Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi

Transkriptio

1 Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus BKT kasvuvauhdsta uomessa, uome ve volyymsta, vaallupaukssta, yms. Alkohol kulutukse ppuvuus htatasosta, hmste tulosta, alkohol saatavuudesta, vaotuslapusta, yms. Keuhkosyövä todeäkösyyde ppuvuus tupako määästä ja kestosta hde muuttuja tlastollset meetelmät kuvaavat ajottueest lmötä Mte kuvataa ja malletaa kahde ta useamma muuttuja välsä ppuvuuksa? Tlastolle ppuvuus, koelaato ja egesso Kahde muuttuja väle eksakt ppuvuus: tose avot vodaa eustaa takast tose saame avoje peusteella Kahde muuttuja väle tlastolle ppuvuus: tose avoja vodaa käyttää apua tose avoje eustamsessa Tlastollsta ppuvuutta kutsutaa koelaatoks Koelaato vomakkuutta mttaavat tuusluvut koelaatoketomet Regessoaalyys: seltettävä muuttuja tlastollse ppuvuude mall selttävstä muuttujsta Ka Vtae Ka Vtae Ka Vtae Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Ka Vtae 4 Jouse ptuus (cm) Pstedagamm avatoja kahdesta jäjestys-, välmatka- ta suhdeastekollsesta muuttujasta avatoaestoa kuvataa gaafsest pstedagammlla ooke lak: jouse ptuus ppuu leaasest jousee pustetusta paosta Tulokset kokeesta, jossa jousee pustett 6 e paoa Keejouse ptuude ppuvuus jousee pustetusta paosta Pao (kg) Peytyykö sä ptuus hedä pojllee? htä ptkllä sllä äyttää oleva moe mttasa poka Lyhyllä sllä äyttää oleva keskmää lyhyempä poka ku ptkllä sllä ja pävasto Poja ptuus (cm) Ise ja poke ptuudet Ka Vtae Isä ptuus (cm) 5 Tuusluvut Kahde välmatka- ta suhdeastekollse muuttuja havatoavoje muodostamaa jakaumaa kaaktesovat tuusluvut: avatoavoje keskmäääe sjat atmeette keskavo x + x + L+ x x x avatoavoje hajaatuesuus (otos)vaass s ( ) x x x avatoavoje hajaatuesuus (otos)keskhajota sx ( x x) avatoavoje leaae ppuvuus otoskovaass ta otoskoelaatokeo Ka Vtae 6

2 Otoskovaass avatoavosta (x, y ),,,, laskettu otoskovaass: s ( x x)( y y) jossa x x-havatoavoje atmeette keskavo y y-havatoavoje atmeette keskavo x- ja y-havatoavoje otoskovaasst tsesä kassa vaasst: sxx sx s yy s y Ka Vtae 7 Otoskovaass mek määäytyme Otoskovaass s mek määää summalauseke ( x x )( y y ) Otoskovaass saa postvsa (egatvsa) avoja, jos havatopstede muodostama pstepav ouseva (laskeva) ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x, y ) ( x x )( y y ) ( x x )( y y ) ( x, y ) ( x, y ) Ka Vtae 8 Peaso otoskoelaatokeo x- ja y-havatoavoje leaase tlastollse ppuvuude vomakkuude mtta: Peaso otoskoelaatokeo s ( x x)( y y) sxs y ( x x) ( y y) jossa s otoskovaass s x ja s keskhajoat x ja y atmeettset keskavot Ka Vtae 9 Otoskoelaatoketome omasuuksa () + () ±, jos ja va jos y α + β x jossa α ja β ovat eaalsa vakota ja β. () Koelaatoketomella ja kovaasslla s o aa sama mekk. ± > eksakt el fuktoaale leaae ppuvuus > havatopsteet suoalla > e eksakta ekä tlastollsta leaasta ppuvuutta Vakka, havatoavoje välllä saattaa slt olla jopa eksakt epäleaae ppuvuus Esmekkejä otoskoelaatoketomesta Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Peaso koelaatoketome estmot ja testaus Ka Vtae Ka Vtae Ka Vtae

