Generoidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Generoidaan tiedostoon BINORM satunnaislukuja jakaumasta N(0,1) muuttujiksi U, V: (U, V): N 2 (0, 0, 1, 1, 0)"

Transkriptio

1 Mat-2.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat Korrelaato ja assosaato Hypotees, Järjestyskorrelaatokertomet, χ 2 -rppumattomuustest, Korrelaatokerro, Pstedagramm, Päätössäätö, Nollahypotees, p-arvo, Rppumattomuude testaame, Spearma rho, Test, Testsuure, Testsuuree ormaalarvo, Vahtoehtoe hypotees, Yhteesopvuustest, Ylee hypotees. Pstedagramm ja korrelaato (a) (b) (c) (d) Ratkasu: (a) Geero STATISTIX-ohjelma satuaslukuja tuottavlla alohjelmlla tedostoo BINORM seuraavat muuttujat (50 havatoa): U: N(0,) V: N(0,) Muodosta STATISTIX-ohjelma trasformaatolla tedostoo BINORM kaksulottesta ormaaljakaumaa N 2 (µ, µ 2, σ 2, σ 2 2, ρ) oudattavat muuttujapart (ks. kaavoja tehtäve lopussa): (X, Y): N 2 (0, 20,, 4, 0.95) (X2, Y2): N 2 ( 5, 2, 9,, 0.4) (X3, Y3): N 2 (0, 0,,, 0.7) Prrä pstedagrammt (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3) ja arvo de perusteella muuttuje välste korrelaatode merkt ja suuruusluokat. Arvo satuaslukuje geero ostumsta estmomalla geerotuje muuttuje artmeettset keskarvot, otosvarasst ja otoskorrelaatokertomet muuttujaparelle (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3) ja vertaamalla tä vastaave teoreettste tuuslukuje arvoh. Testaa muuttujaparssa (X3, Y3) ollahypoteesa H 0 : ρ = 0.7 Satuaslukuje geerot Geerodaa tedostoo BINORM satuaslukuja jakaumasta N(0,) muuttujks U, V: (U, V): N 2 (0, 0,,, 0) Data > Trasformatos Trasformato Expresso U / V = NRadom (0,) TKK Ilkka Mell (2005) /23

2 Trasformodaa muuttujat U ja V 2-ulottesta ormaaljakaumaa N 2 (µ, µ 2, σ 2, σ 2 2, ρ) oudattavks satuasmuuttuje pareks (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3): (X, Y): N 2 (0, 20,, 4, 0.95) (X2, Y2): N 2 ( 5, 2, 9,, 0.4) (X3, Y3): N 2 (0, 0,,, 0.7) Data > Trasformatos Trasformato Expresso X / X2 / X3 = σ * U + µ Data > Trasformatos Trasformato Expresso Y / Y2 / Y3 = σ 2 (ρ * U + Sqrt( ρ * ρ) * V) + µ 2 (b) Pstedagrammt Muodostetaa muuttujapare (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3) parettaset pstedagrammt: Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = U / X / X2 / X3 Y Axs Varables = V / Y / Y2 / Y3 TKK Ilkka Mell (2005) 2/23

3 (U, V): N 2 (0, 0,,, 0) X-Axs Varables = U Y-Axs Varables = V Scatter Plot of V vs U V U Muuttujat U ja V äyttävät lähes korrelomattomlta. (X, Y): N 2 (0, 20,, 4, 0.95) X-Axs Varables = X Y-Axs Varables = Y Scatter Plot of Y vs X 24 2 Y X Muuttujat X ja Y äyttävät vomakkaast postvsest korrelotueta. TKK Ilkka Mell (2005) 3/23

4 (X2, Y2): N 2 ( 5, 2, 9,, 0.4) X-Axs Varables = X2 Y-Axs Varables = Y2 3.6 Scatter Plot of Y2 vs X Y X2 Muuttujat X2 ja Y2 äyttävät leväst postvsest korrelotuelta. (X3, Y3): N 2 (0, 0,,, 0.7) X-Axs Varables = X3 Y-Axs Varables = Y3 Scatter Plot of Y3 vs X Y X3 Muuttujat X3 ja Y3 äyttävät melko vomakkaast egatvsest korrelotueta. TKK Ilkka Mell (2005) 4/23

5 (c) Tuusluvut Lasketaa muuttuje U, V, X, Y, X2, Y2, X3, Y3 artmeettset keskarvot ja varasst: Statstcs > Summary Statstcs > Desrptve Statstcs Descrptve Varables = U, V, X, Y, X2, Y2, X3, Y3 DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE MEAN VARIANCE U V X Y X Y X Y Vertaa geerodusta havaosta laskettuja artmeettsa keskarvoja ja varasseja geerossa käytettyh 2-ulottese ormaaljakauma parametre arvoh: Muuttuja Odotusarvo Varass U 0 V 0 X 0 Y 20 4 X2 5 9 Y2 2 X3 0 Y3 0 Erot havatoje geerossa käytettyje parametre arvoje ja geerodusta havaosta laskettuje vastaave otossuurede arvoje välllä evät ole yhdessäkää tapauksessa kov suura. Tos varasst äyttävät oleva systemaattsest jok verra la peä. Erot johtuvat satuasvahtelusta ja/ta satuaslukugeeraattor omasuukssta. TKK Ilkka Mell (2005) 5/23

