Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Transkriptio

1 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun asetelmassa on mukana yks kusatekä, jonka vakutus sekottuu knnostuksen kohteena olevan tekän vakutukseen? Estedot: Ykssuuntanen varanssanalyys Kakssuuntanen varanssanalyys Avansanat F-test nterakto äännösnelösumma Kakssuuntanen varanssanalyys Kusatekä Kokonaskeskarvo Kokonasnelösumma Kokonasvahtelu Kontrollont Kästtely Kästtelykeskarvo Kästtelyvakutus Lohko Lohkoasetelma Lohkokeskarvo Lohkovakutus Nelösumma Odotusarvo Ryhmä Taso Test Vapausaste Varanss Varanssanalyyshajotelma Varanssanalyystaulukko Vaste Yhdysvakutus TKK (c) lkka Melln (005) 3 TKK (c) lkka Melln (005) 4 Satunnastettu täydellnen lohkoasetelma /4 >> TKK (c) lkka Melln (005) 5 Oletetaan, että kokeen tavotteena on tutka, mten kästtelyt A, A,, A vakuttavat knnostuksen kohteena olevan vastemuuttujan y keskmääräsn arvohn. Asetelmassa on kutenkn mukana kusatekä B, jonka vakutus saattaa sekottua kästtelyden A, A,, A vakutukseen ja saattaa jopa pettää kästtelyden vakutuksen alleen. os kusatekän B vakutusta e pystytä kontrollomaan, kästtelyden vakutukssta saatetaan tehdä täysn vrheellsä johtopäätöksä. TKK (c) lkka Melln (005) 6

2 TKK (c) lkka Melln (005) 7 Satunnastettu täydellnen lohkoasetelma /4 Satunnastettu täydellnen lohkoasetelma 3/4 Kusatekän B vakutusta vodaan kontrolloda, jos vomme tehdä seuraavan oletuksen: Tutkmuksen kohteena oleva perusjoukko vodaan jakaa kusatekän B tasojen B, B,, B suhteen homogeensn ryhmn. Ryhmä kutsutaan koesuunnttelussa lohkoks ja tavotteena on estää lohkovakutuksen sekottumnen kästtelyden vakutukseen. Satunnastetussa täydellsessä lohkoasetelmassa havannot kerätään seuraavalla tavalla: () Olkoon vertaltava kästtelytä kpl: A, A,, A () aetaan tutkmuksen kohteet lohkoon kusatekän B tasojen B, B,, B suhteen. () Valtaan jokasesta lohkosta kokeen kohteks ykslöä ja kohdstetaan kästtelyt A, A,, A kohtesn satunnasest. TKK (c) lkka Melln (005) 8 Satunnastettu täydellnen lohkoasetelma 4/4 Huomautus: Satunnastetussa täydellsessä koeasetelmassa satunnastamsta on rajotettu snä melessä, että satunnastamnen suortetaan erllsnä operaatona lohkojen ssällä sten, että van kästtelyden järjestys on arvonnan kohteena. nollahypotees Kästtelyden vakutusta koskeva nollahypotees on muotoa H A : E kästtelyvakutusta analyys tarkottaa nollahypoteesn H A testaamsta, kun asetelmassa on mukana kusatekä B. TKK (c) lkka Melln (005) 9 TKK (c) lkka Melln (005) 0 havannot ja nden tlastollnen mall / y = vastemuuttujan arvo, kun j. lohkossa on käytetty kästtelyä A, =,,,, j =,,, Käytetystä otantamenetelmästä seuraa, että havannot y vodaan olettaa rppumattomks (ja sten myös korrelomattomks) satunnasmuuttujks. Oletetaan, että havannot y ovat normaalakautuneta: y N(µ, σ ) =,,,, j =,,, havannot ja nden tlastollnen mall / Havannosta vodaan muodostaa seuraava taulukko: y Kästtely A A B y y B y y Lohko B y y A y y y TKK (c) lkka Melln (005) TKK (c) lkka Melln (005)

3 TKK (c) lkka Melln (005) 3 tlastollsen malln parametront /3 tlastollnen mall vodaan parametroda seuraavalla tavalla: y = µ + α + β j + ε =,,,, j =,,, jossa jäännöstermt ε ovat rppumattoma ja normaalakautuneta: ε N(0, σ ) =,,,, j =,,, tlastollsen malln parametront /3 E-satunnaset vakot µ, α, β j =,,,, j =,,, ja jäännösvaranss σ ovat satunnastetun täydellsen lohkoasetelman tlastollsen malln parametreja. Malln parametren on toteutettava seuraavat ehdot: α = β = 0 = j= j TKK (c) lkka Melln (005) 4 tlastollsen malln parametront 3/3 Malla koskevsta oletukssta seuraa, että E( y ) = µ + α + β j =,,,, j =,,, ja D( y ) = σ =,,,, j =,,, malln parametrt ja malla koskeva nollahypotees nollahypotees H A vodaan lmasta malln parametren avulla seuraavassa muodossa: H A : α = α = = α = 0 TKK (c) lkka Melln (005) 5 TKK (c) lkka Melln (005) 6 Havannot >> y = vastemuuttujan arvo, kun j. lohkossa on käytetty kästtelyä A, =,,,, j =,,, TKK (c) lkka Melln (005) 7 TKK (c) lkka Melln (005) 8

