MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:

Transkriptio

1 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma Frekvess Hylkäysvrhe Hypotees Hyväksymsalue Hyväksymsvrhe Kahde otokse testt Keskhajota Krtte arvo Merktsevyystaso Nollahypotees Normaaljakauma Odotusarvo Odotusarvoje vertalutest Otos Otoskoko Otosvarass Parvertalutest p-arvo Rppumattomat otokset Rppumattomuus Rppuvat otokset Stadardotu ormaaljakauma Suhteelle frekvess Suhteelle osuus Suhteellste osuukse vertalutest Test Testsuure Testt odotusarvolle Testt suhteellselle osuudelle Testt varasslle t-jakauma Todeäkösyys t-test Vahtoehtoe hypotees Vapausaste Varass Vertalutestt Yhde otokse testt Ykskertae satuasotos Ylee hypotees z-test Tlastollset testt Yhde otokse t-test Testausasetelma yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X, X,, X X N(, ),,,, Asetetaa ormaaljakauma N(, ) odotusarvo- el pakkaparametrlle ollahypotees H : Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

2 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o yhde otokse t-test odotusarvolle. Hypoteest yhde otokse t-testssä odotusarvolle Ylee hypotees H : Nollahypotees: X, X,, X X ~N(, ),,,, H : Vahtoehtoset hypoteest: H: H: H : -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoot ja X X s X X ( ) tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle ja. Tuusluku X o havatoje X, =,,, artmeette keskarvo ja s o havatoje X, =,,, otosvarass. Testsuure yhde otokse t-testssä odotusarvolle Määrtellää t-testsuure Jos ollahypotees t X s/ H : pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) Testsuuree t ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

3 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 e määrääme yhde otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, ) t Krtte raja ta arvo +t saadaa ehdosta jossa t t( ). Pr( tt ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, t ) Krtte raja ta arvo t saadaa ehdosta jossa t t( ). Pr( tt ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, t ) ( t, ) / / Krttset rajat ta arvot t / ja +t / saadaa ehdosta jossa t t( ). Pr( t t ) / / Pr( t t ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 3/3

4 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee määräämstä: H: H: H: t ( ) t ( ) t ( ) t t t t / / p-arvo määrääme yhde otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo t-testsuuree havattu arvo t. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H: H: H: t ( ) t ( ) t ( ) p p p p p p p t t t t Test p-arvo = p Test p-arvo = p Test p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Yhde otokse test varasslle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa N(, ): X, X,, X X N(, ),,,, Asetetaa ormaaljakauma N(, ) varassparametrlle ollahypotees H : Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 4/3

5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o yhde otokse -test varasslle. Hypoteest yhde otokse testssä varasslle Ylee hypotees H : Nollahypotees: X, X,, X X ~N(, ),,,, H : Vahtoehtoset hypoteest: H: -suutaset vahtoehtoset hypoteest H: H : -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot yhde testssä varasslle Olkoot ja X X s X X ( ) tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle ja. Tuusluku X o havatoje X, =,,, artmeette keskarvo ja s o havatoje X, =,,, otosvarass. Testsuure yhde otokse testssä varasslle Määrtellää -testsuure Jos ollahypotees ( ) s H : pätee, testsuure oudattaa -jakaumaa vapausaste ( ): ( ) Testsuuree ormaalarvo = ( ), koska ollahypotees H pätessä E( ) = Ste sekä peet että suuret testsuuree arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 5/3

6 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 e määrääme yhde otokse testssä varasslle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, ) Krtte raja ta arvo saadaa ehdosta Pr( ) () jossa ( ). Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, ) Krtte raja ta arvo saadaa ehdosta Pr( ) jossa ( ). () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, / ) ( /, ) Krttset rajat ta arvot / ja / saadaa ehdosta Pr( ) / / Pr( ) / / jossa ( ). Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 6/3