6 Pearso otoskorrelaatokerro lasketaa kaavalla jossa r s xy xy = = ss x y = xy = ( x x)( y y) 2 2 ( x x) ( y y) = = s = ( x x)( y y) o x- ja y-havatoarvoje otoskovarass, s 2 2 x = ( x x ) = o x-havatoarvoje varass, s 2 2 y = ( y y ) = o y-havatoarvoje varass sekä s x ja s y ovat vastaavat otoskeskhajoat. Lasketaa korrelaatot muuttujaparesta (U, V), (X, Y), (X2, Y2), (X3, Y3): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = U, V / X, Y / X2, Y2 / X3, Y3 CORRELATIONS (PEARSON) U V CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 CORRELATIONS (PEARSON) X Y CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 TKK Ilkka Mell (2005) 6/23

7 CORRELATIONS (PEARSON) X2 Y CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 CORRELATIONS (PEARSON) X3 Y CASES INCLUDED 50 MISSING CASES 0 Vertaa geerodusta havaosta laskettuja korrelaatota geerossa käytettyh 2-ulottese ormaaljakauma parametr arvoh: Muuttujapar Korrelaato U, V 0 X, Y 0.95 X2, Y2 0.4 X3, Y3 0.7 Erot havatoje geerossa käytettyje parametr arvoje ja geerodusta havaosta laskettuje vastaave otossuurede arvoje välllä evät ole yhdessäkää tapauksessa kov suura. Erot johtuvat satuasvahtelusta ja/ta satuaslukugeeraattor omasuukssta. (d) Korrelaato testaame Testataa muuttujaparssa (X3, Y3) ollahypoteesa H 0 : ρ = 0.7 ku geerodusta havaosta laskettu korrelaato o Käytetää testssä Fsher z-muuoksee perustuvaa testsuuretta + r + ρ 0 log log 2 r 2 ρ0 z = 3 TKK Ilkka Mell (2005) 7/23

8 Jos ollahypotees H 0 : ρ = ρ 0 pätee, testsuure z o jakautuut approksmatvsest stadardodu ormaaljakauma mukaa: z a N(0,) Testsuuree arvoks saadaa z =.364 Stä vastaava p-arvo 2-suutaselle vahtoehtoselle hypoteeslle o p = Ste ollahypotees H 0 : ρ = 0.7 jää vomaa. Testsuuree arvoa vastaava p-arvo määrääme tapahtuu seuraavalla operaatolla: Statstcs > Probablty Fuctos Fucto = Z 2-tal (x) x = Pstedagramm ja korrelaato STATISTIX-tedostossa TUPAKKA o aettu seuraavat tedot maasta: (a) (b) (c) Ratkasu: KULUTUS = savukkede kulutus per capta 930 SAIRAST = keuhkosyöpätapauste lukumäärä per heklöä 950 Prrä aestosta pstedagramm (KULUTUS, SAIRAST) ja arvo se perusteella muuttuje välse korrelaato merkk ja suuruusluokka. Laske aestosta Pearso tulomomettkorrelaatokerro. Laske aestosta Pearso tulomomettkorrelaatokerro, ku jätät USA: pos. Vertaa tulosta (b)-kohda tuloksee. Kommetteja? Tedosto TUPAKKA havatomet saadaa äkyv seuraavalla operaatolla: Data > Labels > Value Labels Source Varable = MAA TKK Ilkka Mell (2005) 8/23

9 Aesto vodaa tulostaa seuraavalla operaatolla: Fle > Prt Prt Varables = MAA, KULUTUS, SAIRAST TUPAKKA CASE MAA KULUTUS SAIRAST Islat Norja Ruots Kaada Taska Itavalta USA Hollat Svets Suom GB (a) Pstedagramm Muodostetaa pstedagramm muuttujaparsta (KULUTUS, SAIRAST): Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = KULUTUS Y Axs Varables = SAIRAST 490 Scatter Plot of SAIRAST vs KULUTUS 400 SAIRAST USA KULUTUS TKK Ilkka Mell (2005) 9/23

10 Kuvo perusteella savukkede kulutuksella ja sarastavuudella o melko vomakas postve korrelaato: Savukkede kulutuksella ja sarastuvuudella ol keskmäär seuraava yhteys: Mtä eemmä maassa poltett savukketa per capta 930 stä eemmä sellä ol 20 vuode kuluttua keuhkosyöpätapauksa per asukasta. (b) Korrelaatokerro kaklle havaolle Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (KULUTUS, SAIRAST): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = KULUTUS, SAIRAST TUPAKKA CORRELATIONS (PEARSON) KULUTUS SAIRAST CASES INCLUDED MISSING CASES 0 (c) Korrelaatokerro, ku USA jätetää pos Jätetää USA (Case = 7) pos: Data > Omt/Select/Restore Cases Omt/Select/Restore Expresso Omt Case = 7 Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (KULUTUS, SAIRAST): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = KULUTUS, SAIRAST TUPAKKA CORRELATIONS (PEARSON) KULUTUS SAIRAST CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 TKK Ilkka Mell (2005) 0/23

