisyyden aksioomat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyden aksioomat >> Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden

Lisätiedot

Tilastomatematiikka Kevät 2008

Tilastomatematiikka Kevät 2008 Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19 4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo

Lisätiedot

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat

Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt. Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 1: Todennäköisyys ja sen laskusäännöt Kokonaistodennäköisyyden ja Bayesin kaavat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava >> Kokonaistodennäköisyys

Lisätiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyden aksioomat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyden aksioomat Todennäköisyyden määritteleminen Todennäköisyyden aksioomat äärellisissä otosavaruuksissa

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 28. syyskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 28. syyskuuta 2007 1 / 20 1 Jatkoa diskreeteille jakaumille Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma Diskreettien

Lisätiedot

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit

Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta. Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Liite 2: Verkot ja todennäköisyyslaskenta Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit >> Puutodennäköisyydet

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Todennäköisyyslaskenta ja puudiagrammit Puutodennäköisyydet Todennäköisyyslaskennan laskusääntöjen

Lisätiedot

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0503 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi 3A Normaaliapproksimaatio Lasse Leskelä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Lukuvuosi 2016

Lisätiedot

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan

Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan Mitä pitäisi vähintään osata Tässäkäydään läpi asiat jotka olisi hyvä osata Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan osattavan 333 Kurssin sisältö Todennäköisyyden, satunnaismuuttujien

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio.

(b) Tarkista integroimalla, että kyseessä on todella tiheysfunktio. Todennäköisyyslaskenta I, kesä 7 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Satunnaismuuttujalla X on ns. kaksipuolinen eksponenttijakauma eli Laplacen jakauma: sen tiheysfunktio on fx = e x. a Piirrä tiheysfunktio.

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Johdanto Kokonaistodennäköisyyden

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 2 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Lasse Leskelä, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden

Lisätiedot