7 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee määräämstä: H: H: H: ( ) ( ) ( ) p-arvo määrääme yhde otokse testssä varasslle Olkoo -testsuuree havattu arvo. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä, ku vahtoehtoe hypotees o ykssuutae: H: H: ( ) ( ) Kakssuutase vahtoehtose hypotees H: tapauksessa test p-arvo o jossa p p p p Test p-arvo = p p m Pr( ),Pr( ) ( ) Test p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 7/3

8 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Kahde rppumattoma otokse t-test Testausasetelma kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo X, =,,, satuasotos ormaaljakaumasta N(, ). Tällö satuasmuuttujat X, =,,, ovat rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X X N(, ),,,, Olkoo X j, j =,,, satuasotos ormaaljakaumasta rppumattoma ja oudattavat samaa ormaaljakaumaa X, X,, X Oletetaa lsäks, että otokset X N(, ), j,,, N(, ) : N(, ). Tällö satuasmuuttujat X j, j =,,, ovat j N(, ) : ja X, =,,, X j, j =,,, ovat rppumattoma tosstaa. Asetetaa ormaaljakaume N(, ) ja N(, ) odotusarvo- el pakkaparametrelle ja ollahypotees H : Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o kahde rppumattoma otokse t-test odotusarvolle. Hypoteest kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Ylee hypotees H : X ~N(, ),,,, X ~N(, ), j,,, j Nollahypotees: Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j H : Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 8/3

9 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Vahtoehtoset hypoteest: H: H: H : -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoot ja k Xk Xk, k, k s ( X X ), k, k k k k k tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle k ja k. Tuusluku X k o havatoje X k, =,,, k, k =, artmeette keskarvo ja s k o havatoje X k, =,,, k, k =, otosvarass. Testsuure ylesessä tapauksessa kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Määrtellää t-testsuure Jos ollahypotees t A X X s s H : pätee, testsuure t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): t A a N(,) Testsuuree t A ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t A ) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t A arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. Pessä otoksssa testsuuree t A jakaumalle saadaa paremp approksmaato käyttämällä approksmovaa jakaumaa t-jakaumaa vapausaste (s. Satterthwate approksmaato) s s s s Jos e ole kokoasluku, : arvo o tapaa pyörstää alaspä lähmpää kokoaslukuu. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 9/3

10 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Hema huoomp approksmaato testsuuree t A jakaumalle (mutta, joka o paremp ku ormaaljakauma-approksmaato) saadaa käyttämällä approksmovaa jakaumaa t-jakaumaa vapausaste m(, ) e määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Valtaa test merktsevyystasoks. Kästtelemme tässä krttste rajoje määräämstä va, ku testsuuretta t A approksmodaa ormaaljakaumalla. Krttste rajoje määrääme, ku testsuuretta t A approksmodaa t- jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, ) t Krtte raja ta arvo +t saadaa ehdosta Pr( tt ) () jossa t N(,). Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, t ) Krtte raja ta arvo t saadaa ehdosta jossa t N(,). Pr( tt ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H: test hylkäysalue o muotoa (, t ) ( t, ) / / Krttset rajat ta arvot t / ja +t / saadaa ehdosta jossa t N(,). Pr( t t ) / / Pr( t t ) / / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

11 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H: H: H: N(,) N(,) N(,) t t t t / / p-arvo määrääme kahde rppumattoma otokse t-testssä odotusarvolle Olkoo t-testsuuree t A havattu arvo t. Kästtelemme tässä test p-arvo määräämstä va, ku testsuuretta t A approksmodaa ormaaljakaumalla. p-arvo määrääme, ku testsuuretta t A approksmodaa t-jakaumalla, tapahtuu täsmällee samalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H: H: H: N(,) N(,) N(,) p p p p p p p t t t t Test p-arvo = p Test p-arvo = p Test p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. t-test parvertalulle Testausasetelma t-testssä parvertalulle Oletetaa, että havaot muodostuvat muuttujaa X koskevsta tosstaa rppumattomsta mttaustulokse paresta (X, X ), =,,, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