11 USA: posjättäme kasvattaa korrelaatota vomakkaast, ts. tupaka ja keuhkosyövä yhteys tulee vomakkaamm es, jos USA jätetää pos. Oko ä okeutettua tehdä? Pstedagramma katsellessa huomaa, että USA:ssa o poltettu ete savukketa per capta 930, mutta keuhkosyöpätapauste lukumäärä per heklöä 950 o ollut va keskmääräe. Vosko USA olla musta masta pokkeava havato? Kyllä! USA:ssa poltett 930 vaarattomampa savukketa ku muualla: USA:ssa poltett 930 paljo flttersavukketa, ku muualla poltett edellee pääasassa fltterttömä savukketa. Lsäks amerkkalassavukkede tupakka ol tavallsest medompaa ku muualla poltettuje savukkede tupakka. Johtopäätös: Pokkeavat havaot saattavat väärstää tlastollse aalyys tuloksa. Pokkeave havatoje tustame ja vakutukse selvttäme ovat keskee osa tlastollsta aalyysa. 3. Pstedagramm ja korrelaato STATISTIX-tedostossa DATA2 o aettu 0 havatoa muuttujsta X ja Y. (a) (b) (c) Ratkasu: (a) Prrä aestosta pstedagramm (X, Y) ja arvo se perusteella muuttuje välse korrelaato merkk ja suuruusluokka. Laske aestosta Pearso tulomomettkorrelaatokerro. Vertaa (a)-kohda kuvaa ja (b)-kohdassa laskettua korrelaatokerrota. Kommetteja? Pstedagramm Muodostetaa pstedagramm muuttujaparsta (X, Y): Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = X Y Axs Varables = Y TKK Ilkka Mell (2005) /23

12 Scatter Plot of Y vs X 8 6 Y X Kuvosta vodaa päätellä, että muuttuje X ja Y otoskorrelaato = 0. Mks? Johtopäätös seuraa otoskovarass s = ( X X)( Y Y) XY = geometrsesta tulkasta: Otoskovarass kaava summalausekkeessa = jokae term ( X X)( Y Y) ( X X)( Y Y ) vastaa suorakatee pta-alaa varustettua etumerkllä, joka rppuu pstee (X, Y ) sjasta artmeettste keskarvoje määräämä pstee( X, Y ) suhtee. Yo. kuvossa psteet sjatsevat symmetrsest suora X = 0 suhtee, jollo jokasella psteellä (X, Y ) o vastpste ( X, Y ). Vastaavat termt otoskovarass kaava summalausekkeessa ovat vastakkasmerkkset ja kumoavat summassa tosesa. TKK Ilkka Mell (2005) 2/23

13 Ks. alla olevaa esmerkkkuvaa: 8 Scatter Plot of Y vs X ( X, Y ) ( X, Y) 6 Y 4 ( X, Y ) X (b) Korrelaatokerro Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (X, Y): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = KULUTUS, SAIRAST DATA2 CORRELATIONS (PEARSON) X Y CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Korrelaatokerro = 0 eljä desmaal tulostustarkkuudella (tse asassa koee laskutarkkuudella). TKK Ilkka Mell (2005) 3/23

14 (c) Kommetteja Koska muuttuje X ja Y otoskorrelaatokerro = 0, muuttuje X ja Y välllä e vo olla leaarsta tlastollsta rppuvuutta. Se sjaa muuttuje X ja Y välllä o eksakt el tarkka epäleaare rppuvuus Y = X 2 Johtopäätös: Satuasmuuttuje korrelomattomuudesta e välttämättä seuraa de rppumattomuutta. Se sjaa satuasmuuttuje rppumattomuudesta seuraa aa de korrelomattomuus. 4. Spearma järjestyskorrelaatokerro Erää tlastollse data-aalyys kurss suortus koostu harjotustyöstä ja tetstä, jotka kummatk arvot pste Kurss osallstuje joukosta pomtt satuasest 0 opskeljaa. Hedä psteesä o aettu alla olevassa taulukossa ja STATISTIX-tedotossa KURSSI. Tett Harjotustyö (a) (b) (c) (d) (e) Prrä aestosta pstedagramm ja arvo se perusteella muuttuje välse korrelaato merkk ja suuruusluokka. Laske Pearso tulomomettkorrelaatokerro ja testaa ollahypoteesa, että psteet tetstä ja harjotuystyöstä ovat korrelomattoma. Laske Spearma järjestyskorrelaatokerro ja testaa ollahypoteesa, että psteet tetstä ja harjotuystyöstä ovat korrelomattoma. Laske Spearma järjestyskorrelaatokerro käyttäe kaavaa mssä 6 = = ρ S 3 D 2 D = R( X ) R( Y) o X- ja Y-havatoarvoje rake erotus. Laske Spearma järjestyskorrelaatokerro soveltamalla Pearso tulomomettkorrelaatokertome kaavaa X- ja Y-havatoarvoje rake muodostam lukupareh. TKK Ilkka Mell (2005) 4/23

15 Ratkasu: (a) Pstedagramm Muodostetaa pstedagramm muuttujaparsta (TENTTI, HTYO): Statstcs > Summary Statstcs > Scatter Plot X Axs Varables = TENTTI Y Axs Varables = HTYO 92 Scatter Plot of HTYO vs TENTTI HTYO TENTTI Muuttuje HTYO ja TENTTI välllä o selvää postvsta korrelaatota: Opskeljat meestyvät kurss molemmssa osossa keskmäär samalla tavalla. TKK Ilkka Mell (2005) 5/23

16 (b) Pearso tulomomettkorrelaatokerro ja test korrelomattomuudelle Lasketaa korrelaato muuttujaparlle (X, Y): Statstcs > Lear Models > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = HTYO, TENTTI KURSSI CORRELATIONS (PEARSON) HTYO TENTTI CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Testataa ollahypoteesa H 0 : ρ = 0 Testsuure r t = 2 r 2 oudattaa ollahypotees H 0 pätessä t-jakaumaa vapausaste 2. Statstcs > Assocato Tests > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = HTYO, TENTTI KURSSI CORRELATIONS (PEARSON) HTYO TENTTI P-VALUE CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Testsuuree t arvoa vastaava p-arvo o Ste ollahypotees H 0 vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. TKK Ilkka Mell (2005) 6/23