3 Koelaato estmot ja testaus Kaks välmatka- ta suhdeastekollsta satuasmuuttujaa ja oletus: ja oudattavat -ulottesta omaaljakaumaa tutemattomat paamett: odotusavot, vaasst ja koelaatokeo Peaso koelaatoketome estmot ja luottamusväl omaaljakauma tutemattoma koelaatokeopaamet estmot vt. yksulottes omaaljakauma odotusavo ja vaass estmot hde otokse test koelaatoketomelle koelaatoketome vetaame vakoo Koelaatoketome vetalutest kaks tosstaa ppumatota satuasotosta koelaatoketome vetaame Koelomattomuude testaame yks satuasotos koelaatoketome vetaame ollaa Ka Vtae atuasmuuttuje koelaato atuasmuuttujat ja Odotusavot µ E( ) µ E( ) Vaasst Va( ) D ( ) E[( µ ) ] Kovaass Va( ) D ( ) E[( µ ) ] Cov(, ) E[( µ )( µ )] Koelaato Co(, ) Co(, ) atuasmuuttuje koelaatota kutsutaa tavallsest Peaso (tulomomett)koelaatoketomeks Koelaatokeo mttaa satuasmuuttuje ja leaase ppuvuude vomakkuutta Ka Vtae 4 Koelaatoketome estmot Oletetaa, että satuasmuuttujat ja oudattavat -ulottesta omaaljakaumaa N (µ, µ,,, ), Olkoo (, ),,, K, ppumato satuasotos satuasmuuttuje ja jakaumasta atuasmuuttuje ja koelaatokeo Co(, ) estmodaa otoskoelaatoketomella s s s Ka Vtae 5 Koelaatoketome luottamusväl Koelaatoketomelle vodaa kostuoda luottamusväl ja testt samassa hegessä (Fshe z-muuos) ku luottamusväl ja testt kostuodaa omaaljakauma odotusavolle Appoksmatvseks luottamusvälks (lb, ub) saadaa (jee, jee) ( α / ) ( α / ) ( + ) ( )exp + z lb ( + ) + ( )exp + z Nyt luottamustaso o α ja P( lb ub) a α Luottamusväl pettää koelaatoketome okea avo todeäkösyydellä ( α) ja se e petä okeata avoa todeäkösyydellä α ( α / ) ( α / ) ( + ) ( )exp z ub ( + ) + ( )exp z Ka Vtae 6 hde otokse test koelaatoketomelle, hypoteest Koelaatoketome vetaame aettuu vakoo lee hypotees : () atuasmuuttuje ja pa oudattaa -ulottesta omaaljakaumaa () Rppumato satuasotos (, ),,, K, Nollahypotees : Vahtoehtoe hypotees : > -suutaset vahtoehtoset hypoteest < -suutae vahtoehtoe hypotees Ka Vtae 7 hde otokse test koelaatoketomelle, testsuue ja p-avo Testsuue ok > testsuue oudattaa appoksmatvsest stadadotua omaaljakaumaa Testsuuee omaalavo uuet testsuuee avot > ollahypotees e päde p-avo pe > hylkyy + + log v log Ka Vtae 8

4 Koelaatoketome vetalutest, hypoteest Kahde koelaatoketome vetaame lee hypotees : Kaks tosstaa ppumatota satuasotosta peusjoukosta, jotka oudattavat -ulottesa omaaljakauma, koelaatoketomet ja Nollahypotees : Vahtoehtoe hypotees : > -suutaset vahtoehtoset hypoteest < -suutae vahtoehtoe hypotees Ka Vtae 9 Koelaatoketome vetalutest, testsuue ja p-avo Testsuue + + log log v + jossa, otoskoot ja, otoskoelaatoketomet Testsuuee omaalavo ok > testsuue appoksmatvsest omaaljakautuut tsesavoltaa peet testsuuee avot suu p-avo Ka Vtae Koelomattomuude testaame, hypoteest Ovatko satuasmuuttujat ja koelomattoma va e? uom : Koelomattomuudesta e välttämättä seuaa ppumattomuus, vakka ppumattomuudesta seuaa aa koelomattomuus!!!!!! uom : ja oudattavat -ulottesta omaaljakaumaa > koelomattomuus ppumattomuus lee hypotees : ja oudattaa -ulottesta omaaljakaumaa ppumato satuasotos (, ),,, K, Nollahypotees : Vahtoehtoe hypotees : > -suutaset vahtoehtoset hypoteest < -suutae vahtoehtoe hypotees Ka Vtae Koelomattomuude testaame, testsuue ja p-avo T-testsuue t ok > testsuue oudattaa tudet t-jakaumaa vapausaste - testsuuee omaalavo peet testsuuee avot p-avo pe > ollahypotees hylkyy Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Jäjestyskoelaatoketomet peama jäjestyskoelaatokeo Myös jäjestysastekollslle muuttujlle o koelaatoketoma ja koelomattomuude testejä ok myös välmatka- ja suhdeastekollslle muuttujlle vt. keskavo ja medaa sekä äh lttyvät testt peama jäjestyskoelaatokeo kahde muuttuja havatoavoje suuuusjäjestykse yhteesopvuus kahde muuttuja välse leaase tlastollse ppuvuude vomakkuus ja suuta e jakaumaoletusta > e-paamete test Ka Vtae Ka Vtae Ka Vtae 4 4

5 peama jäjestyskoelaatokeo, määtelmä / Olkoot ja j satuasmuuttuje ja havattuja avoja Oletetaa, että havaot ja lttyvät samaa havatoykskköö kaklle Jäjestetää sekä - että -muuttuja havatut avot suuuusjäjestyksee pemmästä suumpaa Ltetää sekä - että -muuttuja havattuh avoh de suuuusjäjestykse mukaset akt: R( ) havao ak passa R( ) havao ak passa sekä määtellää eotukset D R( ) R( ) peama jäjestyskoelaatokeo, määtelmä / peama jäjestyskoelaatokeo el peama ho 6 D peama jäjestyskoelaatokeo Peaso otoskoelaatokeo ake paesta (R( ), R( )) peama jäjestyskoelaatoketome omasuudet + Muuttuje ja akt ovat jokasessa havatopassa samat > + Muuttuje ja akt lttyvät tossa täys satuasest >, > muuttujat koelomattoma ekä suuet että peet muuttuje ja akt lttyvät havatopaessa tossa > saa postvsa avoja uuet ja peet muuttuje ja akt lttyvät havatopaessa tossa > saa egatvsa avoja Ka Vtae 5 Ka Vtae 6 Ka Vtae 7 peama jäjestyskoelaatokeo, koelomattomuude testaame : Co(, ) Testsuue z ok > testsuue suussa otoksssa appoksmatvsest omaaljakautuut appoksmaato o melko hyvä, ku > ja ttävä, ku > Testsuuee omaalavo Itsesavoltaa suuet testsuuee avot > e päde Nollahypotees hylkyy, jos p-avo o kyll pe Ka Vtae 8 5