12 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Tavotteea o verrata mttauksa X ja X tossa: Atavatko mttaukset ja keskmäär sama tulokse? Muodostetaa mttaustulokse X ja X erotukset D,,,, X X Mttaukset ja atavat keskmäär sama tulokse, jos erotukset D saavat keskmäär arvo olla. Parvertaluogelma ratkasua o tavaomae yhde otokse t-test mttaustulokse X ja X erotukse D odotusarvolle. Hypoteest t-testssä parvertalulle Ylee hypotees H : Nollahypotees: D, D,, D D ~N( D, D),,,, H : Vahtoehtoset hypoteest: D H: D H: D -suutaset vahtoehtoset hypoteest H : -suutae vahtoehtoe hypotees D Parametre estmot t-testssä parvertalulle Olkoot ja D D s D D D ( ) tavaomaset harhattomat estmaattort ormaaljakauma parametrelle ja. Tuusluku D o erotuste D,,,, X X artmeette keskarvo ja s D o erotuste D,,,, X X otosvarass. Testsuure t-testssä parvertalulle Määrtellää t-testsuure Jos ollahypotees t s D D / H : D D D Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

13 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) Testsuuree t ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(t) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme t-testssä parvertalulle Krttste arvoje määrääme tapahtuu vastaavalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. p-arvo määrääme t-testssä parvertalulle Test p-arvo määrääme tapahtuu vastaavalla tavalla ku yhde otokse t-test tapauksessa. Test suhteellselle osuudelle Testausasetelma testssä suhteellselle osuudelle Olkoo A perusjouko S tapahtuma ja olkoo Pr(A) = p Pr(A c ) = p = q Määrtellää satuasmuuttuja, jos tapahtuma A sattuu X, jos tapahtuma A e satu Tällö satuasmuuttuja X oudattaa Beroull-jakaumaa parametraa p: ja X Ber(p) E( X) p Var( ) D ( ) X X pq Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällö A = Perusjouko S alkolla o omasuus P p = Pr(A) o todeäkösyys poma perusjoukosta S satuasest alko, jolla o omasuus P. Jos perusjoukko S o äärelle, todeäkösyys p kuvaa de perusjouko S alkode suhteellsta osuutta, jolla o omasuus P. Olkoo X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p). Tällö X, X,, X X Beroull( p),,,, Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 3/3

14 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Asetetaa Beroull-jakauma odotusarvoparametrlle p ollahypotees H : p = p Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o test suhteellselle osuudelle. Hypoteest testssä suhteellselle osuudelle Ylee hypotees: Nollahypotees: X, X,, X X Beroull( p),,,, H : p = p Vahtoehtoset hypoteest: H: p p H: p p H : p p -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot testssä suhteellselle osuudelle Olkoo pˆ X tavaomae harhato estmaattor Beroull-jakauma parametrlle p. Huomaa, että X f o tapahtuma A frekvess sä -kertasessa rppumattome Beroull-kokede sarjassa, jota ykskertase satuasotokse pomta Beroull-jakaumasta Beroull(p) merktsee. Ste f pˆ o tapahtuma A suhteelle frekvess ja f X B(, p) Testsuure testssä suhteellselle osuudelle Määrtellää z-testsuure Jos ollahypotees z pˆ p H : p = p p( p) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 4/3

15 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(,): z a N(,) Testsuuree z ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(z) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree z arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme testssä suhteellselle osuudelle Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p test hylkäysalue o muotoa (, ) z Krtte raja ta arvo +z saadaa ehdosta Pr( zz ) () jossa z N(,). Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p test hylkäysalue o muotoa (, z ) Krtte raja ta arvo z saadaa ehdosta jossa z N(,). Pr( zz ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p test hylkäysalue o muotoa (, z ) ( z, ) / / Krttset rajat ta arvot z / ja +z / saadaa ehdosta jossa Pr( zz ) / / Pr( zz ) / z N(,). / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 5/3

16 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 H:p p H:p p H:p p N(,) N(,) N(,) z z z z / / p-arvo määrääme testssä suhteellselle osuudelle Olkoo z-testsuuree z havattu arvo z. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H:p p H:p p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Suhteellste osuukse vertalutest Testausasetelma suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo A perusjouko S k, k =, tapahtuma ja olkoot Pr(A) = p k, k =, Pr(A c ) = p k = q k, k =, Määrtellää satuasmuuttujat X k, k =, : Tällö X k, jos Atapahtuu perusjoukossa Sk, jos Ae tapahdu perusjoukossa S k Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 6/3