17 (c) Spearma järjestyskorrelaatokerro ja test korrelomattomuudelle Statstcs > Assocato Tests > Spearma Rak Correlatos Correlato Varables = HTYO, TENTTI KURSSI SPEARMAN RANK CORRELATIONS, CORRECTED FOR TIES HTYO TENTTI MAXIMUM DIFFERENCE ALLOWED BETWEEN TIES CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Testataa ollahypoteesa Testsuure H 0 : ρ = 0 ρs t = 2 ρ 2 S oudattaa ollahypotees H 0 pätessä suurssa otoksssa approksmatvsest stadardotua ormaaljakaumaa N(0,). t-testsuuree arvoks saadaa t = 2.98 jota vastaava p-arvo 2-suutaselle vahtoehtoselle hypoteeslle o p = Ste ollahypotees H 0 vodaa hylätä %: merktsevyystasolla. p-arvo määrääme tapahtuu seuraavalla operaatolla: Statstcs > Probablty Fuctos Fucto = Z 2-tal (x) x = 2.98 TKK Ilkka Mell (2005) 7/23

18 (d) Spearma järjestyskorrelaatokertome laskeme Lasketaa Spearma järjestyskorrelaatokerro käyttäe kaavaa mssä 6 = ρ S = 3 D 2 D = R( X ) R( Y) o X- ja Y-havatoarvoje raklukuje erotus. Muodostetaa es tedostoo KURSSI X- ja Y-havatoarvoje rakluvut, de erotukset ja erotuste toset potesst: Data > Trasformatos Trasformato Expresso RTENTTI = Rak (TENTTI) Data > Trasformatos Trasformato Expresso RHTYO = Rak (HTYO) Data > Trasformatos Trasformato Expresso D = RTENTTI - RHTYO Data > Trasformatos Trasformato Expresso D2 = D * D TKK Ilkka Mell (2005) 8/23

19 Tedosto KURSSI äyttää trasformaatode jälkee seuraavalta: KURSSI CASE TENTTI HTYO RTENTTI RHTYO D D Määrätää seuraavaks muuttuja D2 arvoje summa: Statstcs > Summary Statstcs > Descrptve Statstcs Descrptve Varables = D2 KURSSI DESCRIPTIVE STATISTICS VARIABLE N SUM D Sjottamalla summa = D 2 = Spearma korrelaatokertome kaavaa saadaa ρ S = mkä o melke sama ku kohdassa (c) saatu tulos. Ero johtuu stede (= egl. te) erlasesta kästtelytavasta. TKK Ilkka Mell (2005) 9/23

20 (e) Spearma järjestyskorrelaatokertome laskeme 2 Lasketaa Spearma järjestyskorrelaatokertome arvo soveltamalla Pearso tulomomettkorrelaatokertome kaavaa X- ja Y-havatoarvoje raklukuh: Statstcs > Assocato Tests > Correlatos (Pearso) Correlato Varables = RHTYO, RTENTTI KURSSI CORRELATIONS (PEARSON) RHTYO RTENTTI CASES INCLUDED 0 MISSING CASES 0 Tulos o sama ku kohdassa (c) saatu tulos, mutta e ole sama ku kohdassa (a) alkuperässtä havatoarvosta laskettu Pearso tulomomettkorrelaatokertome arvo. 5. χ 2 -rppumattomuustest Eräässä kyselytutkmuksessa kartotett Flordaa vmese kolme vuode akaa tomtasa srtäede yrtyste sytä srtymsee. Yrtykset ol jaettu tomalasa suhtee kolmee luokkaa: Teollsuus, Kauppa, Tursm Essjase perustelu srtymselle sa valta yhde seuraavsta kolmesta: Myötee tekologaympärstö, Verohelpotukset, Työvoma saatavuus Srtyede yrtyste joukosta pomtt ykskertae satuasotos ja yrtykset luoktelt rst tomalasa ja srtymse perustelu suhtee 9 luokkaa. Tulokset o aettu alla olevassa frekvesstaulukossa ja STATISTIX-tedostossa MUUTTO. Tomala Syy srtymsee Teollsuus Kauppa Tursm Tekologaympärstö Verohelpotukset Työvoma saatavuus Ovatko tomala ja srtymse perustelu rppumattoma tekjötä? TKK Ilkka Mell (2005) 20/23

21 Ratkasu: Olkoo Tekjä A = Syy srtymsee Tekjä B = Tomala ja olkoo ollahypoteesa Havatut frekvesst: Odotetut frekvesst: jossa H 0 : Tekjät A ja B ovat rppumattoma O j = havattu frekvess A-luokassa ja B-luokassa j, =, 2,, r, j =, 2,, c E R C Huomaa, että j j RC = = = c j= r = O j j O j R = luokkafrekvess A-luokassa C j = luokkafrekvess B-luokassa j Nollahypotees H 0 pätessä testsuure χ ( O E ) r c 2 2 j j 2 = a χ = j= Ej ( f ) jossa f = (r )(c ) TKK Ilkka Mell (2005) 2/23

22 χ 2 -rppumattomuustest Statstcs > Assocato Tests > Ch-Square Test Model Specfcato = Table Table Varables = TEOL, KAUPPA, TURISMI MUUTTO CHI-SQUARE TEST FOR HETEROGENEITY OR INDEPENDENCE VARIABLE CASE TEOL KAUPPA TURISMI OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OBSERVED EXPECTED CELL CHI-SQ OVERALL CHI-SQUARE P-VALUE DEGREES OF FREEDOM 4 CASES INCLUDED 9 MISSING CASES 0 χ 2 -testsuuree arvo o ja stä vastaava p-arvo o , ku vapausasteta o 4. Ste ollahypotees stä, että tekjät A = Tomala B = Syy srtymsee ovat rppumattoma hylätää kaklla tavaomaslla merktsevyystasolla. TKK Ilkka Mell (2005) 22/23