4 TKK (c) lkka Melln (005) 9 Kästtelykeskarvot ja lohkokeskarvot Kokonaskeskarvo Määrtellään havantoarvojen y kästtelykeskarvot: y = y, =,,, j = Määrtellään havantoarvojen y lohkokeskarvot: y = y, j =,,, j = os havannot yhdstetään yhdeks otokseks, yhdstetyn otoksen havantoarvojen yles- el kokonaskeskarvo on y y = j = = jossa = N on yhdstetyn otoksen havantojen kokonaslukumäärä. TKK (c) lkka Melln (005) 0 Pokkeamat keskarvosta Kokonasnelösumma Krjotetaan dentteett y y = ( y y) + ( y j y) + ( y y y j + y) testt perustuvat näden sulkulausekkella estettyjen pokkeamen nelösummlle. Määrtellään havantoarvojen kokonasvahtelua kuvaava kokonasnelösumma: SST = ( y y ) = j= os kakk havannot yhdstetään yhdeks otokseks, saadun yhdstetyn otoksen varanss on sy = SST jossa = N on yhdstetyn otoksen havantojen kokonaslukumäärä. TKK (c) lkka Melln (005) TKK (c) lkka Melln (005) Kästtelyvakutuksen ja lohkovakutuksen nelösummat Määrtellään kästtelyvakutusta kuvaava nelösumma: SSA = ( y y ) = Määrtellään lohkovakutusta kuvaava nelösumma: SSB = ( y y ) j j= äännösnelösumma Määrtellään jäännösnelösumma: SSE = ( y y y + y ) j = j= TKK (c) lkka Melln (005) 3 TKK (c) lkka Melln (005) 4

5 TKK (c) lkka Melln (005) 5 Varanssanalyyshajotelma Test kästtelyvakutukselle Nelösummat SST, SSA, SSB, SSE toteuttavat varanssanalyyshajotelman SST = SSA + SSB + SSE ja nelösummn lttyvät vapausasteden lukumäärät toteuttavat yhtälön = ( ) + ( ) + ( )( ) Määrtellään F-testsuure ( )( ) SSA FA = SSE jossa SSA on kästtelyvakutusta kuvaava nelösumma ja SSE on jäännösvahtelua kuvaava nelösumma. os nollahypotees H A : E kästtelyvakutusta pätee, nn FA F(( ), ( )( )) Suuret testsuureen F A arvot johtavat nollahypoteesn hylkäämseen. TKK (c) lkka Melln (005) 6 Lohkovakutus Varanssanalyystaulukko / ( )( ) SSB FB = SSE jossa SSB on lohkovakutusta kuvaava nelösumma ja SSE on jäännösvahtelua kuvaava nelösumma. Suureen F B suuret arvot ndkovat stä, että lohkohn jako on ollut perusteltua. Varanssanalyysn tulokset estetään tavallsest varanssanalyystaulukon muodossa: Vahtelun lähde A B Kokonasvahtelu äännösvahtelu SS SSA SSB SSE SST df ( )( ) MS MSA = SSA/df MSB = SSB/df MSE = SSE/df F F A = MSA/MSE TKK (c) lkka Melln (005) 7 TKK (c) lkka Melln (005) 8 Varanssanalyystaulukko / Varanssanalyystaulukon nelösummat toteuttavat yhtälön SST = SSA + SSB + SSE Yhtälö on varanssanalyyshajotelma. Varanssanalyystaulukon nelösummen vapausasteet toteuttavat yhtälön = ( ) + ( ) + ( )( ) Satunnastettu täydellnen lohkoasetelma ja kakssuuntanen varanssanalyys analyys tehdään samalla tavalla kun kakssuuntanen varanssanalyys seuraavassa tlanteessa: okasessa solussa on van yks havanto, jollon ryhmen ssästä vahtelua e ole ja nteraktovakutus sekottuu jäännösvahteluun. TKK (c) lkka Melln (005) 9 TKK (c) lkka Melln (005) 30

6 TKK (c) lkka Melln (005) 3 Havannot >> y = vastemuuttujan arvo, kun j. lohkossa on käytetty kästtelyä A, =,,,, j =,,, TKK (c) lkka Melln (005) 3 Kokonassumma, kästtelysummat ja lohkosummat Havantoarvojen nelöden summa Määrtellään havantoarvojen y kokonassumma: T = y = j= Määrtellään havantoarvojen y kästtelysummat: T = y, =,,, j= Määrtellään havantoarvojen y lohkosummat: T = y, j =,,, j = Määrtellään havantoarvojen y nelöden summa: y = j= TKK (c) lkka Melln (005) 33 TKK (c) lkka Melln (005) 34 Lohkovaranssen ja kokonasvaranssn laskemnen Kokonasnelösumman laskemnen Havantoarvojen y lohkovaransst saadaan kaavolla s y T j = j = j =,,, Havantoarvojen y kokonasvaranss saadaan kaavalla s y T = = j= Kokonasnelösumma SST vodaan laskea kaavalla SST = y T = j= TKK (c) lkka Melln (005) 35 TKK (c) lkka Melln (005) 36

7 TKK (c) lkka Melln (005) 37 Kästtelyvakutuksen ja lohkovakutuksen nelösummen laskemnen Kästtelyvakutusta kuvaava nelösumma saadaan kaavalla SSA = T T = Lohkovakutusta kuvaava nelösumma saadaan kaavalla SSB = T T j j= äännösnelösumman laskemnen äännösnelösumma SSE saadaan varanssanalyyshajotelman nojalla kaavalla SSE = SST SSA SSB TKK (c) lkka Melln (005) 38 Laskutomtusten järjestämnen taulukoks Laskutomtukset vodaan järjestää esmerkks seuraavan taulukon muotoon: Lohko Lohko Lohko Summa Kästtely y y y T Kästtely y y y T Kästtely Summa Nelöden summa y y y T T T T T TKK (c) lkka Melln (005) 39