17 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 ja X k ~ Beroull(p k ), k =, E( X ) p k k Var( Xk) D ( Xk) pkqk Oletetaa, että tapahtuma A o muotoa Tällö A = Perusjouko alkolla o omasuus P p k = Pr(A) o todeäkösyys poma perusjoukosta S k, k =, satuasest alko, jolla o omasuus P. Jos perusjoukko S k, k =, o äärelle, todeäkösyys p k kuvaa de perusjouko S k alkode suhteellsta osuutta, jolla o omasuus P. Olkoo X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p ). Tällö Olkoo X, X,, X X Beroull( p ),,,, X, X,, X satuasotos perusjoukosta S, joka oudattaa Beroull-jakaumaa Beroull(p ). Tällö X, X,, X X Beroull( p ),,,, Olkoot otokset lsäks tosstaa rppumattoma. Asetetaa Beroull-jakaume parametrelle p ja p ollahypotees H : p p p Testausogelma: Ovatko havaot sopusoussa ollahypotees H kassa? Ogelma ratkasua o suhteellste osuukse vertalutest. Hypoteest suhteellste osuukse vertalutestssä Ylee hypotees: Nollahypotees: X Beroull( p),,,, X Beroull( p ),,,, X, X,, X, X, X,, X H : p p p Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 7/3

18 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Vahtoehtoset hypoteest: H: p H: p H : p p p p -suutaset vahtoehtoset hypoteest -suutae vahtoehtoe hypotees Parametre estmot suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo k pˆ k Xk, k, k tavaomae harhato estmaattor Beroull-jakauma parametrlle p k, k =,. Huomaa, että k X f, k, k k o tapahtuma A frekvess sä -kertasessa rppumattome Beroull-kokede sarjassa, jota ykskertase satuasotokse pomta Beroull-jakaumasta Beroull(p k ), k =, merktsee. Ste fk pˆ k, k, k o tapahtuma A suhteelle frekvess otoksessa k =, ja Jos ollahypotees k f X B(, p ) k k k k H : p p p pätee, vodaa otokset yhdstää ja parametr p harhato estmaattor o tapahtuma A suhteelle frekvess yhdstetyssä otoksessa: pˆ pˆ f f pˆ Jos ollahypotees H pätee, p( p) p( p) Var( pˆ pˆ ) p( p) Testsuure suhteellste osuukse vertalutestssä Määrtellää testsuure Jos ollahypotees z pˆ pˆ pˆ( pˆ) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 8/3

19 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 H : p p p pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: z a N(,) Testsuuree z ormaalarvo =, koska ollahypotees H pätessä E(z) = Ste tsesarvoltaa suuret testsuuree z arvot vttaavat she, että ollahypotees H e päde. e määrääme suhteellste osuukse vertalutestssä Valtaa test merktsevyystasoks. () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p test hylkäysalue o muotoa (, ) k z Krtte raja ta arvo +z saadaa ehdosta Pr( zz ) () jossa z N(,). Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p test hylkäysalue o muotoa (, z ) Krtte raja ta arvo z saadaa ehdosta jossa z N(,). Pr( zz ) () Jos vahtoehtoe hypotees o muotoa H:p p test hylkäysalue o muotoa (, z ) ( z, ) / / Krttset rajat ta arvot z / ja +z / saadaa ehdosta jossa Pr( zz ) / / Pr( zz ) / z N(,). / Nollahypotees hylätää, jos testsuuree arvo osuu hylkäysalueelle. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 9/3

20 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Alla olevat kuvot havaollstavat test hylkäysaluee valtaa: H:p p H:p p H:p p N(,) N(,) N(,) z z z z / / p-arvo määrääme suhteellste osuukse vertalutestssä Olkoo z-testsuuree z havattu arvo z. Alla olevat kuvot havaollstavat test p-arvo määräämstä: H:p p H:p p H:p p N(,) N(,) N(,) p p p p p p p z z z z p-arvo = p p-arvo = p p-arvo = p Nollahypotees hylätää, jos test p-arvo o kyll pe. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