23 Lte: Satuaslukuje geerot 2-ulottesesta ormaaljakaumasta Oletetaa, että rppumattomat satuasmuuttujat U ja V oudattavat stadardotua ormaaljakaumaa U ~ N(0,) V ~ N(0,) Määrtellää satuasmuuttujat () X = σ U + µ 2 ( ) Y = σ ρu + ρ V +µ 2 2 jossa µ, µ 2, σ > 0, σ 2 > 0 ja ρ + ovat reaalsa vakota. Tällö jossa ( XY, ) N ( µ, µ, σ, σ, ρ) E( X) = µ E( Y) = µ 2 Var( X) = σ Var( Y) = σ Cor( XY, ) = ρ Ste rppumattomat stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattavat satuasmuuttujat vodaa muutaa muuoksella () kaksulottesta ormaaljakaumaa oudattavaks satuasmuuttuje parks. Estety trasformaato avulla vodaa rppumattomsta stadardotua ormaaljakaumaa N(0, ) oudattavsta satuasluvusta geeroda kaksulottesta ormaaljakaumaa oudattava satuaslukuje pareja. TKK Ilkka Mell (2005) 23/23

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI

1. PARAMETRIEN ESTIMOINTI Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet Mat-.04 Tlastollse aalyys perusteet / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Estmaatt, Estmaattor, Estmot, Jääöselösumma, Jääösterm, Jääösvarass,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 8. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Otos ja otosjakaumat Avainsanat: Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa Mat-1.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Otos ja otosjakaumat Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, χ -jakauma, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio. Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (4) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame Pearso korrelaatokertome estmot ja testaus Järjestyskorrelaatokertomet

Lisätiedot

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN

MTTTP1 SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN MTTTP SELITYKSIÄ JA ESIMERKKEJÄ KAAVAKOKOELMAN KAAVOIHIN LIITTYEN Aesto kaavoje () (3), (9) ja () esmerkkeh Lepakot pakallstavat hyötesä lähettämällä korkeataajusta äätä Ne pystyvät pakallstamaa hyöteset

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-2.204 Tlastollsen analyysn perusteet, kevät 2007 5. luento: Tlastollnen rppuvuus ja korrelaato Ka Vrtanen Muuttujen välsten rppuvuuksen analysont Tlastollsssa analyysessä tutktaan usen muuttujen välsä

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat:

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. Avainsanat: Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset Mat-.3 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 4. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Artmeette keskarvo, Estmaatt,

Lisätiedot

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa. harjotukset Mat-.6 Sovellettu todeäkösyyslasketa B. harjotukset / Ratkasut Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, F-jakauma, F-test,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat:

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 5 Aiheet: Tilastolliset testit Avainsanat: MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 MS-A5 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 5 Aheet: Tlastollset testt Avasaat: Artmeette keskarvo Beroull-jakauma

Lisätiedot

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio

Tilastollinen riippuvuus ja korrelaatio Tlastollset meetelmät Osa 4: Leaare regressoaalyys Tlastolle rppuvuus ja korrelaato KE (204) Tlastolle rppuvuus ja korrelaato >> Tlastolle rppuvuus, korrelaato ja regresso Kahde muuttuja havatoaesto kuvaame

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.9 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harjotus 8 (vko 45/3) (Ahe: Raja-arvolauseta, otostuuslukuja, johdatusta estmot, Lae luvut 9.5,.-.6). Olkoo X ~ p(λ), mssä λ

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 6 Aheet: Tlastolle rppuvuus ja korrelaato Yhde selttäjä leaare regressomall Regressoaalyys

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemaalyys laboratoro Mat-.090 Sovellettu todeäkösyyslasku A Nordlud Harotus (vko 49/003) (Ahe: Tlastollsa testeä, regressoaalyysä Lae luvut 5.5, 6) HUOM! Laskarede palautukse takaraa o pokkeuksellsest

Lisätiedot

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi

Muuttujien välisten riippuvuuksien analysointi Mat-.4 Tlastollse aalyys peusteet, kevät 7 5. lueto: Tlastolle ppuvuus ja koelaato Muuttuje välste ppuvuukse aalysot Tlastollsssa aalyysessä tutktaa use muuttuje välsä ppuvuuksa Työttömyysastee ppuvuus

Lisätiedot

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on

1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla

Lisätiedot

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2 HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske

Lisätiedot

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia

1.4. Aritmeettisen keskiarvon otosjakauma: Suurten otosten tuloksia Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,

Lisätiedot

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme?

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet. Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mell (004) Kovergesskästteet ja raja-arvolauseet Kovergesskästtetä Suurte lukuje lat Keskee raja-arvolause Keskese raja-arvolausee seurauksa Johdatus todeäkösyyslasketaa Kovergesskästteet

Lisätiedot

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset:

on tavanomainen yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli, jossa jäännöstermit ε i toteuttavat seuraavat oletukset: Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 5. harjotukset / Ratkasut Aheet: Avasaat: Yhde selttäjä leaare regressomall Ylee leaare mall Artmeette keskarvo,

Lisätiedot

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.

HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia. HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla

Lisätiedot

1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit

1.2. Aritmeettisen keskiarvon ja otosvarianssin otosjakaumat: Odotusarvot ja varianssit Tlastolle päättely. Otosjakaumat Tlastolle päättely. Otosjakaumat.. Otos, otostuusluvut ja de otosjakaumat Arvota, Havato, Havatoarvo, Otos, Otosjakauma, Otostuusluku, Rppumattomuus, Satuasmuuttuja, Satuasotos,

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi Tlastollset meetelmät Leaare regressoaals Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaals 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaals 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare mall

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus Mat.36 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys, Otos,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7.

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi. 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estimointi 6. Estimointimenetelmät 7. Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot Ilkka Mell 5 Tlastollset

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus

Tilastollinen päättely. 2. Datan redusoinnin periaatteet Tyhjentävyys Uskottavuus Mat-1.361 Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet Tlastolle päättely. Data reduso peraatteet.1. Tyhjetävyys Asllaarsuus, Basu teoreema, Data redusot, Faktorotteoreema, Iformaato, Mmaale tyhjetävyys,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi

Tilastolliset menetelmät: Lineaarinen regressioanalyysi Tlastollset meetelmät Leaare regressoaalyys Tlastollset meetelmät: Leaare regressoaalyys 3. Tlastolle rppuvuus ja korrelaato 4. Johdatus regressoaalyys 5. Yhde selttäjä leaare regressomall 6. Ylee leaare

Lisätiedot

Moniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot

Moniulotteiset jakaumat ja havaintoaineistot Momuuttujameetelmät: Ilkka Mell. Moulotteset jakaumat.. Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat.. Yhtesjakaumat.3. Reuajakaumat ja satuasmuuttuje rumattomuus.4. Ehdollset jakaumat.5. Yhtesjakaume tuusluvut.6.

Lisätiedot

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi

1. Normaalisuuden tutkiminen, Bowmanin ja Shentonin testi, Rankit Plot, Wilkin ja Shapiron testi Mat-2.2104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yhteensopivuuden ja homogeenisuden testaaminen Bowmanin ja Shentonin testi, Hypoteesi, 2 -homogeenisuustesti, 2 -yhteensopivuustesti,

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat:

Mat Sovellettu todennäköisyyslaskenta B 9. harjoitukset / Ratkaisut Aiheet: Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Avainsanat: Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Estmot Estmotmeetelmät Välestmot Avasaat: Artmeette keskarvo, Beroull-jakauma, Beroull-koe, Estmaatt, Estmaattor,

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat

Lisätiedot

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto

Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi. Varianssianalyysi: Mitä opimme? Varianssianalyysi: Johdanto TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys Varassaalyys: Johdato Johdatus tlastoteteesee Varassaalyys TKK (c Ila Mell (004 Varassaalyys: Mtä opmme? Tarastelemme tässä luvussa seuraavaa ysymystä: Mte tavaomae ahde

Lisätiedot

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat:

Mat Tilastollinen päättely 7. harjoitukset / Tehtävät. Hypoteesien testaus. Avainsanat: Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset Mat-.36 Tlastollnen päättely 7. harjotukset / Tehtävät Aheet: Avansanat: ypoteesen testaus. lajn vrhe,. lajn vrhe, arhaton test, ylkäysalue, ylkäysvrhe, ypotees,

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen. Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae Johdatus tlastoteteesee Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude testaae TKK () Ila Mell (004) Yhteesopvuude, hoogeesuude a rppuattouude

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA

1. PÄÄTTELY YHDEN SELITTÄJÄN LINEAARISESTA REGRESSIOMALLISTA Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat Päättely yhden selittäjän lineaarisesta regressiomallista Ennustaminen, Ennuste, Ennusteen luottamusväli, Estimaatti, Estimaattori,

Lisätiedot

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4

MS-A0501 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Viikko 4 MS-A Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Vkko Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame; tlastollste aestoje kuvaame; Otokset ja otosjakaumat; Estmot; Estmotmeetelmät; Vällestmot Mtä tlastotede o?

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit

Mat Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket Mat-.03 Koeuuttelu tlatollet mallt. harjotuket / Ratkaut Aheet: Avaaat: Tlatollte aetoje kuvaame Oto otokaumat Etmot Etmotmeetelmät Väletmot Artmeette kekarvo,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu Mat.36 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus, Perusjoukko,

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Suoran sovittaminen pistejoukkoon

Suoran sovittaminen pistejoukkoon Suora sovttame pstejoukkoo Ku halutaa tutka kahde tlastollse muuttuja rppuvuutta tosstaa, käytetää use leaarsta regressota el suora sovttamsta havatojoukkoo. Sä o aettu joukko havatopareja (x, y ), ja

Lisätiedot

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2

Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma Aheet: Satuasmuuttujat ja todeäkösyysjakaumat Kertymäfukto Jakaume tuusluvut Dskreettejä jakauma Jatkuva jakauma Avasaat: Bomjakauma Desl Dskreett

Lisätiedot

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli lueto9.ppt S-38.45 Lkeeteora perusteet Kevät 5 Ykskertae lkeeteoreette mall Puhdas jakojärjestelmä Asakkata saapuu keskmäär opeudella asakasta per akayks. / keskmääräe asakkade välaka Asakkata palvellaa

Lisätiedot

Ilkka Mellin (2006) 1/1

Ilkka Mellin (2006) 1/1 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu

Tilastollinen päättely. 4. Hypoteesien testaus Johdanto Testien konstruointi Testien vertailu Mat-1.361 Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus Tlastolle päättely 4. Hypoteese testaus 4.1. Johdato Hylkäysalue, Hypotees, Hyväksymsalue, Krtte alue, Nollahypotees, Otos, Parametr, Parametravaruus,

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja

Lisätiedot

MTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä

MTTTP5, luento Luottamusväli, määritelmä 23.11.2017/1 MTTTP5, luento 23.11.2017 Luottamusväli, määritelmä Olkoot A ja B satunnaisotoksen perusteella määriteltyjä satunnaismuuttujia. Väli (A, B) on parametrin 100(1 - ) %:n luottamusväli, jos P(A

Lisätiedot

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista.