21 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Esmerkk 9.. Koe valmstaa auloja, jode tavoteptuutea o cm. Nauloje ptuus vahtelee kutek satuasest oudattae ormaaljakaumaa. Nauloje laatua seurataa ste, että tasatue edellse tu akaa valmstettuje auloje joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko o 3 ja otoksee pomttuje auloje keskptuutta verrataa tavotearvoo. Eräässä otoksessa auloje ptuukse artmeettseks keskarvoks saat 9.95 cm ja otosvarassks saat. cm. Testaa ollahypoteesa, että ko. tu akaa valmstettuje auloje todelle keskptuus o tavotearvo mukae, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että keskptuus o tavotearvoa peemp. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Esmerkk 9.. Mtä opmme? Esmerkssä 9.. sovelletaa yhde otokse t-testä. Esmerkk 9.. Ratkasu: Koe valmstaa auloja. Koee valmstame auloje joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko = 3. Määrtellää satuasmuuttujat X = aula ptuus otoksessa, =,,, 3 Ylee hypotees H o muotoa: X, X,, X X 3 N(, ),,,,3 Nollahypotees H o muotoa: H : = Vahtoehtoe hypotees H o muotoa. H : < Sovelletaa yhde otokse t-testä. Testsuureea o jossa t X s/ X X s X X, ( ) Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(9) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Tehtävä tapauksessa jote X s 3, 9.95,., Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

22 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 X 9.95 t.739 s/./ 3 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : <, testsuuree t arvoa.739 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t.739) =.5 jossa t t(9). Ste ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla, koska p =.5 <. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H : <, merktsevyystasoa. vastaava krtte arvo o t. =.46 sllä t-jakauma taulukode mukaa ku t t(9). Koska Pr(t.46) =. t =.739 <.46 = t. testsuuree t arvo.46 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Koe tekee auloja, jode keskmääräe ptuus o tlastollsest merktseväst tavotearvoa cm peemp. Esmerkk 9.. Kuulalaakertehtaassa o kaks kuulalaaker kuula valmstavaa koetta, K ja K. Koede valmstame kuule paot vahtelevat satuasest (ja tosstaa rppumatta) oudattae ormaaljakaumaa. Kummak koee valmstame kuule joukosta pomtaa tosstaa rppumattomat ykskertaset satuasotokset ja otokssta lasketaa otoksee pomttuje kuule paoje artmeettset keskarvot ja keskhajoat. Otokssta saadut tedot o aettu alla olevassa taulukossa. Testaa ollahypoteesa, että koeet K ja K valmstavat keskmäär samapaosa kuula, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että koede K ja K valmstame kuule keskpaot eroavat tosstaa. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Koe Artmeette keskarvo (g) Keskhajota (g) Otoskoko K.. 3 K.. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) /3

23 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Esmerkk 9.. Mtä opmme? Esmerkssä 9.. sovelletaa kahde rppumattoma otokse t-testä. Esmerkk 9.. Ratkasu: Tehtaalla valmstetaa kuulalaaker kuula kahdella koeella K ja K. Koee K valmstame kuule joukosta pomtaa ykskertae satuasotos, joka koko = 3. Koee K valmstame kuule joukosta pomtaa (edellsestä rppumato) ykskertae satuasotos, joka koko =. Määrtellää satuasmuuttujat X = koee K tekemä kuula pao otoksessa, =,,, 3 X j = koee K tekemä kuula pao otoksessa, j =,,, Ylee hypotees H o muotoa: X N(, ), =,,, 3 X N(, ), j =,,, j Havaot X ja X j ovat rppumattoma kaklle ja j Nollahypotees H o muotoa: H : = = Vahtoehtoe hypotees H o muotoa: H : Määrtellää seuraavat otossuureet: k Xk Xk, k, k s ( X X ), k, s Testsuuretta t k k k k k ( ) s ( ) s p A X X s s vodaa käyttää kakssa testausasetelmssa, jossa ylee hypotees H pätee. Jos ollahypotees H : = = pätee, testsuure t A oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: t A a N(,) Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 3/3

24 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Pessä otoksssa testsuuree t A jakaumalle saadaa paremp approksmaato käyttämällä approksmaatoa Studet t-jakaumaa, jossa vapausastede lukumäärää käytetää lukua s s s s Itsesarvoltaa suuret testsuuree t A arvot sotvat ollahypoteesa H : = = vastaa. Tehtävä tapauksessa jote X s. X..4 s. 3 t X X A s.4. s Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H :, testsuuree t A arvoa.363 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma-approksmaatota käyttäe Pr(z >.363) = (.999) =.8 ku z N(,). Ste ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla, koska p =.8 >. Jos käytämme t-jakauma-approksmaatota, vapausastede lukumääräks tulee s s s s jote käytämme vapausastede lukumäärää alaspä pyörstettyä lukua 46. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H :, testsuuree t A arvoa.363 vastaavaks p-arvoks saadaa t-jakauma-approksmaatota käyttäe esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t >.363) =. =. ku t t(46). Ste ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla, koska p =. >. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 4/3

25 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H :, t-jakauma taulukosta saadaa %: merktsevyystasoa vastaavlle krttslle arvolle t.5 ja +t.5 arvot Koska t.5 (.74,.678) +t.5 (+.678, +.74).678 < t A =.363 < testsuuree t A arvo.363 o osuut hyväksymsalueelle ja ollahypotees H jää vomaa %: merktsevyystasolla. Johtopäätös: Koede tekeme kuule keskmääräset paot evät pokkea tlastollsest merktseväst tosstaa. Huomaa kutek, että johtopäätös vahtus pävastaseks, jos test merktsevyystasoks ols valttu 5 %. Esmerkk 9.3. Testattaessa erästä verepaelääkettä samoje potlade (8 kpl) verepae mtatt ee ja jälkee lääkkee auttmse. Koetulokset (verepaeet mm/hg) o estetty alla olevassa taulukossa. Testaa hypoteesa, että lääke e keskmäär alea verepaetta, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että lääke keskmäär aletaa verepaetta. Käytä testssä %: merktsevyystasoa Jälkee Ee Esmerkk 9.3. Mtä opmme? Esmerkssä 9.3. sovelletaa t-testä parvertalulle. Huomaa, että tehtävä 9.. rppumattome otokse t-test e saa käyttää, koska verepaemttaukset ee ja jälkee lääkkee atamse evät luultavast ole rppumattoma: Potlalla, jolla o keskmäärästä korkeamp (matalamp) verepae ee lääkkee atoa o luultavast keskmäärästä korkeamp (matalamp) verepae myös lääkkee atamse jälkee, vakka lääke lasksk verepaetta; ts. mttaustulokslla ee ja jälkee lääkkee atamse o luultavast selvä postve korrelaato. Esmerkk 9.3. Ratkasu: Koska verepaemttaukset ee ja jälkee lääkkee atamse luultavast rppuvat tosstaa, tällasessa parvertaluasetelmassa tomtaa seuraavast: Määrätää havatoarvoje parkohtaset erotukset ja testataa ollahypoteesa, joka mukaa erotukset ovat keskmäär olla. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 5/3

26 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Olkoot X E = potlaa verepae ee lääkkee atamsta, =,,, 8 X J = potlaa verepae ee lääkkee atamsta, =,,, 8 D = X E X J, =,,, 8 Ylee hypotees H o muotoa: D, =,,, 8 N( D, D) Erotukset D, D,, D 8 ovat rppumattoma Nollahypotees H o muotoa: E(D ) =, =,,, 8 Sovelletaa yhde otokse t-testä mttaustuloste erotukslle. Testsuureea o jossa t s D D / D D s D D, D ( ) Jos ollahypotees H pätee, testsuure t oudattaa Studet t-jakaumaa vapausaste ( ): t t( ) = t(7) Itsesarvoltaa suuret testsuuree t arvot johtavat ollahypotees hylkäämsee. Tehtävä tapauksessa Ste D s D 8, 4.5, 6.6 D 4.5 t 3.3 s / 4.7/ 8 D Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: D, testsuuree t arvoa 3.3 vastaavaks p-arvoks saadaa esm. Mcrosoft Excel -ohjelmalla Pr(t > 3.3) =.83 jossa t t(7). Ste ollahypotees H vodaa hylätä merktsevyystasolla., koska p =.83 <. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: D, merktsevyystasoa. vastaava krtte arvo o +t. =.998 sllä t-jakauma taulukode mukaa Pr( t.998). Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 6/3

27 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 ku t t(7). Koska t = 3.3 >.998 ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H hyväksyä. Johtopäätös: Lääkkeellä o tlastollsest merktseväst keskmäärästä verepaetta aletava vakutus. Esmerkk 9.4. Tuottee valmstaja vättää, että se tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom slle tomtettuje tuottede joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 vallsta tuotetta. Oko valmstaja väte okeutettu? Testaa ollahypoteesa, että valmstaja väte o okeutettu, ku vahtoehtosea hypoteesa o, että vallste suhteelle osuus o suuremp ku valmstaja vättämä 5 %. Käytä testssä %: merktsevyystasoa. Esmerkk 9.4. Mtä opmme? Esmerkssä 9.4. sovelletaa testä suhteellselle osuudelle. Esmerkk 9.4. Ratkasu: Tuottee valmstaja vättää, että se tuottesta korketaa 5 % o vallsa. Asakas pom slle tomtettuje tuottede joukosta otokse, joka koko o ja löytää 9 vallsta tuotetta. Oko valmstaja väte okeutettu? Olkoo A = Tuote o valle Tuottee valmstaja mukaa Pr(A) = p =.5 Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat Tällö X, jos. tarkastettu tuote o valle, jos. tarkastettu tuote e ole valle X Ber(p) Asetetaa ollahypotees H : p = p =.5 Määrtellää testsuure jossa z pˆ p p( p) = Tarkastettavaks pomttuje tuottede lukumäärä Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 7/3

28 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 ˆp = Vallste tuottede suhteelle osuus tarkastettuje joukossa Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Tehtävässä jote z a N(,), pˆ 9/.95 z pˆ p.95.5 p( p).5(.5) Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: p.5, testsuuree arvoa z arvoa.9 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.9) =.8 Ste havaot ssältävät vomakasta evdessä ollahypoteesa H vastaa; ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. Koska vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H: p.5, merktsevyystasoa. vastaava krtte arvo o +z. = +.33 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Koska Pr( z.33). z =.9 >.33 testsuuree z arvo.9 o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Vallste suhteelle osuus o tlastollsest merktseväst valmstaja lmottamaa arvoa suuremp..9 Esmerkk erääsee vakavaa taut sarastuutta potlasta jaett satuasest kahtee ryhmää A ja B, jossa kummassak ol 3 potlasta. Ryhmälle A aett taut kehtettyä uutta lääkettä ja ryhmälle B paljo käytettyä vahaa lääkettä. (a) (b) Ryhmässä A taudsta para 95 potlasta ja ryhmässä B 5 potlasta. Suosttelstko uude lääkkee ottamsta käyttöö koetulokse perusteella? Ryhmässä A taudsta para 5 potlasta ja ryhmässä B 95 potlasta. Suosttelstko uude lääkkee ottamsta käyttöö koetulokse perusteella? Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 8/3

29 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Esmerkk 9.5. Mtä opmme? Esmerkssä 9.5. sovelletaa suhteellste osuukse vertalutestä rppumattomlle otokslle. Esmerkk 9.5. Ratkasu: 6 erääsee vakavaa taut sarastuutta potlasta jaett satuasest kahtee ryhmää A ja B, jossa kummassak ol 3 potlasta. Ryhmälle A aett uutta lääkettä ja ryhmälle B vahaa lääkettä. (a) Ryhmässä A taudsta para 95 potlasta ja ryhmässä B 5 potlasta. Jos uus lääke parataa vähemmä potlata ku vaha lääke, e tlastollsta testausta tarvta se johtopäätökse tekemseks, että uutta lääkettä e kaata ottaa käyttöö aakaa tästä kokeesta saadu evdess perusteella. Se sjaa, jos uus lääke parataa eemmä potlata ku vaha lääke, o testaus tarpee, jotta saadaa selvlle oko paratuede määrä lsäätymstä pdettävä sattumavarasea el otosvahtelusta johtuvaa va e. (b) Ryhmässä A taudsta para 3 potlaasta 5 ja ryhmässä B para 3 potlaasta 95. Olkoo A = Potlas paraee ja Pr(A) = p, jos potlas kuuluu ryhmää A Pr(A) = p, jos potlas kuuluu ryhmää B Määrtellää rppumattomat satuasmuuttujat X k, jos. potlas paraee ryhmässä k, jos. potlas e parae ryhmässä k,,,, k, jossa k = ryhmä A k = ryhmä B Tällö X k Ber(p k ), k =, Asetetaa ollahypotees H : p = p Määrtellää testsuure z pˆ pˆ pˆ( pˆ) k Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 9/3

30 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Testsuuree lausekkeessa ja = Potlade lukumäärä ryhmässä A ˆp = Paratuede suhteelle osuus ryhmässä A = Potlade lukumäärä ryhmässä B ˆp = Paratuede suhteelle osuus ryhmässä B Huomaa, että jossa ja ˆp = Paratuede suhteelle osuus kakke potlade joukossa ˆp = f / ˆp = f / f = Paratuede lukumäärä ryhmässä A f = Paratuede lukumäärä ryhmässä B f f pˆ pˆ pˆ Jos ollahypotees H pätee, testsuure z oudattaa suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa: Tehtävässä jote Ste z a N(,) 3, pˆ 5/3.75 3, pˆ 95/3.65 pˆ pˆ pˆ.7 z pˆ pˆ pˆ( pˆ).7(.7) Jos vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H:p p, testsuuree z arvoa.67 vastaavaks p-arvoks saadaa ormaaljakauma taulukosta Pr(z >.67) =.38 Ste aesto ssältää vomakasta evdessä ollahypoteesa H vastaa; ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 3/3

31 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Koska Jos vahtoehtosea hypoteesa o -suutae vahtoehto H:p p, merktsevyystasoa. vastaava krtte arvo o +z. = +.3 sllä ormaaljakauma taulukode mukaa Pr( z.33). z =.67 >.33 testsuuree z arvo o osuut hylkäysalueelle ja ollahypotees H vodaa hylätä %: merktsevyystasolla ja vahtoehtoe hypotees H vodaa hyväksyä. Johtopäätös: Uude lääkkee käyttööotto o (b)-kohda tapauksessa perusteltua, koska paratuede suhteelle osuus o uutta lääkettä saaede joukossa tlastollsest merktseväst vahaa lääkettä saaede osuutta suuremp. Huomautuksa tlastollsesta testauksesta: () Test tulos el se, hylätääkö test ollahypotees va jätetääkö se vomaa, rppuu sekä valtusta merktsevyystasosta että vahtoehtose hypotees muodosta. () Käytäö tutkmuksessa apuas e ole lueotsjaa, joka atas sulle ollahypotees ja vahtoehtose hypotees muodo ja testssä käytettävä merktsevyystaso. (3) Tlasto-ohjelmstot tulostavat ykyää tavallsest testsuuree arvo ja stä vastaava p-arvo (ta testsuuree arvoa vastaava s. hätätodeäkösyyde). Tällö tutkja o päätettävä test p-arvo (ta hätätodeäkösyyde) perusteella hylätäkö ollahypotees va e. (4) Merktsevyystaso valta ta ollahypotees hylkäämsee johtava kyysarvo valta p-arvolle ovat valtoja, joh o aettava vakuttaa myös se, mtä seurauksa o ollahypotees hylkäämsestä ja mtä ollahypotees jäämsestä vomaa. Mlla Kbble ja Ilkka Mell (3) 3/3