Mediaanikorko on kiinteäkorkoiselle lainalle korkeampi. Tämä hypoteesi vastaa taloustieteen käsitystä korkojen määräytymismekanismista. Mat-2.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Mannin ja Whitneyn testi (Wilcoxonin

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastolliset aineistot Todeäkösyyslaskea ja talstotetee peruskurssesmerkkkokoelma 4 Todeäkösyyslaskea ja tlastotetee peruskurss Esmerkkkokoelma 4 Aheet: Tlastollste aestoje kerääme ja mttaame Tlastollste aestoje kuvaame Otokset

Lisätiedot

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta?

Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Yhden otoksen suhteellisen osuuden testaus Ongelma: Poikkeaako perusjoukon suhteellinen osuus vertailuarvosta? Hypoteesit H 0 : p = p 0 H 1 : p p 0 tai H 1 : p > p 0 tai H 1 : p < p 0 Suhteellinen osuus

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme?

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia. Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Melli (4) Johdato Johdatus todeäköisyyslasketaa TKK (c) Ilkka Melli (4) : Mitä opimme? / Tutustumme tässä luvussa seuraavii ormaalijakaumasta (ks. lukua Jatkuvia jakaumia) johdettuihi jakaumii:

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Tilastolliset menetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Tlastollset meetelmät Otokset, otosjakaumat ja estmot Tlastollset meetelmät: Otokset, otosjakaumat ja estmot 4. Otokset ja otosjakaumat 5. Estmot 6. Estmotmeetelmät 7. Välestmot TKK @ Ilkka Mell (006)

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tilastollinen päättely. 3. Piste estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet Mat.36 Tlastolle päättely 3. Pste estmot Tlastolle päättely 3. Pste estmot 3.. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste estmot, Pstetodeäkösyysfukto,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.04 Tlastollsen analyysn perusteet, evät 007. luento: Johdatus varanssanalyysn S ysteemanalyysn Laboratoro Ka Vrtanen Kertaus: ahden rppumattoman otosen t-test () () Perusjouo oostuu ahdesta ryhmästä

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme?

Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? 2/2. Todennäköisyyden aksioomat: Mitä opimme? TKK () Ilkka Mell (2004) 1 Todeäkösyyde aksoomat Suhteelle rekvess, klasse todeäkösyys ja ehdolle todeäkösyys Johdatus todeäkösyyslasketaa Todeäkösyyde aksoomat TKK () Ilkka Mell (2004) 2 Todeäkösyyde

Lisätiedot

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen.

Testaa onko lämpökäsittelyllä vaikutusta tankojen keskimääräiseen vetolujuuteen. Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser

Lisätiedot

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2

Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 2/2. Jakaumien tunnusluvut: Mitä opimme? 1/2 TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut Johdatus todeäösyyslasetaa Jaaume tuusluvut Marov ja Tshebyshev epäyhtälöt Momett Vous ja hupuuus Suurte luuje la TKK (c) Ila Mell (4) Jaaume tuusluvut: Mtä opmme?

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 16. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 16. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Epäparametrisia testejä χ 2 -yhteensopivuustesti Homogeenisuuden testaaminen Antti

Lisätiedot

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet

Tilastollinen päättely. 3. Piste-estimointi Johdanto Estimointimenetelmät Estimaattoreiden ominaisuudet Mat-1.361 Tlastolle päättely 3. Pste-estmot Tlastolle päättely 3. Pste-estmot 3.1. Johdato Estmaattor, Estmaatt, Estmot, Havato, Havatopste, Otos, Otostuusluku, Parametr, Pste-estmot, Pstetodeäkösyysfukto,

Lisätiedot

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007

Mat Tilastollisen analyysin perusteet, kevät 2007 Mat-.4 Tlastollse aals perusteet, evät 7 8. lueto: Usea selttää leaare regressomall Usea selttää leaare regressomall Seltettävä muuttua havattue arvoe vahtelu halutaa selttää selttäve muuttue havattue

Lisätiedot

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT

1. YKSISUUNTAINEN VARIANSSIANALYYSI: AINEISTON ESITYSMUODOT Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Yksisuuntainen varianssianalyysi Bartlettin testi, Bonferronin menetelmä, F-testi, Jäännösneliösumma, χ 2 -testi, Kokonaiskeskiarvo,

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset.

Tavanomaisten otostunnuslukujen, odotusarvon luottamusvälin ja Box ja Whisker -kuvion määritelmät: ks. 1. harjoitukset. Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet Mat-.04 Tilastollisen analyysin perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avainsanat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahden riippumattoman otoksen t-testit,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle Tilastollisen analyysin perusteet Luento 11: Epäparametrinen vastine ANOVAlle - Sisältö - - - Varianssianalyysi Varianssianalyysissä (ANOVA) testataan oletusta normaalijakautuneiden otosten odotusarvojen

Lisätiedot

voidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %?

voidaan hylätä, pienempi vai suurempi kuin 1 %? [TILTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Syksy 2011 http://www.uta.fi/~strale/tiltp1/index.html 30.9.2011 klo 13:07:54 HARJOITUS 5 viikko 41 Ryhmät ke 08.30 10.00 ls. C8 Leppälä to 12.15 13.45 ls. A2a Laine

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Tilastollisen analyysin perusteet Luento 2: Tilastolliset testit Sisältö Tilastollisia testejä tehdään jatkuvasti lukemattomilla aloilla. Meitä saattaa kiinnostaa esimerkiksi se, että onko miesten ja

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo?

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen., jos otoskeskiarvo on suurempi kuin 13,96. Mikä on testissä käytetty α:n arvo? MTTTP5, kevät 2016 15.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuun 6 liittyen 1. Valitaan 25 alkion satunnaisotos jakaumasta N(µ, 25). Olkoon H 0 : µ = 12. Hylätään H 0, jos otoskeskiarvo

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (004) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio

Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla määritelty funktio 17.11.2015/1 MTTTP5, luento 17.11.2015 Luku 5 Parametrien estimointi 5.1 Piste-estimointi Estimointi populaation tuntemattoman parametrin arviointia otossuureen avulla Otossuure satunnaisotoksen avulla

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille. Testit järjestysasteikollisille muuttujille: Esitiedot TKK (c Ilkka Melli (004 Johdatus tilastotieteesee TKK (c Ilkka Melli (004 : Mitä opimme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikolliste muuttujie testejä: ja merkkitesti parivertailuille

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen Otos ja otosjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteesee Otos ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (004) 1 Otos ja otosjakaumat Yksikertaie satuaisotos Otostuusluvut ja otosjakaumat Aritmeettise keskiarvo otosjakauma Otosvariassi otosjakauma

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Melli Tilastolliset meetelmät Osa : Otokset, otosjakaumat ja estimoiti Otokset ja otosjakaumat TKK (c) Ilkka Melli (007) 1 Otokset ja otosjakaumat >> Satuaisotata ja satuaisotokset Otostuusluvut

Lisätiedot

7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä

7.5. Yleinen lineaarinen malli ja suurimman uskottavuuden menetelmä Mat.36 Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora Tlastolle päättely 7. Suurmma uskottavuude meetelmä ja asymptootte teora 7.. Suurmma uskottavuude estmotmeetelmä Akasarja,

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Baltian Tie 2001 ratkaisuja

Baltian Tie 2001 ratkaisuja Balta Te 001 ratkasuja 1. Olkoot tehtävät T, = 1,,..., 8. Eräs mahdollsuus jakaa tehtävät kahdeksalle opskeljalle O j, j =1,,..., 8 o ohesessa taulukossa T 1 T T T 4 T T 6 T 7 T 8 O 1 O O O 4 O O 6 O 7

Lisätiedot

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B

Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Sovellettu todennäköisyyslaskenta B Antti Rasila 8. marraskuuta 2007 Antti Rasila () TodB 8. marraskuuta 2007 1 / 15 1 Tilastollisia testejä Z-testi Normaalijakauman odotusarvon testaus, keskihajonta tunnetaan

Lisätiedot

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut

χ = Mat Sovellettu todennäköisyyslasku 11. harjoitukset/ratkaisut Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Yhteensopivuuden testaaminen Homogeenisuuden testaaminen Riippumattomuuden testaaminen Avainsanat: Estimointi, Havaittu frekvenssi, Homogeenisuus,

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteeseen Testit suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (005) 1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi Kahden

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Johdatus varianssianalyysiin Tilastollisen analyysin perusteet Luento 10: Sisältö Varianssianalyysi Varianssianalyysi on kahden riippumattoman otoksen t testin yleistys. Varianssianalyysissä perusjoukko koostuu kahdesta tai useammasta

Lisätiedot

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Johdatus varianssianalyysiin. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Johdatus varianssianalyysiin Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Luento 4: kahden riippumattoman otoksen odotusarvoja voidaan vertailla t-testillä H 0 : μ 1 = μ 2, T = ˉX 1 ˉX 2 s 2 1 + s2 2 n 1 n 2 a t(min[(n

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta

Gripenberg. MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta MS-A00 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Tentti ja välikoeuusinta 7.. Gripenberg Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot ja minkä kokeen suoritat! Laskin,

Lisätiedot

Monimuuttujamenetelmät: Multinormaalijakauma. Ilkka Mellin. 1. Multinormaalijakauma ja sen ominaisuudet

Monimuuttujamenetelmät: Multinormaalijakauma. Ilkka Mellin. 1. Multinormaalijakauma ja sen ominaisuudet Momuuttumeetelmät Multormaalkauma Momuuttumeetelmät: Multormaalkauma Ilkka Mell. Multormaalkauma se omasuudet.. Multormaalkauma.. Multormaalkauma omasuudet.3. Multormaalkauma ehdollset kaumat.4. -ulottee

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Melli (4) Satuaismuuttujie muuokset ja iide jakaumat Satuaismuuttujie muuoste jakaumat Kaksiulotteiste satuaismuuttujie muuoste jakaumat Riippumattomie satuaismuuttujie summa jakauma Riippumattomie

Lisätiedot

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A

Tilastollinen päättömyys, kevät 2017 Harjoitus 6A Tilastollie päättömyys, kevät 07 Harjoitus 6A Heikki Korpela 8. helmikuuta 07 Tehtävä. Moistee teht. 5.. Olkoo Y,..., Y riippumato otos ekspoettiperhee jakaumasta, joka ptf/tf o muotoa fy i ; θ cθhye φθtyi

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot